Универзитет у Нишу Природно-математички факултет Департман за математику Процеси обнављања и нека њихова уопштења Мастер рад Ментор: Проф. др Марија М

Универзитет у Нишу Природно-математички факултет Департман за математику Процеси обнављања и нека њихова уопштења Мастер рад Ментор: Проф. др Марија Милошевић Студент: Јелена Милошевић Ниш, 218.

Садржај 1. Уводни појмови и резултати 1.1. Основни појмови и дефиниције...4 1.2. Дефиниција процеса обнављања...7 1.3. Неки примери процеса обнављања...1 1.3.1. Процеси обнављања у пракси...1 1.3.2. Блоковска замена...12 1.4. Хомогени Пуасонов процес као процес обнављања...14 2. Асимптотско понашање процеса обнављања... 2.1. Основна теорема за процесе обнављања... 24 2.2. Теорема обнављања за непрекидна међудолазна времена...3 2.3. Смитова теорема обнављања...32 2.4. Асимптотска расподела N()...34 2.5. Гранична расподела тренутног трајања и вишка трајања...34 3. Генерализације и варијације процеса обнављања... 3.1. Одложени процеси обнављања...36 3.2. Стационарни процеси обнављања...37 3.3. Кумулативни и сродни процеси...37 4. Дискретна теорија обнављања... 4.1. Дискретна теорема обнављања...44 4.2. Детерминистички раст популације са старосном расподелом...47 4.2.1. Једноставни модел раста...47 4.2.2. Модел са старосном структуром...48 Литература... 53 2

Увод Процеси обнављања се, пре свега, примењују у моделирању појава које се мењају у случајним тренуцима, тако да су скоро све њихове трајекторије растуће степенасте функције времена. Природа сваке од тих промена је таква да се тренутак настанка промене сматра почетним тренутком неког новог процеса, односно у тренутку настанка промене полазни процес се обнавља у одређеном смислу. У овом раду ће се разматрати основна својства и граничне теореме за процесе обнављања, као што су строги закон великих бројева, централна гранична теорема и асимптотска својства средње вредности и дисперзије. Поред тога ће бити наведена нека уопштења процеса обнављања и то: процеси обнављања са кашњењем, процеси обнављања код којих сваки интервал обнављања има две компоненте и кумулативни процеси обнављања. Мастер рад садржи резултате који су изложени у четири главе. У првој глави овог рада изложени су основни појмови и резултати теорија стохастичких процеса и ризика који се користе у даљем раду. Затим је дефинисан процес обнављања и наведени су примери таквих процеса. На крају прве главе разматран је Пуасонов процес као специјалан случај процеса обнављања. У другој глави је доказана основна теорема о процесима обнављања уз помоћ закона великих бројева. Такође, у овом делу је разматрана асимптотска расподела једнодимензионалног засека процеса обнављања, али и случајних променљивих као што су тренутно трајање и вишак трајања. Поред Пуасоновог процеса, који представља специјалан случај процеса обнављања, а о коме је реч у првој глави, постоје и неки процеси обнављања који представљају уопштења класичног процеса обнављања. Такви процеси су наведени у трећој глави. У четвртој глави се разматра детерминистички модел раста популације који узима у обзир старосну структуру популације. У том смислу је најпре наведена дискретна теорема обнављања која има значајну улогу у анализи овог модела. Користим прилику да се на овом месту најсрдачније захвалим свом ментору професорки Марији Милошевић, на указаној стручној помоћи и саветима приликом израде овог рада. Захваљујем се професоркама Миљани Јовановић и Јасмини Ђорђевић на помоћи и предлозима који су побољшали квалитет рада. Желим да се захвалим својој породици на подршци и на потпуном разумевању током студирања. 3

Глава 1 Уводни појмови и резултати Теорија обнављања је почела са проучавањем стохастичких система, а данас је предмет теорије обнављања проучавање општих функција независних, ненегативних случајних променљивих са истом расподелом које представљају времена између узастопних реализација случајног догађаја. Резултати ове теорије се примењују у широком спектру теоријских и практичних вероватносних модела. У овој глави ће бити наведени основни појмови и резултати који су од значаја за предстојеће разматрање процеса обнављања. 1.1. Основни појмови и дефиниције У овом поглављу ће бити наведени неки резултати из теорија вероватноћа и стохастичких процеса који се експлицитно примењују у наставку. Дефиниција 1.1.1. Нека је (Ω, F, P) дати простор вероватноће и T R скуп вредности параметра. Реалан, једнодимензионалан стохастички процес X на простору (Ω, F, P) је фамилија случајних променљивих X = {X(, ω), T, ω Ω} која за свако T одређује пресликавање X(,. ): Ω R. У ознаци стохастичког процеса често се изоставља аргумент ω као подразумевани аргумент и такав процес се означава са X = {X(), T}. За фиксирано ω Ω, важи да је X(, ω ) = X(), T, тј. ради се о функцији која зависи само од параметра. Она се назива реализација или трајекторија стохастичког процеса. Дефиниција 1.1.2. Стохастички процес N = {N(), } је процес пребројавања ако има следеће особине: 4

1) N() = скоро извесно; 2) за свако, N() {,1,2, }; 3) за свако и за свако h >, N() N( + h). У општем случају, процеси пребројавања описују промену броја реализација неког догађаја током времена, при чему се тај догађај реализује у случајним тренуцима. Случајна променљива N() представља број догађаја који ће се реализовати до тренутка, закључно са њим. Ако је s < <, прираштај овог процеса N(s, ] = N() N(s) представља број догађаја који ће се десити у интервалу (s, ]. Дефиниција 1.1.3. Процес пребројавања се може представити као N() = sup{i 1 W i },, при чему су = W < W 1 < W 2 случајни тренуци реализација догађаја чији број описује процес пребројавања N, тј. то су долазна времена процеса пребројавања. Ако случајне променљиве {W i, i 1} представљају долазна времена неког процеса пребројавања, тада се случајне променљиве X i = W i W i 1, i 1, где је W =, називају међудолазна времена. Дефиниција 1.1.4. Стохастички процес N = {N(), } је хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ, λ >, ако задовољава следеће услове: 1) N() = скоро извесно; 2) има независне прираштаје, тј. за свако n N и за свако = < 1 < < n, прираштаји N( i 1, i ] представљају независне случајне променљиве за свако i {1,2,, n}; 3) за свако s < <, прираштаји N(s, ] имају Пуасонову расподелу са параметром λ( s); 4) скоро све трајекторије имају cádlág особину тј. са вероватноћом 1 трајекторије {N(, ω), } процеса N су непрекидне с десна за свако и имају коначну граничну вредност с лева у свакој тачки >. Једно од уопштења хомогеног Пуасоновог процеса представља процес обнављања. Међудолазна времена хомогеног Пуасоновог процеса имају експоненцијалну расподелу тако да узимају велике вредности са веома малим вероватноћама. Међутим да би се узео у обзир и случај када се велике вредности реализују са великим вероватноћама претпоставка да међудолазна времена имају експоненцијалну расподелу замењује се претпоставком да имају неку другу расподелу. То је управо мотивација за увођење процеса обнављања. Дефиниција 1.1.5. Процес обнављања се дефинише као N() = sup{i 1 W i },, 5

при чему је W n = X 1 + X 2 +... +X n, n 1 и {X i, i 1} су ненегативне, независне случајне променљиве са истом расподелом. Дакле, процес обнављања је процес пребројавања код којег време до реализације првог догађаја има функцију расподеле F, време између прве и друге реализације догађаја је случајна променљиве која је независна од времена у првом случају, али има исту функцију расподеле F и тако даље. На крају овог поглавља биће наведени још неки основни појмови и резултати који се примењују у даљем раду. Дефиниција 1.1.6. За дискретан индексни скуп {, 1, 2,... } филтрација је монотоно неопадајући низ σ-алгебри F F 1 F 2. Дефиниција 1.1.7. Низ случајних променљивих {X n, n } је адаптиран у односу на филтрацију {F n, n } ако важи да је случајна променљива X n F n -мерљива за свако n. Дефиниција 1.1.8. Нека је (Ω, F, F, P) стохастички базис са филтрацијом F = {F, }. Случајна променљива τ: Ω [, +] назива се Марковски момент ако је: ( ) {ω Ω: τ(ω) } F. Ако је P{τ < } = 1, односно ако је Марковски момент скоро извесно коначан, тада се он назива време заустављања. Лема 1.1.1. Нека су стохастички процес M = {M(), }, низ случајних променљивих {Z n, n 1} и случајна променљива Z дефинисани на истом простору вероватноће (Ω, F, P). Ако процес M има ненегативне целобројне вредности, при чему је M() = + скоро извесно, и ако важи тада је lim lim n Z n = Z скоро извесно, lim Z M() = Z скоро извесно. Теорема 1.1.1. (Валдов идентитет) Нека је {S n, n N } случајно кретање дефинисано са S =, S n = Y i, n 1, при чему су {Y i, i 1} независне случајне променљиве са истом расподелом за које важи E Y i <, за свако i 1. Ако је τ < време заустављања у односу на природну филтрацију низа {Y i, i 1}, тј. у односу на фамилију F n = σ{y i, i n}, n 1, при чему је Eτ <, тада је ES τ = Eτ EY 1. 6 n i=1

1.2. Дефиниција процеса обнављања Процес обнављања {N(), } из Дефиниције 1.1.5. је стохастички процес са ненегативним целобројним вредностима. Такав процес региструје сукцесивне догађаје у временском интервалу (, ], где су времена између узастопних догађајa скоро извесно позитивне, независне случајне променљиве са истом расподелом. Нека су {Х i, i = 1,2,..., k} случајне променљиве које представљају сукцесивне периоде између реализација догађаја, где је Х i време протекло од реализације (i 1)-ог догађаја до реализације i-тог догађаја. На пример, случајним променљивим Х i се могу моделирати циклуси трајања неких јединица (уређаја) сукцесивно стављених у употребу. Функција расподеле случајних променљивих Х 1, Х 2, је F(x) = P{Х i x}, i = 1, 2, 3,, при чему је F() =, што указује на то да су Х 1, Х 2, скоро извесно позитивне случајне променљиве. Нека је W =. За свако n 1 случајна променљива W n = X 1 + X 2 + +X n (1.1) се може интерпретирати као време чекања до реализације n-тог догађаја. Однос између међудолазних времена {X k, k 1} и процеса обнављања {N(), } је приказан на Слици 1.1. Слика 1.1. Однос између међудолазних времена {X k, k 1} и процеса обнављања {N(), } Уобичајена пракса је да се процес пребројавања {N(), } назива процес обнављања, а низ парцијалних сума {W n, n }, низ обнављања. Типичан модел 7

обнављања представљају сукцесивне замене сијалица. Сијалица инсталирана за рад у тренутку W = ће прегорети после времена W 1 = X 1 и тада ће бити замењена новом сијалицом. Друга сијалица ће прегорети после времена W 2 = X 1 + X 2, када ће бити замењена трећом сијалицом. У општем случају, n-та сијалица ће прегорети за време W n = X 1 + + X n, одмах ће бити замењена и процес се наставља. Природно је претпоставити да су међудолазна времена независне случајне променљиве са истом функцијом расподеле P{X k x} = F(x), k = 1,2,. У овом примеру, случајна променљива N() представља број замена сијалица до тренутка, закључно са њим. Основни циљ теорије обнављања јесте проучавање особина одређених случајних променљивих повезаних са процесом {N(), } и низом {W n, n } на основу дате расподеле међудолазних времена. На пример, од значаја је израчунавање очекиваног броја обнављања у интервалу (, ], односно E[N()] = M(). Функција M(), се назива функција обнављања. Функција расподеле случајне променљиве W n = X 1 + + X n, n N може се одредити у складу са формулом конволуције: P{W n x} = F n (x), где је F 1 (х) = F(х) задата функција расподеле и F n (x) = F n 1 (x y)df(y) = F n 1 (x y)df(y). Основна релација за низ обнављања {W n, n } и процес обнављања {N(), } је {N() k} = {W k }. (1.2) Релација (1.2) указује на то да број обнављања до тренутка, закључно са њим, износи најмање k ако и само ако је k то обнављање настало до тренутка, закључно са њим. Ова еквиваленција је у основи наредних тврђења. На основу (1.2) следи да је P{N() k} = P{W k } = F k (),, k = 1,2,, (1.3) а самим тим и P{N() = k} = P{N() k} P{N() k + 1} = F k () F k+1 (),, k = 1,2, (1.4) Функција обнављања M() = E[N()], се може одредити применом релације (1.3), односно x M() = E[N()] = P{N() k} = P{W k } = F k (). (1.5) k=1 k=1 k=1 Постоји и низ других случајних променљивих које су од интереса у теорији обнављања. Три од њих су: 8

-вишак трајања (случајна променљива вишка) γ = W N()+1 ; -тренутно трајање (старосна случајна променљива) δ = W N() ; -укупно трајање β = γ + δ. Претходно дефинисане случајне променљиве су приказане на Слици 1.2. Слика 1.2. Вишак трајања γ, тренутно трајање δ, укупно трајање - β Валдов идентитет омогућава процењивање средње вредности случајне променљиве W N()+1, тј. E[W N()+1 ] на основу средње вредности међудолазних времена μ = Е[X 1 ] и функције обнављања М(). Наиме, за сваки процес обнављања важи да је E[W N()+1 ] = E[X 1 + +X N()+1 ] = E[X 1 ]E[N() + 1], oдносно E[W N()+1 ] = μ {M() + 1}. (1.6) На први поглед, овај идентитет подсећа на формулу за средњу вредност случајне суме, тј. E[X 1 + + X N ] = Е[X 1 ]Е[N], где је N случајна променљива са ненегативним целобројним вредностима која је независна од случајних променљивих X 1, X 2,. Међутим, у овом контексту се не примењује такав принцип. Кључна разлика је у томе што случајни број сабирака N() + 1 није независан од самих сабирака. Заиста, у Поглављу 1.4, где се Пуасонов процес посматра као процес обнављања, биће доказано да последњи сабирак X N()+1 има средњу вредност која је приближно двоструко већа од средње вредности μ = Е[X 1 ] за велику вредност. Према томе, E[W N() ] се не може представити као производ Е[X 1 ] и E[N()]. С обзиром на ове коментаре, једнакост (1.6) постаје још више интригантна и изузетна. Извођење израза (1.6) се заснива на основној еквиваленцији (1.2), односно: N() j 1 ако и само ако X 1 + +X j 1 9

која, изражена помоћу индикатора ових догађаја постаје: I{N() j 1} = I{X 1 + +X j 1 }. Како је други индикатор случајна променљива која је у функцији случајних променљивих X 1,..., X j 1, он је независан у односу на X ј тако да је На основу релације (1.7) следи да је E[X j I{X 1 + +X j 1 }] = E[X j ]E[ I{X 1 + +X j 1 }] E[W N()+1 ] = E[X 1 + + X N()+1 ] = E[X 1 ] + E[ = E[X j ]P{X 1 + +X j 1 } = μf j 1 (). (1.7) N()+1 j=2 X j ] = μ + E[ X j I{N() + 1 j} ] = μ + E[X j I{X 1 + + X j 1 }] = μ + μ F j 1 () = μ[1 + M()]. j=2 j=2 j=2 1.3. Неки примери процеса обнављања Стохастички модели често садрже случајне тренутке у којима они, или неки део њих, започињу поново у статистичком смислу. Ови тренуци обнављања на природан начин формирају процесе обнављања који су присутни у многим областима примењене вероватноће, укључујући процесе гранања, моделе ризика у осигурању, инжењерске системе и економетријске структуре. Када се констатује да је процес обнављања укључен у модел, моћни резултати теорије обнављања постају доступни за извођење различитих закључака о појави која се моделира. 1.3.1. Процеси обнављања у пракси У овом одељку ће бити указано на широк опсег и различите контексте у којима се појављују процеси обнављања. Неколико примера процеса обнављања ће бити детаљније проучавано у наставку рада. 1

(а) Пуасонови процеси Пуасонов процес {N(), } са параметром λ је процес обнављања чија међудолазна времена имају експоненцијалну расподелу, одређену функцијом расподеле F(x) = 1 e λx, x, Овакав процес обнављања поседује низ специфичних особина, које ће бити наведене у Поглављу 1.4. (б) Бројачки процеси Често се претпоставља да временски размаци између узастопних електричних импулса или сигнала које региструје уређај за снимање (бројач), формирају процес обнављања. Већина бројача који су у употреби се закључава на одређено време одмах након регистровања импулса и неће снимати импулсе који стижу током тог периода. Импулси се снимају само када је бројач слободан, тј. откључан. Природна је претпоставка да низ тренутака када су забележени импулси формира процес обнављања, али треба нагласити да је процес обнављања забележених импулса секундарни процес обнављања који потиче од оригиналног процеса обнављања који обухвата све долазне импулсе. (ц) Проток саобраћаја Често се претпоставља да растојање између узастопних аутомобила на аутопуту неограничене дужине са једном траком формира процес обнављања. Такође и протекла времена између узастопних пролаза аутомобила поред фиксне локације чине процес обнављања. (д) Системи пописа У анализи већине пописних процеса уобичајена је претпоставка да образац потражње одговара процесу обнављања. Већина стандардних политика пописа се посебно бави низовима обнављања, као што су времена допуна залиха. (е) Процеси обновљања у ланцима Маркова Нека случајне променљиве Z, Z 1,, које описују еволуцију неког система током времена, представљају ланац Маркова. Поред тога, нека је Z = i. У наставку ће бити разматрана времена (протекли број корака) између узастопних долазака система у стање i. Конкретно, нека је W =, W 1 = min{n > ; Z n = i}, и W k+1 = min{n > W k ; Z n = i}, k = 1,2,. 11

Како је свако од ових времена одређено у односу на исто почетно стање i, својство Маркова гарантује да су случајне променљиве X k = W k W k 1 независне и имају исту расподелу, тако да низ случајних променљивих {X k, k 1} генерише процес обнављања. 1.3.2. Блоковска замена Разматра се сијалица чије је трајање представљено случајном променљивом X која је дискретног типа, при чему је P{X = k} = p k, k = 1, 2,. Под претпоставком да је у почетном тренутку сијалица нова (исправна) и да се свака сијалица замењује новом када прегори, нека је M(n) = E[N(n)] очекивани број замена сијалица до тренутка n, закључно са њим. У великој згради, као што је фабрика, или у некој канцеларији често је јефтиније уместо једне сијалице заменити све сијалице, било да су прегореле или не. Политика блоковске замене има за циљ снижавање трошка замене сијалица фиксирањем тренутка K, заменом сијалица које прегоревају у периодима 1, 2,..., K 1 и заменом свих сијалица, било да су прегореле или не, у тренутку K. Ова стратегија је такође позната као,,групна замена". Ако је с 1 цена замене по сијалици у оквиру блоковске замене, а с 2 цена замене по сијалици у случају појединачне замене након прегоревања (с 1 < с 2 ), онда је средња вредност укупних трошкова током циклуса блоковске замене с 1 + с 2 М(K 1), где је M(K 1) = E[N(K 1)] средња вредност броја замена сијалица које су прегореле. Како се циклус блоковске замене састоји од K периода, средња вредност укупног трошка по сијалици у јединици времена је θ K = c 1 + c 2 M K 1 K Ако се функција обнављања M(n) може одредити на основу расподеле трајања сијалица {p k, k 1}, онда се може одабрати тренутак K = K тако да се минимизира стопа трошка θ(k). Овај трошак је потребно упоредити са трошком замене искључиво након прегоревања сијалица. Функција обнављања М(n) или очекивани број замена сијалица до тренутка n, закључно са њим, је решење једначине n 1 M(n) = F X (n) + p k M(n k), n = 1,2,3,. k=1 Ова једначина се добија применом особина условног очекивања у односу на σ-алгебру генерисану случајном променљивом X 1 која представља трајање прве сијалице. У том смислу је M(n) = EN(n) = E[E(N(n) X 1 )]. 12

= E E(N(n) X 1 = k)i {X1 =k} k=1 = E(N(n) X 1 = k)p{x 1 = k} = k=1 E[N(n)I {X1 =k}] k=1 P{X 1 = k} = E[N(n)I {X1 =k}]. k=1 P{X 1 = k} Ако сијалица прегори после тренутка n, онда нема замена током периода {1, 2,..., n}. Са друге стране, ако сијалица прегори у тренутку k < n, онда се очекивани број замена сијалица M(n k) током периода {k + 1, k + 2,..., n} повећава за један. На основу претходне формуле, имајући у виду да је M() =, следи M(n) = E[N(n)I {X1 =k}] + E[N(n)I {X1 =k}] k=n+1 n k=1 = E(N(n) X 1 = k)p{x 1 = k} k=n+1 n + E(N(n) X 1 = k)p{x 1 = k} k=1 = p k + E[1 + N(n k)]p k k=n+1 n n k=1 = p k + M(n k)p k k=1 n 1 k=1 n 1 = F X (n) + p k M(n k), k=1 где је F X функција расподеле случајне променљиве X 1. На тај начин се може одредити M(1) = F X (1), M(2) = F X (2) + p 1 M(1), M(3) = F X (3) + p 1 M(2) + p 2 M(1) и тако даље. 13

1.4. Хомогени Пуасонов процес као процес обнављања Хомогени Пуасонов процес представља специјалан случај процеса обнављања. То је једини процес обнављања чија је функција обнављања линеарна. Пуасонов процес је такође једини процес обнављања који има својство Маркова. Од значаја су долазна времена Пуасоновог процеса W 1, W 2, W 3,, односно случајни тренуци реализација догађаја чији број описује Пуасонов процес. Претпоставимо да је = W < W 1 W 2 Може се доказати да у случају хомогеног Пуасоновог процеса са интензитетом λ >, у претходном изразу уместо релације важи релација < скоро извесно. Хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ се може представити у функцији његових долазних времена, тако да је N() = sup{i 1: W i },, при чему је W = и W n = X 1 + X 2 +... +X n, n 1, где су {X i, i 1} независне случајне променљиве са истом експоненцијалном расподелом са параметром λ. Како су случајне променљиве са експоненцијалном расподелом скоро извесно позитивне, следи да је W i < W i+1 скоро извесно за свако i. Овај закључак је у складу са полазном претпоставком да се у било ком тренутку не може реализовати више од једног догађаја. У наставку ће бити доказано да долазна времена Пуасоновог процеса имају гама расподелу. Случајна променљива X има гама расподелу са параметрима n N и λ >, тј. X: Gamma(n, λ) ако је њена густина расподеле, x, g(x) = λ n (n 1)! xn 1 e λx, x >. Одговарајућа функција расподеле је, x, F(x) = 1 e λx n 1 k= (λx) k, x >. k! Следеће тврђење доказује да претходно дефинисана случајна променљива W n, n 1 има гама расподелу са параметрима n N и λ >. 14

Лема 1.4.1. Нека је {X i, i 1} низ независних случајних променљивих са истом експоненцијалном расподелом са параметром λ > и нека је W n = X 1 + X 2 +... +X n, n 1. Тада случајна променљива W n има гама расподелу са параметрима n N и λ >. Доказ: На основу дефиниције случајних променљивих W n, важи W 1 = X 1, W 2 = X 1 + X 2, W n = X 1 +... +X n. На основу тога је X 1 = W 1 > скоро извесно, X 2 = W 2 W 1 > скоро извесно, X n = W n W n 1 > скоро извесно. Јакобијан овог пресликавања је J = 1-1 1-1 1 = 1. На основу претпоставке о независности случајних променљивих расподеле случајног вектора (W 1,..., W n ) је g W 1,,W n w 1,..., w n = g (X1,,X n )(w 1, w 2 w 1,..., w n w n 1 ) J = g X1 (w 1 ) g X2 (w 2 w 1 )... g Xn (w n w n 1 ) = λe λw 1 λe λ(w 2 w 1)... λe λ(w n w n 1 ) = λ n e λw n, X i, i 1, густина при чему је (w 1,..., w n ) из области D, где је D = {(w 1,..., w n ): w n >, w n 1 (, w n ), w n 2 (, w n 1 ),..., w 2 (, w 3 ), w 1 (, w 2 )}. Према томе, маргинална густина расподеле случајног вектора (W 2,..., W n ) је w 2 g (w 2,,w n ) (w 2,..., w n ) = g (W 1,,W n )(w 1,, w n )dw 1 док је густина расподеле случајног вектора (W 3,..., W n ) = λ n e λw n w 2, 15

w 3 g (w 3,,w n ) (w 3,..., w n ) = g (W 2,,W n )(w 2,, w n )dw 2 w 3 = λ n e λw n w 2 dw 2 = λ n e λw n w3 2 2. Настављајући овај поступак добија се густина расподеле случајне променљиве W n, n N облика g W n (w n ) = λ n e λw n w n n 1 (n 1)!, w n >, односно случајна променљива W n (n N) има гама расподелу са параметрима n и λ. Следећа теорема је позната као Теорема о хомогеном Пуасоновом процесу као процесу обнављања. Теорема 1.4.1. 1) Процес обнављања N = {N(), } дефинисан изразом N() = sup{i 1: W i },, при чему је W = и W n = X 1 + X 2 +... +X n, n 1, где су {X i, i 1} независне случајне променљиве са истом експоненцијалном расподелом са параметром λ >, je хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ >. 2) Нека је N = {N(), } хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ > и нека су = W < W 1 < W 2 скоро извесно, његова долазна времена. Тада је процес N одређен изразом N() = sup{i 1: W i }, и низ {W i, i 1} је облика W n = X 1 + X 2 +... +X n, n 1, где су случајне променљиве {X i, i 1} независне и имају исту експоненцијалну расподелу са параметром λ >. Доказ: Да би се доказало да је процес обнављања дефинисан у 1) хомогени Пуасонов процес, треба доказати да он има све четири особине Дефиниције 1.1.4, тј. треба доказати да је N() = скоро извесно, да скоро све трајекторије имају cádlág особину, тј. да су са вероватноћом 1 трајекторије {N(, ω), } процеса N непрекидне с десна за свако и имају коначну граничну вредност с лева у свакој тачки >. Такође треба показати да за свако s < <, прираштаји N(s, ] процеса N имају Пуасонову расподелу са параметром λ( s), као и то да за свако n N и за свако = < 1 < < n, прираштаји N( i 1, i ] представљају независне случајне променљиве за свако i {1,2,, n}. Како је W 1 > W =, следи да се први од догађаја чији број описује процес N десио после почетног тренутка. Према томе, важи да је N() = скоро извесно. 16

Нека је w Ω фиксирани исход. На Слици 1.3. је приказана трајекторија процеса која одговара исходу w. N(, w ) 2 1 W 1 (w ) W 2 (w ) W 3 (w ) Слика 1.3. Типична трајекторија процеса N Скоро све трајекторије процеса N су степенасте функције које крећу из нуле. Оне су константне на интервалима [W i 1, W i ), i 1, док у тачкама W i имају скокове величине 1. То значи да, по дефиницији процеса N, трајекторије у свакој тачки имају коначан лимес са леве стране и непрекидне су са десне стране. Следи да трајекторије имају cádlág особину. Да би се доказало да случајна променљива N(), за фиксирано >, има Пуасонову расподелу са параметром λ примењује се релација (1.2), односно основна релација за низ обнављања {W n, n 1} и процес обнављања {N(), }, а то је {N() n} = {W n }. Тада је P{N() = n} = P{N() n} P{N() n + 1} = P{W n } P{W n+1 } = F Wn () F Wn+1 (),. На основу Леме 1.4.1. следи да је W n : Gamma(n, λ) и W n+1 : Gamma(n + 1, λ), тако да је P{N() = n} = 1 e λ n 1 k= (λ) k (1 e λ k! 17 n k= тј. N(), > има Пуасонову расподелу са параметром λ. (λ) k k! (λ)n λ ) = e, n N n!, У наставку ће бити доказано да, за свако n N и за свако = < 1 < < n, прираштаји N( i 1, i ] представљају независне случајне променљиве за свако i {1,2,, n}. Треба доказати следеће: P{N() = k, N(, + h] = l} (а) = P{N() = k} P{N(, + h] = l} (б)

= P{N() = k} P{N(h) = l} (в) = e λ(+h) (λ)k k! (λh)l,, h >. (г) l! На основу расподеле случајне променљиве N(), > важи да је (в)=(г). Најпре ће бити доказано да је (а)=(г) и тиме се доказује независност прираштаја. Затим ће из те релације бити изведен закључак о стационарности прираштаја, тј. (б)=(в). 1. Најпре ће бити разматран случај када је k=l=. Нека је догађај А = {N() =, N(, + h] = } и догађај B = {N( + h) = }. Тада важи P(A) = P(B), тј. P{N() =, N(, + h] = } = P{N( + h) = } = e λ(+h),, h >. 2. Нека је k 1, l=. Тада је P{N() = k, N(, + h] = } = P{N() = k, N( + h) = k} = P{W k < W k+1, W k + h < W k+1 } = P{W k, + h < W k+1 }. Случајна променљива W k+1 се може представити као W k+1 = X 1 +... +X k + X k+1 = W k + X k+1, при чему су случајне променљиве W k и X k+1 независне јер су {X i, i 1} независне и имају следеће расподеле: W k : Gamma(k, λ) и X k+1 : ε(λ). На основу тога следи P W k, + h < W k + X k+1 = = dw k +h w k = λk+1 k 1 w k (k 1)! = λk+1 (k 1)! = λk w k k 1 λ k (k 1)! k (k 1)! e λ(+h) k чиме је доказано (а) = (г). w k 1 k e λw k λe λx k +1dx k+1 e λw k dw k e λx k +1 +h w k dx k+1 e λw k 1 λ e λ(+h w k ) dw k = (λ)k = e λ(+h), k! λk (k 1)! e λ(+h) k 1 w k 3. Нека је k 1, l 1. Тада је P{N() = k, N(, + h] = l} = P{N() = k, N( + h) = k + l} = P{W k < W k+1, W k+l + h < W k+l+1 } = EI{W k < W k+1, W k+l + h < W k+l+1 } = EI{W k < W k+1 + h, W k+l + h < W k+l+1 }. dw k 18

На основу особине условног математичког очекивања EX = E[E(X G )], где је G σ-алгебра и G F, следи да је EI{W k < W k+1 + h, W k+l + h < W k+l+1 } = E[E(I{W k < W k+1 + h} I{W k+l + h < W k+l+1 }) G(W k, W k+1 )] = E[ I{W k < W k+1 + h} P{W k+l + h < W k+l+1 } G(W k, W k+1 )]. Како је W k+1 = X 1 + X 2 +... +X k + X k+1, може се закључити да је G(W k, W k+1 ) = G(X 1, X 2,..., X k, X k+1 ) = G(W k+1 ), тј. минимална σ-алгебра генерисна случајним променњивим W k и W k+1 се поклапа са минималном σ-алгебром генерисаном случајном променљивом W k+1. Тада је E[I{W k < W k+1 + h} P{W k+l + h < W k+l+1 } G(W k, W k+1 )] = E[I{W k < W k+1 + h} P{W k+l W k+1 + h W k+1 < W k+l+1 W k+1 } G(W k+1 )]. Случајна променљива W k+l W k+1 = X k+2 + X k+3 +... +X k+l (1.8) има исту расподелу као X 1 + X 2 +... +X l 1 = W l 1, док случајна променљива W k+l+1 W k+1 = X k+2 + X k+3 +... +X k+l + X k+l+1 (1.9) има исту расподелу као X 1 + X 2 +... +X l = W l. Случајне променљиве (1.8) и (1.9) су независне од W k+1, а самим тим и од σ-алгебре G(W k+1 ). Са друге стране, израз + h W k+1 зависи од G(W k+1 ). Због тога се уводи процес N који је независна копија процеса N. То значи да N има исту фамилију коначнодимензионалних расподела као процес N, али је независан од њега, а самим тим и од његовог долазног времена W k+1. На основу тога следи да је P N = k, N, + h = l = = E[I{W k < W k + X k+1 + h} P{N ( + h W k X k+1 ) = l 1 G(W k+1 )}] = dw k = λk +h w k w k λ l λ k (k 1)! w k k 1 e λw k λe λx k +1e λ(+h w k x k +1 ) [λ( + h w k x k+1 )] l 1 (k 1)! (l 1)! e λ(+h) k 1 w k dw k ( + h w k x k+1 ) l 1 = λk λ l +h w k (k 1)! (l 1)! e λ(+h) k 1 w k dw k u l 1 19 (l 1)! dw k+1 w k h (λ)k λ(+h) du = e k! (λh) l. l! dx k+1

Према томе, у сва три случаја важи (а) = (г). Сада ће бити доказано да важи релација (б) = (в). Применом претходно доказане релације се добија P N, + h = l = P N, + h = l, Ω = P N, + h = l, = P{N() = k, N(, + h] = l} = e k= (λh)l λ(+h) = e l! k= (λ) k k! k= k= λ(+h) (λ)k N = k k! (λh)l λh = e = P{N(h) = l}, l! (λh)l l! односно процес N има независне и стационарне прираштаје. Како важе све особине Дефиниције 1.1.4, следи да процес N јесте Пуасонов процес, чиме је доказано тврђење 1) теореме. Нека је N = {N(), } хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ >. Тада се он може представити као N() = sup{i 1: W i },, где су W i случајни тренуци у којима се реализују догађаји чији број описује тај процес. Такође, треба доказати да се случајне променљиве W i могу изразити као W i = X 1 +... +X i, где су {X i, i 1} независне случајне променљиве са истом експоненцијалном расподелом са параметром λ >. За долазна времена Пуасоновог процеса важи = W < W 1 < скоро извесно. У наставку ће бити доказано, применом математичке индукције да случајне променљиве X i, i 1 имају тражене особине. Нека је n = 1. Тада за свако важи P{X 1 > } = P{W 1 W > } = P{W 1 > } = P{N() = } = e λ. Функција расподеле случајне променљиве X 1 је F X1 () = P{X 1 } = 1 e λ, тако да она има експоненцијалну расподелу са параметром λ. Нека је n = 2. Тада је, за свако s,, P X 2 > X 1 = s = P W 2 W 1 > X 1 = s = P{N(s, s + ] = } = P{N() = } = e λ. Како овај израз не зависи од s, следи да су X 1 и X 2 независне случајне променљиве и притом X 2 има експоненцијалну расподелу са параметром λ. Претпоставимо да тврђење важи за случајне променљиве X 1, X 2,..., X k, тј. нека су оне независне и са истом експоненцијалном расподелом са параметром λ. Биће доказано да исто тврђење важи за случајне променљиве X 1, X 2,..., X k+1. За s 1, s 2,..., s k и, важи да је P X k+1 > X 1 = s 1, X 2 = s 2,..., X k = s k = P W k+1 W k > W k = s = P{N(s, s + ] = } = e λ, при чему је s = s 1 + s 2 + + s k. 2

Дакле, случајна променљива X k+1 има експоненцијалну расподелу са параметром λ и независна је од случајних променљивих X 1, X 2,..., X k. На основу Теореме 1.4.1, Пуасонов процес са параметром λ је процес обнављања чија међудолазна времена имају експоненцијалну расподелу са параметром λ, тако да је њихова функција расподеле F(x) = 1 e λx, x. Имајући у виду то тврђење могу се прецизније одредити неке карактеристике Пуасоновог процеса, као што су функција обнављања, вишак трајања, тренутно и укупно трајање. Функција обнављања Случајна променљива N(), за фиксирано >, има Пуасонову расподелу, тј. P{N() = k} = (λ)k e λ, k =,1,. k! Функција обнављања хомогеног Пуасоновог процеса је M() = E[N()] = λ,. Вишак трајања Вишак трајања у тренутку је већи од вредности x ако и само ако у интервалу (, + x] нема обнављања (Слика 1.4.). Овај догађај има исту вероватноћу као догађај да нема обнављања у интервалу (, x], због тога што Пуасонов процес има стационарне прираштаје. На основу наведеног следи P{γ > x} = P{N( + x) N() = } = P{N(x) = } = e λx. (1.1) Према томе, код Пуасоновог процеса, вишак трајања такође има експоненцијалну расподелу са параметром λ, одређену функцијом расподеле P{γ x} = 1 e λx, x. (1.11) 21

Слика 1.4. Вишак трајања γ је већи од x ако и само ако нема обнављања у интервалу (, + x] Тренутно трајање Тренутно трајање δ се дефинише као δ = W N(), што значи да δ не може бити веће од, док је, за x <, тренутно трајање веће од x ако и само ако нема обнављања у интервалу ( x, ], а вероватноћа тог догађаја је е λx. Стога, тренутно трајање има сечену експоненцијалну расподелу, одређену функцијом расподеле P{δ x} = 1 e λx, x <, (1.12) 1, x. Средња вредност укупног трајања Случајна променљива која представња укупно трајање је β = γ + δ, а средња вредност ове ненегативне случајне променљиве је E[β ] = E[γ ] + E[δ ] = 1 λ + P{δ > x} dx = 1 λ + e λx dx = 1 λ + 1 λ (1 e λ ). Потребно је уочити да је средња вредност укупног трајања знатно већа од средње вредности 1 λ = E[X k] било ког међудолазног времена, а приближно је двоструко већа од средње вредности међудолазних времена када процес дуго траје, односно када неограничено расте. 22

Заједничка расподела случајних променљивих γ и δ За било које x > и < y <, догађај {γ > x, δ > y} се реализује ако и само ако у интервалу ( y, + x] нема обнављања. Применом особине стационарности прираштаја Пуасоновог процеса, може се закључити да је вероватноћа тог догађаја P{N( + x) N( y) = } = P{N(x + y) = } = e λ(x+y). Тада је P{γ > x, δ > y} = e λ(x+y), x >, < y <, (1.13), y. Код Пуасоновог процеса γ и δ су независне случајне променљиве имајући у виду да је њихова заједничка функција расподеле једнака производу маргиналних функција расподела. 23

Глава 2 Асимптотско понашање процеса обнављања За разлику од Пуасоновог процеса чије се многе карактеристике експлицитно могу одредити, код произвољног процеса обнављања N = {N(), } се у општем случају наилази на потешкоће у експлицитним израчунавањима. Међутим, постоје многе једноставне формуле које, за велике вредности, описују асимптотско понашање општег процеса обнављања. У овом поглављу су сумирани неки од асимптотских резултата за процесе обнављања. 2.1. Основна теорема за процесе обнављања Пуасонов процес је једини процес обнављања са непрекидним параметарским скупом чија је функција обнављања M() = E[N()] линеарна. Све остале функције обнављања су асимптотски линеарне, односно lim M() E[N()] = lim = 1 μ, (2.1) где је μ = E[X i ] средња вредност међудолазних времена {X i, i 1}. Овај фундаментални резултат је познат као Основна теорема за процесе обнављања и од великог је значаја за проучавање дугорочног понашања стохастичких модела који се заснивају на процесима обнављања. Основна теорема за процесе обнављања (2.1) важи чак и када међудолазна времена имају бесконачну средњу вредност, и тада је 24

M lim = 1 =. Основна теорема обнављања је интуитивно јасна и често се сматра очигледном. Израз lim M описује дугорочно понашање средњег броја обнављања по јединици времена. Количник 1 је реципрочна вредност математичког очекивања међудолазних времена μ реализација догађаја, при чему се ти догађаји реализују у случајним тренуцима. На пример, ако је трајање компоненте неког система у просеку μ временских јединица, на основу (2.1) следи да ће, дугорочно посматрано, број замена компонената бити 1 μ по јединици времена. Међутим, иако убедљив, овај аргумент није очигледан и да би се Основнa теорема за процесе обнављања доказала потребно је неколико корака математичке анализе, почев од закона великих бројева. Теорема 2.1.1. (Закон великих бројева за процесе обнављања) Претпоставимо да међудолазна времена {X i, i 1} процеса обнављања N = {N(), } имају коначно математичко очекивање EX 1 = μ = 1 <. Тада је λ N() lim = λ скоро извесно. Доказ: Догађаји {N() = n} и {W n < W n+1 } су еквивалентни за свако n N. Према томе, важи неједнакост W N() N() N() < W N()+1, >, N() која се еквивалентно може представити у облику W N() N() N() < W N()+1 N() + 1 Дефинишимо случајну променљиву Z N() на следећи начин N() + 1, >. (2.2) N() Z N() = W N() N(). Случајне променљиве {X i, i 1} су независне, имају исту расподелу и коначно математичко очекивање, тако да за њих важи строги закон великих бројева, тј. важи да Z n = W n n = 1 n n i=1 X i с.и. 1 n n i=1 ЕX i = 1 n nex 1 = 1 λ, n. Да би се применила Лема 1.1.1, потребно је најпре уочити да за процес обнављања N = {N(), } важи lim N() = + скоро извесно. 25

Тада на основу Леме 1.1.1. следи lim Z N() = 1 λ тако да је, на основу релације (2.2), скоро извесно, 1 λ = lim W N() N() = lim inf W N() N() lim lim sup inf N() lim sup W N()+1 N() + 1 N() + 1 N() На основу претходне релације се може закључити да је тј. lim N() = 1 λ скоро извесно, N() 1 λ. N() lim = λ скоро извесно. Хомогени Пуасонов процес са интензитетом λ задовољава све услове претходне теореме, што значи да и за њега важи строги закон великих бројева. је На основу претходне теореме следи да је E lim N() EN() liminf limsup EN(). = λ. Са друге стране, важи да Применом претходне релације и Фатуове леме, може се закључити да је N() λ = Е lim = Е lim inf N() liminf EN() limsup EN(). EN () EN () Према томе, ако се докаже да је lim sup λ, одатле следи lim = λ, односно релација (2.1). Теорема 2.1.2.(Основна теорема за процесе обнављања) Претпоставимо да међудолазна времена {X i, i 1} процеса обнављања N = {N(), } имају коначно математичко очекивање EX 1 = μ = 1 <. Тада је λ 26

EN() lim = λ. Доказ: Као што је већ наведено, довољно је доказати да је EN() limsup λ. У том смислу се дефинишу случајне променљиве X (b) i као X i (b) = min{x i, b}, i 1, b >. За свако i 1, важи да је X i (b) X i. Притом су X i (b), i 1 независне случајне променљиве са истом расподелом, што се може закључити на основу особина случајних променљивих X i, i 1. Нека је W (b) = и W i (b) = X 1 (b) +... +X i (b), i 1. Тада је W i (b), i 1 низ обнављања за који важи W i (b) W i, за свако i 1. Одговарајући процес обнављања је при чему је N (b) () N(), и N (b) () = sup{i 1: W i (b) },, (b) W N (b ) () = X (b) (b) 1 +... +X N (b ) (). (2.3) Нека је F n = σ X i (b), i n, n 1 природна филтрација низа случајних променљивих X i (b), i 1 и нека је τ случајна променљива са ненегативним целобројним вредностима. Она је време заустављања ако је {τ = n} F n, за свако n. На основу Теореме 1.1.1. (Валдов идентитет) важи да је E τ i=1 X i (b) = Eτ EX 1 (b). Дакле, да би се доказало тврђење теореме потребно је наћи одговарајуће време заустављања τ. Упоређивањем претходне једнакости са релацијом (2.3), закључује се да би требало испитати да ли је N (b) () време заустављања у односу на дату филтрацију. Како је {N (b) () = n} = {W (b) n < W (b) n+1 } = {X (b) 1 +... +X (b) n < X (b) 1 +... +X (b) n+1 }, што не припада F n, следи да N (b) () није време заустављања у односу на дату филтрацију, али N (b) () + 1 јесте, што се може закључити из релације {N (b) () + 1 = n} = {N (b) () = n 1} = {X (b) 1 +... +X n 1 < X (b) 1 +... +X (b) n } F n, n 1. На основу Валдовог идентитета следи да је E N (b ) ()+1 i=1 што је еквивалентно са релацијом X i (b) (b) = E N (b) () + 1 EX 1 (b), 27

E X (b) (b) 1 +... +X N (b ) () (b) + X N (b ) ()+1 = EN (b) ()EX 1 (b) + EX 1 (b), односно (b) E W N (b ) () (b) + E X N (b ) ()+1 = EN (b) ()EX 1 (b) + EX 1 (b). Како случајне променљиве X i (b), i 1 имају исту расподелу, важи да је (b) E X N (b ) ()+1 = EX 1 (b). На основу тога следи да је (b) E W N (b ) () = EN (b) ()EX 1 (b) + EX 1 (b). Према томе, (b) EN() lim sup lim sup EN(b) () E W N (b = lim sup ) () (b) EX 1 lim sup (b) EX 1 = 1 (b) EX. 1 Низ X 1 (b), b > је растући, при чему је lim b X 1 (b) = X 1. Према услову теореме важи да је EX 1 = 1 λ <, тако да на основу Теореме о монотоној конвергенцији важи да је Тада је што је и требало показати. lim EX (b) (b) b 1 = E lim X b 1 = EX 1 = 1 λ. EN() 1 lim sup lim b (b) EW = λ, 1 Пример 2.1.1. (Политика замене компонената на основу њихове старости) Нека случајне променљиве X 1, X 2, представљају времена исправног рада компонената (сијалица, графичких картица, машина, итд.) које се сукцесивно стављају у употребу, а следећа компонента почиње да ради одмах након отказивања претходне. Случајне променљиве {X i, i 1} су независне, позитивне са истом расподелом и са коначном средњом вредношћу μ = Е[X i ]. Основна теорема за процесе обнављања нам говори да ће очекивани број замена компонената, дугорочно посматрано, бити 1 μ по јединици времена. Другим речима, свака стратегија замене која подразумева замену компонената пре њиховог отказа користиће више од 1 μ компонената по јединици времена. Ипак, тамо где постоји нека добит у избегавању неуспеха у раду и где се квалитет рада компонената погоршава у неком смислу, током времена, може постојати економска предност или поузданост у разматрању алтернативних стратегија замене. Телефони или утичнице служе као добре илустрације овог концепта. Јасно је да је неповољно дозволити да ове компоненте не раде због оштећења жица којима су повезане, оштећења пратеће опреме, 28

повремених трошкова на име хитних замена и губитака који могу настати док је сервис смањен. Због тога се обично замењују старије компоненте пре квара. Други примери планиране замене појављују се у стратегијама превентивног одржавања авиона, где се време изражава у броју радних сати. Политика замене компонената на основу њихове старости захтева замену компоненте након њеног отказа или када достигне старост T, у зависности од тога који од ова два догађаја наступи први. Интуитивно, очекује се да ће, дугорочно посматрано, део замена извршених услед отказа компонената пре тренутка T бити F(T), а одговарајући део планираних замена, тј. замена извршених због тога што су компоненте достигле старост T, ће бити 1 F(T). Интервал обнављања за ову модификовану политику замене компонената на основу њихове старости очигледно има функцију расподеле F T (x) = F(x), x < T, 1, x T, а средње трајање обнављања је μ T = {1 F T (x)} dx = {1 F(x)} dx < μ. Основна теорема за процесе обнављања указује на то да се, дугорочно посматрано, средња стопа замене компонената на основу њихове старости повећава на 1 μ Т. Сада, нека случајне променљиве Y 1, Y 2, означавају времена између узастопних отказа. Случајна променљива Y 1 се састоји од случајног броја временских интервала дужине T (који одговарају заменама компонената које нису отказале), и последњег временског интервала чија расподела је условна расподела настанка отказа под условом да се то догодило пре старости T. Тада случајна променљива Y 1 има исту расподелу као NT + Z, где је P{N k} = {1 F(T)} k, k =,1,, и Стога, E[Y 1 ] = 1 F(T) P{Z z} = F(z) F(T), z T. T T[1 F(T)] + (F(T) F(x))dx T = 1 F(T) T {1 F(x)} dx = μ T F(T). Низ случајних променљивих {Y i, i 1} генерише процес обнављања чија је средња брзина отказа по јединици времена, дугорочно посматрано, 1/E[Y 1 ]. Овај закључак се поново ослања на Основну теорему за процесе обнављања. У зависности од F, модификована стопа замене 1/E[Y 1 ] може евентуално резултирати нижом стопом замене од стопе 1/μ, која одговара случају када се замене врше искључиво након отказа. Претпоставимо да свака замена, без обзира да ли је планирана или не, кошта K долара и да сваки отказ доноси додатни трошак од c долара. Множење ових трошкова 29

одговарајућим стопама замена представља средњи трошак по јединици времена, дугорочно посматрано, као функцију старости T, односно C(T) = K + c μ T E[Y 1 ] = K + cf(t) T. [1 F(x)]dx У свакој ситуацији, директним израчунавањем или помоћу нумеричких метода може се одредити вредност T која минимизира дугорочну стопу трошкова. На пример, ако је K = 1, c = 4 и ако случајне променљиве {Y i, i 1} имају униформну расподелу на интервалу [,1], онда је F(x) = x за x 1, T [1 F(x)]dx = T 1 1 2 T и C(T) = 1 + 4T T(1 T/2). Да би се одредило време T за које су трошкови минимални, потребно је диференцирати функцију C(T) у односу на T и извод изједначити са, тј. dc(t) 4T(1 T/2) (1 + 4T)(1 T) = = dt [T(1 T/2)] 2. Тада се T одређује као решење једначине = 4T 2T 2 1 + T 4T + 4T 2, односно = 2T 2 + T 1, тако да је T = 1 ± 1 + 8 = 1 4 2, 1, чиме се добија оптимални избор T = 1. На тај начин се може закључити да је минимални 2 трошак C(T ). 2.2. Теорема обнављања за непрекидна међудолазна времена Као што је већ поменуто, Основна теорема за процесе обнављања тврди да је: M lim На основу претходне релације се може закључити да се функција М() понаша као /μ када неограничено расте. = 1 μ. 3

На пример, претпоставимо да су сва међудолазна времена процеса обнављања чија је функција обнављања M(),, детерминистичка, рецимо Х k = 1 за k = 1,2, Тада је једноставно израчунати: M() = N() =, < 1, = 1, 1 < 2, = k, k < k + 1. Према томе, M() = [], где [] означава цео део броја. Како је μ = 1 у овом примеру, следи да је M() /μ = [] функција која бесконачно осцилује између и -1. Иако у овој илустрацији важи да је M()/ = []/ 1 = 1/μ, није јасно у ком смислу се M(),,понаша као" /μ. Ако се искључи периодично понашање које је представљено овим детерминистичким примером, онда се M() понаша као /μ у смислу описаном теоремом обнављања, што ће бити објашњено у наставку. Нека M(, + h] = M( + h) M() означава средњи број обнављања у интервалу (, + h]. Теорема обнављања тврди да, када је периодично понашање искључено, важи lim M(, + h] = h μ за било које фиксирано h >. (2.4) Другим речима, у асимптотском смислу средњи број обнављања у једном интервалу је пропорционалан дужини интервала, са константом пропорционалности 1/μ. Ова теорема позната је као Блеквелова теорема. Још једна ситуација у којој се може применити теорема обнављања (2.1) настаје када су међудолазна времена X 1, X 2, случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа које имају густину расподеле f(x). У овом случају, функција обнављања је диференцијабилна и важи m() = dm() d 31 = f n (), (2.5) где је f n () густина расподеле случајне променљиве W n = X 1 + + X n, n N. Сада се релација (2.4) може записати у облику M( + h) M() h n=1 1 μ,, која, када је h мало, указује на то да је: dm() lim m() = lim = 1 d μ, (2.6) и заиста, то је случај у скоро свим, осим у најекстремнијим околностима, када су X 1, X 2,..., случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа. Ако се поред претпоставке да су међудолазна времена X 1, X 2,..., случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа, укључе и претпоставке да имају коначну средњу вредност μ и коначну дисперзију σ 2, онда теорема обнављања добија другачији облик. Под наведеним условима важи lim M() x μ = σ2 μ 2 2μ 2. (2.7)

Функција M() је неопадајућа за тако да се она може схватити као мера на Бореловој σ-алгебри која је генерисана интервалом [, +). Та мера се назива мера обнављања. У том смислу је од значаја појам директне Риман-интеграбилности. Дефиниција 2.2.1. Носач функције са реалним вредностима је скуп тачака њеног домена у којима та функција има вредност различиту од нуле. Дефиниција 2.2.2. Класа директно Риман-интеграбилних функција на интервалу [, +) обухвата: 1) Риман-интеграбилне функције на том интервалу које имају компактан носач; 2) нерастуће и ненегативне Риман-интеграбилне функције. Теорема 2.2.1.(Кључна теорема обнављања) Ако је f директно Риман-интеграбилна функција и M мера обнављања, тада је f( s)dm(s) λ + f(s)ds, +. Показаћемо да је Блеквелова теорема специјалан случај Кључне теореме обнављања када је f(x) = I [,h] (x), h >. У том смислу, нека је > h. Тада је О f( s)dm(s) = I [,h] ( s)dm(s) = dm(s) = M( h, ], >. Из претходне релације следи да је M( h, ] = f( s)dm(s) λ + h + f(s)ds = λ I [,h] (s)ds = λ ds = λh, +. Претходна релација представља тврђење Блеквелове теореме, чиме је доказано да је управо та теорема специјалан случај Кључне теореме обнављања. h 2.3. Смитова теорема обнављања У овом поглављу се разматрање односи на случај када су међудолазна времена процеса обнављања случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа. Најпре ће бити уведен још један битан појам теорије обнављања, а то је једначина обнављања. Једначина обнављања је, у овом случају, облика U() = u() + U( y)df W 1 (y),. 32

Све функције у овом изразу су дефинисане на [, +) при чему је U непозната функција, u је позната функција и F W 1 је функција расподеле међудолазних времена процеса обнављања, с обзиром на то да је W 1 = X 1, при чему случајне променљиве X i имају исту расподелу за i 1. Следећи циљ је одређивање функције U, тј. одређивање решења једначине обнављања. Теорема 2.2.2. (Смитова теорема обнављања) 1) Ако је функција u ограничена на сваком коначном интервалу, тада је U() = u( s)dm(s), јединствено решење једначине обнављања у класи свих функција на (, +) које су ограничене на коначним интервалима. Интеграл на десној страни ове једнакости се може представити у облику u( s)dm(s), уз услов u(s) = M(s) =, s <. 2) Уз претпоставку да је функција u директно Риман-интеграбилна, важи да је lim U() = λ + + u(s) ds. Доказаћемо да функција обнављања задовољава једначину обнављања што оправдава њен назив. На основу релације (1.5) важи да је: M() = E[N()] = P{W k } k=1 = P{(W k W 1 ) + W 1 } k=1 = P{W k 1 + x }df W 1 (x) k=1 = [P{W x} + P{W k x} ]df W 1 (x) k=1 = [1 + M( x)]df W 1 (x) 33

= F W 1 () + M( x)df W 1 (x),. Тиме је доказано да функција обнављања задовољава једначину обнављања. 2.4. Асимптотска расподела случајне променљиве N() Основна теорема за процесе обнављања E[N()] lim = 1 (2.8) μ подразумева да је, у асимптотском смислу, функција средње вредности процеса обнављања N(), приближно једнака /μ. Када су вредности μ = Е[X k ] и σ 2 = D[X k ] = Е[(X k μ) 2 ] коначне, дисперзија случајне променљиве N() се асимптотски понаша у складу са релацијом D[N()] lim = σ2 μ 3, (2.9) то јест, у асимптотском смислу дисперзија случајног процеса N(), је приближно једнака σ 2 /μ 3. Ако се стандардизује случајна променљива N(), тако што се одузме њена асимптотска средња вредност и та разлика подели њеном асимптотском стандардном девијацијом, добија се следећа конвергенција ка случајној променљивој са нормалном нормираном расподелом: lim P N() μ x = σ 2 /μ 3 1 2π x e y2 2 Другим речима, за велике вредности број обнављања N() има приближно нормалну расподелу са средњом вредношћу и дисперзијом датим у (2.8) и (2.9), респективно. dy. 2.5. Гранична расподела тренутног трајања и вишка трајања Нека су међудолазна времена X 1, X 2,..., процеса обнављања случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа са коначном средњом вредношћу μ. Нека је γ = W N()+1 вишак трајања у односу на тренутак. Вишак трајања, у асимптотском смислу, има следећу расподелу: lim P{γ x} = 1 μ 34 x [1 F(y)]dy. (2.1)

Десна страна једнакости (2.1) одређује функцију расподеле, која ће бити означена са H(x). Одговарајућа густина расподеле је h(y) = μ 1 [1 F(y)], y >. Математичко очекивање случајне променљиве којој одговара ова гранична густина расподеле је yh(y)dy = 1 μ = 1 μ = 1 μ = 1 2μ y[1 F(y)]dy y f()ddy f() y dy d 2 f()d = σ2 + μ 2 2μ, где је σ 2 дисперзија међудолазних времена X 1, X 2,. За одређивање граничне заједничке расподеле тренутног трајања и вишка трајања од значаја је релација {γ x и δ y} ако и само ако {γ y x + y}. (2.11) Из тога следи да је изразом lim P{γ x, δ y} = lim P{γ y x + y} = μ 1 [1 F(z)]dz, одређена гранична заједничка расподела случајних променљивих γ и δ. На основу ње се може одредити гранична маргинална расподела тренутног трајања lim P{δ y} = lim P{γ, δ y} = μ 1 [1 F(z) ]dz = 1 H(y). y x+y 35

Глава 3 Генерализације и варијације процеса обнављања 3.1. Одложени процеси обнављања Нека су {X k, k 1} независне позитивне случајне променљиве, при чему случајне променљиве X 2, X 3, имају исту расподелу са функцијом расподеле F, док случајна променљива X 1 има другачију функцију расподеле G. Такав процес се назива одложени процес обнављања. Сви његови елементи су исти као код обичног процеса обнављања осим што време до првог обнављања има другачију расподелу у односу на расподеле осталих међудолазних времена. Одложеним процесом обнављања се може моделирати ситуација када компонента која ради у тренутку = није нова, али су све накнадне замене нове. На пример, нека је почетни тренутак одложеног процеса обнављања y временских јединица након почетка обичног процеса обнављања. Тада време до првог обнављања након почетног тренутка код одложеног процеса обнављања има расподелу вишка трајања у тренутку y који одговара обичном процесу обнављања. Као и раније, нека је W = и W n = X 1 + + X n, и нека N() представља број обнављања до тренутка, закључно са њим. Средња вредност одложеног процеса обнављања је M D () = E[N()], (3.1) док је функција обнављања која одговара расподели F M() = k=1 За одложени процес Основна теорема обнављања тврди да је F k (). (3.2) 36

M D () lim = 1 μ, (3.3) где је μ = E[X 2 ], док је тврђење Теореме обнављања lim [M D() M D ( h)] = h μ, под условом да су X 2, X 3, случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа. 3.2. Стационарни процеси обнављања Одложени процес обнављања за који време до првог обнављања X 1 има функцију расподеле x G(x) = μ 1 {1 F(y)}dy, (3.4) назива се стационарни процес обнављања. Нека је процес обнављања почео у бесконачно далекој прошлости. Тада преостало трајање компоненте која ради у почетном тренутку има граничну расподелу вишка трајања у обичном процесу обнављања. Очигледно, G је гранична расподела облика (2.1). Очекивано је да стационаран процес обнављања има бројне особине стационарности, односно инваријантности у времену. За стационаран процес обнављања, на пример, важе особине M D () = E[N()] = μ, и P{γ D x} = G(x),. (3.5) Дакле, релације које за произвољан процес обнављања важе само асимптотски, постају идентитети ако је у питању стационаран процес обнављања и они важе за свако. 3.3. Кумулативни и сродни процеси У овом поглављу се претпоставља да поред низа случајних променљивих {X i, i 1} које представљају међудолазна времена процеса обнављања, постоји још један низ случајних променљивих {Y i, i 1} са истом расподелом. Нека су X i и Y i зависне случајне променљиве и нека су дводимензионалне случајне променљиве (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ), независне. У наставку ће бити коришћене ознаке 37

F(x) = P{X i x}, G(y) = P{Y i y}, μ = E[X i ] и ν = E[Y i ]. Бројни проблеми који су од практичног и теоријског значаја су формулисани на претходно описани начин. Такви су, на пример, процеси обнављања који имају две компоненте у сваком интервалу обнављања. Основна претпоставка је да случајна променљива Y i представља део дужине i-тог интервала обнављања X i. Слика 3.3.1. илуструје такав модел. На слици се случајне променљиве {Y i, i 1} појављују на почетку интервала обнављања, али ова претпоставка не умањује општост резултата који следе. Слика 3.3.1. Процес обнављања са придруженим низом случајних променљивих {Y i, i 1}, које представљају делове интервала обнављања Нека је p() вероватноћа да се налази у делу Y i неког интервала обнављања. Када су X 1, X 2, случајне променљиве апсолутно-непрекидног типа, Теорема обнављања имплицира следећу важну асимптотску релацију lim p() = E[Y 1] E[X 1 ]. (3.6) У наставку ће бити наведени неки конкретни примери. Модел замене Разматра се модел замене у којем замена није тренутна. Нека је Y i време рада i-те компоненте, a Z i период кашњења који претходи инсталацији (i + 1) е компоненте. Кашњење приликом замене се може схватити као период поправке одговарајуће компоненте. Претпостављамо да низ временских интервала између узастопних замена X k = Y k + Z k, k = 1,2,..., чини процес обнављања. Тада p(), односно вероватноћа да систем ради у тренутку, конвергира ка E[Y 1 ]/E[X 1 ]. 38

Питеров принцип,,питеров принцип'' тврди да ће радник бити унапређиван све до достизања позиције у којој је некомпетентан. Када се то деси, особа остаје на том послу до пензионисања. Разматра се следећи модел посла који је у складу са Питеровим принципом: особа је изабрана насумично из популације и запослена. Ако је особа компетентна, она остаје на послу током случајног периода који има кумулативну функцију расподеле F и средњу вредност μ и бива унапређена. Ако је некомпетентна, особа остаје током случајног периода који има кумулативну функцију расподеле G и средњу вредност ν > μ и пензионише се. Када је то радно место слободно, бира се насумично друга особа и процес се понавља. Претпоставимо да је удео компетентних људи у бесконачној популацији p и удео некомпетентних људи q = 1 p. Поставља се питање колико ће се времена, у дугом року, некомпетентна особа налазити на овој позицији. Обнављање се јавља сваки пут када се позиција попуњава, тако да је средње трајање циклуса обнављања E[X k ] = pμ + (1 p)ν. Да би се одговорило на претходно питање, нека је Y k = X k ako је k-тa особа некомпетентна и Y k = ако је k-тa особа компетентна. Тада је, у дугом року, удео времена током којег је некомпетентна особа на позицији E[Y 1 ] E[X 1 ] = (1 p)ν pμ + (1 p) ν. Нека је p = 1 удео компетентних особа у популацији која се разматра и нека је ν = 1, док 2 је μ = 1. Тада je E[Y 1 ] E[X 1 ] = 1 2 1 1 11 =,91. 1 2 1 + 1 = 2 1 Према томе, док је половина људи у популацији компетентна, посао обавља компетентна особа само 9% времена. Кумулативни процеси Нека је Y i трошак или вредност која је придружена i-том циклусу обнављања, при чему је i 1. Сада ће бити разматрана класа проблема који се заснивају на уређеним паровима случајних променљивих {(X i, Y i ), i 1} где X i генерише процес обнављања. У основи разматрања је кумулативни процес N()+1 W() = Y k, k=1 који се алтернативно назива процесом акумулираних трошкова или вредности до тренутка, под претпоставком да се трансакције врше на почетку циклуса обнављања. Тврђење Основне теореме за процесе обнављања у овом случају је 39

1 lim x E[W()] = E[Y 1] μ. (3.7) Ова једнакост оправдава интерпретацију вредности Е[Y i ]/μ као дугорочног средњег трошка или вредности по јединици времена. У наставку ће бити наведено неколико примера кумулативних процеса. Модели замене Нека је Y i трошак i-те замене, при чему је i 1. Претпоставимо да, у складу са стратегијом замене старосног доба, планирана замена у старосном добу Т година кошта c 1 долара, док замена услед квара у време x < Т кошта c 2 долара. Ако је Y k трошак који је настао у циклусу k-те замене, тада је: Y k = c 1са вероватноћом 1 F(T), c 2 са вероватноћом F(T) и E[Y k ] = c 1 [1 F(T)] + c 2 F(T). С обзиром на то да очекивана дужина циклуса замене износи: E[min{X k, T}] = [1 F(x)]dx, може се закључити да трошкови по јединици времена дугорочно износе: c 1 [1 F(T)] + c 2 F(T) T [1 F(x)]dx Применом директног израчунавања или одговарајуће нумеричке методе може се одредити вредност Т која минимизира дугорочну цену по јединици времена. У склопу политике блоковске замене постоји једна планирана замена у току сваког периода од Т јединица времена и, у просеку, М(Т) замена услед квара, тако да је очекивани трошак E[Y k ] = c 1 + c 2 M(T), a средњи трошак по јединици времена је {c 1 + c 2 M(T)}/T. Теорија ризика Основна претпоставка у Теорији ризика је да захтеви за одштете стижу осигуравајућој компанији у складу са процесом обнављања са међудолазним временима X 1, X 2,. Нека је Y k износ k-те штете, при чему је k 1. Тада случајан процес T N()+1 W = Y k, k=1 представља износ укупне штете до тренутка, закључно са њим, а дугорочна средња стопа потраживања је. 4

1 lim E[W()] = E[Y 1] E[X 1 ]. Одржавање тренутне контроле процеса У процесу производње настаје један по један производ. У сваком тренутку такав процес се налази у једном од два могућа стања: под контролом и ван контроле. Ова два стања нису директно приметна. Производња почиње са процесом који је под контролом и остаје под контролом током случајног периода пре него што дође до квара, након чега је процес ван контроле. Обично се користи контролни графикон да би се лакше одредило када се процес налази ван контроле, тако да се могу предузети корективне мере. Поред тога се уводи претпоставка да је квалитет појединачног производа случајна променљива са нормалном расподелом, која има непознату средњу вредност и познату дисперзију σ 2. Ако је процес под контролом, средња вредност је једнака стандардној циљној вредности, односно пројектованој вредности μ. Прекид процеса има за последицу промену средње вредности од стандардне вредности до μ 1 = μ ± δσ, где је δ број јединица стандардне девијације који одређује ту промену. Метода која се заснива на контролном дијаграму Shewhar-а за одржавање контроле процеса, подразумева мерење квалитета производа након производње, а затим графичко представљање квалитета у односу на време. На том графику постоји права која означава циљну вредност μ, изнад и испод ове вредности се налазе праве које одговарају вредностима μ ± kσ, где је k параметар контролне шеме која се користи. Када се уцртане вредности квалитета налазе унутар такозваних акционих линија одређених вредностима μ ± kσ, претпоставља се да процес функционише под контролом, али ако икада тачка буде ван ових линија, претпоставља се да је процес напустио стање,,под контролом и да се спроводи испитивање и поправка. Очигледно, постоје два могућа типа грешака које се могу јавити током контролисања процеса на овај начин: (1) непотребно испитивање и поправка када је процес под контролом, а квалитет се случајно налази изван граница акционих линија; (2) наставак рада са процесом ван контроле јер се квалитети налазе у оквиру акционих линија, такође случајно. У овом случају је основни задатак рационалан избор параметра k, односно одређивање рационалног размака између акционих линија, како би се, у неком смислу, уравнотежиле ове две могуће грешке. Вероватноћа да ће се конкретан квалитет налазити изван акционих линија када је процес под контролом, одређена је одговарајућом облашћу испод криве која одговара густини нормалне расподеле. Ако се ова вероватноћа означи са α, може се закључити да је α = Ф( k) + 1 Ф(k) = 2Ф( k), где је x Ф x = 2π 1 2 e y2 2 dy, xϵr 41

функција расподеле која одговара нормалној нормираној расподели. Репрезентативне вредности су дате у следећој табели: k α 1,645,1 1,96,5 Слично томе, вероватноћа p да ће се једна тачка наћи изван акционих линија, када је процес ван контроле, је p = Ф( δ k) + 1 Ф( δ + k). Нека случајна променљива S означава број производа који су прегледани пре јављања сигнала да је процес ван контроле, под претпоставком да је процес ван контроле. Тада је: P{S = 1} = p, P{S = 2} = (1 p)p, односно, у општем случају важи P{S = n} = (1 p) n 1 p. Према томе, случајна променљива S има геометријску расподелу и њено математичко очекивање је E[S] = 1 p. Нека случајна променљива Т означава број производа који су настали док је процес под контролом. Претпоставља се да је средње време Е[Т] рада док је процес под контролом познато на основу података из прошлости. Низ периода између детектованих и поправљених услова ван контроле представља процес обнављања, имајући у виду да сваки такав период почиње поправљеним процесом и представља случајну променљиву која има исту расподелу као сви други такви периоди. Из опште Основне теореме за процесе обнављања следи да, у дугом року, удео времена проведеног ван контроле (ou of conrol-о.с.) износи E[S] O. C. = E[S] + E[T] = 1 1 + pe[t]. Број поправки по јединици времена у дугом року је 1 R = E[S] + E[T] = p 1 + pe[t]. Нека је N случајан број,,лажних узбуна" док је процес под контролом, тј. до момента Т, закључно са њим, када је први пут процес ван контроле. Тада случајна променљива N, под условом T, има биномну расподелу са параметром α, тако да је Е[N Т] = αт и Е[N] = αе[т]. Поново, на основу опште Основне теореме за процесе обнављања следи да је број лажних узбуна (false alarms-f.a.) по јединици времена E[N] F. A. = E[S] + E[T] = αpe[t] 1 + pe[t]. 42

Ако свака лажна узбуна кошта c долара, сваки трошак поправке износи К долара, а стопа трошкова док се рад одвија ван контроле је C долара, онда је, у дугом року, просечни трошак по јединици времена (average cos-a.c.) C + Kp + cαpe[t] A. C. = C(O. C. ) + K(R) + c(f. A. ) =. 1 + pe[t] Методом покушаја и погрешака се сада може изабрати вредност k, која одређује вероватноће α и p, како би се смањила вредност претходног израза. 43

Глава 4 Дискретна теорија обнављања У овој глави ће бити представљена теорија обнављања која се заснива на претпоставци да су међудолазна времена случајне променљиве са ненегативним целобројним вредностима. Од посебног значаја су једначина обнављања, аргумент обнављања и Теорема обнављања (Теорема 6.1). Предмет разматрања је сијалица чији век трајања се моделира случајном променљивом X дискретног типа, где је P{X = k} = p k, за k =,1,. Ако се започне са новом сијалицом и ако се свака сијалица, када прегори, замењује новом, онда очекивани број обнављања М(n) (не укључујући почетну сијалицу) до тренутка n, закључно са њим, представља решење једначине M(n) = F x (n) + n k= p k M(n k), (4.1) где је F X (n) = p +... +p n функција расподеле случајне променљиве X. Векторска или функционална једначина облика (4.1) са непознатим М(), М(1), назива се једначина обнављања. Ова једначина је изведена применом аргумента обнављања, односно разматрањем првог корака које се наставља применом условног очекивања у односу на σ- алгебру генерисану догађајима који се односе на трајање прве сијалице. У случају (4.1), на пример, ако прва сијалица прегори у тренутку k n, тада се њеном квару додаје средњи број кварова M(n k) у интервалу [k, k + 1,..., n]. На основу ових условних очекивања и вероватноћа p k = P{X 1 = k}, k =,1,, добија се n M(n) = [1 + M(n k)]p k = F x (n) + k= n k= p k M(n k). 44

Једначина (4.1) је само посебан случај једначине обнављања. У општем случају, једначина обнављања је одређена датим ограниченим низом {b k, k } и има облик ν n = b n + n k= p k ν n k, n =,1,. (4.2) Непознате променљиве су ν, ν 1,..., a вероватноће p, p 1, одређују расподелу, при чему се, да би се избегао тривијалан случај, увек претпоставља да је p < 1. Најпре треба напоменути да постоји један и само један низ ν, ν 1,..., који задовољава једначину обнављања. Заиста, сукцесивним решавањем једначина облика (4.2) за различите вредности n =,1,, добија се и тако даље. ν = b 1 p, ν 1 = b 1 + p 1 ν 1 p, (4.3) Нека је u n средњи број обнављања која се реализују у периоду n. Ако је p =, тако да су међудолазна времена строго позитивна и да се највише једно обнављање може реализовати у било ком периоду, тада је u n вероватноћа да ће се једно обнављање реализовати у периоду n. Низ u, u 1,, задовољава једначину обнављања која је од основне важности у општој теорији. Нека је 1, n =, δ n = (4.4), n >. Тада низ {u n, n } задовољава једначину обнављања u n = δ n + n k= p k u n k, n =, 1,. (4.5) Једначина (4.5) је одређена применом аргумента обнављања. Најпре је потребно уочити да δ n рачуна почетну сијалицу, односно обнављање у тренутку. Затим се примењује условна вероватноћа у односу на трајање прве сијалице. Ако она прегори у периоду k < n, што ће се десити са вероватноћом p k, тада процес почиње поново и условна вероватноћа обнављања у периоду n постаје u n k. На основу вредности {u n k, k =, 1,, n} и вероватноћа p k, k, сумирањем у складу са формулом потпуне вероватноће, долази се до релације (4.5). Следећа лема показује како се решење {ν n, n } у општој једначини обнављања (4.2) може изразити на основу решења {u n, n } једначине (4.5). 45

Лема 4.1. Ако {ν n, n } задовољава релацију (4.2), а {u n, n } задовољава релацију (4.5), тада је n ν n = b n k u k, n =,1,. k= Доказ: Имајући у виду напомену о егзистенцији и јединствености решења једначине (4.2), може се закључити да је за доказивање овог тврђења довољно доказати да задовољава једначину (4.2). како је ν n = n ν n = b n k u k k= n b n k u k k= n k = b n k δ k + k= i= p k l u l n k = b n + b n k p k l u l k= l= n n = b n + b n k p k l u l l= k=l n n 1 = b n + p j b n l j u l l= j= n n 1 следи тражени резултат. = b n + p j b n j l u l j= l= n = b n + p j ν n j, l= 46

4.1. Дискретна теорема обнављања Теорема обнављања обезбеђује услове под којима решење {ν n, n } једначине обнављања конвергира када n. Одређено периодично понашање, као што су кварови који се јављају само у парним периодима, мора бити искључено и најједноставнија претпоставка која то гарантује јесте да је p 1 >. Теорема 4.1.1. Нека је < p 1 < 1 и нека су {u n, n } и {ν n, n } решења једначина обнављања (4.5) и (4.2), респективно. Тада је: 1 (а) lim u n = n ; kp k (б) ако је k= k= b k Јасно је да израз < тада је lim n ν n = k= b k k= kp k = E X 1 / kp k k= представља средњи век трајања компоненте. Према томе, део (а) тврђења Теореме 4.1.1. указује на то да је, у дугом року, вероватноћа да ће се обнављање реализовати у датом интервалу једнака реципрочној вредности математичког очекивања века трајања компоненте. Напомена: Теорема 4.1.1. важи под одређеним условима и у случају када је p 1 =. Довољно је претпоставити да је највећи заједнички делилац целобројних вредности k, за које је p k >, једнак један.. 4.2. Детерминистички раст популације са расподелом старости У овом одељку се разматра једноставан детерминистички модел раста популације који узима у обзир старосну структуру популације. Дискретна теорема обнављања (Теорема 4.1.1) ће имати значајну улогу у овој анализи. Детерминистички модел који се разматра има за циљ одређивање средње величине популације и може се схватити као део општијег стохастичког модела. 47

4.2.1. Једноставни модел раста Најпре се разматра једноставан модел који нема старосну структуру, при чему се прати еволуција једне врсте у дискретном времену =, 1, 2,. Нека је N величина популације у тренутку. Претпоставља се да свака особа из ове популације у тренутку има константан број λ потомака који формирају популацију у тренутку + 1. Ако у моделу нема смрти, онда се и родитељ укључује у популацију у наредном тренутку, тако да је λ 1. Ако је N почетна величина популације и свака особа има λ потомака, онда је N 1 = λn, N 2 = λn 1 = λ 2 N, односно, у општем случају важи N = λ N. (4.6) Ако је λ > 1, онда популација неограничено расте током времена; ако је λ < 1, тада популација изумире; док за λ = 1 важи да величина популације остаје константна у сваком тренутку, тј. N = N, за =, 1,. 4.2.2. Модел са старосном структуром У наредном разматрању ће бити коришћене следеће ознаке: n u, = број особа старости u у популацији у тренутку ; N = u= n u, = укупан број особа у популацији у тренутку ; b = број новорођених особа у популацији у тренутку ; β u = очекивани број потомака једнe особе старости u у једном периоду; l u = вероватноћа да ће новорођена особа доживети старости u. Условна вероватноћа да ће особа доживети старост u, под условом да је доживела старост u 1, једнака је:l u /l u 1. Нето функција материнства је производ m u = l u β u, а стопа наталитета је прилагођена смрти неког дела популације. Према томе, m u је очекивани број потомака старости година, особе старости u година. На основу уведених карактеристика популације може се извести израз који представља укупан број потомака једне особе током њеног животног века. Особа ће доживети старост u са вероватноћом l u, а затим се у току следеће јединице времена очекује да број њених потомака буде β u. Сумирањем l u β u = m u по свим старостима u, добија се укупно потомство једне особе 48

M = u= l u β u = u= m u. (4.7) Ако је М > 1, очекује се да се популација повећава током времена; ако је М < 1, очекује се да се популација смањује; ако је М = 1, величина популације дугорочно не би требало да се повећава нити смањује. Међутим, прецизан опис еволуције популације је знатно сложенији, што ће бити показано у наставку. Када се узме у обзир утицај старосне структуре на раст популације, од великог значаја је вредност b, односно број новорођених особа у популацији у тренутку. Сматра се да су вредности β u, l u и n u, познате, а основни циљ је одређивање вредности b за. Када је вредност b позната, тада се вредности n u, и N могу одредити као n,1 = b 1, (4.8) n u,1 = n l u u 1,, u 1, (4.9) l u 1 N 1 = n u,1. (4.1) u= У првој од ових једноставних релација, n,1 је број особа старости у популацији у тренутку 1, који је очигледно једнак броју b 1 рођених у популацији у тренутку 1. У другој једнакости n u,1 је број особа старости u у популацији, у тренутку 1. То су особе које су преживеле од n u 1, особа старости u 1 у популацији у тренутку. На другој страни, условна вероватноћа да ће особа доживети старост u ако је доживела старост u 1 је l u /l u 1, и на тај начин се доказује друга једнакост. Последња релација једноставно тврди да се укупна величина популације добија сумирањем броја особа свих старости. Уопштења релација (4.8) - (4.1) су n, = b, (4.11) n u, = n l u u 1, 1, u 1, (4.12) l u 1 N = u= n u, за 1. (4.13) С обзиром на то да је објашњено како се вредности n u, и N одређују када је b познато, прелази се на одређивање вредности b. Број особа рођених у тренутку има две компоненте. Једна компонента, рецимо а, представља број потомака оних особа у популацији у тренутку које су већ биле рођене у тренутку. У најједноставнијем случају, популација почиње у тренутку = са једним претком старости u =, а затим је број потомака ове особе у тренутку а = m, тј. нето функција материнства. У општем случају, нека је n u, број особа старости u у тренутку. Вероватноћа да ће особа старости u у тренутку живети до тренутка (у којем ће бити старости + u) је l +u /l u. Отуда је број особа старости u у тренутку које ће живети до тренутка једнак n u, (l +u /l u ). Свака 49

од ових особа, када буде старости + u, имаће β +u потомака. Сумирањем по свим старостима се добија a = u= β +u n u, l +u l u = u= m +u n u, l u. (4.14) Друга компонента броја b, обухвата оне особе рођене у тренутку чији родитељи нису иницијално били у популацији, али су рођени након тренутка. Број особа рођених у тренутку τ је b τ. Вероватноћа да једна од ових особа живи до тренутка (у то време ће бити старости τ) је l τ. Стопа наталитета особа старости τ је β τ. Друга компонента је резултат сумирања по τ, тако да је Дугорочно понашање b = a + τ= β τ l τ b τ = a + τ= m τ b τ. (4.15) Донекле је изненађујуће, с обзиром на то да,,обнављања" нису очигледна, да ће примена дискретне Теореме обнављања (Теорема 4.1.1), бити од значаја за очекивање дугорочног понашања популационог модела. Најпре је потребно уочити да се релација (4.15) може представити као b = a + ν= m ν b ν, (4.16) односно има облик једначине обнављања осим што вредности {m ν, ν } у општем случају не одређују расподелу вероватноћа. Међутим, постоји начин за превазилажење ове потешкоће. Уводи се променљива s, чија ће вредност бити изабрана касније, и нека је m ν # = m ν s ν, b ν # = b ν s ν, α ν # = α ν s ν. Релација (4.16) се множи изразом s и може се уочити да је s m ν b ν = m ν s ν b ν s ν = m # ν b ν На тај начин се долази до релације b # = а # + m ν # ν= #. b # ν. (4.17) Ова једначина обнављања важи без обзира на избор вредности s. Због тога се s може изабрати тако да је m # v, ν расподела вероватноће, тј. фиксира се вредност s тако да је ν= m ν # = m ν s ν = 1. ν= Увек постоји јединствена вредност s, под условом да је 5

1 < m ν <. ν= Сада се може применити Теорема обнављања на (4.17), под условом да важи њена претпоставка о непериодичном понашању. Да би та претпоставка важила довољно је, на пример, да важи m >. Тада је закључујемо да је: Нека је λ = 1/s и lim b # = lim b s = K = x # ν= а ν x νm# ν= ν # ν= а ν νm# ν= ν.. (4.18) На основу (4.18) следи b ~ Kλ,. Другим речима, асимптотски, популација расте по стопи λ, при чему је λ = 1/s решење једначине ν= m ν λ ν = 1. Када је велико ( > u), онда се (4.12) може представити као n u, = n u 1, 1 l u l u 1 = n u 2, 2 l u 1 l u 2 = n u 2, 2 l u l u 2 = n l u, u = b l u l u. Последња релација изражава чињеницу да су особе старости доба u у тренутку биле рођене пре u јединица времена и преживеле. Како за велико важи b u ~ Kλ u, следи да је je: n u, ~ Kl u λ u = K(l u λ u )λ, N = u= n u, l u l u 1 ~K (l u λ u ) λ, n u, lim = l uλ u N ν= l ν λ ν. Последњи израз одређује асимптотску или стабилну расподелу старости у популацији. u= 51

Закључак У овом раду се разматра процес обнављања. Он представља процес пребројавања чија су међудолазна времена ненегативне, независне случајне променљиве са истом расподелом. Специјалан случај таквих процеса је случај када међудолазна времена представљају случајне променљиве са експоненцијалном расподелом. Тада је реч о хомогеном Пуасоновом процесу. У општем случају није једноставно експлицитно одредити карактеристике процеса обнављања. Због тога је од значаја проучавање његовог асимптотског понашања. Један од најважнијих резултата у изучавању асимптотског понашања процеса обнављања је Основна теорема за процесе обнављања. Поред специјалних случајева и асимптотског понашања процеса обнављања, у овом раду се изучавају и процеси који се по неким својим карактеристикама разликују од обичног процеса обнављања и представљају уопштења процеса обнављања. Процеси обнављања имају широку примену у пракси јер се примењују у моделирању појава које се мењају у случајним тренуцима, при чему се у тренутку настанка промене полазни процес обнавља у одређеном смислу. На пример, процеси обнављања се примењују у теорији неживотног осигурања, где описује промену броја захтева за одштету током времена. 52

Литература 1 Taylor H, Karlin S. (1998) An Inroducion o Sochasic Modeling, Third Ediion. Academic Press, San Diego, 419-469. 2 Јанковић Св., Стохастички процеси, ауторизована предавања, Универзитет у Нишу, Природно-математички факултет, Ниш. 3 Милошевић М., Теорија ризика, ауторизована предавања, Универзитет у Нишу, Природно-математички факултет, Ниш. [4] Mikosch, T., Non-Life Insurance Mahemaics-An Inroducion wih Sochasic Processes, Springer, 24. 53

Биографија Јелена Милошевић је рођена 27.6.1993. године у Лесковцу. Завршила је основну школу,,радоје Домановић у Манојловцу 28. године и Гимназију у Лесковцу 212. године. Током похађања основне и средње школе учествовала је на разним такмичењима из математике. Основне академске студије је уписала 212. године на Природно-математичком факултету у Нишу, студијски програм Математика, које је завршила 215. године. Исте године уписала је мастер академске студије на истом факултету, смер Вероватноћа, статистика и финансијска математика, на којим последњи испит полаже јануара 218. године и тиме стиче право на одбрану мастер рада. 54

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ Прилог 5/1 КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: Тип записа, ТЗ: Врста рада, ВР: Аутор, АУ: Ментор, МН: Наслов рада, НР: Језик публикације, ЈП: Језик извода, ЈИ: Земља публиковања, ЗП: Уже географско подручје, УГП: Монографска текстуални / графички мастер рад Јелена Милошевић Марија Милошевић Српски Енглески Р. Србија Р. Србија Година, ГО: 218. Издавач, ИЗ: ПРОЦЕСИ ОБНАВЉАЊА И НЕКА ЊИХОВА УОПШТЕЊА ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) Научна област, НО: Научна дисциплина, НД: Предметна одредница/кључне речи, ПО: 54 стр. Математика УДК 519.21 Примењена математика Процес обнављања, Пуасонов процес, одложени процес обнављања, стационарни процес обнављања, кумулативни процес обнављања Чува се, ЧУ: Библиотека Важна напомена, ВН: 55

Извод, ИЗ: Датум прихватања теме, ДП: Датум одбране, ДО: Процеси обнављања се примењују у моделирању појава које се мењају у случајним тренуцима, тако да су скоро све њихове трајекторије растуће степенасте функције. Природа сваке од тих промена је таква да се тренутак настанка промене сматра почетним тренутком неког новог процеса, односно у тренутку настанка промене полазни процес се обнавља у одређеном смислу. У овом раду се разматрају основна својства и граничне теореме за процесе обнављања, као што су строги закон великих бројева, централна гранична теорема и асимптотска својства средње вредности и дисперзије. Поред тога наведена су нека уопштења процеса обнављања и то: процеси обнављања са кашњењем, процеси обнављања код којих сваки интервал обнављања има две компоненте и кумулативни процеси обнављања. 14.12.216. Чланови комисије, КО: Председник: Др Миљана Јовановић Члан: Члан, ментор: Др Јасмина Ђорђевић Др Марија Милошевић Образац Q4.9.13 - Издање 1 56

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ KEY WORDS DOCUMENTATION Прилог 5/2 Accession number, ANO: Idenificaion number, INO: Documen ype, DT: Type of record, TR: Conens code, CC: Auhor, AU: Menor, MN: Tile, TI: Monograph Texual Maser hesis Jelena Milošević Marija Milošević RENEWAL PROCESSES AND SOME OF THEIR GENERALIZATIONS Language of ex, LT: Language of absrac, LA: Counry of publicaion, CP: Localiy of publicaion, LP: Serbian English Republic of Serbia Serbia Publicaion year, PY: 218 Publisher, PB: auhor s reprin Publicaion place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical descripion, PD: (chapers/pages/ref./ables/picures/graphs/appendixes) Scienific field, SF: Scienific discipline, SD: Subjec/Key words, S/KW: 54 p. Mahemaics UC 519.21 Applied mahemaics Renewal process, Poisson process, delayed renewal process, saionary renewal process, cumulaive renewal process Holding daa, HD: Library Noe, N: 57