UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku MASTER RAD VaR Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Milena Stošić Niš,
|
|
- Goran Marušič
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku MASTER RAD VaR Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Milena Stošić Niš, 2015.
2 Sadržaj Uvod... 4 Glava 1 Uvodni pojmovi... 5 Glava 2 VaR Rizik Definicija VaR a Osobine VaR a Procena VaR a Primena VaR a Bazelski standardi Konverzija parametara Glava 3 Metode za izračunavanje VaR a Parametarski metod VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva VaR alati Marginalni VaR Inkrementalni VaR Komponentni VaR Prednosti i slabosti parametarske metode Metod istorijske simulacije Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije Monte Karlo simulacija Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom Simulacija sa više slučajnih promenljivih Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije Poređenje VaR metoda Glava 4 Metode za evaluaciju VaR a Testiranje stresnih situacija
3 4.2 Backtesting modeli Model koji se bazira na stopi neuspeha Pravila regulatora Modeli uslovljene pokrivenosti Procena preciznosti VaR a Zaključak Biografija Literatura
4 Uvod Upravljanje rizikom je devedesetih godina prošlog veka doživelo pravu revoluciju, a razlog za to je otkriće nove metodologije - vrednosti pod rizikom (VaR). Potreba za novim metodama za upravljanje i merenje rizika kome su izložene institucije na finansijkom tržištu se javila nakon velike finansijske krize koja je potresla svet tih godina. Od tada se VaR metodologija razvijala i usavršavala i danas je nezaobilazni alat za menadžere rizika svih finansijskih institucija. Zbog velike primene, ova tema pruža brojne mogućnosti za istraživanje. Master rad se sastoji iz četiri glave. U prvoj glavi su definisani pojmovi koji su neophodni za razumevanje teorije na kojoj se zasniva VaR metodologija. Druga glava se bavi osnovama VaR metodologije: definicijom, osobinama i oblastima primene. U trećoj glavi su opisani načini za izračunavanje VaR a (parametarska metoda, metod istorijske simulacije i Monte Karlo simulacija) i alati koji su razvijeni u okviru metodologije koji su značajno unapredili menadžment rizika. I na kraju, četvrta glava se bavi evaluacijom VaR modela i u njoj će biti izloženo više načina za proveru adekvatnosti modela, kao što su backtesting proces, testiranje stresnih situacija i procena preciznosti same ocene. Želela bih da se zahvalim svom mentoru, profesorki Miljani Jovanović, na razumevanju, nesebičnoj pomoći tokom izrade ovog master rada i stručnim savetima. Takođe bih želela da se zahvalim svojim roditeljima na velikoj podršci i razumevanju. 4
5 Glava 1 Uvodni pojmovi Za upravljanje rizikom i razumevanje teorije portfolio analize, a samim tim i teorije na koju se oslanja VaR, neophodno je poznavati osnove teorije verovatnoća i matematičke statistike. Zbog toga je potrebno, na početku, definisati neke osnovne pojmove. Definicija 1.1. Klasa, podskupova nepraznog skupa čini algebru ako važi 1), 2), 3) ( aditivnost). Ako je algebra, onda se uređen par naziva merljiv prostor. Definicija 1.2. Neka je merljiv proctor. Preslikavanje koje ima sledeće osobine 1) nenegativnost, 2) normiranost, 3) aditivnost, naziva se verovatnoća. Uređena trojka se naziva prostor verovatnoća. Definicija 1.3. Slučajna promenljiva X je preslikavanje finitno i merljivo, tj. za koje važi koje je gde je Borelova algebra. Definicija 1.4. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je realna funkcija definisana sa 5
6 Definicija 1.5. Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako postoji neki najviše prebrojiv skup tako da je. Definicija 1.6. Slučajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija tako da je Definicija 1.7. Matematičko očekivanje slučajne promenljive X je Lebegov integral na merljive slučajne promenljive X po aditivnoj meri P, tj. Definicija 1.8. Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem EX. Matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne promenljive X od EX se naziva disperzija slučajne promenljive X a standardna devijacija je Definicija 1.9. Kovarijansa slučajnih promenljivih X i Y je Definicija Neka su X i Y slučajne promenljive definisane na prostoru verovatnoća. Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y u oznaci je Za koeficijent korelacije važi Kada je slučajne promenljive X i Y su savršeno korelisane, a kada je X i Y su nekorelisane. Ukoliko slučajne promenljive X i Y imaju normalnu raspodelu i tada su one i nezavisne. Definicija Rep raspodele verovatnoća slučajne promenljive X u tački x, u oznaci, je verovatnoća događaja da slučajna promenljiva X uzima vrednosti veće od x, odnosno Definicija Kvantil reda p, u oznaci X sa funkcijom raspodele je, slučajne promenljive 6
7 Definicija Neka je prostor verovatnoća i parametarski skup. Realan jednodimenzionalan slučajan proces X na je familija merljivih funkcija odnosno familija slučajnih promenljivih takvih da važi Definicija Jednodimenzionalni stohastički proces Braunovo kretanje (Wienerov proces) sa parametrom ako je je 1), 2) sa nezavisnim priraštajima, tj. 3) su nezavisne slučajne promenljive, Potrebno je navesti i neke poznate raspodele slučajnih promenljivih diskretnog i apsolutno neprekidnog tipa koje su značajne za ovaj rad. Normalna raspodela Slučajna promenljiva raspodele je određena gustinom Funkcija raspodele slučajne promenljive X je Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i. Normalna raspodela sa parametrima i se naziva normalna normirana (standardizovana) raspodela. Funkcija raspodele slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom je gde je 7
8 Slika 1.1 Funkcija raspodele slučajne promenjive sa normalnom normiranom raspodelom Uniformna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i. Binomna raspodela Slučajna promenljiva raspodele je određena zakonom Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i raspodela sa stepeni slobode Neka su nezavisne slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom. Tada slučajna promenljiva ima raspodelu sa stepeni slobode. Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele 8
9 Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i Kako je VaR samo ocena rizika kome je izložena finansijska institucija na finansijskom tržištu, njeno određivanje se vrši uz pomoć nekih statističkih metoda. Provera tačnosti ocene dobijene na taj način se vrši testiranjem statističkih hipoteza, pa je potrebno razjasniti i neke pojmove matematičke statistike. Definicija Populacija je skup elemenata čija se zajednička svojstva izučavaju statističkim metodima. Definicija Obeležje je zajedničko svojstvo elemenata jedne populacije. Definicija Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. Broj elemenata u uzorku se naziva obim uzorka. Na uzorku se sprovodi statistički eksperiment. Ishod tog eksperimenta će biti vektor X, koji je po svojim karakteristikama slučajna promenljiva. Vektor koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenom eksperimentu se naziva realizovani uzorak. Statistika (statistika uzorka) je realna funkcija uzorka čiji analitički oblik ne zavisi od nepoznatih parametara obeležja. Primeri statistika su Sredina uzorka ; Disperzija uzorka i popravljena disperzija uzorka Uzoračka standardna devijacija. ; Sredina uzorka obima n,, iz populacije sa obeležjem X čija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela kada je nepoznato ima raspodelu. Ako je disperzija uzorka obima n iz populacije sa obeležjem X onda slučajna promenljiva ima raspodelu sa stepeni slobode kada je nepoznato. Interval poverenja je podskup realne prave unutar koga se može smatrati da će se naći prava vrednost parametra sa određenim novoom poverenja. Definicija Tvrđenje o posmatranim pojavama i procesima na jednoj ili više populacija, koje može da se iskaže kao tvrđenje o raspodeli jednog ili više obeležja je statistička hipoteza. Definicija Testiranje statističke hipoteze je postupak provere hipoteze u smislu njenog prihvatanja ili odbacivanja. 9
10 Postupak testiranja hipoteza podrazumeva da se jedna od hipoteza uzima za polaznu ili nultu hipotezu i označava sa. Druga hipoteza se u tom slučaju naziva alternativna hipoteza i označava sa. Postupak verifikacije nulte protiv alternativne hipoteze na osnovu realizovanog uzorka je statistički test, a statistika čijim se posredstvom vrši testiranje je test statistika. Skup svih tačaka realnog prostora za koje se nulta hipoteza odbacuje je kritična oblast testa. Pored definicija i termina iz teorije verovatnoća i matematičke statistike, treba razjasniti neke osnovne pojmove finansija. Portfolio je skup finansijskih instrumenata (aktiva) različitih vrsta i karakteristika u posedu jednog investitora. Kapital portfolija je ukupna vrednost portfolija. Prinos predstavlja dobitak ili gubitak koji investitor ostvaruje na osnovu vlasništva nad finansijskim instrumentima. Prinos portfolija se određuje kao razlika između početne vrednosti portfolija i vrednosti nakon nekog vremenskog perioda. Stopa prinosa portfolija predstavlja odnos između razlike vrednosti portolija u nekom periodu i početne vrednosti tog portfolija. Često se koristi izraz prinos kada se govori o stopi prinosa. Diversifikacija predstavlja ulaganje sredstava u više različitih finansijskih instrumenata čime se smanjuje ukupan rizik kome je investitor izložen. Volatilnost je mera nepredvidivosti kretanja cena finansijskih instrumenata. 10
11 Glava 2 VaR Vrednost pod rizikom (Value at risk skraćeno VaR) predstavlja najveći očekivani gubitak portfolija u posmatranom vremenskom periodu sa datim nivoom poverenja. Ova vrednost predstavlja rizik kome je institucija izložena na finansijskom tržištu. Na primer, neka je dnevni VaR portfolija neke banke 35 miliona dolara sa nivoom poverenja 99%. To znači da je verovatnoća, da pri normalnim uslovima na tržištu, gubitak portfolija bude veći od 35 miliona dolara, najviše 1%. Ovaj broj sumira izloženost banke tržišnom riziku. VaR metodologiju koriste mnoge banke, brokerske firme i investicioni fondovi. Bankarsku regulativu o kapitalu banaka i upravljanju rizicima određuje Bazelska komisija za superviziju banaka. Bazelska komisija je sastavila sporazum kojim je prihvaćena VaR metodologija, a ovim sporazumom su određeni uslovi koje moraju da zadovolje interni modeli banaka za procenu rizika. VaR je najsavremeniji alat za menadžment rizika. Klasični pristup menadžmentu rizika je podrazumevao procenu promene vrednosti portfolija imajući u vidu samo trenutni prinos. Za razliku od ovog pristupa, VaR kombinuje vezu između vrednosti i prinosa portfolija sa verovatnoćom nepovoljnih kretanja na tržištu. Tako VaR opisuje verovatnosnu granicu potencijalnih gubitaka. Takođe, sam koncept obuhvata i ostale rizike: devizni, robni i rizik promene cena. VaR se oslanja i na korelacije između finansijskih instrumenata, što je posebno važno u radu sa velikim portfolijima koji sadrže finansijske derivate. Drugim rečima, VaR predstavlja nadogradnju postojećih metoda za ocenu rizika portfolija u čiji sastav ulaze i finansijski derivati. Njegova uloga je da meri promene vrednosti aktive do određenog datuma, a ponašanje u repovima raspodele prinosa aktive se analizira kroz testiranje stresnih situacija. VaR metodologija danas predstavlja najpoznatiji i najrasprostranjeniji koncept za upravljanje tržišnim rizicima. U okviru ovog koncepta razvijeno je više metoda od kojih su najznačajniji: istorijski metod, parametarki metod (ili varijansno-kovarijansni metod) i Monte Karlo simulacija. Ovi metodi će biti detaljnije predstavljeni i analizirani u ovom radu. 11
12 2.1 Rizik Vrednost pod rizikom je metodologija za ocenu i upravljanje rizikom. Precizna definicija rizika ne postoji, ali ono što je zajedničko svim definicijama su neizvesnost i gubitak. Rizik predstavlja svaku neizvesnu situaciju u poslovanju, odnosno verovatnoću gubitka (smanjenje dobitka) nastalu kao rezultat neizvesnih događaja u poslovanju. Finansijske institucije su izložene različitim vrstama rizika. Osnovna podela rizika je na poslovne i neposlovne rizike. Poslovni rizici su posledica faktora poslovnog okruženja, dok su neposlovni rizici vezani za ekonomsko i političko okruženje, zbog čega finansijske institucije ne mogu da ih kontrolišu. Ovi rizici mogu biti izazvani raznim faktorima kao što su ljudski faktor, inflacija, političke promene, ratovi, a mogu se desiti i usled nekih prirodnih katastrofa, zemljotresa, poplava i drugih uzroka. Finansijski rizik se povezuje sa novčanim gubitkom na finansijskom tržištu nastalim usled nepredvidivosti ili nestabilnosti prinosa. Finansijski rizik se može klasifikovati u više kategorija, a najvažnije su: tržišni rizik, kreditni rizik, rizik likvidnosti, operativni rizik i pravni ili regulatorni rizik. Tržišni rizik predstavlja rizik promene tržišnih cena koji dovodi do smanjenja vrednosti portfolija. Glavni oblici u kojima se ovaj rizik javlja su: rizik promene kamatne stope, rizik promene cena i rizik promene deviznog kursa. Kreditni rizik je rizik da partner u finansijskoj transakciji neće ispuniti svoju ugovorom preuzetu finansijsku obavezu. Rizik likvidnosti je rizik da finansijska institucija ne poseduje dovoljno likvidnih sredstava, tj. raspoloživih sredstava za plaćanje dospelih obaveza. Operativni rizik je specifična vrsta finansijskog rizika. Odnosi se na potencijalne gubitke zbog neodgovarajuće organizacije, lošeg upravljanja, prevara, krađa i ljudskih i tehničkih grešaka. Pravni ili regulatorni rizik obuhvata različite rizike koji su u vezi sa nepoštovanjem ili primenom zakonskih normi. Prve ideje za procenjivanje rizika portfolija potiču od Markowitza, koji je merio rizik disperzijom prinosa. Iz ove metodologije je kasnije nastao VaR. VaR je najpre razvijen u cilju upravljanja jednim aspektom finansijskog rizika i to tržišnim rizikom. Međutim, kasnije je korišćen i za upravljanje drugim aspektima finansijskog rizika kao što su kreditni rizik, rizik likvidnosti i operativni rizik. 12
13 2.2 Definicija VaR a Termin vrednost pod rizikom (VaR) se prvi put pojavio godine kada je Grupa 30 (Group of thirty konsultantska grupa bankara, akademika i finansijskih stručnjaka iz najrazvijenijih zemalja sveta) sa predstavnicima banke J.P. Morgan diskutovala o najboljim modelima za merenje rizika. Jula godine je objavljen njihov izveštaj u kome je za najbolju praksu odobren VaR. Iako sam pojam vrednosti pod rizikom nije bio u upotrebi do sredine devedesetih godina, njegovo poreklo se može naći u teorijama iz sredine dvadesetog veka. Jedna od takvih teorija je portfolio teorija Markowitza. Metodologija na kojoj počiva VaR je rezultat savremene portfolio teorije. Na prihvatanje ovog koncepta je najviše uticala kriza koja je zadesila finansijske institucije krajem osamdesetih i tokom devesetih godina prošlog veka, kao i gubici koji su ostvareni u tom periodu usled nemogućnosti predviđanja i upravljanja rizikom. Za vrednost pod rizikom se može dati intuitivna definicija. VaR sumira najveći mogući gubitak portfolija u posmatranom periodu sa datim nivoom poverenja. Formalno, VaR opisuje kvantil raspodele potencijalnih gubitaka i dobitaka portfolija u posmatranom periodu. Neka se u nekom vremenskom periodu razmatra određeni portfolio. Neka je X dobitak portfolija nakon tog vremenskog perioda. U tom slučaju je X gubitak portfolija koji će biti označen sa Y. Dobitak portfolija nije poznat u početnom trenutku razmatranog vremenskog perioda, što znači da je X, a samim tim i Y, slučajna promenljiva. VaR se može definisati kako preko gubitka portfolija, tako i preko dobitka. Neka je α nivo poverenja,. Definicija 2.1. VaR je maksimalni gubitak portfolija koji je dostignut u najmanje slučajeva Koristi se i sledeća definicija VaR a. Definicija 2.2. VaR je minimalni dobitak portfolija koji je dostignut u najviše slučajeva Nivo poverenja je unapred zadat i najčešće iznosi 0.9, 0.95 ili U narednoj teoremi pokazana je veza između prethodne dve definicije. Teorema 2.1. Neka su X i Y dobitak i gubitak portfolija, respektivno. Tada je 13
14 Dokaz. U sledećem primeru je data ilustracija primene VaR a. Primer 2.1. Neka investitor poseduje portfolio petogodišnjih Treasury Notes obveznica ukupne vrednosti $ Koliki je njegov mogući gubitak za mesec dana? Potrebno je simulirati mesečne prinose datog portfolija na osnovu istorijskih podataka. Slika 2.1 Grafik apsolutne promene prinosa petogodišnjih U.S. Treasury obveznica od aprila godine do jula godine. Izvor [13]. Grafik na Slici 2.1 pokazuje promene prinosa portfolija od 1.8% do 2.2%. Na osnovu njega se može konstruisati raspodela verovatnoća dobijenih prinosa na sledeći način: interval u kome se nalaze svi prinosi se deli na podintervale jednake dužine i uočava se broj opservacija u svakom od njih. Dobija se histogram date raspodele (Slika 2.2). Na kraju treba izabrati nivo poverenja, na primer 99%, i pronaći gubitak koji neće biti premašen u 99% slučajeva, tj. onaj broj od koga je 14
15 manje 1% opservacija (što je 8 od ukupno 748). Taj broj je oko 0.8%, tj. $ Slika 2.2 Histogram raspodele prinosa portfolija Može se zaključiti da pod normalnim uslovima na tržištu, najveći mogući gubitak portfolija za 1 mesec iznosi oko $ sa nivoom poverenja od 99%. Nivo poverenja je izabran proizvoljno u ovom slučaju, ali ga inače treba birati veoma pažljivo. Izbor vremenskog perioda za koji se računa VaR je takođe podložan subjektivnoj proceni. Međutim, za portfolio banaka je najprihvatljiviji period 1 dan. 2.3 Osobine VaR a Kao što je ranije rečeno, vrednost pod rizikom sumira rizik kome je finansijska institucija izložena na tržištu u jednom broju i zbog toga je od značaja poznavati njegove osobine. Da bi se definisala osobina monotonosti koju ima VaR potrebno je uvesti pojam stohastičke dominantnosti prvog reda (stochastic dominance of order 1). Definicija 2.3. Slučajna promenljiva Y stohastički dominira nad slučajnom promenljivom X, u oznaci ako i samo ako je, za svako Osobine koje zadovoljava VaR su date sledećom teoremom. 15
16 Teorema 2.2. Za VaR važe sledeće osobine: 1. Invarijantnost u odnosu na translaciju gde je c proizvoljna konstanta. 2. Pozitivna homogenost gde je c pozitivna konstanta. 3. Monotonost gde su X i Y gubici dva portfolija. Dokaz. 1. Neka je c proizvoljna konstanta. Tada je. 2. Neka je c pozitivna konstanta. Kako je sledi osobina pozitivne homogenosti. 3. Kako je, važi da je za svako. Neka je. Neka se pretpostavi suprotno, da je. Pošto je najmanja vrednost za koju je, za važi Koristeći da je, dobija se Odavde je, čime je dobijena kontradikcija. Prema tome, važi da je. Primer 2.2. Neka se VaR mera rizika primenjuje na dobitak ili gubitak portfolija koji je opisan slučajnom promenljivom sa normalnom raspodelom, ili slučajnom promenljivom diskretnog tipa. 16
17 Neka je data slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Na levom grafiku Slike 2.3 je korišćena Definicija 2.1, a dati nivo poverenja je 90%. Na desnom grafiku je ilustrovana primena Definicije 2.2 sa pragom značajnosti 10%. Slika 2.3 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija opisan slučajnom promenljivom sa normalnom normiranom raspodelom VaR slučajne promenljive Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom, jednak je gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom Zaista, Primenom osobina invarijantnosti i pozitivne homogenosti dobija se da je Neka je data diskretna slučajna promenljiva Y koja predstavlja gubitak portfolija, sa raspodelom odnosno slučajna promenljiva dobitka portfolija 17
18 Na Slici 2.4 je prikazan VaR primenjen na prvu, odnosno drugu slučajnu promenljivu. Slika 2.4 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija koji je predstavljen diskretnom slučajnom promenljivom Na obe slike obojena površina odgovara nivou na kome se određuje VaR. Kada se VaR definiše preko gubitka portfolija pozitivne vrednosti predstavljaju gubitke, a negativne prihod. U slučaju kada se definiše preko dobitka je obrnuto, pozitivne vrednosti predstavljaju prihod, a negativne gubitak portfolija. Definicija 2.4. Mera rizika je subaditivna ako je zbir rizika dva portfolija veći ili jednak od rizika portfolija dobijenog spajanjem ta dva portfolija. Drugim rečima, ako su X i Y dva razmatrana portfolija i R(X) i R(Y) njihovi rizici, mera R je subaditivna ako je Sledeći primer pokazuje da VaR nije subaditivna mera rizika, odnosno da se spajanjem dva portfolija u jedan može dobiti portfolio čiji je VaR veći od zbira VaR ova pojedinačnih portfolija. Primer 2.3. Neka je portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju. Neka su raspodele gubitaka portfolija date sa respektivno. VaR portfolija, sa nivoom poverenja 95% je a portfolija 18
19 Neka je x portfolio koji se sastoji od 50% akcija i 50% akcija, odnosno. Raspodela gubitka portfolija x je Vrednosti portfolija se računaju na sledeći način a analogno se izračunavaju i sve ostale vrednosti. Nakon izračunavanja svih vrednosti dobija se raspodela gubitka portfolija Dakle, Y ima raspodelu i Dakle, Dobija se Dakle, VaR nije subaditivna mera rizika. Ovaj primer pokazuje da se, sa nivoom poverenja 0.95, spajanjem portfolija u jedan dobija portfolio koji je rizičniji od pojedinačnih portfolija. VaR u opštem slučaju ne zadovoljava osobinu subaditivnosti. Sledećom teoremom će biti dati uslovi pod kojima će VaR biti subaditivna mera rizika. Kao što je ranije rečeno, VaR portfolija opisan slučajnom promenljivom Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom, je gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom. Teorema 2.3. Neka su slučajne promenljive sa raspodelama, respektivno. Tada je za Dokaz. Pod pretpostavkom da i sledi da slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu 19
20 gde je ρ koeficijent korelacije slučajnih promenljivih. Za koeficijent korelacije važi da je tako da je. Kako je, za svako (Primer 2.2), dobija se da je što je i trebalo dokazati. Napomena 2.1. Uslov situacijama za nivo poverenja ne predstavlja restrikciju jer se u realnim uzimaju vrednosti koje su blizu jedinice. 2.4 Procena VaR a Određivanje VaR a se odvija u više faza i da bi se on izračunao potrebno je odrediti tržišnu vrednost portfolija, izmeriti promenljivost faktora rizika, odrediti vremenski period, odrediti nivo poverenja, izračunati najveći gubitak na osnovu datih informacija. Slika 2.5 Koraci u konstrukciji VaR a 20
21 2.5 Primena VaR a Na osnovu definicije VaR a se može zaključiti da on zavisi od dva kvantitativna faktora: dužine vremenskog perioda i nivoa poverenja. VaR je direktno proporcionalan ovim faktorima, tj. povećava se, kako sa povećanjem dužine posmatranog vremenskog perioda, tako i sa povećanjem nivoa poverenja. Postavlja se pitanje kako izabrati vrednosti ova dva faktora. Odgovor se menja u zavisnosti od toga u koje svrhe se određuje VaR. VaR se najčešće upotrebljava kao kriterijum koji kompanije koriste za upoređivanje rizika na različitim tržištima. U ovim situacijama izbor kvantitativnih faktora je proizvoljan, tj. kompanije same odlučuju o nivou poverenja i dužini vremenskog perioda. Kada se VaR primenjuje kao mera najvećeg potencijalnog gubitka nekog portfolija vremenski period se određuje prema prirodi tog portfolija. Na primer, banke određuju dnevni VaR jer je u skladu sa njihovim merama dnevnog profita i gubitka (daily profit and loss P&L measures), dok penzioni fondovi najčešće primenjuju jednomesečni VaR za svoje investicije. Izbor nivoa poverenja je i u ovim slučajevima proizvoljan. Ako se VaR primenjuje za određivanje gubitka portfolija akcija izbor navedenih faktora je od suštinskog značaja. Ukoliko gubitak premaši VaR to bi moglo da znači bankrot kompanije. Pretpostavlja se da mera rizika tada obuhvata sve rizike kojima je izložena finansijska institucija. Izbor nivoa poverenja u ovom slučaju reflektuje stepen averzije kompanije prema riziku. Izbor dužine vremenskog perioda treba da bude u skladu sa vremenom koje je potrebno kompaniji da reaguje ukoliko dodje do gubitaka. Izbor kvantitativnih faktora je takođe veoma važan prilikom primene u backtesting modelima. Ovi modeli su izuzetno važni jer se pomoću njih sistemski upoređuju vrednosti VaR sa stvarnim vrednostima prihoda i gubitaka portfolija u prošlosti. Backtesting modeli omogućavaju da se detektuje odstupanje u VaR prognozama. U ovom slučaju se bira kraći vremenski period jer se time povećava broj nezavisnih opservacija u toku jedne godine. Na primer, ako se određuje jednodnevni VaR, dobijaju se 252 nezavisne opservacije u toku godine. Nivo poverenja se određuje tako da obezbedi moćan test. Preveliki nivo poverenja smanjuje broj očekivanih opservacija u repovima raspodele i umanjuje moć testa. Zato se, u praksi, u backtesting modelima koristi nivo poverenja od 95% Bazelski standardi Jedna ilustracija primene VaR a za određivanje gubitka portfolija investitora je interni (IM) pristup (internal models approach) Bazelskog komiteta za superviziju banaka ( Basel committee on banking supervision). Bazelski komitet za superviziju banaka je osnovan godine od strane najrazvijenijih zemalja sveta, sa ciljem da unapredi poslovanje i kontrolu banaka. Prvi standardi, poznati pod nazivom Basel 1, su doneti 21
22 1988. godine i odnosili su se na načine merenja rizika i adekvatnosti kapitala banaka. Bazel 1 standardi su zahtevali korišćenje standardizovanog pristupa za ocenu rizika, koji je u praksi često bio kritikovan. Jedan od najvećih nedostataka standardizovanog pristupa je bio taj što je tretiran prvenstveno kreditini rizik, dok su ostali rizici izostavljani iz analize. Glavni nedostatak sporazuma Bazel 1 je uklonjen i godine uvođenjem nove metodologije za ocenu tržišnog rizika VaR. VaR metodologija je prvo ugrađena u standardizovani pristup, a kasnije, sa njenim razvojem, komitet je dozvolio bankama da koriste interne modele za ocenu rizika, ako zadovoljavaju određene uslove. Tako je nastao sporazum pod nazivom Bazel 2, koji je objavljen godine. Ovim sporazumom se zahteva da banke obračunavaju VaR za vremenski period od 10 poslovnih dana (ili dve kalendarske nedelje) uz nivo poverenja 99% i da se istorijski podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu. Kao što je naglašeno, izbor kvantitativnih parametara je od suštinskog značaja prilikom izračunavanja VaR a. Vremenski period od 10 dana je izabran kao kompromis između troškova čestog kontrolisanja i dobrobiti rane detekcije potencijalnih problema. Nivo poverenja od 99% obezbeđuje siguran i jak finansijski sistem, sa minimalnim negativnim efektima na prihode banaka. Čak i sa ovim vrednostima faktora, gubitak će premašiti procenjen VaR u 1% slučajeva u proseku, odnosno, jednom u 4 godine (zbog vremenskog perioda od 10 dana). Kako je nezamislivo da se dozvoli da banke pretrpe neuspeh tako često, procenjeni VaR se množi faktorom, što omogućava skoro izvesno osiguranje od bankrota. Uloga faktora je zaštita banaka od rizika i on se naziva koeficijent dodatne zaštite. Tako je minimalni zahtevani kapital za zaštitu banaka od rizika. Faktor je koeficijent dodatne zaštite za banke koje koriste najbolje metode za ocenu VaR a. Za ostale banke ovaj koeficijent mora biti veći, kako bi se i one zaštitile usled lošijih uslova na finansijskom tržištu. Postavlja se pitanje zašto koeficijent dodatne zaštite treba da bude veći ili jednak od 3. Odgovor daje nejednakost Čebiševa (Chebyshev s inequality). Neka je X proizvoljna slučajna promenljiva sa konačnom disperzijom. Verovatnoća da X uzme vrednosti van određenog intervala je pod pretpostavkom da je poznata standardna devijacija raspodela slučajne promenljive X simetrična, tada je. Ukoliko je Kako je to je 22
23 Za dobija se. Dakle maksimalni VaR je Neka je sada X slučajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom. Tada je Sa druge strane je, odnosno, za tako da je Dakle, VaR normalne raspodele je. Ako je raspodela nepoznata, korekcioni faktor je Konverzija parametara Korišćenje parametarske raspodele, kao što je normalna raspodela, je pogodno za konverziju VaR a sa jednog vremenskog perioda na drugi, kao i na različite nivoe poverenja. Pri tome, potrebno je da budu ispunjeni sledeći uslovi: 1. prinosi portfolija su nezavisni, 2. prinosi imaju normalnu raspodelu, 3. parametri su konstantni. Analitičari najčešće izračunavaju jednodnevni VaR koji zatim konvertuju u VaR za duži vremenski period u slučajevima kada ne postoji dovoljno podataka da se proceni ponašanje tržišnih promenljivih za period duži od jednog dana. Tržišne promenljive su sve slučajne promenljive koje utiču na vrednost portfolija, na primer spot cena, kamatna stopa, devizni kurs, itd., i obično je teško proceniti njihovo ponašanje za duži vremenski period. Tada se koristi aproksimacija Ova formula je tačna kada su prinosi portfolija u uzastopnim danima nezavisne, normalno raspodeljene slučajne promenljive sa srednjom vrednošću 0. U ostalim slučajevima je samo aproksimacija. Volatilnost cene aktive je najčešće izražena u procentima na godišnjem nivou. Međutim, za izračunavanje VaR a se koristi dnevna volatilnost, pa je potrebno uspostaviti vezu između godišnje i dnevne volatilnosti. Pod pretpostavkom da jedna godina ima 252 poslovna dana, odnos godišnje i dnevne volatilnosti je 23
24 odakle se dobija odnosno dnevna volatilnost iznosi oko 6% godišnje volatilnosti. 24
25 Glava 3 Metode za izračunavanje VaR a Vrednost pod rizikom je postala jedan od najvažnijih alata za menadžment rizika. Zbog njene velike primene u praksi, cilj je obezbediti dovoljno preciznu ocenu rizika sa umerenim troškovima. To znači da treba izabrati adekvatan model za izračunavanje VaR a za kreirani portfolio. Pristupi određivanju VaR a se mogu klasifikovati u dve grupe. Prva grupa koristi lokalnu evaluaciju primenom parametarskog ili deltanormalnog metoda, koji pretpostavlja normalnu raspodelu prinosa portfolija. Druga grupa koristi potpunu evaluaciju primenom metoda istorijske simulacije i Monte Karlo simulacije. Ova klasifikacija odražava kompromis između brzine izračunavanja VaR a i preciznosti. Brzina je od presudnog značaja kada se radi sa velikim portfolijima u kojima se javlja i veliki broj korelacija između tržišnih promenljivih. U takvoj situaciji najpogodniji je parametarski metod. Preciznost može da bude važna u portfolijima koji ne sadrže linearne komponente. 3.1 Parametarski metod Parametarski metod (varijansno kovarijansni ili delta normalan metod) ima veliku primenu u potfolio analizi jer daje korisnicima najveću kontrolu nad menadžmentom rizika. Pomoću njega će biti izloženi načini za merenje VaR a portfolija i upravljanje njime. Metod je analitički i omogućava jednostavnu analizu podataka, zbog čega je jedan od najčešće korišćenih metoda u praksi. Koncept portfolio analize je osnovao Harry Markowitz godine i investitorima je preneo važnu poruku za upravljanje rizikom. Njegova teorija se zasnivala na ideji da se izloženost portfolija riziku može umanjiti ulaganjem finansijskih sredstava u više različitih finansijskih instrumenata, odnosno diversifikacijom. Markowitz je, za svoja istraživanja, dobio Nobelovu nagradu godine. Savremena portfolio analiza koristi VaR za rešavanje problema diversifikacije i obezbeđuje kratak pregled izloženosti riziku. 25
26 Menadžeri rizika su otkrili i način kako da upotrebe VaR metodologiju za aktivni menadžment rizika. Tako je pronađen odgovor na pitanje kako promeniti pozicije u portfoliju da bi se vrednost VaR najefikasnije modifikovala. Ova informacija je veoma korisna jer se promene u sastavu portfolija vrše postepeno zbog troškova transakcije. U ove svrhe se koriste VaR alati koji uključuju marginalni, inkrementalni i komponentni VaR. Parametarski metod pretpostavlja da sve tržišne promenljive imaju normalnu raspodelu, da su korelacije između tih tržišnih promenljivih konstantne i da je delta svakog portfolija konstantna (delta predstavlja osetljivost portfolija na promene cene aktiva) VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive Neka se portfolio sastoji od jedne aktive. Pretpostavlja se da prinos te aktive (promena vrednosti aktive) R ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i disperzijom. VaR takve slučajne promenljive, sa nivoom poverenja α, je gde je Z slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Neka je, radi jednostavnijeg zapisa, uvedena oznaka. Kod ovih modela se pretpostavlja da je očekivana promena tržišnih promenljivih tokom vremena jednaka nuli (, a opravdanje leži u tome što je za kratak vremenski period ona mnogo manja od standardne devijacije promene i može se zanemariti. Na osnovu nivoa poverenja α jednostavno se izračunava vrednost, jer je. Zaista, na osnovu Definicije 2.1 važi odnosno. Ako je iznos uložen u datu aktivu (cena aktive) onda je prinos portfolija izražen u osnovnoj valuti jednak, a disperzija prinosa portfolija Tada je jednodnevni α% VaR razmatranog portfolija gde je dnevna volatilnost aktive. Desetodnevni α% VaR se dobija kada se vrednost sa. pomnoži 26
27 Primer 3.1. Neka se portfolio sastoji od $ u akcijama Microsofta i neka je dnevna volatilnost akcija 2%. Potrebno je izračunati desetodnevni VaR razmatranog portfolija sa nivoom poverenja 99%. Kako je dnevna volatilnost 2% (što odgovara godišnjoj volatilnosti od 32%) i vrednost portfolija je $ , to standardna devijacija dnevne promene vrednosti portfolija iznosi 2% od $ , odnosno $ Zbog pretpostavke da prinos portfolija ima normalnu raspodelu vrednost se izračunava na sledeći način odakle se dobija Tada je jednodnevni 99% VaR a desetodnevni 99% VaR je VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva Portfolio se karakteriše pozicijama u određenom broju aktiva (finansijskih instrumenata), čija je vrednost data u baznoj valuti, na primer dolarima. Ako su pozicije fiksirane u izabranom vremenskom periodu, stopa prinosa portfolija je težinska suma prinosa aktiva u njegovom sastavu. Težinski koeficijenti predstavljaju odnos količine novca uloženog u datu hartiju od vrednosti i vrednosti čitavog portfolija. Dakle, VaR portfolija se može konstruisati kao kombinacija rizika svih hartija od vrednosti u njegovom sastavu. Neka je stopa prinosa portfolija od trenutka t do trenutka t+1 definisana na sledeći način gde je N broj aktiva, je stopa prinosa aktive i, a je težinski koeficijent aktive i. Koeficijenti su konstruisani tako da prikazuju odnos ulaganja u svaku aktivu portfolija čija je ukupna vrednost W, tako da je suma koja je uložena u aktivu i data sa. Za potrebe određivanja VaR a svaka komponenta se definiše kao faktor rizika i tada težinski koeficijent predstavlja linearnu izloženost portfolija ovom faktoru rizika. Prinos portfolija se može dati u matričnom zapisu 27
28 gde je transponovani vektor težina, a R vektor prinosa aktiva u portfoliju. Ako je i, očekivani prinos portfolija je a njegova disperzija Pretpostavlja se da je očekivani prinos portfolija jednak nuli za mali vremenski period. Disperzija prinosa portfolija zavisi ne samo od disperzija prinosa pojedinačnih aktiva već i od svih njihovih kovarijansi, što je ukupno različitih odnosa. Disperzija prinosa portfolija se može predstaviti u obliku Ako se kovarijansna matrica označi sa, disperzija stope prinosa portfolija je Ako se disperzija prinosa portfolija izražava u valuti, tada je gde je x vektor cena svih aktiva u portfoliju. Na osnovu disperzije prinosa portfolija potrebno je izračunati VaR portfolija. To će biti moguće ako je poznata raspodela prinosa portfolija. U varijansno kovarijansnom modelu sve pojedinačne aktive imaju normalno raspodeljene prinose. Korišćenje normalne raspodele pojedinačnih prinosa je pogodno jer i prinos portfolija, kao linearna kombinacija prinosa aktiva, ima normalnu raspodelu. Tada se nivo poverenja α može jednostavno prevesti u 28
29 vrednost pomoću jednakosti, gde je Z slučajna promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom. Diversifikovani VaR je VaR portfolija koji uzima u obzir prednosti diversifikacije. Ako je W vrednost portfolija tada je VaR portfolija jednak Individualni VaR je VaR jedne aktive portfolija posmatrane nezavisno od ostalih. Rizik svake od aktiva u portfoliju je VaR portfolija zavisi od disperzija i kovarijansi prinosa aktiva u portfoliju, kao i od broja aktiva. Opseg kovarijanse prinosa aktiva zavisi od disperzija prinosa pojedinačnih aktiva i ne može se jednostavno interpretirati. Zbog toga se koristi koeficijent korelacije ρ kao mera linearne zavisnosti dve promenljive Rizik portfolija se smanjuje kroz niske korelacije između aktiva ili sa povećanjem broja aktiva. Da bi bio ocenjen uticaj broja aktiva na rizik portfolija pretpostavlja se da sve aktive imaju isti rizik, da su sve korelacije između aktiva jednake kao i da su svi težinski koeficijenti jednaki. Pod pretpostavkom da je i za svako, na osnovu (3.1) disperzija prinosa portfolija je Tada rizik portfolija zavisi od Kako se rizik smanjuje sa povećanjem broja aktiva za različite vrednosti koeficijenta korelacije prikazano je na Slici
30 Slika 3.1 Zavisnost od broja aktiva za različite vrednosti Dakle, niska korelacija pomaže u smanjenju rizika portfolija. U slučaju portfolija koji se sastoji iz dve aktive, diversifikovana disperzija portfolija je VaR portfolija je tada Kada je korelacija prinosa dve aktive jednaka nuli, odnosno kada su prinosi aktiva nezavisni VaR, portfolija se redukuje na odakle se može zaključiti da je rizik portfolija manji od zbira rizika pojedinačnih aktiva, tj. Dakle portfolio je manje rizičan ako se sastoji od aktiva koje su nezavisne među sobom. Kada su prinosi aktiva u savršenoj pozitivnoj korelaciji i vrednosti pozitivne, jednakost (3.2) se svodi na 30
31 Drugim rečima, VaR portfolija je jednak zbiru individualnih VaR mera ako su dve aktive u sastavu portfolija savršeno pozitivno korelisane. Međutim, u praksi je najčešći slučaj da aktive nisu savršeno korelisane. Dobitak diversifikacije se može definisati kao razlika između diversifikovanog VaR a i nediversifikovanog VaR a. Nediversifikovani VaR je zbir individualnih VaR mera ili VaR portfolija kada su sve aktive u njemu savršeno korelisane i nema mogućnosti kratke prodaje. Ova interpretacija ne važi kada su dozvoljene kratke pozicije u aktivi. Primer 3.2. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od dve strane valute kanadskog dolara (CAD) i evra (EUR). Neka su ove dve valute međusobno nekorelisane, i neka je njihova volatilnost prema dolaru 5% i 12% dnevno, respektivno. Neka je investitor uložio $ u CAD i $ u EUR. Treba izračunati jednodnevni VaR portfolija sa nivoom poverenja 95%. Najpre treba izračunati disperziju prinosa portfolija u dolarima. Neka je x vektor količine novca izloženog svaku od dve valute, u milionima. Tada je Disperzija portfolija je (u milionima dolara) Volatilnost portfolija je miliona. Kako je, dobija se da je VaR portfolija Individualni VaR se dobija na jednostavan način jer je. Nediversifikovani VaR je tada i veći je od VaR a portfolija zbog efekata diversifikacije. Dobitak diversifikacije iznosi 31
32 3.1.3 VaR alati VaR je prvobitno osmišljen da meri rizik portfolija, međutim menadžeri su otkrili nove načine za upravljanje rizikom koji se baziraju na ovoj metodologiji. Alati koji su razvijeni u ove svrhe su marginalni, inkrementalni i komponentni VaR Marginalni VaR Marginalni VaR je alat razvijen u cilju ispitivanja efekata promene pozicija u aktivama koje čine portfolio na ukupan rizik portfolija. Marginalni VaR predstavlja promenu VaR a portfolija koja nastaje promenom pozicija u jednoj aktivi. Neka se postojeći portfolio sastoji od N aktiva označenih sa j, j=1,2,...,n. Novi portfolio se dobija promenom broja pozicija u aktivi i. Potrebno je izmeriti marginalni doprinos ove promene ukupnom riziku portfolija. Diferenciranjem jednakosti (3.1) po dobija se Na osnovu izvoda disperzije portfolija se može izračunati izvod volatilnosti. Kako je, osetljivost volatilnosti portfolija na promenu jednaka je Marginalni VaR je jednak tako da je marginalni VaR portfolija vektor sa koordinatama Marginalni VaR je u tesnoj vezi sa parametrom beta (β) koji je definisan na sledeći način 32
33 Beta meri doprinos jedne aktive ukupnom riziku portfolija. Naziva se još i sistematski rizik aktive i u odnosu na portfolio. Beta predstavlja nagib prave linearne regresije po u proizvoljnom trenutku t Za sve aktive u portfoliju beta koeficijent se može predstaviti kao vektor oblika Vektor i konstanta se dobijaju prilikom izračunavanja VaR a, pa se β i marginalni VaR lako mogu odrediti nakon određivanja VaR a. Veza između marginalnog VaR a (ΔVaR) i β se dobija na osnovu (3.3) i (3.4) Marginalni VaR se koristi često u menadžmentu rizika. Ako investitor želi da smanji VaR portfolija smanjenjem broja pozicija u nekoj aktivi za neki fiksni iznos, trebalo bi da rangira sve vrednosti za marginalni VaR i da izabere aktivu koja ima najveći marginalni VaR. Smanjenje broja pozicija u izabranoj aktivi će, pod datim uslovima, investitoru pružiti najveći efekat zaštite portfolija od rizika Inkrementalni VaR Inkrementalni VaR predstavlja promenu u vrednosti VaR koja nastaje usled promene pozicija u aktivama koje čine portfolio. Od marginalnog VaR a se razlikuje po tome što količina novca koja se dodaje ili uzima iz portfolija može biti velika, pa promena VaR a nije linearna. U idealnom sličaju, najpre se određuje VaR portfolija na osnovu početnih pozicija u aktivama, a zatim se, promenom u sastavu portfolija čija je dolarska vrednost predstavljena vektorom a, ponovo računa VaR na osnovu novih pozicija u aktivama. Inkrementalni VaR portfolija se određuje kao razlika ove dve vrednosti 33
34 Slika 3.2 Puni inkrementalni VaR Poređenje pre i posle može obezbediti puno informacija. Ako se inkrementalni VaR smanjuje onda je promenom u sastavu portfolija izvršena zaštita portfolija, u suprotnom je promena donela veći rizik. Treba napomenuti da a može da predstavlja promenu pozicija jedne aktive, a može biti i složena promena većeg broja aktiva odjednom. Zbog toga se a naziva vektor novih pozicija. Glavna mana ovog pristupa je to što zahteva punu evaluaciju VaR a sa svakom novom promenom. Ovaj postupak može da bude dugotrajan ako se primenjuje na veliki portfolio. U nekim slučajevima, kada banka ili neka druga institucija ne može da čeka sa preduzimanjem odgovarajućih mera, ovaj pristup nije poželjan. Međutim, postoji aproksimacija koja u tim slučajevima predstavlja prečicu. Neka je dat razvoj za u red oko vrednosti, u kome se mogu zanemariti drugi izvodi ako je promena a mala. Zato se inkrementalni VaR može dati i kao aproksimacija Ovaj način izračunavanja se mnogo brže sprovodi u praksi jer se vektor ΔVaR dobija prilikom određivanja VaR a portfolija. 34
35 Slika 3.3 Aproksimacija inkrementalnog VaR a Naizgled, ova aproksimacija pruža brzo izračunavanje na račun preciznosti. Međutim, može se pokazati da ova aproksimacija daje dovoljno dobre rezultate, naročito kada se radi sa velikim portfolijima, gde bi nova potpuna evaluacija zahtevala veliki broj računskih operacija. Kada se razmatra veliki portfolio obično je data promena mala u odnosu na njegovu vrednost i tada je (3.6) dobra aproksimacija. Pokazano je kako se primenjuje inkrementalni VaR u opštem slučaju, kada se promena u sastavu portfolija vrši promenom pozicija u više aktiva odjednom. Neka se posmatra promena portfolija predstavljena promenom broja pozicija u jednoj aktivi. Vrednost portfolija se menja od W na, gde je a iznos uložen u aktivu i. Disperzija prinosa novog portfolija izražena u dolarima je Menadžeri rizika na osnovu prethodne jednakosti mogu da odrede iznos promene a koji će da minimizira rizik portfolija. Diferenciranjem prethodne jednakosti po a dobija se Izjednačavanjem prvog izvoda (3.7) sa nulom i primenom (3.4) dobija se optimalna vrednost za a 35
36 Ova pozicija je poznata kao najbolja zaštita portfolija od rizika. Najbolja zaštita portfolija od rizika predstavlja dodatni iznos koji treba uložiti u određenu aktivu da bi se smanjio ukupan rizik portfolija. Primer 3.2. (nastavak) Neka se razmatra uvećanje ulaganja u CAD u vrednosti od $ Najpre se određuje marginalni VaR portfolija. Koeficijent β se izračunava na osnovu (3.5) i jednak je Marginalni VaR portfolija je Ako se pozicija u CAD poveća za $10 000, tada je aproksimativni inkrementalni VaR jednak Inkrementalni VaR dobijen novom potpunom evaluacijom rizika portfolija se određuje na osnovu odakle je. Početni VaR portfolija je bio, pa je prava vrednost inkrementalnog VaR a $529. Može se uočiti da je aproksimacija pomoću marginalnog VaR a jednaka pravoj vrednosti. Linearna aproksimacija daje odlične rezultate jer je promena u pozicijama relativno mala Komponentni VaR Za menadžment rizika bi bilo veoma korisno da se za dati portfolio izvši dekompozicija rizika. To nije jednostavno uraditi jer volatilnost portfolija nije linearna funkcija volatilnosti aktiva. Ne može se primeniti pristup u kome se računa zbir individualnih vrednosti VaR za svaku aktivu jer ne uzima u obzir efekte difersifikacije. Potreban je metod dekompozicije koji prepoznaje ove efekte. 36
37 Komponentni VaR portfolija predstavlja deo VaR a portfolija koji ukazuje na to koliko bi se VaR portfolija promenio ako bi se data aktiva (komponenta) uklonila iz portfolija. Kao pomoć pri merenju doprinosa svake aktive ukupnom riziku portfolija koristiće se marginalni VaR. Množenjem iznosom uloženim u aktivu (faktor rizika) dobija se komponentni VaR Treba napomenuti da se preciznost linearne aproksimacije povećava kada su pozicije u aktivama koje čine portfolio male. Zato je dekompozicija posebno korisna u radu sa velikim portfolijima koji najčešće imaju više manjih pozicija u aktivama. Zbir svih komponentnih VaR a je jednak upravo VaR-u portfolija Izraz u zagradi je jednak jedinici jer je Aktive čiji komponentni VaR ima negativni predznak predstavljaju zaštitu ostatka portfolija. Nasuprot tome, komponente sa pozitivnim predznakom povećavaju ukupan rizik portfolija. Komponentni VaR se može još više pojednostaviti. Uzevši u obzir da važi, komponentni VaR je jednak Dakle, komponentni VaR je mera koja reflektuje korelacije između aktiva u portfoliju. Konačno se može izvesti procentualni doprinos komponente i VaR u portfolija 37
38 Svi VaR alati su neprocenjivi u menadžmentu rizika jer je njihova upotreba omogućila korisnicima da kontrolišu VaR svog portfolija. Primer 3.2. (nastavak) Neka se traži komponentni VaR datog portfolija. Izračunavanje se vrši iz, tako da je Zbir je zaista jednak $ , odnosno vrednosti. Najveća komponenta je pozicija u EUR, koja ima i najveću volatilnost. Oba broja su pozitivna, što znači da nijedna pozicija ne pruža zaštitu datom portfoliju. Neka je broj pozicija u EUR jednak nuli. Kako se portfolio sastoji od dve aktive onda je novi VaR bez pozicije u EUR jednak VaR-u CAD komponente, Inkrementalni VaR pozicije u EUR je. Komponentni VaR iznosi $ i značajno je veći od $ Aproksimacija nije tako dobra kao ranije jer se portfolio sastoji od samo dve aktive, a svaka od njih ima veliki udeo u ukupnom VaR-u. Može se očekivati bolja aproksimacija u slučajevima kada su VaR komponente male u odnosu na ukupan VaR. Slika 3.4 Dekompozicija VaR a Slika 3.4 prikazuje kratak rezime VaR alata primenjenih na portfolio koji se sastoji od dve valute. Na grafiku je VaR portfolija funkcija iznosa novca uloženog u pozicije u EUR. Marginalni VaR je promena VaR a koja nastaje dodavanjem $1 u poziciju EUR. Na grafiku je predstavljen nagibom 38
39 tangente na VaR krivu (0.1521). Inkrementalni VaR je promena VaR a koja nastaje uklanjanjem pozicije u EUR i iznosi $ ako se meri duž VaR krive. Komponentni VaR predstavlja aproksimaciju ove vrednosti merene duž tangente na VaR krivu i iznosi $ Komponentni VaR se dopunjuje do ukupnog VaR a portfolija i predstavlja dekompoziciju ukupnog rizika. Grafik takođe pokazuje da je najbolja zaštita portfolija od rizika pozicija $0 u EUR (VaR funkcija dostiže minimum u tački 0). Podaci se mogu prikazati i tabelarno, kao u Tabeli 3.1. Ovaj način prikaza daje vrednosti za VaR portfolija, ali i veliki broj drugih informacija za menadžere rizika. Valuta Trenutna pozicija ili Individualni VaR, Marginalni VaR, Komponentni VaR, Procentualni doprinos CAD $ $ $ % EUR $ $ $ % Ukupno $ Nediversifikovani VaR Diversifikovani VaR $ Tabela 3.1 $ % Na primer, kolona u kojoj su prikazane vrednosti za marginalni VaR može da se iskoristi kao pomoć u odlučivanju kako umanjiti rizik. Kako je marginalni VaR pozicije u EUR tri puta veći od iste mere pozicije u CAD, uklanjanje pozicije u EUR će biti mnogo korisnije nego uklanjanje pozicije u CAD Prednosti i slabosti parametarske metode Glavna slabost parametarske metode je pretpostavka o normalnoj raspodeli tržišnih promenljivih. Iako je u nekim slučajevima ova pretpostavka tačna, istraživanja pokazuju da uglavnom nije. Važan nedostatak je i pretpostavka o linearnom uticaju prinosa aktiva na promenu vrednosti portfolija. Ukoliko portfolio sadrži finansijske derivate, parametarski metod neće dati dobre rezulatate. Međutim, parametarska metoda je veoma laka za sprovođenje jer obuhvata jednostavno množenje matrica. Rizik svake aktive ima linearan uticaj na ukupan rizik portfolija tako da je parametarska metoda veoma brza metoda za izračunavanje VaR a, čak i kada se portfolio sastoji od velikog broja aktiva. Parametarski pristup je takođe pogodan za anlizu rizika portfolija jer se kao nusprodukti njegove primene dobijaju i mere 39
40 marginalnog i inkrementalnog rizika. Zbog svega navedenog, ova metoda je veoma korisna i jedna je od najčešće korišćenih metoda u menadžmentu rizika. 3.2 Metod istorijske simulacije Metod istorijske simulacije je veoma popularan metod za izračunavanje VaR a. Uključuje korišćenje istorijskih podataka kao uputstvo za ono što se može desiti u budućnosti. Prvi korak prilikom primene metoda jeste identifikovanje svih tržišnih promenljivih, na primer N, koje utiču na vrednost portfolija (spot cena, kamatna stopa, kurs, itd.) kao i njihovih vrednosti u prethodnih T dana, i Tako se može dobiti T različitih scenarija šta se može desiti sa vrednošću portfolija između današnjeg i sutrašnjeg dana. Drugi korak pri primeni metoda jeste određivanje hipotetičke vrednosti svake od tržišnih promenljivih sutra. Neka je prinos koji obezbeđuje i ta tržišna promenljiva, u trenutku,. Vrednost i-te tržišne promenljive sutra po tom scenariju se dobija tako što se današnja vrednost te promenljive uveća za promenu vrednosti po tom scenariju iz istorijskih podataka odnosno Ako je prinos i te tržišne promenljive u trenutku onda se vrednost sutra po scenariju može izračunati kao Nova vrednost portfolija po scenariju k je funkcija novih vrednosti tržišnih promenljivih po scenariju k, odnosno. Za svaki scenario se određuje promena vrednosti portfolija kao razlika, gde je vrednost portfolija u sadašnjem trenutku. Dobijeni niz promena vrednosti portfolija se sortira od najmanje do najveće vrednosti, tako da se VaR može odrediti na osnovu zadatog nivoa poverenja i Definicije 2.2 (preko dobitka portfolija). Ako se VaR određuje preko gubitka portfolija, potrebno je 40
Републичко такмичење
1 РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ОСНОВА ЕКОНОМИЈЕ БЕОГРАД, МАРТ 2015. Питања саставио: доцент др Ђорђе Митровић, Универзитет у Београду, Економски факултет 1. Монетаристи су Питања 1 поен а. сматрали да је незапосленост
ВишеPaper Title (use style: paper title)
Статистичка анализа коришћења електричне енергије која за последицу има примену повољнијег тарифног става Аутор: Марко Пантовић Факултет техничких наука, Чачак ИАС Техника и информатика, 08/09 e-mal адреса:
ВишеOsnovni pojmovi teorije verovatnoce
Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:
ВишеMicrosoft Word - Predmet 13-Napredni finansijski menadzment novembar 2018 RJESENJE
КОМИСИЈА ЗА РАЧУНОВОДСТВО И РЕВИЗИЈУ БОСНЕ И ХЕРЦЕГОВИНЕ ИСПИТ ЗА СТИЦАЊЕ ПРОФЕСИОНАЛНОГ ЗВАЊА ОВЛАШЋЕНИ РЕВИЗОР (ИСПИТНИ ТЕРМИН: НОВЕМБАР 2018. ГОДИНЕ) ПРЕДМЕТ 13: НАПРЕДНИ ФИНАНСИЈСКИ МЕНАЏМЕНТ ЕСЕЈИ
ВишеBazel II Stub 3 Objavljivanje
Vojvođanska banka a.d. Novi Sad Upravni odbor Banke Del. broj: 1.0-17370/14 Datum: 29.09.2015. Upravljanje rizicima i kapitalom Izveštaj 30.06.2015. godine Kapital, adekvatnost kapitala i tehnike ublažavanja
ВишеMicrosoft PowerPoint - jkoren10.ppt
Dickey-Fuller-ov test jediničnog korena Osnovna ideja Različite determinističke komponente Izračunavanje test-statistike Pravilo odlučivanja Određivanje broja jediničnih korena Algoritam testiranja Prošireni
ВишеMicrosoft PowerPoint - DS-1-16 [Compatibility Mode]
Ekonometrija 1-D Analiza vremenskih serija Predavač: Zorica Mladenović, zorima@eunet.rs, http://avs.ekof.bg.ac.rs kabinet: 414 1 Struktura predmeta Izučavaju se dve oblasti: Analiza vremenskih serija Analiza
ВишеUniverzitet u Nišu PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku PORTFOLIO TEORIJA MASTER RAD Student: Bojana Živković Mentor: Prof. dr Miljan
Univerzitet u Nišu PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Departman za matematiku PORTFOLIO TEORIJA MASTER RAD Student: Bojana Živković Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Niš, 2019. "Fundamentalni koncept portfolio
ВишеUvod u statistiku
Uvod u statistiku Osnovni pojmovi Statistika nauka o podacima Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka Staistička jedinica objekat kome se mjeri neko svojstvo. Svi
ВишеPowerPoint Presentation
Metode i tehnike utvrđivanja korišćenja proizvodnih kapaciteta Metode i tehnike utvrđivanja korišćenja proizvodnih kapaciteta Sa stanovišta pristupa problemu korišćenja kapaciteta, razlikuju se metode
ВишеПРИЛОГ 5 СЛОЖЕН ПОСЛОВНИ ПЛАН ЗА МЕРУ 3 1
ПРИЛОГ 5 СЛОЖЕН ПОСЛОВНИ ПЛАН ЗА МЕРУ 3 1 САДРЖАЈ ПОСЛОВНОГ ПЛАНА А. ОПШТЕ СМЕРНИЦЕ... 4 1. РЕЗИМЕ ПОСЛОВНОГ ПЛАНА... 5 2. ОПШТИ ПОДАЦИ... 5 2.1. Информације о подносиоцу захтева... 5 2.2. Информације
ВишеПрва економска школа Београд РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ СТАТИСТИКЕ март године ОПШТЕ ИНФОРМАЦИЈЕ И УПУТСТВО ЗА РАД Укупан број такмичарских
Прва економска школа Београд РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ СТАТИСТИКЕ 9-30. март 019. године ОПШТЕ ИНФОРМАЦИЈЕ И УПУТСТВО ЗА РАД Укупан број такмичарских задатака је 10. Број поена за сваки задатак означен је
ВишеRealne opcije
UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU MASTER RAD Trinomni model cena opcija Student: Marija Milovanović br. indeksa: 11 Niš, januar 2013. Mentor: dr Miljana Jovanović
ВишеТЕОРИЈА УЗОРАКА 2
ТЕОРИЈА УЗОРАКА 2 12. 04. 13. ВЕЖБАЊА Написати функције за бирање елемената популације обима N у узорак обима n, код простог случајног узорка, користећи алгоритме: Draw by draw procedure for SRS/SRSWOR
ВишеSlide 1
Merni sistemi u računarstvu, http://automatika.etf.rs/sr/13e053msr Merna nesigurnost tipa A doc. dr Nadica Miljković, kabinet 68, nadica.miljkovic@etf.rs Prezentacija za ovo predavanje je skoro u potpunosti
ВишеФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ВишеТехничко решење: Софтвер за симулацију стохастичког ортогоналног мерила сигнала, његовог интеграла и диференцијала Руководилац пројекта: Владимир Вуји
Техничко решење: Софтвер за симулацију стохастичког ортогоналног мерила сигнала, његовог интеграла и диференцијала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Велибор
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
ВишеPowerPoint Presentation
ТЕХНОЛОШКО ПРЕДВИЂАЊЕ Развој научног предвиђања Најзначајнија промена метода и техника се везује за појаву НАУЧНОГ предвиђања. Историјско-библиографски метод (са вештине на науку) Три фазе: 1. Религијска
Више1
Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N
ВишеMicrosoft PowerPoint - avs12-17 [Compatibility Mode]
Osobenosti ekonomskih vremenskih serija Zorica Mladenović 1 Ključna svojstva ekonomskih vremenskih serija Postojanje trenda Postojanje sezonskih varijacija Postojanje nestandardnih opservacija: strukturni
ВишеMicrosoft PowerPoint - vezbe 4. Merenja u telekomunikacionim mrežama
Merenja u telekomunikacionim mrežama Merenja telefonskog saobraćaja Primer 1 - TCBH Na osnovu najviših vrednosti intenziteta saobraćaja datih za 20 mernih dana (tabela), pomoću metode TCBH, pronaći čas
ВишеSadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
ВишеТалесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
ВишеSlide 1
Statistička analiza u hidrologiji Uvod Statistička analiza se primenjuje na podatke osmatranja hidroloških veličina (najčešće: protoka i kiša) Cilj: opisivanje veze između veličine i verovatnoće njene
ВишеSlide 1
Катедра за управљање системима ТЕОРИЈА СИСТЕМА Предавањe 2: Основни појмови - систем, модел система, улаз и излаз UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF ORGANIZATIONAL SCIENCES План предавања 2018/2019. 1.
ВишеVerovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
ВишеPowerPoint Presentation
Показатељи технолошког напретка Технолошки развој Резултира стварањем нових или побољшањем постојећих производа, процеса и услуга. Технолошки развој - део економског и друштвеног развоја. Научни и технолошки
ВишеMere slicnosti
Nenad Mitić Matematički fakultet nenad@matf.bg.ac.rs Kako odrediti sličnost/različitost, obrazaca, atributa, dogadjaja... Podaci različitog tipa i strukture Zavisnost od tipa, raspodele, dimenzionalnosti
ВишеMy_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
ВишеPowerPoint Presentation
Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:
ВишеD12_5 MNE_Dio 04 - Procjena EE Investicija F1
Ministarstvo ekonomije / Sektor za energetsku efikasnost Obuka o upravljanju energijom i energetskoj efikasnosti Procjena EE Investicija (pojednostavljena verzija) Pripremljeno pod okriljem projekta Tehnička
ВишеСлужбени гласник РС, бр. 30/2015 и 78/2017 На основу члана 128о став 5. Закона о банкама ( Службени гласник РС, бр. 107/2005, 91/2010 и 14/2015) и чла
Службени гласник РС, бр. 30/2015 и 78/2017 На основу члана 128о став 5. Закона о банкама ( Службени гласник РС, бр. 107/2005, 91/2010 и 14/2015) и члана 15a став 1. Закона о Народној банци Србије ( Службени
ВишеMONETARNA KRETANJA 02
MONETARNA KRETANJA 02 Bankarski sektor tokom prva tri kvartala 2018. godine karakteriše sigurnost i stabilnost, uz profitabilno poslovanje, ostvarenu visoku likvidnost i solventnost. Bilansna suma banaka
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila Potrošnja goriva Teorija kretanja drumskih vozila Potrošnja goriva
Ključni faktori: 1. ENERGIJA potrebna za kretanje vozila na određenoj deonici puta Povećanje E K pri ubrzavanju, pri penjanju, kompenzacija energetskih gubitaka usled dejstva F f i F W Zavisi od parametara
ВишеSlide 1
Matrica ciljeva Metode podrške menadžmentu tehnologije 1. Predviđanje: DELFI PATTERN 2. Izbor tehnologije: METOD POREĐENJA TROŠKOVA METOD BODOVANJA METOD RANGIRANJA AHP TEM NEW TECH EXPERT CHOICE 3. Ocena
ВишеСтудија квантитативног утицаја
РЕЗУЛТАТИ СТУДИЈЕ КВАНТИТАТИВНОГ УТИЦАЈА који се односи на велике изложености Бања Лука, јуни 2017. године С А Д Р Ж А Ј УВОД... 1 АНАЛИЗА ВЕЛИКИХ ИЗЛОЖЕНОСТИ... 3 ЗАКЉУЧАК... 5 Бања Лука, јуни 2017. године
ВишеДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
Више1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
ВишеОрт колоквијум
I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,
ВишеMicrosoft PowerPoint - 03_Prezentacija 1_Lea_ [Compatibility Mode]
Efikasnost i efektivnost državnih pomoći Lea J. Lekočević SAM GIZ ekspert za državne pomoći Podgorica, 30. oktobar 2013. godine Page 1 Opšti nalazi Evropa 2010 strategija EZ za rast u ovoj deceniji jedinstveno
ВишеPolitika pridruživanja i razvrstavanja naloga - u primeni od godine
Prilog 2 Pravila poslovanja pri pružanju investicionih usluga, usvojena na sednici Izvršnog odbora, održanoj dana 22.01.2019. godine (br. IO_2_19/5 od 22.01.2019. godine). POLITIKA PRIDRUŽIVANJA I RAZVRSTAVANJA
ВишеTEORIJA SIGNALA I INFORMACIJA
Multiple Input/Multiple Output sistemi MIMO sistemi Ulazi (pobude) Izlazi (odzivi) u 1 u 2 y 1 y 2 u k y r Obrada=Matematički model Načini realizacije: fizički sistemi (hardware) i algoritmi (software)
ВишеPowerPoint Presentation
Финансијски ризици Врсте финансијских ризика Тржишни ризици: Ризик цена ризик цене једне опције (производа, услуге, ) или целог портфолија, ризик валуте Ризик извршења опасност да трансакција не може да
ВишеТехничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић
Техничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Драган Пејић, Бојан Вујичић, Небојша Пјевалица,
ВишеРЕШЕЊА 1. (2) Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подр
РЕШЕЊА. () Обележја статистичких јединица посматрања су: а) особине које су заједничке за јединице посматрања б) особине које се проучавају, а подразумевају различите вредности по јединицама посматрања
ВишеIZVRŠNI ODBOR Broj: 265/15 Objavljivanje podataka i informacija MARFIN banke a.d. Beograd godine
IZVRŠNI ODBOR Broj: 265/15 Objavljivanje podataka i informacija MARFIN banke a.d. Beograd 30.06.2015. godine Marfin Banka a.d. Beograd (u daljem tekstu: Banka) u skladu sa Odlukom o objavljivanju podataka
ВишеMicrosoft PowerPoint - SEP-2013-CAS02
STRATEGIJE E ZA ELEKTRONSKO POSLOVANJE STRATEGIJE ZA ELEKTRONSKO POSLOVANJE Elektronsko poslovanje ne predstavlja samo dodatak tradicionalnom, već ono predstavlja revoluciju u poslovanju. Ono omogućava
ВишеSKRAĆENI PROSPEKT Dobrovoljnog penzijskog fonda DDOR-GARANT ŠTEDNJA DDOR GARANT a.d. Member of Prva Group
SKRAĆENI PROSPEKT Dobrovoljnog penzijskog fonda DDOR-GARANT ŠTEDNJA DDOR GARANT a.d. Member of Prva Group UVOD Poslovno ime društva: DDOR-GARANT društvo za upravljanje dobrovoljnim penzijskim fondom a.d.
Вишеkljklčkčjklčjlk
СЕКТОР ЗА НАДЗОР НАД ОБАВЉАЊЕМ ДЕЛАТНОСТИ ОСИГУРАЊА СЕКТОР ОСИГУРАЊА У СРБИЈИ Извештај за треће тромесечје 2015. године Народна банка Србије Садржај: 1. Тржиште осигурања... 4 1.1. Учесници на тржишту...
ВишеClassroom Expectations
АТ-8: Терминирање производно-технолошких ентитета Проф. др Зоран Миљковић Садржај Пројектовање флексибилних ; Математички модел за оптимизацију флексибилних ; Генетички алгоритми у оптимизацији флексибилних
ВишеOTP banka Srbija a.d. Novi Sad OBJAVLJIVANJE PODATAKA I INFORMACIJA 30. jun godine Novi Sad, septembar godine
OBJAVLJIVANJE PODATAKA I INFORMACIJA 30. jun 2014. godine Novi Sad, septembar 2014. godine SADRŽAJ: 1. UVOD... 3 2. KAPITAL BANKE... 4 3. ADEKVATNOST KAPITALA BANKE... 5 4. TEHNIKE UBLAŽAVANJE KREDITNOG
ВишеMicrosoft PowerPoint - Ispitivanje povezanosti Regresija redovni decembar 2007 [Compatibility Mode]
Ispitivanje povezanosti Jelena Marinkovi Institut za medicinsku statistiku i informatiku Medicinskog fakulteta Beograd, decembar 2007.g. Kakav je odnos DOZA-EFEKAT (ODGOVOR)? Log Doza vs Odgovor 150 y-osa
ВишеCelobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
ВишеMicrosoft Word - Objavljivanje podataka i informacija OTP Banke na dan docx
OBJAVLJIVANJE PODATAKA I INFORMACIJA 30. jun 2013. godine Novi Sad, septembar 2013. godine SADRŽAJ: 1. UVOD... 3 2. KAPITAL BANKE... 4 3. ADEKVATNOST KAPITALA BANKE... 5 4. TEHNIKE UBLAŽAVANJE KREDITNOG
ВишеMicrosoft Word - Pravilnik-fin izvestaji za DPF-2007.doc
"Службени гласник РС", бр. 15/2007 На основу члана 26. став 2. Закона о рачуноводству и ревизији ("Службени гласник РС", бр. 46/2006) и члана 27. став 2. тачка 3. Закона о добровољним пензијским фондовима
ВишеMicrosoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
ВишеUVOD Poslovno ime društva: DDOR-GARANT društvo za upravljanje dobrovoljnim penzijskim fondom a.d. Beograd Poslovno ime fonda: DDOR-GARANT Ekvilibrio d
UVOD Poslovno ime društva: DDOR-GARANT društvo za upravljanje dobrovoljnim penzijskim fondom a.d. Beograd Poslovno ime fonda: DDOR-GARANT Ekvilibrio dobrovoljni penzijski fond Kastodi banka: Societe Generale
ВишеIZVRŠNI ODBOR Broj: 404/13 Objavljivanje podataka i informacija MARFIN banke a.d. Beograd godine
IZVRŠNI ODBOR Broj: 404/13 Objavljivanje podataka i informacija MARFIN banke a.d. Beograd 30.06.2013. godine Marfin Banka a.d. Beograd (u daljem tekstu: Banka) u skladu sa Odlukom o objavljivanju podataka
ВишеMicrosoft Word - CAD sistemi
U opštem slučaju, se mogu podeliti na 2D i 3D. 2D Prvo pojavljivanje 2D CAD sistema se dogodilo pre više od 30 godina. Do tada su inženjeri koristili table za crtanje (kulman), a zajednički jezik komuniciranja
ВишеMicrosoft Word - Predmet 6-Primjena upravljackog racunovodstva maj 2019 RJESENJE
I ТЕСТ ПIТАЊА КОМИСИЈА ЗА РАЧУНОВОДСТВО И РЕВИЗИЈУ БОСНЕ И ХЕРЦЕГОВИНЕ ИСПИТ ЗА СТИЦАЊЕ ПРОФЕСИОНАЛНОГ ЗВАЊА СЕРТИФИКОВАНИ РАЧУНОВОЂА (ИСПИТНИ ТЕРМИН: МАЈ 2019. ГОДИНЕ) ПРЕДМЕТ 6: ПРИМЈЕНА УПРАВЉАЧКОГ
ВишеTеорија одлучивања
Tеорија одлучивања Аналитички хијерархијски процес Циљ предавања Упознавање са АХП медотом Врсте АХП методе Предности и недостаци АХП методе Софтвери АХП Expert Choice MakeItRational (.com) Пример АХП
ВишеРационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје
Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева. Из скупа {,,,, 0,,, } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.. Запиши
ВишеPowerPoint Presentation
GRANIČNE TEME MIKROEKONOMIJE Dr JOVAN ĐURAŠKOVIĆ Moralni hazard 2 Moralni hazard predstavlja sklonost ka nepoštenom ponašanju osobe nad kojom ne postoji savršen nadzor Bolji nadzor, veće nadnice i odložena
Више6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
Више_MetodologijaGASDistribucijaIzmena
На основу члана 15, а у вези са чланом 36. Закона о енергетици ( Службени гласник РС, број 84/04) и члана 12. Статута Агенције за енергетику Републике Србије ( Службени гласник РС, број 52/05), Савет Агенције
ВишеСЕКТОР ЗА НАДЗОР НАД ОБАВЉАЊЕМ ДЕЛАТНОСТИ ОСИГУРАЊА ОДЕЉЕЊЕ ЗА НАДЗОР НАД ДЕЛАТНОШЋУ ДОБРОВОЉНИХ ПЕНЗИЈСКИХ ФОНДОВА СЕКТОР ДОБРОВОЉНИХ ПЕНЗИЈСКИХ ФОНД
СЕКТОР ЗА НАДЗОР НАД ОБАВЉАЊЕМ ДЕЛАТНОСТИ ОСИГУРАЊА ОДЕЉЕЊЕ ЗА НАДЗОР НАД ДЕЛАТНОШЋУ ДОБРОВОЉНИХ ПЕНЗИЈСКИХ ФОНДОВА СЕКТОР ДОБРОВОЉНИХ ПЕНЗИЈСКИХ ФОНДОВА У СРБИЈИ Извештај за прво тромесечје године Садржај:
ВишеMicrosoft Word - finansijski administrator_zasnovanost kvalifikacije.doc
ОБРАЗОВНИ ПРОФИЛ ФИНАНСИЈСКИ АДМИНИСТРАТОР СТАНДАРД КВАЛИФИКАЦИЈЕ, ЦИЉЕВИ И ИСХОДИ СТРУЧНОГ ОБРАЗОВАЊА 1. Назив квалификације: Финансијски администратор 2. Подручје рада: Економија, право и администрација
ВишеMicrosoft Word - uputstvo_ulaganje_
На основу члана 10. став 6. Закона о друштвима за осигурање ( Службени гласник Републике Српске број: 17/05, 01/06 и 64/06), члана 20. Статута Агенције за осигурање Републике Српске ( Службени гласник
ВишеMicrosoft PowerPoint - Pokazatelji TP i stopa TP_ za studente [Compatibility Mode]
Показатељи технолошког напретка Технолошки развој Резултира стварањем новихили побољшањем постојећихпроизвода, процеса и услуга. Технолошки развој - део економског и друштвеног развоја. Научни и технолошки
ВишеNo Slide Title
IZRAČUNAVANJE CIJENA I PRINOSA HARTIJA OD VRIJEDNOSTI Cijena koju je investitor spreman da plati za bilo koji finansijski instrument predstavlja sadašnju vrijednost očekivanog budućeg neto novčanog toka
ВишеОДГОВОРИ НА НАЈЧЕШЋЕ ПОСТАВЉАНА ПИТАЊА У ВЕЗИ СА ПРИМЕНОМ ОДЛУКЕ О ИЗМЕНАМА И ДОПУНАМА ОДЛУКЕ О КЛАСИФИКАЦИЈИ БИЛАНСНЕ АКТИВЕ И ВАНБИЛАНСНИХ СТАВКИ БА
ОДГОВОРИ НА НАЈЧЕШЋЕ ПОСТАВЉАНА ПИТАЊА У ВЕЗИ СА ПРИМЕНОМ ОДЛУКЕ О ИЗМЕНАМА И ДОПУНАМА ОДЛУКЕ О КЛАСИФИКАЦИЈИ БИЛАНСНЕ АКТИВЕ И ВАНБИЛАНСНИХ СТАВКИ БАНКЕ ( Службени гласник РС бр. 103/2018 у даљем тексту:
ВишеОрт колоквијум
Задатак 1 I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада - 008/009 (16.05.009.) Р е ш е њ е a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један, лако
ВишеGrafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -
ВишеRavno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
ВишеIzmenaMetNafta
На основу члана 15, а у вези са чланом 36. Закона о енергетици ( Службени гласник РС, број 84/04) и члана 12. Статута Агенције за енергетику Републике Србије ( Службени гласник РС, број 52/05), Савет Агенције
ВишеMicrosoft Word - 13pavliskova
ПОДЗЕМНИ РАДОВИ 4 (5) 75-8 UDK 6 РУДАРСКО-ГЕОЛОШКИ ФАКУЛТЕТ БЕОГРАД YU ISSN 5494 ИЗВОД Стручни рад УПОТРЕБА ОДВОЈЕНОГ МОДЕЛА РЕГЕНЕРАЦИЈЕ ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ ПОУЗДАНОСТИ ТРАНСПОРТНЕ ТРАКЕ Павлисковá Анна, Марасовá
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
ВишеGENETSKI TREND PRINOSA MLEKA I MLEČNE MASTI U PROGENOM TESTU BIKOVA ZA VEŠTAČKO OSEMENJAVANJE
IV SEMINAR ODGAJIVAČKIH ORGANIZACIJA U STOČARSTVU REPUBLIKE SRBIJE HOTEL ĐERDAP TURIST 01.- 04. April 2018. Procena oplemenjivačkih vrednosti u stočarstvu ES( G) h 2 i L r IH Prof. dr Snežana Trivunović,
ВишеОрт колоквијум
II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу
ВишеUputstvo - COREP
НАРОДНА БАНКА СРБИЈЕ Сектор за контролу пословања банака МЕТОДОЛОГИЈА ЗА ИЗРАДУ OБРАЗАЦА ПОКГ И ПНО Овом методологијом се детаљно објашњавају елементи и начин израде Извештаја о промени очекиваних кредитних
ВишеКонтрола ризика на радном месту – успостављањем система менаџмента у складу са захтевима спецификације ИСО 18001/2007
Profesor: dr Biljana Gemović Rizik je termin usko povezan sa svim poslovnim i proizvodnim aktivnostima i njegovo postojanje kao takvo mora biti prepoznato i prihvaćeno. Standard OHSAS 18001:2007 rizik
ВишеИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Фебруар Београд, март 2019.
ИЗВЕШТАЈ О РЕЗУЛТАТИМА АНКЕТЕ О ИНФЛАЦИОНИМ OЧЕКИВАЊИМА Фебруар 219. Београд, март 219. С А Д Р Ж А Ј Уводна напомена... 3 Резиме... 4 Инфлациона очекивања финансијског сектора... 5 Инфлациона очекивања
ВишеMicrosoft Word - Master rad VERZIJA ZA STAMPU
УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Радослав Божић Примене стратификованог узорка - мастер рад - Нови Сад, 2012 Садржај Предговор...3 1. Увод...4
ВишеAAA
IZVEŠTAJ BONITETNE IZVRSNOSTI Izdavač: Bisnode d.o.o. Član grupe BISNODE, Stockholm, Švedska PAN-SEED EKSPORT-IMPORT,DRUŠTVO SA OGRANIČENOM ODGOVORNOŠĆU NOVI SAD Izdato dana 27.7.2015 BONITETNI IZVEŠTAJ,
ВишеNaslovna_0:Naslovna _0.qxd.qxd
Децембар СТАТИСТИЧКИ БИЛТЕН Децембар 2011 УРЕДНИШТВО БРАНКО ХИНИЋ, главни уредник Чланови ЈЕЛЕНА МАРАВИЋ МАРИНА МЛАДЕНОВИЋ-КОМАТИНА ВЕСЕЛИН ПЈЕШЧИЋ БИЉАНА САВИЋ ДР МИЛАН ШОЈИЋ Статистички билтен Издаје
ВишеНа основу члана 15. и члана 59. став 2. Закона о Агенцији за борбу против корупције ( Службени гласник РС, бр. 97/08, 53/10, 66/11 - одлука УС, 67/13
На основу члана 15. и члана 59. став 2. Закона о Агенцији за борбу против корупције ( Службени гласник РС, бр. 97/08, 53/10, 66/11 - одлука УС, 67/13 - одлука УС, 112/13 - аутентично тумачење и 8/15 -
ВишеDISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA Kombinatorika Permutacije, kombinacije, varijacije, binomna formula Ivana Milosavljević - 1 - 1. KOMBINATORIKA PRINCIPI PREBROJAVANJA Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata
ВишеMakroekonomija
Ekonomski rast Štednja, akumulacija kapitala i proizvodnja Tehnološki napredak Prof.dr Maja Baćović 28/03/2019. Pojmovi Rast mjera kvantitativne promjene pojave ili procesa Razvoj mjera kvalitativne promjene
ВишеАприл 2019
Април 2019 СТАТИСТИЧКИ БИЛТЕН Април 2019 НАРОДНА БАНКА СРБИЈЕ Београд, Краља Петра 12 Тел. 011/3027-100 Београд, Немањина 17 Тел. 011/333-8000 www.nbs.rs ISSN 1451-6349 Садржај Преглед текућих кретања..................................................
ВишеMicrosoft Word - 7. cas za studente.doc
VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке
ВишеФебруар 2018
Фебруар 2018 СТАТИСТИЧКИ БИЛТЕН Фебруар 2018 НАРОДНА БАНКА СРБИЈЕ Београд, Краља Петра 12 Тел. 011/3027-100 Београд, Немањина 17 Тел. 011/333-8000 www.nbs.rs ISSN 1451-6349 Садржај Преглед текућих кретања..................................................
ВишеТехничко решење: Метода мерења реактивне снаге у сложенопериодичном режиму Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аут
Техничко решење: Метода мерења реактивне снаге у сложенопериодичном режиму Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Иван Жупунски, Небојша Пјевалица, Марјан Урекар,
ВишеZadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 4 uzoraka seruma (µmol/l): 1.8 13.8 15.9 14.7 13.7 14.7 13.5 1.4 13 14.4 15 13.1 13. 15.1 13.3 14.4 1.4 15.3 13.4 15.7 15.1 14.5
ВишеMetodologija normiranja rada kontrolora i posada pauk vozila
Dragan Jovanović Direktor sektora za IT JKP Parking Servis Novi Sad Menadžment JKP Parking Servisa Novi Sad je nakon uvoďenja SMS sistema naplate parkinga uvideo potrebu za normiranjem rada kontrolora.
ВишеP1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1
Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata
ВишеЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ
Универзитет у Београду, Електротехнички факултет, Катедра за енергетске претвараче и погоне ЕНЕРГЕТСКИ ТРАНСФОРМАТОРИ (3Е3ЕНТ) Јул 9. Трофазни уљни енергетски трансформатор са номиналним подацима: 4 V,
Више