DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 31.oţujka-2.travnja razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UĈENIK IM

Слични документи
os07zup-rjes.dvi

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

Microsoft Word - z4Ž2018a

Natjecanje 2016.

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Jednadžbe - ponavljanje

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 24ms221

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

8. razred kriteriji pravi

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

m3b.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 24ms241

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

PRAVAC

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

gt3b.dvi

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Matematika 1 - izborna

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

ss08drz-A-zad.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

ss08drz-A-zad.dvi

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Microsoft Word - 6ms001

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

Matematički leksikon

untitled

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

gt1b.dvi

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

0255_Uvod.p65

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

UDŽBENIK 2. dio

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

XV. GIMNAZIJA, ZAGREB PROVJERA POSEBNIH ZNANJA IZ PREDMETA MATEMATIKA ISPITNA KNJIŽICA Datum Trajanje 60 minuta Zaporka (tri znamenke i pet slova) zna

atka 26 (2017./2018.) br. 102 NEKE VRSTE DOKAZA U ČAROBMATICI Jadranka Delač-Klepac, Zagreb jednoj smo priči spomenuli kako je važno znati postavljati

Algebarski izrazi (4. dio)

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVETE ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I VASPITANJA PEDAGOŠKI ZAVOD VOJVODINE ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

1

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Slide 1

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, ožujka razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DR

untitled

PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije

Транскрипт:

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAĈIN 1 Neka je najmanji broj niza Tada vrijedi: ++1+++++ ++0 = 010 + +15 1 + 0 1 = 010 + + 15 1 + 465 = + 05 1 = 05 465 0 = 1560 = 5 To je niz brojeva 5, 5, 54,, 8 Najveći broj niza je 8 Neka su, y i z traţeni brojevi, pretpostavimo da je < y < z Kako je1 najveći zajedniĉki djelitelj tih brojeva, svi su oni djeljivi s 1, pa se mogu napisati u obliku: = 1a, y = 1 b, z = 1c, gdje su a, b i c meċusobno razliĉiti brojevi i a < b < c Kako zbroj traţenih brojeva iznosi 108, vrijedi + y + z = 108 odnosno 1a + 1b + 1c = 108 Primjenom svojstva distributivnosti mnoţenja prema zbrajanju slijedi 1 ( a + b + c ) = 108 Nakon dijeljenja s 1 dobivamo a + b + c = 9 Slijede mogućnosti: I a = 1, b =, c = 6 Traţeni brojevi su 1, 4 i 7 II a = 1, b =, c = 5 Traţeni brojevi su 1, 6 i 60 III a =, b =, c = 4 Traţeni brojevi su 4, 6 i 48

S obzirom da se za godina svakome od njih broj godina povećava za, vrijedi + =8 Slijedi = Za godine Ante će imati onoliko godina koliko ima Marko danas Isto tako, za sljedeće povećanje vrijedi + y = 7, a rješenje je y = 5 Za 5 godina Ante će imati onoliko godina koliko ima Viktor danas Viktor je najstariji, pa Marko i najmlaċi je Ante Ako s a oznaĉimo broj Antinih godina danas, Marko koji je dvije godine stariji od Ante ima a + godine, a Viktor koji je 5 godina stariji od Ante ima a + 5 godina Tada vrijedi a + a + + a + 5 = Slijedi a = 5 Ante ima danas 5 godina, Marko 7, a Viktor 10 godina 4 Neka je prvi koliĉnik, a y drugi koliĉnik Tada vrijedi 1600 n 1odnosno 1450 n y 7 Dalje je n 1599 odnosno n y 144 Zato je n zajedniĉki djelitelj brojeva 1599 i 144 Zajedniĉki djelitelji brojeva 1599 i 144 su 1,, 1 i 9, a kako je n > 7, n {1,9} Za n = 1, vrijedi = 1, y = 111, a za n = 9, vrijedi = 41, y = 7

5 Marko Karlo D F C D C N M A E B A B Neka je AB a, BC b Ako zbrojimo opsege pravokutnika AEFD i EFCB, dobit ćemo zbroj za EF b veći od opsega pravokutnika ABCD Ako zbrojimo opsege pravokutnika ABMN i NMCD, dobit ćemo zbroj za NM a veći od opsega pravokutnika ABCD Dakle, zbrajanjem opsega sva 4 manja pravokutnika dobit ćemo zbroj koji odgovara trostrukom opsegu O poĉetnog pravokutnika ABCD Dakle, vrijedi O 60 60 75 75 70 odnosno O 90 cm Opseg poĉetnog lista papira je 90cm

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 6 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAĈIN 1 Voćar je taj dan prodao 5 58 15 00 kg jabuka 6 Prijepodne je prodao 00 5 80 kg i za to dobio 80 50 8 80 kn Poslijepodne je prodao 00 80 10 kg i za to dobio 5 80 1 480 kn 7 To znaĉi da je poslijepodne prodavao jabuke po 480:10 4 kn Umnoţak mora biti djeljiv s 5 i s Budući u umnošku bar jedan od brojeva mora biti djeljiv s 5 da bi umnoţak bio djeljiv s 5, to je 1a djeljiv s 5 jer broj 6b1 nije djeljiv s 5 To znaĉi da znamenka a mnoţe biti 0 ili 5 Ako je znamenka a = 5, tada je broj 15 djeljiv i s 5 i s pa je i s 15 U tom sluĉaju znamenka b moţe biti bilo koja znamenka od 0 do 9 Ako je znamenka a = 0, tada je broj 10 djeljiv s 5, ali ne i s pa broj 6b1 mora biti djeljiv s da bi umnoţak bio djeljiv s 15 U tom sluĉaju znamenka b moţe biti 0,, 6 i 9

G D L K C H F A I J B E Simetrale unutarnjih kutova su ujedno i presjeĉnice paralelnih stranica pravokutnika pa s njima zatvaraju kutove od 45 Neka su to presjeĉne toĉke I, J K i L Vrijedi AID ALD BJC BKC 45 Kako je DAL ALD 45, trokut ALD je jednakokraĉan pravokutan trokut pa je AD DL =cm Isto tako je i BC CK =cm, a KL CD CK LD 9 cm Znaĉi da je DL LK KC Na isti naĉin pokazujemo da je AI IJ JB Zadani pravokutnik moţemo podijeliti na tri sukladna kvadrata Trokuti HLD i GLK su sukladni jer je DL LK, HLD KLG, HDL FKC LKG Isto tako sukladni su i trokuti AIH i JIE U kvadratu AILD sukladni su trokuti AIH,ILH,LDH i DAH (KSK pouĉak) i svaki ĉini ĉetvrtinu kvadrata Zbog toga se od trokuta IEJ, JFK, KGL i LHI moţe sastaviti kvadrat sa stranicom duljine cm, pa je površina ĉetverokuta EFGH jednaka površini dva kvadrata sa stranicama duljine cm i iznosi P= odnosno P=18 cm Površina ĉetverokuta EFGH iznosi 18 cm

4 Kako je BAC 0 10 10 40 i CBA 10 0 40, onda je trokut ΔABC jednakokraĉan pa je AC BC S obzirom da je BAD 0 10 0 i DBA 0 pa je AD BD, onda je trokut ΔABD jednakokraĉan Budući da je i DAC 10 CBD, prema tm S-K-S o sukladnosti slijedi ADC BDC Iz sukladnosti vrijedi CDA BDC i ACD DCB Kako je ACB 180 40 40 100, onda je ACD DCB =50 S obzirom da je ADB 180 0 0 10, onda je 60 10 CDA BDC 10 Budući da je CDA BDC, DAC 10 EAD i AD zajedniĉka stranica, prema tm K-S-K o sukladnosti slijedi ADC ADE te je CD DE To znaĉi da je trokut CDE jednakokraĉan pa je 180 EDC DCE CED 0 Na kraju ECB DCB DCE 50 0 0 5 BI VR PR PO ŠI pli jed hod ron bic David - - + - - - - - - + Matija - - - + - - - - + - Juraj - + - - - - - + - - Miha + - - - - + - - - - Petar - - - - + - + - - - pli + - - - - jed - - - - + hod - + - - - ron - - - + - bic - - + - - David vozi bicikl u Primoštenu, Matija roni u Poreĉu, Juraj brzo hoda u Vrsaru, Miha pliva u Biogradu, a Petar jedri u Šibeniku

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 7 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAĈIN 1 Neka je to ĉetveroznamenkasti broj abcd Vrijedi abcd : cd 81 abcd 81cd 1000a 100b 10c d 81(10 c d) 1000a 100b 81(10 c d) 10c d 1000a 100b 80(10 c d) / 50a 5b 4(10 c d) 5(10 a b) 4(10 c d) 1 0 5ab 4cd Sliĉno dcba : ba 5 dcba 5ba 1000d 100c 10b a 5(10 b a) 1000d 100c 5(10 b a) 10b a 1000d 100c 4(10 b a) / 50d 5a 56(10 b a) 5(10 d c) 56(10 b a) 1 4 5dc 56ba Kako je 5dc djeljivo s 5, onda je i 56ba djeljivo s 5 odnosno ba je djeljiv s 5 što znaĉi da je a {0,5} No, a je znamenka tisućica traţenog broja pa ne moţe biti 0 Dakle, a =5 Budući da je 5dc djeljivo s 5, onda je i 56ba djeljivo s 5 odnosno ba je djeljiv s 5 što znaĉi da je b {,7} Iz 5ab 4cd slijedi da je 5ab djeljivo s 4 odnosno ab je djeljiv s 4 pa je b Dalje je 4cd 5ab 5 5 60 pa je cd 60: 4 65 Analogno, iz 5dc 56ba slijedi cd 65 Traţeni broj je 565

Neka je cijena kamere kn, a oni su dali redom a, b, c i d kn Prvi je dao 50% ukupnog iznosa, tj 1 a Drugi je dao trećinu iznosa kojeg su dala preostala trojica, tj 1 ( a c d ) ( a c d ) 4 ( a c d ) a c d 4 To znaĉi da je drugi dao ĉetvrtinu ili 5% od ukupnog iznosa kamere Treći je dao 5% ili ĉetvrtinu iznosa preostale trojice, tj 1 ( a b d ) ( a b d ) 4 5 ( a b d ) 4 4 a b d 5 To znaĉi da je treći dao petinu ili 0% ukupnog iznosa kamere Ĉetvrti je dao 500 kn što predstavlja 100% 50% 5% 0% = 5% ukupnog iznosa kamere Prema tome je 5% 500 500 005 10000 Cijena kamere je 10 000 kn

Neka je n traţeni broj Tada je n 17 5odnosno n 4y, y, Dakle, 17 5 4 y 17 4 y 4 y 17 y 7 y 7 y y 17 17 17 7y 7 y 17 a, a 17 7 y 17a a y a 7 b, b 7 y 17a a a 7 7 a 7b b a b c, c a 7b b b b a y n c 7c 4 17c 10 4c 14 408c 4 Kako je 10000 = 408 4+08, onda je c 4 pa je n 1005

4 Neka je zadani jednakokraĉni trapez ABCD i neka je na produţetku stranice AB preko vrha B odabrana toĉka E tako da je BE DC te neka su oznake kao na slici Kako je BE DC i BE DC, onda je BECDparalelogram pa je EC BD S obzirom da je ABCD jednakokraĉan trapez, onda je AC BD To znaĉi da je AC EC odnosno da je AEC jednakokraĉan Budući da je CF visina na osnovicu jednakokraĉnog trokuta AEC, vrijedi a c AF FE Za površinu P trapeza ABCD vrijedi a c a c P v odnosno 100 10 a c pa je 10 Dakle, AFC je jednakokraĉan pravokutan pa je FAC 45, a to znaĉi da je ASB 90

5 Nacrtamo i tetivu DC te neka su oznake kao na slici Kako je AB EC, onda je CEB ABE To znaĉi da je EFB jednakokraĉan pa je EF BF S obzirom da su kutovi CDB, CEB obodni kutovi nad istim kruţnim lukom, vrijedi CDB Analogno su kutovi ECD, EBD obodni kutovi nad istim kruţnim lukom te je ECD Dakle, i trokut DCF je jednakokraĉan pa je FD FC Na kraju, EC EF FC BF FD BD

DRŢAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Opatija, 1oţujka-travnja 011 8 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAĈIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UĈENIK IMA DRUGAĈIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ĈLAN POVJERENSTVA DUŢAN JE I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA ODGOVARAJUĆI NAĈIN 1 Da bismo riješili zadanu jednadţbu potrebno je izvršiti djelomiĉnu racionalizaciju razlomaka na lijevoj strani jednadţbe Tako ćemo prvi razlomak proširiti s 1, drugi s itd Nakon izvršene racionalizacije zadana jednadţba poprima oblik : 1 4 50 49 1 1 4 49 50 50 Dobivenu jednadţbu moţemo transformirati tako da poprimi slijedeći oblik : 1 50 49 1 1 49 50 49 50 50 Skraćivanjem razlomaka imamo da je : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 49 50 50 Zbrajanjem izraza na lijevoj strani konaĉno dobivamo rješenje jednadţbe 1 1 1 1, odnosno = 0 50 50 Neka je 7 k, k 95k traţeni razlomak Tada vrijedi 7k 95 k n, n odnosno 168k n Dalje je 7 k n pa je k 7 odnosno k 4 Traţeni razlomak je 7k 7 4 066 95k 95 4 990

Neka je udaljenost mjesta A i B Neka su v1 odnosno v brzine putnika koji kreće iz A odnosno iz B Neka je t 1 vrijeme proteklo do prvog susreta Tada vrijedi v1 t1 8, v t1 8odnosno 8 8 t 1, t 1 v v 1 pa je 8 8 v v 1 odnosno v v 1 8 8 Neka je t vrijeme proteklo do drugog susreta Tada vrijedi v1 t, v t odnosno t, t v v 1 pa je odnosno v v 1 v v 1 Slijedi 8 8 8 16 8 16 18 0 ( 18) 0 0, 18 1 Prvo rješenje je oĉito nemoguće pa je udaljenost mjesta A i B 18 km

4 C D A S B Neka je SD = d Trokut ΔSDC je pravokutni trokut sa šiljastim kutovima veliĉina 0 i 60, tj polovina jednakostraniĉnog trokuta sa stranicom duljine d Duţina SC je visina tog jednakostraniĉnog trokuta, pa vrijedi d =r, odakle slijedi d= r Hipotenuza pravokutnog trokuta ΔSCD ima duljinu r ima duljinu r, a kateta DC je upola kraća odnosno Površina trokuta ΔSDC iznosi P = r r = r 6 Površina kruţnog isjeĉka sa središnjim kutom od 0 iznosi P = i r Površina zadanog lika je P = r π r 6 1 1 r π 0 r π Kruţni luk BC ima duljinu l = =, 180 6 ( - π) r π 0 r π = 60 1 a opseg zadanog lika je rπ r r rπ π O = + + - r = + r - r = r -1 6 6 6

5 Visina CE dijeli trokut ΔABC na dva meċusobno sliĉna trokuta koji su i sliĉni zadanom trokutu ( jednaki kutovi tm K-K o sliĉnosti) Vrijedi ABC ACE pa je AE EC AC BC odnosno EC AE BC AC Isto tako vrijedi ABC CBE pa je EC EB AC BC odnosno EC EB AC BC Za površine ΔADC i ΔBCD vrijedi AD EC AC DK P i ADC DB EC BC DL P pa je BCD AC DK AD EC AD m BC DL DB EC DB n Kako je toĉka D na simetrali kuta ACB, onda je DK DL Dakle, AC m BC n Na kraju, EC AC AE BC AC m AE : EB m : n EB EC BC n BC AC