MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8
Prazna stranica 99
OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik. Nalijepite identifikacijske naljepnice na sve ispitne materijale koje ste dobili u sigurnosnoj vrećici. Ispit traje 8 minuta. Ispred svake skupine zadataka uputa je za rješavanje. Pozorno je pročitajte. Pri računanju možete upotrebljavati list za koncept koji se neće ovati. Upotrebljavajte isključivo kemijsku olovku kojom se piše plavom ili crnom bojom. Možete upotrebljavati priloženu knjižicu formula. Pišite čitko. Nečitki odgovori ovat će se s nula () ova. Ako pogriješite u pisanju, pogreške stavite u zagrade, precrtajte ih i stavite skraćeni potpis. Zabranjeno je potpisati se punim imenom i prezimenom. Kada riješite zadatke, provjerite odgovore. Želimo Vam mnogo uspjeha! Ova ispitna knjižica ima 8 stranica, od toga 4 prazne. Ako ste pogriješili u pisanju odgovora, ispravite ovako: a) zadatak zatvorenoga tipa Ispravno Ispravak pogrešnoga unosa Neispravno Prepisan točan odgovor Skraćeni potpis b) zadatak otvorenoga tipa (Marko Marulić) Petar Preradović Precrtan netočan odgovor u zagradama Točan odgovor Skraćeni potpis 99 3
I. Zadatci višestrukoga izbora U sljedećim zadatcima od više ponuđenih odgovora samo je jedan točan. Pri računanju možete pisati i po stranicama ispitne knjižice. Točne odgovore morate označiti znakom X na listu za odgovore. U zadatcima od. do 5. točan odgovor donosi jedan.. Koji od navedenih brojeva nije ispravno zaokruženi broj 4.576? A. 5 B. 4.6 C. 4.58 D. 4.573 A. B. C. D.. Koja je od navedenih točaka udaljena od točke T (,8) za 5? A. ( 7,8) B. ( 5,8) C. (,5) D. (, 7) A. B. C. D. 3. Ako je v QvB = m, čemu je jednako R? R A. B. C. D. v R = mqb mv R = QB QB R= m v QB R = mv A. B. C. D. 4
4. Odredite jednadžbu simetrale dužine AB ako su A, ( ) i B( 34),. 5 A. y = x+ 7 B. y = x+ C. y = x+ 5 D. y = x+ 7 A. B. C. D. 5. Kojoj je od navedenih nejednadžba rješenje interval 9, 3? A. x 6 < 3 B. x 3 < 6 C. x + 6 < 3 D. x + 3 < 6 A. B. C. D. 6. Duljine dviju stranica trokuta iznose cm i 7 cm, a mjera kuta nasuprot duljoj stranici 63. Kolika je mjera kuta nasuprot kraćoj stranici? A. 35 3 B. 38 58 C. 44 8 D. 5 A. B. C. D. 5
7. Kojoj je linearnoj kombinaciji vektora a i b prikazanih na slici jednak vektor c? A. c = a+ b B. c = a b C. c = a+ b D. c = a b A. B. C. D. 8. Duljine stranica trokuta iznose.5 cm, cm i 8.5 cm. Duljina najduže stranice njemu sličnoga trokuta iznosi cm. Koliki je omjer površina zadanoga i njemu sličnoga trokuta? A..3 B..39 C..6 D..645 A. B. C. D. 6
9. Koliki je argument kompleksnoga broja z i = +? i A. π 4 B. π C. 3π D. 5π 4 A. B. C. D.. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe 5 x x+ 7 5 + 5 =? A..3 B..74 C. 3.5 D. 3.43 A. B. C. D. 7
π. Zadana je funkcija f( x) = sin x 3. Koja je od navedenih tvrdnja za maksimalnu vrijednost funkcije f istinita? A. Maksimalna je vrijednost funkcije i postiže se za x = π 3. B. Maksimalna je vrijednost funkcije i postiže se za x = π. C. Maksimalna je vrijednost funkcije 3 i postiže se za x = π 3. D. Maksimalna je vrijednost funkcije 3 i postiže se za x = π. A. B. C. D.. Zadane su funkcije f ( x)= 3 x i f ( x)= x+ x. Čemu je jednaka kompozicija funkcija f = f f? A. f ( x)= x+ 3 x B. f ( x)= x 3+ 3 x C. f ( x)= 3 x+ x D. f ( x)= 3 x+ 3 x A. B. C. D. 8
3. Na slici su prikazani grafovi funkcija f i g. Koji je od navedenih umnožaka negativan? ( ) ( ) () () () () ( ) ( ) A. f g B. f g C. f 3 g 3 D. f 4 g 4 A. B. C. D. 9
4. U drvoredu je 38 stabala. Između prvoga i drugoga stabla posađena su grma, između drugoga i trećega stabla posađen je grm i dalje su naizmjenično redom posađena po grma ili grm. Koliko je ukupno grmova posađeno između prvoga i zadnjega stabla? A. 36 B. 37 C. 356 D. 357 A. B. C. D. 5. U nekome skupu brojeva 5 % ih je negativnih ili jednakih, a 65 % manjih ili jednakih. Čemu je u tome skupu jednak omjer broja pozitivnih brojeva manjih ili jednakih i broja onih brojeva većih od? A. 5 : 7 B. 5 : 3 C. 8 : 7 D. 3 : 7 A. B. C. D.
II. Zadatci kratkoga odgovora U sljedećim zadatcima odgovorite kratkim odgovorom. Pri računanju upotrebljavajte list za koncept koji se neće ovati. Odgovore upišite samo na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici. Ne popunjavajte prostor za ovanje. 6. Riješite zadatke. 6.. Odredite najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa 6 i sa 68. Odgovor: 6.. Rastavite izraz ( x 7) ( x 7)+ 4 koeficijentima. na linearne faktore s cjelobrojnim Odgovor: 7. Riješite zadatke. 7.. Iz prve posude u kojoj je 5 litara vode voda istječe brzinom 3 litre u minuti. Druga se prazna posuda puni vodom brzinom litre u minuti. Nakon kojega će vremena u objema posudama biti jednaka količina vode? Odgovor: min 7.. U četirima kombijima i šest autobusa ima ukupno 356 sjedala, a u dvama kombijima i osam autobusa 448 sjedala. Za koliko je više sjedala u autobusu nego u kombiju? Napomena: Svi autobusi imaju jednaki broj sjedala i svi kombiji imaju jednaki broj sjedala. Odgovor:
8. Riješite zadatke. 8.. Riješite sustav linearnih nejednadžba intervala. x + 3< 5 4 x 7 i napišite rješenje u obliku Odgovor: 8.. Koji je rezultat do kraja sređenoga izraza za sve x za koje je izraz definiran? x 3 x x + + 4 x 9 + Odgovor: 9. Riješite zadatke. 9.. Napišite koordinate nekih dviju točaka grafa funkcije f( x)= x + 3 koje imaju istu ordinatu. Odgovor: x 9.. Odredite sjecište grafa funkcije f( x)= + 4 s osi y. Odgovor:
. Riješite zadatke... Tijekom školske godine Marko piše šest pisanih provjera i u svakoj od njih može ostvariti najviše 5 ova. U prvim dvjema provjerama ostvario je po 4 a, u trećoj 35 i u četvrtoj 38 ova. Koliko najmanje ova mora ostvariti u petoj provjeri kako bi mu prosječni broj ova svih šest provjera mogao biti 4? Odgovor:.. Automobil je kupljen početkom 5. godine. Njegova se vrijednost stalno smanjuje tako da je na kraju svake godine za osminu vrijednosti manja od vrijednosti koju je imao na početku te godine. Tijekom koje će godine vrijednost automobila biti prvi put manja od četvrtine kupovne cijene? Odgovor:. Riješite zadatke... Žarišta elipse i dva njezina tjemena vrhovi su kvadrata kojemu je dijagonala duljine 4. Odredite jednadžbu te elipse. Odgovor:.. Odredite jednadžbe asimptota hiperbole 5x 6y = 4. Odgovor: 3
. Riješite zadatke... Oko bunara promjera. m treba napraviti betonsku ploču kojoj je vanjski rub kvadrat čija je duljina stranice m kao što je prikazano na skici. Debljina te ploče treba biti 5 cm. Jedna vreća suhoga betona dovoljna je za.5 litara (dm 3 ) betona. Koliko je najmanje vreća potrebno kupiti za betoniranje te ploče? Odgovor:.. Stožac i valjak imaju baze jednakih polumjera. Koliko je puta visina stošca veća od visine valjka ako su im volumeni jednaki? Odgovor: 4
3. Riješite zadatke. 3.. Riješite jednadžbu kx + 5= k 4x u kojoj je k realan broj, k. Odgovor: x = 3.. Odredite sva rješenja jednadžbe tg x 3=. Odgovor: 4. Riješite zadatke. 4.. Za koji x funkcija f( x)= 4 x x 5 postiže najmanju vrijednost? Odgovor: x = 4.. Koliko znamenaka ima broj 8 n 5 3n + 4 gdje je n prirodan broj? Odgovor: 5
5. Riješite zadatke. 5.. Na skici je prikazan pravokutnik ABCD duljina stranica AB = 7 cm i BC = 3 cm. Na stranici AB bliže točki B nalazi se točka E tako da je CED = 9. Kolika je duljina dužine AE? Odgovor: AE = cm 5.. Dvije točke A i B nalaze se s različitih strana jedne ravnine i međusobno su udaljene 3 cm. Duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tu ravninu iznosi 5 cm. Ako je točka A udaljena 4 cm od te ravnine, koliko je od te ravnine udaljena točka B? Odgovor: cm 5.3. Kolika je duljina vektora a ako je a = 4i 6 j? Odgovor: a = 6
6. Riješite zadatke. 3 f x = x. 7 7 Za koji je x vrijednost funkcije f x 6.. Zadana je funkcija ( ) ( ) za veća od f ( )? Odgovor: x = ( ) log x 3 6.. Odredite domenu funkcije f ( x)= x + 5. Odgovor: [ ] 6.3. Na slici je prikazan dio grafa parne funkcije f definirane na intervalu 44,. Nacrtajte dio grafa funkcije f koji nedostaje. 7
7. Riješite zadatke. 3 7.. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f ( x)= x + x+ u točki s apscisom x =. Odgovor: 7.. Odredite derivaciju funkcije f ( x)= cos x π 4 9. Odgovor: f ( x )= 7.3. Funkciju f ( x)= ( cos x sin x) sinx cos x napišite u obliku Asin Bx gdje su A i B realni brojevi. Odgovor: f ( x)= 8. Odredite sva rješenja jednadžbe Odgovor: ( x+ 5) ( x 7) ( x + ) x + x+ =. 8
III. Zadatci produženoga odgovora U 9. i 3. zadatku napišite kemijskom olovkom postupak rješavanja i odgovor na predviđeno mjesto u ispitnoj knjižici. Prikažite sav svoj rad (skice, postupak, račun). Ako dio zadatka riješite napamet, objasnite i napišite kako ste to učinili. Ne popunjavajte prostor za ovanje. 9. Riješite zadatke. n n 3n+ 36 n + 9.. Za neki prirodan broj n brojevi,, su prva tri člana aritmetičkoga niza. Koliki je zbroj prvih 5 članova toga niza? Odgovor: 9
9.. U trgovini su snizili cijenu proizvoda za onoliko posto koliko iznosi cijena toga proizvoda u kunama. Ako je nova cijena proizvoda.76 kn, koje su sve moguće cijene toga proizvoda prije sniženja? Odgovor:
9.3. Bočne strane pravilne šesterostrane prizme prikazane na skici su kvadrati površine 36 cm. Na tu je prizmu postavljena pravilna šesterostrana piramida iste baze, a površina pobočja piramide jednaka je površini pobočja prizme. Koliki je kut između ravnine baze i bočne strane piramide? Odgovor:
logx 4log x 8log x 7 9.4. Riješite jednadžbu aa a a = a za pozitivan realan broj a različit od. 3 Odgovor:
9.5. Neke od kvadratnih funkcija čiji grafovi prolaze i točkom A 8, i točkom B, poprimaju samo pozitivne vrijednosti. ( ) ( ) Koje su sve moguće vrijednosti vodećega koeficijenta a tih funkcija? 3 Odgovor: 3
( ) + ( ) = 3. Zadani su pravci x = 4 i x = i kružnica x+ y 3. Kolika je površina lika omeđenoga kružnicom koji se nalazi između zadanih pravaca? 4
3 Odgovor: 4 5
Prazna stranica 99 6
Prazna stranica 99 7
Prazna stranica 99 8
MATEMATIKA A - Ključ za odgovore, ljetni rok 9. MATEMATIKA VIŠA RAZINA. C. A 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D. D. A. B 3. C 4. C 5. C 6.. 84 8.. 3, 6.. x x 3 8.. 4x 3 x 3 7.. 5 9.. primjerice: (,), ( 5,); y, y, y 5, y, y 7.. 46 9..,5.. 33.. 4.. 5.3. 3.. 5... 3 4.. 3n+3 6.. 9.. x y ili 96 98 3.. k 5 k 4 5.. 5.3 6.. 3, x y 98 96.. y 5 4 x 3.. π x kπ, k Z 3 5.. 8 6.3. 7.. y 5x 9.. 345 9.5. a 8 7.. π 9sin 9x 4 9.. 3 kn, 68 kn 3. 34.55 7.3. 3sin 4x 9.3. 64 ' 8'' 8. 5, 7 9.4. Jednadžba nema rješenja.
Nacionalni centar za van jsl<o vrednovan je obrazovanja ISPIT DRZAVNE MATURE MATEMATIKA - vi5a razina M A T A List za odgovore Sifra moderatora: D-S45. A B cx D, AX B 3.A BX C D 4.A B C'x D 5.A B C DX 6.4 BX C D 7. AX B 8.A 9.4. A. Ax B. A 3. A 4. A ',5. A Bx c D B C DX B C DX BX c D B CK D B CX D B CX D 6.. 6.. 7.. O 7.. 8.. 8.. O 9.. 9.. O zai. O.... O...... 3.. Ostale zadatke rije5ite u ispitnojknjizici. Popunjava ocjenjivad. 5. O 5.. 5.3. 6.. 6.. 6.3. 7.. O 7.. 7.3. O 8. 9.. O 9.. 9.3. 9.4. 9.5. 3. I I 3 3 34 3.. 4.. O 4.. Sifra ocjenjivada: NE FOTOKOPIRATI OBRAZAC SE EITA OPTIEKI NE PISATI PREKO POLJA ZA ODGOVORE Oznadavati ovako: I MATA.4s.HR.R.L.O ilil Iilll lllllilllt]l 355 MATA
MAT A MATEMATIKA viša razina KNJIŽICA FORMULA MATA.45.HR.R.T.8 MAT T A
Knjižica formula F O R M U L E Standardni zapis kompleksnog broja: z = a+ bi, ab, R, i =, z = a bi, z = a + b Trigonometrijski zapis kompleksnog broja: z = r cosϕ+ i sin ϕ, ϕ, π, z z r = ( cos( φ φ) + isin( φ φ)), r ( ( )) z z = rr cos( ϕ + ϕ )+ i sin ϕ + ϕ ( ) [ n n z = r (cos nφ+ isin nφ), n z = n φ+ kπ φ+ kπ r i n + n cos sin, k =,,..., n a a = a, a : a = a m n m+ n m n m n m m ( a ), a = (( a ), a n = a m a n m ( a± b) = a ± ab+ b, ( a ± b) = a ± 3a b+ 3ab ± b 3 3 3 3 3 a b = ( a b)( a+ b), a ± b = ( a± b)( a ab+ b ) n n ( a b) a a b...... k a b n n n n n k k + = + a + + + + n b n + n b, n k = n! k! n k! ( ) Kvadratna jednadžba: b b 4ac ax + bx + c=, a x = ±, a Vièteove formule: Tjeme parabole: x b x a x x c + =, = a b 4ac b T, a 4a x b = a x= log b a, log x log x b b = x= b b x y log b( xy) = logb x+ log b y, logb = logb x log b y, logb x = ylog b x, loga x = log y log b b x a MAT T A 99
Knjižica formula Površina trokuta: P av a a b c =, P= s ( s a)( s b)( s c), s = + + P ab sin γ =, P = abc, P= ru s 4r o Jednakostraničan trokut: P a 3 a 3 =, v =, ro = v, ru = v 4 3 3 Površina paralelograma: P= a v Površina trapeza: P = a+ c v Površina kruga: P= r π Opseg kruga: O= rπ Površina kružnoga isječka: P = r πα 36 Duljina kružnoga luka: l r = πα 8 B = površina osnovke (baze), P = površina pobočja, h = duljina visine Obujam (volumen) prizme i valjka: V = B h Oplošje prizme i valjka: O= B+ P Obujam (volumen) piramide i stošca: V = B h 3 Oplošje piramide: O= B+ P Obujam (volumen) kugle: V r = 4 3 Oplošje stošca: r = polumjer osnovke O= r π+ rπs s = duljina izvodnice 3 π Oplošje kugle: O= 4r π, r = polumjer kugle U pravokutnome trokutu: sinus kuta = duljina nasuprotne katete, kosinus kuta = duljina priležeće katete, duljina hipotenuze duljina hipotenuze tangens kuta = duljina nasuprotne katete duljina priležeće katete MAT T A 99 3
Knjižica formula Poučak o sinusima: a b c = = Poučak o kosinusima: c = a + b abcos γ sinα sin β sin γ sin x sin x+ cos x=, tg x = cos x sinx= sin xcos x, cosx= cos x sin x sin( x± y) = sin xcosy± sin ycos x cos( x± y) = cos xcosy sin xsin y tg x± tg y tg( x± y) = tg x tg y x+ y x y x+ y x y sinx+ sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x+ y x y x+ y x y cosx+ cos y = cos cos, cos x cosy = sin sin sinxsin y = cos( x y) cos( x+ y) [ ] cosxcos y = cos( x y) + cos( x+ y) [ ] sinxcos y = sin( x y) + sin( x+ y) [ ] π π sin =, sin =, sin π = 6 4 3 3 MAT T A 99 4
Knjižica formula Udaljenost točaka T, T : dt (, T ) = ( x x ) + ( y y ) Polovište dužine TT x+ x y+ y : P, Vektor TT : Skalarni umnožak vektora: TT = a = ( x x ) i+ ( y y ) j = a i+ a j ab = a b cos, ab = ab + ab α Jednadžba pravca: y y = kx ( x ), k = y x y x Kut α između dvaju pravaca: tg α= k k + kk Udaljenost točke T (x, y ) i pravca p... Ax + By + C = : d( T, p) = Ax + By + C A + B MAT T A 99 5
Knjižica formula Krivulja drugoga reda Jednadžba Tangenta u točki krivulje (x,y ) Kružnica središte S( p, q) ( x p) + ( y q) = r ( x p)( x p) + ( y q)( y q) = r Elipsa fokusi F, ( ± e, ) e = a b x a y + = b xx yy + = a b Hiperbola fokusi F, ( ± e, ) e = a + b x a y = b xx yy = a b asimptote y b =± a x Parabola fokus F p, y = px yy= px ( + x ) direktrisa x p = Uvjet dodira pravca y = kx+ l i kružnice: r ( + k ) = ( kp q+ l) MAT T A 99 6
Knjižica formula Aritmetički niz: Geometrijski niz: Geometrijski red: n an = a+ ( n ) d, Sn = ( a + a n) a a q S a q n n n =, n = q a S =, q < q Derivacija umnoška: Derivacija kompozicije: ( f g) = f g+ f g ( f g) ( x) = f ( gx ( )) g ( x) Derivacija kvocijenta: f f g f g g = g Tangenta na graf funkcije f u T( x, y ): y y = f ( x )( x x ) Derivacije: n n c = (x ) = n x, n (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tg x) = cos x MAT T A 99 7
Prazna stranica MAT T A 99 8