Statički odredeni nosači s jednim punostjenim diskom (2) K. F. 3. Jednostavno osonjena greda Jednostavno osonjena greda 1 u širem smisu ravninski je štapni nosač pribižno ravne osi s jednim diskom koji je za podogu pričvršćen u dvije točke tako da je u jednoj točki nepomičan, a u drugoj pomičan zgobni ežaj (pa i mao općenitije: umjesto zgobnih, ežajne veze mogu biti i statički i kinematički istovrijedne štapne veze jedna je točka vezana dvama zgobnim štapovima čije osi ne eže istom pravcu, a druga jednim štapom). Disk grede može biti punostjeni štapni eement ii rešetkasti disk. Ležajevi mogu, ai ne moraju biti u krajnjim točkama diska. Jednostavno osonjena greda u užem smisu ii sàmo jednostavno osonjena greda punostjeni je štapni nosač ravne, horizontano poožene osi, sa zgobnim ežajevima u krajnjim točkama, pri čemu je pomični ežaj horizontano pomičan (sika 15.). Ako ežajevi nisu na krajevima diska, riječ je o gredi s prepustom ii o gredi s prepustima. Grede pak s rešetkastim diskom nazivat ćemo rešetkastim gredama. A z Sika 15. Gredu ćemo, kao na sici 15., u koordinatni sistem z smjestiti tako da se njezina os pokapa s osi i da joj je ijevi ežaj u ishodištu, a desni u točki Ô,Õ; dujinu nazivamo i rasponom grede. udući da je za sve točke osi z, umjesto točka Ô,Õ možemo kratko reći točka, a kasnije ćemo govoriti i o presjeku. Lijevi ćemo ežaj označiti sovom A, a desni sovom. Pokazat ćemo uskoro da će, djeuju i na jednostavno osonjenu gredu (u užem smisu) samo vertikane sie i, možda, momenti, reakcije u oba ežaja takoder biti vertikane. Jednostavno osonjena greda može stoga biti i proračunska shema sobodno pooženih greda greda kod kojih zaokretanja u dvjema točkama u kojima su osonjene nisu spriječena poput onih u Stonehengeu, prikazanih na sici 16. (iako je u sučaju takvih kamenih gromada vjedostojnost te proračunske sheme popriično upitna). 1 Tradicionano su se u domaćoj iteraturi jednostavno osonjene grede nazivae prostim gredama. 25
Sika 16. Vrijeme je da u našu priču uvedemo i distribuirane sie. Kao primjer uzet ćemo jednostavno osonjenu gredu sa sike 17.a., na koju djeuje distribuirana sia q zadana vektorskom funkcijom Skaarna funkcija Øq : ØqÔÕ qôõ Ø k q 1 Ô Õ Ø k, È Ö,. (18) q : qôõ q 1 Ô Õ, È Ö,. (19) opisuje vrijednost distribuirane sie po jedinici dujine osi grede. (udući da su za q 1 i za È Ö, vrijednosti funkcije q nenegativne, možemo reći i da ta funkcija opisuje intenzitet sie po jedinici dujine osi.) Jedinični vektor Ø k u zapisu funkcije Øq pokazuje da, uz pozitivne vrijednosti funkcije q, sia djeuje prema doje, okomito na os grede. q 1 a. z q 1 b. A v Sika 17. 26
Sie u vanjskim vezama. Kao i uvijek, anaizu započinjemo izračunavanjem reakcija (sika 17.b.). udući da je reakcija A jedina sia koja može imati horizontanu komponentu, iz jednadžbe ravnoteže projekcija sia na os odmah sijedi da je A h. Jasno je da zakjučak vrijedi općenito, za bio koji skup zadanih vertikanih sia, koncentriranih ii distribuiranih, pa i pri djeovanju momenata. Vrijednosti reakcije i vertikane komponente reakcije A izračunat ćemo iz jednadžbi ravnoteže momenata u odnosu na točke A i ; u prvu ne uazi sia A, u drugu sia : M ØqßA MßA Ø, (2) M Ø A v ß M Øqß. (21) MA Ø v ß i M ßA Ø vrijednosti su momenata (vertikane komponente) reakcije A i reakcije oko točaka i A; njih znamo izračunati: M Ø A v ß Av i M Ø ßA akosusieorijentiranekaonasici 17.b. M ØqßA im Øqß vrijednosti sumomenata distribuirane sie q u odnosu na točke A i ; njihovo izračunavanje ukjučuje, neposredno ii prikriveno, postupak integriranja. Prvo ćemo izvesti izraze u općom obiku, tako da ih možemo primijeniti za bio koju vertikano usmjerenu distribuiranu siu (ii za vertikanu komponentu kose sie), a potom i izraze za naš poseban sučaj. Izgredećemo izrezati infinitezimani odsječakizmedu poprečnihpresjeka utočkama i d (sika 18.a.). Možemo uzeti da se na njemu vrijednost distribuirane sie q ne mijenja i da je jednaka vrijednosti qôõ u točki, pa će vrijednost infinitezimane rezutante pripadnoga dijea biti qôõ d. Naime, u našem je primjeru 1 ± q 1 2 Ô Õ q 1 Ô dõ ¹d q 1 Ô Õd q 1 2 ÔdÕ2 qôõd, a na sičan se način može pokazati da je i za bio koju drugu pristojnu funkciju q doprinos prirasta na odsječku, kao neizmjerno maa veičina drugoga reda, zanemariv. Štoviše, u izračunavanju momenata možemo uzeti i da infinitezimana rezutanta djeuje u točki (sika 18.b.). Lako je pokazati da je doprinos pomaka tog hvatišta od točke prema točki d zanemariv: djeuje i rezutanta u bio kojoj točki αd Ô α 1Õ izmedu točaka i d, vrijednost je njezina momenta u odnosu na točku A Ô αdõ qôõd qôõd α ÔdÕ 2 qôõ qôõd. Odmah možemo zakjučiti i da će vrijednost njezina momenta u odnosu na točku biti Ô Õ qôõd. 27
q() a. z d q() d b. z Sika 18. Moment distribuirane sie q uodnosu na neku točku dobivamo zbrajanjem momenata infinitezimanih rezutanata sa svih takvih odsječaka uzduž grede. udući da infinitezimanih odsječaka ima neizmjerno mnogo i da za pristojne funkcije q konačna vrijednost ne ovisi o načinu podjee na odsječke (sve dok su infinitezimani i dok se ne prekapaju), zbrajanje se pretvara u integriranje, pa su vrijednosti momenata u odnosu na točke A i M ØqßA qôõd, (22) M Øqß Uvrštavanjem tih izraza u jednadžbe (2) i (21) dobivamo Iz druge jednadžbe neposredno sijedi Ô Õ qôõd. (23) qôõd, (24) A v Ô Õ qôõd. (25) A v 1 Ô Õ qôõd, (26) dok je iz prve jednadžbe 1 qôõd. (27) 28
U našem je primjeru vrijednost distribuirane sie zadana izrazom (19), pa su A v 1 Ô Õ ± q 1 Ô Õ ¹ d q 1 2 q 1 ³± 2 2 1 2 3 3»¹ q 1 3, 1 ± q 1 Ô Õ ¹ d q 1 2 q 1 ³± 1 2 2 2 1 3»¹ 3 q 1 6. 2 2 2 d 2 d Dobivene vrijednosti možemo provjeriti uvrštavanjem u jednadžbu ravnoteže projekcija sia na os z: A v Q, gdje je Q vrijednost rezutante Q distribuirane sie q. U općem je sučaju Q zbroj vrijednosti infinitezimanih rezutanata sa svih neizmjerno mnogo infinitezimanih odsječaka, pa je u našem primjeru Q q 1 Q qôõ d, (28) d q 1 2 2 q 1 2. Rezutirajuće momente distribuirane sie q u odnosu na točke A i možemo, prema Varignonovu teoremu, izračunati i kao momente rezutante Q u odnosu na te točke. Za to treba poznavati ne samo intenzitet rezutante, nego i pravac na kojemu djeuje. Rezutanta vertikano usmjerene distribuirane sie djeuje na vertikanom pravcu; njegova je jednadžba Kao što iz Mehanike I. znate, konstanta Q je odredena uvjetom Q. (29) Q Q M ØqßO, gdje je M ØqßO vrijednost momenta distribuirane sie u odnosu na ishodište. Sijedi: Q M ØqßO Q 29 qôõd. (3) qôõ d
Kako smo točku A smjestii u ishodište, M ØqßO M ØqßA, tako da se, dijeom, vrtimo u krugu. Ai, za izračunavanje vrijednosti Q riješiti treba samo dva integraa, a ostai se momenti potom mogu izračunati kao momenti rezutante. Štoviše, u mnogim sučajevima integrae niti ne treba rješavati. Naime, intenzitet rezutante možemo izračunati kao površinu ika kojim je na crtežu prikazana distribuirana sia, a pravac na kojem rezutanta djeuje proazi težištem tog ika. Za mnoge su jednostavnije ikove izrazi za izračunavanje površine i poožaja težišta poznati, a za neke se soženije mogu izvesti i bez uporabe integraa. Distribuiranu siu u našem primjeru nazivamo, što nas ne treba začuditi, trokutnim opterećenjem. Prema izrazu (3) je q 1 2 Q 6 q 1 2 1 3, a to je poznati izraz za apscisu težišta trokuta kojim je opterećenje prikazano (sika 19.). Isto je tako dobro poznati izraz za površinu tog trokuta. Q 1 2 q 1 Q A v /3 2/3 Sika 19. Primjenom tih izraza možemo neposredno, bez integriranja, izračunati vrijednost momenta rezutante u odnosu na točku, pa je MQß Ô Ø QÕ Q ³± 2»¹ ³± 1 3 2 q 1»¹ q 1 2 3, A v 1 M ØQß 1 q 1 2 3 q 1 3. Sie u presjecima. Opće izraze za vrijednosti sia u poprečnim presjecima izvest ćemo i sada metodom jednostavnih presjeka odbacit ćemo dio grede desno od nekog, bio kojega, presjeka. 3
Na ijevi, promatrani dio djeuju vertikana komponenta reakcije u ežaju A, pripadni dio distribuirane sie q i sie u poprečnom presjeku: uzdužna i poprečna sia te moment savijanja (sika 2.a.). Nepoznate su, zasad, sie i moment u poprečnom presjeku. M() M() a. A v T() N() T() b. c. ξ ξ,ξ Q gore() Qdoje () M() M() Q desno () d. A v /3 /3 /3 T() T() 3 2( ) 3 e. Sika 2. Jednadžba ravnoteže projekcija sia na os grede odmah daje NÔÕ È Ö,. (31) Vrijednost poprečne sia izračunat ćemo iz jednadžbe ravnoteže projekcija sia na os okomitu na os grede: A v qôξõdξ T ÔÕ (32) (kako je sada granica integracije, u podintegranu smo funkciju morai uvesti pomoćnu varijabu ξ; sika 2.c.). Sijedi: T ÔÕ A v qôξõdξ, È Ü,Ý; (33) točke A i ( i ) hvatišta su koncentriranih sia A v i, pa poprečne sie u njima nisu definirane. 31
udući da je qôõd, samo ćereakcije i poprečne sie ući uuvjete ravnoteže postavjene za infinitezimane dijeove nosača izmedu presjekâ i d i izmedu presjekâ d i, tako da su T Ô Õ A v i T Ô Õ ; dake, vrijednosti poprečnihsianeposredno desno odtočke A,u, i neposredno ijevo od točke, u, jednake su vrijednostima reakcija, uz promjenu predznaka u. Uvrstimo i u izraz (33) vrijednost distribuirane sie zadanu izrazom (19), T ÔÕ A v q 1 Ô ξõdξ q 1 3 q 1 ³±ξ 1 ξ2»¹ 2, dobit ćemo konačni funkcijski izraz za vrijednost poprečne sie: T ÔÕ q 1 3 q 1 q 1 2 2, È Ü,Ý. (34) Izvedeni izraz možemo provjeriti tako da izračunamo vrijednosti sia neposredno uz ežajeve. Iako je sa statičkoga stajaišta primjenjiv samo ako je È Ü, Ý, izraz matematički gedano ima smisa i za šire područje, pa vrijednosti sia u presjecima i izračunavamo formano uvrštavajući i : T Ô Õ T ÔÕ q 1 ß3 A v i T Ô Õ T ÔÕ q 1 ß6. Kako pravac djeovanja sie T ÔÕ proazi točkom, za izračunavanje vrijednosti momenta savijanja MÔÕ najpogodnije je napisati jednadžbu ravnoteže momenata oko te točke, A v Ô ξõ qôξõdξ MÔÕ, (35) te je u općem sučaju MÔÕ A v Ô ξõ qôξõdξ, È Ö,. (36) U našem je primjeru MÔÕ A v Ô ξõ ± q 1 Ô ξõ ¹ dξ q 1 3 q 1 ³±ξ 1 2 Ô 1 Õξ2 i, nakon uvrštavanja granica integracije i sredivanja, 3 ξ3»¹ MÔÕ q 1 3 q 1 2 2 q 1 6 3, È Ö,. (37) 32
Na krajevima grede su zgobovi, pa vrijednosti momenata moraju biti jednake nui. Kako u dobivenom funkcijskom izrazu nema konstantnoga čana, odmah možemo vidjeti da je MÔÕ, a ako je provjeriti i da je MÔÕ. Izraze (37) i (34) smo izvei iz integranih jednadžbi ravnoteže. Deriviranjem se može pokazati da vrijedi M ½ ÔÕ T ÔÕ i T ½ ÔÕ qôõ. Dake, kao što i treba očekivati nakon ispravno provedena postupka, funkcije M i T zadovojavaju diferencijane odnose, a time i diferencijane jednadžbe ravnoteže. Funkcijske izraze za vrijednosti sia u presjecima možemo izvesti i uvodenjem rezutante dijea distribuirane sie koji djeuje na promatranome odsječku grede. Intenzitet te rezutante jednak je površini trapeza kojim je pripadni dio distribuirane sie prikazan; zgodno je taj trapez, kao na sici 2.d., sastaviti od dva trokuta čije su površine Q gore ÔÕ 1 2 q 1, Q doje ÔÕ 1 2 qôõ q 1 2 2 ; apscise su njihovih težišta Qgore 1 3 i Q doje 2 3. Jednadžba ravnoteže projekcija sia na os okomitu na os grede, A v Q gore ÔÕ Q doje ÔÕ T ÔÕ, daje T ÔÕ A v Q gore ÔÕ Q doje ÔÕ q 1 3 q 1 a iz jednadžbe ravnoteže momenata oko točke, q 1 2 2, sijedi A v 2 3 Q goreôõ 1 3 Q dojeôõ MÔÕ, MÔÕ A v 2 3 Q goreôõ 1 3 Q dojeôõ q 1 3 q 1 2 2 q 1 6 3. Ispravnost postupka možemo provjeriti uvrštavanjem dobivenih izraza u, primjerice, jednadžbu ravnoteže momenata oko ishodišta/točke A: 1 3 Q goreôõ 2 3 Q dojeôõ T ÔÕ MÔÕ. Izraze za vrijednosti sia u poprečnim presjecima možemo, naravno, izvesti i tako da odbacimo dio grede ijevo od presjeka (sike 2.b. i e.). 33
Intenzitet rezutante dijea distribuirane sie koji djeuje na odsječku grede desno od presjeka sada je jednak površini trokuta Q desno ÔÕ 1 2 qôõ Ô Õ q 1 2 Ô Õ2. Zamijenimo i distribuiranu siu rezutantom (sika 2.e.), za promatrani su dio jednadžba ravnoteže projekcija sia na os z i jednadžba ravnoteže momenata oko točke i pa su i T ÔÕ Q desno ÔÕ MÔÕ 1 3 Ô Õ Q desnoôõ Ô Õ, T ÔÕ Q desno ÔÕ MÔÕ Ô Õ 1 3 Ô Õ Q desnoôõ; nakon uvrštavanja izraza za i Q desno ÔÕ i sredivanja ponovo ćemo dobiti izraze (34) i(37). Ii, za dio desno od presjeka možemo napisati integrane jednadžbe ravnoteže (sika 2.b.), MÔÕ T ÔÕ qôξõdξ, Ôξ Õ qôξõdξ Ô Õ, i iz njih izvesti izraze za vrijednosti poprečne sie i momenta savijanja: T ÔÕ qôξõdξ MÔÕ Ô Õ Ôξ Õ qôξõdξ. Za distribuiranu siu zadanu izrazom (19), kao u našem primjeru, bit će T ÔÕ q 1 Ô ξõdξ q 1 ³±ξ 1 ξ2»¹ 2 q 1 6, MÔÕ Ô Õ q 1 Ôξ Õ Ô ξõdξ q 1 6 Ô Õ q 1 1 ³± ξ 2 Ô Õξ2 1 3 ξ3»¹ Razumije se da ćemo nakon sredivanja dobiti iste izraze kao u prethodna tri izvoda. 34.
Dijagrami unutarnjih sia grafički su prikazi t oka vrijednosti unutarnjih sia uzduž osî štapnih eemenata. Ii, formanije, matematičkim rječnikom: dijagrami unutarnjih sia su grafovi funkcija N, T i M koje opisuju vrijednosti sia u presjecima; primjerice, momentni je dijagram,môõ È R 2 : È Ö,. Te dijagrame u općem sučaju crtamo tako da izračunamo vrijednosti sia u dovojnom broju presjeka (tabica 1.) te potom kroz dobivene točke interpoiramo krivuje (sike 21.b. i c.). (Kao što znamo, poprečne su sie, strogo govoreći, definirane u presjecima i, ai vrijednosti izračunavamo uvrštavanjem i.) Tabica 1. M() T(),,,3333 q 1,2,48 q 1 2,1533 q 1,4,64 q 1 2,133 q 1,6,56 q 1 2,867 q 1,8,32 q 1 2,1467 q 1 1,,,1667 q 1 q 1 a. b.,48q1 2,64q1 2,56q1 2 M c.,333 q1 + T,167q1 Sika 21. 35
Za mnoge se sučajeve opterećenja, medutim, može preskočiti izvodenje funkcijskih izraza, a često se čak mogu izbjeći i izračunavanja vrijednostî u većem broju točaka. Tako ćemonatemejudiferencijanogaodnosa T ½ q iinverznogaodnosaoperacijaderiviranja i integriranja predvidjeti da će za inearno opterećenje dijagram poprečnih sia biti dio kvadratne paraboe koji možemo nacrtati gotovo mehaničkim postupkom. Ponešto, naravno, ipak treba izračunati, ai tražene vrijednosti ponajčešće gotovo neposredno sijede iz već poznatih. Pokazai smo već da iz jednadžbi ravnoteže odmah sijedi da su vrijednosti poprečnih sia neposredno uz ežajeve jednake vrijednostima reakcija (uz promjenu predznaka na desnom kraju), T Ô Õ A v i T Ô Õ, pa možemo uzeti da su Ô,A v Õ i Ô, Õ točke paraboe (infinitezimani pomaci iz u i iz u su nerazučivi). Iz qôõ pak sijedi da je tangenta u točki Ô, Õ usporedna s osi, jer u geometrijskoj interpretaciji diferencijanoga odnosa T q funkcija q daje nagibe tangenata u točkama grafa funkcije T. Na sici 22.a. smo točke Ô,A v Õ i Ô, Õ označii sa C i D, a tangentu u točki D sa t D ; točke A i odreduju os. Kako je tangenta t D okomita na os z, s kojom je os paraboe usporedna, točka D je tjeme paraboe, a pravac kroz točke D i njezina je os. Prvo ćemo naći tangentu t C u točki C. Sjecište tjemene tangente i paraee s osi kroz točku Coznačitćemosa E,apotompoovišteodsječkaizmedutočakaEiDsa F (sika22.b.). Udajenost točaka C i E je dôc,eõ dôc,aõ dôa,eõ dôc,aõ dô,dõ A v q 1 2, dok je udajenost točaka E i F Sijedi da je dôe,fõ 2. dôc, EÕ dôe,fõ q 1. Nagibtangentet C morabiti tgα C T ½ ÔÕ qôõ q 1, takodajetatangentaodredena točkama C i F. 2 U sjedećem ćemo koraku konstruirati točku J 1 na paraboi, s apscisom ß2, i tangentu t J1 u njoj (sika 22.c.): raspoovimo i odsječke na tangentama t C i t D izmedu njihova sjecišta F i diraištâ C i D, dobit ćemo točke 1 1 i 1 2 kojima je odredena tangenta t J1, a njezino sjecište s pravcem koji kroz točku F proazi usporedno s osi paraboe bit će diraište J 1. 2 Neka je točka L nožište okomice iz točke C na os paraboe i neka je točka K sjecište tangente t C s osi paraboe. Iz sičnosti trokutâ KDF i KLC i iz dôd,fõ 1 2 dôd,eõ 1 2 dôl,cõ sijedi poznato svojstvo paraboe: dôk,dõ dôd,lõ. 36
a. t D D K A t C b. c. C F 1 2 J 1 α J1 D E A t D F D 1 1 α C C L C d. J 1 1 2 J 12 1 21 1 22 D e. J 1 J 12 D 1 1 1 12 J 11 J 11 1 11 C C Sika 22. Kako bismo opisanoj konstrukciji, koja se temeji na projektivnogeometrijskim svojstvima paraboe, 3 dai i statičko (i anaitičko) opravdanje, izračunat ćemo odgovarajuće vrijednosti poprečne sie i nagiba tangente(no, ponavjamo, za crtanje dijagrama te nam vrijednosti ne trebaju). Odvojimo i dio grede desno od presjeka ß2, iz jednadžbe ravnoteže projekcija sia na os z dobivamo T q 1 ß2 8 ; dake, razikajevrijednostipoprečnihsiaupresjecimaß2i jednakačetvrtinirazikevrijednosti sia u presjecima i. Točke F i J 1 imaju jednake apscise, ß2, a apscise točaka 1 1 i 1 2 su ß4 i 3ß4; sijedi da je točka J 1 poovište odsječka izmedu točaka 1 1 i 1 2 na pravcu kroz te dvije točke. Razika apikata točaka 1 1 i D poovina je razike d z ÔC,DÕ apikata točaka C i D, pa je razika apikata točaka J 1 i D, d z ÔJ 1,DÕ, četvrtina razike d z ÔC,DÕ; prema tome, točka J 1 upravo je točka ß2,T ß2. Iz T ½ q pak sijedi da je u točki ß2,T ß2 nagib tangente tgα ß2 q ß2 q 1 2 ; 3 V. Niče: Deskriptivna geometrija. Prvi svezak, Škoska knjiga, Zagreb, 1982. 37
s druge je strane dôj 1,FÕ d zôj 1 dôf,1 2 Õ,DÕ dôf,1 2 Õ 1 4 d zôc,dõ dôf,1 2 Õ 1 q 1 4 2 4 q 1 2, pa možemo zakjučiti da je pravac kroz točke 1 1 i 1 2 tangenta s diraištem u točki J 1. Dajim raspoavjanjem odsječaka na tangentama t C i t D izmedu njihovih diraišta i njihovih sjecišta s tangentom t J1 te raspoavjanjem odsječaka na tangenti t J1 izmedu diraišta J 1 i sjecištâ s tangentama t C i t D dobivamo parove točaka 1 11, 1 12 i 1 21, 1 22 kojima proaze dajnje dvije tangente, t J11 i t J12. Pravci usporedni s osi paraboe kroz točke 1 1 i 1 2 sijeku novodobivene tangente u pripadnim diraištima J 11 i J 12 (sika 22.d.). Statičko/anaitičko opravdanje takvoga povačenja crta sično je opravdanju prethodnoga koraka. U sjedećem bismo koraku mogi na sičan način odrediti još četiri tangente i njihova diraišta, no i do sada nadene tangente s diraištima dovojne su za uredan crtež paraboe (sika e.). Diferencijani odnos M ¾ q integranim obratom propisuje da momentni dijagram mora u našem primjeru biti dio kubne paraboe. Tu ćemo parabou konstruirati rekurzivno, sve boje aproksimirajući distribuiranu siu nizovima koncentriranih sia. U prvom ćemo koraku zamisiti da na gredu umjesto distribuirane sie q djeuje samo jedna koncentrirana sia, njezina rezutanta, koju ćemo sada označiti sa Q 1 (gornji dio Q 1 Q 11 Q 12 A A a. q 1 2 9 b. 1 1 J 1 1 2 1 1 Q 111 Q 112 Q121 Q 122 q A A 1 11 c. 1 1 J 11 J 1 J 12 1 22 1 12 1 21 1 2 d. J 11 J 1 J 12 Sika 23. 38
sike 23.a.). Znamo da će dijagram momenata savijanja tada biti sastavjen od dijeova dvaju pravaca koji se sijeku ispod hvatišta rezutante; to ćemo sjecište označiti sa 1 (donji dio sike a.). Vrijednost je momenta u hvatištu rezutante M ß3 3 Av 3 q 1 3 q 1 2 9 ; to je i jedina vrijednost koju treba izračunati. Dijagram je, dake, skopjen od odsječaka A1 i 1. Pravci p A1 i p 1, na kojima ti odsječci eže, tangente su konačnoga momentnog dijagrama dijea kubne paraboe u točkama A i (sika 23.d.). Promatramo i, naime, gredu u cjeini, rezutanta Q 1 statički je ekvivaentna zadanoj distribuiranoj sii, pa su reakcije za oba načina opterećivanja jednake. Vrijednost momenta u nekom presjeku pri djeovanju distribuirane sie izračunavamo prema (općem) izrazu MÔÕ A v Ô ξõ qôξõdξ; neposredno desno od ijevog ežaja doprinos je drugoga pribrojnik zanemariv, tako da ostaje samo MÔÕ A v, a to je izraz za vrijednost momenta pri djeovanju koncentrirane sie (u nekom presjeku ijevo od njezina hvatišta). Sičan zakjučak možemo izvesti za moment neposredno ijevo od desnoga ežaja. U drugome koraku distribuiranu siu zamjenjujemo dvjema koncentriranim siama, Q 11 i Q 12, rezutantama dijeova sie q desno i ijevo od pravca djeovanja rezutante iz prethodnoga koraka, sie Q 1 (gornji dio sike 23.b.). Momentni će dijagram biti sožen od odsječaka A1 1, 1 1 1 2 i 1 2, sa šijcima 1 1 i 1 2 ispod hvatištâ sia Q 11 i Q 12 (donji dio sike b.). U tim točkama, medutim, ne treba računati vrijednosti: sie Q 11 i Q 12 su za gredu u cjeini statički ekvivaentne distribuiranoj sii, a time i rezutanti Q 1, tako da su reakcije u sva tri sičaja jednake. To pak znači da su i momenti u svim presjecima izmedu ežaja A i hvatišta sie Q 11 te izmedu hvatišta sie Q 12 i ežaja jednaki onima iz prethodnoga koraka. Drugim riječima, odsječci dijagrama za te dijeove grede ponovo eže na pravcima p A1 i p 1. Srednji je pak odsječak na pravcu p 11 1 2 koji proazi sjecištima 1 1 i 1 2 pravaca p A1 i p 1 s pravcima djeovanja sia Q 11 i Q 12. I pravac p 11 1 2 tangenta je na kubnu parabou. Diraište je njegovo sjecište s pravcem koji razdvaja dijeove distribuirane sie: moment rezutante Q 12 u odnosu na težište poprečnoga presjeka na tom pravcu jednak je momentu pripadnoga trokutnog dijea distribuirane sie; i, naravno, s druge je strane moment rezutante Q 11 jednak momentu odgovarajućega trapeznog dijea. Postupak možemo nastaviti do žejene točnosti (sike 23.c. i d.). Verižni poigon i momentni dijagram. Ako ste bii dovojno radoznai da pročitate manjim sovima otisnuti tekst na stranicama 23. 24., tada znate da s pomoću verižnoga poigona možemo izračunati vrijednost momenta savijanja u nekom presjeku (a znate i kako). Postupak je akše objasniti, a i provesti, ako su, kao u našem sučaju, pravci djeovanja svih sia vertikani (sika 24.a.). Štoviše, pokazat ćemo da se uz mao pjesničke 39
a. F 1 F 2 M F 3 A F 1 1 c. b. 4 F 2 4 2,2 3 O 1 2 2 3 F 3 Sika 24. sobode može reći da verižni poigon (sika b.) tada jest momentni dijagram izobičen, doduše, i nacrtan u pomao neobičnu mjeriu. Djeuju i na jednostavno osonjenu gredu sie na vertikanim pravcima i momenti, za početak konstruiranja verižnoga poigona imamo više mogućnosti izbora negoi pri djeovanju sia na pravcima općih, razičitih nagiba: budući da i reakcija u nepomičnom zgobu sada eži na vertikanom dake, na poznatom pravcu, možemo je sastaviti od komponenata u bio kojoj točki tog pravca, tako da crtanje ne moramo započeti pravcem kroz ežaj. (Nagnemo i crtež, vidjet ćemo da se naš posebni sučaj može mao poopćiti: pravci djeovanja svih sia, ukjučujući reakcije, moraju biti medusobno paraeni; nije nužno da su vertikani.) Uočite odmah još jednu, za nastavak priče važnu pojedinost: ako su pravci djeovanja svih sia usporedni, u poigonu sia vektori tih sia eže na istom pravcu (sika 24.c.). Nastavak crtanja verižnoga poigona nimao se ne razikuje od postupka opisana na stranicama 14. 19. uz sike 1. i 11., a prisjetite se i primjera sa sike 7. na stranici 1.! Pokazat ćemo sada kako iskoristiti verižni poigon i poigon sia za izračunavanje vrijednosti momenta savijanja u nekom po voji odabranom presjeku, poput presjeka na sici 25.a. Nakon toga će korak do prepoznavanja dijagrama momenata biti trivijaan. Zamisit ćemo, kao i obično, da smo odbacii dio nosača s jedne strane promatranoga presjeka, recimo desno od njega. Poprečna sia (koja nas zasad ne zanima) i moment savijanja u presjeku moraju uravnotežiti sie A, F 1 i F 2 koje djeuju na preostai, ijevi dio. Intenzitet i smisao djeovanja rezutante R A,F1,F 2 sia A, F 1 i F 2 naazimo u poigonu sia prikazanom na sici 25.d. Uz to, u poigonu sia vidimo da pravac na kojemu ta rezutanta djeuje proazi sjecištem stranica 2 ½ i 4 verižnoga poigona sa sike b. Vidimo i? Treba se prisjetiti statičkoga značenja zraka poigona sia i stranica verižnog poigona. Stranice verižnoga poigona pravci su djeovanja komponenata na koje rastavjamo poznate sie ii od kojih sastavjamo do tada nepoznate sie, a intenzitete i orijentacije tih komponenata odreduju zrake poigona sia. Tako smo siu F 1 rastavii u komponente koje djeuju na stranicama i 1 verižnoga poigona. Intenziteti tih komponenata jednaki su dujinama zraka i 1 u poigonu sia, uzevši u obzir mjerio u kojem je poigon sia nacrtan. Da bi 4
a. F 1 F 2 M F 3 H R A,F1,F 2 4 2 H c. b. d() 4 4 1 H 2 H 2 2 R A,F1,F 2 3 R A,F1,F 2 A F 1 F 2 F 3 1 4 2,2 3 O d. e. 4 1 2 d() H 2 3 F 1 F 2 1 4 2, 2 Ō f. F 3 3 R A A F 1 R A,F1 A F 1 1 h. g. F 2 R A,F1,F 2 R A,F1,F 2,F 3 F 2 4 2,2 3 F 3 F 3 Sika 25. njihovzbroj daovektor Ø F 1, vektor nazraci morabitiorijentiranodrepavektora Ø F 1 prema točki O, a vektor na zraci 1 od točke O do vrška vektora Ø F 1. Osnovna je značajka verižnoga poigona da na svakoj njegovoj stranici djeuju komponente dviju sia od svake sie po jedna komponenta i to tako da se medusobno ponište. U našem primjeru, na stranici 1 djeuje i jedna komponenta sie F 2 ; njezin je intenzitet jednak dujini zrake 1 (jednak je, dake, intenzitetu komponente sie F 1 na stranici 1), a vektor kojim je ta komponenta prikazana orijentiran je prema točki O prema tome, suprotno od vektora komponente sie F 1. Sično vrijedi i za siu A i njezinu komponentu na stranici. Označimo i vektor na zraci m koji je orijentiran prema točki O sa m, a vektor orijentiran od točke O sa m, 41
bit će ØA Ø F 1 Ø F 2 Ö 4 Ö 1 Ö 1 2 ½ 4 1 1 2 ½ 4 tako da preostaju samo komponente koje djeuju na stranicama 4 i 2 ½, što znači da pravac djeovanja od njih sastavjene sie mora proći sjecištem tih stranica (jasno je da sada ne označava nuvektor). Koncentrirani momenti na prvi poged zapiću priču. Pri konstruiranju verižnoga poigona zamjenjujemo ih spregovima sia, pa se sie spregova upiću izmedu komponenata drugih sia. Moment M smo zamijenii spregom sia na stranicama 2 ½ i 2 ¾ ; kako su te stranice medusobno usporedne, odgovarajuće se zrake pokapaju. Stoga bi se samo na temeju poigona sia možda mogo postaviti pitanje nije i R Ø A,F1,F 2 4 2 ¾ ; u panu poožaja, medutim, vidimo da bi to bio sučaj kad bi se presjek naazio desno od hvatišta momenta moment ne mijenja ni intenzitet ni orijentaciju rezutante, ai pomiče pravac njezina djeovanja. Intenzitet momenta savijanja u presjeku možemo izračunati kao umnožak inteziteta rezutante R A,F1,F 2 i udajenosti težišta presjeka od pravca njezina djeovanja; smisao je vrtnje tog momenta suprotan od smisa vrtnje momenta rezutante oko težišta presjeka, jer se ta dva momenta medusobno uravnotežuju. Medutim, zanimjiviji će nam i mnogo korisniji biti drugi način izračunavanja intenziteta momenta M ÔÕ: izračunat ćemo intenzitet momenta komponenata rezutante na stranicama verižnoga poigona u odnosu na težište presjeka, ai ne neposredno, nego uz još jedno rastavjanje svaku od tih dviju komponenata ćemo u točkama, u kojima vertikani pravac (općenitije: pravac usporedan s pravcem djeovanja rezutante) kroz presjek siječe stranice na kojima djeuju, rastaviti u po dvije komponente, po jednu na vertikanom i po jednu na horizontanim pravcima (sika 25.b. vjerojatno govori više od riječî). Vertikane komponente proaze kroz težište presjeka, pa njihovi momenti oko njega iščezavaju. U isječku iz poigona sia, prikazanu na sici c., vidimo da komponente na horizontanim pravcima imaju jednake intenzitete, ai suprotan smisao djeovanja. Prema tome, te dvije sie tvore spreg čiji je moment jednak momentu rezutante R A,F1,F 2 u odnosu na težište presjeka, pa intenzitet momenta savijanja u presjeku mora biti jednak intenzitetu momenta sprega: označimo i udajenost pravaca sia sprega sa dôõ, a intenzitet tih sia sa H, bit će 2 ½, MÔÕ dôõ H; (38) smisao je vrtnje momenta savijanja suprotan od smisa vrtnje momenta sprega. Sada, kad znamo izračunati vrijednost momenta savijanja u nekom, bio kojem presjeku, možemo napokon na sici 25.b. potražiti i momentni dijagram. Neovisno o poožaju presjeka, na dio grede ijevo od njega uvijek će djeovati reakcija A, što znači da će se u poigonu sia rep rezutante sia koje djeuju na taj dio pokapati s repom sie A; jedna će komponenta rezutante stoga uvijek biti na zakjučnoj iniji verižnoga poigona, u našemu primjeru na stranici 4. Stranica pak na kojoj je druga komponenta ovisit će o poožaju presjeka (sike 25.g. i h.): ako je presjek ijevo od hvatišta sie F 1, bit će to stranica zato 42
što se vršak rezutante R Ø A A Ø pokapa s vrškom sie A; ako je presjek izmedu hvatišta sia F 1 i F 2, to je stranica 1 jer rezutanta R Ø A,F1 A Ø F Ø 1 tada završava u vršku sie F 1 ; i tako daje. Moment rezutante u odnosu na težište presjeka zamjenjujemo momentom sprega koji nastaje tako da ispod presjeka rastavimo komponente rezutante na stranicama verižnoga poigona u vertikane i horizontane komponente; vertikane komponente otpadaju, a par horizontanih komponenata naš je spreg. Usporedba sika 25.c. i d. pokazuje da je intenzitet H sia sprega jednak udajenosti poa Oodpravca nakojemu eževektori Ø A, Ø, Ø F 1, Ø F 2 i Ø F 3, a iz te jednakosti možemo odmah zakjučiti da sve horizontane komponente komponenata sia na stranicama verižnoga poigona imaju isti intenzitet, H. (Ne smijemo zaboraviti da spomenuta udajenost nije geometrijska dujina, nego da je treba izraziti u nekoj od mjernih jedinica sie. Udajenost pravaca sprega, s druge strane, jest geometrijska dujina, te će umnožak dôõ H biti u nekoj od mjernih jedinica momenta.) Kako je intenzitet H sia sprega konstantna vrijednost, izraz (38) pokazuje da je intenzitet MÔÕ momenta savijanja u presjeku proporcionaan dujini dôõ, koja je pak jednaka dujini odsječka (izraženoj u mjeriu pana poožaja) izmedu sjecištâ vertikae kroz presjek sa stranicama poigona na kojima djeuju komponente rezutante. Jedna od tih stranica uvijek je, rekosmo, zakjučna inija, tako da možemo reći da dujinu dôõ mjerimo od nje, kao od osi. Iz svega rečenog možemo zakjučiti da je verižni poigon po obiku jednak dijagramu momenata čija je os nagnuta i u kojemu su prikazane vrijednosti dôõ H MÔÕ, ai te vrijednosti očitavamo po vertikaama, a ne po okomicama na os. Verižni se poigon može svesti na horizontanu zakjučnu iniju tako da se na okomice na horizontani pravac nanesu dujine odsječaka, izmjerene po vertikaama, izmedu zakjučne inije i njegovih vrhova ispod hvatištâ sia i momenta. Ii, u poigonu sia posjednju zraku (u našemu primjeru zraku 4) možemo, ne mijenjajući pritom udajenost poa, rotacijom oko njezina sjecišta s pravcem na kojemu eže vektori sia dovesti u horizontaan poožaj (sika 25.f.), te potom, crtanjem paraea s novim zrakama, nacrtati novi verižni poigon/momentni dijagram čija će zakjučna inija/os biti horizontana (sika e.). Ako je pan poožaja crtan u mjeriu 1cm :: nm, tada verižni poigon možemo smatrati momentnim dijagramom koji je nacrtan u mjeriu 1 cm :: n H knm. Primjerice, uzmimo da je raspon grede 5,m; crtež grede na sici 25.a. dujine je 62,5mm, štoznačidajepanpoožajânacrtanumjeriu1:8,odnosno, 1cm ::,8m. Uzmimo, nadaje, da su intenziteti zadanih sia i momenta F 1 75,kN, F 2 125,kN, F 3 75,kN i M 1,kNm (u poigonima na sikama d. i f. sie su nacrtane u mjeriu 1 cm :: 75 kn; mjerio sia, medutim, ne igra nikakvu uogu u odredivanju intenzitetâ momenata). I napokon, neka su hvatišta sia i momenta u točkama 1 1,2m, 2 2,m, 3 4,m i M 2,8m. 43
Za konstruiranje verižnih poigona na sikama 25.b. i e. odabrai smo H 175,kN. Izmjerene dujine odsječaka izmedu zakjučne inije i vrhova verižnoga poigona su: dô 1 Õ 11mm, dô2 Õ 14mm, dô M Õ 1mm, dô M Õ 17mm i dô3 Õ 1,5mm. Verižni je poigon nacrtan u mjeriu pana poožajâ, pa dujina od 1cm na crtežu odgovara stvarnoj dujini od,8 m. Sijedi: MÔ 1 Õ Ô1,1,8Õ 175 1,1 Ô,8 175Õ 1,1 14 154kNm, MÔ 2 Õ Ô1,4,8Õ 175 1,4 Ô,8 175Õ 1,4 14 196kNm, MÔ M Õ Ô1,8Õ 175 1 Ô,8 175Õ 1 14 14kNm, MÔ M Õ Ô1,7,8Õ 175 1,7 Ô,8 175Õ 1,7 14 238kNm, MÔ 3 Õ Ô1,5,8Õ 175 1,5 Ô,8 175Õ 1,5 14 147kNm. Naznačena promjena redosijeda množenjâ pokazuje da je verižni poigon ujedno i momentni dijagram nacrtan u mjeriu 1 cm :: 14 knm. 44