STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 273 smatra zamišljeni pomak konstrukcije kojim se ona od polaznoga dovodi u neki identični položaj, što se naziva prekl

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 273 smatra zamišljeni pomak konstrukcije kojim se ona od polaznoga dovodi u neki identični položaj, što se naziva prekl"

Транскрипт

1 STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 273 smatra zamišljeni pomak konstrukcije kojim se ona od polaznoga dovodi u neki identični položaj, što se naziva preklapanjem. Preklapanje se ne odnosi samo na geom etrijske, nego i na mehaničke karakteristike, napose na krutost. Ako je element simetrije središte simetrije, operacija simetrije je inverzija, tj. prom jena koordinata x] svake točke u Xj. Takva se konstrukcija naziva koso simetričnom. Ako je element simetrije os simetrije, operacija je simetrije rotacija oko osi simetrije, a konstrukcija se naziva ciklički simetričnom. ogući broj operacija simetrije najveća je vrijednost broja n u izrazu 2it/n za vrijednost kutnih pomaka, gdje je n stupanj cikličke simetrije. Ako je element simetrije ravnina simetrije, operacija je simetrije refleksija kroz tu ravninu, a konstrukcija se naziva zrcalno ili bilateralno simetričnom. To vrijedi i za opterećenja konstrukcije i za pripadne ležaj ne i unutrašnje sile. Poseban su oblik simetričnih opterećenja te ležajnih i unutrašnjih sila antimetrična opterećenja, ležaj ne i unutrašnje sile. Opće definicije glase: a) opterećenje je simetrične konstrukcije simetrično ako se operacijom simetrije postiže preklapanje i b) opterećenje je simetrične konstrukcije antimetrično ako se operacijom simetrije i promjenom predznaka postiže preklapanje. Na osnovi iskustva mogu se formulirati aksiomi: a) simetrično opterećenje simetrične konstrukcije uzrokuje simetrične ležaj ne i unutrašnje sile te deformaciju; b) antimetrično opterećenje simetrične konstrukcije uzrokuje antimetrične ležaj ne i unutrašnje sile te deformaciju. Bilo kakvo nesimetrično opterećenje može se rastaviti u simetričnu i antimetričnu kom ponentu, pa se njihovi utjecaji superponiraju. Prim jena aksioma simetrije veoma pojednostavnjuje m e haničke analize simetričnih konstrukcija. ože se smanjiti stupanj statičke i kinematičke neodređenosti, a nekada statički ili kinematički neodređena konstrukcija može postati statički odnosno kinematički određena. ože se ustanoviti koje ležaj ne i unutrašnje sile te koji pomaci u nekom presjeku moraju biti jednaki nuli. Neka na regularnopoligonski prsten (si. 18), s brojem stranica koji nije manji od 3, djeluje unutrašnji pritisak intenzivnosti p (si. 18a). Zbog cikličke simetrije prstena i opterećenja analiza se može provesti na jednom štapu sustava (si. 18b). S obzirom na savijanje štap se ponaša kao obostrano upeta greda (si, 18c). Smjer je reakcija R takav da je njihova radijalna komponenta jednaka nuli (si. 18d). Izrazi li se stranica a pomoću polumjera upisane kružnice r u poligonu, dobiva se vlačna sila N = p r (4a) i reakcija R = p a. (4b) Prsten je, dakle, napregnut konstantnom vlačnom silom (si. 18e). Za kontrolu može se provjeriti ravnoteža polovice sustava (si. 18f). Ako se uz konstantan polumjer upisane kružnice r smanjuje stranica a, smanjuju se i moment savijanja i poprečna sila Q. Za a = 0 dobiva se = 0, 2 = 0, N = p r (5) za kružni prsten polumjera r. U zrcalnosimetričnim ravninskim konstrukcijama kad je opterećenje simetrično, simetrične su i reakcije R, uzdužne sile A, momenti savijanja i progibi A, a antimetrične poprečne sile Q i nagibi progibne linije cp. U osi simetrije poprečna sila Q i nagib progibne linije cp jednaki su nuli. Kad je opterećenje antimetrično, vrijedi obratno, pa su Q i cp simetrične, a reakcije te A, i A antimetrične veličine. U kososimetričnim ravninskim konstrukcijama kad je opterećenje antimetrično, reakcije te N, i A su antimetrične, a Q i cp simetrične veličine; kad je opterećenje simetrično, vrijedi obratno, pa su Q i cp antimetrične, a reakcije te A, i A simetrične veličine. Analiza zrcalnosimetričnih i kososimetričnih konstrukcija na koje djeluju simetrična i antimetrična opterećenja može se provesti na polovici konstrukcije. (Ai) p a 2l\2 p a1! 24 / KINEATIČKA ANALIZA KONSTRUKCIJA Geometrijska stabilnost. Građevne konstrukcije moraju biti geometrijski stabilne. To znači da one ne smiju biti pomične ili, detaljnije rečeno, ne smiju biti a) konačno pomične (pomične u krupnom), tj. konačno oblikovno izmjenljive ili konačno pomično oslonjene, niti b) infinitezimalno pomične (pomične u sitnom, klimave, degenerirane), tj. infinitezimalno oblikovno izmjenljive ili infinitezimalno pomično oslonjene. Sustav je konačno ili infinitezimalno oblikovno izmjenljiv ako je, uz pretpostavku da su svi njegovi elementi potpuno kruti, moguća konačna (si. 19a) ili infinitezimalna promjena njegova oblika. Sustav nije oblikovno izmjenljiv ako svoj oblik može m ijenjati samo zbog deformacije materijala. Sustav je konačno ili infinitezimalno pomično oslonjen ako je, uz pretpostavku da je potpuno krut i da su ležaj ne veze potpuno krute, moguć konačan (si. 19b) ili infinitezimalan (si. 19c) pomak sustava kao cjeline. >77& h &77? w ^ r r 1 c SI. 19. Pomični sustavi C J ' \ «, N pr SI. 18. Pravilni poligonski prsten na koji djeluje unutrašnji pritisak Sustav je infinitezimalno pomičan ako se bez deformacije njegovih elemenata i veza može ostvariti infinitezimalan pomak i tako, uz beskonačno velike unutrašnje i/ili ležaj ne sile, ravnoteža sustava. U analizi infinitezimalno pomičnih sustava pretpostavka potpuno krutog tijela nije primjenljiva. Kad na prostu gredu djeluje napadni moment (si. 20), reakcija B iznosi TE XII, 18

2 274 STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA r \ v\ B = l sin a G reda je geometrijski stabilna (si. 20a) za bilo koji kut a, osim kad je a = 0, tj. kad je desni ležaj ni štapić kolinearan s osi grede (si. 20b). Tada je, zbog sin a = 0, reakcija B =». Ako je kut a vrlo malen, reakcija B je vrlo velika. b (6) T a b lic a 1 STRUKTURNI TIPOVI KONSTRUKCIJA, ELEENATA SUSTAVA I VEZA SUSTAVA Strukturni tipovi konstrukcija OST SD SB R RR opći sustav tijela; sustav tijela koja su međusobno spojena bilo kakvim vezama opći ravninski sustav tijela; sustav diskova opći prostorni sustav tijela; sustav blokova rešetka; poseban opći sustav tijela spojenih samo zglobovima ravninska rešetka X i B rr PR prostorna rešetka Elementi sustava D broj diskova (struktura SD) B broj blokova (struktura SB) Č broj čvorova (struktura R) Veze sustava L I broj ležaj nih veza (štapića) broj unutrašnjih veza (štapića, struktura OST) SI. 20. Ilustracija prijelaza geometrijski stabilnog u nestabilni sustav Prijelaz geometrijski stabilnog u nestabilni sustav može se rastumačiti ovako. Ako se u geometrijski stabilnom sustavu (si. 20 a) ukloni zglob B, dakle veza grede i desnog ležajnog štapića (si. 20c), slobodni kraj B grede može rotirati po kružnici iloko čvora A, a slobodni kraj ležaj nog štapića po kružnici 2 oko čvora B. U stabilnom sustavu, dakle, pomak čvora B nije moguć. U graničnom slučaju, kad je a = 0, kružnice 1 i 2 imaju zajedničku tangentu (si. 20 d), pa je praktički i bez produljenja grede i/ili ležaj nog štapića moguć infinitezimalan pomak (si. 20e). Tada je napadni moment uravnotežen parom reakcija: A = B = -. (7) Što je 6 m anje, to su reakcije veće. Infinitezimalna je pomičnost sustava apstrakcija, jer nema naglog prijelaza od infinitezimalnog u konačni pomak. Sustavi bliski infinitezimalno pomičnima često su neprihvatljivo pomični, pa su zbog toga neupotrebljivi za građevne konstrukcije. Stupnjevi slobode. Broj stupnjeva slobode konačno pomičnog sustava potpuno krutih tijela jest broj međusobno nezavisnih geometrijskih param etara koji određuju stanje pomaka (deformacije) tog sustava. Točka ima u ravnini dva stupnja slobode (dva translacijska pomaka), a u prostoru tri stupnja slobode (tri translacijska pomaka). Disk (štap) ima u ravnini tri stupnja slobode (dva translacijska i jedan kutni pomak), a blok ima u prostoru šest stupnjeva slobode (tri translacijska i tri kutna pomaka). Pri kinematičkoj analizi rešetki najprikladnije je zglobove smatrati elementima rešetke, a njene štapove unutrašnjim vezama. Strukturni tipovi konstrukcija. Oznake strukturnih tipova konstrukcija, oznake elemenata sustava i oznake veza sustava vide se u tabl. 1. Pomoću tih oznaka može se prikazati ukupan broj stupnjeva slobode (BSS) svih elemenata sustava, koji iznosi: RSS = (sustav blokova, SB) (8) C3Č (prostorna rešetka, PR). To je ujedno i raspoloživi broj jednadžbi ravnoteže. Š broj štapića (struktura R) Ukupan broj veza (BV) i broj sila u tim vezama iznosi: _ f L + I (opći sustav tijela, OST) Š + L (rešetka, R). Kako svaka veza sustavu oduzima jedan stupanj slobode, BV je ujedno i broj stupnjeva slobode što ih sve veze zajedno oduzimaju sustavu. Ako je BV = BSS, odnosno ako je prema strukturnim tipovima: L + I Š + L = (9) (10a) (10b) tada sustav ima upravo potreban broj veza da bi se ostvarila konačna nepomičnost. Ako su veze pravilno raspoređene, sustav nema nijedan stupanj slobode. Raspoloživi broj jednadžbi ravnoteže jednak je broju sila u vezama (BV), a sve se te sile mogu odrediti rješenjem sustava jednadžbi ravnoteže. Sustav je statički određen (si. 21 i 22).

3 STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 275 Š+L SI. 24. Primjer statički neodređene ravninske rešetke (Š + L > 2 Č ) tada sustav ima više veza nego što je potrebno da bi se ostvarila konačna nepomičnost. Postoje, dakle, prekobrojne veze. Raspoloživi broj jednadžbi ravnoteže nije dovoljan da bi se odredile sve sile u vezama, pa je sustav statički neodređen (si. 23 i 24). Ako su veze pravilno raspoređene, stupanj statičke neodređenosti iznosi n = L + I - 3D L + I - 6B Š + L - 2Č i. Š 4- L š 1. (12) Ako je BV < BSS, odnosno ako je prema strukturnim tipovima L + 1 < (13a) Š + L o (13b) tada sustav ima nedovoljno veza da bi se ostvarila konačna nepomičnost, pa je on konačno pomičan (si. 25 i 26). Broj stupnjeva slobode iznosi n = 3D (L + I) 6 B - ( L + I) >šl. 2Č - (Š + L) k3č (Š + L) J (14) Raspoloživi broj jednadžbi ravnoteže veći je od broja sila u vezama. D L+I n % A 777? ^V//S SI. 25. Primjeri konačno pomičnih sustava diskova (L + K 3 D ) Š+L VV7T. SI. 23. Primjeri statički neodređenih sustava diskova (L + I > 3 D ) Ako je BV>BSS, odnosno ako je prema strukturnim tipovima g + ^ i (11a) (11b) SI. 26. Primjer konačno pomične ravninske rešetke (Š + L < 2 Č ) Kinematika mehanizama. ehanizam je sustav od dvaju ili više diskova s jednim stupnjem slobode. On se dobiva od statički određenog sustava ukidanjem jedne od veza (si. 27), b H H c i t J J j l SI. 27. Nulpolja momenta savijanja (a), poprečne sile (b) i uzdužne sile (c)

4 276 STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA što se postiže ako se za jednu od ležajnih ili unutrašnjih sila postavi da je jednaka nuli (nulpolje). Nulpolje momenta savijanja obično se naziva zglobom. Pri pomaku (deformaciji) mehanizma a) diskovi koji su zglobom pričvršćeni za podlogu zaokreću se oko tog zgloba, koji je apsolutni pol rotacije, b) diskovi koji za podlogu nisu pričvršćeni neposredno, nego preko drugih diskova, zaokreću se oko svog trenutnog pola rotacije i c) diskovi bilo kojeg para diskova zaokreću se jedan u odnosu prema drugom oko relativnog pola rotacije tog para diskova. Apsolutni i trenutni polovi rotacije nazivaju se samo polovima. Pol diska j označuje se sa (/). Relativni pol rotacije diskova j i k označuje se sa (j-k); značenje je relativnog pola (j-k) evidentno ako su diskovi j i k spojeni neposredno. Skica mehanizma s apsolutnim i trenutnim polovima i relativnim polovima zove se plan polova mehanizma. U analizi konstrukcija prim jenjuju se infinitezimalni pomaci mehanizama. Pomaci čvorova prikazani odsječkom kružnog luka sa središtem u polu odnosnog diska aproksimiraju se pripadnim odsječkom tangente luka. Kinematička se analiza mehanizama osniva na dvama teoremima (si. 28), a to su: a) teorem polova i relativnog pola dvaju diskova koji glasi: polovi dvaju diskova i njihov relativni pol leže na jednom pravcu i b) teorem relativnih polova triju diskova koji glasi: tri relativna pola triju diskova leže na jednom pravcu. (2-3) moraju ležati na pravcu. U mehanizmu od triju diskova na si. 30b diskovi su 7 i 2 spojeni nulpoljem uzdužne sile, a diskovi 2 i 3 nulpoljem momenta. Diskovi se 7 i 2 mogu jedan spram drugog pomaknuti samo u smjeru okomitom na normalu osi luka na mjestu nulpolja, tako da je relativni pol (7-2) beskonačno daleko u smjeru te normale. Pol (2) diska 2 u presjecištu je paralele s tom normalom kroz pol (7) i pravca kroz (3) i (2-3), jer polovi (2) i (3) te relativni pol (2-3) moraju ležati na pravcu. SI. 30. Planovi polova mehanizma s nulpoljem poprečne sile (a) i mehanizma s nulpoljem uzdužne sile (b) Na si. 29 prikazani su planovi polova nekoliko mehanizama. ehanizam na si. 30a sastoji se od triju diskova; diskovi 7 i 2 spojeni su nulpoljem poprečne sile, a diskovi 2 i 3 nulpoljem momenta (zglobom). Diskovi 1 i 2 mogu se jedan spram drugog pomaknuti samo u smjeru okomitom na tangentu osi luka na mjestu nulpolja, tako da je relativni pol (7-2) beskonačno daleko u smjeru te tangente. Pol (2) diska 2 u presjecištu je paralele s tom tangentom kroz pol (7) i pravca kroz (3) i (2-3), jer polovi (2) i (3) te relativni pol Pri pomaku mehanizma njegovi se diskovi zakreću svaki oko svog pola. Kutni se pomak diska j označuje sa a)j, a kutni pomak diska k sa cok; dakako, (Oj i cok funkcije su odabranog pomaka mehanizma. Relativni kutni pomak diskova j i k jednak je algebarskoj sumi njihovih kutnih pomaka: 0)j>k = (Oj + (Ok. (15) Primjer. Pomak mehanizma od dvaju diskova (si. 31) opiše se kutnim pomakom w diska 1. Pomak je čvora (1-2). dok se kutni pomak o>i diska 2 određuje iz uvjeta di = curici, (16) 2>2 = di pa se dobiva G-2,1 (O2 = - 0), (17) gdje su r!_2,i i udaljenosti čvora (1-2) od polova (1) odnosno (2), dakle polne udaljenosti čvorova. Pomak je desnog ležajnog zgloba ' 1-2,2 a relativni kutni pomak obaju diskova, tj. povećanje kuta i? što ga oni međusobno zatvaraju, iznosi (18) (D\2 = ( 0 + (1)2 Postavi li se ćo1>2= 1, dobiva se l + - ( - a * ' 1-2,1 (19) (20) //! a (1-4 ) /! 4 i i ( 1-3 ) (3)(2-3) X (1-2 ) 2 V (2) 'SS//// SI. 29. Planovi polova nekoliko mehanizama

5 STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 277 Kriteriji geometrijske stabilnosti konstrukcija. Adekvatnost ležajnih i internih veza može se provjeriti kriterijima geometrijske stabilnosti konstrukcija. Često je, međutim, adekvatnost ili neadekvatnost veza očita. N uz dan uvjet. Da sustav ne bi bio konačno pomičan, on ne smije imati nijedan stupanj slobode («= 0). Taj je uvjet nuždan, ali nije dovoljan za postizanje geometrijske stabilnosti sustava. Ako ležaj ne i/ili unutrašnje veze nisu pravilno raspoređene, sustav je konačno ili infinitezimalno pomičan unatoč tome što je taj uvjet zadovoljen, tj. da ima dovoljno veza. Statički kriterij. Za neopterećenu konstrukciju koja zadovoljava nužni uvjet formira se sustav jednadžbi ravnoteže; sustav je linearan i algebarski, a broj jednadžbi je m. Veličina je matrice koeficijenata m -m. To je matrica [A]. Ako je rang matrice [A] jednak m, matrica je regularna, a sustav jednadžbi ima jednoznačno rješenje i konstrukcija je geometrijski stabilna. Ako je rang matrice [A] manji od m, dakle njena je determ inanta jednaka nuli, matrica je singularna, a sustav jednadžbi nema jednoznačnog rješenja i konstrukcija je konačno ili infinitezimalno pomična. atrica je singularna ako su elementi jednog retka nule, ako su dva retka jednaka ili proporcionalna ili ako je jedan od redaka linearna kombinacija drugih redaka. Zadovoljenje je statičkog kriterija nuždan i dovoljan uvjet geometrijske stabilnosti konstrukcije. Uvjeti su, dakle, statičke određenosti konstrukcije dovoljan broj veza i regularnost matrice koeficijenata sustava jednadžbi ravnoteže. Sustav jednadžbi ravnoteže opterećenog skoro infinitezimalno pomičnog sustava vrlo je osjetljiv. Tako npr. z a m = 2 jednadžbe ravnoteže predstavljaju dva pravca koji su skoro paralelni, pa je teško točno odrediti njihovo sjecište, tj. rješenje sustava. Primjer. Sustav jednadžbi ravnoteže neopterećene proste grede (si. 32) može se formulirati u obliku A x 0 Ay = 0 B 0 Drugi su i treći redak matrice koeficijenata proporcionalni, pa je njena determinanta nula. Sustav je, dakle, infinitezimalno pomičan. (21) SI. 32. Infinitezimalno pomično oslonjena prosta greda Kinematički kriterij. A ko se za konstrukciju koja zadovoljava spomenuti nužni uvjet može skicirati plan polova, ona je mehanizam i time konačno ili infinitezimalno pomična. Ako se, međutim, pri skiciranju plana polova pojave kontradikcije, tj. ako polovi i relativni polovi koji bi morali ležati na pravcu ne leže na pravcu, plan se polova ne može nacrtati, pa je konstrukcija geometrijski stabilna. Na si. 33 lijevo prikazani su primjeri infinitezimalno oblikovno izmjenljivih sustava (svi zadovoljavaju nužni uvjet), a desno geometrijski stabilni sustavi koji su od lijevih izmjenljivih dobiveni korekcijom rasporeda štapova ili veza. U primjeru na si. 33a podignut je srednji zglob, pa polovi (3) i (4) te relativni pol (3-4) više nisu na pravcu. U primjeru na si. 33b spušten je srednji ležaj, pa polovi (1) i (2) te relativni pol (1-2) više nisu na pravcu. U primjeru na si. 33c promijenjen je smjer srednjih stupova tako da polovi (1) i (2) te ralativni pol (1-2) više nisu na pravcu. U primjeru na si. 33d pomaknut je zglob desne prečke, pa se za pol (2) dobivaju dvije nesukladne pozicije; sustav je, dakle, infinitezimalno oblikovno izmjenljiv samo onda ako je simetričan. (3-4 ) (2)71(2) /A (2-2)/li\(2-3) ( i ) / (4) \(2) (1) /.(4 ) SI. 33. Primjeri infinitezimalno oblikovno izmjenljivih sustava (lijevo) i pripadnih geometrijski stabilnih sustava (desno) OSNOVE ELASTOSTATIKE KONSTRUKCIJA Jednadžbe elastostatike. Elastostatika utvrđuje ležaj ne i unutrašnje sile te deformacije statički opterećenih linearno deformabilnih konstrukcija. Prim jenjuju se tri grupe jednadžbi: statičke, geometrijske i fizikalne. O pterećenja se nazivaju statičkima ako je proces opterećivanja i rasterećivanja konstrukcije dovoljno polagan i postupan, tako da su inercijske sile u usporedbi s ostalima u svakom trenutku zanemarljive. Statičke jednadžbe ili jednadžbe ravnoteže međusobno povezuju vanjske i unutrašnje sile. Sile su u njima uvijek u prvom stupnju, tako da su uvijek linearne. Geometrijske jednadžbe ili jednadžbe kompatibilnosti deformacija međusobno povezuju deformacije i pomake sustava. Pretpostavlja se da su specifične deformacije i pomaci beskonačno maleni, tako da su i geometrijske jednadžbe linearne. Deformacije i pomaci građevnih konstrukcija vrlo su maleni, ali ne beskonačno, pa navedene pretpostavke vrijede samo približno; one su, međutim, prihvatljive, jer su specifične deformacije u usporedbi s jedinicom i pomaci u usporedbi s dimenzijama konstrukcije zanemarljivi. Tako, npr., specifična deformacija pri savijanju štapa. tj. zakrivljenost, iznosi A"/(l -f A '2)312, pa je to strogo uzevši nelinearna funkcija gradijenta A ' progibne linije A. Kako je, međutim, vrijednost nagiba, a pogotovo njena kvadrata, u usporedbi s jedinicom uvijek zanemarljiva, specifična je deformacija jednaka drugoj derivaciji A pomaka po apscisi, pa je geometrijska jednadžba linearna. Deformacija, dakle, samo neznatno m ijenja inicijalni oblik sustava. Uostalom, deformacije i pomaci moraju biti vrlo maleni da bi se osigurala upotrebljivost konstrukcije. Fizikalne jednadžbe povezuju naprezanja i deformacije. Pretpostavlja se da je materijal linearno elastičan. Jednadžbe su linearne i osnivaju se na Hookeovu zakonu. Strogo uzevši,

STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 277 Kriteriji geometrijske stabilnosti konstrukcija. Adekvatnost ležajnih i internih veza može se provjeriti kriterijim

STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 277 Kriteriji geometrijske stabilnosti konstrukcija. Adekvatnost ležajnih i internih veza može se provjeriti kriterijim STATIKA GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA 277 Kriteriji geometrijske stabilnosti konstrukcija. Adekvatnost ležajnih i internih veza može se provjeriti kriterijima geometrijske stabilnosti konstrukcija. Često je,

Више

Београд, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач

Београд, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач Београд, 30.01.2016. а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач делују само концентрисане силе, б) ако је P = 0.8P cr, и на носач делује расподељено оптерећење f, одредити моменат савијања

Више

i Primjena poučka virtualnih pomaka. Ležajne i unutrašnje sile mogu se odrediti i primjenom poučka virtualnih pomaka. Prednosti su primjene poučka vir

i Primjena poučka virtualnih pomaka. Ležajne i unutrašnje sile mogu se odrediti i primjenom poučka virtualnih pomaka. Prednosti su primjene poučka vir i Primjena poučka virtualnih pomaka. Ležajne i unutrašnje sile mogu se odrediti i primjenom poučka virtualnih pomaka. Prednosti su primjene poučka virtualnih pomaka prema neposrednoj primjeni uvjeta ravnoteže:

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

Slide 1

Slide 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 vježbe, 12.-13.12.2017. 12.-13.12.2017. DATUM SATI TEMATSKA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponavljanje poznatih postupaka

Више

CVRSTOCA

CVRSTOCA ČVRSTOĆA 12 TEORIJE ČVRSTOĆE NAPREGNUTO STANJE Pri analizi unutarnjih sila koje se pojavljuju u kosom presjeku štapa opterećenog na vlak ili tlak, pri jednoosnom napregnutom stanju, u tim presjecima istodobno

Више

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što Pismeni ispit iz MEHNIKE MTERIJL I - grupa 1. Kruta poluga, oslonjena na oprugu i okačena o uže D, nosi kontinuirano opterećenje, kao što je prikazano na slici desno. Odrediti: a) silu i napon u užetu

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредит

Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредит Испитни задаци - Задатак 1 Задатак 1 (23. септембар 2012.) а) Статичком методом конструисати утицајне линије за силе у штаповима V b и D 4. б) Одредити max D 4 услед задатог покретног система концентрисаних

Више

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o

PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o PRIMER 1 ISPITNI ZADACI Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o Homogena pločica ACBD, težine G, sa težištem u tački C, dobijena

Више

Динамика крутог тела

Динамика крутог тела Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.

Више

Матрична анализа конструкција

Матрична анализа конструкција . 5 ПРИМЕР На слици. је приказан носач који је састављен од три штапа. Хоризонтални штапови су константног попречног пресека b/h=./.5 m, док је коси штап са линеарном променом висине. Одредити силе на

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

Microsoft Word - TPLJ-januar 2017.doc

Microsoft Word - TPLJ-januar 2017.doc Београд, 21. јануар 2017. 1. За дату кружну плочу која је еластично укљештена у кружни прстен и оптерећења према слици одредити максимални напон у кружном прстену. М = 150 knm/m p = 30 kn/m 2 2. За зидни

Више

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

osnovni gredni elementi - primjer 2.nb

osnovni gredni elementi - primjer 2.nb MKE: Zadatak 1 - Primjer 1 Za nosač na slici potrebno je odrediti raspodjelu momenata savijanja pomoću osnovnih grednih elemenata. Gredu diskretizirati sa elementa. Rezultate usporediti sa analitičkim

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

C:/nmk/web/nmkskript.dvi

C:/nmk/web/nmkskript.dvi 1. Matematički model konstrukcije 1 1. Matematički model konstrukcije 1.1. Uvod Razvojem društva postupno je nastajala potreba i za većim praktičnim znanjima. Razvojem i percepcijom novih praktičnih znanja,

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 2 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Pozn

M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 2 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Pozn M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 / 9 Primer 3.5 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. Poznata su opterećenja F 1 = kn, F = 1kN, M 1 = knm, q =

Више

Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc

Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc Dopunski zadaci za vježbu iz MFII Za treći kolokvij 1. U paralelno strujanje fluida gustoće ρ = 999.8 kg/m viskoznosti μ = 1.1 1 Pa s brzinom v = 1.6 m/s postavljana je ravna ploča duljine =.7 m (u smjeru

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode] 6. STABILNOST KONSTRUKCIJA II čas Marija Nefovska-Danilović 3. Stabilnost konstrukcija 1 6.2 Osnovne jednačine štapa 6.2.1 Linearna teorija štapa Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i

Више

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 4_19 [Compatibility Mode] Univerzitet u Beogradu Građevinski fakutet Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija STABILNOST KONSTRUKCIJA IV ČAS V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA DANILOVIĆ 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1 Geometrijska

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt

Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt ТЕОРИЈА КРЕТАЊА ВОЗИЛА Предавање. гусенична возила, површински притисак ослањања, гусеница на подлогу ослањања G=mg p p гусеница на подлогу ослањања G=mg средњи стварни p тврда подлога средњи стварни p

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

Proracun strukture letelica - Vežbe 6

Proracun strukture letelica - Vežbe 6 University of Belgrade Faculty of Mechanical Engineering Proračun strukture letelica Vežbe 6 15.4.2019. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Danilo M. Petrašinović Jelena M. Svorcan Miloš D. Petrašinović

Више

NAZIV PREDMETA TEHNIČKA MEHANIKA I Kod SKS003 Godina studija 1. Nositelj/i predmeta Dr.sc. Ado Matoković, prof.v.š. Bodovna vrijednost (ECTS) 7 Suradn

NAZIV PREDMETA TEHNIČKA MEHANIKA I Kod SKS003 Godina studija 1. Nositelj/i predmeta Dr.sc. Ado Matoković, prof.v.š. Bodovna vrijednost (ECTS) 7 Suradn NAZIV PREDMETA TEHNIČKA MEHANIKA I Kod SKS003 Godina studija. Nositelj/i predmeta Dr.sc. Ado Matoković, prof.v.š. Bodovna vrijednost (ECTS) 7 Suradnici Vladimir Vetma, predavač Način izvođenja nastave

Више

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation МОБИЛНЕ МАШИНЕ II предавање 4.2 \ ослоно-кретни механизми на точковима, кинематика и динамика точка Кинематика точка обимна брзини точка: = t транслаторна брзина точка: = t Услов котрљања точка без проклизавања:

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред

ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0

M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0 M e h a n i k a 1 v e ž b e 4 /1 1 Primer 3.1 Za prostu gredu prikazanu na slici odrediti otpore oslonaca i nacrtati osnovne statičke dijagrame. q = 0.8 kn m, L=4m. 1. Z i = Z A = 0. Y i = Y A L q + F

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 Predložak za laboratorijske vježbe Cilj vježbe Određivanje relativne permitivnosti stakla, plastike, papira i zraka mjerenjem kapaciteta pločastog kondenzatora U-I

Више

Predavanje 8-TEMELJI I POTPORNI ZIDOVI.ppt

Predavanje 8-TEMELJI I POTPORNI ZIDOVI.ppt 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE TEMELJI OBJEKATA Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Temelji objekata 2 1.1. Podela 1.2. Temelji samci 1.3. Temeljne trake 1.4. Temeljne grede

Више

ma??? - Primer 1 Spregnuta ploca

ma??? - Primer 1 Spregnuta ploca Primer 1 - proračun spregnute ploče na profilisanom limu 1. Karakteristike spregnute ploče Spregnuta ploča je raspona 4 m. Predviđen je jedan privremeni oslonac u polovini raspona ploče u toku građenja.

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

MB &ton Regionalni stručni časopis o tehnologiji betona Godina: MB&ton 1

MB &ton Regionalni stručni časopis o tehnologiji betona Godina: MB&ton 1 MB &ton Regionalni stručni časopis o tehnologiji betona Godina: 2019 2019 MB&ton 1 MB &ton Norma HRN EN 1992 [1] uvodi nove razrede čvrstoća betona, osim uobičajenih betona razreda C12/15 do razreda C50/60

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja

Више

Ravno kretanje krutog tela

Ravno kretanje krutog tela Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela

Више

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević

UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja

Више

Konacne grupe, dizajni i kodovi

Konacne grupe, dizajni i kodovi Konačne grupe, dizajni i kodovi Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 1. veljače 2011. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Konačne grupe, dizajni i kodovi 1. veljače 2011. 1 / 36 J. Moori, Finite Groups,

Више

Microsoft Word - Elektrijada_V2_2014_final.doc

Microsoft Word - Elektrijada_V2_2014_final.doc I област. У колу сталне струје са слике када је и = V, амперметар показује I =. Одредити показивање амперметра I када је = 3V и = 4,5V. Решење: а) I = ) I =,5 c) I =,5 d) I = 7,5 3 3 Слика. I област. Дата

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

190 STABILIZACIJA TLA - STABILNOST GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA vlačno naprezanje koje djeluje povoljno na rasprostiranje opterećenja kroz sloj kamenog mate

190 STABILIZACIJA TLA - STABILNOST GRAĐEVNIH KONSTRUKCIJA vlačno naprezanje koje djeluje povoljno na rasprostiranje opterećenja kroz sloj kamenog mate 190 STABILIZACIJA TLA - STABILNOST GRAĐEVNIH ONSTRUCIJA vlačno naprezanje koje djeluje povoljno na rasprostiranje opterećenja kroz sloj kamenog materijala. Svojom sposobnošću filtracije netkani tekstil

Више

Otpornost materijala

Otpornost materijala Prethodno predavanje Statika je deo mehanike koji se bavi: OdreĎivanjem uslova ravnoteţe krutih tela koja su izloţena mehaničkom dejstvu Slaganjem sila i svoďenjem sistema na prostiji Korišćeni i definisani

Више

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна

Више

6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA

6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH  VODOVA SIGURNOST U PRIMJENI ELEKTRIČNE ENERGIJE 6. TEHNIČKE MJERE SIGURNOSTI U IZVEDBI ELEKTROENERGETSKIH VODOVA Izv.prof. dr.sc. Vitomir Komen, dipl.ing.el. 1/14 SADRŽAJ: 6.1 Sigurnosni razmaci i sigurnosne

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

Microsoft PowerPoint - 5. Predavanje-w2.pptx

Microsoft PowerPoint - 5. Predavanje-w2.pptx Proizvodnja podržana računalom CAM 6. sem: IIM, PI, RI 5. predavanje 2018/2019 Zagreb, 3. travnja 2019. Proizvodnja Podjele i promjene proizvodnje Megatrendovi "Big Four" : Deloitte, PwC, EY, ikpmg. Promjena

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

U N I V E R Z I T E T U Z E N I C I U N I V E R S I TA S S T U D I O R U M I C A E N S I S Z E N Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Aleksandar Kar

U N I V E R Z I T E T U Z E N I C I U N I V E R S I TA S S T U D I O R U M I C A E N S I S Z E N Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Aleksandar Kar U N I V E R Z I T E T U Z E N I C I U N I V E R S I T S S T U D I O R U M I C E N S I S Z E N Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet leksandar Karač Riješeni ispitni zadaci iz Otpornosti materijala Zenica,

Више

Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA I Prof. dr. sc. Željana Nikolić

Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA I Prof. dr. sc. Željana Nikolić Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ I Prof. dr. sc. Željana Nikolić OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ I OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ II NOSIVE KONSTRUKCIJE I NOSIVE

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

ФАКУЛТЕТ  ОРГАНИЗАЦИОНИХ  НАУКА Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:

Више

Microsoft Word - MABK_Temelj_proba

Microsoft Word - MABK_Temelj_proba PRORČUN TEMELJNE STOPE STTIČKI SUSTV, GEOMETRIJSKE KRKTERISTIKE I MTERIJL r cont d eff r cont d eff Dimenzije temelja: a 300 cm b 300 cm Ed,x Ed h 80 cm zaštitni sloj temelja c 4,0 cm XC θ dy Ed Dimenzije

Више

Toplinska i električna vodljivost metala

Toplinska i električna vodljivost metala Električna vodljivost metala Cilj vježbe Određivanje koeficijenta električne vodljivosti bakra i aluminija U-I metodom. Teorijski dio Eksperimentalno je utvrđeno da otpor ne-ohmskog vodiča raste s porastom

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

5 - gredni sistemi

5 - gredni sistemi Гредни системи бетонских мостова 1 БЕТОНСКИ МОСТОВИ ГРЕДНИ СИСТЕМИ Типови гредних система бетонских мостова Решетка Проста греда Греда с препустима Герберова греда Континуална греда Укљештена греда 2 Трајекторије

Више

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca

Више

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode] КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y

Више

АНАЛИЗА ПРОБЛЕМА ТЕРМИЧКЕ ДИЛАТАЦИЈЕ L КОМПЕНЗАТОРА ПРЕМА СТАНДАРДУ AD 2000 И ДРУГИМ МЕТОДАМА Милан Травица Иновациони центар Машински факултет Универ

АНАЛИЗА ПРОБЛЕМА ТЕРМИЧКЕ ДИЛАТАЦИЈЕ L КОМПЕНЗАТОРА ПРЕМА СТАНДАРДУ AD 2000 И ДРУГИМ МЕТОДАМА Милан Травица Иновациони центар Машински факултет Универ АНАЛИЗА ПРОБЛЕМА ТЕРМИЧКЕ ДИЛАТАЦИЈЕ L КОМПЕНЗАТОРА ПРЕМА СТАНДАРДУ AD 2000 И ДРУГИМ МЕТОДАМА Милан Травица Иновациони центар Машински факултет Универзитет у Београду Краљице Марије 16, 11000 Београд mtravica@mas.bg.ac.rs

Више

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f ( 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8 2 A) (f () M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je

Више

Microsoft PowerPoint - Opruge kao funkcionalni elementi vezbe2.ppt

Microsoft PowerPoint - Opruge kao funkcionalni elementi vezbe2.ppt Deformacija opruge: 8FD Gd n f m 4 8Fwn Gd 1 Broj zavojaka opruge Kod pritisnih opruga sa velikim brojem promena opterećenja preporučuje se da se broj zavojaka završava na 0.5, npr..5, 4.5, 5.5... Ukupan

Више

b.dvi

b.dvi Utjecajne funkcije i utjecajne inije na statički neodredenim nosačima () V. S. & K. F. Utjecajne funkcije za statičke veičine na statički neodredenim sistemima najčešće su neinearne funkcije, pa su i utjecajne

Више

N NABORANE KONSTRUKCIJE (naborí), kon strukcije sastavljene iz dvaju ili više ravninskih elemenata koji nisu u istoj ravnini. Naborane konstrukcije gr

N NABORANE KONSTRUKCIJE (naborí), kon strukcije sastavljene iz dvaju ili više ravninskih elemenata koji nisu u istoj ravnini. Naborane konstrukcije gr N NABORANE KONSTRUKCIJE (naborí), kon strukcije sastavljene iz dvaju ili više ravninskih elemenata koji nisu u istoj ravnini. Naborane konstrukcije grade se tek nekoliko desetljeća, jer su tek pronalaskom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske

Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske smjerove Opće napomene: (i) Sva direktna (neovisna) mjerenja vrijednosti nepoznatih

Више

ANALIZA BRODSKIH PROPULZIJKSKIH SUSTAVA

ANALIZA BRODSKIH PROPULZIJKSKIH SUSTAVA KINEMIK BROSKOG IJK, prema [] Za razvijanje teorija o radu brodskog vijka važno je poznavati kinematičke odnose strujanja oko vijka. a bi se stvorio uzgon, kao što je poznato to je sila okomita na smjer

Више

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Mate_Izvodi [Compatibility Mode] ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ Нека тачке Мо и М чине једну тетиву функције. Нека се тачка М почне приближавати тачки Мо, тј. нека Тачка М постаје тачка Мо, а тетива постаје тангента функције у тачки

Више

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan 1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti

Више

gt1b.dvi

gt1b.dvi r t.h en el em 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (

2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f ( 2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14 8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja 2012. Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja 2012. 1 / 14 Sadržaj 1 Izmjenični napon i izmjenična struja Inducirani napon 2 3 Izmjenični napon Vladimir

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

Microsoft PowerPoint - predavanje_sile_primena_2013

Microsoft PowerPoint - predavanje_sile_primena_2013 Примене Њутнових закона Претпоставке Објекти представљени материјалном тачком занемарите ротацију (за сада) Масе конопаца су занемариве Заинтересовани смо само за силе које делују на објекат можемо да

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode]

10_Perdavanja_OPE [Compatibility Mode] OSNOVE POSLOVNE EKONOMIJE Predavanja: 10. cjelina 10.1. OSNOVNI POJMOVI Proizvodnja je djelatnost kojom se uz pomoć ljudskog rada i tehničkih sredstava predmeti rada pretvaraju u proizvode i usluge. S

Више

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički SLOBODNO I PRISILNO TITRANJE

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički SLOBODNO I PRISILNO TITRANJE NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički SLOBODNO I PRISILNO TITRANJE studij Matematika i fizika; smjer nastavnički NFP 1 1 ZADACI 1. Odredite period titranja i karakterističnu

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

Оsnovni principi u projektovanju mostova

Оsnovni principi u projektovanju mostova КОЛОВОЗНА КОНСТРУКЦИЈА БЕТОНСКИХ МОСТОВА 1 Типови попречног пресека коловоне конструкције Избор типа поречног пресека зависи од : Распона коловозне конструкцие Расположиве висине Начина извођења Постоје:

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више