Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA II Prof. dr. sc. Željana Nikolić

Транскрипт

1 Sveučiište u Spitu Građevinsko-arhitektonski fakutet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ II Prof. dr. sc. Žejana Nikoić

2 Sadržaj:. UVOD. NLIZ NPREZNJ I DEFORMCIJ 3. SVOJSTV MTERIJL 4. VEZE IZMEĐU NPREZNJ I DEFORMCIJ 5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NPREZNJE 6. KSIJLNO OPTEREĆENJE ŠTP 7. SMICNJE (ODREZ) 8. GEOMETRIJSKE KRKTERISTIKE RVNIH PRESJEK ŠTPOV 9. SVIJNJE RVNIH ŠTPOV. DEFORMCIJ RVNOG ŠTP PRI SVIJNJU. TORZIJ RVNIH ŠTPOV. STBILNOST KONSTRUKTIVNIH ELEMENT 3. VIRTULNI RD 4. STTIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE

3 . UVOD STTIČKI ODREĐENE KONSTRUKCIJE Mehanika krutih tijea zasniva se na ideaizaciji stvarnog tijea krutim tijeom koje ne mijenja obik niti veičinu pod utjecajem vanjskih sia. Unutrašnje sie ne ovise o deformacijama. Rješenje sia veza i unutrašnjih sia iz uvjeta ravnoteže.

4 STTIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE Reano tijeo se deformira (mijenja obik i voumen) unutrašnje sie ovise o deformacijama Uvjeti ravnoteže nisu dovojni za rješenje sia veza i unutrašnjih sia. Potrebni dodatni uvjeti (veza između vanjskih sia, obika tijea, vrste materijaa s naprezanjima i deformacijama tijea) Otpornost materijaa ovu zadaću rješava jednostavnim metodama uz uvođenje određenih pretpostavki. Teorija eastičnosti i teorija pastičnosti također rješava probeme deformabinog tijea, ai su uvjeti koji se postavjaju znatno soženiji.

5 OTPORNOST MTERIJL Eementi konstrukcije izoženi djeovanju opterećenja se deformiraju. Grana primijenjene mehanike koja utvrđuje vezu između sia koje djeuju na eement i deformacija prouzrokovanih tima siama (progib grede usijed poprečnog opterećenja, izduženje eementa usijed vačne sie, skraćenje štapa rešetke zbog tačne sie, uvrtanje usijed momenta torzije, ) naziva se otpornost materijaa. Otpornost materijaa proučava probeme čvrstoće, krutosti i stabinosti pojedinih dijeova tehničkih konstrukcija od čvrstog deformabinog materijaa. ČVRSTOĆ KRUTOST STBILNOST Sposobnost prenošenja opterećenja bez pojave oma. Otpornost konstrukcije na deformiranje (promjenu obika i voumena). Sposobnost konstrukcije i njezinih eemenata da pod zadanim opterećenjem zadrže prvobitni obik eastične ravnoteže.

6 Vačne sie Vačne sie razvače materija te uzrokuju povećanje dujine konstruktivnog eementa. Veičina produjenja ovisi o krutosti materijaa, površini poprečnog presjeka i iznosu opterećenja. Tačne sie Tačne sie vrše zbijanje čestica materijaa što uzrokuje skraćenje promatranog eementa.

7 Posmične sie Posmične sie izazivaju pomicanje u horizontanim ii vertikanim paraenim ravninama. Savijanje Eement izožen poprečnom opterećenju deformira se savijanjem.

8 Torzija Pojava uvrtanja konstruktivnog eementa najčešće uzrokovana ekscentričnim opterećenjem.

9 Dimenzioniranje eemenata konstrukcije: Proračun čvrstoće Određivanje najmanjih dimenzija pojedinih dijeova konstrukcije pod djeovanjem zadanog opterećenja. Proračun krutosti Određivanje deformacija konstrukcija pod djeovanjem zadanog opterećenja, koje moraju ostati u dopuštenim granicama određenima uvjetima uporabe same konstrukcije. Proračun stabinosti Određivanje opterećenja pod kojim konstrukcija i njezini eementi zadržavaju prvobitni eastični obik.

10 Važnost otpornosti materijaa u anaizi konstrukcija: - Kako bi se izračunae unutrašnje sie u pojedinim konstruktivnim eementima, projektant mora odabrati dimenzije eemenata i vrstu materijaa. Ovo zahtijeva razumijevanje načina prijenosa sia među konstruktivnim eemetima i deformacija koje te sie uzrokuju. - Kod statički neodređenih konstrukcija unutrašnje sie nije moguće dobiti samo na osnovu poznavanja geometrije i opterećenja. Raspodjea unutrašnjih sia ovisi o reativnoj krutosti eemenata i sposobnosti njihovog deformiranja.

11 Načeo sigurnosti i racionanosti O sigurnosti građevinskih konstrukcija ovise judski životi i materijana dobra. Racionanost podrazumijeva pravian izbor dimenzija i metoda proračuna. Načea sigurnosti i racionanosti su međusobno suprostavjeni. Potrebno je upotrijebiti onoiko materijaa koiko je nužno da budu zadovojeni traženi uvjeti sigurnosti.

12 Poznavanje mehaničkog ponašanja materijaa Inženjerske konstrukcije su sastavjene iz eemenata koji su izrađeni od konkretnog materijaa. Materija posjeduje svoja mehanička svojstva. Otpornost materijaa ovisi o mehaničkim svojstvima materijaa. Načeo sigurnosti i racionanosti možemo zadovojiti tek uz poznavanje mehaničkih svojstava materijaa. Struktura prirodnih čvrstih tijea Tijeo predstavja skup čestica (moekua) na okupu. U početnom stanju tijea odnosno nutom stanju moekuarne sie su u ravnoteži. Vanjsko djeovanje uzrokuje promjenu poožaja čestica i sia među njima. Zbog razike između novonastaih sia i sia nutog stanja nastaje naprezanje u tijeu.

13 Opće pretpostavke otpornosti materijaa Materija je neprekinut (kontinuiran) tvar ima svojstvo neprekinute sredine, kontinuuma, tj. tvar jednoiko i bez šupjina ispunjava voumen tijea. Materija je homogen fizikano-mehanička svojstva u svim točkama su jednaka. Nehomogen materija svojstva se mijenjaju od točke do točke. Materija je izotropan - fizikano-mehanička svojstva u svim smjerovima su jednaka (meta, stako). nizotropan materija - fizikano-mehanička svojstva u razičitim smjerovima su razičita (drvo). Ortotropan materija - fizikano-mehanička svojstva su jednaka u određenim smjerovima vakana (vajani čeik).

14 Materija je eastičan eastičnost je svojstvo materijaa da se vraća u prvobitno stanje nakon ukanjanja vanjskih opterećenja. Reano tijeo ponaša se eastično samo do jedne određene granice koja se naziva granica eastičnosti. Između naprezanja i deformacija postoji inearna zavisnost do određene granice koja se naziva granicom proporcionanosti. Hipoteza ravnih poprečnih presjeka poprečni presjeci okomiti na os štapa pri deformaciji tijea ostaju ravni i okomiti na deformiranu os štapa. Deformacije tijea su mae u odnosu na konačne dimenzije tijea te ih u matematičkom smisu možemo smatramo beskonačno maim veičinama prvog reda. Promjene u rasporedu vanjskih sia zbog deformacija pojedinih tijea možemo zanemariti pa jednadžbe ravnoteže postavjamo na nedeformiranom tijeu.

15 Postupak rješavanja probema u otpornosti materijaa Cij: određivanje naprezanja i deformacija u eementima konstrukcije.. Usvajanje pretpostavki. Postavjanje statičkih jednadžbi Postavjanje jednadžbi ravnoteže unutarnjih i vanjskih sia za promatrani dio konstrukcije. 3. Postavjanje geometrijskih jednadžbi Uspostavjanje veze između deformacija i pomaka pojedinih dijeova konstrukcije. 4. Postavjanje fizikanih jednadžbi Utvrđivanje veze između naprezanja i deformacija pojedinih dijeova konstrukcije. 5. Rješavanje sustava jednadžbi Na osnovu dobivenih rezutata utvrđuje se stanje naprezanja i deformacija promatranih dijeova konstrukcije.

16 . NLIZ NPREZNJ I DEFORMCIJ.. Naprezanja Naprezanja boje prikazuju stanje promatranog eementa nego unutrašnje sie. Naprezanje: Općenito - sia u presjeku eementa podijejena s površinom na koju djeuje. Jedinica za naprezanje - Pasca (Pa). Pa N/m ii MPa N/mm. Soženo stanje naprezanja u presjeku: - normano naprezanje (okomito na ravninu promatranog presjeka) - posmično naprezanje ( u ravnini promatranog presjeka).

17 .. Normano naprezanje Rezutat djeovanja uzdužne sie N je naprezanje jednoiko raspoređeno po površini poprečnog presjeka: N Prvi indeks - smjer vanjske normae na poprečni presjek Drugi indeks - smjer naprezanja. Naprezanje - normano naprezanje koje djeuje u smjeru osi u poprečnom presjeku s vanjskom normaom u smjeru osi. U sučaju nejednoike raspodjee naprezanja: d - eementarna površina dn sia na eementarnu površinu dn d Ukupna sia: N d

18 .. Posmično naprezanje Poprečna sia u ravnini poprečnog presjeka uzrokuje posmično naprezanje. Normano i posmično naprezanje u presjeku Za nejednoiku raspodjeu naprezanja u presjeku: Odgovarajuće poprečne sie u presjeku: τ, τ z, z T dt τ, τ z d τ d, Posmično naprezanje za poprečnu siu u smjeru i jednoiku raspodjeu po površini poprečnog presjeka: τ ko u presjeku djeuje i poprečna sia u smjeru z: T τ z z Prvi indeks - smjer vanjske normae na poprečni presjek Drugi indeks - smjer naprezanja T z dtz d τ z d T

19 .. Prostorno stanje naprezanja Vektor punog naprezanja na ravninu presjeka: normano naprezanje i posmično naprezanje Orjentiramo i ravnine presjeka okomito na koordinatne osi i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja, jednu normanu i dvije posmične.

20 Prostorno stanje naprezanja na diferencijanom eementu Matrica tenzora naprezanja (tenzor naprezanja): [ ] ij τ τ z τ τ z τ τ z z zz z z z z zz Stanje naprezanja u prostoru - određeno s 9 komponenti (3 normane i 6 posmičnih) Eementi jednog retka matrice - komponente naprezanja u jednoj ravnini Oznake: ii i, τ ij ij ij su pozitivna: - u pozitivnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normaom orjentiranom u smjeru koordinatne osi - u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normaom orijentiranom suprotno od koordinatne osi.

21 ij ij (,,z) na paraenim stranicama diferencijanog eementa ne djeuju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razika između komponeti može se prikazati preko diferencijanih prirasta naprezanja na razmacima d, d, dz. Posmična naprezanja na diferencijanom eementu u ravnini Σ (moment daju samo posmične komponente naprezanja okomite na z ) M z d ddz τ d d dz + τ τ d + d ddz τ : d ddz d d d dz τ + / Zanemarenje diferencijanih prirasta u odnosu na τ i τ τ τ naogno za Σ i Σ : τ z τ z, τz τz M M Općenito: τ τ, (i j; i, j,,z) ij ji τ

22 Zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja: U dvjema međusobno okomitim ravninama komponente posmičnih naprezanja koje su okomite na presječnicu tih ravnina jednake su po iznosu i usmjerene su prema presječnici tih ravnina ii od nje. Broj nezavisnih komponenti naprezanja se smanjuje s 9 na 6. Matrica tenzora naprezanja ima obik: [ ] ij τ τ z τ τ z τ τ z z zz τ τ z τ τ z τ τ z z z

23 Primjer: F φ F Naprezanja u presjeku Normano a a N ϕ Fcosϕ F cos cosϕ ϕ φ N T RF Posmično ϕ τ T Fsin ϕ cosϕ F sin ϕcosϕ F sinϕ Normano naprezanje opada s povećanjem kuta ϕ. Najveće normano naprezanje F/ u poprečnom presjeku okomitom na os štapa (ϕ ). Posmično naprezanje raste s povećanjem kuta ϕ od do 45. Najveće je za ϕ45 i iznosi τ.5f/. S dajnjim povećavanjem kuta posmično naprezanje opada.

24 .. Ravninsko stanje naprezanja τ τ Tenzor naprezanja: [ ] ij τ τ

25 Jednadžbe transformacije t φ B Jednadžbe transformacije suže za određivanje naprezanja u proizvojnom smjeru ako su poznate komponente τ O τ φ τ nt n n naprezanja u dva međusobno okomita smjera. O Bsin φ OB Bcosφ Uvjeti ravnoteže: X ; B + τ n Bcosφ τnt Bsin φ cosφ + τ sin φ n cosφ τnt sin φ () Y ; + τ B n Bsin φ τnt Bcosφ sin φ + τ cosφ n sin φ + τnt cosφ ()

26 Iz () i () sijedi sustav od jednadžbi: cosφ sin φ n n sin φ τ + cosφ τ nt nt cosφ + τ sin φ + τ sin φ cosφ DET(S) cos φ + sin φ Rješenje sustava: τ n nt cos φ + sin sin φ + τ φ + τ cos φ sin φ anaogno je: φ π + φ τ t tn sin φ + cos cosφ + τ φ τ sin φ sin φ

27 Smjerovi i veičine gavnih naprezanja Jednadžbe transformacije: n cos ϕ + sin ϕ + τ sin ϕ () τnt sin ϕ + τ cosϕ () Traži se kut φ e α za koji su normana naprezanja ekstremna. Jednadžba () se derivira po ϕ i izjednači s nuom: d n sin ϕcosϕ + sin ϕcosϕ + τ cosϕ dϕ τ tgφ e (3) Jednadžba (3) ima rješenja za koja vrijedi: φ e φe o 9 Kutevi koji određuju pravce ekstremnih normanih naprezanja: α φ e τ arctg i α α 9 (4) ± o

28 Uvrštavajući (4) u (): ma, min, + ± + τ Uvrštavajući (4) u () dobivamo: τ nt Pravci na kojima ne djeuje posmično naprezanje nazivaju se gavne osi naprezanja, a normana naprezanja koja djeuju na tim pravcima nazivaju se gavna naprezanja i označavaju s,. τ τ τ S α B τ Dijagonaa posmika pravac koji spaja vrhove kvadrata prema kojem djeuju posmična naprezanja τ Maksimano naprezanje ima pravac koji eži između dijagonae posmika i agebarski većeg normanog naprezanja.

29 Zbroj normanih naprezanja u bio koja dva okomita smjera je uvijek konstantan. n + t cos φ + sin φ + τ sin φ + sin φ + cos φ τ sin + φ n + t + + I I prva invarijanta naprezanja Deriviranjem jednadžbe () po ϕ dobiva se da je najveće posmično naprezanje u ravnini koja je nagnuta za 45 u odnosu na osi gavnih naprezanja. Kut najvećeg posmičnog naprezanja: Najveće posmično naprezanje: τnt sin ϕ + τ cosϕ β α π 4 ( ) τ ma + τ

30 Mohr-ova kružnica naprezanja Grafička konstrukcija za transformaciju naprezanja i određivanje smjerova i veičine gavnih naprezanja. τ τ α α α τ τ τ ( + )/ ( - )/

31 Posebni sučajevi naprezanja JEDNOOSNO STNJE NPREZNJ τ τ ma τ ma S β 45 β β IZOTROPNO STNJE NPREZNJ /TLČNO, VLČNO/ τ Mohr-ova kružnica degenerira u točku. Nema gavnih osiju. Nema posmika.

32 ČISTI POSMIK τ a a τ τ τ Ma π/ + γ π/ γ d d b b τ c c τ

33 .. Pomaci i deformacije F n Pomaci točke prikazani preko komponenti: k F j V i r r p v u w F F i V u u(,,z) v v(,,z) w w(,,z) Ukupan pomak točke: r r r r p u + v + w u i + r v j + r w k z psoutna deformacija dužine B: promjena razmaka među promatranim točkama tijea Reativna deformacija: promjena udajenosti među točkama podijejena s početnom dujinom Reativna deformacija: normana i posmična

34 Reativna normana deformacija / / Crtež. Deformiranje štapa izoženog djeovanju uzdužne sie - početna dujina štapa - produjenje (apsoutna deformacija) Reativna normana deformacija ε Normano naprezanje izaziva samo promjenu dujine štapa nema promjene kuta među sojevima koji se pomiču. Reativna normana deformacija je bezdimenzionana veičina najčešće izražena u %. Obično pozitivna vrijednost označava povećanje, a negativna smanjenje dužine.

35 Reativna posmična deformacija Pravokutna poča zgobnim ežajevima vezana s podogom, opterećena posmičnom siom u Crtež. Deformiranje pravokutne poče izožene posmičnoj sii Poča se posmično deformira - međusobno kizanje horizontanih sojeva i promjena kuta među stranicama. Reativna posmična (kutna) deformacija predstavja reativnu promjenu kuta među stranicama u odnosu na početni pravi kut. γ tg γ u Pozitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje.

36 Veza između reativnih deformacija i pomaka u ravnini v d v d D u β D α C B d u u + B d v v d v tan α za ε u + ε d d << + Posmična deformacija (ukupna promjena kuta): ε ε v C γ u + Reativna promjena pomaka u u smjeru: u Normana deformacija: tan ε ε u naogno je: u β u + d d v + tan α + tan β u v d v d v u + u v

37 Veza između reativnih deformacija i pomaka u prostoru Reativne normane deformacije u prostoru: ε u ; ε v ; ε zz w z (u smjeru koordinatnih osi) Reativne posmične deformacije u prostoru: γ v + u ; γ z w + z ; γ z u z + w z (u koordinatnim ravninama) Tenzor deformacija u prostoru: ε ε ε ε ε ε ε ε z ε z ε zz ε z z Vrijedi uzajamnost posmičnih deformacija: εij ji, i, j,, 3 ε γ ; ε z γ z ; ε z γ. z

38 U sučaju sobodnog pomicanja konstrukcije može doći do transacijskih pomaka i rotacija, ai pri tome ne doazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se događa samo u uvjetima spriječenih pomaka odnosno rotacija. Primjer transatornog pomaka (nema deformacija): δ t Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija): θ

39 3. SVOJSTV MTERIJL Priroda materijaa određena je tehničkim i ostaim svojstvima. Tehnička svojstva materijaa su: čvrstoća, tvrdoća, deformabinost, krutost, krtost, dinamička čvrstoća, eastičnost, pastičnost,... Čvrstoća je iznos naprezanja neposredno pred razaranje. Razikujemo aksijanu čvrstoću (tačnu i vačnu) i posmičnu čvrstoću. Tvrdoća je otpornost tijea (materijaa) prodiranju drugih tijea. Deformabinost (aksijana i posmična) je svojstvo materijaa da pri naprezanju trpi deformacije bez razaranja. Krutost je svojstvo materijaa da se pri naprezanju opire deformiranju. Krtost je svojstvo materijaa da se ne odupire udarnome naprezanju (udaru). Cikička čvrstoća je granično cikičko naprezanje koje materija može izdržati.

40 Eastičnost je svojstvo materijaa da nakon otkanjanja naprezanja u cijeosti vrati svoj prvotni obik. Pastičnost je svojstvo materijaa da pri određenom naprezanju trenutno poprima deformacije bez povećanja naprezanja. Puzanje (tečenje) je svojstvo materijaa da pri vremenski stanom naprezanju doživjava prirast deformacija tijekom vremena. Gustoća je koičina materije po jedinici voumena. Homogenost, izotropnost, ortotropnost, anizotropnost Ostaa važna svojstva: topinska i eektrična provodjivost, boja, korozivna otpornost, zavarjivost, ugradjivost,... Vrste materijaa: kamen, drvo, opeka, beton, metai, pastici,...

41 ij 4. VEZE IZMEĐU NPREZNJ I DEFORMCIJ 4.. Eksperimentani podaci ( ε ), ε f ( ) f - funkcionana veza između naprezanja i deformacija ij ij ij Određuje se eksperimentano ispitivanjem uzoraka izrađenim od određenog materijaa. Pokusi: rastezanje, pritisak, posmik, torzija, savijanje. Pretpostavke: uzorak je od neprekinutog, homogenog i izotropnog materijaa. Osnovni obik ispitivanja pri statičkom opterećenju rastezanje (vačni pokus).

42

43 između točaka O i P: dijagram je pravac (sia F i produjenje inearno su ovisni) do točke E: deformacije su eastične (potpuno iščezavaju nakon rasterećenja) nakon točke E: u uzorku se, osim eastičnih, javjaju i trajne ii pastične deformacije u točki T: nastaje tečenje (popuštanje) materijaa - deformacije rastu bez povećavanja opterećenja nakon točke T: nakon stanja tečenja doazi do ojačanja materijaa (materija ponovno dobiva sposobnost da se opire djeovanju opterećenja) do točke M: sia se povećava sve do točke M, povećava se deformacija uzorka. Utočki M sia prima maksimanu vrijednost F ma. nakon točke M: nastaje iscrpjenost materijaa, deformacija uzorka raste uz smanjenje sie F u točki L: raskid uzorka.

44 Da bi se dobio dijagram koji karakterizira mehanička svojstva materijaa neovisno o apsoutnim dimenzijama uzorka, dijagram rastezanja F- transformira se u koordinatni sustav -ε. P L E PL P E E t ε P E P P ε i ε Karakteristične točke dijagrama: P granica proporcionanosti najveće naprezanje do kojeg vrijedi inearna ovisnost između naprezanja i deformacija E granica eastičnosti najveće naprezanje do kojeg se materija ponaša eastično (nakon rasterećenja uzorak se vraća u prvobitni obik) granica tečenja (popuštanja) - naprezanje pri kojem deformacije rastu bez porasta PL opterećenja M vačna čvrstoća L granica oma naprezanje koje odgovara najvećem opterećenju kojeg uzorak može izdržati prijeomno naprezanje, raskid uzorka ε P ε δ ε e

45 Ostae veičine: E - modu eastičnosti (Young-ov modu) - koeficijent proporcionanosti između naprezanja i deformacija E t - tangentni modu (E t <E) - Ukupna deformacija: ε ε e + ε P Reativno produjenje pri raskidu: δ ( L - ) / % pojavjuje se nakon granice proporcionanosti, porastom naprezanja opada E t Duktini materijai (žiavi) δ > 5% (meki čeik, bakar) - znatne pastične deformacije prije raskida uzorka Krhki materijai δ < 5% (kamen, stako, ijevano žejezo) - raskid bez pojave znatnijih pastičnih deformacija

46 Vačni test - čeik Tačni test - beton Potpuni -ε dijagram za čeik, auminij i beton P P P ε ε ε ε dijagram za čeik ε dijagram za auminij ε dijagram za beton

47 4.. Hook-eov zakon, konstante eastičnosti materijaa Hook-eov zakon za jednoosno stanje naprezanja Iz -ε dijagrama: tg α / ε E E ε Vrijedi za jednoosno stanje naprezanja do granice proporcionanosti. Poisson-ov koeficijent ν psoutna vrijednost omjera između reativne poprečne i reativne uzdužne deformacije. ε P - ν ε νε/ (uzdužne i poprečne deformacije su suprotnog predznaka) Izotropni materijai ν.5 Svi materijai u pastičnom području ν.5 Čeik ν.3, beton ν.7 νε/ Granične vrijednosti: guma (ν.5), puto (ν.)

48 Hook-eov zakon pri posmiku (veza između posmičnih naprezanja i deformacija) G - modu posmika τ E ( + ν) γ G γ Konstante eastičnosti materijaa: E - modu eastičnosti G - modu posmika ν - Poisson-ov koeficijent Hadno vajani čeik: E Beton (prosječno):, E 3,5 5 4 MPa, MPa, ν,3, ν,6, G G, 5 ( +,3) 3,5 4 ( +,6),88 5,58 4 MPa MPa

49 Naprezanje i deformacije u prostoru: zz z z z z zz z z z z ε ε ε ε ε ε ε ε ε, τ τ τ τ τ τ ε Generaizirani Hook-eov zakon: D matrica konstanti eastičnosti Potpuna veza naprezanja i deformacija u prostoru: ( )( ) ε ε ε ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν + ν τ τ τ z z zz z z z E ε D 4.3. Potpuna veza naprezanja i deformacija

50 ε ε ε ν ν ν ν τ E τ + ν ν ν ε E ε ε ε D r D ε r ε ε ε τ, ε Naprezanje i deformacije u ravnini: Potpuna veza naprezanja i deformacija (ravninsko stanje naprezanja):

51 4.4. Zakon superpozicije Pretpostavke: eastično, homogeno, izotropno tijeo inearna ovisnost opterećenja, naprezanja, deformacija i pomaka U nekoj točki ravninskog stanja. opterećenje ε D. opterećenje ε D +, ε D + Uvjet: u granicama proporcionanosti Ukupno ( ) Zakon superpozicije: Stanje naprezanja (deformacija i pomaka) zbog zbroja dvaju ii više stanja opterećenja jednako je zbroju dvaju ii više stanja naprezanja (deformacija i pomaka) izazvano s dva ii više stanja opterećenja. Zakon superpozicije za jednoosno stanje naprezanja ε E ε E E + ( ) +, ε ε + ε PROPORCIONLNOSTI

52 4.5. Saint Venantov princip ko zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivaentnim opterećenjem, stanje naprezanja, deformacija i pomaka razikuje se na reativno maom dijeu eastičnog tijea, u praviu u bizini djeovanja opterećenja. U presjecima dovojno udajenim od mjesta djeovanja opterećenja razike su neznatne te se mogu zanemariti. P/a P a () R () R () () () () () ()

53 4.6. Voumenska diatacija,, 3 - gavna naprezanja ε ( ν ν 3 ) E 3 ε ( ν 3 ν ) E ε 3 ( 3 ν ν ) E d, d, d 3 - bridovi paraeepipeda u smjeru gavnih deformacija Voumen prije deformacije:dv d d d 3 Voumen nakon deformacije: dv (+ε ) (+ε ) (+ε 3 ) d d d 3 Reativna promjena voumena - voumenska deformacija: ε V (dv -dv) / dv (+ε ) (+ε ) (+ε 3 ) - Zanemarimo i beskonačno mae veičine višeg reda: G - prva invarijanta deformacija ε V ε + ε + ε 3 ii ε V ε + ε + ε 3 ε + ε + ε zz G Voumenska deformacija jednaka je zbroju normanih deformacija na gavnim osima.

54 4.7. Utjecaj temperature Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature: ε t α T α - koeficijent inearnog topinskog rastezanja - jedinica K - (Kevin - ) Ukupna deformacija u promatranoj točki tijea: ε ε ε zz E E E [ ν( + )] [ ν( + )] + α T + α T [ ν( + )] + α T z z z ε ε ε z z τ G τ z G τ z G + ν τ E + ν τ E + ν τ E z z

55 5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NPREZNJE Nosivost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da prenese određeno opterećenje. Razikujemo nosivost u odnosu na određeni kriterij (nosivost pri somu, nosivost na granici eastičnog ponašanja,... Deformabinost konstrukcije je svojstvo konstrukcije da pod djeovanjem opterećenja promijeni svoj obik. Promjena obika je ograničena uporabjivošću konstrukcije. Uporabjivost može biti u odnosu na progibe, zakrivjenost, nagibe, pukotine. Granično opterećenje je maksimano opterećenje koje konstrukcija može preuzeti, a da ne bude prekoračen zadani kriterij. Razikujemo granično opterećenje pri somu, granično opterećenje na granici eastičnosti, granično opterećenje za uporabjivost,... Radno (stvarno) opterećenje je opterećenje koje se očekuje da će se pojaviti na konstrukciji.

56 Lokani koeficijent sigurnosti je kvocijent granične sie (naprezanja) i radne sie (naprezanja). Gobani koeficijent sigurnosti je kvocijent graničnog opterećenja i radnog opterećenja. Gobani koeficijent sigurnosti k raščanjuje se na parcijane koeficijente sigurnosti k i, od kojih svaki izražava utjecaj jednog od faktora na konstrukciju. k k k k 3... Parcijani koeficijent sigurnosti je recipročan vjerojatnosti otkazivanja po određenom parametru ii skupini parametara. Koeficijent sigurnosti je uvijek veći od.

57 Važnost izbora koeficijenta sigurnosti: premai koeficijent - konstrukcija nije u stanju ispunjavati uvjete uporabe, previsok koeficijent - neekonomična konstrukcija. Izbor koeficijenta sigurnosti ovisi o: - vrsti materijaa konstrukcije - veičini i karakteru opterećenja koje može djeovati na konstrukciju, a uvjetovano je namjenom građevine (stambeni, industrijski, sportski,...) i okacijom objekta ( seizmičko opterećenje, opterećenje snijegom i vjetrom). Grubja procjena veičine i karaktera opterećenja veći koeficijent sigurnosti.

58 Praktična iustracija koeficijenta sigurnosti F F F δ F 4 B φ Radno opterećenje: F. MN; F F 3 F 4.5 MN Granično opterećenje: - pri somu F.5 MN; F F 3 F 4.5 MN - na granici eastičnog ponašanja F. MN; F F 3 F 4. MN - pri graničnim pomacima δ F.5 MN; F F 3 F 4.75 MN Gobani koeficijenti sigurnosti: - protiv soma k.5 /..5 - protiv pojave graničnih pomaka k.5 /..5

59 Lokani koeficijenti sigurnosti: Radne sie u presjecima i B: M R, T R, N R, M BR, T BR, N BR Sie na granici eastičnosti: M E, T E, N E, M BE, T BE, N BE Lokani koeficijenti sigurnosti: k M E / M R k B M BE / M BR Kod inearno eastičnih materijaa i konstrukcija vrijedi: k GLOB ma k LOK Kod neinearnih materijaa i konstrukcija vrijedi: k GLOB > ma k LOK

60 Parcijani faktori sigurnosti (okani i gobani) Vjerojatnost pojave graničnog opterećenja pri somu v.7 koeficijent sigurnosti na pojavu somnog opterećenja k PRC /.7.4. Kritično naprezanje K - naprezanje kod kojeg konstrukcija doazi u nežejeno stanje (stanje oma ii pojava trajnih deformacija) Dopušteno naprezanje dop - naprezanje pri kojemu smo sigurni da materija neće doći u nežejeno stanje, tj. ne može doći do oma materijaa ii pojave trajnih deformacija nazivamo dopuštenim naprezanjem. dop K / k Eastopastični materija Krhki materija

61 7.. Čisti posmik a τ a π/ + γ d d c τ c τ τ π/ γ b b 7. SMICNJE (ODREZ) Čisti posmik - τ, Čisti posmik ekvivaentan je istodobnom rastezanju i pritisku s jednakim intenzitetom u međusobno okomitim smjerovima. Posmična naprezanja ne mijenjaju voumen već samo obik tijea. Mjera posmične deformacije je kut reativnog smicanja γ. Za posmične deformacije u ravnini : γ ε Posmično naprezanje: T τ G γ δ T γ tgγ a G psoutni pomak usijed smicanja G posmična krutost T γ G δ T a G

62 7.. Proračun eemenata opterećenih na smicanje (odrez) Srednja vrijednost posmičnih naprezanja τ Uvjet čvrstoće za eemente opterećene na smicanje T τ T < τ dop

63 naiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) jednorezni spoj Bočni površinski pritisak Površina smicanja Sia koja pripada jednoj zakovici: F - Zakovica je opterećena na smicanje u presjeku -. - Na trup zakovice djeuje bočni površinski pritisak. - U presjeku osabjenom s rupama za zakovice može doći do raskida poče. F n - U krajnjem dijeu poče, između njezina kraja i zakovice može doći do smicanja.

64 Uvjeti čvrstoće: Površina smicanja F () Na smicanje zakovice τ τ dop d π 4 Površina smicanja F () Na bočni površinski pritisak između trupa zakovice i poče dop d t dop dopušteni bočni površinski pritisak Bočni površinski pritisak

65 Uvjeti čvrstoće: (3) Na rastezanje poče u presjeku osabjenom s rupama za zakovice (m broj rupa u promatranom presjeku) t F ( b m d) dop b F (4) Na smicanje u krajnjem dijeu poče τ τdop d c t

66 naiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) dvorezni spoj Površine smicanja Uvjet čvrstoće na smicanje zakovice: n broj zakovica s jedne strane spoja τ F d π n 4 τ dop Bočni površinski pritisak: F n d t dop

67 8. GEOMETRIJSKE KRKTERISTIKE RVNIH PRESJEK ŠTPOV 8.. Težina tijea, središte masa ii težište Materijano tijeo, materijani ik, materijana crta - prostor D ispunjen materijanim česticama Gustoća ρ - koičina materijanih čestica po jedinici prostora Eementarna (diferencijana) masa produkt gustoće i eementa prostora D, Masa tijea zbroj svih eementarnih masa u prostoru D, M Sia težine sia kojom Zemja privači materijano tijeo mase M, D dm D ρdd dm ρ dd G g M g ρdd Središte masa ii težište točka hvatišta sie težine. Naazi se na sjecištu dviju ii više težišnica. Težišnica predstavja pravac na kojem djeuje sia težine. Pri zaokretanju materijanog tijea središte masa ostaje na istome mjestu, dok se za svaki novi poožaj uspostavja nova težišnica. Ova činjenica se koristi za određivanje središta masa. D

68 Moment sie težine tijea G na bio koju točku prostora jednak je sumi momenata eementarnih težina tijea dg na istu točku prostora. G r dg r M T D ( ) ( ) e G k z j i e dg k z j i T T T D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e k G z e j G e i G e k dg z e j dg e i dg T T T D D D G z dg z, G dg G, dg T D T D T D Koordinate težišta tijea: G dg z z, G dg, G dg D T D T D T naitičko određivanje koordinata težišta:

69 Težište voumena Homogeno tijeo ρconst., dg g ρdv, G g ρdv g ρ V dv dv z dv V V V T ; T ; zt V V V Težište površine Homogena poča (ρconst.) deb. t, dg g ρ t d, G g ρ t d g ρ T d ; T d ; z V T z d Težište inije Homogeno tijeo (ρconst.) vro maih poprečnih dimenzija u odnosu na dujinu dg g ρ ds, G g ρ ds g ρ s T s ds s ; s T ds s ; s z T z ds s s

70 Težište soženih tijea Homogeno tijeo (ρconst.) se sastoji od n pravinih dijeova čija su težišta poznata. Koordinate težišta tijea T T z T Voumen Površina Linija n i V n V i V n V zi Vi V i i n i n i n zi i i i n i s n S i s n S zi s V V i i S n n S n i i i s i

71 8.. Statički momenti i momenti tromosti (inercije) ravnih presjeka Statički momenti presjeka površine s obzirom na osi z i S z d S z d Na osnovu teorema o jednakosti momenta sie i momenata njezinih komponenti: S z T S z T d - površina poprečnog presjeka. Statički moment presjeka s obzirom na bio koju os jednak je produktu površine poprečnog presjeka i pripadajuće koordinate težišta. Za bio koju težišnu os statički moment presjeka jednak je nui.

72 ksijani momenti tromosti (inercije) presjeka s obzirom na osi z i : I z d I z d Centrifugani moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na osi z i : I z z d Poarni moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na po O: ρ I P z + (z I I + I P z + ) d z d + I P ρ d d Zbroj aksijanih momenata tromosti u odnosu na dvije međusobno ortogonane osi jednak je poarnom momentu tromosti u odnosu na po koji se naazi na sjecištu koordinatnih osi. Dimenzija momenata tromosti [ 4 ]

73 Predznaci: I z, I, I p su uvijek pozitivni I z može biti manji, jednak ii veći od nue z z d I > z z I < z d z ko je bar jedna od koordinatnih osi os simetrije presjeka centrifugani moment tromosti s obzirom na te osi je jednak nui. z z d - d z Eementarni centrifugani momenti tromosti za simetrično raspređene površine d u odnosu na os z z d su suprotnog di z predznaka. Zbroj para eementarnih površina I z

74 8.3. Promjena momenta tromosti pri transaciji koordinatnog sustava b d z ρ T z a O Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z i koje proaze težištem presjeka T: I z d ; I z d ; I z z d Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z i paraene s osima z i : Iz d ; I z d ; Iz z d z + b ; a Iz d ( a) d d a d a d z + d Sz statički moment presjeka u odnosu na težišne osi I I a I I b I Iz + a b z z + + z

75 Steiner-ovo pravio za momente tromosti s obzirom na paraene osi: ksijani moment tromosti presjeka s obzirom na zadanu os jednak je zbroju momenata tromosti s obzirom na paraenu težišnu os i produkta površine presjeka i kvadrata udajenosti zadane i težišne osi. I I a I I b z z + + Steiner-ovo pravio za centrifugani moment tromosti: Centrifugani moment tromosti presjeka s obzirom na zadani pravokutni koordinatni sustav jednak je zbroju centrifuganog momenata tromosti s obzirom na paraeni težišni koordinatni sustav i produkta površine presjeka i koordinata težišta presjeka u zadanome pravokutnome koordinatnom sustavu. b Iz Iz + a b d z ρ T z a O

76 Poarni moment tromosti obzirom na po O : ρ I a + b ρ P d Iz + I I p I P + ρ I z + I + (a + b ) O b T z ρ a d z Iz Iz + a I I + b Od svih momenata tromosti s obzirom na skup paraenih osi, najmanju vrijednost ima moment tromosti s obzirom na os koja proazi težištem. I p I P + ρ Poarni moment tromosti presjeka ima najmanju vrijednost ako je po u težištu.

77 9.6. Poumjer tromosti d i s z z z z z i s i d i d i d d I z z z s z i d i d i d z d z I s Poumjeri tromosti presjeka i z, i : I i, I i z z Gavni poumjeri tromosti i u, i v : I i, I i v v u u

78 9. SVIJNJE RVNIH ŠTPOV P P a c a M + T T - M - M + Čisto savijanje Čisto savijanje i savijanje siama Čisto savijanje savijanje štapa u sučaju kada se u poprečnim presjecima pojavjuje samo moment savijanja. Poprečno savijanje ii savijanje siama savijanje štapa u sučaju kada se u poprečnim presjecima pojavjuje poprečna sia i moment savijanja. Obično ii ravno savijanje ravnina djeovanja momenta savijanja se pokapa s jednom od gavnih središnjih osi tromosti poprečnog presjeka štapa. Tada se štap savija u ravnini djeovanja momenta savijanja. Koso savijanje ravnina djeovanja momenta savijanja ne pokapa se ni s jednom od gavnih središnjih osi tromosti presjeka. Ravnina savijanja ne podudara se s ravninom djeovanja momenta savijanja.

79 9.. Čisto savijanje Čisto savijanje ravnog štapa konstantnog poprečnog presjeka od Hookeovog materijaa (homogen, izotropan, eastičan) Uvjeti ravnoteže: F ; F ; F ; z N T T z τ τ z d d d M ; M ; M ; z M M M z M M t s ( τ z d τ zd M z)d Kako je T Tz M d ; zd M ; d Nepoznat zakon raspodjee naprezanja

80 Bernouieva hipoteza ravnih poprečnih presjeka ravni poprečni presjeci pri deformaciji štapa ostaju ravni i okomiti na savijenu os štapa. Uzdužna vakna na konveksnoj strani se izdužuju Uzdužna vakna na konkavnoj strani se skraćuju Neutrani soj - soj čija se vakna ne produžuju niti skraćuju Presječnica neutranog soja i ravnine poprečnog presjeka neutrana os presjeka Uzdužna deformacija: ε B B B Dujina vakna prije deformacije: B B d 'B' ρdϕ Dujina vakna nakon deformacije: ε ( ρ + z)dϕ ρdϕ z ρdϕ ρ B ( ρ + z) dϕ

81 Naprezanje u uzdužnim vaknima: ε E E z ρ Uvjeti ravnoteže u presjeku: E E () d zd zd zd ρ ρ Statički moment površine je jednak nui. Neutrana os proazi težištem poprečnog presjeka. () z E d z d z d I ρ z, g. središnje osi tromosti (3) zd E ρ z d M E I ρ M z d I ρ M EI eastična ii progibna inija štapa (zakrivjenost neutranog soja)

82 Zakrivjenost neutranog soja: ρ M EI Normano naprezanje u svakoj točki presjeka: E Eε z ρ M I z M E I Mjesta najvećih naprezanja su u najudajenijim vaknima. Normana naprezanja su na neutranoj osi jednaka nui. E z Moment otpora: W I z Normana naprezanja u svakoj točki poprečnog presjeka: M W

83 Dijagram normanih naprezanja za bio kakav presjek s horizontanom osi simetrije: Presjek s horizontanom osi simetrije : M h ± h z ± ma,min I I h W ma,min ± M W ma min M W

84 Pravokutni presjek: I b h 3 I b h W h h 6 b z ± ma, min M W ma,min ± 6 M bh

85 Prostorni dijagram naprezanja za pravokutni presjek:

86 Okrugi presjek: I 4 d π 64 d W 3 d π 3 z ± ma, min M W 3 M ± d π ma 3

87 Naprezanje kod nepravinog presjeka: s z h h z ma h, zmin h ma min M I h M I h : Raspodjea normanih naprezanja u poprečnom presjeku ne ovisi o obiku poprečnog presjeka.

88 Prostorni dijagram normanih naprezanja za T presjek

89 9.. Opće savijanje štapova Sučaj savijanja kada u proizvojnom presjeku štapa djeuje moment savijanja i poprečna sia. Naprezanja u presjeku: Normana Posmična τ z, τ z

90

91 N P P P 3 s s 3 3 d b a b τ z d a τ a b z τ a N+ dn B h/ h/ M T z Z M T b τ s a τ d b M T+dM s Ta z B B d τ M+ dm d z τ z d τ z τ z +d Posmično naprezanje: τ z T I z S b T z poprečna sia u presjeku S statički moment površine odrezanog dijea presjeka s obzirom na neutranu os I aksijani moment tromosti cijeog presjeka b širina poprečnog presjeka

92 Pravokutni presjek: h h s b Z Z τ z ma τ ma 3 3 z T S τ τ z h + z h b h b( z) ( 4 TzS 6Tz h ( z ) 3 bi bh 4 z ma 3 Tz 3 T z bh z ) T z T/

93 Kružni presjek: r τ τ τ ma 4 3 T πr z 4 r T 4 z 3 z Raspodjea posmičnih naprezanja u I presjeku: z τ z T I z S b

94 Raspodjea naprezanja u T presjeku

95 9.3. Gavna naprezanja i trajektorije gavnih naprezanja Naprezanja pri savijanju siama: M I z τ z Ravninsko stanje naprezanja T τz τ z z I z S b z Gavna naprezanja:, ma,min ± + 4 τ z τ z ; Smjerovi gavnih naprezanja: tgϕ tgϕ τ τ z z, tgϕ ii τ z τ z Ekstremna posmična naprezanja: τ (u presjecima nagnutima pod 45 prema smjerovima g. naprezanja), τma,min ± ± + 4 τ z

96 τ z ; τ z Trajektorije gavnih naprezanja Međusobno okomite krivuje, tangente kojih u svakoj točki imaju smjerove gavnih naprezanja. Trajektorije: vačne i tačne

97 q q. q. Vačne i tačne trajektorije su međusobno okomite. + Trajektorije sijeku neutranu os pod kutem 45. T z - Trajektorije su okomite na gornji i donji rub nosača. M +

98

99 P P a -a a B T z - + M + P P a -a a

100 9.4. Koso savijanje M z - M W z z T - P z P z M P M z z Koso savijanje: superpozicija - savijanja u ravnini - savijanja u ravnini z T z - + z M - - z M W

101 vak tak z tak vak 3 4 N.O. z 4 3 z ma b h P 6 h b P 6 +, z b h P 6 h b P 6 z 3 min b h P 6 h b P 6 z 4 b h P 6 h b P 6 +

102 9.5. Savijanje s uzdužnom siom N M M N tak vak + N.O. tak M M W M z I z vak M M W vak N N vak N N, ma,min N ± M W

103 9.6. Koso savijanje s uzdužnom siom N N M z M M z M z N.O. z z ma W M W M N + + z z min W M W M N z z W M " " W M " " N + +

104 9.7. Proračun čvrstoće pri savijanju siama Točke s najvećim naprezanjima: a) Točka s ma b) Točka s τ z ma ma M W ma dop τ z ma T z ma I S b ma τ dop c) Točka s, ma Točka s nagim promjenama širine poprečnog presjeka, npr. spoj pojasa i rebra kod I presjeka

105 6. KSIJLNO OPTEREĆENJE ŠTP ksijano opterećen štap je štap opterećen samo uzdužnom siom N. + Rastezanje (vak) N u smjeru vanjske normae presjeka - Pritisak (tak) N u smjeru suprotnom od smjera vanjske normae presjeka

106 6.. Rastezanje i pritisak ravnog štapa Pretpostavke: Štap od homogenog, izotropnog materijaa Hipoteza ravnih poprečnih presjeka Naprezanja jednoiko raspodijejena u poprečnim presjecima dovojno udajenim od krajnjih presjeka štapa Za štap promjenjive aksijane krutosti: N n i i E i Rastezanje ravnog štapa razikuje se samo po predznaku P, P produženje štapa E i i ε ε u E modu eastičnosti površina poprečnog presjeka N P P E E du du d d P P ε d d E E ε P E skraćenje štapa ksijana krutost

107 6.. Utjecaj vastite težine Pretpostavke: Štap od homogenog, izotropnog materijaa Hipoteza ravnih poprečnih presjeka E modu eastičnosti površina poprečnog presjeka γ - specifična težina materijaa Uzdužna sia u presjeku γ( ) N G Težina štapa G γ N ( ) N G G ; ε ( ) E E u G ( ) G d E E G E produženje štapa

108 6.3. Sustavi sastavjeni iz više štapova φ Sie u štapovima: S P P tak ; S vak tgφ sin φ Produjenja i skraćenja štapova: S S skraćenje; produjenje E E Pomak točke B rezutirajući pomak

109 6.4. Statički neodređeni sustavi štapova b a + Jednadžba ravnoteže: () P R R b a + Jednadžba kontinuiteta: a b E b R b ; E a R a b a () R b a R a b Iz () i () sijedi: P R b a R a a + P b b a b P b a P R a + + P a R b E b R E a R b a

110 6.5. Naprezanja usijed temperaturnih djeovanja Sobodan štap Produjenje štapa: tt-t t α t ( t t ) α t t α t, E, Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature: ε t α t t α - koeficijent inearnog topinskog rastezanja - jedinica K - (Kevin - )

111 Štap sa spriječenim pomacima uzduž osi izožen promjeni temperature: tt-t α t, E, F B F Pri porastu temperature štap bi se produjio za: t ε t α t t Reakcije koje ne dopuštaju produjenje: F F B Uvjet kompatibinosti: t F F α t t E Reakcije osonca: F F α t E Naprezanja u štapu: F t > porast temperature, naprezanje tačno t < pad temperature, naprezanje vačno Kod statički određenih sustava nema temperaturnih naprezanja jer je deformiranje sobodno. Kod statički neodređenih konstrukcija pojavjuju se sie i naprezanja pri promjeni temperature. B t α t t E Za istovremeno djeovanje opterećenja i porasta temperature: ( ε ε t ) E

112 6.6. Koncentracija naprezanja Pri nagoj promjeni poprečnog presjeka (u okoici utora ii otvora) u inearnom području ponašanja materijaa doazi do okanog povećanja naprezanja koje nazivamo koncentracija naprezanja. Faktor koncentracije naprezanja α k ma S (α k >) pokazuje stupanj koncentracije. ma maksimano naprezanje, S srednje naprezanje po osabjenom presjeku n površina osabjenog presjeka S F n

113 . DEFORMCIJ RVNOG ŠTP PRI SVIJNJU Eastična inija ii progibna inija nosača - deformirana (savijena) uzdužna os štapa

114 .. Diferencijana jednadžba eastične inije Zakrivjenost nosača kod čistog savijanja: Zakrivjenost krivuje (matematički izraz) d w M ± d ρ E I 3 ρ dw + d Zanemarujemo dw d d w E I M d d w M d E I kao diferencijano mau veičinu višeg reda. ii Diferencijana jednadžba progibne inije (pribižna, vrijedi kad su pomaci mai u odnosu na raspon nosača) Deriviranjem po sijedi E E I I d 3 d d w 3 4 d w 4 T z q()

115 Mehaničko značenje matematičkih veičina: M T z w Progibna inija q() M T z w w() progib dw ϕ () kut zaokreta progibne inije d d w M E I moment savijanja d 3 d w T E I poprečna sia 3 d 4 d w q () E I opterećenje d 4 E I - krutost presjeka na savijanje

116 Greda opterećena jednoiko raspodijejenim opterećenjem B w M w ma, w C ( ) ( ) 3 C 3 q d dw I E q d w d I E w, w : uvjeti Rubni M d w d I E q q M q B C C 6 q w I E Progibna inija statički određenih nosača z q, w C 6 q 4 4 +, 4 q C 3

117 + 4EI q w ϕ EI q d dw () w ma za d dw 4 ma EI q w w ( ) 3 4EI q ϕ ϕ ( ) 3 B 4EI q ϕ ϕ Jednadžba progibne inije: Jednadžba kuta zaokreta: Progib u sredini raspona: Kutevi zaokreta na ežajevima:

118 Desna konzoa opterećena jednoiko raspodijejenim opterećenjem M q w ( ) ( ) C C 3 q w I E C 3 q d dw I E q d w d I E q M q M() q M, q w, w' () uvjeti Rubni ϕ C, C M

119 EI q w + ϕ EI q d dw () ( ) 4 ma 8EI q w w ( ) 3 ma 6EI q w'() ϕ ϕ Jednadžba progibne inije: Jednadžba kuta zaokreta: Progib na kraju konzoe: Najveći kut zaokreta:

120 Greda opterećena koncentriranom siom u sredini raspona P B / / M Rubni uvjeti : w, C w (/), 6EI P C EI P w 3 C C 3 4 P w I E C P d dw I E P d w d I E P M(), Za P B + + +

121 Jednadžba progibne inije: w 3 P 6EI Jednadžba kuta zaokreta: dw P ϕ () 4 d 6EI Progib u sredini raspona: ( / ) w w ma 3 P 48EI Najveći kut zaokreta: ϕ ma w'() P 6EI Za < progibna inija je simetrična oko osi

122 Konzoa opterećena momentom M M M H V EI M w C, w() C C M w I E C, w () C M d dw I E M d w d I E M M() M M, ( ) ma EI M w w ma EI M '() w ϕ

123 .3. Postupak određivanja progibne inije statički određenih nosača Određivanje reakcija Određivanje funkcije M() Integriranje diferencijane jednadžbe E I d d w M po područjima puta Uvrštavanje rubnih uvjeta i izračunavanje konstanti integracije ko ima više područja integracije, konstante integracije izračunavamo izjednačavanjem kuteva zaokreta i progiba u dodirnim točkama područja

124 . TORZIJ RVNIH ŠTPOV Torzija (uvijanje) sučaj opterećenja kada je štap opterećen momentima koji djeuju u ravnini okomitoj na os štapa.

125 U većini sučajeva torzija (uvrtanje) eemenata konstrukcije nastaje kao posjedica djeovanja ekscentričnog opterećenja. Torzija usijed ekscentričnog opterećenja Torzija višekatnih zgrada uzrokovana djeovanjem horizontanih sia (vjetar, potres)

126 Deformacija ravnog štapa pri torziji ovisi o obiku poprečnog presjeka: kružni poprečni presjek vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka nema vitoperenja presjeka neokrugi poprečni presjek poprečni presjeci ne ostaju ravni rješenje s teorijom eastičnosti otpornost materijaa daje samo konačno rješenje tankostijeni zatvoreni poprečni presjek rješenje metodama otpornosti materijaa uz uvođenje niza pretpostavki

127 .. Torzija štapova kružnog poprečnog presjeka Pretpostavke: pri deformaciji štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na os štapa (hipoteza ravnih poprečnih presjeka) poprečni presjeci rotiraju se oko osi štapa kao kruti diskovi (ne deformiraju se u svojoj ravnini); poumjeri u tim presjecima ostaju pravci i rotiraju se za isti kut (hipoteza krutosti presjeka) razmak između poprečnih presjeka se ne mijenja pri deformaciji štapa (nema normanih naprezanja u smjeru osi štapa)

128 M t ρ τ d Reativno smicanje: Reativni kut uvijanja: Hookeov zakon za čisti posmik: ' dϕ γ tgγ ρ d d dϕ Θ γ Θρ d τ γ G ΘρG Moment torzije M t G Θ ρ d I P ρ M d 4 πd 3 M M t Θ t t ; τ ΘρG ρg ρ G IP GIP IP τ Najveće naprezanje: M I t ma ρma P τ ma M W t P M I W P P t r M I P r G Θ t I P 3 πd 6

129 Torzija eement u stanju čistog posmika Gavna naprezanja: ±τ, ma, min ; ϕ, ± 45 o naiza oma štapa opterećenog na torziju: Krhki materijai manja otpornost na razdvajanje čestica nego na smicanje, ravnina oma pod 45 Eastopastični materijai manja otpornost na smicanje nego na razdvajanje čestica, om u ravnini najvećih posmičnih naprezanja (okomito na uzdužnu os štapa)

130 Dimenzioniranje štapova opterećenih na uvijanje Uvjet čvrstoće M M t t τ ma τ dop WP WP τ dop Uvjet krutosti M M Θ t ma Θ t dop IP G IP G Θdop Promjer štapa određujemo na osnovu oba uvjeta. Mjerodavna je veća vrijednost.

131 .. Torzija štapova pravokutnog poprečnog presjeka Poprečni presjeci se pri uvijanju znatno iskrivjuju. Ne vrijedi Bernoui-eva hipoteza ravnih poprečnih presjeka. ŠTP PRIJE UVIJNJ Dijagram posmičnih naprezanja (b<h) ŠTP NKON UVIJNJ Vrijednosti koeficijenata α, β i η: τ τ ma M t α h b τ B ητ ma Θ M t Gβh b 3 ϕ M t Gβh b 3

132 .3. Torzija štapova s otvorenim tankostijenim profiom Tankostijeni presjek sastavjen od niza tankih pravokutnika: Torzijski moment tromosti: Maksimano naprezanje: τ I t ma 3 n i M I t t b 3 i b s i ma Maksimano naprezanje u presjeku nastaje u sredini dujih stranica eementa koji ima najveću debjinu

133 .4. Torzija štapova s tankim stijenkama zatvorenog profia Poprečni presjeci tijekom deformacije se sobodno vitopere, ai se ne iskrivjuju u svojoj ravnini (obik poprečnog presjeka ostaje nepromijenjen). Središnja inija presjeka skup točaka jednako udajen od vanjske i unutarnje konture presjeka Tok posmičnih naprezanja τ t konst. po dužini zatvorene konture: τ M t t min - površina obuhvaćena središnjom inijom presjeka

134 .5. Izbor poprečnog presjeka Za preuzimanje torzijskog opterećenja zatvoreni presjeci su znatno povojnjiji od otvorenih. Zatvoren profi Otvoren profi M t M t τ Z ; t τ τ O Z min τ τ O 5τ ; O Z 3M b t 3 i s i 4 3M t 3 ( ) ;

135 U štapu šupjeg poprečnog presjeka materija je boje iskorišten (za jednake momente otpora prstenastog i punog presjeka štap prstenastog presjeka može izdržati jednako opterećenje s manjim utroškom materijaa). Najpovojniji su poprečni presjeci cijevnog obika πd πd πd d I p ; 3 D W p πd 6 3 d D 4 4

136 . IZVIJNJE TLČNO OPTEREĆENIH ELEMENT.. Ponašanje tačno opterećenih konstruktivnih eemenata Stupovi su konstruktivni eementi izoženi djeovanju tačnih sia, iako su često opterećeni i momentima savijanja i tačnim siama. Ponašanje stupa pri djeovanju tačne sie ovisi o dimenzijama poprečnog presjeka i dujini stupa.

137 Gubitak nosivosti stupa Kratki stupovi imaju reativno veiku površinu poprečnog presjeka u odnosu na dujinu. Pri povećanju tačne sie, može doći do soma stupa usijed prekoračenja graničnog naprezanja. Posjedica su dijagonane pukotine i drobjenje stupa. Provjera granične nosivosti stupa provodi se metodama otpornosti materijaa (uspostavjanjem ravnoteže na nedeformiranom sustavu). Nosivost kratkog stupa ovisi o: - površini poprečnog presjeka - dopuštenom naprezanju materijaa. N dop Veći poprečni presjek manje naprezanje stup može preuzeti veću siu

138 Gubitak stabinosti stupa Vitki stupovi imaju reativno mau površinu poprečnog presjeka u odnosu na dujinu. Pri povećanju tačne sie povećavaju se deformacije konstrukcije što može dovesti do izvijanja stupa i gubitka stabinosti pri naprezanju nižem od granice popuštanja. Provjera nosivosti stupa na izvijanje provodi se metodama stabinosti konstrukcija (uspostavjanjem ravnoteže na deformiranom sustavu). PRI PRORČUNU VITKIH ELEMENT IZLOŽENIH TLČNOM OPTEREĆENJU MJERODVNO JE IZVIJNJE, NE TLČN NOSIVOST.

139 .. Euerova teorija izvijanja stupova Švicarski matematičar Leonard Euer je prvi uočio da som vitkih stupova opterećenih centričnom tačnom siom nastaje zbog gubitka stabinosti prouzročenog izvijanjem stupa, a ne gubitka nosivosti presjeka. Prema Euer-ovoj teoriji, usijed djeovanja tačne sie, stup se izvija. Ukanjanjem opterećenja, stup se može vratiti u početni poožaj. ko se tačna sia poveća do neke kritične vrijednosti, stup dostiže kritično stanje (gubitak stabinosti) nakon kojeg se više ne može vratiti u prvobitni poožaj.

140 Pretpostavke: stup je prizmatičnog obika s konstantnim poprečnim presjekom; os stupa je ideano ravna, a opterećenje djeuje u osi; materija je homogen, izotropan i ideano eastičan (Hookeov); vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka (Navier, Bernoui); pomaci i deformacije su mai pa se zakrivjenost ρ v'' 3 ( + (v') ) može pojednostavniti i izraziti kao d v ρ v '' ; d ravnoteža se uspostavja na deformiranom poožaju stupa.

141 Osnovni Euer-ov stup N Moment u presjeku stupa: d v M Nv EI d d v EI - moment unutrašnjih sia d v ma v N MNv Nv - moment vanjskih sia nastao kao posjedica promatranja ravnoteže na deformiranom poožaju stupa. DJ: d v + k v ; d k N EI Rješenje DJ: v asin k + bcosk N Rubni uvjeti: v(), v() b, a sin k za a (sučaj kada nema izvijanja štapa) ii za sin k i π EI Kritična sia: Nki Pripadni obik izvijanja: v i iπ a sin k iπ (i,,...) iπ k Najniža kritična sia π EI Nk (Euerova kritična sia): π Pripadni obik izvijanja: v a sin

142 Kritična sia ovisi o aksijanom momentu tromosti presjeka. π EI Nk Kod poprečnih presjeka s razičitim momentima tromosti I i I z, izvijanje nastaje oko osi s manjim aksijanim momentom tromosti. N z N z Izvijanje stupa I-poprečnog presjeka

143 Izvijanje ostaih osnovnih stupova d 4 DJ: EI + N d v 4 d d Dujina izvijanja v i c (udajenost između dviju susjednih točaka infeksije deformacijske inije), konstanta c ovisi o načinu pridržanja. Kritična sia: N k π EI ; i I - Moment tromosti presjeka; i - kvadrat radijusa tromosti I i N k i π Ei N k π λ E N N N N Vitkost stupa: λ i /i Kritično naprezanje: k π λ E N k i N N N π EI N π EI k (.5 ) (.7 ) π EI N k i.5 i.7 π EI ( ) N k Crtež 3.7. Kritične sie, dujine i obici izvijanja osnovnih stupova M N i

144 Euer-ova krivuja nosivosti stupa k nestabino k π E stabino λ

145 Nosivost vitkih stupova Ovisi o: Dujini stupa Kraći stupovi imaju veću nosivost. S porastom dujine stupa opada mu nosivost. Krutosti stupa Krutost stupa ovisi o moduu eastičnosti materijaa E i aksijanom momentu tromosti I. Dva stupa istih modua eastičnosti i površina poprečnog presjeka, za razičit obik poprečnog presjeka mogu imati razičitu nosivost. R I π R π R 4 4 I > I I a a 4 a

146 Nosivost vitkih stupova Uvjetima pričvršćenja stupa Stup sa spriječenim rotacijama krajeva (ukiješteni stup) ima manju dujinu izvijanja i može preuzeti veću siu nego zgobno pridržan stup (koji ima mogućnost zaokreta na krajevima). Stup s manjom dujinom izvijanja ima veću nosivost.

147 Nosivost stupa može se povećati smanjivanjem dujine izvijanja.

148 .3. Izvijanje stupa s nesavršenom osi N N/N k V v u vv +u..5 V. V V.3 N v

149 .4. Veza između popuštanja i izvijanja Granična vitkost λ između ova dva ponašanja određena je izrazom: λ π E T popuštanje T eastična ravnoteža izvijanje π E/ λ / π( E/ T) λ Veza između izvijanja i popuštanja Euerovog stupa