Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date koordinatama (x 1 : x 2 ) odabrane su, redom, za bazne taǩe (1 : 0), (0 : 1) i tačku jedinice (1 : 1) novog sistema homogenih koordinata (x 1 : x 2). Odrediti vezu izmedju starog i novog sistema homogenih koordinata. 2. (Zadatak 2.4) Na projektivnoj pravoj su date taǩe A(0 : 1), B(1 : 0), C(1 : 1) i D(3 : 2). Odrediti dvorazmeru (A, B; C, D). 3. (Zadatak 2.10) Na projektivnoj pravoj date su različite tačke A, B, C i D. Dokazati da na njoj postoje tačke P i Q koje harmonijski razdvajaju i par A, B i par C, D ako i samo ako par C, D ne razdvaja par A, B. 4. (Zadatak 2.10) a) Odrediti formule transformacije projektivne prave koja tačke A(1 : 1), B(1 : 0) i C(2 : 1) prevodi redom u tačke A (0 : 1), B (1 : 1) i C (1 : 2). b) Zapisati to preslikavanje u afinom obliku. c) Odrediti dvorazmeru (ABCA ). d) Odrediti fiksne tačke te transformacije. 5. Odrediti hiperboličku transformaciju kojoj su fiksne tačke M(2 : 1) i N(4 : 1), a koja tačku A(3 : 1) preslikava u tačku A takvu da važi H(MNAA ). Da li ta transformacija čuva orjentaciju? 6. Odrediti formule paraboličkog preslikavanja kome je fiksna tačka M(0 : 1), a koje preslikava tačku A(1 : 2) u tačku A (2 : 1). 7. Odrediti formule involucije na projektivnoj pravoj kojoj su odgovarajuće tačke A( 1 : 1), A (8 : 5); B(1 : 1), B (2 : 1). Da li je involucija eliptička, parabolička ili hiperbolička i čuva li orjentaciju? 8. Dokazati da ne postoje paraboličke involucije na projektivnoj pravoj. 9. Odrediti pravu koja sadrži tačke A(1 : 1 : 2) i B(3 : 2 : 5). Da li tačka C(1 : 7 : 3) pripada pravoj AB? 1
10. Odrediti presek P pravih a : x 1 x 2 + x 3 = 0 i b : 2x 1 x 2 + 4x 3 = 0. Odrediti zatim pravu p koja sadrži tačku P i paralelna je pravoj 2x y+4 = 0. 11. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = x 1 + 3x 2 + 3x 3, x 2 = x 3, x 3 = x 2 + 2x 3. Da li je f n = Id za neko n N? 12. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = x 1 + x 2 + 3x 3, x 2 = x 1 + 5x 2 + x 3, x 3 = 3x 1 + x 2 + x 3. 13. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = 2x 1 x 2 x 3, x 2 = x 1 + x 3, x 3 = 3x 1 + 3x 2 + 2x 3. 14. Data je kriva drugog reda Γ : x 2 1 + 2x 1 x 2 + 2x 2 2 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3 + x 2 3 = 0. a) Odrediti presečne tačke krive Γ i prave p : x 1 2x 2 + x 3 = 0. b) Odrediti polaru tačke Q(1 : 2 : 3). c) Odrediti pol prave a : x 1 + x 2 = 0. d) Odrediti tangente iz tačke (2 : 2 : 3) na krivu Γ. 15. (Zadatak 3.53) Odrediti jednačine tangenti iz tačke A(3 : 2 : 2) na krivu 3x 2 1 + x 2 2 5x 2 3 + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 4x 2 x 3 = 0. 2
1.2 Sintetički pristup 1. Date su tačke A, B, C p i A, B, C p. Odrediti sliku M prozivoljne tačke M pri projektivnom preslikavanju f : p p ako je a) p p b) p = p. 2. Date su prave a, b, c P i a, b, c P. Odrediti sliku m prozivoljne prave m pri projektivnom preslikavanju φ : P P ako je a) P P b) P = P. 3. Date su nekolinearne tačke A, B i C i prava p tako da C p. Neka su P i Q proizvoljne tačke prave p i neka je AP BC = M, AQ BC = N, BP AC = U, BQ AC = V. Primenom Dezargove teoreme dokazati da su prave AB, MU, NV konkurentne. 4. Data je tačka A i prave p i q koje se seku van papira u tački B. Konstruisati pravu AB. 5. U proizvoljan četvorougao upisan je trapez. Ako se bočne ivice trapeza seku na jednoj dijagonali datog ětvorougla, dokazati da su onda osnovice trapeza paralelne drugoj dijagonali. 6. Dokazati da je homologija f odredjena sa: a) S, s, A = f(a) b) S, s, u c) S, u, A = f(a). 7. Date su centar S, protivosa u i slika A tačke A u homologiji f. Nacrtati sliku a) duži AB koja u tački P seče u; b) Trougla ABC koji u tačkama P AB, Q BC seče u; c) Trougla ABC takvog da C u (A, B u). 8. Data je osa afinosti s i par odgovarajućih tačaka A i A perspektivno afinog preslikavanja f. Konstruisati sliku a) Trougla ABC; b) kvadrata ABCD. 9. Kroz tačku D stranice BC trotemenika ABC prolazi prava p koja seče stranice AB i AC redom u tačkama P i Q. Prave CP i BQ seku se u tački X. Šta je geometrijsko mesto tačaka X kada p D? 10. Date su tri nekolinearne tačke A, S, T i prava p koja ih ne sadrži. Odrediti šta je geometrijsko mesto pravih MN, M = AS BT, N = AT SB za proizvoljnu tačku B p. 11. U projektivnoj ravni date su dve prave a i b i tačke P, Q i R van tih pravih. Ako je q proizvoljna prava koja sadrži tačku R i ako ona seče prave a i b redom u tačkama M i N, šta je skup presečnih tačaka pravih P M i QN? 12. Date su četiri tačke A, B, C, D nedenerisane krive drugog reda, tangenta a u tački A i prava p koja sadrži tačku B. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu krive u tački C. 3
13. Date su tri tačke A, B, C i tangente a, b u tačkama redom A, B nedegenerisane krive drugog reda i prava p kroz tačku A. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu c u tački C. 14. Date su četiri tačke A, B, C, D i PRAVAC q jedne asimptote hiperbole. Odrediti a) Tangentu u tački A. b) Asimptotu čiji je pravac dat. c) Drugu asimptotu hiperbole. d) Centar hipebole. 15. Date su dve tačke M i N, tangenta m u tački M parabole i pravac o ose parabole. Odrediti tangentu parabole u tački N. 4
2 Nacrtna geometrija 2.1 Metoda odstojanja 1. Data je prava p projekcijama svojih tačaka M(M, OM 0 ) i N(N, ON 0 ). Konstruisati: a) trag prave p; b) pravu veličinu duži MN; c) nagibni ugao prave p. 2. Date su tačke A(A, OA 0 ), B(B, OB 0 ) i C(C, OC 0 ). Konstruisati projekciju a) težista T trougla ABC; b) centra O opisanog kruga trougla ABC. 3. Data je ravan α(a, A, OA 0 ), tačka S koja joj pripada i duž d. Nacrtati projekciju kruga k koji pripada ravni α, ima centar S, a poluprečnik mu je podudaran duži d. 4. Data je ravan α(a, A, OA 0 ). Konstruisati pravu p koja pripada ravni α, sadrži tačku A, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4. 5. Data je prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati ravan α koja sadrži pravu p, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6. Konstruisati zatim projekciju kvadrata ABCD koji pripada ravni α i čija je ivica AB podudarna datoj duži d. 6. Odrediti presek ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b, B, OB 0 ) ako važi: i) a b = {P }; ii) a b. 7. Odrediti prodor prave p(p, A, OA 0 ) kroz ravan τ(t, M, OM 0 ). 8. Date su ravan τ(t, K, OK 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati normalu n iz tačke M na ravan τ. 9. Date su prava n(n, S, OS 0 ) i tačka K(K, OK 0 ). Konstruisati ravan τ koja sadrži tačku K i normalna je na pravu n. 10. Data je ravan α(a, A, OA 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati trag ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α. 11. Date su mimoilazne prave p(p, A, OA 0 ) i q(q, B, OB 0 ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 12. Date su tri paralelne prave a(a, P, OP 0 ), b(b ) i c(c ). Konstruisati pravu s jednako udaljenu od ovih pravih. 13. a) Da je ravan τ(t, S OS 0 ). Konstruisati projekciju prave četvorostrane piramide ABCDV, čija je osnova ABCD paralelogram sa središtem S koji pripada ravni τ, a visina je jednaka datoj duži d. b) Konstruisati presek piramide i ravni α koja sadrži pravu t i središte visine piramide. 14. Data je tačka A(A, OA 0 ) i prava p(p, N, ON 0 ) koja ne sadrži tačku A. Konstruisati projekciju pravilnog oktadera ABCDEF ako je teme A data tačka, a ivica BC pripada pravoj p. 5
15. Data je ravan τ(t, M, OM 0 ) i tačka S(S, OS 0 ) van ravni τ. Predstaviti normalnu projekciju pravog valjka ako je tačka S središte osnove, τ tangentna ravan valjka i izvodnice valjka grade ugao od π 6 sa ravni slike π. Visina valjka je jednaka 3r, gde je r poluprečnik osnove. 16. (novembar 2005.) Metodom odstojanja normalnog projektovanja data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ako je teme A data tačka, dijagonalni presek BDD 1 B 1 pripada ravni τ, a prava BD sadrži M. 17. Data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD kome je teme A data tačka, pljosan BCD pripada ravni τ, a ivica BC zaklapa ugao od π 6 sa ravni π. 18. Data je tačka S(S, OS 0 ) i prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati projekciju prave kupe kojoj je središte osnove tačka S, jedna izvodnica kupe pripada pravoj p, a ugao izmedju visine kupe i izvodnice jednak π 6. Konstruisati zatim prodorne tačke prave r koja sadrži središte visine kupe i tačku P i kupe. 6
2.2 Metoda tragova i nedogleda 1. Date su tačka A na nosiocu p(p, P c ) i tačka B na nosiocu q(q, Q c ). Konstruisati trag i nedogled prave AB. 2. Date su ravni α(a, a c ) i β(b, b c ) takve da je a b. Odrediti projekciju presečne prave p ravni α i β. 3. Data je ravan α(a, a c ). Konstruisati pravu p koja pripada ravni α, sadrži tačku A, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4. 4. Data je prava p(p, P c ). Konstruisati ravan α koja sadrži pravu p, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6. 5. Kroz datu tačku A prave n(n, N c ) konstruisati ravan τ normalnu na pravu n. 6. Konstruisati ravan α koja sadrži datu pravu a(a, A c ) i normalna je na datu ravan τ(t, t c ). 7. Data je tačka S u ravni α(a, a c ). Odrediti projekciju kruga koji pripada ravni α, centar mu je data tačka S, a poluprečnik kruga je podudaran datoj duži d. 8. a) Da je ravan τ(t, t c ) i u njoj tačka S. Konstruisati projekciju prave četvorostrane piramide ABCDV, čija je osnova ABCD paralelogram sa središtem S koji pripada ravni τ, a visina je jednaka datoj duži d. b) Konstruisati presek piramide i ravni α koja sadrži pravu t i središte visine piramide. 9. Date su tačka M na nosiocu p(p, P ) c i tačka N na nosiocu q(q, Q c ). Odrediti projekciju tetraedra ABCD takvog da je tačka M središte duži AB, tačka N središte duži CD, a ivica CD gradi ugao od π 6 sa projekcijskom ravni π. 10. Data je ravan τ(t, t c ) koja gradi ugao od π 3 sa projekcijskom ravni i tačka A 1 na nosiocu p(p, P ), c A 1 τ. Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kojoj osnova ABCD pripada ravni τ, ivica AB je paralelna projekcijskoj ravni, a teme A 1 je data tačka. 11. (decembar 2005.) Metodom tragova i nedogleda data je ravan α(a, a C ) koja gradi ugao od 60 o sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekciju prave kupe čija osnova pripada ravni α i dodiruje ravan π, prečnik osnove jednak je poluprečniku kruga odstojanja i vrh V pripada ravni π. 12. (novembar 2005.) Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja data je ravan τ(t, t c ) i tačka A 1 na nosiocu q(q, Q c ) van ravni τ. Konstruisati projekciju kose prizme ABCDEF A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 čija je osnova ABCDEF pravilan šestougao koji pripada ravni τ, teme A 1 je data tačka i prava AA 1 gradi ugao od π 3 sa ravni slike π. 7
13. Date su paralelne ravni α(a, a c ) i β(b). Odrediti projekciju valjka čije osnove pripadaju ravnima α i β, jedan krug osnove dodiruje projekcijsku ravan π, a prečnik osnove je jednak visini valjka. 14. Date je metodom tragova i nedogleda duž AB na pravoj p(p, P c ) koja zaklapa ugao od 60 stepeni sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekciju pravilnog oktaedra ABCDEF čija je jedna dijagonala da ta duž AB, a dijagonala CE je paralelna projekcijskoj ravni π. 15. Date su mimoilazne prave p(p, P c ) i q(q, Q c ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 8