Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Слични документи
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

untitled

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

kolokvijum_resenja.dvi

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i

Ravno kretanje krutog tela

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Analiticka geometrija

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

Analiticka geometrija

Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Растко Вуковић: Математика III Математика III за трећи разред гимназије Растко Вуковић, проф. скрипта за наставу држану ш. г. у Бањој Луци

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

8. ( )

homotetija_ddj.dvi

PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Динамика крутог тела

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku:

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

RG_V_05_Transformacije 3D

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Microsoft Word - 24ms221

FOR_Matema_Srednja

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Analiticka geometrija

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

Tehnicko crtanje 2010-pitanja

UNIVERZITET U ZENICI

8. razred kriteriji pravi

m3b.dvi

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

gt3b.dvi

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

2

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

PowerPoint Presentation

ИНФОРМАТОР ЗА УПИС СТУДЕНАТА У ВИСОКУ ГРАЂЕВИНСКО-ГЕОДЕТСКУ ШКОЛУ струковних студија у Београду

Natjecanje 2016.

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVN

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli

os07zup-rjes.dvi

Microsoft Word - 24ms241

(Geometrijska i algebarska interpretacija presjeka stoıca i valjka ravninom | math.e)

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_javitasi_0911_szerb.doc

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

My_ST_FTNIspiti_Free

1996_mmo_resenja.dvi

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Geometrija molekula

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Microsoft PowerPoint - perspektiva-P1.ppt

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/

I

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

atka 25 (2016./2017.) br. 98 Nastavak iz atke broj 97. U Nacrtaj i ti! Nikol Radović, Sisak prošlim brojevima atke upoznali smo neke metode vizualizac

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Naziv studija

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Skripte2013

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

Microsoft Word - z4Ž2018a

Транскрипт:

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date koordinatama (x 1 : x 2 ) odabrane su, redom, za bazne taǩe (1 : 0), (0 : 1) i tačku jedinice (1 : 1) novog sistema homogenih koordinata (x 1 : x 2). Odrediti vezu izmedju starog i novog sistema homogenih koordinata. 2. (Zadatak 2.4) Na projektivnoj pravoj su date taǩe A(0 : 1), B(1 : 0), C(1 : 1) i D(3 : 2). Odrediti dvorazmeru (A, B; C, D). 3. (Zadatak 2.10) Na projektivnoj pravoj date su različite tačke A, B, C i D. Dokazati da na njoj postoje tačke P i Q koje harmonijski razdvajaju i par A, B i par C, D ako i samo ako par C, D ne razdvaja par A, B. 4. (Zadatak 2.10) a) Odrediti formule transformacije projektivne prave koja tačke A(1 : 1), B(1 : 0) i C(2 : 1) prevodi redom u tačke A (0 : 1), B (1 : 1) i C (1 : 2). b) Zapisati to preslikavanje u afinom obliku. c) Odrediti dvorazmeru (ABCA ). d) Odrediti fiksne tačke te transformacije. 5. Odrediti hiperboličku transformaciju kojoj su fiksne tačke M(2 : 1) i N(4 : 1), a koja tačku A(3 : 1) preslikava u tačku A takvu da važi H(MNAA ). Da li ta transformacija čuva orjentaciju? 6. Odrediti formule paraboličkog preslikavanja kome je fiksna tačka M(0 : 1), a koje preslikava tačku A(1 : 2) u tačku A (2 : 1). 7. Odrediti formule involucije na projektivnoj pravoj kojoj su odgovarajuće tačke A( 1 : 1), A (8 : 5); B(1 : 1), B (2 : 1). Da li je involucija eliptička, parabolička ili hiperbolička i čuva li orjentaciju? 8. Dokazati da ne postoje paraboličke involucije na projektivnoj pravoj. 9. Odrediti pravu koja sadrži tačke A(1 : 1 : 2) i B(3 : 2 : 5). Da li tačka C(1 : 7 : 3) pripada pravoj AB? 1

10. Odrediti presek P pravih a : x 1 x 2 + x 3 = 0 i b : 2x 1 x 2 + 4x 3 = 0. Odrediti zatim pravu p koja sadrži tačku P i paralelna je pravoj 2x y+4 = 0. 11. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = x 1 + 3x 2 + 3x 3, x 2 = x 3, x 3 = x 2 + 2x 3. Da li je f n = Id za neko n N? 12. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = x 1 + x 2 + 3x 3, x 2 = x 1 + 5x 2 + x 3, x 3 = 3x 1 + x 2 + x 3. 13. Odrediti fiksne tačke i fiksne prave transformacije f date formulama x 1 = 2x 1 x 2 x 3, x 2 = x 1 + x 3, x 3 = 3x 1 + 3x 2 + 2x 3. 14. Data je kriva drugog reda Γ : x 2 1 + 2x 1 x 2 + 2x 2 2 2x 1 x 3 + 4x 2 x 3 + x 2 3 = 0. a) Odrediti presečne tačke krive Γ i prave p : x 1 2x 2 + x 3 = 0. b) Odrediti polaru tačke Q(1 : 2 : 3). c) Odrediti pol prave a : x 1 + x 2 = 0. d) Odrediti tangente iz tačke (2 : 2 : 3) na krivu Γ. 15. (Zadatak 3.53) Odrediti jednačine tangenti iz tačke A(3 : 2 : 2) na krivu 3x 2 1 + x 2 2 5x 2 3 + 2x 1 x 2 + 2x 1 x 3 4x 2 x 3 = 0. 2

1.2 Sintetički pristup 1. Date su tačke A, B, C p i A, B, C p. Odrediti sliku M prozivoljne tačke M pri projektivnom preslikavanju f : p p ako je a) p p b) p = p. 2. Date su prave a, b, c P i a, b, c P. Odrediti sliku m prozivoljne prave m pri projektivnom preslikavanju φ : P P ako je a) P P b) P = P. 3. Date su nekolinearne tačke A, B i C i prava p tako da C p. Neka su P i Q proizvoljne tačke prave p i neka je AP BC = M, AQ BC = N, BP AC = U, BQ AC = V. Primenom Dezargove teoreme dokazati da su prave AB, MU, NV konkurentne. 4. Data je tačka A i prave p i q koje se seku van papira u tački B. Konstruisati pravu AB. 5. U proizvoljan četvorougao upisan je trapez. Ako se bočne ivice trapeza seku na jednoj dijagonali datog ětvorougla, dokazati da su onda osnovice trapeza paralelne drugoj dijagonali. 6. Dokazati da je homologija f odredjena sa: a) S, s, A = f(a) b) S, s, u c) S, u, A = f(a). 7. Date su centar S, protivosa u i slika A tačke A u homologiji f. Nacrtati sliku a) duži AB koja u tački P seče u; b) Trougla ABC koji u tačkama P AB, Q BC seče u; c) Trougla ABC takvog da C u (A, B u). 8. Data je osa afinosti s i par odgovarajućih tačaka A i A perspektivno afinog preslikavanja f. Konstruisati sliku a) Trougla ABC; b) kvadrata ABCD. 9. Kroz tačku D stranice BC trotemenika ABC prolazi prava p koja seče stranice AB i AC redom u tačkama P i Q. Prave CP i BQ seku se u tački X. Šta je geometrijsko mesto tačaka X kada p D? 10. Date su tri nekolinearne tačke A, S, T i prava p koja ih ne sadrži. Odrediti šta je geometrijsko mesto pravih MN, M = AS BT, N = AT SB za proizvoljnu tačku B p. 11. U projektivnoj ravni date su dve prave a i b i tačke P, Q i R van tih pravih. Ako je q proizvoljna prava koja sadrži tačku R i ako ona seče prave a i b redom u tačkama M i N, šta je skup presečnih tačaka pravih P M i QN? 12. Date su četiri tačke A, B, C, D nedenerisane krive drugog reda, tangenta a u tački A i prava p koja sadrži tačku B. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu krive u tački C. 3

13. Date su tri tačke A, B, C i tangente a, b u tačkama redom A, B nedegenerisane krive drugog reda i prava p kroz tačku A. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu c u tački C. 14. Date su četiri tačke A, B, C, D i PRAVAC q jedne asimptote hiperbole. Odrediti a) Tangentu u tački A. b) Asimptotu čiji je pravac dat. c) Drugu asimptotu hiperbole. d) Centar hipebole. 15. Date su dve tačke M i N, tangenta m u tački M parabole i pravac o ose parabole. Odrediti tangentu parabole u tački N. 4

2 Nacrtna geometrija 2.1 Metoda odstojanja 1. Data je prava p projekcijama svojih tačaka M(M, OM 0 ) i N(N, ON 0 ). Konstruisati: a) trag prave p; b) pravu veličinu duži MN; c) nagibni ugao prave p. 2. Date su tačke A(A, OA 0 ), B(B, OB 0 ) i C(C, OC 0 ). Konstruisati projekciju a) težista T trougla ABC; b) centra O opisanog kruga trougla ABC. 3. Data je ravan α(a, A, OA 0 ), tačka S koja joj pripada i duž d. Nacrtati projekciju kruga k koji pripada ravni α, ima centar S, a poluprečnik mu je podudaran duži d. 4. Data je ravan α(a, A, OA 0 ). Konstruisati pravu p koja pripada ravni α, sadrži tačku A, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4. 5. Data je prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati ravan α koja sadrži pravu p, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6. Konstruisati zatim projekciju kvadrata ABCD koji pripada ravni α i čija je ivica AB podudarna datoj duži d. 6. Odrediti presek ravni α(a, A, OA 0 ) i β(b, B, OB 0 ) ako važi: i) a b = {P }; ii) a b. 7. Odrediti prodor prave p(p, A, OA 0 ) kroz ravan τ(t, M, OM 0 ). 8. Date su ravan τ(t, K, OK 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati normalu n iz tačke M na ravan τ. 9. Date su prava n(n, S, OS 0 ) i tačka K(K, OK 0 ). Konstruisati ravan τ koja sadrži tačku K i normalna je na pravu n. 10. Data je ravan α(a, A, OA 0 ) i tačka M(M, OM 0 ) koja joj ne pripada. Konstruisati trag ravni β koja sadrži tačku M i paralelna je sa α. 11. Date su mimoilazne prave p(p, A, OA 0 ) i q(q, B, OB 0 ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 12. Date su tri paralelne prave a(a, P, OP 0 ), b(b ) i c(c ). Konstruisati pravu s jednako udaljenu od ovih pravih. 13. a) Da je ravan τ(t, S OS 0 ). Konstruisati projekciju prave četvorostrane piramide ABCDV, čija je osnova ABCD paralelogram sa središtem S koji pripada ravni τ, a visina je jednaka datoj duži d. b) Konstruisati presek piramide i ravni α koja sadrži pravu t i središte visine piramide. 14. Data je tačka A(A, OA 0 ) i prava p(p, N, ON 0 ) koja ne sadrži tačku A. Konstruisati projekciju pravilnog oktadera ABCDEF ako je teme A data tačka, a ivica BC pripada pravoj p. 5

15. Data je ravan τ(t, M, OM 0 ) i tačka S(S, OS 0 ) van ravni τ. Predstaviti normalnu projekciju pravog valjka ako je tačka S središte osnove, τ tangentna ravan valjka i izvodnice valjka grade ugao od π 6 sa ravni slike π. Visina valjka je jednaka 3r, gde je r poluprečnik osnove. 16. (novembar 2005.) Metodom odstojanja normalnog projektovanja data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ako je teme A data tačka, dijagonalni presek BDD 1 B 1 pripada ravni τ, a prava BD sadrži M. 17. Data je tačka A(A, OA 0 ) i ravan τ(t, M, OM 0 ). Konstruisati projekciju tetraedra ABCD kome je teme A data tačka, pljosan BCD pripada ravni τ, a ivica BC zaklapa ugao od π 6 sa ravni π. 18. Data je tačka S(S, OS 0 ) i prava p(p, A, OA 0 ). Konstruisati projekciju prave kupe kojoj je središte osnove tačka S, jedna izvodnica kupe pripada pravoj p, a ugao izmedju visine kupe i izvodnice jednak π 6. Konstruisati zatim prodorne tačke prave r koja sadrži središte visine kupe i tačku P i kupe. 6

2.2 Metoda tragova i nedogleda 1. Date su tačka A na nosiocu p(p, P c ) i tačka B na nosiocu q(q, Q c ). Konstruisati trag i nedogled prave AB. 2. Date su ravni α(a, a c ) i β(b, b c ) takve da je a b. Odrediti projekciju presečne prave p ravni α i β. 3. Data je ravan α(a, a c ). Konstruisati pravu p koja pripada ravni α, sadrži tačku A, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 4. 4. Data je prava p(p, P c ). Konstruisati ravan α koja sadrži pravu p, a sa projekcijskom ravni π gradi ugao od π 6. 5. Kroz datu tačku A prave n(n, N c ) konstruisati ravan τ normalnu na pravu n. 6. Konstruisati ravan α koja sadrži datu pravu a(a, A c ) i normalna je na datu ravan τ(t, t c ). 7. Data je tačka S u ravni α(a, a c ). Odrediti projekciju kruga koji pripada ravni α, centar mu je data tačka S, a poluprečnik kruga je podudaran datoj duži d. 8. a) Da je ravan τ(t, t c ) i u njoj tačka S. Konstruisati projekciju prave četvorostrane piramide ABCDV, čija je osnova ABCD paralelogram sa središtem S koji pripada ravni τ, a visina je jednaka datoj duži d. b) Konstruisati presek piramide i ravni α koja sadrži pravu t i središte visine piramide. 9. Date su tačka M na nosiocu p(p, P ) c i tačka N na nosiocu q(q, Q c ). Odrediti projekciju tetraedra ABCD takvog da je tačka M središte duži AB, tačka N središte duži CD, a ivica CD gradi ugao od π 6 sa projekcijskom ravni π. 10. Data je ravan τ(t, t c ) koja gradi ugao od π 3 sa projekcijskom ravni i tačka A 1 na nosiocu p(p, P ), c A 1 τ. Konstruisati projekciju kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kojoj osnova ABCD pripada ravni τ, ivica AB je paralelna projekcijskoj ravni, a teme A 1 je data tačka. 11. (decembar 2005.) Metodom tragova i nedogleda data je ravan α(a, a C ) koja gradi ugao od 60 o sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekciju prave kupe čija osnova pripada ravni α i dodiruje ravan π, prečnik osnove jednak je poluprečniku kruga odstojanja i vrh V pripada ravni π. 12. (novembar 2005.) Metodom tragova i nedogleda centralnog projektovanja data je ravan τ(t, t c ) i tačka A 1 na nosiocu q(q, Q c ) van ravni τ. Konstruisati projekciju kose prizme ABCDEF A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 čija je osnova ABCDEF pravilan šestougao koji pripada ravni τ, teme A 1 je data tačka i prava AA 1 gradi ugao od π 3 sa ravni slike π. 7

13. Date su paralelne ravni α(a, a c ) i β(b). Odrediti projekciju valjka čije osnove pripadaju ravnima α i β, jedan krug osnove dodiruje projekcijsku ravan π, a prečnik osnove je jednak visini valjka. 14. Date je metodom tragova i nedogleda duž AB na pravoj p(p, P c ) koja zaklapa ugao od 60 stepeni sa projekcijskom ravni π. Konstruisati projekciju pravilnog oktaedra ABCDEF čija je jedna dijagonala da ta duž AB, a dijagonala CE je paralelna projekcijskoj ravni π. 15. Date su mimoilazne prave p(p, P c ) i q(q, Q c ). Odrediti zajedničku normalu n i rastojanje izmedju pravih p i q. 8