MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH Sažetak: U ovom radu je dat jedan novi dokaz poznate Ptolemejeve teoreme koristeći trigonometriju te dokaz Stjuartove teoreme pomoću Ptolemejeve teoreme i dva zadatka. Ključne riječi i izrazi: Ptolemejeva teorema, trigonometrija, tetivni četverougao, Stjuartova teorema, sinusna teorema, potencija tačke, zadaci. ANOTHER EVIDENE OF THE PTOLEMY'S THEOREM AND ITS SIGNIFIANT APPLIATION Abstract: In this paper we give one new proof of well known Ptolemy's theorem using the trigonometry, the proof of the Stewart's theorem by the aid of the Ptolemy's theorem and two problems. Kwy words and phrases: Ptolemy's theorem, trigonometry, the cyclic quadrilateral, Stewart's theorem, the law of sines, power of a point, the problems. AMS Subject classification (): 5M4, 97G4 ZDM Subject classification (): G4 U geometriji koja se odnosi na četverougao dobro je poznata Ptolemejeva teorema koja glasi: Proizvod dužina dijagonala tetivnog četverougla jedanak je zbiru proizvoda dužina naspramnih stranica tog četverougla. laudius Ptolemy (Klaúdios Ptolemaîos, laudius Ptolemaeus; oko. AD oko. 7), starogrčki geograf, astronom i matematičar.
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) Tri razna dokaza ove teoreme se mogu naći u *+, str. 7-84. No, mi ćemo sada dati još jedan dokaz koristeći trigonometriju. Dokaz: Posmatraćemo četverougao ABD upisan u krug k. Uzećemo da je (Slika ). poluprečnik tog kruga R, tj. prečnik R ne umanjujući opštost pri tome. D S k A BD S A O 4 B Slika. Neka su AD = i BD = 4. Koristeći poznatu činjenicu da su periferijski uglovi nad istim lukom (tetivom) jednaki, imamo sljedeće jednakosti: ABD =, AB =, BD = i DA = 4. Pošto je A + B + + D = 6, to sada dobijamo: tj.: 6, 4 4 8. () Primjenjujući sinusnu teoremu na trouglove AD, ABD, BA i DB, imamo: a odavde AD AB B R,, i sin sin sin AD sin, AB sin, B sin D sin, i sin4 4 D. () Na sličan način koristeći sinusnu teoremu dobijamo iz gore pomenutih trouglova:
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) a odavde: sin A A sin 4 i sin BD BD sin 4, i BD sin sin A sin sin 4 Sada ćemo dokazati da važi jednakost:. () 4 odnosno zbog () i (): ABD B AD A BD, (4) sin sin sin sin sin sin. (5) 4 4 4 Koristit ćemo sada poznate formule iz trigonometrije: sin sin4 cos 4 cos 4, sin sin cos cos, sin 4 sin 4 cos cos 4. Imamo, sada, iz trouglova ASD i SD : a odavde: te ASD = 8 ( + 4 ) i SD = 8 ( + ) cosasd = cos[8 ( + 4 )] = - cos( + 4 ) (6) cossd = cos[8 ( + ] = = - cos( + ) Nakon sabiranja (6) i (7) dobijamo: cos(8 - ASD) = - cos( + ) - cosasd = - cos( + ) (7) tj.: cos cos, 4 Sada imamo na osnovu ():. (8) cos cos 4 4 4 4 4 cos cos cos 8
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) cos cos 8 4 4 Jednakost (4) je sada ekvivalentna sa jednakošću: cos 4 cos 4 cos cos cos cos 4. (9) 4 4 cos cos 4 cos cos cos cos a odavde zbog (8) i (9):, što je tačno. cos cos cos cos, 4 4 Dakle, jedankost (5) je tačna, tj. jednakost (4) je tačna, čime je Ptolemejeva teorema dokazana. Koristeći Ptolemejevu teoremu, sada ćemo dokazati poznatu Stjuartovu teoremu koja glasi: Neka tačka D pripada stranici B trougla ΔAB i neka je m= DB,n= D i d = AD. Tada važi jednakost: a d +mn =b m+c n. Dokaz: Neka prava AD siječe kružnicu k opisanu trouglu A AB u tački P (Slika ). c d b k O B m D a n P Slika. Stjuart (Matthew Stewart, 77. - 785.), škotski matematičar 4
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) Uočimo slične trouglove BPD : AD i PD : ADB, odakle slijedi: odnosno BP A P AB i, BD AD D AD BP b m d i P c, tj.: n d bm BP i d cn P. () d Koristeći teoremu o potenciji tačke D u odnosu na krug k imamo: odnosno DP AD BD D, tj.: DPd m n mn DP. () d Primjenjujući Ptolemejevu teoremu na tetivni četverougao ABP dobijamo: a odavde na osnovu () i (): B AP A BP AB P, mn bm cn ad b c d d d a d mn b m c n. Napomena. U literaturi (npr. u []) nalazi se dokaz Stjuartove teoreme; najčešće se koristi Pitagorina teorema (više puta) i Karnoova teorema, a koji je nešto duži od ovog dokaza koga smo upravo predstavili. Na kraju ćemo dati i dva zanimljiva zadatka za čije rješavanje ćemo koristiri Ptolemejevu teoremu. Zadatak. Krug K prolazi kroz tjeme A paralelograma ABD i pri tome siječe poluprave AB, A i AD redom u tačkama B, i D. Dokazati da je tada: A A AB AB AD AD. Lazare Nicolas Marguerite, comte arnot (75 8), francuski matematičar 5
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) Rješenje: D D K O A B B Slika. Primjenom Ptolemejeve teoreme na tetivni četverougao AB D dobijamo da je (Slika ). A BD AB D AD B. () Trouglovi AB i B D su slični jer su uglovi BA i BD jednaki kao periferijski uglovi nad istim lukom B (tetivom B ), dok su uglovi AB i BD jednaki jer se i jedan i drugi sa uglom BAD dopunjavaju do 8. Iz navedene sličnosti trouglova slijedi proporcija: B D D B k A AB B BD k A; D kab; B k B. () Sada iz () i () slijedi: a odavde zbog B AD : A k A AB kab AD k B/ : k A A AB AB B AD, A A AB AB AD AD. Zadatak. U oštrouglom trouglu O od stranica a, b i c. Dokazati da važi nejednakost: AB su u,v i w rastojanja centra opisanog kruga r u v w R, gdje su R i r poluprečnici opisanog i upisanog kruga tog trougla. 6
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) Rješenje: Očigledno važi jednakost (Slika 4): odnosno a odavde P P P P, BO OA AOB AB au bv cw rs ; abc s. (4) au bv cw a b c r A b b a R M M v u O w c M c a B Slika 4. c Imamo da je MM (srednja linija trougla AB ) i O R (gdje je R poluprečnik opisanog kruga trougla AB ). Četverougao OMM je tetivni pa je na osnovu Ptolemejeve teoreme: odnosno tj.: OM M OM M MM O, b a c u v R, ubva cr. (5) Analogno, imamo sljedeće jednakosti: vc wb ar (6) i 7
MAT-KOL (Banja Luka), XXV()(9) wa uc br. (7) Sabirajući jednakosti (4), (5), (6) i (7), dobijamo jednakost abcu v wabcr r, a odavde nakon dijeljenja sa ab c: uvwr r. (8) Koristeći poznatu Ojlerovu nejednakost R r, (čijih se više dokaza može naći u *+, op.a.) iz nje slijede sljedeće nejednakosti: Rr r i R r R. (9) Sada iz (8) i (9) slijedi nejednakost: r u v w R, što je trebalo dokazati. Vrijedi jednakost ako i samo ako je R r, tj. kada je u pitanju jednakostranični trougao. LITERATURA []. Matematika za nadarene. Sarajevo: Bosanska riječ, 5. [] V. Blagojević. Teoreme i zadaci iz planimetrije, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, I. Sarajevo,. [] E. Specht. Geometria - scientiae atlantis, Otto-von-Guericke Universität, Magdeburg,. 8