dif_pol_2.key

Слични документи
4.1 The Concepts of Force and Mass

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Slide 1

Microsoft Word - 6ms001

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

I Koeficijent refleksije Površinski plazmoni II Valovodi Rezonantne šupljine Mikrovalna mjerenja #13 Raspršenje elektromagnetskih valova na kristalima

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

BS-predavanje-3-plinovi-krutine-tekucine

Microsoft Word - 24ms221

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

8. predavanje Vladimir Dananić 17. travnja Vladimir Dananić () 8. predavanje 17. travnja / 14

Analiticka geometrija

Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Cilj vježbe Određivanje specifičnog naboja elektrona Odrediti specifič

s2.dvi

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Impress

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Elektrijada_V2_2014_final.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

Toplinska i električna vodljivost metala

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

8. razred kriteriji pravi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

NAPREDNI FIZIČKI PRAKTIKUM 1 studij Matematika i fizika; smjer nastavnički SLOBODNO I PRISILNO TITRANJE

ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура,

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

Microsoft Word - 24ms241

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr

ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Ravno kretanje krutog tela

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.

Jednadžbe - ponavljanje

9. : , ( )

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

XIII. Hrvatski simpozij o nastavi fizike Ogib na pukotini: teorija i pokusi Velimir Labinac 1, Luka Zurak 1, Marin Karuza 1,2,3,4 1 Odjel za fiziku, S

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

4.1 The Concepts of Force and Mass

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Microsoft Word - Elektrijada_2008.doc

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

Natjecanje 2016.

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass

Динамика крутог тела

vjezbe-difrfv.dvi

Analiticka geometrija

48. РЕПУБЛИЧКО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ ФИЗИКЕ УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКЕ 2009/2010. ГОДИНЕ I РАЗРЕД Друштво Физичара Србије Министарство Просвете Републике Ср

Pitanja za pripremu i zadaci za izradu vježbi iz Praktikuma iz fizike 1 ili Praktikuma iz osnova fizike 1, I, A za profesorske

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 15ms261

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Određivanje relativne permitivnosti sredstva Cilj vježbe Određivanje r

Microsoft PowerPoint - 5. Predavanje-w2.pptx

gt3b.dvi

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

Microsoft PowerPoint - fizika2-kinematika2012

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft PowerPoint - fizika 9-oscilacije

ANALITIČKA GEOMETRIJA Željka Milin Šipuš i Mea Bombardelli verzija Uvod i povijesni osvrt Analitička geometrija bavi se proučavanjem (klasične)

UDŽBENIK 2. dio

Транскрипт:

Integrirani intenzitet

Položaj Intenzitet =??? Braggov zakon: d sinθ = nλ

Raspršenje na elektronu Kada rendgenska zraka padne na atom može se desiti: 1. apsorpcija zrake uz emisiju elektrona. raspršenje rendgenske zrake Razmatramo klasičnu teoriju raspršenja: - zraka je elektromagnetski val, s električnim vektorom koji se mijenja sinusuidalno u vremenu i okomit je na smjer propagacije - električno polje djeluje na elektrone u atomu i izaziva njihovo ubrzanje - ubrzani naboj emitira zračenje - ovo zračenje se širi u svim smjerovima i ima istu frekvenciju kao i upadno zračenje i naziva se raspršeno zračenje - u realnom eksperimentu, raspršeno zračenje sastoji se od zračenja koje ima istu frekvenciju kao i upadno, ali i zračenja koje ima različitu frekvenciju (Comptonovo raspršenje).

- elektron se nalazi u ishodištu - nepolarizirana zraka se širi u smjeru x - zanima nas intenzitet raspršenog zračenja u točki P - gledamo električni vektor E0 i zatim usrednjimo po svim smjerovima ε 0Y = E 0Y sin(πνt) ε 0Z = E 0Z sin(πνt) Sila koja djeluje na elektron: a Y = f Y m = ee 0Y m sin(πνt) akceleracija ( )! R! ε = µ q a! R! 0' 4π R 3 ε = µ 0 qasinα 4π R el. polje ε XY e E 0Y sin(πν t)cosϕ mr trenutni iznos električnog polja

Odnosno: ε XY = E XY sin(πν t) amplituda: E XY e E 0Y mr cosϕ u z-smjeru E Z e E 0Z mr E = E Z + E XY e4 m R ( E 0Z + E 0Y cos ϕ) rezultantna amplituda Gledamo usrednjene vrijednosti: E 0Y + E 0Z = E 0 Osi y i z su ekvivalentne: E 0Y = E 0Z = 1 E 0 E E 0 e 4 m R 1+ cos ϕ U eksperimentu se mjeri intenzitet (energija koja prolazi kroz jedinicu površine u jedinici vremena): I E

Thomsonova jednadžba za intenzitet raspršenja na jednom slobodnom elektronu: I I 0 e 4 m R 1+ cos ϕ polarizacijski faktor relativni intenzitet: I = µ 0 I 0 4π e 4 m R 1+ cos ϕ µ 0 4π e 4 m R = 10 7 Vs Am ( 1.6 10 19 As) 4 = ( 9.1 10 31 kg) R 30 7.9 10 m R na udaljenosti 10 cm od uzorka I I 0 10 7 1 mg uzorka sadrži 10 0 elektrona I I 0 10 7

Raspršenje na nekoliko centara centri raspršenja ε n = E n cos πνt π X n λ električno polje za svaki od raspršenih valova ε n = E n cos(πνt) cos(π X n λ) + E n sin(πνt) sin(π X n λ) točka promatranja E n cos π X n λ E n sin π X n λ = E cosϕ = E sinϕ Električno polje u točki P: ε = E cos( πνt)cosϕ + sin(πνt)sinϕ = E cos( πνt ϕ) U eksperimentu se mjeri intenzitet: I E E = E n cos π X n λ + E n sin π X n λ moramo izračunati!

Prelazimo na kompleksan zapis: ε n = E n e i πνt ( π X n λ ) ( e x = cos x isin x) ε n = e iπνt E n cos π X n λ ie n sin π X n λ zbroj po svim centrima raspršenja: ε = ε n = e iπνt E n cos π X n λ i E n sin π X n λ z = x + iy z = x iy množimo s kompleksno-konjugiranom vrijednošću: εε = E n cos π X n λ + E n sin π X n λ = E

Raspršenje na atomu elektroni upadni snop ishodište ε = E 0 cos πνt π X 1 λ trenutna vrijednost el. polja u upadnom snopu koje djeluje na elektron n točka promatranja trenutna vrijednost polja i faza raspršene zrake u P, nastale raspršenjem na elektronu n, dobiva se množenjem gornje jednadžbe s klasičnim faktorom za elektron i za cijeli put X1+X: ε n E 0 e cos πνt π mx λ X + X 1 ( ) aproksimacije: X R, X 1 + X r n s 0 + R r n s = R ( s s 0 ) r n ( ) ε E 0 e νt R λ mr eπi n ( e πi λ )( s s o ) r n zbroj trenutnih vrijednosti električnog polja u točki P

elektron razmazan u obliku difuznog oblaka negativnog naboja ρ = gustoća naboja izražena u elektronskim jedinicama ρdv = omjer naboja u volumenu dv i jediničnog naboja elektrona za svaki elektron vrijedi: ρ dv = 1 ( r n ρdv, na položajima r) ( ) ε e E 0 e νt R λ mr eπi ( e πi λ )( s s 0 ) r ρ dv vrijednost električnog polja za nemodificirano raspršenje na položaju R zbog električnog polja elektrona u atomu f e = ( e πi λ )( s s 0 ) r ρ dv faktor raspršenja po elektronu fe - amplituda nemodificiranog raspršenja po elektronu, izražena u elektronskim jedinicama ( s s 0 ) r = sinθ r cosϕ k = 4π sinθ λ f e = π r=0 ϕ=0 e ikr cosϕ ρ( r)π r sinϕ dϕ dr f e = 0 4πr ρ( r) sin(kr) dr kr

Za atom koji sadrži nekoliko elektrona, amplituda nemodificiranog raspršenja na atomu je jednostavno zbroj amplituda po elektronu: n n f = f en = 4π r ρ n r o ( ) sin(kr) kr dr f = atomski faktor raspršenja f = amplituda nemodificiranog raspršenja po atomu izražena u elektronskim jedinicama za računanje f dovoljno je poznavanje radijalne gustoće elektrona u atomu, ρ n ( r) n Z = broj elektrona 4π r ρ n ( r)dr = Z n 0 sinθ λ f Z

Atomski faktori raspršenja

Kristalne osi i recipročna rešetka Kristal je 3D ponavljanje nekog strukturnog motiva periodičnost je definirana s vektorima a1, a, a3 - vektori jedinične ćelije volumen definiran s tim vektorima je najmanji volumen koji svojim ponavljanjem daje kristal volumen jedinične ćelije V a = a 1 a a 3 Millerovi indeksi skup paralelnih ravnina, jedna prolazi kroz ishodište sljedeće odsjecaju odsječke a 1 h, a k, a 3 l hkl - Millerovi indeksi

Recipročni vektori b 1 = a a 3 a 1 a a 3, b = a 3 a 1 a 1 a a 3, b 3 = a 1 a a 1 a a 3 vektor bi je okomit na vektore bj i bk ai bi = 1, ai bj = 0 definiramo vektor H hkl = hb 1 + k b + l b 3 okomit je na ravnine (hkl) vrijedi d hkl = 1 H hkl Kada bismo nacrtali sve vektore Hhkl dobili bismo recipročnu rešetku! Braggov zakon u vektorskom obliku: jer je očito: s s 0 λ s s 0 λ = H hkl = sinθ λ = H hkl = 1 d hkl recipročna rešetka nam daje jednostavan grafički prikaz ispunjavanja Braggovog zakona. za skup ravnina (hkl) moramo nacrtati vektor Hhkl do točke hkl u recipročnoj rešetki. za određenu valnu dužinu tada se konstruira niz mogućih smjerova za primarne i difraktirane zrake koje zadovoljavaju jednadžbu

Ewaldova sfera refleksije konstruira se recipročna rešetka nacrta se vektor duljine 1/λ s krajem u ishodištu nacrta se sfera radijusa 1/λ čije središte se podudara s početkom vektora bilo koja točka recipročne rešetke hkl koja se nalazi na površini sfere predstavlja skup ravnina hkl koje zadovoljavaju Braggov zakon d hkl = f ( a 1,a,a 3,α 1,α 3,α 31,h,k,l) Formule za međumrežni razmak 1 Treba raspisati izraz = H hkl d hkl 1 = 1 { h a a 3 + k a 3 a 1 + l a 1 a } + hk( a a 3 ) a 3 a 1 d hkl V a + kl( a 3 a 1 ) ( a 1 a ) + lh( a 1 a ) ( a a 3 ). = ( hb 1 + k b + l b 3 ) ( hb 1 + k b + l b 3 ) ( ) 1 = d hkl 1 ( 1+ cosα cosβ cosγ cos α cos β cos γ ) h sin α + k sin β + l sin γ a b c + kl bc + hk ab ( cosα cosβ cosγ ). ( cosβ cosγ cosα ) + lh ( cosγ cosα cosβ ) ac

Formule za međumrežni razmak

Difrakcija u malom kristalu upadni snop λ, I0 kristal atom n Trenutna vrijednost električnog polja u P ε p E 0 e mr f cos πνt π n λ x + x 1 ( ) točka promatranja ε p E 0 e mr f { πνt ( π λ) R ( s s n ei 0 ) ( m 1 a 1 +m a +m 3 a 3 +r n ) } Rezultatno polje u P, zbog svih atoma, dobivamo sumacijom po n (svi atomi u jediničnoj ćeliji) a zatim preko svih m1mm3 da bismo obuhvatili sve ćelije. Pretpostavka: kristal ima oblik paralelopipeda sa stranicama N1a1, Na, N3a3 ε p E 0e νt ( R λ) mr eπi N 1 m =0 e ( πi λ )( s s 0 ) m a n N 3 1 m 3 =0 f n e ( πi λ ) s s 0 N 1 1 m 1 =0 ( ) r n e ( πi λ ) s s 0 e ( πi λ )( s s 0 ) m 3 a 3 ( ) m 1 a 1 F = n f n e ( πi λ )( s s 0 ) r n Strukturni faktor Atomski položaji pojavljuju se jedino u strukturnom faktoru!

Trenutna vrijednost polja u točki P je: ε p E 0 e mr eπi νt ( R λ) F e ( πi λ) ( s s 0 )N 1 a 1 1 e ( πi λ) ( s s 0 )a 1 1 e ( πi λ) s s 0 ( ) s s 0 e πi λ ( )N a 1 ( )a 1 e ( πi λ) s s 0 ( ) s s 0 e πi λ ( )N 3 a 3 1 ( )a 3 1 Kompleksno-konjugirana vrijednost je: ε p E 0 e mr e πi νt ( R λ) e ( πi λ) ( s s F 0 )N 1 a 1 1 e ( πi λ) ( s s 0 )a 1 1 e ( πi λ) s s 0 ( ) s s 0 e πi λ ( )N a 1 ( )a 1 e ( πi λ) s s 0 ( ) s s 0 e πi λ ( )N 3 a 3 1 ( )a 3 1. I umnožak: ε p ε p E 0e 4 sin ( π λ) ( s s 0 ) N 1 a 1 sin ( π λ) ( s s 0 ) N a m FF R sin ( π λ) ( s s 0 ) a 1 sin ( π λ) ( s s 0 ) a sin ( π λ) ( s s 0 ) N 3 a 3. sin π λ ( ) a 3 ( ) s s 0 Taj umnožak je jednak kvadratu amplitude polja, koja je proporcionalna intenzitetu Napomena: ovaj izvod vrijedi za polariziranu zraku. Kod nepolarizirane dolazi do pojave faktora cos θ. Zatim se izraz mora usrednjiti po svim smjerovima čime se pojavljuje polarizacijski faktor 1+ cos θ

Konačni izraz za intenzitet difraktirane zrake: ( I p = I e F sin π λ) ( s s 0 ) N 1 a 1 sin ( π λ) ( s s 0 ) N a sin ( π λ) ( s s 0 ) N 3 a 3, sin π λ ( ) a 1 sin π λ ( ) a sin π λ ( ) a 3 ( ) s s 0 ( ) s s 0 ( ) s s 0 I e I 0 e 4 m R 1+ cos θ Laueove jednadžbe vrijednost intenziteta uvelike ovisi o razlomcima oblika x i = ( π λ) ( s s 0 ) a i max : x = nπ y = sin (Nx) sin x intenzitet je svugdje skoro 0 osim gdje je x=nπ da bi to bilo ispunjeno: ( π λ) ( s s 0 ) a 1 = hπ ( π λ) ( s s 0 ) a = kπ π λ ( ) a 3 = lπ ( ) s s 0 ( s s 0 ) a 1 = hλ ( s s 0 ) a = kλ ( s s 0 ) a 3 = lλ

Strukturni faktor za Braggov maksimum strukturni faktor ovisi o položaju atoma u jediničnoj ćeliji zanima nas vrijednost strukturnog faktora za Braggov maksimum hkl xn, yn, zn su frakcijske koordinate rn=xna1+yna+zna3 F hkl = f n e πi ( hb 1+kb +lb 3 ) ( x n a 1 +y n a +z n a 3 ) = fn e πi ( hx n+ky n +lz n ) n ukoliko je Fhkl = 0 za neki hkl maksimum, intenzitet će biti jednak nuli na taj način saznajemo da li je rešetka bazno centrirana, plošno centrirana ili prostorno centrirana Primjer: fcc rešetka za svaki atom xnynzn postoje tri identična atoma s koordinatama x n + 1, y n + 1, z n ; x n + 1, y n, z n + 1 ; x n, y n + 1, z n + 1 n strukturni faktor je tada F hkl = f { n e πi ( hx n+ky n +lz n ) + e πi h x n+1 n 4 ( +k y n +1 +lz n ) + e πi ( h x n+1 +ky n +l z n +1 ) πi hx + e ( n +k y n +1 +l z n +1 ) }

Odnosno: F hkl = 1+ e ( πi ( h+k ) + e πi( h+l) + e πi( k+l) ) f n n 4 ( ) e πi hx n+ky n +lz n za svaki cijeli broj m vrijedi e im =(-1) m, odnosno ( ) hkl nemješovito F hkl = 4 f n e πi hx n+ky n +lz n n 4 hkl mješovito F hkl = 0 Za bcc rešetke vrijedi: h+k+l = paran broj F hkl = f n e πi hx n+ky n +lz n h+k+l = neparan broj n F hkl = 0 ( ) Za hcp rešetke vrijedi: h+k = 3n, l = paran h+k = 3n 1, l = neparan h+k = 3n 1, l = paran h+k = 3n, l = neparan F hkl = 4 f F hkl = 3 f F hkl = f F hkl = 0

Utjecaj temperaturnog titranja formule su bile izvedene uz fiksne položaje atoma pri povišenoj temperaturi atomi titraju oko svojih ravnotežnih položaja položaj atoma l sada opisujemo vektorom položaja R l = R l + δ l δl je trenutni pomak izazvan temperaturnim titranjem novi izraz za intenzitet je: ( ) s s 0 ( ) R l +δ l ( ) I = I e f l e πi λ f l l l e ( πi λ) ( s s 0 ) R U eksperimentu se opaža vremenski usrednjena vrijednost: ( ) l +δ l l l I = I e f l f l e ( πi λ) ( s s 0 ) R l R l ( ) e ( πi λ) s s 0 ( ) δ l δ l ( ) ( πi λ) ( s s 0 ) δ l = iku sl, k = 4π sinθ λ usl je komponenta od δl u smjeru s-s0 (u smjeru okomitom na skup difrakcijskih ravnina) prosječna vrijednost je: e ( πi λ) s s 0 ( ) δ l δ l ( ) = e ik ( u sl u s l ) za mali x ili x koji slijedu Gaussovu raspodjelu vrijedi: e ix = e ( 1 ) x e ik ( u sl u s l ) = e 1 ( ) = e 1 ( )k u sl u s l ( )k u sl e 1 ( )k u s l e k u sl u s l

Time izraz za intenzitet postaje: l l I = I e f l e M l f l e M l e ( πi λ) ( s s 0 ) R l R l ( ) + I e f l e M l f l e M l e ( πi λ) ( s s 0 ) ( R l R l ) { e k u sl u s l 1}. l l drugi član predstavlja difuzno raspršenje e ( 1 )k u sl = e M l, 1 e uveli smo skračenice time dobivamo: ( )k u s l = e M l ( I = I e F sin π λ) ( s s 0 ) N 1 a 1 sin ( π λ) ( s s 0 ) N a sin ( π λ) ( s s 0 ) N 3 a 3 T, sin π λ ( ) a 1 sin π λ ( ) a sin π λ ( ) a 3 ( ) s s 0 ( ) s s 0 ( ) s s 0 F T = n f n e M n ( eπi hx n+ky n +lz n ) često pišemo M = Bsin θ λ vrijedim = 16π u ( s sin θ ) λ smanjenje intenziteta postaje sve izraženije za visoke temperature (veliki us) i za maksimume s velikim sinθ ( ) λ

Integrirani intenzitet Jedinični kristal u realnim situacijama intenzitet nije izravno mjerljiva veličina difrakcijski maksimum uvijek ima određenu širinu pa je intenzitet raspršen stoga razmatramo integrirani intenzitet koji je mjerljiva veličina zraka zatvara Braggov kut za ravnine hkl jedinični kristal se rotira kutnom brzinom ω rotacija ide od 1- s jedne strane Braggovog kuta do 1- s druge strane na taj način se detektira ukupno difraktirano zračenje zanima nas ukupna difraktirana energija Ukupna difraktirana energija: E = I p dt da = I p dt R dβ dγ Kristal (ili snop) rotira brzinom ω, u vremenu dt će prijeći kut dα: dt = dα dω E = R ω I p dα dβ dγ

nakon nešto malo matematike E I 0 ω e 4 m λ 3 δvf T V a 1+ cos θ sin θ δv = volumen kristala, Va = volumen jedinične ćelije 1+ cos θ sin θ Lorentzov polarizacijski faktor za jedinični kristal Idealno nepravilan kristal kristali nikad nisu idealni gledamo na kristal kao skup mozaičnih blokova blokovi nastaju zbog npr. dislokacija ili granica među njima svaki blok daje difrakciju nekoherentnu u odnosu na druge gledamo volumen između z i z+dz broj blokova jea 0 dz δv sinθ apsorpscijski faktorexp µz sinθ μ = linearni koefcijent apsorpcije [ ]

Ukupna difraktirana energija: E I 0 ω e 4 m λ 3 δvf T V a 1+ cos θ sin θ Z=0 µz sinθ e A 0 dz δv sinθ snaga upadnog snopa P 0 = I 0 A 0 E P 0 ω e 4 m λ 3 F T µv a 1+ cos θ sin θ Polikristalni uzorak snop pada na uzorak koji sadrži veliki broj malih kristalita nasumičnih orijentacija za bilo koji skup ravnina (hkl) koje zatvaraju Braggov kut s upadnim snopom postoji nekoliko kristala koji ispunjavaju taj uvjet difraktirani snop zatvara kut Θ s upadnim snopom ali budući da može biti usmjeren u bilo koji položaj oko upadnog snopa, on opisuje plašt stošca čiji kut je 4Θ Bragg animacija

M = broj kristala u uzorku, δv = prosječan volumen kristala, ΘB = Braggov kut za ravnine hkl zanima nas broj kristala čije hkl ravnine zatvaraju kut između Θ+α i Θ+α+dα s upadnim snopom faktor multiplikacije mhkl pokazuje koliko postoji skupova ravnina (hkl) koje imaju isti d i F i zato su ekvivalentne multiplikacijski faktor dobiva se variranjem redoslijeda i predznaka indeksa hkl, a jednak je broju skupova ravnina s jednakim d i F vrijednost ovisi o hkl i simetriji kristala. npr. za kubni kristal Traženi broj kristala je: dm = Mm H 4π H π H cos( θ + α ) dα = Mm H cosθ dα Ukupna difraktirana snaga za maksimum hkl, s elementa površine da: P = I p Mm H cosθ dα R dβ dγ

Za snagu po jedinici dužine difrakcijske kružnice na udaljenosti R od ravnog uzorka, koji je simetričan u odnosu na upadni i difraktirani snop, vrijedi: P P 0 16π R e 4 m λ 3 m F H T µv a 1+ cos (θ) sinθ sin(θ) površine difrakcijskih maksimuma razmjerne su P