Matematika 2 za kemi are prvi kolokvij, 27. travnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisan

Транскрипт

1 Matematika 2 za kemi are prvi kolokvij, 27. travnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja prvih etiriju zadataka pi²ite i predajte odvojeno od rje²enja petog zadatka. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(14) Gaussovom metodom eliminacije odredite sva rje²enja (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 sustava x 3 + x 4 x 5 = 1 2x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 2x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 = 1. 2.(12) Zadane su matrice A := ( 0 0 ) , B := ( 1 0 ) Izra unajte det(a) det ( A 1 B ). 3.(22 = ) Zadan je linearan operator A : R 2 R 2, (a) Je li A bijekcija? Odgovor obrazloºite. A(x, y) := (y, x). (b) Dokaºite pomo u ranga da je (urežena) baza prostora R 2. f := ((4, 5), (1, 1)). (c) Odredite matricu operatora A s obzirom na bazu f. (d) Odredite spektar operatora A. 4.(12) Asistent Matko sastavio je etiri zadatka za drugi kolokvij iz Matematike 2. Prvi zadatak nosi dva puta vi²e bodova nego drugi, drugi nosi 2 boda manje nego tre i, tre i nosi tri puta manje bodova nego etvrti, a etvrti nosi dva puta vi²e bodova nego prvi. Koliko bodova nosi koji Matkov zadatak?

2 5.(20) Simetrija nekog poliedra je linearan operator s V 3 (0) u V 3 (0) sa svojstvom da nije mogu e razlikovati izgled poliedra prije i poslije njegova djelovanja na to ke poliedra (tj., na njihove radij-vektore). Linearni operator simetrije je pomak ako je determinanta odgovaraju e matrice pozitivna (drugim rije ima, pomaci ne zamjenjuju lijevo i desno). Primjerice, raznostrani ni kvadar posjeduje osam razli itih simetrija: jedini ni operator, centralnu simetriju, tri zrcaljenja i tri rotacije 2. reda. 1 Od tih osam simetrija, etiri su pomaci: jedini ni operator te sve tri rotacije. Za pravilnu peterostranu piramidu odaberite dvije njezine mežusobno razli ite netrivijalne 2 simetrije  i ˆB, tako da je  pomak, a ˆB to nije. Prikladno postavite koordinatni sustav (obavezno skicom ili rije ima objasnite kako je Va² koordinatni sustav postavljen u odnosu na piramidu) i s obzirom na njega odredite matrice operatora Â, ˆB,  1, ˆB 1,  ˆB. Koje su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori operatora  ˆB? 1 Rotacija je reda n ako se radi o rotaciji za n-ti dio punog kuta. 2 Simetrija je netrivijalna ako je razli ita od jedini nog operatora.

3 Matematika 2 za kemi are prvi kolokvij, 27. travnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisane tablice s formulama (nisu dopu²tene logaritamske tablice ni druge zbirke formula oblika knjiºica), pribor za pisanje. Ne e se bodovati ne itko pisani dijelovi testa. U slu aju utvrženog prepisivanja, ostvareni se bodovi pripisuju s negativnim predznakom. Rje²enja prvih etiriju zadataka pi²ite i predajte odvojeno od rje²enja petog zadatka. Kako bi se mogla denirati funkcija koja svim studentima pridruºuje postignute bodove na kolokviju, poºeljno je da se na predanim papirima nalazi Va²e ime i prezime i Va²a ²ifra! 1.(14) Gaussovom metodom eliminacije odredite sva rje²enja (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 sustava x 1 + x 3 x 5 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 2x 4 2x 5 = 1 x 2 + x 3 x 4 = 1. 2.(12) Zadane su matrice A := ( 1 2 ) , B := ( 0 0 ) Izra unajte det ( AB 1) det(b). 3.(22 = ) Zadan je linearan operator A : R 2 R 2, (a) Je li A bijekcija? Odgovor obrazloºite. (b) Dokaºite pomo u ranga da je (urežena) baza prostora R 2. A(x, y) := (x + y, 0). f := (( 2, 3), ( 1, 1)). (c) Odredite matricu operatora A s obzirom na bazu f. (d) Odredite spektar operatora A. 4.(12) Asistent Mate sastavio je etiri zadatka za drugi kolokvij iz Matematike 2. Prvi zadatak nosi tri puta manje bodova nego drugi, drugi nosi 6 bodova vi²e nego tre i, tre i nosi dva puta manje bodova nego etvrti, a etvrti nosi etiri puta vi²e bodova nego prvi. Koliko bodova nosi koji Matin zadatak?

4 5.(20) Simetrija nekog poliedra je linearan operator s V 3 (0) u V 3 (0) sa svojstvom da nije mogu e razlikovati izgled poliedra prije i poslije njegova djelovanja na to ke poliedra (tj., na njihove radij-vektore). Linearni operator simetrije je pomak ako je determinanta odgovaraju e matrice pozitivna (drugim rije ima, pomaci ne zamjenjuju lijevo i desno). Primjerice, raznostrani ni kvadar posjeduje osam razli itih simetrija: jedini ni operator, centralnu simetriju, tri zrcaljenja i tri rotacije 2. reda. 3 Od tih osam simetrija, etiri su pomaci: jedini ni operator te sve tri rotacije. Za pravilnu osmostranu prizmu odaberite dvije njezine mežusobno razli ite netrivijalne 4 simetrije  i ˆB, tako da je  pomak, a ˆB to nije. Prikladno postavite koordinatni sustav (obavezno skicom ili rije ima objasnite kako je Va² koordinatni sustav postavljen u odnosu na prizmu) i s obzirom na njega odredite matrice operatora Â, ˆB,  1, ˆB 1,  ˆB. Koje su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori operatora  ˆB? 3 Rotacija je reda n ako se radi o rotaciji za n-ti dio punog kuta. 4 Simetrija je netrivijalna ako je razli ita od jedini nog operatora.

5 Matematika 2 za kemi are prvi kolokvij, 27. travnja Instructions. You can use a calculator, a typeset or hand-written formulae sheet (booklets and logarithmic tables are not allowed), and writing utensils. The graders will ignore any illegible parts of the test. Please write on separate sheets of paper: your solution to Problems 14 your solution to Problem 5. Please write your rst name, surname, and identication code of the form K17*** on each sheet of paper that you turn in. 1.(14) Using Gaussian elimination, solve the following system of equations: x 3 + x 4 x 5 = 1 2x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 2x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 = 1. 2.(12) Let Compute A := ( 0 0 ) , B := det(a) det ( A 1 B ). ( 1 0 ) (22 = ) Let A : R 2 R 2, A(x, y) := (y, x). (a) Is the linear operator A bijective? Justify your answer. (b) Prove, using matrix rank, that is an (ordered) basis of R 2. f := ((4, 5), (1, 1)). (c) Determine the matrix of A with respect to the basis f. (d) Determine the spectrum of A. 4.(12) The teaching assistant Matko thought of four problems for the second midterm in Mathematics 2. The rst problem is worth twice as many points as the second problem, the second problem is worth 2 points less than the third problem, and the fourth problem is worth three times as many points as the third problem, and twice as many points as the rst problem. How many points is worth each of Matko's problems?

6 5.(20) A symmetry of a polyhedron is a linear operator A : V 3 (0) V 3 (0) such that the polyhedron looks the same before and after the action of A on its points (i.e., on their radius vectors). A symmetry is called a shift if the determinant of the corresponding matrix is positive (in other words, shifts do not dierentiate left from right). For example, a rectangular parallelepiped has eight dierent symmetries: the identity linear operator, the central symmetry, three reexions, and three rotations of second order. 5 Out of these eight symmetries, four are shifts: the identity operator and the three rotations. For a regular ve-sided pyramid, choose two of its non-trivial 6 symmetries,  and ˆB, such that  is a shift, and ˆB is not. Choose a suitable coordinate system (by a sketch or by words, explain how your coordinate system is positioned with respect to the pyramid), and with respect to this coordinate system, determine the matrices of operators Â, ˆB,  1, ˆB 1, and  ˆB. Determine the eigenvalues and eigenvectors of the operator  ˆB. 5 A rotation is of order n if it is a rotation for 360 /n. 6 A symmetry is non-trivial if it is not an identity operator.