Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Транскрипт

1 Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat koga čine trougaona linija i njena unutrašnjost. Trougao koji određuju nekolinearne tačke A, B, C obeležavamo sa ABC (čitamo: trougao a be ce ). Tačke A, B i C su temena ABC. Duži AB, BC i CA su stranice ABC. Uglovi ABC su CAB, ABC i BCA. Ove uglove često i nazivamo i unutrašnji uglovi trougla. Uobičajeno obeležavanje stranica ABC je da se: - stranica AB označava sa c (jer se nalazi naspram temena C); -stranica BC označava sa a (jer se nalazi naspram temena A); -stranica CA označava sa b (jer se nalazi naspram temena B). Uobičajeno obeležavanje uglova ABC je da se: - CAB označava sa α (tačka A je teme ugla α); - ABC označava sa β (tačka B je teme ugla β); - BCA označava sa γ (tačka C je teme ugla γ);

2 Vrste trouglova u zavisnosti od jednakosti stranica Trougao čije su dve stranice jednake naziva se jednakokraki trougao. Jednake stranice nazivaju se kraci trougla, a treća stranica osnovica tog trougla. Teme naspram osnovice nekog jednokrakog trougla naziva se vrh. Krake jednakokrakog trougla označavamo sa istim malim slovom letinice. b krak a - osnovica Trougao cije su sve stranice jednake naziva se jednakostraničan trougao.

3 Zbir uglova bilo kog trougla jednak je 180. Zbir uglova trougla Neka je ABC proizvoljan trougao. Postoji jedinstvena prava p koja sadrži tačku C i paralelna je sa pravom određenom tackama A i B. Označimo sa P i Q proizvoljne tačke prave p takve da je P C Q (C je iymeđu P i Q). Tada je PCA = α i BCQ = β, jer je p AB. Kako je PCA + ACB + BCQ = 180, zaključujemo da je α + β + γ = 180. Vrste trouglova u zavisnosti od veličine uglova Istaknimo dve jednostavne, ali značajne posledice tvrđenja o zbiru uglova u trouglu. Trougao može imati najviše jedan prav ugao. Ako bi trougao imao dva prava ulga, tada bi zbir svih njegovih uglova bio veći od 180, što je nemoguće. Na potpuno isti naćin dolazimo i do sledećeg zaključka.

4 Trougao može imati najviše jedan tup ugao. Dakle, u svakom trouglu bar dva ugla su oštra, a treći ugao može biti oštar, prav ili tup. Trougao je oštrougli ako su sva tri njegova ugla oštra. Trougao je pravougli ako je jedan njegov ugao prav (i, naravno, ostala dva ugla oštra). Stranica pravog trougla koja se nalazi naspram pravog ugla naziva se hipotenuza. Stranice pravog trougla koje se nalaze naspram oštrih uglova nazivaju se katete. Trougao je tupougli ako je jedan njegov ugao tup (i, naravno, ostala dva ugla oštra).

5 Spoljašnji uglovi trougla Spoljšnji ugao trougla je ugao uporedan sa nekim od uglova tog trougla. Pošto svakom uglu trougla odgovaraju dva uporedna ugla, biramo jedan od njih. Na slici desno od α, β, γ redom su označeni spoljašnji uglovi ABC koji su uporedni uglovima α, β, γ ovog trougla. Kako je α + α = 180, β + β = 180, γ + γ = 180 i α + β + γ = 180, zaključujemo da su tačne i sledeće jednakosti: α = 180 α = β + γ, β = 180 β = α + γ γ = 180 γ = α + β Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusedna ugla tog trougla. Do istog zaključka dolazimo na sledeči način. Evo kako možemo pokazati da je γ = α + β. Neka je Cp poluprava paralelna sa AB i D tačka na produžetku stranice AC takva da je A C D.

6 Spoljašnji ugao γ, tj. BCD, jednak je zbiru BCp i DCp. Kako je DCp = α i BCp = β, sledi da je γ = α + β. Zbir sva tri spoljašnja ugla u proizvoljnom trouglu jednak je 360. Uglovi trougla Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki. Svi uglovi jednakostraničnog trougla su jednaki 60. U jednakokrako-pravouglom trouglu oštri uglovi su jednaki 45. Naspram jednakih stranica nekog trougla nalaze se jednaki uglovi. Važi i obrnuto.

7 Naspram veće stranice trougla nalazi se veći ugao. Zašto je predhodno tvrđenje tačno za bilo koji trougao? Drugim rečima, možemo li doći do ovog zaključka bez merenja, već korišćenjem poznatih geometrijskih osobina? Naravno, odgovor je potvrdan i evo kako to radimo. Ako je ABC proizvoljan trougao takav da je CB > CA, tada na stranici AB postoji tačka D takva da je CA = CD. Tada je ACD jednakokrak, pa je CAD = CDA. Uporedimo ova dva ugla sa uglovima α i β datog trougla; CAD = α i CDA > β. Nejednakost sledi iz činjenice da je CDA spoljašnji ugao CBD čiji je jedan ugao jednak β. Dakle, β < CDA = CAD = α, to jest β < α. Naspram većeg ugla trougla nalazi se veća stranica. Osnovne nejednakosti za stranice trougla Svaka stranica trougla manja je od zbira druge dve stranice, a veća od njihove razlike. a b < c < a + b a c < b < a + c b c < a < b + c

8 Značajne tačke trougla Opisana kružnica Simetrale sve tri stranice trougla seku se u jednoj tački. Tačka u kojoj se seku simetrale stranica trougla podjednako je udaljena od svakog temena tog trougla. Sva tri temena nekog trougla pripadaju jednoj kružnici čiji je centar presek simetrala stranica tog trougla. Kružnica kojoj pripadaju sva tri temena trougla (čiji je centar presek simetrala njegovih stranica) naziva se OPISANA KRUŽNICA tog trougla. Ako je trougao oštrougli, centar njegove opisane kružnice pripada unutrašnjosti tog trougla. Ako je trougao tupougli, tada je centar njegove opisane kružnice u spoljašnjoj oblasti tog trougla. Središte hipotenuze je centar opisane kružnice pravouglog trougla.

9 Upisana kružnica Simetrale sva tri ugla trougla seku se u jednoj tački. Tačka u kojoj se seku simetrale uglova trougla podjednako je udaljena od svih stranica tog trougla. Kružnica čiji je centar presek simetrala uglova tog trougla dodiruje sve stranice tog trougla. Kružnica koja dodiruje sve tri stranice trougla (čiji je centar presek simetrala njegovih uglova) naziva se UPISANA KRUŽNICA tog trougla. Centar upisane kružnice bilo kog trougla pripada unutrašnjosti tog trougla.

10 Ortocentar Visina trougla (h a, h b, h c ) je duž čija je jedna krajnja tačka teme tog trougla, a druga podnožje normale iz tog temena na pravu na kojoj se nalazi naspramna stranica. ORTOCENTAR trougla je tačka u kojoj se seku sve tri prave određene visinama tog trougla. U zavisnosti od vrste trougla ortocentar trougla se može nalaziti na različitim mestima. Kod oštrouglog trougla ortocentar se nalazi u njegovoj unutrašnjosti. Kod pravouglog trougla ortocentar se nalazi u temenu pravog ugla. Kod tupouglog trougla ortocentar pripada spoljašnjosti tog trougla.

11 Težište Težišna duž trougla je duž čija je jedna krajnja tačka teme tog trougla, a druga srediste naspramne stranice. Svaki trougao ima tri težišne duži. TEŽIŠTE trougla je tačka u kojoj se seku sve tri težišne duži tog trougla. Težište trougla uvek pripada njegovoj unutrašnjosti.