Microsoft Word - Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.doc

Слични документи
1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE I, PRVI DIO - GRUPA A 24. listopada (i) Napi²ite formulu za determinantu i inverz op e matrice drugog reda, te nave

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

СТЕПЕН појам и особине

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE PRESEKA POPREČNOG PRESEKA GREDE PRIMERI

Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc

Microsoft Word - 12ms101

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - SVODJENJE NA I KVADRAT.doc

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

MatematikaRS_2.pdf

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

RASPORED PISMENIH ISPITA ZA ŠK. GODINU 2017./2018. RAZRED: 2.a, 2.c PREDMET IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. Hrvatski jezik RŠČ Dijelov

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

PROMENLJIVE, TIPOVI PROMENLJIVIH

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Microsoft Word - Integrali vi deo

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

MATEMATIKA IZVEDBENI GODIŠNJI NASTAVNI PLAN I PROGRAM MATEMATIKE OSNOVNA ŠKOLA, 2. razred šk. god Planirala: Višnja Špicar, učitelj RN

MARKOVLJEVI LANCI Prvi kolokvij 28. studenog Zadatak 1. (a) (5 bodova) Za Markovljev lanac (X n ) i njegovo stanje i S neka T (n) i u stanje i.

Microsoft Word - ADICIONE FORMULE.doc

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

UNIVERZITET U ZENICI

Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

RG_V_05_Transformacije 3D

Analiticka geometrija

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

untitled

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Planovi prijema za numeričke karakteristike kvaliteta

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Microsoft Word - vodic B - konacna

kolokvijum_resenja.dvi

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

s2.dvi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 9. 8:00 Időtartam: 240 perc Pótlapok

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Microsoft Word - 12ms121

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_javitasi_0911_szerb.doc

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

Algebarski izrazi (4. dio)

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

KORELISANOST REZULTATA MERENJA

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Jednadžbe - ponavljanje

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Gajo Vučinić

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (3)(2018), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) ZAŠTO K

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Teorija skupova - blog.sake.ba

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

AV3-OE2-stručni PRIJELAZNE POJAVE Dr.sc. Venco Ćorluka 3. PRIJELAZNE POJAVE 3.1.Prijelazne pojave u mreži s otporom i induktivitetom Serijski spoj otp

Microsoft Word - ELEMENTARNE FUNKCIJE.doc

Транскрипт:

Trgonometrjsk oblk kompleksnog broja Da se podsetmo: Kompleksn broj je oblka je realn deo, je magnarn deo kompleksnog broja, - je magnarna jednca, ( Dva kompleksna broja su jednaka ako je Za broj _ je konjugovano kompleksan broj. Modul kompleksnog broja je : Kompleksn brojev se predstavljaju u kompleksnoj ravn, gde je -osa realna osa, a -osa magnarna osa. Prmer Tačk A odgovara kompleksn broj. Tačka B odgovara kompleksnom broju -. Ako je dat kompleksan broj onda se njegov realn deo može apsat kao: r ϕ a magnarn r snϕ. To možemo vdet I sa slke: ϕ r snϕ r snϕ r ϕ r ϕ r ϕ arctg

Dakle, kompleksn broj je: r ϕ r sn ϕ, tj. r(ϕ sn ϕ Ovaj oblk se ove trgonometrjsk. Ovde je r- modul, odnosno: r, ugao ϕ se ove argument kompleksnog broja. Kako su sn perodčne funkcje kompleksn broj se može apsat I kao : r(( ϕ k sn( ϕ k k Z Prmer: Pretvort sledeće kompleksne brojeve u trgonometrjsk oblk: a b v g Rešenje: a Šta radmo? Najpre odredmo, nadjemo r trgonometrsk oblk: r(ϕ snϕ atm tg ϕ to amenmo u Dakle:, r ϕ 5 o Na slc prmećujemo da vrednost maju ugla : od 5 5

Zašto smo m uel ugao od Zadat kompleksn broj je 5? Vdmo da snus kosnus moraju bt potvn! a ako to poredmo sa r(ϕ snϕ Takva stuacja je u I kvadrantu dok su u III kvadrantu snus kosnus negatvn! r(ϕ snϕ ( sn Veano a ovaj prmer, pogledajmo recmo kompleksan broj Za njega je, r ( ( A a tangens dobjamo sto kao I a o 5 ϕ 5 Sad smo a ugao uel 5. Zašto? : Pogledajmo slku još jednom. U III kvadrantu su I snus I kosnus negatvn a to je ono što nam sad treba. ma trgonometrjsk oblk 5 5 ( sn Ovo je jedna od amk na koju treba da pate kod prebacvanja kompleksnog broja u trgonometrjsk oblk! b r

ϕ o r(ϕ snϕ ( sn Napomena: Za komleksn broj b umal ugao od v Pa: Ovo možemo apsat kao Dakle:, o ϕ 8 ϕ Zašto smo uel 8 stepen? Tangens ma vrednost a I 8 Al, pošto nam treba negatvan nus, umamo8 r ( r(ϕ sn ϕ ( sn sn Napomena: Da smo recmo prebacval u trgonometrjsk oblk, dobl b : je sn

g l, r ϕ r(ϕ snϕ sn Napomena: Da smo recmo mal da prebacmo mal b:, r ϕ Pa b blo je sn Pogledajmo slku: 5

Često se u adacma rad lakšeg rešavanja korst Ojlerova formula: e sn Prmer: Napsat brojeve: a b v - preko Ojlerove formule. Rešenje: Savet: Ovde uvek dodajte perodčnost! a tj,, r o ϕ r(( ϕ k sn( ϕ k (( k sn( k Dakle: k sn k, pa je amenom u e sn gde je k e k Z k b, r ϕ r(( ϕ k sn( ϕ k ( k sn( k Dakle ( k sn( k Pa je e k Z ( k

v ( - smo našl u prošlom prmeru: ( k sn( k ( Znač [ k sn( k ] e e k Z ( k (k Profesor često vole da ptaju decu da nadju vrednost Kada namo Ojlerov aps, to nje teško. U jednom prethodnom prmeru smo našl: e k Z ( k. Onda je: ( k ( e Znamo pravlo a stepenovanje ( m n mn a a e e k Z ( k ( k Znamo da je Ako umemo k, bće: e 7

Množenje deljenje kompleksnh brojeva u trgonometrjskom oblku Neka su data dva kompleksna broja u trgonometrjskom oblku: r (ϕ sn ϕ r (ϕ sn ϕ Onda je : r r r r [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] Prmer: Dat su kompleksn brojev: Nadj: ( sn ( sn a b Rešenje: a [ sn] [ ] b [ ] ( sn( ( sn( 8 ( sn( 8 ( sn( 8 8 8

Stepenovanje kompleksnog broja Neka je dat kompleksn broj r(ϕ snϕ. Onda je n n r (nϕ sn nϕ Ako kompleksn broj ma modul, tj. ako je r onda je: ϕ snϕ n nϕ snnϕ Moavrov obraac Prmer a Nadj 8 8 ako je ( sn b Nadj ako je Rešenja: a ( sn 8 8 ( sn 8 8 ( sn ( b ( Ovde moramo najpre prebact kompleksn broj u trgonometrjsk oblk. r ( ( o ϕ 9

Zašto ovaj ugao IV kvadranta? Zato što nam treba da je kosnus potvan a snus negatvan! Da je obrnuta stuacja, recmo a uel b ugao od stepen! odnos se na odnos se na sn Da se vratmo na adatak: r(ϕ sn ϕ (( sn( sn Pa: je parna a sn neparna funkcja Sad upotrebmo Moavrovu formulu: pa 8 sn sn (

Korenovanje kompleksnh brojeva: Neka je dat r(ϕ sn ϕ Tada je: ϕ n n ( k ϕ r sn k n n k- uma vrednost od do n-. Sve vrednost n-tog korena broja, nalae se na kružnc poluprečnka n r. Argument th brojeva (vrednost korena čne artmetčk n sa ralkom d. n Prmer Iračunat: a b Rešenja: a Kao što smo već vdel : sn Prmenom formule ϕ n n ( k ϕ r sn k gde je n mamo n n k k sn gde k uma vrednost: k,,

Za k o o o sn sn Za k sn 5 5 sn Za k sn 9 9 sn Geometrjsk gledano,,, o su temena jednakostrančnog trougla na kružnc poluprečnka r sa centrom u kompleksne ravn! - -

b sn,ϕ r,,,,,5 sn k k k Za k sn o Za k sn sn Za k 5 sn 5 sn Za k 7 sn 7 sn Za k 9 sn 9 8 sn 8

Za k5 5 5 sn sn Geometrjsk gledano, o,...,5 su temena pravlnog šestougla! - 5 -