Trgonometrjsk oblk kompleksnog broja Da se podsetmo: Kompleksn broj je oblka je realn deo, je magnarn deo kompleksnog broja, - je magnarna jednca, ( Dva kompleksna broja su jednaka ako je Za broj _ je konjugovano kompleksan broj. Modul kompleksnog broja je : Kompleksn brojev se predstavljaju u kompleksnoj ravn, gde je -osa realna osa, a -osa magnarna osa. Prmer Tačk A odgovara kompleksn broj. Tačka B odgovara kompleksnom broju -. Ako je dat kompleksan broj onda se njegov realn deo može apsat kao: r ϕ a magnarn r snϕ. To možemo vdet I sa slke: ϕ r snϕ r snϕ r ϕ r ϕ r ϕ arctg
Dakle, kompleksn broj je: r ϕ r sn ϕ, tj. r(ϕ sn ϕ Ovaj oblk se ove trgonometrjsk. Ovde je r- modul, odnosno: r, ugao ϕ se ove argument kompleksnog broja. Kako su sn perodčne funkcje kompleksn broj se može apsat I kao : r(( ϕ k sn( ϕ k k Z Prmer: Pretvort sledeće kompleksne brojeve u trgonometrjsk oblk: a b v g Rešenje: a Šta radmo? Najpre odredmo, nadjemo r trgonometrsk oblk: r(ϕ snϕ atm tg ϕ to amenmo u Dakle:, r ϕ 5 o Na slc prmećujemo da vrednost maju ugla : od 5 5
Zašto smo m uel ugao od Zadat kompleksn broj je 5? Vdmo da snus kosnus moraju bt potvn! a ako to poredmo sa r(ϕ snϕ Takva stuacja je u I kvadrantu dok su u III kvadrantu snus kosnus negatvn! r(ϕ snϕ ( sn Veano a ovaj prmer, pogledajmo recmo kompleksan broj Za njega je, r ( ( A a tangens dobjamo sto kao I a o 5 ϕ 5 Sad smo a ugao uel 5. Zašto? : Pogledajmo slku još jednom. U III kvadrantu su I snus I kosnus negatvn a to je ono što nam sad treba. ma trgonometrjsk oblk 5 5 ( sn Ovo je jedna od amk na koju treba da pate kod prebacvanja kompleksnog broja u trgonometrjsk oblk! b r
ϕ o r(ϕ snϕ ( sn Napomena: Za komleksn broj b umal ugao od v Pa: Ovo možemo apsat kao Dakle:, o ϕ 8 ϕ Zašto smo uel 8 stepen? Tangens ma vrednost a I 8 Al, pošto nam treba negatvan nus, umamo8 r ( r(ϕ sn ϕ ( sn sn Napomena: Da smo recmo prebacval u trgonometrjsk oblk, dobl b : je sn
g l, r ϕ r(ϕ snϕ sn Napomena: Da smo recmo mal da prebacmo mal b:, r ϕ Pa b blo je sn Pogledajmo slku: 5
Često se u adacma rad lakšeg rešavanja korst Ojlerova formula: e sn Prmer: Napsat brojeve: a b v - preko Ojlerove formule. Rešenje: Savet: Ovde uvek dodajte perodčnost! a tj,, r o ϕ r(( ϕ k sn( ϕ k (( k sn( k Dakle: k sn k, pa je amenom u e sn gde je k e k Z k b, r ϕ r(( ϕ k sn( ϕ k ( k sn( k Dakle ( k sn( k Pa je e k Z ( k
v ( - smo našl u prošlom prmeru: ( k sn( k ( Znač [ k sn( k ] e e k Z ( k (k Profesor često vole da ptaju decu da nadju vrednost Kada namo Ojlerov aps, to nje teško. U jednom prethodnom prmeru smo našl: e k Z ( k. Onda je: ( k ( e Znamo pravlo a stepenovanje ( m n mn a a e e k Z ( k ( k Znamo da je Ako umemo k, bće: e 7
Množenje deljenje kompleksnh brojeva u trgonometrjskom oblku Neka su data dva kompleksna broja u trgonometrjskom oblku: r (ϕ sn ϕ r (ϕ sn ϕ Onda je : r r r r [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] [ ( ϕ ϕ sn( ϕ ϕ ] Prmer: Dat su kompleksn brojev: Nadj: ( sn ( sn a b Rešenje: a [ sn] [ ] b [ ] ( sn( ( sn( 8 ( sn( 8 ( sn( 8 8 8
Stepenovanje kompleksnog broja Neka je dat kompleksn broj r(ϕ snϕ. Onda je n n r (nϕ sn nϕ Ako kompleksn broj ma modul, tj. ako je r onda je: ϕ snϕ n nϕ snnϕ Moavrov obraac Prmer a Nadj 8 8 ako je ( sn b Nadj ako je Rešenja: a ( sn 8 8 ( sn 8 8 ( sn ( b ( Ovde moramo najpre prebact kompleksn broj u trgonometrjsk oblk. r ( ( o ϕ 9
Zašto ovaj ugao IV kvadranta? Zato što nam treba da je kosnus potvan a snus negatvan! Da je obrnuta stuacja, recmo a uel b ugao od stepen! odnos se na odnos se na sn Da se vratmo na adatak: r(ϕ sn ϕ (( sn( sn Pa: je parna a sn neparna funkcja Sad upotrebmo Moavrovu formulu: pa 8 sn sn (
Korenovanje kompleksnh brojeva: Neka je dat r(ϕ sn ϕ Tada je: ϕ n n ( k ϕ r sn k n n k- uma vrednost od do n-. Sve vrednost n-tog korena broja, nalae se na kružnc poluprečnka n r. Argument th brojeva (vrednost korena čne artmetčk n sa ralkom d. n Prmer Iračunat: a b Rešenja: a Kao što smo već vdel : sn Prmenom formule ϕ n n ( k ϕ r sn k gde je n mamo n n k k sn gde k uma vrednost: k,,
Za k o o o sn sn Za k sn 5 5 sn Za k sn 9 9 sn Geometrjsk gledano,,, o su temena jednakostrančnog trougla na kružnc poluprečnka r sa centrom u kompleksne ravn! - -
b sn,ϕ r,,,,,5 sn k k k Za k sn o Za k sn sn Za k 5 sn 5 sn Za k 7 sn 7 sn Za k 9 sn 9 8 sn 8
Za k5 5 5 sn sn Geometrjsk gledano, o,...,5 su temena pravlnog šestougla! - 5 -