Particije prirodnog broja druga-0. verzija: 7..03. Duxan uki Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodnih brojeva, pri qemu je redosled sabiraka nebitan. Sa p(n) oznaqavamo broj particija n. Na primer, 4 = 3 + = + = + + = + + + ; zato je p(4) = 5. Obiqno se dodefinixe p(0) =. Particija se qesto predstavlja grafiqki Fererovim dijagramom; na primer predstavlja particiju 5 + broja 7, gde broj taqaka u vrsti odgovara jednom sabirku; isti primer moжe da se qita i po kolonama, kao particija + + + + broja 7. Za dve ovako povezane particije kaжemo da su konjugovane. Neke teoreme o particijama odmah slede iz grafiqkih predstavljanja. Teorema. Broj particija n na najvixe k sabiraka jednak je broju particija n na sabirke ne ve e od k. Dokaz. Konjugovanjem particije na najvixe k sabiraka dobija se particija na sabirke ne ve e od k, qime je uspostavljena bijekcija između ova dva tipa particija. Funkcije generatrise Funkcije generatrise u obliku stepenih redova su jedno od najvaжnijih oruđa u izuqavanju particija. Funkcija generatrisa niza p(n) je F (x) = p(n)x n = ( x)( x )( x 3 ). () Kako dolazimo do ovog izraza? Posmatrajmo particiju broja n u kojoj ima k i sabiraka jednakih i (i N): n = k + k + 3k 3 +. Ova particija doprinosi koeficijentu uz x n u proizvodu F (x) = ( + x + x + )( + x + x 4 + )( + x 3 + x 6 + ) sa, i to kao sabirak x k x k x 3k3 u razvoju ovog proizvoda. Treba imati u vidu da su beskonaqni zbir i proizvod u () konvergentni samo za x <. Primer. Generatrisa za broj particija na neparne sabirke je ( x)( x 3 )( x 5 ) ; Generatrisa za broj particija u najvixe t sabiraka (ili u sabirke ne ve e od t) je G t (x) = ( x)( x ) ( x t ).
Mnoga tvrđenja o particijama imaju i kombinatorne i algebarske dokaze. Primer. Dokazati da je broj particija broja n bez sabiraka jednakih jednak p(n) p(n ). Dokaz. Imamo jednostavnu bijekciju između particija broja n u kojim se pojavljuje sabirak i svih particija broja n (brisanje sabirka ). Dakle, među p(n) particija broja n, u taqno p(n ) njih se pojavljuje jedinica. Dokaz. Taj broj je jednak koeficijentu uz x n u proizvodu ( x )( x 3 )( x 4 ) = ( x)f (x) = + n= (p(n) p(n ))xn, a on je jednak p(n) p(n ). Međutim, nije uvek svejedno koji emo pristup da odaberemo. Na primer, slede e tvrđenje ima jednostavan algebarski dokaz, dok je kombinatorni teжi - videti zadatke. Teorema. Broj particija n na razliqite sabirke je jednak broju particija na neparne sabirke. Dokaz. Broj particija na razliqite sabirke i broj particija na neparne sabirke generisani su funkcijama F (x) = ( + x)( + x )( + x 3 ) i F (x) = Ako F prepixemo kao F (x) = x a ono xto ostaje je upravo F (x). x x4 x x6 ( x)( x 3 )( x 5 ). x 3, svi faktori ( x k ) se skra uju, 3 Neki algebarski identiteti Dokaz slede e Ojlerove formule za F (x) je dobar primer primene kombinatorike u algebarskim identitetima. x n Teorema 3. F (x) = ( x) ( x ) ( x n ). (Sabirak za n = 0 je po konvenciji jednak.) Dokaz. U grafiqkom predstavljanju particije, posmatrajmo najve i kvadrat koji formiraju taqke u gornjem levom uglu. Npr. na donjem dijagramu (8 = 6 + 5 + 5 + ) to je 3 3 kvadrat. Tada se slika sastoji od kvadrata sa t taqaka i dva repa koji predstavljaju particije nekih brojeva r i s na po najvixe t sabiraka, pri qemu je r + s = n t (na naxoj slici je r =, s = 7 i t = 3). Brojevi particija r i s na po najvixe t sabiraka su redom koeficijenti uz x r i x s u G t (x). Sabiranjem po svim r, s sa r + s = n t sledi da je broj particija broja n sa datim t jednak koeficijentu uz x n t u G t (x), tj. koeficijentu uz x n u x t G t (x) = x t ( x) ( x ) ( x t ). Sabiranjem ovih izraza po svim t zakljuqujemo da je koeficijent uz x n u t xt G t (x) jednak p(n) za sve n, dakle t xt G t (x) = F (x).
Slede a dva identiteta su Ojlerovo delo: ( + x)( + x 3 )( + x 5 x n ) = ( x )( x 4 ) ( x n i ) ( + x )( + x 4 )( + x 6 x n +n ) = ( x )( x 4 ) ( x n ). U svom dokazu, Ojler je uveo drugi parametar a. Naime, oba ova identiteta su direktne posledice slede eg, za a = i a = x redom. Teorema 4. ( + ax n+ x n a n ) = ( x ) ( x n ). Dokaz. Uvedimo drugi parametar a i posmatrajmo K(a, x) = ( + ax)( + ax 3 )( + ax 5 ) = + c (x)a + c (x)a +. Kako je K(a, x) = (+ax)k(ax, x), izjednaqavanje koeficijenata daje c m = c m x m + c m x m za sve m (gde je c 0 = ), pa indukcijom dobijamo c m = x m ( x )( x 4 ) ( x m ). I slede e tvrđenje se dokazuje na isti naqin (dokaжite!): Teorema 5. Po teoremi 4 imamo + ax n+ = ( ) n x n a n ( x ) ( x n ). K(z, x) = F (x ) x n z n ( x n++j ). (Primetimo da smo sumu dopunili negativnim indeksima n: naime, za n < 0 odgovaraju i sabirak je nula.) Dalje, primena teoreme 4 za a = x n+, pa onda zamena mesta sumama po m i n, daju j=0 K(z, x) F (x ) = = x n z n ( ) m x m +m+nm ( x ) ( x m ) ( ) m x m z m ( x ) ( x m x (n+m) z n+m = ) + x j+ z j=0 x n z n, pri qemu poslednja jednakost sledi iz teoreme 5 za z = a. Ovako smo pokazali tzv. Jakobijev identitet o trostrukom proizvodu: Teorema 6. Za x < i z 0 vaжi ( x n )( + x n z) ( + x n z ) = n= Specijalno, zamenjuju i x i z sa x 3/ i x / dobijamo: x n z n. Teorema 7. F (x) = ( x n ) = n= ( ) n x n(3n+) = x x + x 5 + x 7 x x 5 + 3
Teorema 7 ima lepu kombinatornu interpretaciju. Koeficijent uz x n u proizvodu ( x)( x )( x 3 ) je jednak sumi ( ) a(π) po svim particijama π broja n na razliqite sabirke, gde je a(π) broj sabiraka u π; dakle, on je jednak E(n) O(n), gde E(n) oznaqava broj particija n na paran broj razliqitih sabiraka, a O(n) na neparan broj razliqitih sabiraka. Prema tome, Teorema 8. Za n = k(3k±) je E(n) O(n) = ( ) k ; u suprotnom je E(n) = O(n). Ovo tvrđenje ima i qisto kombinatorni dokaz. Naime, skoro svakoj particiji sa parnim brojem razliqitih sabiraka moжemo da pridruжimo drugu sa neparnim brojem razliqitih sabiraka (i obrnuto) na slede i naqin: () ako je krajnja desna dijagonala kra a za bar od krajnje donje vrste, prebacimo je ispod te vrste; () u suprotnom, primenimo inverzno preslikavanje. 7 + 6 6 + 5 + n = Međutim, za n = k(3k±) jedna particija ne odgovara nijednoj drugoj: to je particija k(3k ) = (k ) + + (k + ) + k, odnosno n = k(3k + ) = k + + (k + ) + (k + ). U tim sluqajevima je E(n) O(n) = ( ) k. Na slici su prikazane ove particije za n = i n = 5 (u oba sluqaja je k = 3): 5 + 4 + 3 6 + 5 + 4 U svakom drugom sluqaju korespondencija je dobro definisana, te je tada E(n) = O(n). Zamenjuju i x i z sa x / i x / z u Jakobijevom identitetu dobijamo ( + z ) ( x n )( + x n z)( + x n z ) = n= xto nakon deljenja sa + z postaje ( x n )( + x n z)( + x n z ) = n= (z m + z m )x m(m+), x m(m+) z m ( z + z + z m ). Poxto obe strane za x < ravnomerno konvergiraju po z u intervalu (, 0), puxtanjem z dobijamo jox jedan poznat Jakobijev identitet: Teorema 9. ( x n ) 3 = n= ( ) m (m + )x m(m+). 4
4 Rekurentne relacije Najpoznatija rekurentna jednaqina za p(n) je slede a, Ojlerova. Izjednaqavanje koeficijenata u F (x)( x x + x 5 + x 7 ) = (teorema 7) daje p(n) = p(n ) + p(n ) p(n 5) p(n 7) + p(n ) + p(n 5), n >. Ovde su,, 5, 7,, 5,... brojevi oblika k(3k±). Slede a zanimljiva rekurentna relacija je manje pogodna za taqno izraqunavanje vrednosti p(n) za velike n, ali je od pomo i u određivanju njenog reda veliqine. Uzimaju i logaritamske izvode obe strane u () dobijamo n= np(n)xn p(n)xn = i= ix i x i. Upoređivanje koeficijenata uz x n nam daje n np(n) = σ(i)p(n i), gde je σ(i) zbir delilaca broja i. i= 5 Malo o asimptotskom i aritmetiqkom ponaxanju p(n) Hardi i Ramanu an su dokazali asimptotsku formulu p(n) eπ n/3 4n 3. Kasnije je Rademaher dobio taqnu formulu za p(n) u obliku konvergentnog beskonaqnog reda: p(n) = π 3 A k u k cosh u k sinh u k 3 k 5/ u 3, k= k gde je u k = π k n 3 4 i A k = k ({ } j hj exp iπ ) iπhn. k k k h k (h,k)= Uprkos jednostavnoj definiciji p(n), o njihovim aritmetiqkim svojstvima se zna relativno malo. Najjednostavnije aritmetiqko svojstvo je dao Ramanu an: 5 p(5m + 4), 7 p(7m + 5) i p(m + 6) za sve cele m 0. On je takođe naveo identitete iz kojih prve dve relacije odmah slede, mada nije naveo dokaze: p(5k + 4)x k = 5F (x5 ) 5 F (x) 6 ; k=0 k=0 j= p(7k + 5)x k = 7F (x7 ) 3 F (x) 4 + 49xF (x7 ) 7 F (x) 8. Zapravo, poznate su kongruencije ove vrste po svakom modulu - izuzev onih deljivih sa ili 3! 5
6 Zadaci. Dokazati da je broj particija prirodnog broja n u kojima se svaki paran sabirak pojavljuje najvixe jednom jednak broju particija n u kojima se svaki sabirak pojavljuje najvixe tri puta. Rexenje. Funkcija generatrisa za prvi tip particija je g (x) = ( + x k + x k + x 3k + ) ( + x k ) = ( + x )( + x 4 )( + x 6 ) ( x)( x 3 )( x 5 ) k k Zaista, za neparno k, sabirci jednak k odgovaraju qiniocu ( + x k + x k + x 3k + ), dok za parno k oni odgovaraju qiniocu ( + x k ). Funkcija generatrisa za drugi tip particija je g (x) = ( + x + x + x 3 )( + x + x 4 + x 6 )( + x 3 + x 6 + x 9 ) = Iz teoreme sledi da je g (x) = g (x). ( + x k )( + x k ).. Dokazati Glejxerovu teoremu: broj particija n na sabirke koji nisu deljivi sa d jednak je broju particija u kojima se nijedan sabirak ne pojavljuje d ili vixe puta. Rexenje. Broj particija u kojima sabirci nisu deljivi sa d generisan je funkcijom g(x) = d n x. n S druge strane, funkcija generatrisa za broj particija u kojima se svaki sabirak pojavljuje najvixe d puta je n= ( + xn + + x (d )n ) = n= xd n x xto je nakon n skra ivanja brojioca taqno jednako g(x). Napomena. Uporediti sa teoremom. 3. Dati kombinatorni dokaz teoreme, tj. konstruisati bijekciju između dva tipa particija. Rexenje. Posmatrajmo particiju n = n + n + + n k broja n na razliqite sabirke. Svaki sabirak n i se moжe napisati u obliku ri m i, gde je r i nenegativan ceo i m i neparan broj. Grupisanjem po neparnom delu m i dobijamo n = r i m i = k m m, gde je k m = r i. i m m i =m Desna strana u ovom izrazu predstavlja particiju n na neparne sabirke (k m sabiraka jednakih m), qime je uspostavljena bijekcija kakva nam treba (dokaжite!). Na primer, particiji 3 = 0 + 6 + 5 + 4 + + na razliqite odgovara particija 3 = 5+5+5+3+3+++++++ na neparne sabirke, jer je 0+6+5+4++ = 5 + 3 + 5 + + + = ( + + ) + 3 + ( + ) 5 = 7 + 3 + 3 5. 4. Dokazati da je broj samokonjugovanih particija broja n jednak broju onih particija n u kojima su svi sabirci neparni i razliqiti. Rexenje. Slika prikazuje bijekciju između ova dva tipa particija. Detalje prepuxtamo vama. k= 5 + 5 + 4 + 4 + 9 + 7 + 3 + 6