Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22
Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
Ime s obzirom na karakteristike 1 konusni presek (konika) kriva u preseku konusa i ravni u raznim položajima 2 kvadratna kriva jednačina A + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 3 kriva drugog reda sa pravom može da ima najviše dve presečne tačke Konusne preseke koristimo da opišemo kretanje nebeskih tela, kretanje elektrona u atomu, u optici opisuju oblik sočiva i ogledala... Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 2 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 0 Kružnica Definicija. Neka je u ravni data tačka C. Kružnica je skup tačaka u ravni takvih da im je rastojanje od date tačke C konstantno i iznosi r, r > 0. Data tačka C se naziva centar kružnice, a dato rastojanje r je poluprečnik kružnice. Podsetimo se d(t, 0) = + y 2 = r + y 2 = r 2 d(t, C) = (x h) 2 + (y k) 2 = r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 3 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika U nastavku, pretpostavimo da F / d. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika U nastavku, pretpostavimo da F / d. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. U nastavku, pretpostavimo da F / d. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
Kanonske jednačine konusnih preseka 1 Parabola Definicija. Neka su date prava d i tačka F u ravni. Skup tačaka u ravni koje se nalaze na jednakom rastojanju od date prave d i date tačke F naziva se parabola. Tačka F zove se fokus, a prava d direktrisa parabole. U nastavku, pretpostavimo da F / d. Specijalno, ako tačka F pripada pravoj d (odnosno, F d) za opisani skup tačaka dobijamo da je prava koja je normalna na d u tački F (degenerisanu parabolu, izobličenu, odro denu) slika Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 4 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F(0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Koordinatni sistem podesimo tako da je fokus F (0, c), a direktrisa d : y = c Neka je P(x, y) proizvoljna tačka sa parabole. Označimo sa Q projekciju tačke P na direktrisu d. Jasno, važi Q(x, c). Tada d(p, F) = d(p, Q) (x 0) 2 + (y c) 2 = (x x) 2 + (y + c) 2 + y 2 2yc + c 2 = y 2 + 2yc + c 2 = 4yc y = 1 4c kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na y osu Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 5 / 22
Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
Kanonska jednačina parabole Primetimo da je na prethodnom crtežu korišćeno da je c > 0; za c < 0 samo se crtež, odnosno usmerenje parabole menja, a kanonska jednačina parabole simetrične u odnosu na y osu ostaje y = 1 4c c > 0 c < 0 osa parabole osa simetrije parabole (sada, y osa) teme parabole presek parabole sa njenom osom (sada, T(0,0)) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 6 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole kanonska jednačina centrirane parabole simetrične u odnosu na x osu se dobija na potpuno analogan načina neka je direktrisa d : x = c i fokus F (c, 0) (na slici c > 0) projekcija proizvoljne tačke P(x, y) sa parabole na direktrisu je Q( c, y) i važi d(p, F) = d(p, Q) (x c) 2 + (y 0) 2 = (x + c) 2 + (y y) 2 2xc + c 2 + y 2 = + 2xc + c 2 y 2 = 4xc x = 1 4c y 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 7 / 22
Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
Kanonska jednačina parabole ako je c < 0 jednačina parabole simetrične u odnosu na x osu ostaje x = 1 4c y 2 me dutim, grafik parabole je obrnuto usmeren osa simetrije posmatrane parabole je x osa teme parabole je T (0, 0) Primer 3.1 Za parabolu y 2 = 10x odrediti direktrisu, fokus, osu simetrije i teme, te je na kraju i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 8 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Jednačina parabole translirane tako da joj je teme T (x 0, y 0 ) krenemo od parabole, npr. v = 1 4c u2, c > 0 pomerimo je na "desno" za x 0 zatim na "gore" za y 0 Tada, za tačku P(x, y) sa translirane parabole u odnosu na odgovarajuću tačku P (u, v) sa centrirane parabole važi: nove koordinate (x, y) stare kordinate (u, v) x = u + x 0 u = x x 0 y = v + y 0 v = y y 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 9 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina parabole Za početnu (centriranu) parabolu važi: jednačina je fokus je v = 1 4c u2 F (0, c) direktrisa je d : v = c teme je T (0, 0) simetrična je u odnosu na pravu u = 0 Tada, translirana parabola (sa temenom u T (x 0, y 0 )) zadovoljava: jednačina je y y 0 = 1 4c (x x 0) 2 fokus je F(x 0, y 0 + c) direktrisa je d : y y 0 = c teme je T (x 0, y 0 ) simetrična je u odnosu na pravu x x 0 = 0: osa je x = x 0 Primer 3.2 Odrediti fokus, direktrisu, teme i osu simetrije parabole + 2x + 4y 11 = 0; zatim je i skicirati Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 10 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse 2 Elipsa Definicija. Neka su date dve fiksirane tačke F 1 i F 2 u ravni. Elipsa je skup tačaka u ravni takvih da im je zbir rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantan. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar elipse za proizvoljnu tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = const = 2a, ako je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada jasno važi a c u preseku elipse i fokalne ose dobijamo temena elipse Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 11 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Specijalno, iz definicije elipse ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2 i a > 0 dobijamo kružnicu; ako je c = a = 0 jednu tačku; a ako je c = a > 0 dobijamo duž F 1 F 2 slika kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar elipse u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa elipse važi d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 12 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Dakle, koristeći da je F 1 ( c, 0), F 2 (c, 0) i P(x, y) dobijamo: d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1... b2 = a 2 c 2, jer je a > c a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b kanonska jednačina centrirane elipse sa fokusima na x osi Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 13 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse Neke osobine elipse koje proizilaze iz njene kanonske jednačine: a 2 + y 2 b 2 = 1 [0, 1] x [ a, a] a 2 y 2 [0, 1] y [ b, b] b 2 tačke (±a, 0) i (0, ±b) pripadaju elipsi Elipsa je simetrična u odnosu i na x osu i na y osu P(x, y) P (x, y), kao i P(x, y) P ( x, y) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 14 / 22
Kanonska jednačina elipse centrirana elipsa sa fokusima na x osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b fokusi na x osi su F i (±c, 0), i = 1, 2 gde je c = a 2 b 2 temena su T i (±a, 0), i = 1, 2 centrirana elipsa sa fokusima na y osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a < b fokusi na y osi su F i (0, ±c), i = 1, 2 gde je c = b 2 a 2 temena su T i (0, ±b), i = 1, 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 15 / 22
Kanonska jednačina elipse centrirana elipsa sa fokusima na x osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a > b fokusi na x osi su F i (±c, 0), i = 1, 2 gde je c = a 2 b 2 temena su T i (±a, 0), i = 1, 2 centrirana elipsa sa fokusima na y osi a 2 + y 2 b 2 = 1, a < b fokusi na y osi su F i (0, ±c), i = 1, 2 gde je c = b 2 a 2 temena su T i (0, ±b), i = 1, 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 15 / 22
Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
Kanonska jednačina elipse Jednačina elipse sa centrom u S(x 0, y 0 ) je (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1 Primer 3.3 Nacrtati elipsu 16 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 9 same fokuse i temena Primer 3.4 Nacrtati elipsu 9 + y 2 = 1 i odrediti joj fokalnu osu, kao i 16 same fokuse i temena Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 16 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole 3 Hiperbola Definicija. Neka su date dve tačke u ravni F 1 i F 2. Hiperbola je skup tačaka u ravni takvih da im je razlika rastojanja od datih tačaka F 1 i F 2 konstantna. Date tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi hiperbole. prava odre dena fokusima F 1 i F 2 se naziva fokalna osa sredina duži F 1 F 2 se naziva centar hiperbole za proizvoljnu tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = const = 2a, neka je d(f 1, F 2 ) = 2c, c > 0, tada važi a c u preseku hiperbole i fokalne ose dobijamo temena hiperbole Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 17 / 22
Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22
Kanonska jednačina hiperbole kanonska jednačina centrirane hiperbole sa fokusima na x osi Koordinatni sistem podesimo tako da je x osa fokalna osa i da je centar hiperbole u koordinatnom početku dakle, F 1 ( c, 0) i F 2 (c, 0) Tada za proizvoljnu tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 18 / 22