8. ( )

8. Кинематика тачке (криволиниjско кретање) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад

Садржаj - Шта ћемо научити 1. Криволиниjско кретање Преглед литературе Параметарске jедначине кретања Брзина материjалне тачке Убрзање материjалне тачке Проjекциjе брзине и убрзања Декартов координатни систем Природни координатни систем 2. Специjални случаjеви криволиниjског кретања Коси хитац 2 of 19

Преглед литературе 1. Уџбеник Србољуб Симић, Ратко Маретић - Основе механике, стр. 108-120 3 of 19

Параметарске jедначине кретања Вектор положаjа: r(t) = (t) i + (t) j + z(t) k Параметарске jедначине кретања: r(t) Вектор положаjа r r(t + t) Правац тангенте Прираштаj вектора положаjа = (t) = (t) z = z(t) Траjекториjа 4 of 19

Брзина v v(t) v r(t) r r(t + t) v sr v(t) = v (t) i + v (t) j + v z (t) k v O v = v = v (t) 2 + v (t) 2 + v z (t) 2 Средња брзина v sr = r t r Тренутна брзина v(t) = lim t 0 t = r(t) = d r dt Вектор брзине v(t) = r(t) = ẋ(t) i + ẏ(t) j + ż(t) k 5 of 19

Убрзање a P(t) v P(t + t) a a a sr O v(t + t) a v(t + t) a(t) = a (t) i + a (t) j + a z (t) k a = a = a (t) 2 + a (t) 2 + a z (t) 2 Средње убрзање a sr = v t v Тренутно убрзање a(t) = lim t 0 t = v(t) = r(t) = d2 r dt 2 Вектор убрзања a(t) = ẍ(t) i + ÿ(t) j + z(t) k 6 of 19

Проjекциjе брзине и убрзања (Декартов координатни систем) Брзина проjекциjе: v(t) = v (t) i + v (t) j + v z (t) k интензитет: v = v = v (t) 2 + v (t) 2 + v z (t) 2 Убрзање проjекциjе: a(t) = a (t) i + a (t) j + a z (t) k интензитет: a = a = a (t) 2 + a (t) 2 + a z (t) 2 7 of 19

Пример 4.3 Кретање материjалне тачке jе описано параметарским jедначинама кретања: Одредити: (t) = t2 2 t; (t) = t 2. а) траjекториjу материjалне тачке; б) тренутак t > 0 у ком ће се тачка наћи на оси; в) векторе брзине и убрзања и њихове интензитете у произвољном тренутку времена t; г) векторе брзине и убрзања и њихове интензитете у тренутку t. 8 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (I) Пример 4.4 Материjална тачка врши кретање по кругу полупречника R сагласно следећим параметарским jедначинама: (t) = R cos (t); (t) = R sin (t), R v e t en где jе (t) два пута диференциjабилна функциjа времена t. Одредити векторе брзине и убрзања у призвољном тренутку времена и одредити њихове проjекциjе на правац тангенте и правац нормале на круг. 9 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (II) Решење: Покажимо, наjпре, да jе траjекториjа тачке заиста круг. Ако се параметарске jедначине квадрираjу и саберу добиће се: 2 + 2 = R 2 cos 2 + R 2 sin 2 = R 2, 10 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (II) Решење: Покажимо, наjпре, да jе траjекториjа тачке заиста круг. Ако се параметарске jедначине квадрираjу и саберу добиће се: Вектор брзине: 2 + 2 = R 2 cos 2 + R 2 sin 2 = R 2, ẋ(t) = v (t) = R (t) sin (t); ẏ(t) = v (t) = R (t) cos (t), v(t) = ẋ(t) i + ẏ(t) j 10 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (II) Решење: Покажимо, наjпре, да jе траjекториjа тачке заиста круг. Ако се параметарске jедначине квадрираjу и саберу добиће се: Вектор брзине: 2 + 2 = R 2 cos 2 + R 2 sin 2 = R 2, ẋ(t) = v (t) = R (t) sin (t); ẏ(t) = v (t) = R (t) cos (t), Вектор убрзања: v(t) = ẋ(t) i + ẏ(t) j ẍ(t) = a (t) = R (t) sin (t) R 2 (t) cos (t); ÿ(t) = a (t) = R (t) cos (t) R 2 (t) sin (t), 10 of 19 a(t) = ẍ(t) i + ÿ(t) j

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) v e t en R 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) e t = sin (t) i + cos (t) j; e n = cos (t) i sin (t) j, а због ортогоналности имамо e t e n = 0. v e t en R 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) e t = sin (t) i + cos (t) j; e n = cos (t) i sin (t) j, а због ортогоналности имамо e t e n = 0. v e t en R v = v t e t + v n e n 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) e t = sin (t) i + cos (t) j; e n = cos (t) i sin (t) j, а због ортогоналности имамо e t e n = 0. v e t en R v = v t e t + v n e n v t = v e t = v (t) sin (t) + v cos (t) = R (t); v n = v e n = v (t) cos (t) v sin (t) = 0. 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (III) e t = sin (t) i + cos (t) j; e n = cos (t) i sin (t) j, а због ортогоналности имамо e t e n = 0. v e t en R v = v t e t + v n e n v t = v e t = v (t) sin (t) + v cos (t) = R (t); v n = v e n = v (t) cos (t) v sin (t) = 0. Брзина има проjекциjу само на правац тангенте: v(t) = v t (t) e t = R (t) e t v(t) = R (t) 11 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (IV) 12 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (IV) v e a t e n R 12 of 19

Мотивациони пример - кретање тачке по кругу (IV) Вектор убрзања: a = a t e t + a n e n a t = a e t = a (t) sin (t) + a cos (t) = R (t); a n = a e n = a (t) cos (t) a sin (t) = R 2 (t). Тангентно и нормално убрзање: R a v e t e n a t (t) = R (t) = v(t); a n (t) = R 2 (t) = v 2 (t) R Тангентно убрзање одражава промену интензитета брзине, а нормално промену њеног правца. 12 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j v v v R v a a θ a 13 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j = v R i + v R j v v v R v a a θ a 13 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j = v R i + v R j v v v R v a = d v dt = a i + a j a a θ a 13 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j = v R i + v R j v v v R v a = d v dt = a i + a j = v R d dt i + v d R dt j = v 2 R cos i v 2 R sin j a a θ a 13 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j = v R i + v R j v v v R v a = d v dt = a i + a j = v d R dt i + v d R dt j = v 2 R cos i v 2 R sin j a = a 2 + a 2 = v 2 cos R 2 + sin 2 = v 2 v 2 1 = R R a a θ a 13 of 19

Кретање по кругу - v(t) = R (t) = const. = v v = v i + v j = v sin i + v cos j = v R i + v R j v v v R v a = d v dt = a i + a j = v d R dt i + v d R dt j = v 2 R cos i v 2 R sin j a = a 2 + a 2 = v 2 cos R 2 + sin 2 = v 2 v 2 1 = R R tan θ = a = v 2 R sin a v 2 R cos = tan θ = a n = v 2 R a a θ a a t = 0 13 of 19

Брзина и убрзање у природном координатном систему (I) параметарска jедначина: s = s(t) природне компоненте брзине: v(t) = v t (t) e t v t (t) = ṡ(t) = v(t) v n (t) = 0 природне компоненте убрзања: a = a t e t + a n e n a t (t) = v(t) = s(t) a n (t) = v 2 (t) R K интензитет вектора убрзања: a = a t (t) 2 + a n (t) 2 O R K a n e n e t P s s - природна координата R K - полупречник кривине траjекториjе a v a t 14 of 19

Брзина и убрзање у природном координатном систему (II) Веза између природних и Декартових компоненти убрзања a t = a e t = a v v = a v v = v a + v a v 2 + v 2 a n = a 2 a 2t a n = v 2 R k = v 2 R k a n 15 of 19

Брзина и убрзање у природном координатном систему (III) Пример 4.5 За кретање материjалне тачке описано у Примеру 4.3 одредити природне компоненте убрзања и полупречник кривине траjекториjе у тренутку t у ком се тачка нашла на оси. 1.5 1.25 0.75 0.5 a t a n a 0.25-0.2-0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.25 16 of 19

Коси хитац (I) Параметарске jедначине (t) = v 0 t cos α + 0 (t) 1 2 gt2 + v 0 t sin α + 0 Траjекториjа за 0 = 0 и 0 = 0 (t) = tan α g 2v 2 0 cos2 α 17 of 19

Коси хитац (II) v 1 v 1 v 2 v 2 = 0 v 2 = 0 v 3 v 1 v 0 O v 0 α v 0 v 1 v 3 a = g a = g v 0 v 1 v 2 v 3 v 3 v 0 v 3 18 of 19

Коси хитац (III) Домет хица: D = v 2 0 Висина лета: sin 2α g H = v 2 0 sin2 α 2g [m] 150 75 v 0 = 50 m/s 100 60 50 v 0 45 30 15 50 100 150 200 250 [m] 19 of 19