Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег

Слични документи
kolokvijum_resenja.dvi

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

homotetija_ddj.dvi

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

untitled

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

Растко Вуковић: Математика III Математика III за трећи разред гимназије Растко Вуковић, проф. скрипта за наставу држану ш. г. у Бањој Луци

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

FOR_Matema_Srednja

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_jav_utmut0513V28_szerb.doc

Analiticka geometrija

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_javitasi_0911_szerb.doc

Analiticka geometrija

Ravno kretanje krutog tela

rjeshenja.dvi

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

1996_mmo_resenja.dvi

Microsoft Word - 24ms241

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Microsoft Word - 24ms221

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku:

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_0911_szerb.doc

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2015/

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Natjecanje 2016.

Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_0802_szerbH.doc

УНИВЕРЗИТЕТ У ИСТОЧНОМ САРАЈЕВУ

8. razred kriteriji pravi

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

res_gradsko_2010.dvi

Analiticka geometrija

Microsoft Word - vodic B - konacna

Naziv studija

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli

УПУТСТВО ЗА КОРИСНИКА Приступ локацији часописа Српски архив за целокупно лекарство добија се преко internet adrese: Након

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког развоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

Microsoft Word - z4Ž2018a

UNIVERZITET U ZENICI

Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr

УПУТСТВО ЗА КОРИСНИКА Приступ локацији часописа Српски архив за целокупно лекарство добија се преко internet adrese: Након

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

os07zup-rjes.dvi

Microsoft Word - 6ms001

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРА

Pismeni dio ispita iz Matematike 1

Popularna matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx

Microsoft Word - mat_szerb_kz_1flap.doc

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

I

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA PROBNI ZAVRŠNI ISPIT školska

Транскрипт:

Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ). У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 003, Foxit PF creator ( ако читате PF датотеку ), uto 006, orel raw. текст куцао Пера слике цртао Пера Наравно у циљу спашавања прашума немојте да штампате ову страницу већ све оне испод и штампајте са обе стране листа. Уживајте у читању.

ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ За сваки троугао важи да му се симетрале страница секу у једној тачки.та тачка је једнако удаљена од темена тог троугла и она је центар описане кружнице. Симетрале страница неких четвороуглова секу се у једној тачки која је подједнако удаљена од темена датог четвороугла. Она је центар уписане кружнице око тог четвороугла. Странице таквог четвороугла су тетиве кружнице чији је центар на пресеку симетрала страница.четвороуглови који имају ту способност су квадрат, правоугаоник, једнакокраки трапез и неки трапезоиди.сви наведени четвороуглови спадају у групу тетивних четвороуглова. Међутим постоје четвороуглови код којих се симетрале страница не секу у једној тачки То су ромб, паралелограм,трапез у општем случају,делтоид и неки трапезоиди.они не спадају у групу тетивних четвороуглова. Тетивни четвороуглови су они око којих може да се опише кружница тј. ако му темена припадају једној кружници. - -

.Теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако се симетрале његове три странице секу у једној тачки. Доказ. ( ) Следи из чињенице да симетрале тетива кружнице пролазе кроз њен центар. ( ) Ако се симетрале три странице неког чевороугла секу у једној тачки, тада је та тачка једако удаљена од сва четири темена четвороугла.стога је она центар кружнице која пролази кроз сва темена четвороугла..теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако је збир свака два наспрамна угла једнак 80. Доказ. ( ) Претпоставимо да је четвороугао тетиван. Тада тачке,,, припадају некој кружници k.како су и са разних страна тетиве, углови и су суплементни ( према теореми о периферијским угловима ), 80.С обзиром да је збир углова у четвороуглу 360, то је и 80. ( ) Узмимо сад да је 80. Нека је k кружница описана око. Ако је k, доказ је завршен. У противном је у спољашњости или унутрашњости кружнице k. Рецимо да је у спољашњости ( слика ). Обележимо са тачку у којој кружница k сече дуж '. По теореми о периферијским угловима следи k ' 80, што повлачи ' Међитим ' је спољашњи за ', па је ' >. Очигледна контрадикција. Нека је тачка у унутрашњости кружнице k (слика ). Поново са С означимо тачку у којој дуж сече кружницу slika k. По теореми о периферијским угловима је ' 80,што повлачи '. Међутим је спољашњи за ', је тада и > '. Контрадикција. Остаје k и четвороугао је тетиван. ' Последица Четвороугао је тетиван ако и само ако је спољашњи угао код једног темена подударан са унутрашњим углом код њему дијагоналног темена. Доказ. Следи директно из теореме. slika Из теореме јасно је зашто су квадрат правоугаоник, и једнакокраки трапез тетивничетвороуглови а правоугаоник, ромб и трапез у општем случају нису.. - -

Уколико је тачка M ван праве и M, кажемо да се дуж види из тачке M под углом.користећи овај појам долази се до још једне теореме. Теорема 3 Четвороугао је тетиван ако и само ако му се свака страница види из преостала два темена под подударним угловима. Доказ. ( )Нека је тетивни четвороугао и k описана кружница.тада су и углови под којима се страница види из тачака и, редом. Како су то периферијски углови над луком, следи њихова подударност.слично је и за остале странице четвороугла. ( ) Претпоставимо да је у четвороуглу '. Нека је кружница k описана око. Ако k доказ је готов. Претпоставимо супротно. Нека је у спољешњости кружнице k.обележимо са С тачку у којој кружница k сече дуж ( слика 3 ).Тада је ' односно '. Meђутим ' је спољ- ' ашњи за ' и такав већи од. Контрадикција. slika 3 Нека је сада тачка у унутрашњости кружнице k.са ' ' означимо тачку у којој кружница k сече праву ВС (слика 4). Тада је ' и '. Meђутим је спољашњи за ' и такав већи од '. Контрадикција. Брахмагупта slika 4 Површина S тетивног четвороугла, чије су странице S ( s a)( s b)( s c)( s d) a, b, c, d дата је формулом где је ѕ полуобим тј. s a b c d. Oву особину има сваки тетуван четвороугао. Примери Пример У троуглу угао код темена је 60.Ако су и висине и С средина странице, тада је ' једнакостраничан. Решење Тачке,, леже на кружници k чији јe центар тачка '. Отуда је ' '.Даље ' је централни угао кружнице k који одговара периферијском 30. Следи ' 60. Отуда је ' ' једнакостраничан. - 3 - slika 5

Пример (Птоломеј) ако су a, b, c, d странице а e и f дијагонале тетивног четвороугла тада је ac bd ef Решење Нека је тетивни четвороугао, где је a, b, c, d e, f и k описана кружница (слика 6). Уочимо на дијагонали АС тачку Е такву да је E ( ) Како је (периферијски углови над луком ),троуглови E и су слични. Слeди : E : односно bd E f ( ) Из () следи E,a како jе троуглови E и такође слични. Имамо : E :, односно ac E f ( 3 ) Сабирањем () и (3) добијамо ac bd ( E E ) f ef k d e E a c slika 6 f b Пример Нека су P и Q тачке на страницама и троугла редом. Четвороугао PQ је тетиван ако и само ако је O PQ, где је O центар кружнице описане око. Решење ( ) Претпоставимо да су P и Q редом t тачке на страницама и троугла, такве да је четвороугао PQ тетиван. Нека је k (O) k кружница описана око и t њена тангента Q T у тачки ( слика 7 ). На основу теореме о углу између тетиве и тан- P O генте је T.С друге стране,из тетивног четвороугла PQ следи PQ 80 (последица ).Стога је QP T.Из теореме о трансфензалним угловима следи PQ t. slika 7 Како је O t,то је O PQ.. ( ) Претпоставимо да је P, Q и O PQ. Тада је PQ t и због тога, QP T. Како је иz истог разлога као горе TP, то је и QP. На основу последице четвороугао PQ је тетиван. Кључне речи: Тетива,кружница, четвороугао, угао - 4 -

ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ Као што око сваког четвороугла не може да се опише кружница, тако ни у сваки четвороугао не може да се упише кружница.у ромб, квадрат, делтоид и неке трапезоиде је могуће уписати кружницу, док то например није могуће у правоугаонику различитом од квадрата и паралелограму различитом од ромба.четвороуглове у које може да се упише кружница зовемо тангентним. Име долази из чињенице да су праве одређене страницама таквих четвороуглова тангенте једне кружнице. Четвороугао је тангентан ако постоји кружница која додирује све његове странице. Теорема 4 Четвороугао је тангентан ако и само ако се симетрале његових углова секу у једној тачки. Доказ. () Нека је тангентан четвороугао и O центар уписане кружнице. ТачкаO је једнако удаљена од кракова и, па O лежи на симетрали угла. Исто важи за симетрале углова,,. () Нека се симетрале унутрашњих углова четвороугла секу у тачки O. Тада је тачка O једнако удаљена од њихових кракова, тј. од страница четвороугла.ако то растојање означимо са r, кружница k ( O;r) додирује све странице четвороугла. Напомена. Из другог дела доказа није тешко закључити да је за тангентност четвоугла довољно да се симетрале три унутрашња угла секу у једној тачки ; тада и четврта симетрала пролази кроз ту тачку. Теорема 5 Четвороугао је тангентан ако и само ако је Доказ. () Претпоставимо да је тангентан четвороугао. Нека уписана кружница додирује странице,,, редом у тачкама P, Q, R, S.( слика 8 ). На основу теореме о подударности тангентних дужи повучених из тачке на кружницу добијaмо: S P, P Q, Q R, R S Отуда је ( P P ) ( R R ) ( S Q Q S S S ) ( Q Q ). S R P slika 8 Q - 5 -

( ) Нека у четвороуглу важи једнакост Ако је. ( ), тада из ( ) следи. је делтоид (слика 9 ) Из подударности троуглова и следи да дијагонала полови углове и и да се симетрале углова и секу у истој тачки S на. Дакле, симетрале унутрашњих углова делтоида секу се у једној тачки и делтоид је, према теореми 4, тангентан четвороугао. Узмимо да је,рецимо > ( За < доказ је сличан ). Тада је, због () >. Уочимо на страницама и тачке E и F, редом, такве да је E и F ( слика 0 ).Троуглови E и F су очигледно једнакокраки. Исто важи и за EF с обзиром да је, на основу ( ), E E F F. Из тога следи да се симетрале углова код темена,, четвороугла поклапају са симетралама страница EF. Како се симетрале страница троугла секу у тачки S центру описане кружнице, у истој тачки секу се и симетрале угловa,, четворугла. На основу напомене из теореме 4 је тангентан четвороугао. S slika 9 S slika 0 E F Примери Пример Нека је тетивни четвороугао чије се дијагонале секу у тачки O.Ако су ', ', ', ' нормалне пројекције тачке O на странице,,,, редом,тада је четвороугао ' ' ' ' тангентан. Решење Ако се симетрале унутрашњих углова четвороугла ' ' ' ' секу у једној тачки, четвороугао је тангентан по теореми 4. Узмимо прво да тачке ', ', ', ' леже на страницама четвороугла (слика ). Како су углови ' O и ' ' O прави, четвороугао 'O' је тетиван,из чега сле- ди ' ' O ' O ( ) ' O Слично из тетивног четвороугла 'O' следи ' ' ' O ' O ( ) по услову задатка и четвороугао је тетиван, па је ( 3 ) ' Из(),()и(3)следи ' ' O ' ' O,тј. тачка O лежи на симетрали угла ' ' '.На исти начин сепоказује да тачка slika O лежи на симетралама углова ' ' ', ' ' ' и ' ' '. Уколико неке од тачака ', ', ', ' леже на продужецима страница четвороугла,доказ је сличан. - 6 -

Пример Четвороугао је тангентан ако и само ако се кружнице уписане у троуглове и додирују. Решење () Нека је тангентан четвороугао. Показаћемо да се кружнице kи k уписане редом у троуглове и додирују.то је еквивалентно са чињеницом да додирују дијагоналу у истој тачки. Претпоставимо супротно,тј. да k додирује у тачки T, а k у тачки T, T T (слика ). Тада је P T, P Q, Q T, R T, P S, S T. Уколико је распоред тачака T T имамо P P R R T Q T S < T Q T S S Q Q S S T R T Q тј. <. Међутим из теореме 5 следи. Контрадикција. P slika На сличан начин за распоред T T добијамо >, што је такође контрадикција.тако остаје T T, тј. кружнице kи k се додирују. () Претпоставимо да кружнице k и k додирују дијагоналу у тачки T ( слика 3 ). Тада је P T S, P Q, Q T R, P S. Следи S R T slika 3 P Q P P R R S Q R S, и четвороугао је тангентан на основу теореме 5. Кључне речи: тангента, четвороуго, круг - 7 -

ТЕТИВНО-ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ Четвороугао за који постоји и описана и уписана кружница зове се тетивно- -тангентни. У ту групу спада квадрат, неки једнакокраки трапези и неки трапезоиди који имају особину да постоји кружница која може бити описана око њега и још једна која се може уписати у њега. Четвороугао је тетивно-тангентан ако постпји кружница која садржи сва његова темена и кружница која додирује све његове странице. Теорема 6 Сваки тетивно-тангентни четвороугао ' ' ' ' може се добити из неког тетивног четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне. При томе су ', ', ', ' нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четвоугла на његове странице. Доказ. Нека је S центар кружнице уписане у тетивно тангентни четвороугао ' ' ' '. У тачкама ', ', ', ' уочимо праве a, b, c, d које су нормалне на праве S ', S', S', S', ' редом (слика 4 ). Обележимо са,,, редом d ' c пресеке правих d и a, a и b, b и c, c и d. Тврдимо ' ' да је тражени четвороугао. S ' Из тетивног четвороугла S' ' следи ' ' S ' S' ' ( ) ' b a ' где је ' ' ' '. Слично из тетивног четвороугла ' S'' имамо S ' S' ' ( ) где је ' ' ' '.Како је ' ' 80 (јер је ' ' ' ' тетивни четвороугао),из () и () следи S' S' 90, односно S 90. На сличан начин показује се да су и углови S, S и S прави.то значи да су дијагонале четвороугла узајамно нормалне и да се секу у тачки S. Дакле, тачке ', ', ', ' су нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четвороугла на његове странице. Остаје још да се покаже да је тетивни четвороугао.из тетивног четвороугла 'S' је ' ' S ' ' S ( 3 ) ' ' S ' ' S ( 4 ) - 8 - slika 4

док је из тетивног четвороугла 'S' ' ' S ' ' S ( 5 ) ' ' S ' ' S ( 6 ) где је ' ' ' ' и ' ' ' '. Како је ' ' ' ' 360 из (3),(4),(5) и (6) следи 80. На основу теореме четвороугао је тетиван. Површина тетивно-тангентног четвороугла Површина S тетивно-тангентног четвороугла, чије су странице формулом S abcd. a, b, c, d дата је Објашњење: Због тангентности имамо a c b d, одакле је s a c b d ( s је полуобим ).То даље повлачи s a c, s b d, s c a, s d b. Када све то уврстимо у формулу Брахмагупте S ( s a)( s b)( s c)( s d) добијамо S abcd. Кључне речи: тетива, тангента, кружница, четвооугао, теорема - 9 -

Литература Војислав Петровић, Тетивни и тангентни четвороуглови Просветни преглед, Београд 996. Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте ( лектира математископа књига 4 ) ИП МАТЕМАТИСКОП, Београд 004. 3 Математика општа енциклопедија Larousse 967. LIRIRE LROUSSE, Pariz за Југославију ИП,, Вук Караџић, Београд 973. - 0 -

САДРЖАЈ. Тетивни четвороуглови.. Тангентни четвороуглови.. 5 3. Тетивно-тангентни четвороуглови... 8 4. Литература..0 Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ). У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 003, Foxit PF creator ( ако читате PF датотеку ), uto 006, orel raw. текст куцао Пера слике цртао Пера