Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci
Matrice...
Matrice...
Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,..., R, C osnovne algebarske strukture vektori, operacije s vektorima, skalarni i vektorski umnožak,..., vektorski prostor...
Što je matrica? je matematički objekt čiji su elementi realni ili kompleksni brojevi rasporedeni u retke ili stupce. Ona se zapisuje u obliku pravokutne sheme. A s m redaka, n stupaca i s elementima a ij na mjestima (i, j), zapisuje se a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = [a ij ] =.... a m1 a m2 a mn Za matricu iz gornje relacije, s m redaka i n stupaca, kaže se da je tipa ili dimenzije m n. Pritom je A = [a ij ] kraći zapis za pravokutnu shemu iz gornje relacije, dok je a ij (ili [A] ij ) oznaka za element koji se nalazi na presjeku i-tog retka i j-tog stupca matrice A.
Pritom je niz brojeva i-ti redak, a niz brojeva a i1, a i2, a i3,..., a in a 1j a 2j. a mj j-ti stupac matrice A. Ako vrijedi m = n, tj. ako je broj redaka matrice jednak broju stupaca, matrica A je kvadratna matrica reda n. sa samo jednim retkom naziva se matrica redak ili jednoretčana matrica. sa samo jednim stupcem naziva se matrica stupac ili jednostupčana matrica.
Realna matrica je matrica čiji su elementi realni brojevi, a kompleksna matrica čiji su elementi kako realni tako i kompleksni brojevi. Praktično je imati oznaku za skup svih m n matrica, pa je s C m n (R m n ) označen skup svih kompleksnih (realnih) m n matrica, redom. Pravokutne matrice su elementi skupa C m n (R m n ), dok su za m = n kvadratne matrice, odnosno elementi skupa C n n (R n n ). Ako nije važan podatak jesu li matrični elementi realni ili kompleksni brojevi, piše se M mn. [ ] 7 2 4, 3 5 1 2 0 3 0 4 1 0 1 2 9 5 5 0 3 2 2 3, [ ] 2 + i 3 + 2i, 1 i 4 i 10 0 3 1, [ 1 0 ]
Jednakost matrica Definicija A M mn jednaka je matrici B M pq ako vrijedi m = p, n = q i a ij = b ij, za sve 1 i m, 1 j n (1) i piše se A = B. (2) Prema definiciji, dvije matrice su jednake ako i samo ako imaju jednak broj redaka, jednak broj stupaca i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Budući da matrica A ima m n elemenata, jednakost (2) zapravo znači m n jednakosti realnih brojeva. Sada će biti navedene osnovne operacije koje čine strukturu matrične algebre. Pritom će se koristiti A, B, C,... oznake za matice i njihove elemente a ij, b ij, c ij,..., redom.
Matrice...
Zbrajanje matrica U ovom će odjeljku biti definirane osnovne operacije i dana osnovna svojstva realnih matrica. Slijedi definicija zbrajanja matrica u R m n. Definicija Neka je A R m n i B R p q. Ako je m = p i n = q, onda se matrica C R m n s elementima c ij = a ij + b ij, za sve 1 i m, 1 j n (3) naziva zbrojem ili sumom matrica A i B i piše se C = A + B. (4) Zbrajanje matrica A i B znači m n zbrajanja realnih brojeva, kao što je označeno u (3). Ono je definirano za svaki par matrica iz R m n i rezultat je uvijek u R m n, pa je R m n zatvoren u odnosu na operaciju zbrajanja.
Zbrajanje matrica Zbrajanje u R m n ima sljedeća svojstva: A + (B + C) = (A + B) + C (asocijativnost) A + B = B + A (komutativnost) Postoji matrica O R m n (neutralni element) sa svojstvom da je A + O = A za svaku matricu A R m n. Svi elementi matrice O jednaki su nuli Za svaki A R m n postoji jedna i samo jedna matrica koja se označava s A (inverzni element), takva da vrijedi A + ( A) = O. Ako je A = (a ij ), onda je A = ( a ij ). Iz navedenih svojstava može se zaključiti, da skup matrica R m n zajedno s operacijom zbrajanja, (R m n, +), čini aditivnu Abelovu grupu.
Zbrajanje matrica Napomena Kada je na nekom skupu S definirana binarna operacija koja svakom uredenom paru (x, y) elemenata od S pridružuje element x y S, onda je skup S zatvoren u odnosu na operaciju. Ta činjenica se označava s (S, ). Ako za tu operaciju još vrijede svojstva asocijativnosti, postojanja neutralnog elementa i postojanja inverznog elementa, onda je (S, ) algebarska struktura koja se naziva grupa. Ako je operacija operacija zbrajanja, onda je (S, ) aditivna grupa. Ako još vrijedi svojstvo komutativnosti, onda je (S, ) komutativna ili Abelova grupa.
Množenje matrice skalarom Slijedi definicija množenja matrica s realnim brojem (skalarom). Definicija Ako je A R m n i c R, matrica B R m n s elementima b ij = ca ij, za sve 1 i m, 1 j n (5) naziva se umnožak ili produkt matrice A sa skalarom c i piše se B = ca. (6) Jednakost (6) označava da je svaki od m n elemenata matrice A pomnožen s c kako bi se dobila matrica B. Jasno je da za svaki realni skalar c i svaku matricu A R m n matrica B = ca mora biti u R m n.
Množenje matrice skalarom Za proizvoljne A, B R m n i α, β, c R vrijedi: c(a + B) = ca + cb (distributivnost množenja prema zbrajanju u R m n ) (α + β)a = αa + βa (distributivnost množenja prema zbrajanju u R) (αβ)a = α(βa) (kompatibilnost množenja) 1A = A (netrivijalnost množenja).
Množenje matrice skalarom Iz svojstava zbrajanja matrica i svojstava množenja matrica skalarom slijedi da je (R m n, +, ) realni vektorski prostor. Napomena Neka je (X, +) aditivna Abelova grupa. Neka je na X definirana još jedna operacija koja svakom paru α R, x X pridružuje element iz X koji se označava s αx. X je zatvoren u odnosu na operaciju, što se označava s (X, +, ). Ako za operaciju vrijede gore navedena svojstva, onda je struktura (X, +, ) naziva linearni ili vektorski prostor nad R. Kraće se može reći da je X (realni) vektorski prostor.
Množenje matrica Sljedeća operacija koja se definira je množenje matrica. Definicija Neka je A R m n i B R n p. Umnožak ili produkt matrica A i B je matrica C = A B R m p (7) čiji elementi su odredeni formulom c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + a in b nj n = a ik b kj za sve 1 i m, 1 j n k=1 Produkt matrica A i B je definiran samo ako su matrice ulančane, tj. ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B.
Množenje matrica Operacija množenja matrica može se gledati kao preslikavanje koje uredenom paru matrica odredenih dimenzija pridružuje matricu takoder odredenih dimenzija, prema dijagramu : R m n R n p R m p. Za izračunati element c ij matrice C,. C = c ij.,
Množenje matrica pri čemu je C = AB, treba imati na raspolaganju i-ti redak matrice A i j-ti stupac matrice B, b 1j.... b 2j AB = a i1 a i2 a i3 a in b 3j....... b nj. Formula (2.5) kaže da se pomnože elementi i-tog retka matrice A s odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B i dobiveni produkti zbroje.
Množenje matrica Primjer Ako su A R 3 2 i B R 2 2 4 3 A = 7 2, B = 9 0 [ ] 2 5, 1 6 onda je C = AB R 3 2 i vrijedi 4 2 + 3 1 4 5 + 3 6 11 38 C = 7 2 + 2 1 7 5 + 2 6 = 16 47. 9 2 + 0 1 9 5 + 0 6 18 45 produkta AB je matrica C, dok BA nije definirana.
Množenje matrica Primjer Ako su A R 2 2 i B R 2 1 A = [ ] 4 2, B = 1 8 [ ] 3, 5 onda je C = AB R 2 1 i vrijedi [ ] [ ] 4 2 3 C = = 1 8 5 [ ] [ ] 3 4 2 dok BA = nije definirano. 5 1 8 [ ] 12 + 10 = 3 + 40 [ ] 22, 43
Primjer Ako su A R 1 3 i B R 3 1 Množenje matrica A = [ 3 6 1 ] 1, B = 2, 4 onda je C = AB R 1 1 i vrijedi C = [ 3 6 1 ] 1 2 = [ 19 ], 4 dok je 1 BA = 2 [ 3 6 1 ] 3 6 1 = 6 12 2. 4 12 24 4
Množenje matrica Ako je A R m n i B R n p, onda je produkt AB R m p definiran. Postavlja se pitanje je li i kada je BA definirano. Produkt BA je definiran samo onda kada je broj stupaca matrice B jednak broju redaka matrice A, tj. ako vrijedi p = m. Prema tome, produkti AB i BA su istovremeno definirani ako i samo ako je A R m n i B R n m za neke pozitivne cijele brojeve m i n. To pogotovo vrijedi kada je m = n, tj. kada su A i B kvadratne matrice istog reda. Množenje matrica katkad daje iznenadujuće rezultate u smislu razlike množenja matrica u odnosu na množenje brojeva.
Općenito, množenje matrica nije komutativno, AB BA. To se može vidjeti iz prethodnih primjera, ali vrijedi i za kvadratne matrice. Primjer Za matrice A, B R 2 2 A = [ ] [ ] 9 3 1 4 = 2 0 2 5 dok je [ ] [ ] 1 4 9 3 2 5 2 0 = [ ] 9 3, B = 2 0 [ ] 1 4, 2 5 [ ] 9 1 + 3 2 9 ( 4) + 3 5 = 2 1 + 0 2 ( 2) ( 4) + 0 5 [ ] 1 9 + ( 4) ( 2) 1 3 + ( 4) 0 = 1 9 + 5 ( 2) 2 3 + 5 0 [ 15 ] 21 2 8 [ ] 17 3. 8 6
AB = 0 ne mora implicirati da je A = 0 ili B = 0 ili BA = 0 Primjer Za matrice A, B R 2 2 A = [ ] [ ] 1 1 1 1, B =, 2 2 1 1 [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 0 0 AB = =, 2 2 1 1 0 0 [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 BA = =. 1 1 2 2 1 1
AC = AD ne mora implicirati da je C = D (iako je A 0) Primjer Za matrice A, C, D R 2 2 pri čemu A = [ ] 1 1, C = 2 2 [ ] [ ] 1 1 2 1 AC = = 2 2 2 2 A = [ ] 2 1 2 2 [ ] 2 1, D = 2 2 [ ] 4 3 = 8 6 [ 1 1 2 2 [ ] 3 0 = D. 1 3 [ ] 3 0, 1 3 ] [ ] 3 0 = AD, 1 3
Množenje matrica Dakle, ovdje su dana tri svojstva po kojoj se množenje matrica razlikuje od množenje brojeva: AB BA, množenje matrica općenito nije komutativno AB = 0 ne mora implicirati A = 0 ili B = 0 ili BA = 0 AC = AD ne mora implicirati C = D. Treće svojstvo slijedi iz drugog kad je B = C D, pa je A(C D) = 0 ili AC = AD. Kod množenja matrica važno je poštovati redosljed faktora! Kaže se da je B, u AB, matrica koja je množena s lijeva sa A, a A matrica množena zdesna sa B.
Množenje matrica Ostala svojstva za množenje matrica navedena su u sljedećoj propoziciji. Propozicija Za množenje matrica vrijede sljedeća svojstva: A(B + C) = AB + AC, (8) A(BC) = (AB)C, (9) α(ab) = (αa)b = A(αB). (10)
Jedinična matrica Jedinična matrica, 1 0 0 0 0 1 0 0 I =..... R n n, 0 1. 0 0 1 je neutralni element s obzirom na množenje matrica u vektorskom prostoru R n n. I je reda n pa se još koristi oznaka I n. Vrijedi AI = IA = A, za svako A R n n. Dakle, I ima istu ulogu kod množenja matrica kao i broj 1 kod množenja realnih brojeva. Općenitije, vrijede relacije: IA = A, za svako A R n p, AI = A, za svako A R p n.
Dijagonalna matrica A = [a ij ] R m n je dijagonalna matrica ako su svi izvandijagonalni elementi jednaki nuli, ili kraće: a ij = 0 za i j. Ako se želi naglasiti koji su dijagonalni elementi onda se matrica A može zapistai na sljedeći način, A = diag (a 11, a 22,..., a kk ), pri čemu je k = min{m, n} i a ii element na mjestu (i, i), 1 i k, a ostali elementi su nula. Za m > n, odnosno m < n, pri čemu je k = min{m, n} matrica A = diag (a 11, a 22,..., a kk ) ima oblik a 11... 11 a kk, a... 0, a 0 kk respektivno. Produkt dviju netrivijalnih dijagonalnih matrica, npr. diag (1, 0, 2) diag (0, 1, 0) = diag (0, 0, 0) može biti nul-matrica. Nul-matrica i jedinična matrica spadaju u dijagonalne matrice.
Trag matrice Suma dijagonalnih elemenata kvadratne matrice A reda n označava se s n tr(a) = a ii. Primjer Neka je i=1 2 0 0 A = 0 5 0. 0 0 1 Suma dijagonalnih elemenata matrice A je tr(a) = 6.
Skaliranje redaka (stupaca) matrice Neka je matrica A R n p i neka je dijagonalna matrica D = diag (d 1,..., d n ). Onda je i-ti redak od DA jednak i-tom redku od A pomnoženom s d i, pri čemu je 1 i n. Slično, ako je A C p n, onda je i-ti stupac od AD jednak i-tom stupcu od A pomnoženom s d i. Ako su dijagonalni elementi od D pozitivni, operacija DA (AD) naziva se skaliranje redaka (stupaca).
Skaliranje redaka (stupaca) matrice Primjer Neka su 1 2 3 2 0 0 A = 4 5 6, D = 0 5 0. 7 8 9 0 0 1 Izračunati AD i DA. 1 2 3 2 0 0 2 10 3 AD = 4 5 6 0 5 0 = 8 25 6. 7 8 9 0 0 1 14 40 9 2 0 0 1 2 3 2 4 6 DA = 0 5 0 4 5 6 = 20 25 30. 0 0 1 7 8 9 7 8 9
Trokutasta matrica R = [r ij ] R n n je gornje-trokutasta ili gornja trokutasta matrica ako je r ij = 0 za sve j < i. L = [l ij ] R n n je donje-trokutasta ili donja trokutasta matrica ako je l ij = 0 za sve j > i. Primjer gornje i donje trokutaste matrice, 1 2 3 4 5 1 0 0 0 0 0 3 2 4 1 1 3 0 0 0 R = 0 0 7 6 1 0 3 7 0 0 redom. 0 0 0 6 4 0 0 0 0 3, L = 1 2 3 4 0 1 3 4 6 3,
Transponirana matrica A T R n m je transponirana matrica matrici A R m n, ako je svaki redak matrice A T jednak odgovarajućem stupcu matrice A, što se može kraće zapisati: ako je A = [a ij ], onda je A T = [a ji ]. Ako je a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n A =., onda je a 12 a 22 a m2 AT =.. a m1 a m2 a mn a 1n a 2n a mn
Transponirana matrica Primjer Ako je 1 5 9 1 2 3 4 A = 5 6 7 8, onda je A T = 2 6 10 3 7 11. 9 10 11 12 4 8 12
Transponirana matrica Glavna svojstva operacije transponiranja navedena su u sljedećoj propoziciji. Propozicija Operacija transponiranja ima sljedeća svojstva: (A T ) T = A, (11) (αa) T = αa T, (12) (A + B) T = A T + B T, (13) (AB) T = B T A T. (14)
Matrice... Kraj... za danas :-)