0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine, pomodu kojih opisujemo ponašanje raznih pojava, ne smiju ovisiti o izboru referentnog sustava pa demo najprije promotriti ponašanje komponenti vektora položaja pri rotacijama. Rotacijom referentni sustav K postaje K koordinatne osi :: jedinični vektori :: vektor položaja ::
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Izrazite radij-vektor točke T(1,-,3) u novom koordinatnom sustavu koji se dobije rotacijom Kartezijevog sustava oko osi z za 30 suprotno smjeru kazaljke na satu. Usporedite duljine vektora u jednom i drugom koordinatnom sustavu. x 1 30 x 1 x 3 =x 3 30 x x
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: o zbrajanju :: Ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim dopustivim vrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slična jednadžba vrijedi za sve komponente navedene veličine. :: Poopdenje :: Definiciju vektora sada možemo poopditi preko načina na koji se njegove komponente transformiraju (kovariraju) kod rotacije koordinatnog sustava: Za skup od N veličina Vj kažemo da su komponente N-dimenzionalnog vektora V, ako i samo ako su njihove vrijednosti u rotiranom koordinatnom sustavu dane sa Neovisnost o referentnom sustavu (koja slijedi iz kovarijancije) je potrebna da bi se formulirali univerzalni zakoni fizike koji uključuju vektore ili opdenitije tenzore. :: Vektori u Kartezijevim koordinatama :: Samo u Kartezijevim koordinatama nema razlike između kovarijantnih i kontravarijantnih transformacija:
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Tenzor je matematička ili fizikalna veličina invarijantna na translacije, a ima N n komponenti gdje je N dimenzija prostora te n stupanj tenzora. Rang (stupanj) tenzora možemo odredit promatrajudi ponašanje njegovih komponenti pri prijelazu iz koordinatnog sustava K u koordinatni sustav K : gdje indeksa imamo n (stupanj tenzora), a svaki poprima vrijednosti od 1 do N (dimenzija prostora). tenzor 0. stupnja ima samo jednu komponentu (invarijantan je) :: skalar tenzor 1. stupnja :: vektor tenzor. stupnja :: 9 komponenti u R 3 (npr. tenzor tromosti, tenzor napetosti ) Prema transformacijama komponenti tenzore dijelimo na ( navedene su relacije za tenzore. stupnja): kovarijantne (indeksi dolje) kontravarijantne (indeksi gore) miješane (indeksi analogno prethodnima) Tenzor. stupnja je simetričan ako vrijedi, a antisimetričan ako
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: sa ma :: Množenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vrši se po komponentama analogno operacijama s vektorima i matricama. Direktni produkt: :: :: Koristedi invarijantnost skalara na rotacije, pokažite da je skalarni produkt vektora skalar. :: :: Ako je kontravarijantni tenzor. stupnja S simetričan, a A antisimetričan, odredite A ij S ij. Uvijek vrijedi U pojedinom pribrojniku umjesto ij mogu pisati bilo koji drugi indeksi pa ih možemo zamijeniti Iskoristimo li zadanu simetričnost imamo
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Pokažite da se proizvoljni tenzor ranga može napisati kao zbroj simetričnog i antisimetričnog tenzora. Kako su dokazi za kovarijantne, kontravarijantne i miješane tenzore slični, dokazat demo za kontravarijantni: Dodamo li i oduzmemo imamo Zamjena indeksa odgovara transponiranju matrične reprezentacije vektora pa ako transponiramo prvi sumand dobijemo isti taj što znači: Transponiranjem drugog imamo je simetričan tenzor. što znači je antisimetričan tenzor.
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Dokažite: doprinos antisimetričnog dijela metričkog tenzora u kvadratu linijskog elementa iznosi 0. Kvadrat linijskog elementa: Koristedi tvrdnje dokazane u prethodnom zadatku, metrički tenzor možemo zapisati kao
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: (pridruženi) tenzor :: tenzor dobivamo operacijama spuštanja/podizanja indeksa: :: :: Dokažite:, a oba su i invarijantna dok nije. Koristedi podizanja i spuštanja indeksa dokazujemo jednakost: Pošto se radi o jednakim ma dovoljno je pokazati invarijantnost jednoga. Polazedi od umnoška u rotiranom koordinatnom sustavu i koristedi transformacijske relacije prelazimo u početni: invarijantan izraz ne možemo više reducirat, znači: izraz nije invarijantan
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Ako relacije vrijede u svim rotiranim Kartezijevim sustavima te ako je rang od A i B naznačen brojem indeksa, K je tenzor ranga koji je naznačen ukupnim brojem svojih indeksa: :: :: Dokažite kvocijentno : Pravilo vrijedi u svakom zarotiranom Kartezijevom sustavu pa demo ga napisati u crtkanom: // B transformiramo u necrtkani // Primijenimo kvocijentno // A transformiramo u crtkani // Izjednačimo početak i kraj jednakosti // A opdenit pa je izraz u zagradi 0 // Način transformacije tenzora. ranga
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: (tenzor 3. stupnja) :: :: :: Koristedi identitet za tenzore, dokažite:
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: :: :: Odredite metrički tenzor u cilindričnim koordinatama: Cilindrične koordinate Kartezijeve koorinate
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: Kutni moment (moment impulsa) za proizvoljnu kutnu brzinu :: Kutnu brzinu možemo zapisati u opdenitom obliku: ω iznosi Primijenimo li Prema tome opdi izraz za moment impulsa glasi: gdje su ( x, y, z ). L m r v m r ω r A ( B C) B( A C) C( A B) L x I xx x I xy y I xz z Ly I yxx I yyy I yzz L z I zx x I zy y I zz z I m y z xx I xy ( ) m x y te analogno definiramo ostale komponente I ij. r ωr imamo: ( y z ) x xy y xzz yx x ( z x ) y yzz zx x zy y ( x y ) z
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: I :: Dobivene relacije možemo zapisati u matričnom obliku (=> moment inercije I tenzor je. stupnja) I m y z Lx L Iω L Ly L z :: 0 (a) :: x ω y z I I I I I I I I I I xx xy xz yx yy yz zx zy zz Pronađite moment inercije homogene kocke mase M i stranice a pri rotaciji oko vrha (ishodište je u vrhu, orjentacija osi nije određena). Kada nađemo tenzor inercije, možemo odabrati bilo koju kutnu brzinu rotacije i odmah znamo pripadni moment impulsa L Iω Kako se radi o jednolikoj raspodjeli mase potrebno je izračunati 9 integrala za odrediti tenzor inercije. Međutim, zbog simetrije svi dijagonalni elementi su isti, a ostali su različiti, ali jednaki međusobno pa je dovoljno izračunati integrala. a a a I xx dx dy dz( y z ) 3 0 0 0 M / a xx a a a a a a 5 0 0 0 0 0 0 3 3 I dx y dy dz dx dy z dz a Ma a a a a a a 0 0 0 0 0 0 xx I xy I dx dy dz xy, xdx ydy dz a Ma. xy 1 1 3 Ma 4 Ma 4 Ma 8 3 3 1 1 Ma I 4 3 4 3 8 3 Ma Ma Ma 1 1 1 4 Ma 4 Ma 3 Ma 3 3 8 I I T 1 5 1 4 4. ( ) m x y => simetrični tenzor
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (b) :: Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko x-osi koja prolazi vrhom kocke. 1 ω 0 0 nema isti smjer kao os rotacije. :: 0 (c) :: Usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa za slučaj rotacije oko osi koja prolazi vrhom kocke i ide dijagonalno kroz kocku. ω 1 1 3 1 8 3 3 1 / 3 Ma L Iω 3 8 3 0 1/ 4 1 Ma 3 3 8 0 1/ 4 8 3 3 1 Ma 3 8 3 1 Ma Ma L Iω 1 3 1 3 ω 6 3 3 8 1 ima isti smjer kao os rotacije (kutna brzina).
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (d) :: Odredite moment inercije za slučaj kada se središte rotacije nalazi u centru kocke te usporedite smjerove vektora kutne brzine i momenta impulsa a / a/ a/ a/ a/ a/ 3 1 / / / / / / 3 ( / ) a a a a a a 6 I dx y dy dz dx dy z dz a a Ma xx a / a / a / a / a / a / I dx dy dz xy, xdx ydy dz 0 xy a / a/ a/ a/ a/ a/ 1 0 0 Ma 0 1 0 Ma I 6 1 6 0 0 1 :: :: LIω Ma ω 6 Moment je inercije u koordinatnom sustavu odabranom pod (d) dijagonalna matrica, a moment impulsa uvijek ima isti smjer kao i kutna brzina bez obzira na položaj osi rotacije. Koordinatni sustav u kojem je tenzor dijagonalan nazivamo sustav glavnih osi. Kako se komponente tenzora mijenjaju pri rotaciji, rotacijom možemo (ako se radi o simetričnom tenzoru) proizvoljno odabrani koordinatni sustava transformirati u sustav glavnih osi u kojem je taj tenzor dijagonalan. Iz gore dobivene relacije možemo napisati opdeniti izraz: Iω ω --> Iω 1ω --> ( I1) ω 0 --> det( I1) 0 Znači: problem određivanja glavnih osi svodi se na određivanje svojstvenih vrijednosti λ (vrijednosti na dijagonali) i svojstvenih vektora ω. Jedinični vektori koordinatnog sustava u kojem je tenzor dijagonalan definirani su preko normiranih svojstvenih vektora v (i) = ω/ ω
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: 0 (e) :: Koristedi podatke izračunate pod (a), odredite glavne osi rotacije za kocku koja rotira oko vrha. 8 3 3 3 8 3 Ma I ; 1 3 3 8 8 3 3 det( I1) 0 3 8 3 ( )(11 ) 0 Za Za Ma 1 1 6 imamo: 3 3 8 8 3 3 x 6 3 3 x 3 8 3 3 6 3 y y 0 3 3 8 3 3 6 z z 11 Ma 11 3 1 imamo: 3 3 3 x 3 3 3 y 0 x y z 0 3 3 3 z 1 ω e 0 e x y z ω,3 1 3,3 1 Znači: Možemo uzeti osi, s ishodištem u vrhu kocke, Ma I 1 0 x y z 0 x y z x y z 0 ------------------------ Rj: x = y = z jednu u smjeru e 1, a druge dvije u smjeru dva proizvoljna međusobno okomita vektora e i e 3 koji su okomiti na e 1 i dobit demo dijagonalan oblik tenzora I. 1 1 e 1 1 3 1 0 0 0 11 0 0 0 11