GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i

Слични документи
homotetija_ddj.dvi

Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak

kolokvijum_resenja.dvi

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p

untitled

24. REPUBLIQKO TAKMIQE E IZ MATEMATIKE UQENIKA SRED IH XKOLA REPUBLIKE SRPSKE Ba a Luka, 22. april ZADACI PRVI RAZRED 1. Dat je razlomak 2a27, g

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

Okruzno2007ZASTAMPU.dvi

Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V

Nermin Hodzic, Septembar, Inverzija 1 Notacija: -Preslikavanje I(A) = A 1,za koje vrijedi OA OA 1 = r 2, i tacka A 1 se nalazi na zraki OA,naziv

Nermin Hodzic, Septembar, Slicnost trouglova 1 Notacija: - A, B, C su uglovi kod vrhova A, B, C redom. -a, b, c su stranice trougla suprotne vrh

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

rjeshenja.dvi

2

Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег

Σ Ime i prezime, JMBAG: ELEMENTARNA GEOMETRIJA prvi kolokvij studenog Napomene: Kolokvij ima ukupno 5 zadataka, svaki zadatak vr

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

1996_mmo_resenja.dvi

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Ravno kretanje krutog tela

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

res_gradsko_2010.dvi

1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc

Geometrija molekula

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

os07zup-rjes.dvi

Растко Вуковић: Математика III Математика III за трећи разред гимназије Растко Вуковић, проф. скрипта за наставу држану ш. г. у Бањој Луци

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c

Analiticka geometrija

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Naziv studija

Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП

32zadatka_2014_IMO-pripreme_ddj.dvi

Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni

m3b.dvi

gt3b.dvi

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi

MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Analiticka geometrija

rumunija0107.dvi

8. razred kriteriji pravi

Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Master rad Grupe kretanja. Izometrijske transformacije i njihove grupe Studen

RG_V_05_Transformacije 3D

FOR_Matema_Srednja

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

Microsoft Word - z4Ž2018a

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Neke poznate krive u ravni i prostoru Master rad Mentor: Prof. dr Mia Stankov

Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/

SREDNJA ŠKOLA MATEMATIKA

DELjIVOST Ceo broj a je deljiv celim brojem b 0 ako postoji ceo broj q takav da je a = b q. U tom sluqaju kaжemo i da b deli a. b a oznaqava da b deli a

ПОГЛАВЉЕ V КАЛЕИДОСКОП ОВО је објашњење дискретних група изведених рефлексијама, укључујући као посебан случај симетријске групе правилних полиедара и

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

Analiticka geometrija

1 Ministarstvo za obrazovanje, nauku i mlade KS ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2016/2017. GODINI MATEMATIKA Stručni tim za matematiku:

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

PRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o

Natjecanje 2016.

DJEČJI VRTIĆ TROGIR TROGIR Trogir, Klasa: UP/I /19-01/1 Urbroj Na temelju članka 1a, 20. i 35. stavka 1. podstavk

FHP-THA-IT-98-34: Video arhiva suđenja u MKSJ, Predmet Mladen Naletilić i Vinko Martinović PERIOD: PRIMARNI IZVORI: Međunarodni krivični su

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]

Republika Srbija MINISTARSTVO PROSVJETE, NAUKE I TEHNOLOŠKOG RAZVOJA ZAVOD ZA VREDNOVANJE KVALITETA OBRAZOVANJA I ODGOJA ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVN

ПРИЈЕДЛОГ ОБРАЗЦА ЗА НАСТАВНИ ПРОГРАМ

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

IErica_ActsUp_paged.qxd

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol

I

Транскрипт:

GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i vai B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su A, B, C, D qetiri razliqite taqke i M, N, K, L, P, Q sredixta dui AB, BC, CD, DA, AC, DB redom, dokazati: a) MN i KL, MP i QK, NP i QL su meusobno podudarne dui; b) dui LN, MK, P Q imaju zajedniqko sredixte; v) svaki od uglova P MQ, P NQ, LMN podudaran je jednom od uglova kojeg odreuju prave BC i AD, AB i CD, AC i BD. 3. Dokazati da taqke simetriqne ortocentru u odnosu na: a) stranice trougla; b) sredixta stranica trougla; pripadaju krugu opisanom oko tog trougla. 4. (Ojlerova prava) Sredixte opisanog kruga O, ortocentar H i teixte T proizvo nog trougla su kolinearne taqke i vai HT = 2 T O. Dokazati. 5. (Ojlerov krug) Sredixta stranica, podnoja visina i sredixta dui odreenih temenima i ortocentrom trougla pripadaju jednom krugu. Dokazati. 6. (Simsonova prava) Podnoja normala iz proizvo ne taqke kruga opisanog oko nekog trougla, na pravama koje sadre stranice tog trougla, pripadaju jednoj pravoj. 7. Dat je tetivan qetvorougao ABCD qije su dijagonale meusobno normalne i seku se u taqki S. a) Prava koja sadri taqku S i normalna je na pravoj AB sadri sredixte dui CD. Dokazati. b) Ako su A, B, C, D projekcije taqke S na pravama AB, BC, CD, DA, redom, tada je qetvorougao A B C D tetivan i tangentan. Dokazati. 8. (Mikelova teorema) Qetiri prave u opxtem poloaju u ravni odreuju qetiri trougla. Dokazati da se opisani krugovi tih trouglova seku u jednoj taqki. 9. Medijatrisa stranice i bisektrisa naspramnog ugla trougla seku se u taqki koja pripada opisanom krugu tog trougla. Dokazati. 10. Neka su P i Q sredixta lukova AB i AC kruga opisanog oko trougla ABC i s α bisektrisa ugla BAC. Dokazati da je P Q s α. 11. Neka su A, N i O redom podnoje visine iz A, presek bisektrise ugla BAC sa opisanom krugom trougla ABC (AB < AC) i centar opisanog kruga, dokazati A AN = ANO = NAO = 1 2 ( ABC ACB). 12. (Veliki zadatak) Ako sa A 1, B 1 i C 1 obeleimo sredixta ivica BC = a, CA = b, AB = c trougla ABC (b > c), sa p poluobim tog trougla, sa l(o, r) opisani krug tog trougla, sa P, Q, R taqke u kojima upisani krug k(s, ρ) dodiruje prave BC, CA, AB, sa P i, Q i, R i (i = a, b, c) taqke u kojima spo a upisani krug k i (S i, ρ i ) dodiruje redom prave BC, CA, AB, sa M i N taqke u kojima medijatrisa ivice BC seqe krug l, pri qemu je M na luku BAC, sa M i N podnoja upravnih iz taqaka M i N na pravoj AB, sa P, P a, P b, P c dijametralno suprotne taqke taqkama P, P a, P b, P c, dokazati da je: 1) B(A, P, P a ), B(A, P, P a), B(P c, A, P b ), B(P b, A, P c); 2) AQ a = AR a = p, QQ a = RR a = a, Q b Q c = R b R c = a; 3) AQ = AR = BR c = BP c = CP b = CQ b = p a; 4) P P a = b c, P b P c = b + c; 5) P A 1 = P a A 1, P c A 1 = P b A 1 ; 6) NS = NS a = NB = NC, MS b = MS c = MB = MC; 7) A 1 M = 1 2 (ρ b + ρ c ), A 1 N = 1 2 (ρ a ρ); 8) MM = 1 2 (ρ b ρ c ), NN = 1 2 (ρ + ρ a); 9) ρ a + ρ b + ρ c = 4r + ρ; 10) AM = 1 2 (b c) = BN, AN = 1 2 (b + c) = BM ; 11) M N = b.

SLIQNOST 1. (Teorema o simetrali ugla) Ako su E i F taqke u kojima bisektrise unutraxeg i spo axeg ugla BAC trougla ABC (AB < AC) seku pravu BC dokazati BE : CE = BF : CF = AB : AC. 2. Neka su E i F taqke iz prethodnog zadatka. Dokazati: a) AS : SE = AS a : S a E = (AB + AC) : BC; b) AE : SE = (AB + BC + CA) : BC, AE : S a E = (AB + AC BC) : BC; v) AS b : S b F = AS c : S c F = (AC AB) : BC. 3. Dokazati (vae oznake iz Velikog zadatka): a) SA SN = 2rρ; v) S b A S b M = 2rρ b ; b) S a A S a N = 2rρ a ; g) S c A S c M = 2rρ c. 4. Neka je ABCD tetivan qetvorougao, M i N redom sredixta stranica AB i CD, O presek dijagonala AC i BD, a P i Q normalne projekcije taqke O redom na AD i BC. Dokazati da je MN P Q. 5. (Ptolomejeva teorema) Ako je ABCD konveksan i tetivan qetvorougao, dokazati da vai AC BD = AB CD + BC AD. (Qevina teorema) Ako su P, Q, R redom taqke pravih BC, CA, AB gde su A, B, C tri nekolinearne taqke, tada BP CQ AR prave AP, BQ, CR pripadaju jednom pramenu ako i samo ako vai P C QA RB = 1. (Menelajeva teorema) Taqke P, Q, R pravih odreenih stranicama BC, CA, AB trougla ABC su kolinearne ako BP CQ AR i samo ako vai P C QA RB = 1. 6. Ako su P, Q, R taqke u kojima upisani krug trougla ABC dodiruje stranice BC, CA, AB, dokazati da su prave AP, BQ, CR konkurentne. 7. Dokazati da, ukoliko postoje taqke u kojima bisektrise spo axih uglova kod temena A, B i C seku prave odreene naspramnim stranicama trougla ABC, one su kolinearne. 8. Dokazati da taqke P, Q, R u kojima tangente opisanog kruga trougla ABC u egovim temenima seku prave odreene naspramnim stranicama, ukoliko postoje, pripadaju jednoj pravoj. Def. Neka su P, Q, R, S qetiri razne kolinearne taqke. Par taqaka (P, Q) je harmonijski spregnut sa parom (R, S) P R ako vai RQ = P S. Tada pixemo H(P, Q; R, S). SQ Def. Prave a, b, c, d jednog pramena su harmonijski spregnute ako postoji prava p koja ih seqe u harmonijski spregnutim taqkama. Tada pixemo H(a, b; c, d). Ova osobina ne zavisi od izbora prave p. Osobine: Ako vai H(P, Q; R, S), tada vai i H(Q, P ; R, S), H(Q, P ; S, R), H(R, S; P, Q). Ako su P, Q, R tri kolinearne taqke i R nije sredixte dui P Q, tada postoji jedinstvena taqka S takva da je H(P, Q; R, S). H(P, Q; R, S) B(P, R, Q) B(P, S, Q). Ako su a, b, c, d konkurentne prave i c d, vai: H(a, b; c, d) c i d su simetrale uglova odreenih pravama a i b. 9. Neka su S, S a, S b, S c projekcije taqaka S, S a, S b, S c na pravu odreenu visinom AA trougla ABC, a E projekcija taqke E na pravu AC. Dokazati: a) H(A, E; S, S a ), H(A, A ; S, S a ), H(A, E; Q, Q a ), H(A, E; P, P a ); b) H(A, F ; S b, S c ), H(A, F ; P b, P c ), H(A, A ; S b, S c ). 10. Vai H(P, Q; R, S) ako i samo ako postoje qetiri taqke A, B, C, D takve da vai AB CD = {P }, BC AD = {Q}, P Q AC = {R}, P Q BD = {S}. 11. Ako su A, B, C, D razne kolinearne taqke, a O sredixte dui AB, tada vai H(A, B; C, D) AO 2 = OC OD.

12. Ako su A, B, C, D razne taqke prave p, O taqka van te prave, E i F taqke u kojima prava koja sadri taqku B i paralelna je OA seqe OC i OD, dokazati da vai H(A, B; C, D) B je sredixte EF. 13. (Apolonijev krug) Odrediti skup svih taqaka u ravni kojima su rastojaa od dveju datih taqaka srazmerna datim nepodudarnim duima. Def. Ako neka prava koja sadri taqku P seqe krug k(o, r) u taqkama A i B, tada je potencija taqke P u odnosu na krug k data sa p(p, k) = P A P B = P O 2 r 2 i ne zavisi od izbora prave. Potencija taqke P je vea, maa ili jednaka nuli u zavisnosti od toga da li se taqka nalazi u spo axosti, unutraxosti kruga ili na krugu. Def. Geometrijsko mesto taqaka ravni koje imaju jednake potencije u odnosu na dva data kruga k 1 (O 1, r 1 ) i k 2 (O 2, r 2 ) je prava koja se zove radikalna ili potencijalna osa. Radikalna osa je upravna na pravoj O 1 O 2. Radikalne ose triju krugova neke ravni pripadaju jednom pramenu. Ukoliko je u pitau pramen konkurentnih pravih, preseqna taqka naziva se radikalni centar tih krugova. 14. Neka su A, B, C, D kolinearne taqke takve da vai B(A, C, B, D) i neka je k krug nad preqnikom AB i l bilo koji krug koji sadri taqke C, D. Dokazati da vai H(A, B; C, D) k l. 15. Ako je l(o, r) opisan krug, k(s, ρ) upisani krug i k a (S a, ρ a ) spo a upisani krug koji dodiruje stranicu BC datog trougla ABC, dokazati da je OS 2 = r 2 2rρ i OS 2 a = r 2 + 2rρ a. 16. Prava odreena visinom AD trougla ABC predstav a radikalnu osu krugova kojima su preqnici teixne linije BB 1 i CC 1 tog trougla. KONSTRUKTIVNI ZADACI 1. Konstruisati trougao ABC ako su zadati sledei elementi: 1) t a, t b, t c ; 7) β γ, l a, ρ; 2) β, γ, p; 8) α, b c, ρ a ; 3) α, a, b + c; 9) a, ρ b, ρ c ; 4) β, h c, b ± c; 10) α, ρ, ρ a ; 5) t a, h b, b ± c; 11) b c, h a, ρ. 6) β γ, b, c; 2. Konstruisati trougao ABC ako su dati teme A, ortocentar H i centar opisanog kruga O tog trougla. 3. Date su taqke A 1, S, F. Konstruisati trougao ABC ako je A 1 sredixte BC, S centar upisanog kruga, a F presek simetrale spo axeg ugla u temenu A i prave BC. INVERZIJA Def. Neka je k(o, r) proizvo ni krug ravni E 2. Inverzija u odnosu na krug k je preslikavae ψ k : E 2 \{O} E 2 \{O} kojim se taqka P slika u taqku P takvu da P i P pripadaju istoj polupravoj sa temenom u O i vai OP OP = r 2. Osobine ψ 2 k = E. ψ k (P ) = P P k. ψ k slika unutraxost kruga u spo axost i obrnuto. Ako ψ k slika A u A i ako je P Q preqnik kruga k takav da su P, Q, A, A kolinearne, onda vai H(P, Q; A, A ). Ako prava p sadri taqku O, tada se p\{o} slika u p\{o}. Ako prava p ne sadri taqku O, onda se slika u l\{o} gde je l krug koji sadri O. Ako krug l sadri taqku O, onda se l\{o} slika u pravu koja ne sadri O. Ako krug l ne sadri taqku O slika se u krug l 1 koji takoe ne sadri O. Pri tom se centar kruga l NE PRESLIKAVA u centar kruga l 1. ψ k (A)ψ k (B) = r2 OA OB AB. ψ k quva uglove izmeu krivih.

1. Ako se krugovi k 1 i k 2 dodiruju u centru inverzije, tada se inverzijom slikaju u dve paralelne prave. Dokazati. 2. Neka se inverzijom ψ k taqka A koja ne pripada krugu k slika u A i neka je l proizvo an krug koji sadri A i A. Dokazati da je l k. 3. Neka je O centar opisanog kruga l trougla ABC. Ako su B i C taqke polupravih AB i AC takve da je AB AB = AC AC dokazati da je OA B C. 4. Neka je ABP Q netetivni qetvorougao. Dokazati da je ugao izmeu krugova opisanih oko trouglova ABP i ABQ jednak uglu izmeu krugova opisanih oko trouglova P QA i P QB. 5. Neka se krugovi k 1, k 2, k 3 meusobno dodiruju u taqkama P, Q, R. Dokazati da je krug opisan oko trougla P QR ortogonalan na sva tri kruga. 6. Krugovi k 1, k 2, k 3 su meusobno ortogonalni, pri qemu se k 1 i k 2 seku u taqkama A i B, k 2 i k 3 u taqkama C i D, k 3 i k 1 u taqkama E i F. Dokazati da se krugovi opisani oko trouglova ACE i ADF dodiruju u taqki A. 7. U ravni su data qetiri kruga od kojih svaki dodiruje taqno dva kruga od preostalih. Dokazati da su dodirne taqke kolinearne ili koncikliqne. 8. Konstruisati krug k koji sadri dve date taqke A i B i dodiruje datu pravu p. 9. Konstruisati krug k koji sadri datu taqku A i dodiruje date krugove k 1 i k 2. 10. Konstruisati krug koji spo a dodiruje tri data kruga k 1, k 2, k 3. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE RAVNI 1. Dokazati: S p S q = S q S p p = q p q. 2. Dokazati: S p S q S r = S r S q S p ako i samo ako su p, q, r prave jednog pramena. 3. Dokazati: S B S p S A = S A S p S B AB p. 4. Ako neka figura ravni ima taqno dve ose simetrije, dokazati da je ona i centralno-simetriqna. 5. Neka je ABCDE petougao upisan u krug takav da je BC DE i CD EA. Dokazati da D pripada medijatrisi stranice AB. 6. Neka je ABCD romb takav da je BAD = 60 i neka prava p seqe redom stranice AB i BC u taqkama M i N tako da je zbir dui BM i BN jednak stranici romba. Dokazati da je trougao DMN pravilan. 7. Odrediti tip i komponente izometrije R A,α R B,β. 8. Nad ivicama trougla ABC u spo axosti konstruisani su pravilni trouglovi ADB, BEC, CF A. a) (Toriqelijeva taqka) Dokazati da su dui AE, BF, CD meusobno podudarne i da se seku u jednoj taqki. b) (Napoleonov trougao) Dokazati da centri konstruisanih trouglova qine temena pravilnog trougla. 9. Neka je u ravni E 2 dat trougao ABC i neka su B, C taqke pravih AB i AC takve da vai B(A, B, B ) i B(A, C, C ). Ako je P a taqka u kojoj spo a upisani krug koji odgovara temenu A dodiruje stranicu BC tog trougla, dokazati da je R C, C CB R A, BAC R B, CBB = S P a. 10. Neka je t tangenta opisanog kruga trougla ABC u temenu A. Dokazati da vai G CA G BC G AB = S t. 11. Dokazati da je qetvorougao ABCD tetivan ako i samo ako vai G DA G CD G BC G AB = E. 12. Data su dva kruga koji imaju preseqnu taqku A. Konstruisati pravu koja sadri A i na kojoj dati krugovi odsecaju podudarne dui. STEREOMETRIJA Postoji jedistvena prava normalna na dvema mimoilaznim pravama. Prava je normalna na ravan ako i samo ako je normalna na dvema pravama te ravni koje se seku. (Teorema o tri normale) Ako je prava p normala iz taqke O na ravan π i prodire je u taqki P, a Q podnoje normale iz P na pravu q π, tada je OQ q.

1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. a) Odrediti ugao izmeu pravih AB 1 i BC 1. b) Odrediti ugao izmeu ravni ACD 1 i AB 1 C 1 D. v) Dokazati da je ravan B 1 CD 1 normalna na du AC 1 i deli je u razmeri 2 : 1. 2. Zbir dva ugla pri vrhu triedra vei je od treeg. Dokazati. 3. Ravni od kojih je svaka odreena ivicom i simetralom naspramne strane triedra imaju zajedniqku pravu. Dokazati. 4. Neka su uglovi pri vrhu triedra jednaki redom 60, 45, 45. Dokazati da je diedar naspram najvee stranice prav. 5. Dokazati da se oko svakog tetraedra moe opisati sfera, kao i da se u svaki tetraedar moe upisati sfera. 6. a) (Teixte tetraedra) Dui odreene sredixtima naspramnih ivica trostrane piramide (tetraedra) seku se u jednoj taqki koja ih polovi. Dokazati. b) Dokazati da teixte tetraedra deli dui odreene temenima i teixtima naspramnih strana u odnosu 3 : 1. 7. a) Dve naspramne ivice nekog tetraedra su meusobno podudarne ako i samo ako su dui odreene sredixtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica meusobno normalne. b) Dve naspramne ivice tetraedra su normalne ako i samo ako su dui odreene sredixtima ostalih dvaju parova naspramnih ivica meusobno podudarne. 8. Dokazati da je prava odreena sredixtima stranica AC i BD tetraedra ABCD ujedno i ihova zajedniqka normala ako i samo ako je AB = CD i AD = BC. Def. Tetraedar ABCD je ortogonalan ako vai AB CD, AC BD, AD BC. 9. Visine AA i BB tetraedra ABCD se seku ako i samo ako je AB CD. Dokazati. 10. Dokazati da podnoja visina iz temena tetraedra predstav aju ortocentre naspramnih p osni ako i samo ako je tetraedar ortogonalan. IZOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE PROSTORA 1. Ako su A, B, C tri taqke ravni π, dokazati da vai G π, CA G π, BC G π, AB = S π. 2. Dokazati S π S O = S O S π O π. 3. Dokazati da je kompozicija neparnog broja centralnih simetrija prostora ponovo centralna simetrija. 4. Odrediti tip izometrije T P P S π. 5. Dokazati da je kompozicija tri ravanske refleksije kojima su osnove odreene boqnim p osnima trostrane prizme ABCA B C klizajua refleksija tog prostora. 6. Odrediti tip i komponente izometrije koja predstav a kompoziciju dveju osnih refleksija S p S q euklidskog prostora, u zavisnosti od uzajamnog poloaja pravih p i q. 7. Neka su OP, OQ, OR tri meusobno normalne dui prostora. Dokazati da je kompozicija Z OR Z OQ Z OP translacija. 8. Dokazati da je u euklidskom prostoru kompozicija sastav ena od tri ravanske refleksije kojima su osnove odreene p osnima triedra osnorotaciona refleksija. HIPERBOLIQKA GEOMETRIJA 1. Prave odreene osnovicom i protivosnovicom Sakerijevog qetvorougla su hiperparalelne. Dokazati. 2. Uglovi na protivosnovici Sakerijevog qetvorougla su podudarni i oxtri. Dokazati. 3. Dokazati da su dva Lambertova qetvorougla ABCD i A B C D sa oxtrim uglovima D i D podudarna ako je: a) AB = A B, BC = B C ; g) AD = A D, CD = C D ; b) AB = A B, AD = A D ; d) AD = A D, D = D ; v) AD = A D, BC = B C ; ) AB = A B, D = D.

4. Dokazati da su dva Sakerijeva qetvorougla ABCD i A B C D sa osnovama AB i A B podudarna ako je: a) AB = A B, BC = B C ; g) AB = A B, C = C ; b) AB = A B, CD = C D ; d) BC = B C, C = C ; v) BC = B C, CD = C D ; ) CD = C D, C = C. 5. Ako su taqke P i Q sredixta stranica AB i AC trougla ABC, dokazati da su prave BC i P Q meu sobom hiperparalelne. 6. Ako su A, B, C tri razne taqke neke prave l i O taqka izvan te prave, dokazati da sredixta A, B, C dui OA, OB, OC ne pripadaju jednoj pravoj. 7. Dokazati da je u Sakerijevom qetvorouglu protivosnovica vea od osnovice. 8. Ako su P i Q sredixta stranica AB i AC trougla ABC, dokazati da je P Q < 1 2 BC. 9. Neka je A 1 sredixte hipotenuze BC pravouglog trougla ABC. Dokazati da je du AA 1 maa od polovine hipotenuze. 10. Ako je visina ekvidistante vea od nule tada ta ekvidistanta nije prava. Dokazati. 11. Prave p i q seku se u taqki S. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odreenom smeru i normalnu na pravoj p. 12. Prave p i q su paralelne. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odreenom smeru i normalnu na pravoj p. 13. Prave p i q su hiperparalelne. Odrediti pravu a paralelnu pravoj q u odreenom smeru i normalnu na pravoj p. 14. Neka su a, b i c meusobno paralelne prave, ali ne sve u istom smeru. Neka su b i c upravne iz taqke A prave a na pravama b i c. Odrediti ugao izmeu pravih b i c. 15. Dva razna paraboliqka pramena imaju zajedniqku pravu. Dokazati. 16. Neka su A, B, C, D taqke takve da su redom poluprave AB i DC, odnosno BC i AD paralelne. Dokazati da su simetrale unutraxih uglova kod temena A i C i spo axih uglova kod temena B i D prave istog pramena. 17. Dokazati da za tri nekolinearne taqke A, B, C vai Π( BC 2 ) < 1 2 ( ABC + ACB + BAC). 18. Ako je u ravni Lobaqevskog dat trougao ABC kod koga je C prav, tj. C = R, zatim A = Π(a ), B = Π(b ), BC = a i AB = c, dokazati da je: a) A = Π(b) Π(c + b ); { Π(c b b) A = ) Π(b), za b < c 2R Π(b) Π(b c), za b > c ; { 1 v) A = 2[ Π(c b ) Π(c + b ) ] [, za b < c R 1 2 Π(b + c) + Π(b c) ], za b > c ; { 1 g) Π(b) = 2[ Π(c + b ) + Π(c b ) ] [, za b < c R 1 2 Π(b + c) Π(b c) ], za b > c ; d) Π(a b) + Π(a + b ) = R, Π(b a) + Π(b + a ) = R. POENKAREOV DISK MODEL 1. U Poenkareovom disk modelu hiperboliqke ravni date su h-prava a i h-taqka A. Odrediti h-pravu n koja sadri taqku A i upravna je na pravu a. 2. U Poenkareovom disk modelu date su h-taqke A i B. Odrediti h-simetralu dui AB. 3. U Poenkareovom disk modelu date su taqke X i Y. Konstruisati h-krug l sa centrom u taqki X koji sadri taqku Y. 4. U Poenkareovom disk modelu hiperboliqke ravni date su h-taqke A i B. Konstruisati h-taqku C takvu da je h-trougao ABC pravilan. 5. U Poenkareovom disk modelu date su dve prave koje se seku. Odrediti h-bisektrisu ugla kojeg odreuju. 6. U Poenkareovom disk modelu konstruisati h-du mere Π 1 ( R 2 ).