ПОГЛАВЉЕ V КАЛЕИДОСКОП ОВО је објашњење дискретних група изведених рефлексијама, укључујући као посебан случај симетријске групе правилних полиедара и
|
|
- Вук Дунђерски
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 ПОГЛАВЉЕ V КАЛЕИДОСКОП ОВО је објашњење дискретних група изведених рефлексијама, укључујући као посебан случај симетријске групе правилних полиедара и правилних и квази правилних ханикомаба. Одговарајуће групе у вишим просторима биће установљене у поглављу XI. 5.. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ЈЕДНУ ИЛИ НА ДВЕ РАВНИ, ИЛИ ПРАВЕ, ИЛИ ТАЧКЕ. Кад се објект држи испред обичног огледала, онда се виде две ствари: објект и његова слика. И ако нас је Алиса одвела кроз огледало, ми ћемо још увек видети две исте ствари, слика слике је само оригинални објект. Другим речима, једна рефлексија изводи групу реда два, чији су операнди и. Не постоје други операнди, па како је 5. и због тога.уместо равног одраза у простору, ми можемо исто тако употребити одраз од праве у равни, или одраз од тачке на правој. Тачка дели праву на две полуправе или зрака, и служи као огледало да рефлектује један зрак на други. Али кад се објект држи између два паралелна огледала, онда не постоји теоретско ограничење броја слика; јер постоји слика слике, ад инфинитум (до у бесконачност). Сама огледала имају бесконачно много слика; виртуелна огледала која се појављују изгледају као стварна огледала. Другим речима, две паралелне рефлексије и, изводе бесконачну групу чији су операнди,,,,,,,.... Као апстрактна група, ова се зове "слободни производ" реда два; она има изведене релације,, или, кратко 5.. Можемо исто тако сматрати ове као рефлексије у односу на две паралелне праве равни, или у односу на две тачке на правој. Две тачке и њихове слике (виртуелна огледала) деле праву на бесконачно много једнаких дужи, које могу бити придружене операндима групе, на следећи начин. Дуж ограничена са две задате тачке (тј., област могућих објеката) је придружена идентичном операнду,; и свака друга од дужи је придружена оном операнду који трансформише дуж у ту дуж. (Видети Сл. 5. А.) Нека се било која тачка и све њене слике (или трансформати) зове скуп еквивалентних тачака. Тада је свака тачка на правој еквивалентна некој тачки на дужи (укључујући и њене крајње тачке), али две различите тачке дужи нису еквивалентне једна другој. Према томе, дуж је основна(фундаментална) област за групу изведену са и. (Видети страну 5, тј..) Слично, група изведена само са има полуправу за своју основну област, и две комплементарне полуправе су придружене двама операндима и.
2 66 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] Два огледала која се секу чине прост калеидоскоп. Ово може бити врло лако направљено спајањем два квадратна, уоквирена огледала комадом лепљиве траке, тако да углови између њих могу да се мењају по вољи, и поставити их усправно на сто (са лепљеном ивицом вертикално). Узимајући Сл. 5. А пресек са равни нормалном на оба огледала (или посматрајући само горњу површ стола), ми сводимо калеидоскоп на његов дводимензионални облик, где рефлектујемо у односу на две пресечне праве. Како су слике било које тачке (осим тачке где се праве секу) распоређене около по кругу, то је онда група дискретна* само ако је угао између огледала пропорционалан са. Биће довољно да се размотре фактори од (прим прев.у ствари од 80 0 ); јер ако је угао од p, где су и p узајамно прости, ми можемо наћи умножак p који се разликује од p цели број пута, и према томе је виртуелно огледало нагнуто за према једном од задатих огледала. (Видети p 3. 5.) Ово може бити уочено и из чињенице да реална и виртуелна огледала чине скуп правих које се секу и који је симетричан рефлексијом у односу на сва-ку праву (из скупа), тако да углови између суседних правих морају бити је-днаки. Према томе, ми постављамо објект између два огледала нагнута међусобно за p, и посматрамо p слика (укључујући и објект), по једна у свакој угаоној области формираних реалним и виртуелним огледалима. (Случај кад је p 3 приказан је на Сл. 5. Б ) Овде је група реда p, и њена осно- вна област је угаона област величине одређена са две полуправе које p представљају огледала. Сваки операнд има два упоредна изражавања (на пример, и за операнде који нису означени на Сл. 5. Б ) према томе који смо генератор први употребили. Јер су ови изрази једнаки на основу изведених релација 5. p 3. Сматраћемо погодним да употребимо симбол p за означавање ове групе реда p изведене са две рефлексије, или одговарајућу апстрактну групу. Ово обележавање је довољно прилагодљиво да сугерише симболе и * Каже се да је геометријска група дискретна ако свака задата тачка има околину која не садржи ниједну другу тачку еквивалентну задатој тачки. У ствари, ми видимо само коначан број равномерних слика кад је угао у пропорционалности са ; ово је због тога што смо желели " слободну шетњу " да бисмо посматрали све слике које се теоретски јављају.
3 5 ] ДИЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 67 за одговарајуће групе 5. и 5.. (Релације 5. 3 за p подразумевају,и тако своде на ; али релација мора бити схваћена само тако да елемент није периодичан.) Сл.5. Б Сл. 5. Ц p се најјасније види кад узмемо пресек огледала са кругом чији је центар пресечна тачка огледала, и посматрамо ове као рефлексије у односу на тачке овог круга. Тада је основна област лук, као на Сл. 5. Ц. Слике једне од рефлектованих тачака (или једног краја лука) су темена правилног полигона p. (На Сл. 5. Ц, ово је троугао.) Свакако, p је потпуна симетријска група од p, тј.p је диедарска група реда, као она дефинисана на страни 39 и 0. Њена циклична подгрупа реда p је изведена ротацијом. Начин на који произилази као гранични случај од Кад је p релација 5. 3 се може изразити као,, Дакле, је директан производ две групе реда два (изведене редом рефлексијама, које су сад комутативне). Одговарајућа симболика је РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ТРИ ИЛИ ЧЕТИРИ ПРАВЕ. Група изведена рефлексијама у односу на било који број правих једнака је потпуно изведеним рефлексијама у односу на ове праве и у односу на све њихове слике (виртуелна огледала).ако је група дискретна, тада читав скуп правих остварује партицију (разбијање) равни на коначан или бесконачан број подударних конвексних области, а група је изведена рефлексијама у односу на граничне праве сваке поједине области. Читалац ће вероватно желети да прихвати исказ која је од ових основна област,посебно ако је гледао на три или четири стварна огледала постављених вертикално на сто, са свећом као објектом. Очигледно је свака тачка равни еквивалентна некој тачки у почетној области, али није јасно да две различите тачке ове области не могу бити еквивалентне. (У елиптичкој равни, две такве тачке могу бити еквивалентне.) Ипак, ми ћемо потпун доказ одложити до 5. 3, где разматрамо општу теорију у три димензије, из које 3
4 68 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] ова дводимензионална теорија може бити изведена као посебан случај. 0 Унутрашњи углови области морају бити фактори од 80, другим речима то ће бити потподела виртуелним огледалима. Дакле, могући углови 0 0 су 90, 60,..., ниједан од њих није туп. Ова примедба олакшава 3 стварно пребројавање случајева. Ово не узима у обзир могућност да област може имати више од четири странице. Троугаона област са угловима p, q, r задовољава. 3, па ( p q r ) мо- ра бити (3 3 3) или ( ) или ( 3 6) (или пермутација ових бројева). Према томе, имамо једнакостранични троугао, једнакокрако правоугли троугао, и један који је пола од једнакостраничног троугла (видети Сл. 5. А ). Одговарајуће групе су редом означене са 5.,,, 3,6. Последње две су потпуне симетријске групе правилних теселација (видети Сл.. 5 А ). Друге могуће области су: полураван, угао, трака (пруга), полутрака, и правоугаоник. Одговарајуће групе су., p,,, , 3,6 Сл. 5. А
5 5 3] ПРИЗМАТИЧНИ КАЛЕИДОСКОП 69 Последње три групе се јављају кад имамо огледала на два зида обичне собе, или на три зида, или на сва четири ОСНОВНА ОБЛАСТ И ИЗВЕДЕНЕ РЕЛАЦИЈЕ.Група изведена рефлексијама у односу на било који број равни једнака је изворно изведеним рефлексијама у односу на ове равни и све њихове слике. Ако је група дискретна, читав скуп равни остварује партицију простора на коначан или бесконачан број подударних конвексних области, а група је изведена рефлексијама у односу на граничне равни било које области. Нека су ове граничне равни или зидови означени са w, w,..., и нека означава рефлексије у односу на w. Угао диедра између два суседна зида, w и где је p p цели број већи од. Случај кад су w и може бити укључен допуштењем да p буду бесконачни. Рефлексије које се изводе очигледно задовољавају релације 5. 3 p,. где је период од посебно одређен за сваку ивицу области. w, је, p w паралелне равни Настојимо да докажемо да је област ограничена w овима основна област за групу, и да су релације 5. 3 довољне за апстрактну дефиницију. (Ово значи да је свака исправна релација изведена овима алгебарска последица ових једноставних релација.) Области могу бити назване по операндима групе, као у 5.. Другим речима, ако је оригинална област о, онда се изведена област о Ѕ може кратко назвати "област Ѕ". Наша једина недоумица је да ли се можда област Ѕ подудара са облашћу S за два различита операнда S и S. Правило за узастопно именовање различитих области је следеће: ми пролазимо кроз -ти зид области Ѕ у област S. Ово је правило оправдано чињеницом да Ѕ трансформише области и, са њиховим заједничким зидом, у области Ѕ и S, са њиховим заједничким зидом w.(другим речима, Ѕ трансформише о и o, са њиховим заједничким зидом w, у о Ѕ S и o са S њиховим заједничким зидом w. Рефлексија у односу на последњи зид је S S, која трансформише o S S S у o o.) На пример, ми достижемо област од области у три фазе: пролазимо кроз трећи зид области у 3 област 3, затим кроз други зид последње ( 3 ) у област 3, и коначно кроз први зид ове ( 3 ) у област 3. Дакле, различита имена за задату област су дата по различитим стазама ка њој од области. (Под стазом подразумевамо непрекидну криву која не садржи заједничке тачке ивица.) Две такве стазе ка истој области могу се комбиновати да се добије затворена стаза, која добија ново име, рецимо a b... k, S 5
6 70 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 ] за област посебно. Ако можемо доказати да релације 5. 3 повлаче a b... k, то ће онда следити да је именовање области суштински јединствено, да је основна област, и да су релације 5. 3 су довољне. За ову намеру, размотримо шта се догађа у изразу a b... k кад се затворена стаза постепено сужава (слично еластичној траци) док не достигне да лежи читава у области. Кад год стаза изађе из једне области у другу и одмах се врати, ово скретање може бити уклоњено избацивањем поновљеног, у сагласности са. Једина друга врста промене која се може јавити у току повратног процеса је кад стаза тренутно прелази ивицу (заједничку за p области). Ово ће заменити... са... (или обрну- то) на основу релације p. Стезање стазе, дакле, одговара алгебарском свођењу израза a b... k посредством релација Могућност стезања стазе право доле према тачки (или према малом кружном путу унутар области ) је последица тополошке чињенице да је Еуклидов простор просто повезан. Па, онда следи да је a b... k, као што се и желело. Узгредно, свака рефлексија која се јавља у групи је коњугована једној изводној рефлексији. Јер, ако је то рефлексија у односу на ти зид области Ѕ, онда је она изражена као. S 5.. РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ТРИ РАВНИ КОЈЕ СЕ СЕКУ. Ако су све равни рефлексије, чији је број произвољан, нормалне на једну раван, ми можемо узети њихов пресек са том равни, и извести теорију рефлексија у односу на праве равни ( 5. ). Слично, ако све равни рефлексије пролазе кроз једну тачку, ми можемо узети њихов пресек са сфером којој је центар у тој тачки, и извести теорију рефлексија у односу на велике кругове сфере. Основна област је сада сферни полигон (уместо рогља).као тривијалне случајеве морамо допустити полусферу (кад је група ) и месец (кад је она p ). У свим осталим случајевима основна област је сферни троугао. Јер, како је збир углова сферног n гона већи него код равног n гона, тј. n, онда бар један мора бити већи од n ; тако да за n бар n један угао мора бити туп. Пребројавање група изведених рефлексијама у односу на равни које се секу се, дакле, своди на пребројавање сферних троуглова са угловима p,,. Решавајући. 3, налазимо да су могуће вредности за ( p q r ) q r ( p ), ( 3 3), ( 3 ), ( 3 5). (Последња три су илустрована на Сл.. 5 А ) Групе су редом означене са 5. p,, 3,3, 3,, 3,5; јер, као што ћемо ускоро видети, њихове су потпуне симетријске групе ди- 6
7 5 ] ТРИЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 7 едра, тетраедра, октаедра (или коцке), и икосаедра (или додекаедра). Да би се разликовале од ротацијских група, оне се зову проширене полиедарске групе.* Основна област за p, је ограничена са два меридијана и екватором. Дакле, њен калеидоскоп чине два (спојена шаркама) вертикална огледала постављена на хоризонтално огледало.како су прве две рефлексије комутаса трећом, то је онда ова група директан производ: 5. p, p. Веза са диедром објашњена је на стр. 39 и 0 (овог превода). Комбиновањем 5. са 5., имамо,. Ова је група изведена са три узајамно комутативне рефлексије (тј. са три нормална огледала). Основна област за p, q(која је иста као и за q, p) је троугао са угловима,,, чија је површина (ако је нацртан на сфери јединичног полупре- p q чника). p q p q Ред од p, q је број таквих троуглова који ће потпуно покрити сферу (површине ), тј pq 3 g. p q p q Према. 7, ово је четвороструки број ивица одp, q.у ствари, велики кругови који чине овај троугао су управо осе симетрије сферне теселације разматране у 5. Дакле, сви операнди од p, q су симетријски операнди од p, q;а како је њен ред два пута већи од ротацијске групе ( 3 5 ),то је онда p, q потпуна симетријска група од p, q. Сваки од три "триедарска калеидоскопа" сачињен је од три огледала (боље од углачаног метала) одсечених у облику кружног исечка (дужине полупречника како је погодно, рецимо стопе). Углови ових исечака су, свакако,,,. (Видети табелу I на крају књиге.) Криве ивице огледала чине троугао Р 0 Р Р из формула. 5, које дају повод сферној теселацији као на Сл.. 5 А. Објект постављен у темену Р 0 (где се састају q троуглова) има слике у свим тачкама 0, тј. теменима од p, q. Слично, објект у Р p или Р (где се састају или p троуглова) има слике у теменима од или q, p, редом. q 7
8 7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 5] Кад је p, q коцка, тако да је угао код Р, троугао Р0 Р Р може бити спојен са својом сликом у односу на Р Р да се добије правоугли троугао Р 0 Р 0` Р (Сл. 5. А ) који је основна област за 3,3. Рефлексије у односу на Р Р Р Р 0` Р Р 0 Р Р 0` Сл.5. А Сл.5. Б странице овог већег троугла трансформишу Р 0 и Р 0` у темена два реципрочна тетраедра.према томе,стела октангула настаје из чињенице да је основна област за 3, једна половина области за 3,3, која показује да група 3, садржи3,3 као подгрупу индекса два. Слично, бесконачна група 3,6 садржи као подгрупу индекса два. (Видети Слике. А и 5. Б.) РЕФЛЕКСИЈЕ У ОДНОСУ НА ЧЕТИРИ, ПЕТ, ИЛИ ШЕСТ РАВНИ. Употпунили смо пребројавање група изведених једном, две, или три рефлексије. Групе изведене са четири или више рефлексија биће разматране много моћнијим методама у поглављу XI. Тада ће се видети да је следећи списак исцрпљен. Можемо узети једно хоризонтално огледало са три или четири вертикална огледала постављена на то. Тада је основна област бесконачно висока призма, а групе су директни производи,,, 3,6,. (Последња се група јавља кад имамо огледала на сва четири зида собе, и на таваници исто тако.) Или, можемо узети два хоризонтална огледала (горње рефлектујућом страном наниже) са два или три или четири вертикална огледала између њих. Тада је основна област бесконачни клин, или тространа призма од три могућа случаја, или правоугли паралелопипед, а одговарајуће групе су директни производи p,,,, 3,6,. Кад је p, први од ових се разлаже на. Коначно, можемо да рефлектујемо у односу на све четири стране тетраедра (доказано је да су шест углова диедара фактори од 80 ). Основна 0 област може бити четворострано правоугли тетраедар 03 из. 7, или 8
9 5 6 ] ТЕТРАЕДАРСКИ КАЛЕИДОСКОП 73 тространо правоугли тетраедар 003, или тетрагонални дисфеноид 0033; а групе су обележене са ,3,, 3,,. 3 Прве две од ових су потпуне симетријске групе ханикомаба,3, и 3, Друга садржи трећу као подгрупу индекса два, а она сама је подгрупа индекса два у првој ПРЕДСТАВЉАЊЕ ГРАФОВИМА. Различите могућности основних области врло погодно су класификоване према њиховим везама са неизбежним графовима (видети. ). Чворови графа представљају зидове основне области (или огледала калеидоскопа, или рефлексије које се изводе), а два чвора су спојена граном кад год одговарајући зидови (или огледала) нису нормална. Осим тога, ми означавамо гране бројевима p да укажемо на углове ( p 3 ). Због њеног честог појављивања, ознака 3 ће p обично бити изостављена (а лево ће бити подразумевано). Дакле, основна област за p је означена са или или или p према p или или 3 или више (укључујући p ). Случај кад је p (видети 5. ) илуструје чињеницу да је група директан производ једноставнијих група кад год је граф неповезан. Други примери неповезаних графова,, p,, представљају полутраку, правоугаоник, бесконачни клин, бесконачно високу правоугаону призму, и правоугли паралелопипед, који су основне области за,, p,,. Читалац може лако да нацрта графове за друге призматичне области у изразима графова који представљају равне троуглове који су основне области за бесконачне групе 5.. Слично, сферни троуглови који одговарају коначним групама 5. представљени су са 9
10 p 5 и тетраедри који одговарају бесконачној групи 5. 5 представљени су са 7 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 6 ] 5. 6 Погодност оваквог представљања види се у следећој теореми: У случају повезаног графа без иједне парне ознаке (на пр. ако гране нису означене), све рефлексије у групи су коњуговане једна другој. Доказ ове теореме, нека су и две рефлексије представљене чворовима који завршавају грану са p m (на пр. грана је неозначена ако је m m ). Како је, имамо m m m. Дакле, и су коњуговани. Али је релација "коњугованости" транзитивна, па исти закључак важи и ако су ти и ти чвор повезани ланцем било којег броја таквих грана. У случају повезаног графа без иједне парне ознаке, ово значи да су све рефлексије које се изводе коњуговане. Дакле, примедбом на крају 5 3, све рефлексије су коњуговане. На пример, петнаест рефлексија у 3,5 су све коњуговане. Још општије, Ако уклонимо сваку грану која има парну ознаку (оствљајући њена два крајња чвора нетакнута), резултујући граф се састоји од броја комада једнаког броју класа коњугованих рефлексија у групи. Доказ ове теореме, размотримо геометријски шта се дешава кад су два генератора и коњуговани. То значи да се ти зид једне области поклапа тим зидом друге, тј. да та страна претходног лежи у истој равни као та страна следећег. Ове две стране могу бити повезане низом узастопних суседних страна у истој равни. Ако су такве две суседне стране a та једне области и b та друге, тада период производа a b мора бити непаран. (Јер, ако је a b две стране припадају "прамену" страна, p ab сваког типа, зракасто од њихове заједничке странице. Ако је a b, производ је идентитет, и две стране, за представљени циљ, могу бити схваћене као једна.) Такав низ страна одговара ланцу непарно означених (или неозначених) грана које повезују ти и ти чвор. Па следи да, ако су два чвора неповезана после одстрањивања свих парно означених грана, тада одговарајуће рефлексије не могу бити коњуговане. Дакле, 5. 6 је доказана. Овде смо употребили језик три димензије. За дводимензионални случај треба само заменити речи "страна" и "раван" са "страница" и "права". Већ смо запазили, у. 5, да равна или сферна теселација p, qима осе симетрије типова или или 3 према томе колико симбол p, qсадржи 0 или или као парних бројева. Други пример,,3, има равни симетрије од три 0
11 типа (видети стр. 6) зато што је граф подељен на три дела уклањањем две гране означене са. 5 7 ] ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА ВАЈТХОФОВА КОНСТРУКЦИЈА. У графу p q за правоугли троугао, три чвора представљају три странице; прва и друга заклапају, а друга и трећа, док су прва и трећа (неће бити спојене граном) норp q малне. Ови чворови могу се исто тако посматрати као представници наспрамних темена: једног где је угао q, једног где је угао, а једног где је угао p. Цртањем прстена око једног чвора, добијамо погодан симбол за теселацију или полиедар чија су темена све слике одговарајућих темена основне области, тј. све тачке 0 или или на Сл.. 5 А. Ови модификовани графови p q p q p q који се исто тако могу нацртати као p p q q p q представљају редом теселације (или полиедре) p p, q,, q, p. q У ствари Шлефлијеви симболи могу бити посматрани као скраћенице за модификоване графове. Слично, је упоредни симбол за 3,6, p представља полигон p, и је одговарајућа једнодимензионална фигура дуж. На сваком графу 5. 6, четири чвора првобитно представљају четири стране тетраедра, али исто тако могу бити схваћени као представници наспрамних темена редом, наиме (у обележавању са. 7 А ) Цртањем прстена око једног чвора, добијамо симбол за ханикомб чија су темена све слике одговарајућих темена основне области. Дакле, модификовани графови
12 или или 76 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 6 ] представљају правилан ханикомб,3, ; слично или или представљају полуправилан ханикомб 3,, а 3 или или 3 представља квази правилан ханикомб 3,. У ствари симболи 3 3, могу бити схваћени као скраћеница за ова два графа, наиме 3, и 3 и Важно је приметити да графови за полиедре и ханикомбе аутоматски садрже графове за различите стране и ћелије ПАПУСОВО РАЗМАТРАЊЕ ОДГОВАРАЈУЋИХ РЕЦИПРОЧНИХ ПРАВИЛНИХ ПОЛИЕДАРА. У четвртом веку после Христа, Папус је приметио да и икосаедар и додекаедар могу бити уписани у исту сферу на такав начин да дванаест темена првог леже по три на четири паралелна круга, док двадесет темена другог леже по пет на иста четири круга. Каква је општа теорија која подржава ово разматрање? У триедарском калеидоскопу који илуструје група p, q реда g (видети 5. 3), сваки објект издаће g слика, укључујући и сам објект. Кад је објект, који узимамо тачка, покренут према темену Р 0 или Р или Р основне области (или према правој међусобног пресека два од три огледала), слике се приближавају једна другој у скуповима од q или или p, око свих тачака 0 или или. Ово јасно показује да су бројеви елемената од p, q 5. g 8 N 0 q, g g N, N p (видети. 7). За сваку дискретну групу изометријских трансформација, и сваке две тачке P и Q, можемо доказати да су растојања од P до свих слика тачке Q једнака ( у неком редоследу) растојањима од Q до свих слика тачке P. У ствари, ако је Ѕ било која изометријска трансформација, пар тачака P, Q Ѕ је подударан пару тачака Р Ѕ, Q,од којег он може бити изведен применом Ѕ.
13 Допуштајући да Ѕ означава било који операнд у реду, уочавамо да су сви различити положаји од Q Ѕ слике тачке Q, док су сви различити положаји 5 8 ] РЕЦИПРОЧНИ ПОЛИЕДРИ 77 од Р Ѕ слике тачке Р. Посебно, ако је група p, q, а P, Q су Р, Р 0, тада се слике од Q у скуповима од q p, q, док се оне од Р поклапају у поклапају са теменима од p са теменима од p скуповима од q, ; и ми изводимо да се расподела темена од p, qпрема њиховим растојањима од једног темена реципрочног q, pслаже са расподелом темена од q, pпрема њиховим растојањима од једног темена њему реципрочног p, q. Другим речима, ако распоредимо темена од p, qна кругове, према њиховим различитим растојањима од центра једне стране, и тада то исто учинимо за q, p, наћи ћемо да су два система кругова слични, и да су бројеви темена која леже на одговарајућим круговима пропорционални (у односу p : q ). На пример, дванаест темена од 3,5 леже по три на четири круга у паралелним равнима, а двадесет темена од 5,3 леже по пет на четири круга у паралелним равнима; ове се равни могу узети тако да буду исте четири равни, ако су положај и величина два полиедра подешени да равни две наспрамне стране буду исте за оба. (Ово је случај где се два полиедра реципрочних врста разматрају заједно без постављања у њихов уобичајени реципрочни положај.) Одговарајући резултат за 3, и,3, где две наспрамне стране садрже сва темена, је непосредна последица чињенице да два реципрочна полиедра који имају исте полупречнике описаних сфера такође имају и исте полупречнике уписаних сфера (видети. ). Случај од 3,6 и 6,3, где темена распоређујемо на концентричне кругове, је још једноставнији, јер ове две теселације могу бити постављене тако да су темена прве наизменична темена друге (видети Сл.. Д ). Компликованији резултати исте природе се добијају узимањем да Р буде Р, док је Q још увек Р 0. Тада упоређујемо распоред темена од p, q, према њиховим различитим растојањима од средишта једне ивице, са распоредом темена од према њиховим различитим растојањима од це- p q нтра од q ; на пример, темена додекаедра, распоређених у скуповима , могу да леже на истих седам равни као темена икосаедра, распоређених у скуповима Опет, можемо применити исту теорију на групу,3,, узимајући да Q буде теме од,3,, док је Р (рецимо) центар квадратне стране. Тада налазимо да темена од,3, распоређена у скуповима
14 78 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 9] могу да леже на истом бесконачном низу концентричних сфера као темена 3, од, распоређених у скуповима M Q M Q N L L 3 P N K K 3 P O O, 3,5 Сл А ПИТРИЈЕВ ПОЛИГОН И ЦЕНТРАЛНА СИМЕТРИЈА. Нека,, 3 означавају редом рефлексије у односу на странице P P, P P0, P 0P основне области за групу p, q, где су p и q већи од. (Било би можда природније да се означе са 0,,.) Да би се избегли збуњујући индекси, нека P0 и P буду преименовани у O и N. Група трансформише ове тачке у следеће тачке K, L, M, P, Q, као на Сл А. У ствари рефлектује О у М, ротира MN на KL, а 3 ротира MN на QP. Сада је, KMOQ део Питријевог полигона за p, q (видети 6), а LNP део одговарајућег екваторијалног полигона за. Операнд p 3 трансформише KLMNO у q MNOPQ; тј. ово нам узима један корак Питријевог полигона, и један корак екваторијалног полигона. Овај корак се састоји од транслације или ротације која трансформише LN у NP, комбиноване са рефлексијом у односу на LNP. (Ово се слаже са 3. 3, где смо видели да је производ три рефлексије или клизајућа рефлексија или ротацијска рефлексија.) Како је екваторијални полигон h гон (видети. 33), то је онда операнд 3 периода h. Из. 3 и 5. 8, видимо да је овај период повезан са редом групе једноставним формулама 5. 9 g hh, g h, h g. Како је g увек паран, то је такав и h.
15 Кад је p, q коначна, 3 је ротацијска рефлексија која укључује ротацију за ; због тога је h 3 полуобртај или централна инверзија h 5 8 ] ЦЕНТРАЛНА ИНВЕРЗИЈА 79 према томе да ли је h паран или непаран број. У претходном случају група није могла да садржи централну инверзију ако не садржи и рефлексију у односу на LNP; а ова могућност је искључена нашом претпоставком да су p и q већи од. Дакле, централна инверзија припада групи p, q p, q ако и само ако је h непаран број, то се тада изражава као h 3. Први део ове теореме обезбеђује аритметичко објашњење за чињеницу да је 3,3 једино од Платонових тела чија се темена не јављају у дијаметрално супротним паровима. Имајући на уму разматрану везу између Питријевих полигона за p, q и операнда 3 од p, q, ми се природно питамо какав је тип просторног полигона аналогно изведен операндом 3 од,3,.како је 3 завојно кретање, ово ће сигурно бити хеликоидни полигон (видети стр. 39). Ако су његове странице ивице од,3,, ми ћемо то управо дотаћи у називу уопштени Питријев полигон за такав правилни ханикомб. Размотримо хеликоидни полигон KLMNOP... (Сл Б ) који је дефинисан својством да сваке три његове узастопне странице, али не и четири, припадају Питријевом полигону ћелије(тј. коцке).ово ће послужити нашем циљу, ако дефинишемо уопштену рефлексију на следећи начин: је рефлексија у односу на нормалну располовну раван (симетралну раван) од NO, a, 3, рефлексије у односу на равни LMO, LNO, MNO редом. L L P L O N L 5
16 P P Сл Б 80 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ 5 x ] Јер, ове четири равни одређују четворострано правоугли тетраедар, па имамо 3 L =M=M, M =N=N 3, N 3 =O=O, одакле следи да 3 трансформише L у M, M у N, N у O. 5. х. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. Општу теорију геометријских група и њихових основних области развијали су Шварц (), Клајн, Дик (), и Поенкаре. Довољност апстрактне дефиниције 5. 3 установио је Вит (, стр.9). Триедарски калеидоскоп( 5 ), који приказује слике тачке групом изведеном рефлексијама, дао је Мебијус.* Као начин конструисања правилних и полуправилних фигура, његов значај се још јасније види у његовом проширењу на четири димензије, који је разматрао Вајтхоф. + Главна новина представљеног поступка је употреба графова ( 5. 6, 5. 7). Вит и Дајнкин их такође користе; у ствари, они се понекад зову "Дајнкинови симболи"! У 5. 8 смо видели зашто се и икосаедар и додекаедар могу уписати у исти скуп малих кругова сфере. Ову чињеницу разматрао је Папус из Александрије (Књига III, стране 5-58); она се појавила сасвим случајно док је Вајтхофова конструкција открила њен скривени значај. Ј. А. Тод (, стране 6-3) је одредио период производа свих генератора сваке коначне групе изведене рефлексијама. Њена повезаност са Питријевим полигонима и последичне формуле 5. 9 су вероватно нове. * Мебијус, стр. 37; 3, стр. 66, 677, 69 (Слике 7, 5, 5). Видети такође Хес 3 (стр ) и 5; Клајн, стр.; Коксетер 3, стр Оригинални "Калеидоскоп" пронашао је Сер Дејвид Брувстер око 86 год., и он је овде представљен графом који садржи два чвора повезана једном неозначеном граном. + Вајтхоф ; Робинсон ; Коксетер Хит, стр ; Бол, стр. 33; Коксетер 3, стр
17 7
kolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
ВишеЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
ВишеTrougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
ВишеGeometrija molekula
Geometrija molekula Oblik molekula predstavlja trodimenzionalni raspored atoma u okviru molekula. Geometrija molekula je veoma važan faktor koji određuje fizička i hemijska svojstva nekog jedinjenja, kao
Вишеuntitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
Више1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
ВишеМатематика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
ВишеТалесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
ВишеPitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
ВишеZadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
ВишеМатематика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
ВишеMy_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ВишеGrafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr
Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odrediti njene krajeve. b) Odrediti sledeće skupove: -
ВишеMatematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ВишеМатематика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
ВишеMy_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
ВишеTeorija skupova - blog.sake.ba
Uvod Matematika je jedan od najomraženijih predmeta kod većine učenika S pravom, dakako! Zapitajmo se šta je uzrok tome? Da li je matematika zaista toliko teška, komplikovana? Odgovor je jednostavan, naravno
ВишеМ А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
ВишеPEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
ВишеRavno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
ВишеAnaliticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
ВишеТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
ВишеMicrosoft Word - Elektrijada_V2_2014_final.doc
I област. У колу сталне струје са слике када је и = V, амперметар показује I =. Одредити показивање амперметра I када је = 3V и = 4,5V. Решење: а) I = ) I =,5 c) I =,5 d) I = 7,5 3 3 Слика. I област. Дата
ВишеSKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)
SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?
ВишеДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 2006/2007 године I разред
ДРУШТВО ФИЗИЧАРА СРБИЈЕ МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И СПОРТА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ Задаци за републичко такмичење ученика средњих школа 006/007 године разред. Електрични систем се састоји из отпорника повезаних тако
ВишеOkruzno2007ZASTAMPU.dvi
4. RAZRED 1. Koliko ima trouglova na slici? Navesti te trouglove. D E F C A 2. Na koliko naqina Voja, Rade i Zoran mogu da podele 7 jednakih klikera, tako da svaki od Φih dobije bar jedan kliker? 3. TravΦak
ВишеАутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег
Аутор овог документа је Петар Аврамовић. Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили. Немојте
ВишеUniverzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Veli
Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Površina i zapremina poliedara -master radkandidat Miljana Stojanović 65 mentor Prof. dr Ljubica Velimirović Niš, oktobar 2015. Sadržaj 1 Uvod 3 2 Platonova
Вишеhomotetija_ddj.dvi
Homotetija verzija.0: 16.10.016. uxan uki efinicija. Homotetija H O,k sa centrom O i koeficijentom k je preslikavanje ravni koje slika svaku taqku X u taqku X takvu da je OX = k OX. Homotetiju zovemo pozitivnom
ВишеGEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i
GEOMETRIJA 2 zadaci po kojima se dre vebe PODUDARNOST 1. (Sreda linija trougla) Ako su B 1 i C 1 sredixta dui CA i BA trougla ABC, onda su prave BC i B 1 C 1 paralelne i vai B 1 C 1 = 1 2 BC. 2. Ako su
ВишеPowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
ВишеSkripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
ВишеМинистарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III
25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из
ВишеАлгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
ВишеСТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
ВишеRG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
ВишеMatematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
ВишеMicrosoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(2017), DOI: /МК Ž ISSN (o) ISSN (o) ЈЕДНА
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII (4)(07) 9-35 http://www.mvbl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 0.75/МК7049Ž ISSN 0354-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ЈЕДНА КЛАСА ХЕРОНОВИХ ТРОУГЛОВА БЕЗ ЦЕЛОБРОЈНИХ ВИСИНА Милан Живановић Висока
ВишеОрт колоквијум
I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада СИ - 008/009 (10.05.009.) Р е ш е њ е Задатак 1 a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један,
ВишеMicrosoft Word - KUPA-obnavljanje.doc
KUPA Kupa je oblo feometrijko telo čija je onova krug, a omotač je deo obrtne konune površi a vrhom u tački S. S r Oa kupe je prava koja prolazi kroz vrh kupe i centar onove kupe. Ako je oa normalna na
Више{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
ВишеMicrosoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
ВишеРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
ВишеMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0802.doc
Matematika szerb nyelven középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Важне
ВишеMicrosoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJE (PONAŠANJE FUNKCIJE NA KRAJEVIMA OBLASTI DEFINISANOSTI) Ovo je jedna od najznačajnijih tačaka u ispitivanju toka funkcije. Neki profesori zahtevaju da se asimptote rade kao. tačka u
ВишеCelobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
ВишеОрт колоквијум
II колоквијум из Основа рачунарске технике I - 27/28 (.6.28.) Р е ш е њ е Задатак На улазе x, x 2, x 3, x 4 комбинационе мреже, са излазом z, долази четворобитни BCD број. Ако број са улаза при дељењу
Више1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
ВишеPRIMER 1 ISPITNI ZADACI 1. ZADATAK Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o
PRIMER 1 ISPITNI ZADACI Teret težine G = 2 [kn] vezan je užadima DB i DC. Za ravnotežni položaj odrediti sile u užadima. = 60 o, β = 120 o Homogena pločica ACBD, težine G, sa težištem u tački C, dobijena
ВишеPITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
ВишеOsnovni pojmovi teorije verovatnoce
Osnovni pojmovi teorije verovatnoće Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2019 Milan Merkle Osnovni pojmovi ETF Beograd 1 / 13 Verovatnoća i statistika:
ВишеPonovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr
Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zrači svjetlost. Primarni: Sunce, zvijezde, Sekundarni: Mjesec,
ВишеOsnovi programiranja Beleške sa vežbi Smer Računarstvo i informatika Matematički fakultet, Beograd Jelena Tomašević i Sana Stojanović November 7, 2005
Osnovi programiranja Beleške sa vežbi Smer Računarstvo i informatika Matematički fakultet, Beograd Jelena Tomašević i Sana Stojanović November 7, 2005 2 Sadržaj 1 5 1.1 Specifikacija sintakse programskih
ВишеDISKRETNA MATEMATIKA
DISKRETNA MATEMATIKA Kombinatorika Permutacije, kombinacije, varijacije, binomna formula Ivana Milosavljević - 1 - 1. KOMBINATORIKA PRINCIPI PREBROJAVANJA Predmet kombinatorike je raspoređivanje elemenata
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
Више1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
ВишеMicrosoft Word - Elektrijada_2008.doc
I област. У колу сталне струје са слике познато је: а) када је E, E = и E = укупна снага 3 отпорника је P = W, б) када је E =, E и E = укупна снага отпорника је P = 4 W и 3 в) када је E =, E = и E укупна
ВишеЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
ВишеJMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
ВишеMicrosoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1112_szerb.doc
Matematika szerb nyelven középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA SZERB NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Формални
ВишеFOR_Matema_Srednja
Јован Бојиновић НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПОЛАГАЊЕ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗА ФАКУЛТЕТЕ Формуле из планиметрије и стереометрије Страна: ПОВРШИНА ТРОУГЛА. Површина троугла се може израчунати и Хероновим
ВишеОрт колоквијум
Задатак 1 I колоквијум из Основа рачунарске технике I - надокнада - 008/009 (16.05.009.) Р е ш е њ е a) Пошто постоје вектори на којима се функција f не јавља и вектори на којима има вредност један, лако
ВишеАутоматско претварање троугаоних површинских модела у четвороугаоне површинске моделе, погодне за електромагнетску анализу Automatic conversion of tri
Аутоматско претварање троугаоних површинских модела у четвороугаоне површинске моделе, погодне за електромагнетску анализу Automatic converion of triangular urface model into quadrilateral urface model,
Више1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
ВишеMicrosoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt
Полупречник унутрашњег проводника коаксијалног кабла је Спољашњи проводник је коначне дебљине унутрашњег полупречника и спољашњег Проводници кабла су начињени од бакра Кроз кабл протиче стална једносмерна
ВишеCVRSTOCA
ČVRSTOĆA 12 TEORIJE ČVRSTOĆE NAPREGNUTO STANJE Pri analizi unutarnjih sila koje se pojavljuju u kosom presjeku štapa opterećenog na vlak ili tlak, pri jednoosnom napregnutom stanju, u tim presjecima istodobno
ВишеMicrosoft PowerPoint - Predavanje3.ppt
Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Улаз Низ правила (функција F) Излаз Фрактална геометрија и фрактали у архитектури функционални системи Функционални систем: Улаз Низ правила
ВишеMicrosoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
ВишеMicrosoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
ВишеMicrosoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc
VEROVATNOĆA - ZADAI (II DEO) Klasična definicija verovatnoće Verovatnoća dogañaja A jednaka je količniku broja povoljnih slučajeva za dogañaj A i broja svih mogućih slučajeva. = m n n je broj svih mogućih
ВишеVISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ВишеMATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
ВишеMatematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
ВишеMAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO
MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,
ВишеРепублика Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
Више1
Podsetnik: Statističke relacije Matematičko očekivanje (srednja vrednost): E X x p x p x p - Diskretna sl promenljiva 1 1 k k xf ( x) dx E X - Kontinualna sl promenljiva Varijansa: Var X X E X E X 1 N
ВишеMicrosoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
ВишеPredavanje 8-TEMELJI I POTPORNI ZIDOVI.ppt
1 BETONSKE KONSTRUKCIJE TEMELJI OBJEKATA Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Temelji objekata 2 1.1. Podela 1.2. Temelji samci 1.3. Temeljne trake 1.4. Temeljne grede
ВишеДинамика крутог тела
Динамика крутог тела. Задаци за вежбу 1. Штап масе m и дужине L се крајем А наслања на храпаву хоризонталну раван, док на другом крају дејствује сила F константног интензитета и правца нормалног на штап.
ВишеElementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
ВишеUvod u statistiku
Uvod u statistiku Osnovni pojmovi Statistika nauka o podacima Uključuje prikupljanje, klasifikaciju, prikaz, obradu i interpretaciju podataka Staistička jedinica objekat kome se mjeri neko svojstvo. Svi
ВишеMy_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
ВишеMicrosoft Word - AIDA2kolokvijumRsmerResenja.doc
Konstrukcija i analiza algoritama 2 (prvi kolokvijum, smer R) 1. a) Konstruisati AVL stablo od brojeva 100, 132, 134, 170, 180, 112, 188, 184, 181, 165 (2 poena) b) Konkatenacija je operacija nad dva skupa
ВишеMicrosoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx
Универзитет у Београду Математички факултет О неким класичним квадратним Диофантовим једначинама Мастер рад ментор: Марко Радовановић студент: Ивана Фируловић Београд, 2017. Садржај Увод...2 1. Линеарне
ВишеMicrosoft Word - Lekcija 11.doc
Лекција : Креирање графова Mathcad олакшава креирање x-y графика. Треба само кликнути на нови фајл, откуцати израз који зависи од једне варијабле, например, sin(x), а онда кликнути на дугме X-Y Plot на
ВишеSveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o
Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti
ВишеNatjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
ВишеMatrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
ВишеMicrosoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
Вишеknjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
ВишеБеоград, МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА ЗАДАТАК 1 За носач приказан на слици: а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач
Београд, 30.01.2016. а) одредити дужине извијања свих штапова носача, ако на носач делују само концентрисане силе, б) ако је P = 0.8P cr, и на носач делује расподељено оптерећење f, одредити моменат савијања
ВишеMicrosoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Више6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
ВишеKonstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar 2018. 1 Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne funkcije od argumenta n iz skupa N prirodnih brojeva.
ВишеСТЕПЕН појам и особине
СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5
ВишеProracun strukture letelica - Vežbe 6
University of Belgrade Faculty of Mechanical Engineering Proračun strukture letelica Vežbe 6 15.4.2019. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu Danilo M. Petrašinović Jelena M. Svorcan Miloš D. Petrašinović
Више