III ELEKTROMAGNETIZAM

Транскрипт

1 III ELEKTROMAGNETIZAM

2 1 STALNO MAGNETNO POLJE U VAKUMU NAELEKTRISANJE U POKRETU KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA MAGNETNA INDUKCIJA POKRETNOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA MAGNETNA INDUKCIJA SISTEMA POKRETNIH TAČKASTIH NAELEKTRISANJA UTICAJ SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA NA POKRETNO TAČKASTO NAELEKTRISANJE (Lorencova sila) UZAJAMNO DEJSTVO DVA POKRETNA TAČKASTA NAELEKTRISANJA LINIJE MAGNETNOG POLJA POKRETNOG NAELEKTRISANJA STRUJNI ELEMENT KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA MAGNETNA INDUKCIJA STRUJNIH ELEMENATA LINIJSKIH STRUJA BIO-SAVAROV ZAKON MAGNETNI MOMENT RAVNE ZATVORENE STRUJNE KONTURE DEJSTVO SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNE ELEMENTE... 3 DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA PRAVOLINIJSKI PROVODNIK SA STRUJOM... 4 UZAJAMNO DEJSTVO DVA PROVODNIKA SA STRUJAMA... 5 DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU... 6 DEJSTVO HOMOGENOG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU MAGNETNI FLUKS... 9

3 1.3.1 ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETNOG FLUKSA AMPEROV ZAKON PRIMENA AMPEROVOG ZAKONA MAGNETNO POLJE U MATERIJALNOJ SREDINI MAGNETNI MOMENT ATOMA (MOLEKULA) VEKTOR GUSTINE MAGNETNOG MOMENTA; AMPEROVE MIKRO STRUJE GENERALISANI AMPEROV ZAKON; JAČINA MAGNETNOG POLJA MAGNETNE KARAKTERISTIKE MATERIJALA PODELA MAGNETNIH MATERIJALA OBJAŠNJENJE FENOMENA FEROMAGNETIZMA KARAKTERISTIKE MAGNEĆENJA I CIKLUS HISTEREZISA MAGNETNA KOLA LINEARNA MAGNETNA KOLA NELINEARNA MAGNETNA KOLA KOEFICIJENTI INDUKTIVNOSTI... 56

4 5.1 KOEFICIJENT SAMOINDUKTIVNOSTI KOEFICIJENT MEĐUSOBNE INDUKTIVNOSTI PROMENLJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE LENCOVO PRAVILO VRSTE ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE PROTEKLA KOLIČINA ELEKTRICITETA PRI PROMENI FLUKSA KROZ KONTURU INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE PRI DINAMIČKOJ INDUKCIJI INDUKOVANA ELEKTROMOTORNA SILA DINAMIČKE INDUKCIJE DOKAZ POSTOJANJA INDUKOVANOG ELEKTRIČNOG POLJA DINAMIČKE INDUKCIJE STATIČKA INDUKCIJA ELEKTROMOTORNA SILA SAMOINDUKCIJE ELEKTROMOTORNA SILA MEĐUSOBNE INDUKCIJE INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE STATIČKE INDUKCIJE MEŠOVITA ILI SLOŽENA INDUKCIJA UKUPNO ELEKTRIČNO POLJE ENERGIJA MAGNETNOG POLJA... 86

5 6.6.1 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA KALEMA LOKALIZACIJA ENERGIJE U MAGNETNOM POLJU GUSTINA ENERGIJE MAGNEĆENJA FEROMAGNETIKA... 90

6 1 STALNO MAGNETNO POLJE U VAKUMU 1.1 NAELEKTRISANJE U POKRETU KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA Posmatramo naelektrisano telo u vakumu sa količinom naelektrisanja Q. Svako naelektrisano telo (pokretno ili nepokretno) stvara u proizvoljnoj tački M okolnog prostora električno polje koje opisujemo vektorom jačine električnog polja E. Ukoliko se naelektrisano telo kreće brzinom v, ono oko sebe stvara još jedno fizičko polje koje nazivamo magnetno polje. Magnetno polje se opisuje vektorom magnetne indukcije B. Jedinica magnetne indukcije je tesla (T). Pokretno naelektrisano telo Q u nekoj proizvoljnoj tački M okolnog prostora stvara električno i magnetno polje, koja opisano vektorima E i B.

7 1.1.1 MAGNETNA INDUKCIJA POKRETNOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće se brzinom v u vakumu. Posledica: Oko naelektrisanja Q polje. stvara se magnetno Cilj: Odredimo vektor magnetne indukcije B u proizvoljnoj tački M na rastojanju r od pokretnog naelektrisanja Q : B Qv r 4 r T c H m magnetna permeabilnost vakuma Vektor B je normalan na vektor brzine v i na poteg r. Izvor magnetnog polja je proizvod Qv.

8 1.1. MAGNETNA INDUKCIJA SISTEMA POKRETNIH TAČKASTIH NAELEKTRISANJA Pretpostavka: Posmatrajmo sistem od N koji se kreću brzinama v,, 1 v N. tačkastih naelektrisanja u vakumu, Q,,, 1 Q N Rezultujuća magnetna indukcija u proizvoljnoj tački M iznosi: B Q v r N N 0 i i 0i Bi i1 4 i1 ri (princip superpozicije) r i, i 1,, N - odstojanje tačke M od tačkastog naelektrisanja Q, r 0i - jedinični vektor usmeren od tačkastog naelektrisanje Q i ka tački M. i

9 1.1.3 UTICAJ SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA NA POKRETNO TAČKASTO NAELEKTRISANJE (Lorencova sila) Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q magnetnom polju indukcije B. Posledica: Na Q Fm Qv B F v, F B m m deluje magnetna sila: kreće u spoljašnjem LORENCOVA SILA Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće u spoljašnjem električnom E i magnetnom polju B. Posledica: Na Q deluje elektromagnetna sila (Lorencova sila): F F F QE Qv B F Q( E v B) e m

10 1.1.4 UZAJAMNO DEJSTVO DVA POKRETNA TAČKASTA NAELEKTRISANJA Pretpostavka: Dva tačkasta naelektrisanja i kreću se konstantnim brzinama i Posledica: Pored električnih sila naelektrisanja međusobno deluju i magnetnim silama. UTICAJ NAELEKTRISANJA Q 1 Q 1 Q NA NAELEKTRISANJE Q Jačina elektrostatičkog polja i magnetne indukcije, koja potiče od naelektrisanja Q 1, u tački gde se nalazi naelektrisanje Q. v 1 v 1 Q E r, Q v r B r r Lorencova sila koja deluje na naelektrisanje Q F F F e m F Q E e 1 Q v Q v r F Q v B 4 r m 1 Slični izrazi se mogu izvesti i za Lorencovu silu F 1 koja deluje na naelektrisanje Q 1.

11 1.1.5 LINIJE MAGNETNOG POLJA POKRETNOG NAELEKTRISANJA Pretpostavka: Posmatramo pokretno tačkasto naelektrisanje konstantnom brzinom v u vakumu. Posledica: Oko naelektrisanja Q stvara se električno i magnetno polje. Q koje se kreće Električno i magnetno polje u tački M koja je definisana potegom r u odnosu na položaj naelektrisanja, pri čemu je poteg r upravan na vektor brzine v r v ), iznose: ( 0 Q E k r 0 E r0 r 0 Qv r0 B B v, B r 4 r r v 0 0 E v, B v, B E, B r 0 Vektori E i B leže u ravni koja je normalna na vektor brzine v.

12 Linije polja vektora magnetne indukcije su zamišljene linije koje u svakoj tački za tangentu imaju vektor magnetne indukcije. Linije polja vektora B naelektrisanja koje se kreće konstantnom brzinom v su kružnice čiji centar leži na putanji naelektrisanja. Orjentacija linija polja vezana je pravilom desne zavojnice u odnosu na referentni smer brzine. Magnetno polje je vrtložno jer su linije polja zatvorene. Linije vektora magnetne indukcije nemaju ni početka ni kraja, tj. linije polja nemaju izvore i ponore. Magnetno polje je bezizvorno, tj. ne postoje magnetne mase kao izvori magnetnog polja.

13 1. STRUJNI ELEMENT KAO IZVOR MAGNETNOG POLJA Posmatramo skup N pokretnih naelektrisanja koja se kreću u strujnom polju. Strujni element predstavlja skup pokretnih naelektrisanja u nekom strujnom polju, koji se kreću brzinom v. U proizvoljnoj tački oko strujnog elementa, vektor magnetne indukcije iznosi: Član Q v r B 4 Qv N 0 i i 0i i 1 ri prestavlja izvor magnetnog polja koje potiče od pokretnog strujnog elementa U zavisnosti od geometrijskog oblika strujnog elementa, razlikujemo tri vrste strujnih elemenata: 1. strujni element zapreminskih struja,. strujni element površinskih struja i 3. strujni element linijskih struja.

14 Strujni element zapreminskih struja Čine ga sva pokretna naelektrisanja u maloj zapremini dv Qv J dv V J V - vektor zapreminske gustine struje Strujni element površinskih struja Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj površini ds Qv J SdS S J - vektor površinske gustine struje Strujni element linijskih struja (strujna kontura) Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj dužini dl Qv Idl I - jačina linijske struje, dl - ima istu orjentaciju kao i referentni smer struje I U praksi, strujni element predstavlja tanki žičani provodnik sa strujom I. Strujna kontura je zatvoreni strujni element.

15 1..1 MAGNETNA INDUKCIJA STRUJNIH ELEMENATA LINIJSKIH STRUJA BIO-SAVAROV ZAKON Pretpostavka: Posmatramo provodnik proizvoljnog oblika sa strujom. I Cilj: Treba odrediti magnetnu indukciju B u proizvoljnoj tački M u okolini strujne konture. Rešenje: Magnetna indukcija strujnog elementa Idl u tački M iznosi: db 4 Qv r 0 0 i Qv Idl r Idl r db 4 r 0 0 Ukupna magnetna indukcija strujnog provodnika dužine L koja se nalazi u vakumu iznosi: 0 Idl r0 B 4 (Bio-Savarov zakon za linijske struje) L r

16 MAGNETNA INDUKCIJA STRUJNOG ELEMENTA KOJI PRIPADA JEDNOJ RAVNI Pretpostavka. Posmatra se strujni element koji leži u jednoj ravni. Cilj: Odrediti magnetno polje u proizvoljnoj tački M te ravni. Rešenje: Usvojimo polarni koordinatni sistem sa centrom u tački M i polupravom Pozitivni smer ugla biramo u smeru struje. Magnetna indukcija db u tački M za strujni element Idl dobija se primenom Bio- Savarov-og zakona: I dl r Ird Id db dbi dl r dl i rd i db 4 r 4 r 4 r z, 0 z z 0 rd Ukupna magnetska indukcija u tački M iznosi: p. I d B r 0 4 L Pozitivan smer ugla računa se u smeru struje: 0 u smeru struje 0 suprotno smeru struje poluprava

17 Slučaj 1. Pravolinijski provodnik sa strujom konačne dužine 0I d 0I d B 4 r 4 d / cos B L d / cos 0I 0I cos d sin sin1 4d 4d I 4 d 1 0 sin sin1, 1 0, 0 Ako umesto uglova 1 0 i 0 koristimo uglove 1 / 1 i /, koji predstavljaju unutrašnji i spoljašnji ugao u trouglu sa slike u smeru struje, dobija se sledeća praktičnija formula za izračunavanje magnetne indukcije: B I 0 cos1 cos 4 b Orjentacije uglova 1 i ne uzimaju se u obzir. I

18 Slučaj. Veoma dug pravolinijski provodnik sa strujom 1 0, I I B 0 cos 0 1 cos 1 ( 1) 4d 4d, 0I B d Slučaj 3. Kružna strujna kontura koja leži u ravni crteža 0I d 0I 0I 0I B d 4 a 4 a 4 a a L 0I B a Slučaj 4. Deo kružne strujne konture 0I B a 0

19 MAGNETNA INDUKCIJA KRUŽNE STRUJNE KONTURE B z Cilj: Odrediti vektor u tački M na z-ose kružne strujne konture. Rešenje: Komponenta magnetna indukcija u tački M duž z-ose, db, koja potiče od strujnog elementa Idl iznosi: z I dl r 0 0 dbz db cos, db db, 4 r 0 Idl r0 dl dl r0 dl 1 dl, db cos 4 r Ukupna magnetna indukcija duž z-ose, B, iznosi z r a z a Idl a Ia Ia Bz dbz db dl a r 4 r r 4 r 4 r L L L a a r x 0I B a a z 3 i z Iz razloga simetrije, ukupna normalna komponenta B n iznosi nula, pa je B Bz. Smerovi struje I i magnetske indukcije B vezani su pravilom desne zavojnice.

20 Slučaj. Magnetna indukcija strujne konture u centru kruga Za z 0, B I a I a I a a a z0 3/ 3 B z0 I 0 a Isti rezultat je dobijen primenom formule za magnetnu indukciju ravnog strujnog elementa. Slučaj. Magnetna indukcija kalema sačinjenog od N gusto motanih kružnih zavojaka. 0I BzN N Bz N a a z 3/

21 MAGNETNA INDUKCIJA KALEMA Posmatramo kalem (strujni element sačinjen od N kružnih navojaka) poluprečnika a kroz kojih protiče struja. I Ukupna magnetna indukcija u tački M na iznosi: B NI l 0 cos1 cos N N / l - podužna gustina navojaka z -osi kalema Referentni smerovi vektora B su pravilom desne šake. i struje I vezani Slučaj. Veoma dug kalem, 1 0, B NI 0 cos cos NI 1 ( 1) NI l l l NI 0 B (polje unutar veoma dugog kalema je konstantno) l

22 MAGNETNI MOMENT RAVNE ZATVORENE STRUJNE KONTURE Posmatramo ravnu strujnu konturu sa strujom Magnetni moment ravne strujne konture sa strujom I definiše se kao: m IS I - jačina struje u konturi S - vektor površine koja je oslonjena na konturu, - orjentisan je po pravilu desne zavojnice u odnosu na referentni smer struje konture. I.

23 1.. DEJSTVO SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNE ELEMENTE Pretpostavka: Strujni element Qv se nalazi u stranom magnetnom polju indukcije B. Cilj: Odrediti magnetnu silu koja deluje na ovaj strujni element. Rešenje: Na strujni element deluje magnetna sila df Qv B m Za strujni element zapreminskih struja Qv JdV dfm JdV B Za strujni element površinskih struja Qv JdS dfm JdS B Za strujni element linijskih struja Qv Idl dfm Idl B

24 DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA PRAVOLINIJSKI PROVODNIK SA STRUJOM Pretpostavka: Posmatramo dug pravolinijski provodnik sa strujom spoljašnjem homogenom magnetnom polju B. Cilj: Odrediti magnetnu silu kojom spoljašnje polje deluje na pravolinijski provodnik sa strujom dužine. l Rešenje: Magnetna sila koja deluje na linijski strujni element Idl I u df Idl B df Idl B m m Ukupna magnetna sila koja deluje na provodnik dužine l F ( Idl B) I dl B Il B m 0 0 l, Ako je B L onda važi: Fm BIl (AMPEROVA SILA) m l F IdlB BI dl BIl l 0 0 l je u smeru struje l : I Podužna magnetna sila m m N /m F F / l BI

25 UZAJAMNO DEJSTVO DVA PROVODNIKA SA STRUJAMA Pretpostavka: Posmatramo dva dugačka paralelna pravolinijska provodnika sa strujama i suprotnih smerova. Cilj: Odrediti magnetne sile kojim provodnici uzajamno deluju. I 1 I Rešenje: Magnetna indukcija prvog provodnika na mestu drugog je konstantna i iznosi: B I d (prema usvojenim referentnim smerovima za I 1 i B 1 ) Magnetna sila koja deluje na strujni element Idl drugog provodnika: 0I1Idl dfm Idl B1, dfm B1I dl (odbojna sila) d Ukupna magnetna sila iznosi : F I I l d 0 1 m (odbojna sila) Podužna magnetna sila kojom prvi provodnik sa strujom deluje na drugi provodnik sa strujom je: Sila je odbojna ako su struje provodnika suprotne, F m 0I1I N F m inače je privlačna. Ista formula važi i za dejstvo l d m drugog provodnika na prvi.

26 DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU Pretpostavka: Posmatramo krutu strujnu konturu proizvoljnog oblika sa strujom koja se nalazi u magnetnom polju B. I Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu kojom spoljašnje magnetno polje deluje na ovu konturu. Rešenje: Magnetna sila koja deluje na strujni element Idl konture iznosi: dfm Idl B Ukupna magnetna sila koja deluje na celu zatvorenu konturu sa strujom m F Idl B C I :

27 DEJSTVO HOMOGENOG MAGNETNOG POLJA NA STRUJNU KONTURU Pretpostavka: Posmatramo krutu strujnu konturu sa strujom magnetnom polju indukcije B Const. 0 I u homogenom Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu i moment sprega sila koji deluju na ovu konturu. Rešenje: 1. Magnetna sila Fm Idl B I dl B 0 C C F 0 m U homogenom magnetnom polju, spreg magnetnih sila koja deluje na zatvorenu strujnu konturu jednak je nuli.

28 . Moment sprega magnetnetnih sila na konturu Može se pokazati da moment sprega magnetnih sila koje deluju na konturu iznosi: M m m B Am T Nm m S IS - magnetni moment strujne konture - vektor površine oslonjen na strujnu konturu orjentisan prema pravilu desne šake u odnosu na smer struje u konturi. U homogenom magnetnom polju javlja se moment sprega magnetnih sila Mm m B koji teži da zaokrene zatvorenu strujnu konturu tako da se njen magnetni moment m poklopi sa indukcijom spoljašnjeg magnetnog polja B. Kada se m poklopi sa B, moment sprega sila iznosu : M m B mbsin0 0 m

29 1.3 MAGNETNI FLUKS Fluks vektora magnetne indukcije B BdS Wb Tm S kroz površ S definiše se na sledeći način: Površ ds orjentisana je u smeru usvojene normale n ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETNOG FLUKSA Fluks vektora magnetne indukcije B zatvorenu površ S jednak je nuli. S BdS 0 Posledica: kroz proizvoljnu Broj linija sila koje izađu iz zatvorene površine mora biti jednak broju linija sila koje uđu u zatvorenu površinu. Linije vektora magnetne indukcije su zatvorene linije (nemaju početak i kraj).

30 Primer. Odredimo fluks kroz površ S koja naleže na pravougaonu konturu u magnetnom polju dugačkog pravolinijskog provodnika sa strujom. Rešenje. Usvojimo smer konture C kao na slici. Smer vektora površine S određujemo pravilom desne šake u odnosu na smer konture. Magnetna indukcija na rastojanju x od dugog pravolinijskog provodnika sa strujom iznosi: 0I B x Magnetni fluks kroz površ ds bdx iznosi: 0I 0Ibdx d BdS BdS ds x x Ukupni fluks kroz konturu C iznosi: xac xac xac Ib Ib dx Ib Ib a c dx ln x ln x x c xc xc xc I

31 1.4 AMPEROV ZAKON Za magnetno polje električnih struja u vakumu važi Amperov zakon: B Linijski integral vektora po nekoj zatvorenoj konturi C (cirkulacija vektora ) srazmeran je algebarskom zbiru struja koje prolaze kroz površinu koja se oslanja na tu konturu: B C Bdl 0 I I - algebarska suma struja koje protiču kroz zatvorenu konturu C, odnosno kroz proizvoljnu površ S koja se oslanja na konturu C. - Pozitivan smer proticanja struje određuje se po pravilu desne šake u odnosu na proizvoljno izabrani smer obilaženja po konturi C.

32 Za kalem sa N glasi navojaka važi I NI, pa Amperov zakon C C Bdl NI 0 U slučaju kada struje nisu kanalisane duž tankih provodnika, već je zadato strujno polje opisano vektorom gustine struje, važi I JdS I NI, pa Amperov zakon glasi J, Linijski integral vektora B po nekoj zatvorenoj konturi C srazmeran je fluksu vektora gustine struje kroz površinu koja se oslanja na konturu C Bdl JdS C 0 S S kroz C

33 1.4.1 PRIMENA AMPEROVOG ZAKONA Slučaj 1. Magnetna indukcija dugačkog pravolinijskog provodnika sa strujom Posmatramo veoma dugačak pravolinijski provodnik sa strujom Simetrija linije vektora magnetne indukcije B provodnika sa strujom su kružnice koje leže i ravnima koje su normalne na provodnik, intenzitet B zavisi samo od rastojanja r I od provodnika.. Smer vektora B je određen pravilom desnog zavrtnja (šake) u odnosu na smer struje Primenom Amperovog zakona dobija se: C Bdl I 0 Bdl Bdl B dl Br I C C C 0 I. 0I B r Isti rezultat je dobijen i primenom Bio-Savarovog zakona.

34 Slučaj. Magnetna indukcija torusnog namotaja sa N namotaja Simetrija linije vektora B Primenom Amperovog zakona dobija se: Za a r b : Za r su kružnice poluprečnika r NI Bdl B r 0I 0 kroz C 0NI, B C b ili r a : Bdl B r I 0 0 C B 0 0 kroz C 0 r unutar torusa. Za tanki torus ( b a a ) B NI 0 0I l - dužina srednje linije torusa r N l Magnetna indukcija tankog torusnog namotaja sa strujom I je približno konstantna i iznosi 0 IN / l.

35 MAGNETNO POLJE U MATERIJALNOJ SREDINI.1 MAGNETNI MOMENT ATOMA (MOLEKULA) Elektron koji se kreće po orbiti poluprečnika r oko jezgra atoma sa periodom T može se smatrati strujnom konturom čiji struja i orbitalni magnetni moment m iznose Q e I e ef t T, m IeS efs efr Usled rotacije oko svoje ose, elektron poseduje i magnetni moment spina m, ali je on za većinu s materijala zanemarljiv u odnosu na orbitalni magnetni moment. Magnetni moment jednog atoma (molekula) predstavlja vektorski zbir magnetnih momenata pojedinačnih elektrona atoma (molekula) m m i i e U magnetnom smislu, svaki atom (molekul) materijala se može zamisliti kao mala strujna kontura (Amperova struja) u vakumu koja se opisuje magnetnim momentom m.

36 . VEKTOR GUSTINE MAGNETNOG MOMENTA; AMPEROVE MIKRO STRUJE Magnetni momenti atoma ili molekula su pogodni za analizu ponašanja materijalne supstance u magnetnom polju na nivou mikrosveta. Za makroskopsku analizu uvodi se nove veličine. Osnovna makroskopska veličina kojom se karakteriše stanje namagnetisanosti materijalne sredine je vektor gustine magnetnih momenata (u literaturi se on drugačije naziva i vektor magnetizacije). Vektor gustine magnetnih momenata predstavlja količnik vektorskog zbira magnetnih momenata svih atoma u maloj zapremini V i zapremine V : M V m V jedinica je A m Element materijalne sredine zapremine V, na mestu gde je vektor magnetizacije M poseduje magnetni moment m M V

37 Posmatrajmo jedan mali cilindrični element materijalne sredine zapremine koji je namagnetisan i neka je vektor magnetizacije normalan na bazis površine moment ovog malog materijalnog elementa iznosi: V M m MV Mh S S. Magnetni Zamislimo sada jedan nematerijalni cilindar u vakumu istih dimenzija kao i prethodni cilindar i neka po površini omotača ovog cilindra teče struja I A (Amperova mikrostruja). Ova struja formira strujnu konturu čiji magnetni moment iznosi m I A S U magnetnom smislu, ova dva cilindra će biti ekvivalentna ako su njihovi magnetni momenti međusobno jednaki: MhS I A S I A M h di A Mdh (za elementarni cilindar) materijal vakum Element materijalne sredine cilindričnog oblika, čiji gustina magnetnih momenata iznosi M, može se zameniti Amperovom mikrostrujom u vakumu jačine di A Mdh

38 .3 GENERALISANI AMPEROV ZAKON; JAČINA MAGNETNOG POLJA Amperov zakon daje vezu između vektora magnetne indukcije i kondukcionih struja u vakumu: B dl 0I C Ako uticaj materijalne sredine zamenimo sistemom Amperovih mikrostruja u vakumu, Amperov zakon se može primeniti i za određivanje magnetnog polja u materijalnoj sredini. Zbiru struja I, koji se nalazi na desnoj strani Amperovog zakona, treba dodati i Amperove mikrostruje I A, koje su takođe uzročnici magnentnog polja. C B dl I I 0 A Neka kroz N navojaka, koji se nalaze u vakumu u blizini materijalne sredine protiče struja I. Ova struja formira magnetno polje koje se prostire u vakumu i materijalu. Usvojimo konturu C koja jednim delom prolazi kroz vakum a drugim delom kroz materijalnu sredinu. cilindar (D) cilindar (3D)

39 Suma Amperovih mikrostruja obuhvaćenih konturom C iznosi I di di di di A A A A A AaB AaB BaA C Amperove mikrostruje su povezane sa vektorom magnetizacije M : Sa slike se vidi da je dh dl cos M, dl di A Mdh Mdl cos M, dl M dl, di A M dl Za sumu Amperovih mikrostruja dobija se sledeći izraz: A A C C I di M dl Amperov zakon poprima sledeći oblik C C B dl 0 I M dl C B M dl I 0 di A Mdh, pa jačina Amperovih mikrostruja iznosi cilindar (D)

40 Definišimo vektor jačine magnetnog polja H kao: B H M jedinica: 0 Generalisani Amperov zakon: A m B M dl I H dl I C 0 C H Linijski integral vektora jačine magnetnog polja po proizvoljno zatvoreno konturi jednak je algebarskoj sumi kondukcionih struja koje prodiru površinu koja se oslanja na konturu integracije C H dl I U slučaju kasa struje nisu kanalisane tankim provodnicima, već je zadato strujno polje vektorom gustine struje J, generalisani Amperov zakon glasi: Linijski integral vektora jačine magnetnog polja po proizvoljno zatvoreno konturi jednak je fluksu vektora gustine kroz površinu koja se oslanja na konturu integracije H dl JdS C S

41 Veze između vektora B, H i M : B H M B 0 H M Osnovna veza između vektora B, H, M Za vakum: 0 M 0 B 0H U vakumu su spektri polja vektora B i H identični. Pošto vektor H ne zavisi od sredine, znači da je spektar polja H u bilo kojoj sredini isti kao i u vakumu. ZA LINEARNE SREDINE (sve sredine izuzev feromagnetika) važi linearna veza između vektora M i H : M H, m - magnetna susceptibilnost m 1 B H M H H H H H 0 0 m 0 m 0 r r 1 m relativna magnetna permeabilnost materijala, magnetna permeabilnost materijala. B H

42 3 MAGNETNE KARAKTERISTIKE MATERIJALA 3.1 PODELA MAGNETNIH MATERIJALA Prema magnetnim osobinama, svi materijali koji se koriste u elektrotehnici mogu se podeliti u dve osnovne grupe: linearni i nelinearni magnetni materijali. Kod linearnih magnetnih materijala važi linearna veza između vektora M i H : M mh odnosno, apsolutna i relativna magnetna permeabilnost su konstantne veličine 0 1 m Prema znaku magnetne susceptibilnosti, tj. vrednosti magnetne permeabilnosti, linearni materilaji se dele na diamagnetike ( m 0 r 1 m 1) paramagnetike ( m 0 r 1 m 1) Kod dijamagnetika i paramagnetika m je izuzetno malo, tako da se njihova relativna magnetna permeabilnost veoma malo razlikuje od jedinice ( r 1 ). U praktičnim izračunavanjima diamagnetne i paramagnetne sredine možemo tretirati kao vakum. U ovim sredinama mogu se primeniti svi rezultati i izrazi dobijeni za magnetno polja u vakumu.

43 Kod nelinearnih magnetnih materijala veza između vektora m m i nisu konstantne veličine, već zavise od jačine magnetnog polja i zavise i od magnetnog stanja materijala ( M ). U nelinearne magnetne materijale spadaju feromagnetici gvožđe, kobalt, nikl i njihove legure. H, M i B nije linearna. Kod feromagnetnih materijala, pri povećanju spoljašnjeg magnetnog polja H, magnetna indukcija brzo raste i dostiže velike vrednosti usled brzog porasta vrednosti magnetizacije M (kriva a) 0 B H M Pri jednoj određenoj vrednosti jačine polja H HS, magnetizacija M dostiže maksimalnu vrednost (vrednost zasićenja M ), pri čemu magnetna indukcija iznosi B B H M S S 0 S S Nakon dostizanja zasićenja, sa porastom H, indukcija B nadalje linearno raste (kriva b) B H M 0 S S H.

44 Kod feromagnetika i nakon prestanka delovanja stranog polja H, magnetizacija M pada na nulu. Zbog toga feromagnetici zadržavaju stanje namagnetisanosti. ne Temperaturna zavisnost feromagnetika Kod feromagnetnih materijala magnetizacija M opada sa porastom temperature. Pri jednoj određenoj temperaturi, koja se naziva Kirijeva temperatura, feromagnetici gube feromagnetna svojstva. Primena feromagnetika Koriste se za izradu: stalnih magneta magnetnih kola električnih mašina i transformatora, gde služe za kanalisanje magnetnog fluksa i ostvarivanje velikih vrednosti magnetne indukcije.

45 3. OBJAŠNJENJE FENOMENA FEROMAGNETIZMA U feromagnetnim materijalima postoje mikroskopski mali domeni spontane namagnetisanosti (slika a). Ovi domeni su namagnetisani do zasićenja. Odsustvo stranog magnetnog polja H 0 Ukoliko materijal nije bio prethodno namagnetisan, magnetni momenti m domena su orjentisani u raznim pravcima, tako da je njihov vektorski zbir u posmatranoj zapremini V jednak nuli m 0 M m / V 0 a b c d e f

46 Prisustvo stranog magnetnog polja H 0 Kada se jačina stranog magnetnog polja postepeno povećava od nule, dolazi do rasta jednih domena na račun drugih domena (slika b, prethodna strana). Pri malim jačinama stranog polja, proces je reverzibilan - nakon prestanka delovanja stranog polja domeni se vraćaju u prvobitni položaj. Sa daljim povećanjem polja H pomeranje granica domena postaje nereverzibilno (slike c i d, prethodna strana). Domeni rastu a njihovi magnetni momenti teže da se postave u pravcu stranog polja, pri čemu magnetizacija M naglo raste. Zavisnost magnetne indukcije B od stranog polja H označena je na slici krivom 0-1, a njen matematički izraz je: 0 B H M, za 0 H HS Pri određenoj jačini stranog polja čija magnetizacija dostiže maksimalnu vrednost (zasićenje) H S, ceo uzorak materijala postaje jedinstven domen M S (slika e). Odgovarajuća magnetna indukcija u materijalu se naziva magnetna indukcija zasićenja B H M, za H HS S 0 S S

47 Povećanje stranog polja iznad vrednosti do maksimalne vrednosti dovodi do neznatnog linearnog povećanja indukcije B (slika f i kriva 1- na slici desno) H max 0 S B H M, za HS H Hmax Zavisnost magnetne indukcije B od postepenog povećanja jačine stranog polja H, 0 H H, prikazana je na slici krivom max H S Pri SMANJIVANJU jačine stranog magnetnog polja od vrednosti H max do vrednosti H S, magnetna indukcije se linearno smanjuje po istoj krivoj 1- kao i pri uvećanju H. Sa daljim smanjivanjem jačine magnetnog polja od H HS do H 0, usled termičkih kretanja, dolazi do dezorijentacije i usitnjavanja domena spontane namagnetisanosti. Smanjuje se magnetizacija M a samim tim i indukcija B. Smanjenje indukcije B ne odvija se po krivoj 1-0 kao kod povećanja H, već po krivoj 1-3. Kada se jačina stranog polja smanji na nulu, materijal se ne vraća u prvobitno neutralno stanje, pri čemu u materijalu postoji zaostala magnetizacija, odnosno zaostala magnetna indukcija B (remanentna magnetna indukcija). r

48 3.3 KARAKTERISTIKE MAGNEĆENJA I CIKLUS HISTEREZISA Karakteristika magnećenja predstavlja zavisnost magnetne indukcije B u feromagnetiku od jačine stranog polja H, B B( H) Karakteristika magnećenja se dobija višestrukom merenjem magnetne indukcije B pri postepenom povećanju stranog magnetnog polja H od nule do maksimalne vrednosti H max, zatim njegovim smanjivanjem do minimalne vrednosti H max i na kraju povećavanjem do maksimalne vrednosti H max. Karakteristika magnećenja je nelinearna funkcija koja poseduje histerezis. Histrerzisna kriva sadrži sledeće elemente 0-1-: kriva prvobitnog magnećenja 1-: zasićenje -1-3: razmagnetisavanje materijala : magnećenje (suprotni smer) 5-6: zasićenje : razmagnetisavanje materijala 8-1-: magnećenje materijala 1-: zasićenje

49 Za H 0 Za B 0 Nakon ukidanja spoljašnjeg magnetnog polja ( H 0) u feromagnetiku postoji zaostala magnetizacija, odnosno zaostala magnetna indukcija Br 0Mr koju nazivamo remanentna magnetna indukcija. Da bi magnetna indukcija u feromagnetiku bila jednaka nuli ( B 0), potrebno je uspostaviti spoljašnje magnetno polje jačine H Hc koje nazivamo koercitivno magnetno polje. B H M HC M 0 0 C Oblik histerezisnog ciklusa zavisi od vrste feromagnetnog materijala kao i od maksimalne vrednosti jačine magnetnog polja H. Prema širini histerezisa, feromagnetike možemo podeliti na: magnetno meke feromagnetike imaju uzani histerezis (malo H C ) magnetno tvrde feromagnetike - imaju široki histerezis (veliko H C ) M r max

50 4 MAGNETNA KOLA Magnetno kolo je skup tela i sredina koje obrazuju put po kome se zatvara magnetni fluks. U zavisnosti od materijala od koga su načinjena, magnetna kola se dele na linearna i nelinearna. 4.1 LINEARNA MAGNETNA KOLA Linearna magnetna kola su načinjena od dijamagnetnih i paramagnetnih materijala. Da bi se kanalisao magnetni fluks kroz magnetno kolo, za izgradnju linearnih magnetnih kola koristi se isključivo torus od dijamagnetika ili paramagnetika na koji je gusto i ravnomerno namotan određeni broj navojaka tanke žice. Linearna magnetna kola se ne koriste u elektrotehnici zbog malih vrednosti magnetne indukcije koja se postiže unutar magnetnog kola.

51 4. NELINEARNA MAGNETNA KOLA Nelinearna magnetna kola su magnetna kola čiji je bar jedan deo načinjen od feromagnetnog materijala. Često se magnetna kola izrađuju sa jednim ili više vazdušnih procepa kako bi se u njima postigle visoke vrednosti jačine magnetnog polja H B B B A/m

52 Pretpostavke vezane za analizu magnetnih kola 1. Zanemaruje se rasipanje magnetnih flukseva u magnetnom kolu.. H i B su homogeni po poprečnom preseku S. 3. H i B su normalni na S BdS BS S Razlikujemo dva problema vezana za rešavanje magnetnih kola: Direktni problem NI je poznato ( I za poznato N ili obrnuto) odrediti ili B Inverzni problem ili B je poznato odrediti NI ( I za poznato N ili obrnuto)

53 Primer. Posmatramo magnetno kolo sa slike, čije je jezgro načinjeno od nelinearnog feromagnetnog materijala konstantnog poporečnog preseka S čija je kriva magnetisanja data na drugoj slici. Broj namotaja je N. Direktni problem: Generalisani Amperov zakon: I je poznato odrediti Hdl Hdl H dl Hl NI H NI / l C C C kriva magnećenja pročita se B za poznato H BS Inverzni problem: je poznato odrediti I B / S kriva magnjećenja pročita se H za poznato B Generalisani Amperov zakon: Hl NI NI H / l I H / Nl

54 Primer. Posmatramo magnetno kolo sa slike, čije je jezgro načinjeno od nelinearnog feromagnetnog materijala čija je kriva magnetisanja data na slici. Poprečni presek se menja sa na. S 1 S Inverzni problem: B S B S 1 1 I B1 / S1 kriva magnetisanja H 1 za poznato B 1 B / S kriva magnetisanja H za poznato B Generalisani Amperov zakon: H1l1 Hl H1l1 H l NI I N Direktni problem: I (iterativno rešavanje ne radimo)

55 Primer. Na slici je prikazano jedno prosto magnetno kolo sa jednim vazdušnim procepom (zazorom). Srednji obim feromagnetnog materijala je, a dužina procepa je. Površina poprečnog preseka materijala i procepa su jednake i iznose S S0. l 0 Direktni problem: poznato Rasipanje fluksa zanemarljivo I BS B S B B H, B Generalisani Amperov zakon Hl H0l0 NI Hl l B / Hl l B / NI l NI l l l B ( NI Hl) H kh n (radna prava, k i n poznato ) Rešenje ( HB, ) se dobija u preseku krive magnećenja i radne prave B, B0 B l

56 5 KOEFICIJENTI INDUKTIVNOSTI U elektrostatici, električna kapacitivnost je važna veličina koja karakteriše provodno telo ili sistem provodnih tela. U magnetizmu, koeficijent induktivnosti je važna veličina koja karakteriše provodnu konturu (kalem) ili sistem provodnih kontura (sistem kalemova). 5.1 KOEFICIJENT SAMOINDUKTIVNOSTI Posmatramo jednu provodnu strujnu konturu proizvoljnog oblika koja se nalazi u linearnoj (neferomagnetnoj) sredini. Smer struje I koja protiče kroz konturu definiše smer vektora površine S. Strujna kontura oko sebe stvara magnetno polje indukcije B. Magnetna indukcija B kroz površinu konture S predstavlja fluks kroz konturu C.

57 U slučaju linearnih sredina, magnetna indukcija B srazmerna je sa jačinom struje konturi B proporcionalno S I Sa druge strane, magnetni fluks kroz strujnu konturu BdS direktno je proporcionalan magnetnoj indukciji B proporcionalno B Prema tome, fluks kroz strujnu konturu proporcionalan je sa strujom konture I. I u proporcionalno B proporcionalno I Kod linearnih sredina, količnik fluksa kroz površinu konture C i jačine struje I kroz konturu ( / I ) ne zavisi od struje i fluksa konture, već od oblika i dimenzije konture kao i sredine u kojoj se nalazi kontura.

58 Koeficijent samoinduktivnosti (smoindukcije) konture predstavlja odnos fluksa konture i struje koja teče u konturi Wb L jedinica H I A (henri) Za slučaj kalema sa N navojaka koeficijent samoinduktivnosti se definiše na isti način kao i za konturu, pri čemu se fluks računa kroz sve navojke kalema. U električnim šemama, za označavanje kalema (konture) određene induktivnosti koristi se simbol sa slike. Primer. Koeficijent samoinduktivnosti tankog torusnog namotaja. N NI B 0I, NBS 0 S l l sr L 0 I N l sr S sr

59 5. KOEFICIJENT MEĐUSOBNE INDUKTIVNOSTI Posmatramo sada se dve provodne konture i koje se nalaze u linearnoj sredini u proizvoljnom međusobnom položaju. Ako kroz konturu C 1 propustimo struju ona će stvarati magnetno polje indukcije B 1 čiji je intenzitet proporcionalan jačini struje I 1, C 1 B C I proporcionalno 1 1 Fluks vektora magnetne indukcije B 1 kroz površinu konture C 1, B ds, direktni je 11 1 S1 proporcionalan indukciji B 1, odnosno struji I 1 pa se može definisati koeficijent samoindukcije konture C 1 : L1 I 11 1 I 1

60 Takođe, fluks vektora magnetne indukcije kroz površinu konture C, 1 S 1 B 1 B ds, direktni je proporcionalan indukciji odnosno struji I 1 B I proporcionalno proporcionalno Kod linearnih sredina, količnik fluksa 1 kroz površinu konture C i jačine struje kroz konturu C 1 ( 1 / I1), ne zavisi od struje I 1 i fluksa 1, već od oblika i dimenzija kontura C 1 i C, njihovog međusobnog položaja i magnetnih karakteristika sredine u kojoj se konture nalaze. I 1 Koeficijent međusobne induktivnosti kontura C i C 1 predstavlja odnos fluksa konture C i struje koja teče u konturi C 1 1 L1 I 1 B 1,

61 Na sličan način, propuštanjem struje kroz konturu i određivanjem fluksa kroz konturu, može se količnik 1 / I. 1 Koeficijent međusobne induktivnosti kontura C 1 i C predstavlja odnos fluksa konture C 1 i struje u konturi C L 1 I 1 Ako važi I1 I, onda je 1 1 pa sledi L1 L1 M jedinica H (henri) I Koeficijent međusobne induktivnosti C 1 i C zavisi od oblika i dimenzija kontura, njihovog međusobnog položaja i magnetnih karakteristika sredine u kojoj se konture nalaze. Za razliku od koeficijenta samoinduktivnosti, koji je uvek pozitivan ( L 0), koeficijent međusobne induktivnosti može biti i pozitivan i negativan ( M 0, M 0). C 1 C

62 Znak M zavisi od izbora pozitivne orjentacije kontura, jer od toga zavisi i znak međusobnog fluksa ( ili 1 1 ). Koeficijent međusobne induktivnosti dve konture se može izraziti preko samoinduktivnosti tih kontura i jednog koeficijenta koji zavisi od njihovog međusobnog položaja M k L1L Koeficijent k se naziva koeficijent sprege. Koeficijent sprege pokazuje koji deo fluksa, koji prodire površinu jedne konture, prodire i površinu druge konture. Koeficijent sprege je neimenovani broj čija se vrednost kreće u granicama 1 k 1. Za slučaj dva kalema, koeficijent međusobne induktivnosti i koeficijent sprege se definišu na isti način kao i za dve konture, pri čemu se fluks računa kroz sve navojke kalemova.

63 Primer. Odredimo koeficijent međusobne induktivnosti dugačkog pravolinijskog provodnika i pravougaone provodne konture, koji se nalaze u vazduhu. Fluks kroz površinu konture struja C koji potiče od magnetne indukcije koju stvara I 1 prvog provodnika je određen u poglavlju 1.3 i iznosi 0bI1 a c 1 c Koeficijent međusobne induktivnosti druge konture je 1 0b a c L1 I1 c Vazduh je linearna sredina L1 L1. Ako se promeni smer konture C 1 0 : bi a c c L b a c c 0 1 L1 0

64 Primer. Na tanko torusno jezgro od neferomagnetnog materijala ( 0) dužine srednje linije i površine poprečnog preseka S gusto i ravnomerno su namotana dva namotaja tanke žice sa N 1 i N zavojaka. Odrediti koeficijent međusobne induktivnosti ova dva namotaja. l sr Neka kroz prvi kalem teče struja I 1. Magnetna indukcija u torusu usled struje prvog kalema iznosi B1 N / 1I1 lsr Za usvojeni referentni smer drugog namotaja, fluks kroz njega iznosi Ako se referentni smer drugog namotaja promeni, fluks iznosi Koeficijent međusobne induktivnosti: Koeficijent međusobne induktivnosti:

65 6 PROMENLJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE U dosadašnjim razmatranjima susreli smo se sa električnim i magnetnim poljem koje se ne menja u toku vremena. Jedina činjenica do sada koja je mogla ukazivati na vezu između električnog i magnetnog polja je da je električna struja uzročnik magnetnog polja. Međutim, pri proučavanju promenljivih električnih i magnetnih polja uočeno je da je promenljivo električno polje neizbežno praćeno promenljivim magnetnim poljem i obrnuto. To ukazuje na činjenicu da električno i magnetno polje su samo posebni vidovi jednog složenog fizičkog polja koje nazivamo elektromagnetno polje.

66 6.1 FARADEJEV ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE Posmatramo provodnu (žičanu) konturu C u spoljašnjem magnetnom polju indukcije. Smer konture C je izabran tako da je usaglašen sa poljem pravilom desne šake. B Faradejev zakon elektromagnetne indukcije Promena magnetnog fluksa kroz provodnu konturu dovodi do pojave indukovane elektromotorne sile (ems) u toj konturi, koja je srazmerna brzini promene fluksa kroz površinu konture: d e dt BdS magnetski fluks kroz konturu C. S S je površina koja se oslanja na konturu C. Orjentacije površi i konture C povezane su pravilom desne šake. Za referentni smer indukovane ems e uzima se referentni smer konture C. B

67 6.1.1 LENCOVO PRAVILO Znak indukovane ems e d / dt d 0 - stvarni smer e je suprotan smeru konture C. d 0 - stvarni smer e se poklapa sa smerom konture C. Smer indukovane struje u zatvorenoj provodnoj konturi - U zatvorenoj provodnoj konturi C javlja se indukovana struja i usled pojave indukovane ems e. - Referentni smer indukovane struje i poklapa se sa referentnim smerom (smerom konture C ). e - Struja i formira sopstveno magnetno polje konture B S. - Sopstveno polje B S formira sopstveni fluks konture S. LENCOVO PRAVILO. Prilikom promene fluksa kroz zatvorenu provodnu konturu, u njoj se indukuje ems takvog smera da struja, koja je njena posledica, stvara sopstveno magnetno polje koje se suprotstavlja promeni fluksa.

68 6.1. VRSTE ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE Statička indukcija kontura miruje u odnosu na posmatrača u magnetnom polju, a magnetno polje se menja: C miruje ( v 0 ), B B() t Dinamička indukcija provodnik ili provodna kontura se kreće ili deformiše (menja svoju površinu) u odnosu na posmatrača u stalnom magnetnom polju: C se kreće brzinom v 0, B Const. Mešovita ili složena indukcija kontura se kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača u promenljivom magnetnom polju: C se kreće brzinom v v() t, B B() t

69 6.1.3 PROTEKLA KOLIČINA ELEKTRICITETA PRI PROMENI FLUKSA KROZ KONTURU Posmatramo provodnu konturu otpornosti R, koja se nalazi u magnetnom polju indukcije B. Pri pomeranju konture ili promeni magnetnog polja u toku vremena, menja se fluks kroz površinu konture u toku vremena. Shodno Faradejevom zakonu, u konturi se indukuje ems d e dt Kao posledica indukovane ems u konturi će proticati struja e 1 d i R R dt U vremenskom intervalu od trenutka t 1 do trenutka t kroz konturu će proteći količina elektriciteta t t 1 d 1 t 1 q idt dt d R dt R R R t1 t1 t1 gde su 1 i su fluksevi kroz površinu konture u trenucima t 1 i t.

70 6. INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE PRI DINAMIČKOJ INDUKCIJI Kod dinamičke indukcije posmatramo kretanje konture ili provodnika, kao jedan deo konture, u magnetnom polju. Takođe, možemo posmatrati i deformaciju konture u magnetnom polu. U svim ovim slučajevima zajedno sa provodnikom kreću se i sva naelektrisanja tog provodnika, tako da će na njih delovati Lorencova sila. Pod uticajem ove sile dolazi do kretanja slobodnih naelektrisanja duž provodnika. Posmatrajmo najpre prav provodnik koji se kreće u homogenom magnetnom polju stalnom brzinom v odnosu na nepokretnog posmatrača P. u Nepokretni posmatrač P konstatuje da na slobodne nosioce naelektrisanja deluje Lorencova sila F Qev B

71 Pod dejstvom Lorencove sile slobodna naelektrisanja će se kretati i nagomilavati na krajevima provodnika. Nagomilana naelektrisanja formiraju električno polje E koje deluje na slobodna naelektrisanja silom suprotan od Lorencove sile F E čiji je smer F E Q E e Kretanje slobodnih naelektrisanja trajaće sve dok se ove dve sile ne izjednače po intenzitetu, odnosno dok ne bude zadovoljen uslov: F F E 0 Prethodni opis u potpunosti odgovara opisu rada generatora u elektrokinetici, pri čemu ulogu strane sile ovde ima Lorencova sila. Kao i kod generatora, i ovde strane sile zamenjujemo stranim poljem.

72 Strano polje u slučaju elektromagnetne indukcije nazivamo indukovano električno polje pri dinamičkoj indukciji. E id Indukovano električno polje određujemo iz uslova da ono deluje na slobodne nosioce silom koja je jednaka Lorencovoj sili Qe Eid Qev B odakle sledi zaključak: U svakoj tački provodnika koji se kreće u magnetnom polju indukuje se električno polje dinamičke indukcije Eid v B Analogno određivanju ems generatora, može se definisati i indukovana ems e d usled dinamičke indukcije u provodniku kao linijski integral indukovanog električnog polja E (stranog polja) duž celog provodnika: e d Eiddl l id

73 6..1 INDUKOVANA ELEKTROMOTORNA SILA DINAMIČKE INDUKCIJE Mada je izraz za indukovano električno polje izveden za slučaj provodnika konačne dužine koji se kreće u homogenom magnetnom polju, isti izraz će ostati u važnosti i za provodnik diferencijalno male dužine dl koji se kreće brzinom v u nehomogenom magnetnom polju: Eid v B U svakom elementu provodnika indukuje se ems ded Eid dl ( v B) dl Indukovana ems u provodniku konačne dužine l, d ( ) ed de Eid dl ( v B) dl l l l Indukovana ems u provodnoj konturi C: ed ( v B) dl C Indukovana ems u provodniku koji se translatorno kreće u homogenom polju B : e v B dl l ed l ( v B)

74 6.. DOKAZ POSTOJANJA INDUKOVANOG ELEKTRIČNOG POLJA DINAMIČKE INDUKCIJE Indukovano električno polje E id uvedena veličina, već ono stvarno postoji. nije samo formalno Ovo se može dokazati pomoću sledećeg misaonog eksperimenta. Neka se posmatrač P kreće zajedno sa provodnikom brzinom v u magnetnom polju indukcije B. Jasno je da će se u provodniku doći do kretanja naelektrisanja i pojave indukovane ems iste vrednosti kao i u prethodnom slučaju. Međutim, pošto se za posmatrača provodnik ne kreće u magnetnom polju, on zaključuje da na naelektrisanje u provodniku ne deluje Lorencova sila, već da mora postojati neka električna sila koja deluje na naelektrisanja. Ova električna sila svakako potiče od nekog električnog polja, a to je polje upravo indukovano električno polje dinamičke indukcije.

75 6.3 STATIČKA INDUKCIJA Posmatramo konturu koja miruje ( v 0) a magnetno polje u kome se ona nalazi se menja ( Bt ( )). Dakle, do promene fluksa dolazi usled promene magnetnog polja Bt (). U vezi promene fluksa kroz datu konturu, posmatramo sledeće dva slučaja: 1) Fluks u konturi C menja se usled promene struje i u samoj konturi (prva slika). ) Fluks u konturi C menja se usled promene struje i 1 i konturi C 1 koja je spregnuta sa konturom C (druga slika).

76 6.3.1 ELEKTROMOTORNA SILA SAMOINDUKCIJE Fluks u konturi C u samoj konturi. menja se usled promene struje i Na osnovu Faradejevig zakona indukovana ems usled statičke indukcije iznosi e s d d( Li) di L dt dt dt Ova indukovana ems se naziva ems samoindukcije. Ems samoindukcije se računa u odnosu na pozitivnu orjentaciju konture koja je određena smerom struje i. Pri porastu struje i ems samoindukcije će biti negativna, što znači da će smer ems biti suprotan smeru struje i. Dakle, ems samoindukcije se suprotstavlja promeni struje u konturi.

77 Prilikom rešavanje električnih kola sa kalemovima mora se uzeti u obzir i ems samoindukcije pri pisanja jednačina po II Kirhofovom zakonu. Na primer, posmatrajmo električno kolo sa prve slike koje sadrži kalem redno vezan sa otpornikom. Smer ems samoindukcije struje kalema i, što je prikazano na slici. e s u kalemu suprotan je od smera Primenom II Kirhofovog zakona za kolo sa prve slike dobija se u u e 0 R s ( di di u ur es ur L ) ur L dt dt Usvojimo referentni smer napona kalema u L (druga slika) tako da je on usaglašen sa smerom struje i. Tada važi relacija ul es i u ur ul, gde je napon kalema definisan sa: di ul L dt

78 6.3. ELEKTROMOTORNA SILA MEĐUSOBNE INDUKCIJE Posmatrajmo dve konture. Fluks u drugoj konturi menja se usled promene struje u prvoj C konturi C 1 koja je spregnuta sa konturom C. Fluks kroz površinu druge konture iznosi 1 Mi1 U drugoj konturi će se usled promene fluksa u njoj indukovati ems međusobne indukcije e 1 d1 d( Mi1 ) di1 M dt dt dt Analogno, u prvoj konturi za indukovanu ems međusobne indukcije dobija se e 1 d1 d( Mi ) di M dt dt dt i 1

79 Ako kroz obe konture protiču promenljive struje, C, u svakoj konturi će se indukovati po dve ems: i 1 u konturi C 1 i i u konturi ems smoindukcije i ems međusobne indukcije. Ukupne ems u prvoj i drugoj konturi iznose di1 di e1 es1 e1 L1 M dt dt di di1 e es e1 L M dt dt

80 6.3.3 INDUKOVANO ELEKTRIČNO POLJE STATIČKE INDUKCIJE Kontura miruje ( v 0) a magnetno polje u kome se ona nalazi se menja ( Bt ( )). Posmatrač, koji se nalazi u nepokretnom referentnom sistemu vezanom za provodnu konturu, konstatuje sledeće činjenice: 1) Neposredno pre početka elektromagnetne indukcije, pojedinačna naelektrisanja Q na provodnoj konturi su nepokretna. ) Kada se promeni magnetno polje Bt (), dolazi do pokretanja naelektrisanja duž konture. Posmatrač izvodi sledeći zaključak: Zapažanje ) je u suprotnosti za činjenicom da magnetno polje ne deluje na nepokretna naelektrisanja.

81 Koja sila onda pokreće naelektrisanja iz stanja mirovanja? Poznato je da na nepokretna naelektrisanja deluje samo električna sila koja potiče od električnog polja. Odakle potiče ovo električno polje? Jedini uzrok pojave ovog električnog polja jeste promena magnetnog polja. Električno polje nastalo usled promene magnetnog polja Bt () nazivamo indukovano električno polje statičke indukcije. Ovo električno polje obeležavamo sa E. is Električna sila kojom ovo indukovano električno polje deluje na naelektrisanja u provodnoj konturi smo označili sa F is.

82 Ukupna indukovana ems duž zatvorene provodne konture C usled statičke indukcije iznosi es E C isdl Na osnovu Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije i činjenice da se kontura C ne pomera i ne deformiše, indukovana ems u konturi C iznosi d d d db es BdS ( BdS) ds dt dt dt dt S S S Indukovana ems usled statičke indukcije u zatvorenoj krutoj konturi C zavisi od brzine promene magnetnog polja kroz tu konturu db es ds dt S U zatvorenoj krutoj konturi C indukuje se električno polje indukcije koje zavisi od brzine promene magnetnog polja db Eisdl ds. dt C S E is usled statičke

83 Za indukovano električno polje E is statičke indukcije važe sledeća tvrđenja: 1) E is postoji kad god postoji promenljivo magnetno polje. ) E is postoji nezavisno od postojanja provodne konture pošto izraz Eisdl C S db ds dt važi i ako je kontura C samo zamišljena (nepokretna) kontura. 3) Eis je bezizvorno polje jer je db E dl ds dt C is 0 S

84 6.4 MEŠOVITA ILI SLOŽENA INDUKCIJA Posmatrajmo slučaj provodne konture C koja se kreće brzinom v ili deformiše u promenljivom magnetnom polju indukcije. Važi sledeća tvrđenja: Ukupna vrednost indukovanog električnog polja u svakoj tački konture C jednaka je zbiru indukovanih električnih polja usled statičke i dinamičke indukcije: Ei Eis Eid Ukupna indukovana elektromotorna sila u konturi C jednaka je zbiru indukovanih ems usled statičke i dinamičke indukcije: e e e s d Pri tome, e s se određuje kao da je kontura nepokretna, a e d se određuje kao da vektor B ne zavisi od vremena. Jedinstven zapis ukupne indukovane ems je Bt () d d db e BdS ds ( v B) dl dt dt dt S S C

85 6.5 UKUPNO ELEKTRIČNO POLJE U najopštijem slučaju, vektor električnog polja ima dve komponente: 1) električno polje koje potiče od naelektrisanja (elektrostatičko polje) ) indukovano električno polje E i. Ukupno električno polje iznosi E E E q i Kako za elektrostatičko polje važi E dl 0, to izraz za cirkulaciju vektora ukupnog električnog polja važi: d Edl E dl Edl BdS i dt C C C S 0 U slučaju kada se kontura ne pomera ili deformiše važi C Edl S db ds dt C q E q,

86 6.6 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA ENERGIJA MAGNETNOG POLJA KALEMA Posmatrajmo električno kolo sa slike koje sadrži izvor ems E, otpornik otpornosti R kalem induktivnosti L. i Primenom drugog Kirhofovog zakona na kolo sa slike dobijamo sledeću jednačinu di E Ri L dt Množenjem leve i desne strane jednačine sa idt dobijamo jednačinu energetske ravnoteže u kolu Eidt Ri dt Lidi

87 Član Eidt predstavlja rad koji izvrše strane sile u generatoru za vreme dt. Članovi na desnoj strani pokazuju kako se taj rad raspoređuje: Ri dt predstavlja Džulove gubitke u otporniku, Lidi predstavlja energiju magnetnog polja koja se troši na povećanje struje kalema za vrednost di Pri uspostavljanju struje u kalemu od vrednosti i 0 do vrednosti i I u kalemu se nagomila magnetna energija u iznosu I I I 1 Wm Lidi L idi L LI o o Koristeći vezu LI izraz za energiju magnetnog polja kalema može se napisati u sledeća tri oblika L Wm LI I

88 6.6. LOKALIZACIJA ENERGIJE U MAGNETNOM POLJU Izraz za magnetnu energiju kalema ne pokazuje gde je ta energija lokalizovana. Izraz koji pokazuje na koji način je lokalizovana (raspoređena) energija u magnetnom polju izvešćemo na specijalnom slučaju homogenog magnetnog polja. Dobijeni izraz će važiti i u slučaju nehomogenog polja. Posmatramo tanak torus, načinen od neferomagnetnog materijala magnetne permeabilnosti, dužine srednje linije i površine poprečnog preseka S. Na torus je gusto i ravnomerno namotano N navojaka tanke žice. Koeficijent samoinduktivnosti torusnog namotaja, koji smo ranije izveli, iznosi N L l sr S l sr Kada se kroz torusni namotaj propusti struja I magnetno polje će biti lokalizovano unutar torusa. Energija magnetnog polja torusnog namotaja iznosi gde je N NI NI NI sr lsr lsr lsr lsr ( ) 1 ( ) 1 1 Wm LI SI S Sl V H V V Sl zapremina torusa, odnosno prostor u kome postoji magnetno polje sr