Seminar Drutva matematiqara Srbije, Beograd,.0.06. Male i velike priqe o korenu dr Vladimir Balti, Matematiqka gimnazija, baltic@matf.bg.ac.yu Prati emo pojam korena od kada se uvede u sedmom razredu osnovne kole pa sve do oblasti definisanosti funkcije koja se radi u qetvrtom razredu sredƭe kole. I za nastavnike koji rade u osnovnoj koli vaʃa da vladaju matematiqkom materijom koja sledi nakon gradiva koje oni predaju, kao to je i za profesore u sredƭoj koli bitno da znaju ta su uqenici uqili pre, tj. ta su temeʃi na kojima zidaju Ƭihovo daʃe matematiqko znaƭe. Prvo emo dati pregled osnovnih skupova brojeva, sa osvrtom na Ƭihov istorijski razvoj. Zatim emo dati definiciju korena (kao funkcije) i Ƭegove osnovne osobine. Kasnije emo se osvrnuti i na alternativan pristup korenu kao skupu, ali taj pristup je dosta komplikovaniji, jer onda moramo da uvodimo matematiqke operacije na skupovima. Posveti emo se i davno zaboravʃenim metodama za raqunaƭe korena, koje su se uqile u osnovnoj koli pre tridesetak i vie godina. Takođe, dodirnu emo i izuzetno osteʃivo i metodiqki izuzetno teko pitaƭe pojma iracionalnosti nekih brojeva. Posebnu paжƭu emo posvetiti pitaƭu:,,koliko iznosi koren iz minus 4? Ovom problemu metodike posve ujemo posebnu paжƭu, jer ima mnotvo tekstova i na internetu i u literaturi, koje pogreno pristupaju ovom pitaƭu, ali i veliki broj profesora matematike je odrastao na Veneovim zbirkama, koje u tim aspektima nisu matematiqki korektne. Nave emo i neke paradokse koji slede iz takvog uvođeƭa korena iz negativnog broja. Pojam kompleksne funkcije korena je izuzetno teжak i svodi se na izdvajaƭe grane nejednoznaqne regularne kompleksne funkcije (za ovu tematiku prouqiti u benik iz Kompleksne analize naeg akademika Miodraga MateƩevi a, [6]), te stoga u te predele kompleksne analize nastavnici u sredƭoj koli sigurno ne treba da zalaze. Dakle, naravouqenije je da KOREN IZ NEGATIVNOG BROJA NIJE DEFINISAN! Poseban osvrt da emo na kompleksno-konjugovana reeƭa kvadratne jednaqine, tj. kada reavamo kvadratnu jednaqinu a +b+c = 0 u skupu kompleksnih brojeva C. Ovaj sluqaj se javʃa kada je diskriminanta kvadratne jednaqine D < 0 i kako smo koren uveli kao funkciju koja je definisana samo za nenegativne brojeve, onda u ovom sluqaju se i formula za reeƭa razlikuje (od dobro poznate formule, = b ± D za reeƭa u realnom sluqaju) i ona glasi: a, = b ± i D, a gde D predstavʃa diskriminantu kvadratne jednaqine, D = b 4ac. Time smo izbegli nekorektnosti koje nastupaju iz pristupa da se vadi koren iz negativnog broja. Osvrnu emo se na jo neke znaqajne osobine ne samo kvadratnih, nego i kubnih, qetvrtih i drugih korena. Pozabavi emo se i nekim metodiqkim problemima, koji se javʃaju u izlagaƭu materije vezane za apsolutne vrednosti, kao i iracionalne jednaqine i nejednaqine. Celokupan materijal sadrжi veliki broj reenih zadataka (za poreklo zadataka pogledati literaturu na kraju ovog materijala), ali glavni znaqaj je u otklaƭaƭu nekih qestih greaka i matematiqkih nedoumica.
Pregled skupova brojeva Na poqetku emo se osvrnuti na istorijski razvoj i neka od svojstava osnovnih brojnih skupova: N, N 0, Z, Q, I, R, C. Ovaj pregled osnovnih brojnih skupova prati emo iz dva ugla, mogu nosti reavaƭa nekih jednaqina, kao i algebarskih struktura (X, ), gde je X neki od ovih skupova, dok je operacija neka od standardne 4 operacije +,, i : koje se uqe jo u niжim razredima osnovne kole. Mi se ovde ne emo baviti strogo formalnim zasnivaƭem brojevnih skupova, ali pomenimo da postoje dva pristupa brojevima: konstruktivan koji polazi od prirodnih brojeva (i Ƭihovih osobina unapred zadatih preko Peanovih aksioma), pa se zatim od Ƭih konstruiu celi, racionalni, realni i kompleksni brojevi (prednost ovog postupka je u oquvaƭu prirodnosti istorijskog procesa nastajaƭa brojeva, ali mu je mana u tome to je veoma matematiqki sloжen i nepristupaqan); aksiomacki polazi od realnih brojeva kao aksiomacki datih (imamo vrste aksioma:. aksiome poʃa,. aksiome uređenosti i. aksiomu potpunog uređeƭa). Gledano tokom istorije broj je jedan od prvih matematiqkih pojmova. Zajedno sa potrebom za brojaƭem (koja se javila na najniжem stupƭu privrede i trgovine), prvi skup sa kojim se qovek susreo je skup prirodnih brojeva i Ƭega emo oznaqavati sa N: N = {,,, 4, 5, 6, 7, 8,...}. U ovom skupu je proizvod dva prirodna broja takođe prirodan broj (neutralni element za operaciju mnoжeƭa je N); zbir dva prirodna broja je takođe prirodan broj, ali nema neutralnog elementa za operaciju sabiraƭa - to je broj 0 N. Ako posmatramo jednaqine, u ovom skupu svaka jednaqina oblika a = 0, gde je a N ima reeƭa. DaƩe, proirimo skup prirodnih brojeva, na skup prirodnih brojeva sa nulom: N 0 = N {0} = {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,...}. Time smo dobili neutralni element za operaciju sabiraƭa (to je broj 0), ali ni u ovom skupu nema inverznog (suprotnog) elementa za operaciju sabira- Ƭa, ili drugaqije reqeno, ne moжemo da oduzmemo bilo koja dva prirodna broja i da dobijemo prirodan broj ili nulu (ovo svojstvo operacije, da i rezultat pripada polaznom skupu, naziva se zatvorenost). Stoga se javila potreba za uvođeƭem negativnih brojeva, tj. brojeva oblika, gde je N. Tako smo doli do skupa celih brojeva Z, koji moжemo zapisati kao Z = {..., 4,,,, 0,,,, 4, 5,...}. Istorijski gledano, negativne brojeve su uveli kineski matematiqari veka pre nove ere. Starogqki matematiqar Diofant je u III veku nove ere, poznavao pravila raqunaƭa sa negativnim brojevima, a tek su podrobno izuqeni u VIII v.n.e. kada su ih indijski matematiqari povezali sa pojmom duga. Vic. Kako policajac objaƭava sinu ta su to negativni brojevi? Zamisli sine da ima prazan autobus. Na prvoj stanici u Ƭega uđe 0 Ʃudi. Na slede oj iz Ƭega izađe 5 Ʃudi. Koliko ih je ostalo u autobusu? Pa 5! U skupu celih brojeva Z moжemo reiti svaku jednaqinu gde je a Z. + a = 0,
Skupovi N i Z su zatvoreni za operaciju mnoжeƭa, ali ne sadrжe inverzni element za mnoжeƭe, ili drugaqije reqeno, nije uvek mogu e podeliti dva cela broja i da kao rezultat dobiti ceo broj (pored 0 koja pravi probleme, jer nije dozvoʃeno deʃeƭe sa 0, imamo i npr. : 7 Z). Tako smo doli do skupa racionalnih brojeva Q, koji je zadat sa: { m } Q = n m Z, n N. Brojevi oblika m se nazivaju razlomci, pri qemu se broj n naziva brojilac, a m imenilac. n Razlomke su poznavali i koristili 000 godina pre nove ere u Starom Egiptu i Vavilonu. Ovde, svaka linearna jednaqina a + b = 0, gde su a, b Q i a 0 ima jedinstveno reeƭe. Moжe se pokazati da racionalnih brojeva ima prebrojivo mnogo (isto kao i N i Z). Proirili smo mogu nosti reavaƭa jednaqina doavi do skupa racionalnih brojeva, ali, recimo, jednaqina = nema reeƭa u ovom skupu (dokaze te qiƭenice emo navesti kasnije). Stoga se javila potreba da skup racionalnih brojeva proirimo. Slede i skup koji uvodimo je skup iracionalih brojeva, I. Neki od iracionalnih brojeva koje ste ranije sretali su: =, 44567095048806887409..., =, 70508075688779574464505..., e =, 7888845904556087475..., π =, 459655897984664879... I neki racionalni brojevi imaju beskonaqne decimalne zapise, ali su oni periodniqni ( npr. = 0, 48574857485748574857 = 0, (4857) period se sastoji od 6 cifara: ) 7 4857, dok svi iracionalni brojevi imaju beskonaqne decimalne zapise koji nisu periodiqni. U poqetku se znalo samo za neke iracionalne brojeve, ali danas se zna da ih ima vie nego racionalnih brojeva. Skup realnih brojeva R je dat sa R = Q I i moжemo ga zamiʃati kao realnu pravu, gde svakom realnom broju odgovara jedna taqka sa prave i obrnuto. y 0 5 e π 4 Naravno kao i kod ranijih proireƭa, sve osnovne osobine operacija + i treba da vaжe i u R. To znaqi da smo u svim proireƭima koristili tzv. Henkelov pricip permanencije (nem. H.Hänkel, 84-889): Proirena struktura mora imati bitna svojstva strukture od koje je nastala. Jo u VIII v.n.e. je bilo ustanovʃeno da jednaqina = a ima dva reeƭa (jedno pozitivno, a drugo negativno) kada je a > 0, a nema realnih reeƭa u sluqaju a < 0. Ovom diskusijom, kao i pojmom korena, detaʃnije emo se baviti kasnije. U skupu realnih brojeva nema svaka jednaqina oblika P() = 0 reeƭa, gde je P() neki polinom. Tako, npr. jednaqina = nema reeƭa jer je 0, a < 0. Da bismo reili ovaj problem, uveden je pojam imaginarne jedinice i, koja je data na slede i naqin: i = (qesta greka je da se uzima da je = i,
to je pogreno, jer je koren definisan samo za nenegativne brojeve!). Ona je kʃuqna za uvođeƭe skupa kompleksnih brojeva C: C = { a + b i a, b R }. Broj a se naziva realan deo kompleksnog broja z, a broj b je imaginaran deo (ne b i!). Oznake su: Re z = a i Im z = b. Svakom kompleksnom broju z = a + bi (ovaj oblik se naziva i algebarski oblik kompleksnog broja) odgovara jedna taqka u kompleksnoj ravni sa koordinatama (a, b) i obratno ( osa je realna osa, a y osa je imaginarna). Ova geometrijska interpretacija kompleksnog broja je data krajem XVIII i poqetkom XIX veka nezavisno od francuza Argana i nemca Gausa. Za kompleksan broj z = a+bi, uvode se konjugovano kompleksan broj z = a bi (u kompleksnoj ravni to je taqka simetriqna u odnosu na realnu osu) i moduo (ili apsolutna vrednost) kompleksnog broja z = a + b (moduo predstavʃa udaʃenost od koordinatnog poqetka, tj. kompleksnog broja 0 = 0 + 0i). Vaжna je i qiƭenica da je z = z ako i samo ako je z realan broj. Ugao ϕ koji zaklapa prava Oz (prava koja spaja z sa koordinatnim poqetkom) sa realnom osom naziva se argument kompleksnog broja (svaki kompleksan broj, sem broja 0, ima argument!). Za argument vaжi da je ϕ ( π, π], mada se ponekad uzima i ϕ [0, π) (jedan od razloga zato uzimamo ovako je da je argz = argz). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = ρ(cosϕ + i sinϕ). Ponekad se skra eno zapisuje kao z = ρ cis ϕ. Xvajcarski matematiqar Leonard Ojler (nem. Leonhard Euler, 707-78) je 748. godine dao po Ƭemu nazvanu Ojlerovu formulu: e iϕ = cosϕ + i sinϕ i Ƭom je povezao eksponencijalnu funkciju i trigonometrijske funkcije. Pomo u ove formule dolazimo do eksponencijalnog oblika kompleksnog broja: z = ρ e iϕ. ZanimƩivo je da istorijski do pojma kompleksnog broja nije se dolo razmatraƭem kvadratne jednaqine = a, nego pri reavaƭu kubne jednaqine u XVI v.n.e. Formulu za reavaƭe kubne jednaqine, koja se naziva Kardanova formula po italijanskom matematiqaru erolamu Kardanu (it. Georloamo Cardano, 50-576) koji je objavio u svojoj kƭici,,velika vetina (Ars Magna, 545) je prvi pronaao italijanski matematiqar Nikolo TartaƩa (it. Niccolo Tartaglia, 499-557). Ta formula sadrжi kubne i kvadratne korene. I ona je savreno,,radila u sluqaju kada kubna jednaqina ima jedan realan koren (npr. jednaqina + 4 = 0), ali kada ona ima realna korena (npr. jednaqina 7 + 6 = 0) pod kvadratnim korenom se javʃao negativan broj. Da bi reio ovaj problem, Kardano je 545. godine predloжio uvođeƭe novih brojeva. On je pokazao da sistem jednaqina + y = 0, y = 40, nema reeƭa u skupu realnih brojeva, ali da ima reeƭa oblika = 5 ± 5 i y = 5 5, ako bi po standardnim algebarskim pravilima raqunali, između ostalog i a a = a. Kardano je takve brojeve nazivao qisto negativnim i sofisticirano negativnim i smatrao ih je beskorisnim i nastojao je da ih ne upotrebʃava. No 57. godine izala je kƭiga italijanskog algebriste Bombelija, u kojoj su bila ustanovʃena prva pravila aritmetiqkih operacija sa takvim brojevima, sve do izvlaqeƭa Ƭihovih tre ih korena. Imaginarnim brojevima ih je nazvao 67. godine francuski matematiqar i filozof Rene Dekart (fra. René Descartes, 596-650), a u XVIII veku je Leonard Ojler predloжio da se za imaginarnu jedinicu i koristi prvo slovo francuske reqi imaginaire. Na granici XVII i XVIII veka, postavʃena je opta teorija n-tih korena, na poqetku za negativne realne brojeve, a potom i za proizvʃne kompleksne korene, koja se zasniva na Moavrovoj (eng. Abraham de Moivre, 667-754) formuli iz 707. godine: (cosϕ + i sinϕ) n = cosnϕ + i sinnϕ. Krajem XVIII veka francuski matematiqari Жozef ƨu Lagranж (fra. Joseph Louis Lagrange, 76-8) i Pjer Simon Laplas (fra. Pierre Simon Laplace, 749-87) su kompleksne brojeve povezali sa reavaƭem diferencijalnih jednaqina (koje su javʃaju u raznim oblastima fizike), a ranije je vajcarski matematiqar Johan Bernuli (nem. Johann Bernouli, 667-748) primenio kompleksne brojeve za izraqunavaƭe integrala. 4
Na kraju ovog pregleda skupova brojeva, osvrnimo se ponovo na reeƭa jednaqine oblika P() = 0, gde je P() neki polinom. Skup algebarskih brojeva qine svi kompleksni brojevi koji su reeƭa polinomskih jednaqina sa celobrojnim koeficijentima (npr. je algebarski broj, jer je reeƭe jednaqine = 0; kompleksan broj + i je algebarski, jer je reeƭe jednaqine + = 0). Transcedentni brojevi su svi kompleksni brojevi koji nisu algebarski (takvi su npr. ln, e i π koje smo pomiƭali ranije). Autor ovog predavaƭa voli studente qesto da pita da daju definiciju broja π, jer tu definiciju svi znaju. Ali najqe i odgovori su: π =, 4 ili malo boʃa varijanta toga, π, 4. Ali to nije definicija broja π! To je odgovor na potpuno drugo pitaƭe:,,koliko je pribliжno π? Definicija broja π je: π = O r, tj. da je to osnos obima i preqnika kruga. Iako je broj π poznat jo od antiqkih vremena, da je on transcedentan dokazano je tek krajem XIX veka. Jo je Arhimed (87- p.n.e.) pokazao da je odnos duжine obima kruga prema duжini preqnika stalan broj pribliжno jednak 7. Xvajcarski matematiqar Lamber (fra. J. Lambert) je 766. godine dokazao da π nije racionalan broj. U vezi sa iracionalno u broja π je i quveni problem kvadrature kruga. To je jedan od veoma starih i poznatih geometrijskih problema. Sastoji se u određivaƭu kvadrata qija je povrina jednaka povrini datog kruga, koriste i konaqan broj puta leƭir i estar kao jedine pomo ne sprave. Kako je stranica tog kvadrata jednaka r π, gde je r polupreqnik razmatranog kruga, problem kvadrature kruga se svodi na konstrukciju duжi duжine π. Međutim, ova konstrukcija nije mogu a pomo u estara i leƭira, jer je π transcedentan broj, to je dokazao F. Lindeman 88. godine. Zadatak je mogu e reiti ako sem estara i leƭira koristimo i neke transcedentne krive, tzv. kvadratise. Osnovni pojmovi i tvrđeƭa sa korenima Uvedimo prvo pojam kvadratnog korena kao funkcije (taj pristup e preovladavati u ovom predavaƭu). Definicija. Kvadratni koren realnog broja 0 je nenegativan realan broj a koji pomnoжen sam sobom daje (tj. a a = a = ) i to zapisujemo kao = a. Kvadratni koreni prirodnih brojeva su qesto iracionalni, tj. ne mogu se predstaviti u obliku razlomka p q, gde su p i q prirodni brojevi. Sada emo na nekoliko razliqitih naqina pokazati da je broj iracionalan. Teorema. Broj nije racionalan. Dokaz. Pretpostavimo suprotno da je broj racionalan, tj. da je = p q, gde su p i q uzajamno prosti prirodni brojevi, to zapisujemo sa (p, q) =. Drugim reqima razlomak p q ne moжe se skratiti. Iz definicije korena imamo da je p q p q =, tj. p q =, odakle dobijamo da je p = q. Iz prethodne jednakosti dobijamo da je p paran broj, pa je i p paran broj, tj. p = k za neko k N. Sada iz p = (k) = 4k = q sledi q = k, pa je i q paran broj, to povlaqi da je q paran broj, tj. q = l za neko l N. Ali onda imamo da se razlomak p q = k l = k l moжe skratiti to je usprotno pretpostavci da je p q neskrativ razlomak. Stoga smo dobili kontradikciju, tj. polazna pretpostavka da je broj racionalan nije taqna, tj. broj je iracionalan. Dokaz. Posledica Euklidovog algoritma je i slede e tvrđeƭe: 5
Lema. Postoje celi brojevi 0 i y 0 tako da je ako barem jedan od brojeva a i b nije nula. (a, b) = a 0 + by 0, Pretpostavimo da je racionalan tj. = a b, gde je a, b N, (a, b) =. Prema prethodnoj teoremi, postoje celi brojevi r i s tako da vaжi jednakost ar + bs =. Kako iz = a b imamo da je a = b, a kad pomnoжimo sa imamo b = a, to povlaqi da je ( ) ( ) = = (ar + bs) = a r + b s = br + as. Na osnovu prethodne jednakosti imao da je = br + as Z, to je nemogu e. Time je pokazano da polazna pretpostavka nije taqna, pa je iracionalan. Dokaz. (informatiqki dokaz). Kada bi vaжilo = p q, gde su p i q prirodni brojevi, onda bi vaжilo i p = q. Kako se binarni zapis taqno kvadrata zavrava sa parnim brojem 0 (i ako je broj neparan onda se zavrava sa u binarnom zapisu, tj. sa nula 0, to je takođe paran broj 0 na kraju) imamo da leva strana prethodne jednakosti, p, ima paran broj 0, a desna q ima neima paran broj 0 u binarnom zapisu, pa one ne mogu biti jednake. Stoga smo dobili kontradikciju, tj. pretpostavka = p q, gde su p, q N nije taqna, tj. broj je iracionalan. Napomena. Oba ova dokaza su metodom kontrapozicije. Smatra se da je ovo prvi primer dokaza (na dokaz ) metodom kontrapozicije u matematici. Nalzimo ga jo kod Euklida (V v.p.n.e). Otkri e qiƭenice da su brojevi i nesrazmerni ( i nisu proporcionalni, tj. ne vaжi : = p : q) pripisuje se Hipasu, Pitagorinom uqeniku. Za pitagorejce je ova qiƭenica bila toliko neverovatna da se termin iracionalan, qiji prvobitan prevod znaqi nesrazmeran, koji se ne moжe predstaviti u obliku koliqnika (lat. ratio) i danas koristi za neto nerazumʃivo, strano promiʃaƭu. Simbol za kvadratni koren ( ) prvi put se javio u XVI veku. Proizaao je iz prilagođenog zapisa malog latiniqnog slova r, to je skra enica od latinskog radi, koje znaqi koren. Kvadratni koren je inverzna funkcija za kvadratnu funkciju (ali samo ona nenagitivna grana; preciznije funkcija f() = ako f : R + 0 R+ 0 ima inverznu funkciju f () =, a ako f : R 0 R+ 0 ima inverznu funkciju f () = ). Sada emo razmotriti nekoliko bitnih osobina kvadratnog korena. Kako je a 0 za sve realne brojeve a, onda kvadratni koren moжemo da,,izvuqemo samo iz nenegativnih realnih brojeva, tj. funkcija koren je definisana samo za 0. Iz definicije korena imamo da je a 0, pa je i vrednost korena uvek nenegativna, tj. 0. Sada emo na primera ilustrovati dokazivaƭe iracionalnosti, odnosno racionalnosti. Primer. Dokazati da je + 7 iracionalan broj. ReeƬe. Neka je + 7 = r racionalan broj. Tada je 7 = r. Kada ovu jednakost kvadriramo dobijamo 7 = r r +, odakle je = r 5 r Q (moжemo da podelimo sa r, jer je r 0, jer je r + 7 > 0). Time smo dobili kontradikciju, pa + 7 = r nije racionalan broj. Primer. Ako su a, b a + b = p racionalni brojevi, tada su a i b racionalni brojevi. Dokazati ReeƬe. Iz jednakosti a b = ( a b) ( a + b) sledi a b = a b a + b = q. Kako su a i b racionalni, onda je i Ƭihova razlika a b racionalan, a kako su a b i a + b 0 racionalni brojevi, onda je i Ƭihov koliqnik q = a b racionalan broj. a + b DaƩe, iz jednaqina p = a+ b i q = a b dobijamo reavaƭem tog sistema da je a = p + q i b = p + q, te su i a i b racionalni brojevi. 6
Pojam korena se moжe uoptiti sa kvadratnog korena na n-ti koren. Prvo emo uvesti tre i (ili kubni) koren. Definicija. Kubni koren (ili tre i koren) realnog broja je realan broj a za koji vaжi a = i to zapisujemo kao = a. Prethodno uvedeni pojmovi kvadratnog i kubnog korena mogu uoptiti na koren proizvoʃnog stepena. Definicija. Ako je n paran broj, n-ti koren realnog broja 0 je nenegativan realan broj a za koji vaжi a n =. Ako je n paran broj, n-ti koren realnog broja je realan broj a za koji vaжi a n =. U oba sluqaja to zapisujemo kao n = a. Na osnovu definicija korena i osobina stepenovaƭa dobijamo da kvadratni koren moжemo zapisati kao a = a / i uopte n-ti koren kao n a = a /n. Kada to kombinujemo sa osobinama stepenovaƭa dobijamo i da vaжi a m/n = n a m. Ove osobine se qesto koriste u radu sa korenima. Jo neke od osobina korena da emo u narednom tvrđeƭu bez dokaza. Teorema. Za korene vaжe slede e osobine: n m a = mn a, n an = { a, n = k a, n = k, a n { n an b, n = k b = sgn(a) n a n b, n = k (funkcije apsolutne vrednosti, kao i sgn(), znak broja, definiemo kasnije). Teorema 4. Za proizvoʃne nenegativne brojeve A i B, B A vaжi jednakost: A ± A + A B = B A + A ± B. Ova osobna se koristi kod sređivaƭa izraza sa korenima. Metode izraqunavaƭa korena Pre nego to krenemo na prvu metodu, podsetimo se jednog tvrđeƭa iz Teorije brojeva. Teorema 5. (Osnovni stav aritmetike). Svaki prirodan broj n > moжe se predstaviti kao proizvod prostih brojeva na jedinstven naqin (sa taqno u do Ƭihovog poretka). I metoda: Ukoliko je vrednost korena prirodan broj, onda moжemo rastaviti dati broj na proste qinioce i primeniti osobinu n a m = a m/n. Primer. Izraqunati 85 776. ReeƬe. Kada izvrimo faktorizaciju broja 85776 dobijamo da je 85 776 = 4 7. Stoga je 85 776 = (4 7 ) / = 7 = 94. Time smo dobili da je 85 776 = 94. U naredne metode koren emo raqunati cifru po cifru. Prva od Ƭih se nekada uqila i u koli za izraqunavaƭe korena. 7
II metoda: Prvo se napie dati broj u decimalnom zapisu. Nakon toga razdvajamo cifre u parove i to poqevi od decimalnog zareza, razdvajamo po cifre i u levu i u desnu stranu. Poqevi sa levim parom cifara, uradite slede u proceduru za svaki par: Poqevi sa leve strane, spustiti prvi par cifara CC koje niste jo koristili (ako smo iskoristili sve cifre piemo 00) i upiemo ih na desnoj strani ostatka r st (za prvi korak nemamo prethodni ostatak, tj. r st = 0!). Drugim reqima, prethodni ostatak pomnoжimo sa 00 i dodamo broj satavʃen od te cifre, tj. c = r st 00 + CC. To je trenutna vrednost c. Odredimo p, i y na slede i naqin: p je deo korena koji ste pronali, ignoriu i decimalni zarez ako ga ima (za prvi korak je p = 0). Odrediti najve u cifru za koju vaжi (0p + ) c. Sada uvodimo novu promenʃivu y = (0p + ). U ovom koraku pri izraqunavaƭima 0p + dobijamo kad p pomnoжimo sa i na kraj tog rezultata dopiemo cifru. Pri traжeƭu cifre moжemo krenuti od cifre najbliжe broju c 0p i onda idemo naniжe ili navie prema potrebi. Zapiemo cifru kao novu cifru u rezultatu korenovaƭa, tj. p novo = p 0 +. Novi ostatak dobijamo kada od c oduzmemo y, tj. r = c y. Ako je ostatak 0 i nema vie cifara za sputaƭe, onda je algoritam zavren. Zavravamo i ako nismo dobili taqnu vrednost korena, nego smo dobili potreban broj cifara. Ako se iza upravo zavrenog para cifara CC koji smo sputali u broju pod korenom nalazi decimalni zarez, onda emo sada iza dobijenog rezultata p. Ako nismo zavrili, onda se vra amo na prvi korak algoritma. Ilustrujmo ovu metodu na primera. Primer 4. Izraqunati 85 776. ReeƬe. Prvo broj 85776 podelimo na parove cifara 857 76. Zatim u I iteraciji imamo CC = 85, r st = 0 c = r st 00 + CC = 85. p = 0, pa je y = (0p + ) = = c = 85 = 9 i y = 9 = 8. Trenutni rezultat je p novo = p 0 + = 9. Novi ostatak je r = c y = 85 8 = 4. Nismo dobili ostatak 0 i ima jo cifara za sputaƭe, pa se postupak nastavʃa. Zatim u II iteraciji imamo CC = 7, r st = 4 c = r st 00 + CC = 47. p = 9, pa je y = (0p + ) = (80 + ) c = 47. Za = je y = 549 > 47, pa = i y = 64. Trenutni rezultat je p novo = p 0 + = 9. Novi ostatak je r = c y = 47 64 = 7. Nismo dobili ostatak 0 i ima jo cifara za sputaƭe, pa se postupak nastavʃa. Zatim u III iteraciji imamo CC = 76, r st = 7 c = r st 00 + CC = 776. p = 9, pa je y = (0p + ) = (840 + ) c = 776. Za = 4 je y = 776. Trenutni rezultat je p novo = p 0 + = 94. Novi ostatak je r = c y = 776 776 = 0. Kako smo dobili ostatak 0 postupak se zavrava. 85 7 76 = 94 8 4 7 64 7 76 7 76 0 Time smo dobili da je 85 776 = 94. 8
Primer 5. Izraqunati sa cifre iza decimalnog zareza. ReeƬe., 44. III metoda: Prvo se napie dati broj, qiji koren vadimo, u decimalnom zapisu. Određujemo cifre rezultata, jednu po jednu, i to da bude najve a mogu a, tako da kada kvadriramo novodobijeni broj on bude maƭi od polaznog. Preciznije traжimo cifru C (i neka je C = C + slede a cifra) takvu da je (PC) 0 k < (PC ) 0 k, za neki ceo broj k (P je rezultat iz prethodne iteracije kome dopiemo cifru C). Primer 6. Izraqunati sa cifre iza decimalnog zareza. ReeƬe. U I iteraciji je C = i C =, jer je = < 4 =. U II iteraciji je C = 4 i C = 5, jer je, 4 =, 96 <, 5 =, 5. U III iteraciji je C = i C =, jer je, 4 =, 988 <, 064 =, 4. U IV iteraciji je C = 4 i C = 5, jer je, 44 =, 99996 <, 005 =, 45. Time smo dobili da je, 44. Postoje i razne druge metode za nalaжeƭe kvadratnog korena: Vavilonska metoda, indijska metoda iz Bakshali rukopisa, Vedska dupleks metoda. Sve ove metode su iterativne i sve daju pribliжne vrednosti. Pored toga do pribliжih vrednosti za n moжemo do i i reavaƭem Pelove jednaqine n y = i tu se moжemo koristiti i veriжnim razlomcima. Sada emo se osvrnuti i na jedan naqin za pribliжno izraqunavaƭe kubnog korena uz pomo digitrona koji pored osnovne 4 raqunske operacije ima i koren. IV metoda: U ovoj metodi koristimo da je = / i slede i identitet: = ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( 8 + ) 6... Nije potrebno da digitron ima funkcije za memorisaƭe, dovoʃno je da imamo samo mnoжeƭe i koren. Prvo ukucati broj qiji kubni koren raqunamo. Pritisnuti dugme za kvadratni koren jednom. Pritisnuti dugme za mnoжeƭe. Pritisnuti dugme za kvadratni koren dva puta. Pritisnuti dugme za mnoжeƭe. Pritisnuti dugme za kvadratni koren qetiri puta. Pritisnuti dugme za mnoжeƭe. Pritisnuti dugme za kvadratni koren osam puta. Pritisnuti dugme za mnoжeƭe... Pritisnuti dugme za kvadratni koren jednom. Napomena. Ako se prvo mnoжeƭe zameni deʃeƭem dobija se pribliжnu vrednost petog korena. 4 Kvadratna funkcija, jednaqina i nejednaqina Kvadratna funkcija je funkcija f() = a + b + c, gde je a 0. Kriva koju opisuje kvadratna funkcija naziva se parabola. Kvadratna jednaqina je jednaqina a + b + c = 0, 9
gde je a 0. Ovu jednaqinu moжemo grupisati: a( + b a ) = c, tj. a( + b a +( b a ) ) = c+a( b a ), odnosno ( + b a ) = c a + b 4a = b 4ac 4a. Odatle dobijamo da su reeƭa kvadratne jednaqine (ponekad se nazivaju i koreni) data formulom, = b ± b 4ac a Kvadratni trinom se uvek moжe faktorisati:. a + b + c = a( )( ). Vrednost D = b 4ac se naziva diskriminanta kvadratne jednaqine. Kada je D 0, reeƭa kvadratne jednaqine se mogu predstaviti kao, = b ± D a a ako je D < 0, reeƭa kvadratne jednaqine se mogu predstaviti kao, = b ± i D a. Ukoliko je D > 0, kvadratna jednaqina ima dva realna razliqita reeƭa (, R, ), kada je D = 0 ima jedno dvostruko realno reeƭe ( = R), dok za D < 0 jednaqina nema realnih reeƭa (u tom sluqaju ona ima dva konjugovano kompleksna reeƭa,, C, =, ali to nam nije potrebno za ovaj kurs matematike!). Kad jednaqina ima dva realna reeƭa, uzima emo da je <. Diskriminanta D i koeficijent a (uz ) određuju est bitno razliqitih sluqajeva za grafik kvadratne funkcije (sa grafika odmah vidimo i znak kvadratne funkcije, to nam treba pri reavaƭu nejednaqina). f() = a +b+c f() = a +b+c f() = a +b+c + b a + + + T = = b a T b a + a > 0 D > 0 T a > 0 D = 0 a > 0 D < 0 a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 f() = 0 za = i = f() = 0 za = (= ) f() > 0 za svako R f() > 0 za (, ) (, + ) f() > 0 za (, ) (, + ) f() 0 nije nikad. f() < 0 za (, ) f() < 0 nije nikad a < 0 D > 0 f() = a +b+c T a < 0 D = 0 f() = a +b+c a < 0 D < 0 f() = a +b+c + = = b a b a b a T T 4 a < 0, D > 0 5 a < 0, D = 0 6 a < 0, D < 0 f() = 0 za = i = f() = 0 za = (= ) f() 0 nije nikad f() > 0 za (, ) f() > 0 nije nikad f() < 0 za svako R. f() < 0 za (, ) (, + ) f() < 0 za (, ) (, + ) 0
( b Taqka T koja ima koordinate a, D ) naziva se teme parabole: 4a f ( ) b = a a ( ) b + b a Za a > 0 to je minimum kvadratne funkcije, tj. f() D 4a za = b a. Za a < 0 to je maksimum kvadratne funkcije, tj. f() D 4a za = b a. ( ) b 4ac b + c = = D a 4a 4a. za svako R, gde se jednakost dostiжe za svako R, gde se jednakost dostiжe Osvrnimo se jo na potrebu da sluqaj kada je D < 0 reavamo drugaqije. U novembru 05. na Fejsbuku na grupi Profesori matematike na FB, pokrenula se velika diskusija koja je proistekla iz postavʃenog problema: Koliko je 4 9? Ređali su se razni,,odgovori : Prvi je bio 6, jer kako nas je Vene,,nauqio 4 = i i 9 = i, pa imamo slede i raqun: 4 9 = i i = 6 i = 6 ( ) = 6. Drugi je bio +6, zbog 4 9 = ( 4) ( 9) = 6 = 6, uz komentare,,ala matematiqari znaju da iskomplikuju zadatak. Ovo je gradivo sedmog razreda i nije potrebno znaƭe kompleksnih brojeva da bi se reio zadatak! Zatim se javio slede i:,,kompleksno 6, a realno 6. Sliqan je i:,,da je zadatak glasio: Izraqunati izraz u a) skupu R b) skupu C, mogli bismo mirne due napisati da u primeru pod a) izraz nije definisan i samo odraditi deo pod b) naglaavaju i da se radi o kompleksnim brojevima i koriste i Ƭihove osobine. Među odgovorima je bio i da moжe biti i 6 i +6, jer 4 moжe biti i i i i, kao to i 9 moжe biti i i i i, pa ima 4 sluqaja: i i = 6, i ( i) = 6, ( i) i = 6, ( i) ( i) = 6. PosledƬi odgovor je najkorektniji (dok su prva tri rezona potpuno pogrena; qetvrti ima taqan deo pod a), ali u delu pod b) dolazimo do problema, jer i tu ne bi znali koja se grana izdvaja!) to bi dobili i u kompleksnoj analizi kada bi posmatrali sve mogu e varijante za to koju smo regularnu granu izdvojili za svaki koren. To odgovara i pristupu da n-ti koren iz, n, nije jednoznaqno određena funkcija, nego skup vrednosti koje su reeƭa jednaqine a n =. Taj pristup je bio i u naim u benicima pre 50-tak (i vie) godina. Taj pristup je matematiqki korektan (po Ƭemu recimo danas radi profesor Rade Doroslovaqki, koji je dekan FTN u Novom Sadu), ali se komplikuju operacije (to vie ne e biti uobiqajene operacije između broja, nego se moraju uvoditi operacije između broja i skupa ili između skupa). Zbog svega navedenog, kao i qiƭenice koja je bitna pri ispitivaƭu funkcija da koren nije definisan za negativne vrednosti, dolazimo i do najkorektnije odgovora (kada koren tretiramo kao funkciju, to je postala uobiqajena praksa i u osnovnoj i u sredƭoj koli): Izraz nema vrednost, jer ni 4 ni 9 nisu definisani!
Qak da ne bi pomiƭali kompleksne korene u sredƭoj koli, mnogo jednostavnije umesto da se traжi odrediti sve n-te korene iz kompleksnog broja z, da se rei jednaqina w n = z u skupu C. Autor ovog predavaƭa, qesto studentima na prvom qasu da test iz sredƭokolske matematike. Tu je. zadatak: Qemu je jednako 4? A) ; B) ; V) ±. Odgovor retko ko zaokruжi, ali odgovore i ± skoro jednak broj uqenika bira. Zato je to tako? Jer veliki broj uqenika mea pojam korena iz 4, 4 =, i reeƭa jednaqine = 4 (podsetimo se da smo u definiciji uzimali da je koren negativan broj!) koja su, = ±. Ako imali Veneovske jednakosti poput 4 = i i 9 = i, tj. ako bi pogreno imaginarnu jedinicu uvodili kao, a ne sa i =, onda bi imali i slede i,,dokaz da je = : Iz jednakosti i = = = = i dobijamo da je i =. Ali to sa definicijom imaginarne jedinice, i =, povlaqi da je =. Napomena. Iz = bi sledila jednakost proizvoʃna dva realna broja! Dokaz. Neka su a b proizvoʃna dva realna broja. Tada prethodnu jednakost moжemo pomnoжiti sa a b i dobijamo a b = a b. Kad sve prebacimo na levu stranu dobijamo a b = 0 i kad obema stranama dodamo b dolazimo do a = b. Pred kraj diskusije se javio jo jedan zanimʃiv odgovor: U pravu ste. Moja greka. Ali bi bilo zanimʃivo postaviti deci izraz i re i im da pokuaju preformulisati da bi dobili izraz/jednaqinu koju bi mogli reiti, uz postavljaƭe potrebnih uslova naravno. Ovakve eksperimente ne mojte vriti na deci, nego ih nauqite da korektno i striktno matematiqki rade i neke osetʃivije probleme. Nauqili smo i da oznaka za koren moжe da se otkuca, ako se pritisne levi Alt, a na desnoj tastaturi brojevi 5. Pomenuto je i da je neki ekonomista Damir koji sprema studente Ekonomije matematiku, pred II kolokvijum ih je ucio da kada racunaju limes koji tezi da je i 4 = (to je situacija npr. kod = = i 6 = = ). Sa ovom problematikom emo se vie baviti u slede em poglavʃu. 5 Apsolutne vrednosti; iracionalne jednaqine i nejednaqine Apsolutna vrednost broja se definie kao {, 0 =, < 0. Grafik funkcije predstavʃen je na doƭoj slici levo.
sgn 0 0 Funkcija signum, sgn() (ili znak broja) jednaka je:, > 0 sgn() = 0, = 0, < 0. ƫen grafik je na gorƭoj slici desno. Moжe se videti da vaжi = sgn(). Sliqno se uvodi i apsolutna vrednost proizvoʃnog izraza f(): { f(), f() 0 f() = f(), f() < 0. Najvaжnije osobine apsolutnih vrednosti su da je uvek a 0 i da vaжi a = a (treba obratiti paжƭu da je ( a) = a, kad god je a definisan). Jo neke osobine koje se koriste u zadacima: a a, a = a, a b = a b, a b a + b a + b. PosledƬa nejednakost se naziva nejednakost trougla. Iracionalne jednaqine su jednaqine koje sadrжe koren. Najqe e su to jednaqine oblika f() = g(). Kod ovih jednaqina prvo treba da obratimo paжƭu kada je f() definisan (za f() 0), a da bismo smeli da kvadriramo i svedemo na neku jednaqinu bez korena, mora da vaжi i g() 0. Stoga se jednaqina f() = g() svodi na jednaqinu f() = g() uz uslove f() 0 i g() 0. Ponekad se kod ovih jednaqina koristi f() = f(). Kod iracionalnih nejednaqina imamo dva sluqaja: nejednaqina f() < g() se svodi na nejednaqinu f() < g() uz uslove f() 0 i g() 0; nejednaqina f() > g() se svodi na reavaƭe nejednaqine f() > g() uz uslove f() 0 i g() 0, ali tom reeƭu treba dodati reeƭa koja se dobijaju pod uslovima f() 0 i g() < 0 (konaqno reeƭe je unija ova dva skupa reeƭa). Nejednaqina f() g() se reava kao sluqaj, a f() g() kao. Sada emo reiti jednu iracionalnu jednaqinu: Primer 7. Reiti iracionalnu jednaqinu + =. ReeƬe. Sva korena su definisana za {0, }. Proverom ovih vrednosti dobijamo da je jedino reeƭe =. Ovaj primer nam je bio uvod u slede e poglavʃe i iz Ƭega se vidi znaqaj oblasti definisanosti funkcija!
6 SkiciraƬe grafika iracionalnih funkcija Ove funkcije spadaju u funkcije kod kojih ima dosta elemenata koji su teki za proseqnog uqenika sredƭe kole. Sada emo se osvrnuti na ve inu osobenosti iracionalnih funkcija. Prvo ako imamo paran koren (najqe e kvadratni), onda moramo da vodimo raquna o oblasti definisanosti funkcije: funkcija f() = g() je definisana kada je g() definisana i g() 0 (isto vaжi za sve paran koren: 4 g(), 6 g(),... dok su neparni, poput g(), definisani kad je g() definisana, jer tre i koren moжemo,,izvu i iz bilo kog realnog broja: npr. 8 = ). Zatim, reavaƭe iracionalnih jednahcina i nejednaqina e se javiti kod traжeƭa nula i znaka funkcije, zatim prvog izvoda (za monotonost) i drugog izvoda (za konveksnost). Prilikom određivaƭa graniqnih vrednosti (koje su nam potrebne za određivaƭe asimptota), nekad se javʃa postupak sliqan iracionalisaƭu: ( a b) a + b ( a + b) = a b a + b. Slede i problem koji se javʃa je kada u limesima izvlaqimo najve i stepen pod korenom. + + Primer 8. Odrediti horizontalne asimptote funkcije f() =. + + ( + ReeƬe. Funkciju moжemo predstaviti kao f() = = + ). Tada imamo ( + lim f() = lim + ) + = lim + + = lim + + = lim + =, + + + + + jer kada +, onda je > 0, pa je = =. Ali kada traжimo levu horizontalnu asimptotu imamo: ( + + ) lim f() = lim + + = lim + + + = lim + + + + = lim + + =, jer kada, onda je < 0, pa je = =. + + Time smo dobili da funkcija f() = ima desnu horizontalnu asimptotu y =, a levu horizontalnu asimptotu y =. Nekad se određivaƭe asimptota pojednostavʃuje ako iskoristimo Maklorenov razvoj (to je Tejlorov razvoj u okolini 0): ( ) ( ) α α ( + t) α = + αt + t +... + t n + o(t n ) (kada t 0). n Qesto su potrebna samo prva dva qlana ovog razvoja: ( + t) α = + αt + o(t). Primer 9. Odrediti funkcije f() = + + koriste i Maklorenov razvoj. ReeƬe. Kako je + + = ( + + ) = ( + + ) / moжemo iskoristiti Mak- lorenov razvoj ( + t) α = + αt + o(t), pri qemu je α = i t = +. Tako dobijamo da je + + = ( + ( + ) + o( )). DaƩe kada + imamo da je > 0 i =, pa imamo + + = ( + + + o( )) = + + + o() = + + o(), 4
pa je prava y = + desna kosa asimptota. Kada imamo da je < 0 i =, pa imamo + + = ( + + + o( )) = + o() = + o(), pa je prava y = leva kosa asimptota. Kako smo dobili kose asimptote, funkcija nema horizontalnih asimptota, a kako nema prekida u domenu funkcije, ona nema ni vertikalnih asimptota. Takođe, moжe da se desi da iracionalne funkcije imaju sa jedne strane horizontalnu asimptotu, a sa druge kosu. U sluqaju kvadratnih korena, qesto oblast definisanosti sadrжi prekide (u kojima je funkcija definisana!). To se odraжava da se pri ispitivaƭu monotonosti javʃaju neke,,neoqekivane ekstremne vrednosti. To se javʃa u ve ini narednih primera. Kod kubnih korena qesto se pojave picevi (taqke u kojima izvodi nisu definisani, ali funkcija jeste definisana), koji ponekad predstavʃaju i lokalne ekstremne vrednosti. Sada emo ispitati nekoliko iracionalnih funkcija. Primer 0. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = ReeƬe. Da bi funkcija bila definisana treba da vaжi D f = (, ) [0, + ). + +. 0 i + 0, odnosno domen je Funkcija je nenegativna na celom domenu i f(0) = 0, tj. presek sa y-osom je Y (0, 0) i jedina nula je = 0. Kako domen nije simetriqan u odnosu na = 0, funkcija nije ni parna ni neparna, a nije ni periodiqna, jer se nule ne ponavʃaju periodiqno. 4 lim f() = +, pa je prava = leva vertikalana asimptota. Kao to smo ve napomenuli, f(0) = 0. lim f() = lim ± ± ( ) + = lim ± + =, to znaqi da je prava y = obostrana horizontalna asimptota. Odavde sledi da funkcija nema kose asimptote. 5 Prvi izvod funkcije je f + () = ( + ). Kako je prvi izvod pozitivan na D f \ {0}, funkcija je rastu a na (, ) i na (0, + ). Minimum funkcije je u taqki A(0, 0). 6 Drugi izvod funkcije je f () = + + ( + ). Funkcija je konveksna na intervalu (, ) i konkavna na (0, + ). Prevojnih taqaka nema. f() y = = 0 Y =M 5
Primer. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = ReeƬe. Domen je D f = (, ) [0, + ). Funkcija je na celom domenu nenegativna i f(0) = 0. +. Domen nije simetriqan u odnosu na = 0, pa funkcija nije ni parna ni neparna, a kako se nule ne ponavʃaju periodiqno, nije ni periodiqna. 4 lim f() = +, pa je = leva vertikalna asimptota funkcije. lim f()= lim ± ± + =+, pa nema horizontalne asimptote. Ispitujemo da li funkcija ima kose asimptote: I naqin: Za levu kosu asimptotu imamo k = lim je prava y = + leva kosa asimptota. Za desnu kosu asimptotu imamo k = lim + pa je prava y = desna kosa asimptota. f() f() = lim = lim + + =, n = lim (f() + ) =, pa + =, n = lim (f() ) =. + II naqin: Iz f() = + = + = ( + = + + o( ) ( ) = + + o ( ± ) sledi da je f() +, kada, te je y = + leva kosa asimptota funkcije. Kako 0+, kada, zakʃuqujemo da se funkcija,,pribliжava asimptoti sa gorƭe strane. Sliqno, vaжi f(), kada +, dakle prava y = desna kosa asimptota funkcije kojoj se funkcija takođe,,pribliжava sa gorƭe strane (jer 0+, kada + ). 5 f () = ( ) / ( + ) + + ( + ) = ( + ) ( + ). Prvi izvod je negativan na (, ), a pozitivan na (, ) (0, + ), to znaqi da funkcija opada na (, ), a raste na (, ) i na (0, + ). Lokalni minimumi funkcije su M (, 7) i M (0, 0). ( ) + 6 f 4 () = ( + ) 4. Drugi izvod funkcije je pozitivan na celom domenu, te je funkcija konveksna na (, ) i na (0, + ) i nema prevojnih taqaka. f() 7 y= + M = Y =M 0 y= 6
Primer. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = ( ) 9. ReeƬe. Domen je D f = (, 9]. Nule su = i = 9. Znak: + 9. Presek sa y-osom je Y (0, 9). Nije ni parna, ni neparna, ni periodiqna. 4 lim f() =, f(9) = 0. Nema asimptota. 5 f (7 ) =. Monotonost: ր 7 ց 9. 9 Lokalni maksimum je M ( 7, 4 ), dok je lokalni minimum M (9, 0). 6 f = ( ) 4(9 ) /. Konveksnost: 9. Nema prevojnih taqaka. f() 4 M f() 0 7 9 M M 7 Y M 4 M Y 0 M Primer. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = 4. ReeƬe. Oblast definisanosti je D = [, ]. Nule su =, = 0 i =. Za (, 0) je f() > 0, a za (0, ) je f() < 0. Presek sa y-osom je Y (0, 0). Jeste neparna, nije periodiqna. 4 f( ) = f() = 0 funkcija nema vertikalne asimptote. Kako ni ni + nisu u domenu D f, nema ni horizontalne, ni kose asimptote. 5 Prvi izvod je f () = 8 4. Funkcija f() raste na intervalu (, ) i na intervalu (, ), a opada na intervalu (, ). Ima lokalna minimuma: M (, 0) i M (, ) i lokalna maksimuma: M (, ) i M 4(, 0). 7 Drugi izvod je f () = 4( ). Funkcija je na intervalu (, 0), a na intervalu (0, ) ( ) / i ima prevojnu taqku P = Y (0, 0). 7
Primer 4. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = +. ReeƬe. Oblast definisanosti je D = (, + ). Nula je = 0. Za (, 0) je f() < 0, a za (0, + ) je f() > 0. Presek sa y-osom je taqka Y (0, 0). Jeste neparna, nije periodiqna. 4 Kako nema prekida u domenu, f-ja nema ver.as. lim f() =, lim f() = +, pa nema ni + hor.as. Nema ni kosu asimptotu, iako se dobija k = lim lim = i n = lim f() k = lim = +. + + ± f() =, jer je n = lim f() k = 5 Prvi izvod je f () = + 6/. f() stalno raste i nema lok.ekstr.vr. / 7 Drugi izvod je f () = 9/. Funkcija je na intervalu (, 0), a na intervalu (0, + ). Obratite paжƭu da iako f nije definisan za = 0 (f je tu definisana!) da ima prevojnu taqku P(0, 0)! f() f() y= M Y = P 0 0 M Primer 5. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() =. ReeƬe. Oblast definisanosti je D f = R = (, + ). Nule su = 0 i = ± i presek sa y-osom je taqka Y (0, 0). Znak: + 0 +. Funkcija je neparna. Funkcija nije periodiqna. 4 lim f() = + i lim f() =. + y = je obostrana kosa asimptota. Ostalih asimptota nema. 5 f = ( ) /. Monotonost: ց ր ց. Lokalni minimum je M (, ) i lokalni maksimum je M (, ). 6 f = ( + ) ( ) 5/. Znak: 0. Prevojne taqke su nule funkcije: P (, 0), P (0, 0) i P (, 0). 8
Primer 6. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = e. ReeƬe. Oblast definisanosti je D f = [0, + ). Nula je = 0 i to je i presek sa y-osom: Y (0, 0). Znak: 0. Nije ni parna, ni neparna, ni periodiqna. 4 f(0) = 0. lim f() =. + y = je desna horizontalna asimptota. Ostalih asimptota nema. e 5 f = e. Monotonost: 0 ր. Lokalni minimum je M(0, 0). 6 f = e (e ). Konveksnost: 0. Nema prevojnih taqaka. 4( e ) / f() y = M M f() 6 4 y=( ) y=( + )+ 0 Y 0 M 5 M Primer 7. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = + 6 9. ReeƬe. Domen je D f = (, ] [, + ). Nema nula. Znak: +. Nije ni parna, ni neparna, ni periodiqna. 4 lim f() = +, lim f() =, f( ) = 6, f() =. + Nema vertikalnih, ni horizontalnih asimptota, leva kosa asimptota je y = ( + ) +, a desna kosa asimptota je y = ( ). 5 f + =. Monotonost: ց 5 ր ց. + 6 9 Lokalni minimum je M ( 5, 4), a lokalni maksimumi su M (, 6) i M (, ). 6 f 6 = ( + 6 9) /. Konveksnost:. Nema prevojnih taqaka. 9
Primer 8. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = + + +. ReeƬe. Domen je D f = R = (, + ). Nula je =. Znak: +. Presek sa y-osom je Y (0, ). Nije ni parna, ni neparna, ni periodiqna. 4 lim f() =, lim f() = /. + Nema vertikalnih asimptota, leva kosa asimptota je y = + 5/, a desna horizontalna asimptota je y = /. 5 f + =. Monotonost: ր. Nema lokalnih ekstrema. + + 6 f = 4( + + ) /. Konveksnost:. Nema prevojnih taqaka. f() y = M f() 0 Y y=+ 5 Y M y = 0 y=+ 5 Primer 9. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije f() = + + +. ReeƬe. Domen je D f = (, ] [, + ). Nula je =. Znak:. Presek sa y-osom je Y (0, ). Nije ni parna, ni neparna, ni periodiqna. 4 lim f() =, lim f() = /, f( ) =, f( ) = 0. + Nema vertikalnih asimptota, leva kosa asimptota je y = + 5/, desna horizontalna asimptota je y = /. 5 f + =. Monotonost: ր ց. + + Lokalni maksimumi su M (, ) i M (, 0). 6 f = 4( + + ) /. Konveksnost:. Nema prevojnih taqaka. 0
7 Zadaci. a) Ispitati da li je skup racionalnih brojeva u odnosu na operacije +,,, : zatvoren. b) Ispitati da li je skup iracionalnih brojeva u odnosu na operacije +,,, : zatvoren.. Dokaжi da su brojevi i + iracionalni, a da je ( ) ( + ) racionalan.. Da li su brojevi a) 7 ; b) ( 5 + ) : ( 5 ) racionalni ili iracionalni? 4. Dokazati da je 75 48 + 5 08 7 =. 5. Dokazati jednakost + + 4 + + 6 + 8 + 4 =. 6. 6 4 je ceo broj. Na i taj broj. 7. 5 4 je ceo broj. Na i taj broj. 8. Na i najmaƭe prirodne brojeve m i n (n > ) koji zadovoʃavaju jednakost m m m = n. 9. Izraqunati pribliжnu vrednost sa deset taqnih decimala k, ako je k = 0, 9999999999. 0. Između koja uzastopna dva cela broja se nalazi broj a =. Xta je ve e 0 + 8 ili 5?. Xta je ve e + 8 ili 4?. Dokazati da je broj = za neparan broj korena. + +... + 4. Dokazati da je + +... + korena. 5. Uprostiti izraz + 6 + =? 4 5?... maƭi od za paran broj korena, a ve i od >, ako je u brojiocu n a u imeniocu (n ) 4 6. Uprostiti izraz a = + + + + + + + + =? 7. Da li je broj A = 6 4 + racionalan ili iracionalan? 8. Izraqunati ( ) + ( ). 9. Ispitati koje od slede ih funkcija su međusobno jednake: f () =, f () = ( ), f () =, f 4() = Reiti slede e iracionalne jednaqine: 6. 0. + =.. + =.. 5 + = 4.. = + 6 +. 4. 6 4 = + 4. 5. 4 4 6 =. 6. + = +. 7. ( ) 7 + 6 = 0. 8. + =.
9. U zavisnosti od parametra a R diskutovati kada jednaqina = a 0. nema reeƭa; ima taqno reeƭe; ima taqno reeƭa; ima taqno reeƭa; ima taqno 4 reeƭa; ima vie od 4 reeƭa. + + 4 =.. Reiti slede e iracionalne nejednaqine: 5 + + = 4.. 5 + 6 6.. + + 6 >. 4. + 7 > 8. 5. ( + ) 0. 6. + < 4 +. 7. ( + )( 0. 8 + 6) 8. NajmaƬe reeƭe jednaqine 4 + = + 6 pripada intervalu A) (, 0] ; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa; 9. Jednaqina 5 + 0 = 8 A) nema reeƭa ; B) ima reeƭe; C) ima reeƭa; D) ima reeƭa; E) ima mnogo reeƭa; N) ne znam. 40. NajmaƬe reeƭe jednaqine + 5 = pripada intervalu A) (, 0] ; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa; 4. NajmaƬe reeƭe jednaqine + 9 + =, 05 pripada intervalu: + 9 A) (, 0]; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa; N) ne znam. 4. Jednaqina + 4 7 = + 5: A) ima dva realna pozitivna reeƭa; B) ima dva realna re. od kojih je samo jedno pozitivno; C) ima samo jedno realno reeƭe; D) ima qetiri realna pozitivna reeƭa; E) nema realnih reeƭa; N) ne znam. 4. Data je jednaqina 6 48 + 6 = 4 +. Taqan je iskaz: A) jednaqina ima samo jedno pozitivno reeƭe; B) jednaqina ima taqno dva reeƭa; C) jednaqina ima beskonaqno mnogo reeƭa; D) jednaqina nema reeƭa; E) jednaqina ima samo jedno negativno reeƭe; N) ne znam. 44. Sva reeƭa jednaqine 6 + 8 + = pripadaju intervalu: A) (, 0]; B) (0, ); C) [, 4]; D) (4, 6]; E) (6, + ); N) ne znam. 45. Kom intervalu pripada najmaƭe reeƭe jednaqine 4 + 0 + 6 = : A) (, 0]; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa. 46. Kom intervalu pripada najmaƭe reeƭe jednaqine 8 =? A) (, 0]; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa.
47. Jednaqina = A) ima realna reeƭa od kojih je samo jedno pozitivno; B) ima samo jedno realno reeƭe; C) ima realna pozitivna reeƭa; D) nema realnih reeƭa; E) ima realna negativna reeƭa; N) ne znam. 48. NajmaƬe reeƭe jednaqine + 9 + =, 05 pripada intervalu: + 9 A) (, 0]; B) ( 0, 0]; C) (0, 0]; D) (0, + ); E) jednaqina nema reeƭa. 49. Jednaqina + 4 7 = + 5: A) ima dva realna pozitivna reeƭa; B) ima dva realna re. od kojih je samo jedno pozitivno; C) ima samo jedno realno re; D) ima qetiri realna pozitivna re ; E) nema realnih re. 50. Data je jednaqina 6 48 + 6 = 4 +. Taqan je iskaz: A) jednaqina ima samo jedno pozitivno reeƭe; B) jednaqina ima taqno dva reeƭa; C) jednaqina ima beskonaqno mnogo reeƭa; D) jednaqina nema reeƭa; E) jednaqina ima samo jedno negativno reeƭe. 5. ReeƬe nejednaqine > je: A) (, ); B) (, ]; C) (, ]; D) (, 4); E) [, ]; N) ne znam. 5. Odrediti skup reeƭa nejednaqine: 8 +. A) [, 8]; B) [4, 7]; C) [5, 6]; D) {5}; E) nema reeƭa; N) ne znam. 5. Skup reeƭa nejednaqine + 7 > 5 4 A) (, 9) ; B) (9, + ); C) (, ); D) (, 5) (5, 9); E) (, ) (9, + ); N) ne znam. 54. Skup reeƭa nejednaqine 5 + 4 < je A) (, 5); B) (5, + ); C) [5, + ); D) [, 5); E) [4, 5); N) ne znam. 55. Odrediti skup reeƭa nejednaqine: 8 +. A) [, 8]; B) [4, 7]; V) [5, 6]; G) {5}; D) nema reeƭa. 56. Odrediti skup reeƭa nejednaqine >. ( ) [ ) ( 6 6 A), + ; B), + ; C), 6 ) ( ; D), 6 ] ( ) 6 ; E) (, ], +. 57. ReeƬe jednaqine + 4 < + 46 je A) [ 46, ); B) ( 0, ); C) [ 4, ); D) (, ); E) jedn. nema reeƭa; N) ne znam. Ispitati tok i skicirati grafik slede ih funkcija: 58. f() = ( ) 0. 59. f() = + 5. 60. f() = +. 6. f() = + +. je 6. f() = +. 6. f() = +. 64. f() = + 6. 65. f() = +. 66. f() = +. 67. f() = + +. 68. f() = + +. 69. f() =. 70. f() =. 7. f() = +. 7. f() = ( ) +. 7. f() =. 74. f() = +. 75. f() = 4.
Razni zadaci sa takmiqeƭa 76. Međuoptinsko 986. VII razred. Poznato je da je iracionalan broj. Dokazati da su i brojevi 5+ i 5 takođe iracionalni brojevi. 77. Xkolsko 00. VII razred. Ako se zna da su 5 i iracionalni brojevi, dokazati da je i 5 iracionalan broj. 78. Republiqko 005. VII razred. + 7 Xta je ve e ili 6 6? 79. Susreti gimnazija centralne Srbije 00. III i IV razred. Koliko ima prirodnih brojeva n takvih da je 00 < n < 0? 80. Savezno 979. VIII razred. Dat je izraz + y z + y. Ako je = 6 979, z = 56 980, odrediti sve vrednosti za y, za koje dati izraz ima najmaƭu mogu u vrednost. 8. Okruжno 00. VII razred. Da li je vrednost izraza ( 5 ) + 9 4 5 racionalan ili iracionalan broj? 8. Okruжno 06. II razred, B kategorija. Da li je broj 05 + 06 racionalan ili iracionalan? 8. Susreti gimnazija centralne Srbije 00. II razred. Racionalisati razlomak + + 4 4. 84. Republiqko 00. II razred, B kategorija. ( 6 Dokazati da je broj 8 ) 5 5 5 + 6 + + ceo i izraqunati ga. 85. Optinsko 005. II razred, ( B kategorija. 6 Dokazati da je broj A = 9 + 4 5 + + ) 5 5 ceo i na i Ƭegovu vrednost. 86. Optinsko 005. II razred, A kategorija. Na i sva reeƭa (a, b) u skupu racionalnih brojeva jednaqine: (a + b ) = + 4. 87. Susreti gimnazija centralne Srbije 00. III i IV razred. Da li postoje prirodni brojevi m i n takvi da je (5 + ) m = ( + 5 ) n? 88. Okruжno 00. VII razred. Ako su a, b, c i a b 00 b c 00 racionalni brojevi, dokazati da je tada ac = b. 89. Republiqko 00. VII razred. Odrediti realne brojeve r takve da su brojevi r + i r celi. 90. Xkolsko 00. VIII razred. Izraqunati 0 ( + + 0 )( + 0 ). 9. Crna Gora, regionalno 00. VIII razred. Odrediti vrednost izraza 4 5 + 8 5 + 76, ako je 4 54. 9. Republiqko 986. VIII razred. Reiti jednaqinu: + + + =. 9. Optinsko 004. II razred, B kategorija. Reiti jednaqinu: 4 4 + =. 4
94. Okruжno 005. II razred, B kategorija. Reiti jednaqinu: = + 6 +. 95. Optinsko 004. IV razred, B kategorija. Na i realna reeƭa sistema jednaqina: 96. Okruжno 00. II razred, B kategorija. U skupu realnih brojeva reiti jednaqinu: + ( y) = z + 4, z + + = 8. =. 97. Republiqko 00. II razred, B kategorija. U skupu realnih brojeva reiti jednaqinu 98. Okruжno 00. II razred, A kategorija. U skupu realnih brojeva reiti jednaqinu ( ) + ( ) =. + + + + = 6 8. 99. Okruжno 005. II razred, A kategorija. Reiti nejednaqinu + + + + 6. 00. Republiqko 005. II razred, B kategorija. Reiti nejednaqinu: 4 7 + 5 + 6. 0. Okruжno 004. II razred, A kategorija. Reiti jednaqinu: 4 + 4 7 =. 0. Okruжno 004. III razred, B kategorija. Na i sva reeƭa nejednaqine sin + cos >. 0. Republiqko 004. II razred, B kategorija. Na i sve prirodne brojeve i y tako da vaжi: + y + y. 04. Republiqko 005. II razred, B kategorija. Dokazati da za sve prirodne brojeve n vaжi n + + n < n. 05. Okruжno ( 004. II razred, A kategorija. Ako je + ) ( + y + ) y + =, dokazati da je + y = 0. 06. Okruжno 004. III razred, A kategorija. Na i sve proste brojeve p i q, takve da je broj p + 4pq + q + p + 7pq + q prirodan. 07. Susreti gimnazija centralne Srbije 00. II razred. Reiti jednaqinu: ( 6 0 5 + 5 5)( 4 + + ) = ( + 6 0 5 + 5 5)( 4 + ). 08. Okruжno 00. III razred, A kategorija. U skupu realnih brojeva reiti sistem jednaqina + + + +... + + 00 = 00 + 00 + +... + 00 = 00 00. 09. Republiqko 004. III razred, A kategorija. U skupu realnih brojeva na i sva reeƭa sistema jednaqina = + y, y = + z, z = +. 0. Susreti gimnazija centralne Srbije 00. III i IV razred. U skupu realnih brojeva reiti sistem jednaqina: z = y 8, y z =, z = 4 + 4 9y. 5