Формуле за рjешавање алгебарских jедначина помоћу радикала Синиша Бубоња Резиме У овом раду ћемо изложити историjат рjешавања алгебарских
|
|
- Oskar Hladnik
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Формуле за рjешавање алгебарских jедначина помоћу радикала Синиша Бубоња Резиме У овом раду ћемо изложити историjат рjешавања алгебарских jедначина и извести формуле за рjешавање алгебарских jедначина другог, трећег и четвртог степена. Такође ћемо показати како jе Бомбели рjешаваjући кубну jедначину дошао до открића комплексних броjева. Abstract In this paper, we will present the history of solving algebraic equations and derive formulas for solving second, third and fourth degree algebraic equations. We will also show how Bombelli, by solving the cubic equation, has come to the discovery of complex numbers. Садржаj 1 Увод Формуле за рjешења линеарних и квадратних jедначина Формуле за рjешења кубне jедначине Формуле за рjешења алгебарске jедначине четвртог степена 5 5 Настанак комплексних броjева 6 Рад jе написан на наведену тему у склопу процеса континуираног стручног усавршавања наставника 1
2 1 Увод Поступци рjешавања линеарних и квадратних jедначина општег облика били су познати Египћанима и Вавилонцима. Након њих су се рjешавањима алгебарских jедначина бавили александриjски математичари Херон ( пне) и Диофант (10-90), чиjа књига "Аритметика" jе била на необично високом нивоу. Знања о рjешавањима алгебарских jедначина су се затим проширила на арапски свиjет под називом "наука о намjештању jеднакости" (ал-џабра; арапски) одакле и савремени назив алгебре. Наjпознатиjи арапски математичари тога времена били су Ал Хорезми (780-80), Омер Хаjам ( ) и Египћанин Абу Камил (850-90). Jедначине вишег степена се спомињу, али су знали риjешити само неке специjалне случаjеве. Омар Хаjам jе развио методе за геометриjско рjешавање кубних jедначина, док jе италиjански математичар Фибоначи (Leonardo Fibonacci, ) први приближно риjешио кубну jедначину специjалног облика. Средњевjековни Кинези су такође знали приближно да риjеше кубну jедначину. Данас постоjе формуле за општа рjешења алгебарских jедначина jедначина трећег и четвртог степена. Негативни коефициjенти су досљедно избjегавани, што jе довело до тога да су умjесто jедне jедначине општег облика одређеног степена, рjешавали више типова те исте jедначине. Италиjански математичар Феро (Scipione del Ferro, ) jе око први риjешио jедан од типова кубне jедначине, али jе поступак држао у таjности. На самрти (156) га jе прениjео своме ученику Антониjу Фиору. Италиjански математичар Тартаља (Niccolo Tartaglia, ) jе око 150. открио како риjешити кубну jедначину и то ниjе крио. Како jе Фиоро био увjерен да само он зна риjешити кубну jедначину, изазвао jе Тартаљу на математички двобоj (155). Наравно, задао му jе управо кубне jедначине тога типа, коjе jе он без проблема риjешио. Оваj, са друге стране, ниjе знао ни да риjеши управо те кубне jедначине. За Тартаљину побjеду сазнао jе италиjански математичар Кардано (Girolamo Cardano, ) и успио jе из њега извући методу рjешавања кубне jедначине, у стиховима 1, под условом да не смиjе приjе њега да jе обjави. Након тога jе, заjедно са своjим студентом Ферариjем (Lodovico 1 Када су куб и ствар заjедно Jеднаки неком константном броjу Пронађи друга два броjа коjа се за таj разликуjу. Тадa ћеш усвоjити ово као навику Да им производ треба увиjек бити jеднак Тачно кубу трећине од ствари, Остаjе онда као опште правило Да ће разлика њихових кубних кориjена Бити jеднака твоjоj основноj ствари.
3 Ferrari, ), развио методу рjешавања коjа jе примjењива на све типове кубних jедначина. Након тога jе ферари самостално развио методу за рjешавање jедначине четвртог степена. Упркос обећању, Кардано обjављуjе књигу "Велика вjештина" (Ars Magna; 155), у коjоj даjе детаљан опис методе за рjешавање jедначина трећег и четвртог степена, наводећи Тартаљу као аутора методе коjу jе од њега добио. Уз то, у њоj се налази прва поjава комплексних броjева. То jе разбjеснило Тартаља, коjи jош ниjе био обjавио своjу методу. Изазвао jе Кардана на математички двобоj, на коjи jе оваj послао Ферариjа, коjи га jе глатко побjедио. Данас су формуле за рjешавање кубне jедначине познате као Карданове или Кардано-Тартаљине формуле. Након што су Тартаља и ферари пронашли правила за рjешавање jедначина трећег и четвртог степена у зависности од њиховиг коефициjената, те формуле су се неуспjешно примjењивале на рjешавање jедначина петог и виших степена. Италиjанско-француски математичар Лагранж (Joseph-Louis, comte de Lagrange, ) jе анализирао све њему познате успjешне методе за рjешавање jедначина другог, трећег и четвртог степена (1770) не би ли утврдио њихове законитости и могућност генерализациjе. Иако су Лагранжове анализе проблема пермутациjа корjенова биле обећаваjуће, он jе постаjао све сумњичавиjи, jер су године пролазиле, а ниjе долазио до конкретних резултата. Први чврсти доказ да општа jедначина петог степена ниjе рjешива помоћу радикала (операциjа сабирања, одузимања, множења, дjељења и степеновања рационалним броjевима, коjе су извршене коначан броj пута са коефициjентима jедначине) дао jе 18. године норвешки математичар Абел (Niels Abel, ). Он jе примjером показао да су неке jедначине петог степена рjешиве помоћу радикала и то релативно лако. Абел jе, такође, поставио питање: "Коjе jедначине степена већег од четири су рjешиве помоћу радикала?" Умро jе 189. у 6. години, а ниjе риjешио оваj проблем. Нешто касниjе у први план долази француски математичар Галоа (Еvariste Galois, ), поставивши 189. године на Академиjи наука нову теориjу jедначина. Нажалост, таj рукопис jе изгубљен. Друга верзиjа рада jе такође изгубљена, тако да jе нису пронашли ни међу папирима секретара Академиjе Фуриjеа, коjи jе умро 180. Након двиjе године, као двадесетогодишњак, Галоа jе страдао у двобоjу. Коначно, 186. године, његов рад jе пронађен и обjављен у математичком журналу научника Лиувила. Галоа jе доказао да се jедначине петог и вишег степена у општем случаjу не могу риjешити помоћу радикала. Галоова теориjа се, на краjу, развила у теориjу jедначина као дио теориjе група.
4 Формуле за рjешења линеарних и квадратних jедначина Захваљуjући француском математичару Декарту (Rene Descartes, ) и његовом методу координата, коjи jе изложио у књизи "Геометриjа" (La geometrie; 167), општи облик линеарне jедначине са jедном непознатом гласи: ax + b = 0, гдjе jе x непозната, a, b R и a 0. Дотад су jедначине записиване само са позитивним коефициjентима; диjелови jедначина са негативним коефициjентима су "преношени" на другу страну jеднакости. Њено рjешење jе x = b a. Општи облик квадратне jедначине са jедном непознатом гласи: ax + bx + c = 0, гдjе jе x непозната, a, b, c R и a 0. Тек када jе Кардано у своме дjелу "Велика вjештина", увео у употребу негативне и комплексне броjеве, било jе могуће риjешити општу квадратну jедначину. Помножимо дату квадратну jедначину са a (a 0), добиjамо њоj еквивалентну jедначину a x + abx + ac = 0. Додаjмо обjема странама jеднакости израз b ac. Добиjамо jедначину a x + abx + b = b ac, коjу можемо написати у облику (ax + b) = b ac. Посљедња jеднакост, еквивалентна jе са ax + b = b ac или ax + b = b ac. Из те двиjе jедначине (уз услов a 0) добиjамо да вриjеди x = b+ b ac или x = b b ac. На таj начин долазимо a a до формуле за рjешења опште квадратне jедначине x 1, = b± b ac. a Како су негативни коефициjенти досљедно избjегавани, ал Хорезми jе класификовао 6 типова квадратних jедначина, умjесто данашњег jедног jединог - општег облика. Размотримо метод рjешавања jедне од типских квадратних jедначина. Посматраjмо jедначину x + 10x = 9. Ал Хорезми конструише тражени квадрат x, над њим четири правоугаоника висине 10, тако да у угловима великог квадрата добиjе 10 четири квадрата страница jеднаких висинама правоугаоника тj.. Одатле слиjеди да jе површина великог квадрата (x + 10 x)+ ( 10 ) = 6, а страница x+ 10 = 8. Рjешаваjући посљедњу jедначину, добиjа рjешење x = посматране квадратне jедначине. Формуле за рjешења кубне jедначине Општи облик jедначине трећег степена (кубне jедначине) са jедном непознатом гласи: ax +bx +cx+d = 0, гдjе jе a, b, c, d R и a 0. Ми ћемо рjешавати кубну jедначину облика x + ax + bx + c = 0 (jасно jе да се свака jедначина општег облика може свести на оваj облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рjешења, на исти начин на коjи jе то учинио Кардано у своме дjелу "Велика вjештина".
5 Смjеном x = t a горњу jедначину сводимо на кубну jедначину без квадратног члана (дату смjену лако одредимо методом неодређених коефициjената): t +(b a a )t + ( ab a + c) = 0. Уводимо смjене b = u и a ab + c = v, сводимо 7 7 претходну jедначину на jедначину облика t + ut + v = 0. Уведимо сљедеће смjене: t = p q, u = pq и v = p q (директним уврштавањем у горњу jеднакост можемо да се увjеримо да смо их добро увели). Рjешавањем система коjи чине посљедње двиjе jедначине по непознатим величинама p и q, методом замjене, добиjамо двиjе триномне jедначине (рjешавамо их као квадратне jедначине по непознатим p и q ): 7p 6 + 7vp u = 0 и 7q 6 7vq u = 0. Њихова рjешења рачунамо по формулама: (p ) 1, = v ± v (q ) 1, = v ± v + u 7 тj. p 1,,,,5,6 = ε i v ± v + u 7 и q 1,,,,5,6 = ε i + u и 7 v ± v + u 7 (ε i су трећи кориjени из jеднице и рачунаjу се по формули ε i = 1 (cos 0+iπ + i sin 0+iπ ), i = 0, 1, ; ε 0 = 1, ε 1 = 1+i и ε = 1 i ). Како jе p q = 1 u, p q = v, p q = t, добиjамо да вриjеди формула за рjешења t 1,, = ε i ε i v + v + u, i = 0, 1,. 7 Враћањем смjене, добиjамо Карданове формуле за рjешења, x 1,, = ε i a + ab c + a c a b abc + b + c ε i a ab + c + a c a b abc + b + c a, i = 0, 1, v + v + u 7 Ниjе сада тешко написати Карданове формуле за рjешења опште кубне jедначине: x 1,, = ε i b + bc d + b d b c bcd + c + d 7a 6a a 7a 108a 6a 7a a ε i b bc + d + b d b c bcd + c + d b, i = 0, 1,. 7a 6a a 7a 108a 6a 7a a a Формуле за рjешења алгебарске jедначине четвртог степена Општи облик jедначине четвртог степена са jедном непознатом гласи: ax +bx + cx + dx + e = 0, гдjе jе a, b, c, d, e R и a 0. Ми ћемо рjешавати jедначину четвртог степена облика x + ax + bx + cx + d = 0 (jасно jе да се свака jедначина општег облика може свести на оваj облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рjешења, на исти начин на коjи jе то учинио Ферари. Смjеном x = t a, сводимо jе на jедначину облика t + pt + qt + r = 0 (дату смjену лако одредимо методом неодређених коефициjената), гдjе jе p = 8 a + b, q = 1 8 a ab + c и 5
6 r = 56 a + a b 16 ac + d. Посљедњу jедначину алгебарским трансформациjама сводимо на сљедећи облик: (t + p) = pt qt + p r. Додаjмо на обjе стране jеднакости израз u + t u + pu. Добиjамо сљедећу, њоj еквивалентну, алгебарску jедначину по непознатоj t: (t +p+u) = pt qt+p r +u +t u+pu, гдjе jе u неки реалан броj. Можемо jе написати и у облику (t + p + u) = p + u t q t + p r + u + pu, уз услове p + u 0 и p r + u + pu 0 (десна страна jеднакости jе увиjек ненегативна jер jе таква и лиjева, њоj jеднака; услови слиjеде из особина квадратне функциjе). Да би и на десноj страни jеднакости био потпуни квадрат, мора да вриjеди jеднакост q = ± p + u p r + u + pu тj. q = (p + u) (p r + u + pu). Реалан броj u ћемо добити као рjешење кубне jедначине 8u + 0pu + (16p 8r)u + p pr q = 0 (кубна jедначина има бар jедно реално рjешење; посљедица основне теореме алгебре) тj. jедначине 8u + 0( 8 a + b)u + ( 75a 5a b + ac + 16b 8d)u 15a6 + 15a b 5a c 5a b a d + abc + b bd c = 0. Одредимо сада рjешења алгебарске jедначине по непознатоj t: (t + p + u) = ( p + u t p r + u + pu) ако jе q > 0 или (t + p + u) = ( p + u t + p r + u + pu) ако jе q < 0 (ако jе q = 0, jедначина t + pt + qt + r = 0 се своди на биквадратну t + pt + r = 0, коjу знамо да риjешимо). Зависно од q, рjешавамо двиjе од сљедеће четири квадратне jедначине: t 8 a + b + u = ±( 8 a 9a + b + u t 1a b + ac b d + u a + bu) или t 8 a + b + u = ±( 8 a 9a + b + u t + 1a b + ac b d + u a + bu). Рjешавамо их помоћу Ферариjевих формула, коjе су у ствари формуле за рjешења одговараjућих квадратних jедначина. Добиjамо четири рjешења t 1, t, t и t. Враћаjући смjену, добиjамо тражена рjешења полазне jедначине: x i = t i a, i = 1,,,. 5 Настанак комплексних броjева Посматраjмо квадратну jедначину x = ax + b. Ми знамо да се њена рjешења добиjаjу помоћу формуле x 1, = a ± a + b. Њена рjешења такође можемо графички да одредимо као апсцисе пресjечних тачака графика функциjа y = x и y = ax + b у правоуглом координатном систему. Ако се графици поменутих функциjа не сиjеку, тада jедначина нема рjешења. Jедна од таквих jедначина jе и x = 1. Иако се често тврди да jе рjешавање те jедначине довело до увођења имагинарне jединице i = 1 и настанка комплексних броjева, историjски гледано, то ниjе тачно. Пошто се графици одговараjуће линеарне и квадратне функциjе не сиjеку, 6
7 за њена нереална рjешења jедноставно ниjе било интереса. До комплексних броjева се дошло рjешавањем кубне jедначине облика x = px + q, коjа увиjек има бар jедно реално рjешење, jер се графици функциjа y = x и y = px + q увиjек сиjеку. Ми знамо да се jедначина наведеног облика рjешава по формули: x = q p 7 + q q p 7 q Примjер 1 Риjешимо кубну jедначину x = 6x + 0. Видимо да jе p = 6 и q = 0. Користећи формулу добиjамо рjешење: x = x = =. 0 година након открића ове формуле, Бомбели (Bombelli, ) jу jе користио за рjешавање кубне jедначине тог типа. Примjер (Бомбели) Рjешавао je кубну jедначину x = 15x +. Jасно да jе p = 15 и q =. Користећи формулу добио jе рjешење: x = = = То не би било ништа чудно да се графици функциjа y = x и y = 15x + не сиjеку. Чињеница да реално рjешење постоjи, довела jе Бомбелиjа до открића да вриjеде jеднакости + 11 = + 1 и 11 = 1, односно до настанка комплексних броjева. Тачност наведених jеднакости се лако провjерава њиховим кубирањем, водећи рачуна да jе 1 = 1 и да за сваки позитиван реалан броj a вриjеди да jе a = a 1, шта год било то 1. Уврштавањем jе добио тражено рjешење x =. Литература [1] Girolamo Cardano, Ars Magna or The Rules of Algebra, Dover Publications, Inc. New York (1968) (published 199) [] Quadratic, cubic and quartic equations, 7
8 [] Alternative Derivation of Quadratic Formula, [] Adriaan Schipper, Sanne Spoelstra, Illustrating the Quadratic Formula with Al-Khwarizmi s Algebra, Khwarizmi.pdf [5] Tartaglia-Cardano Derivation of the Cubic Formula, [6] The "Quartic Formula", [7] Bombelli s investigations of complex numbers, djoyce/complex/cubic.html 8
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje 0. (Vladimir Marinkov).nb Kvadratna jednačina. Rešiti jednačine: a x 8 b x 0 c x d x x x e x x x f x 8 x 6 x x 6 rešenje: a) x,, b x,, c x,,d x, 6, e x,, (f) x,.
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
MAT-KOL (Banja Luka) XXV (2)(2019), DOI: /МК A ISSN (p) ISSN (o) PET RAZNI
MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(019), 95-100 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 10751/МК190095A ISSN 054-6969 (p) ISSN 1986-588 (o) PET RAZNIH DOKAZA JEDNE ALGEBARSKE NEJEDNAKOSTI (Five diverses proofs
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
s2.dvi
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
Skripte2013
Chapter 2 Algebarske strukture Preslikivanje f : A n! A se naziva n-arna operacija na skupu A Ako je n =2, kažemo da je f : A A! A binarna operacija na A Kažemo da je operacija f arnosti n, u oznaci ar
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
Microsoft Word - O nekim klasicnim kvadratnim Diofantovim jednacinama.docx
Универзитет у Београду Математички факултет О неким класичним квадратним Диофантовим једначинама Мастер рад ментор: Марко Радовановић студент: Ивана Фируловић Београд, 2017. Садржај Увод...2 1. Линеарне
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Algebarski izrazi (4. dio)
Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu 29. mart 2017. Matematiqki fakultet 2 Univerzitet u Beogradu Glava 1 Iracionalne jednaqine i nejednaqine 1.1 Teorijski uvod Pod iracionalnim jednaqinama podrazumevaju
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO
MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,
Veeeeeliki brojevi
Matematička gimnazija Nedelja informatike 3 12. decembar 2016. Uvod Postoji 10 tipova ljudi na svetu, oni koji razumeju binarni sistem, oni koji ne razumeju binarni sistem i oni koji nisu očekivali šalu
MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
UNIVERZITET U ZENICI
8 GRUPA A UNIVERZITET U ZENICI MAŠINSKI FAKULTET PISMENI ISPIT IZ MATEMATIKE Riješiti matriču jedačiu: ( A+ B) AX = A, gdje matrice A i B zadovoljavaju: A =, B = y + z Naći tačku simetriču tački M(,-,)
Natjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
Microsoft Word - Rjesenja zadataka
1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc
Algebra i funkcije napredni nivo 01. Nenegativna znači da je vrednost izraza pozitivna ili je jednaka 0. ( 1) ( 1)( 1) 0 razlika kvadrata (( x) + x 1+ 1 ) (( x) 1 ) 0 ( + + 1) ( 1) 0 x x+ x x+ x x x +
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 018/019. година МАТЕМАТИКА
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВН
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2017/2018. година
Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc
GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti od brojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo
7. а) 3 4 ( ) ; б) ( ) ( 2 5 ) ; в) ( ) 3 16 ; г) ( ). 8. а) ( г) ) ( ) ; б)
7. а) ( 5 + 5 ) ; б) ( 5 8 5 6 ) ( 2 5 ) ; в) ( 9 + ) 6 ; г) 5 ( 2 + 2 29 ). 8. а) ( г) 2 2 + ) ( + 2 ) ; б) 2 ( + 2 ) + 2 ; в) ( 0 + 5 ) ( 2 ( 7 6 )) ; 7 2 + ( + ( 8 6 ( 2 ) 2 )) ; д) ( 2 5 ( 2 + 7 0
1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: prvi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Programski sadržaji za prvi razred: Teme : 1)
MatematikaRS_2.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: drugi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Teme: 1. Trigonometrija trougla (18) 2. Stepeni
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i
MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni
Microsoft Word - Matematika_emelt_irasbeli_javitasi_0911_szerb.doc
Matematika szerb yelve emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIKA SZERB NYELVEN EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Важне информације
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
СТЕПЕН појам и особине
СТЕПЕН појам и особине Степен чији је изложилац природан број N R \ 0 изложилац (експонент) основа степен Особине: m m m m : m m : : Примери. 8 4 7 4 5 4 4 5 6 :5 Важно! 5 5 5 5 5 55 5 Основа је број -5
Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
Vjezbe 1.dvi
Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/ Sadržaj Sup realnih brojeva
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
Microsoft Word - 7. cas za studente.doc
VII Диферeнцни поступак Користи се за решавање диференцијалних једначина. Интервал на коме је дефинисана тражена функција се издели на делова. Усвоји се да се непозната функција између сваке три тачке
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
Информатичка одељења Математика Република Србија Министарство просвете, науке и технолошког развоја Завод за вредновање квалитета образовања и васпита
Република Србија Министарство просвете, науке и технолошког развоја Завод за вредновање квалитета образовања и васпитања ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ
UAAG Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević
Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostori Borka Jadrijević Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 2 5.1 Unutarnja i vanjska množenja Imamo dvije vrste algebarskih operacija, tzv. unutarnja
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III
25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРА
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 018/019. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА
P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1
Analiza efikasnosti algoritama I Asimptotske notacije Master metoda (teorema) 1 Asimptotske notacije (1/2) Služe za opis vremena izvršenja algoritma T(n) gde je n N veličina ulaznih podataka npr. br. elemenata
SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau
Lekcija : Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o razlomcima proširivanje, skraćivanje, upoređivanje; zapis razlomka u okviru mešovitog
Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije y= arcsin + Oblast definisanosti (domen) Podsetimo se grafika elementarnih funkcija i kako izgleda arcsin funkcija: y - y=arcsin Funkcija je definisana za [,]
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
Техничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић
Техничко решење: Метода мерења ефективне вредности сложенопериодичног сигнала Руководилац пројекта: Владимир Вујичић Одговорно лице: Владимир Вујичић Аутори: Драган Пејић, Бојан Вујичић, Небојша Пјевалица,
Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija
1. Operacije i zakoni operacija Neka je S neprazan skup. Operacija dužine n skupa S jeste svako preslikavanje : n n f S S ( S = S S S... S) Ako je n = 1, onda operaciju nazivamo unarna. ( f : S S ) Ako
Pismeni dio ispita iz Matematike 1
Zenica, 00007 Odediti koeficijent uz 8 u azvoju tinoma 0 + + Rješiti i diskutovati sistem lineanih jednačina u zavisnosti od paameta a: a y + z = + ( a) y + z = 0 y+ a z = Ispitati funkciju i nactati gafik:
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je
Verovatnoća - kolokvijum 17. decembar 2016. 1. Profesor daje dva tipa ispita,,,težak ispit i,,lak ispit. Verovatnoća da student dobije težak ispit je 0.8. Ako je ispit težak, verovatnoća da se prvo pitanje
JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,
ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА Диофантове једначине смо решавали у петом, шестом и седмом разреду. Тада смо се упознали и са појмом Диофантове једначине и појмом решења Диофантове једначине. Циљ ове наставне