Формуле за рjешавање алгебарских jедначина помоћу радикала Синиша Бубоња Резиме У овом раду ћемо изложити историjат рjешавања алгебарских

Транскрипт

1 Формуле за рjешавање алгебарских jедначина помоћу радикала Синиша Бубоња Резиме У овом раду ћемо изложити историjат рjешавања алгебарских jедначина и извести формуле за рjешавање алгебарских jедначина другог, трећег и четвртог степена. Такође ћемо показати како jе Бомбели рjешаваjући кубну jедначину дошао до открића комплексних броjева. Abstract In this paper, we will present the history of solving algebraic equations and derive formulas for solving second, third and fourth degree algebraic equations. We will also show how Bombelli, by solving the cubic equation, has come to the discovery of complex numbers. Садржаj 1 Увод Формуле за рjешења линеарних и квадратних jедначина Формуле за рjешења кубне jедначине Формуле за рjешења алгебарске jедначине четвртог степена 5 5 Настанак комплексних броjева 6 Рад jе написан на наведену тему у склопу процеса континуираног стручног усавршавања наставника 1

2 1 Увод Поступци рjешавања линеарних и квадратних jедначина општег облика били су познати Египћанима и Вавилонцима. Након њих су се рjешавањима алгебарских jедначина бавили александриjски математичари Херон ( пне) и Диофант (10-90), чиjа књига "Аритметика" jе била на необично високом нивоу. Знања о рjешавањима алгебарских jедначина су се затим проширила на арапски свиjет под називом "наука о намjештању jеднакости" (ал-џабра; арапски) одакле и савремени назив алгебре. Наjпознатиjи арапски математичари тога времена били су Ал Хорезми (780-80), Омер Хаjам ( ) и Египћанин Абу Камил (850-90). Jедначине вишег степена се спомињу, али су знали риjешити само неке специjалне случаjеве. Омар Хаjам jе развио методе за геометриjско рjешавање кубних jедначина, док jе италиjански математичар Фибоначи (Leonardo Fibonacci, ) први приближно риjешио кубну jедначину специjалног облика. Средњевjековни Кинези су такође знали приближно да риjеше кубну jедначину. Данас постоjе формуле за општа рjешења алгебарских jедначина jедначина трећег и четвртог степена. Негативни коефициjенти су досљедно избjегавани, што jе довело до тога да су умjесто jедне jедначине општег облика одређеног степена, рjешавали више типова те исте jедначине. Италиjански математичар Феро (Scipione del Ferro, ) jе око први риjешио jедан од типова кубне jедначине, али jе поступак држао у таjности. На самрти (156) га jе прениjео своме ученику Антониjу Фиору. Италиjански математичар Тартаља (Niccolo Tartaglia, ) jе око 150. открио како риjешити кубну jедначину и то ниjе крио. Како jе Фиоро био увjерен да само он зна риjешити кубну jедначину, изазвао jе Тартаљу на математички двобоj (155). Наравно, задао му jе управо кубне jедначине тога типа, коjе jе он без проблема риjешио. Оваj, са друге стране, ниjе знао ни да риjеши управо те кубне jедначине. За Тартаљину побjеду сазнао jе италиjански математичар Кардано (Girolamo Cardano, ) и успио jе из њега извући методу рjешавања кубне jедначине, у стиховима 1, под условом да не смиjе приjе њега да jе обjави. Након тога jе, заjедно са своjим студентом Ферариjем (Lodovico 1 Када су куб и ствар заjедно Jеднаки неком константном броjу Пронађи друга два броjа коjа се за таj разликуjу. Тадa ћеш усвоjити ово као навику Да им производ треба увиjек бити jеднак Тачно кубу трећине од ствари, Остаjе онда као опште правило Да ће разлика њихових кубних кориjена Бити jеднака твоjоj основноj ствари.

3 Ferrari, ), развио методу рjешавања коjа jе примjењива на све типове кубних jедначина. Након тога jе ферари самостално развио методу за рjешавање jедначине четвртог степена. Упркос обећању, Кардано обjављуjе књигу "Велика вjештина" (Ars Magna; 155), у коjоj даjе детаљан опис методе за рjешавање jедначина трећег и четвртог степена, наводећи Тартаљу као аутора методе коjу jе од њега добио. Уз то, у њоj се налази прва поjава комплексних броjева. То jе разбjеснило Тартаља, коjи jош ниjе био обjавио своjу методу. Изазвао jе Кардана на математички двобоj, на коjи jе оваj послао Ферариjа, коjи га jе глатко побjедио. Данас су формуле за рjешавање кубне jедначине познате као Карданове или Кардано-Тартаљине формуле. Након што су Тартаља и ферари пронашли правила за рjешавање jедначина трећег и четвртог степена у зависности од њиховиг коефициjената, те формуле су се неуспjешно примjењивале на рjешавање jедначина петог и виших степена. Италиjанско-француски математичар Лагранж (Joseph-Louis, comte de Lagrange, ) jе анализирао све њему познате успjешне методе за рjешавање jедначина другог, трећег и четвртог степена (1770) не би ли утврдио њихове законитости и могућност генерализациjе. Иако су Лагранжове анализе проблема пермутациjа корjенова биле обећаваjуће, он jе постаjао све сумњичавиjи, jер су године пролазиле, а ниjе долазио до конкретних резултата. Први чврсти доказ да општа jедначина петог степена ниjе рjешива помоћу радикала (операциjа сабирања, одузимања, множења, дjељења и степеновања рационалним броjевима, коjе су извршене коначан броj пута са коефициjентима jедначине) дао jе 18. године норвешки математичар Абел (Niels Abel, ). Он jе примjером показао да су неке jедначине петог степена рjешиве помоћу радикала и то релативно лако. Абел jе, такође, поставио питање: "Коjе jедначине степена већег од четири су рjешиве помоћу радикала?" Умро jе 189. у 6. години, а ниjе риjешио оваj проблем. Нешто касниjе у први план долази француски математичар Галоа (Еvariste Galois, ), поставивши 189. године на Академиjи наука нову теориjу jедначина. Нажалост, таj рукопис jе изгубљен. Друга верзиjа рада jе такође изгубљена, тако да jе нису пронашли ни међу папирима секретара Академиjе Фуриjеа, коjи jе умро 180. Након двиjе године, као двадесетогодишњак, Галоа jе страдао у двобоjу. Коначно, 186. године, његов рад jе пронађен и обjављен у математичком журналу научника Лиувила. Галоа jе доказао да се jедначине петог и вишег степена у општем случаjу не могу риjешити помоћу радикала. Галоова теориjа се, на краjу, развила у теориjу jедначина као дио теориjе група.

4 Формуле за рjешења линеарних и квадратних jедначина Захваљуjући француском математичару Декарту (Rene Descartes, ) и његовом методу координата, коjи jе изложио у књизи "Геометриjа" (La geometrie; 167), општи облик линеарне jедначине са jедном непознатом гласи: ax + b = 0, гдjе jе x непозната, a, b R и a 0. Дотад су jедначине записиване само са позитивним коефициjентима; диjелови jедначина са негативним коефициjентима су "преношени" на другу страну jеднакости. Њено рjешење jе x = b a. Општи облик квадратне jедначине са jедном непознатом гласи: ax + bx + c = 0, гдjе jе x непозната, a, b, c R и a 0. Тек када jе Кардано у своме дjелу "Велика вjештина", увео у употребу негативне и комплексне броjеве, било jе могуће риjешити општу квадратну jедначину. Помножимо дату квадратну jедначину са a (a 0), добиjамо њоj еквивалентну jедначину a x + abx + ac = 0. Додаjмо обjема странама jеднакости израз b ac. Добиjамо jедначину a x + abx + b = b ac, коjу можемо написати у облику (ax + b) = b ac. Посљедња jеднакост, еквивалентна jе са ax + b = b ac или ax + b = b ac. Из те двиjе jедначине (уз услов a 0) добиjамо да вриjеди x = b+ b ac или x = b b ac. На таj начин долазимо a a до формуле за рjешења опште квадратне jедначине x 1, = b± b ac. a Како су негативни коефициjенти досљедно избjегавани, ал Хорезми jе класификовао 6 типова квадратних jедначина, умjесто данашњег jедног jединог - општег облика. Размотримо метод рjешавања jедне од типских квадратних jедначина. Посматраjмо jедначину x + 10x = 9. Ал Хорезми конструише тражени квадрат x, над њим четири правоугаоника висине 10, тако да у угловима великог квадрата добиjе 10 четири квадрата страница jеднаких висинама правоугаоника тj.. Одатле слиjеди да jе површина великог квадрата (x + 10 x)+ ( 10 ) = 6, а страница x+ 10 = 8. Рjешаваjући посљедњу jедначину, добиjа рjешење x = посматране квадратне jедначине. Формуле за рjешења кубне jедначине Општи облик jедначине трећег степена (кубне jедначине) са jедном непознатом гласи: ax +bx +cx+d = 0, гдjе jе a, b, c, d R и a 0. Ми ћемо рjешавати кубну jедначину облика x + ax + bx + c = 0 (jасно jе да се свака jедначина општег облика може свести на оваj облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рjешења, на исти начин на коjи jе то учинио Кардано у своме дjелу "Велика вjештина".

5 Смjеном x = t a горњу jедначину сводимо на кубну jедначину без квадратног члана (дату смjену лако одредимо методом неодређених коефициjената): t +(b a a )t + ( ab a + c) = 0. Уводимо смjене b = u и a ab + c = v, сводимо 7 7 претходну jедначину на jедначину облика t + ut + v = 0. Уведимо сљедеће смjене: t = p q, u = pq и v = p q (директним уврштавањем у горњу jеднакост можемо да се увjеримо да смо их добро увели). Рjешавањем система коjи чине посљедње двиjе jедначине по непознатим величинама p и q, методом замjене, добиjамо двиjе триномне jедначине (рjешавамо их као квадратне jедначине по непознатим p и q ): 7p 6 + 7vp u = 0 и 7q 6 7vq u = 0. Њихова рjешења рачунамо по формулама: (p ) 1, = v ± v (q ) 1, = v ± v + u 7 тj. p 1,,,,5,6 = ε i v ± v + u 7 и q 1,,,,5,6 = ε i + u и 7 v ± v + u 7 (ε i су трећи кориjени из jеднице и рачунаjу се по формули ε i = 1 (cos 0+iπ + i sin 0+iπ ), i = 0, 1, ; ε 0 = 1, ε 1 = 1+i и ε = 1 i ). Како jе p q = 1 u, p q = v, p q = t, добиjамо да вриjеди формула за рjешења t 1,, = ε i ε i v + v + u, i = 0, 1,. 7 Враћањем смjене, добиjамо Карданове формуле за рjешења, x 1,, = ε i a + ab c + a c a b abc + b + c ε i a ab + c + a c a b abc + b + c a, i = 0, 1, v + v + u 7 Ниjе сада тешко написати Карданове формуле за рjешења опште кубне jедначине: x 1,, = ε i b + bc d + b d b c bcd + c + d 7a 6a a 7a 108a 6a 7a a ε i b bc + d + b d b c bcd + c + d b, i = 0, 1,. 7a 6a a 7a 108a 6a 7a a a Формуле за рjешења алгебарске jедначине четвртог степена Општи облик jедначине четвртог степена са jедном непознатом гласи: ax +bx + cx + dx + e = 0, гдjе jе a, b, c, d, e R и a 0. Ми ћемо рjешавати jедначину четвртог степена облика x + ax + bx + cx + d = 0 (jасно jе да се свака jедначина општег облика може свести на оваj облик и обратно). Извешћемо сада формулу за њена рjешења, на исти начин на коjи jе то учинио Ферари. Смjеном x = t a, сводимо jе на jедначину облика t + pt + qt + r = 0 (дату смjену лако одредимо методом неодређених коефициjената), гдjе jе p = 8 a + b, q = 1 8 a ab + c и 5

6 r = 56 a + a b 16 ac + d. Посљедњу jедначину алгебарским трансформациjама сводимо на сљедећи облик: (t + p) = pt qt + p r. Додаjмо на обjе стране jеднакости израз u + t u + pu. Добиjамо сљедећу, њоj еквивалентну, алгебарску jедначину по непознатоj t: (t +p+u) = pt qt+p r +u +t u+pu, гдjе jе u неки реалан броj. Можемо jе написати и у облику (t + p + u) = p + u t q t + p r + u + pu, уз услове p + u 0 и p r + u + pu 0 (десна страна jеднакости jе увиjек ненегативна jер jе таква и лиjева, њоj jеднака; услови слиjеде из особина квадратне функциjе). Да би и на десноj страни jеднакости био потпуни квадрат, мора да вриjеди jеднакост q = ± p + u p r + u + pu тj. q = (p + u) (p r + u + pu). Реалан броj u ћемо добити као рjешење кубне jедначине 8u + 0pu + (16p 8r)u + p pr q = 0 (кубна jедначина има бар jедно реално рjешење; посљедица основне теореме алгебре) тj. jедначине 8u + 0( 8 a + b)u + ( 75a 5a b + ac + 16b 8d)u 15a6 + 15a b 5a c 5a b a d + abc + b bd c = 0. Одредимо сада рjешења алгебарске jедначине по непознатоj t: (t + p + u) = ( p + u t p r + u + pu) ако jе q > 0 или (t + p + u) = ( p + u t + p r + u + pu) ако jе q < 0 (ако jе q = 0, jедначина t + pt + qt + r = 0 се своди на биквадратну t + pt + r = 0, коjу знамо да риjешимо). Зависно од q, рjешавамо двиjе од сљедеће четири квадратне jедначине: t 8 a + b + u = ±( 8 a 9a + b + u t 1a b + ac b d + u a + bu) или t 8 a + b + u = ±( 8 a 9a + b + u t + 1a b + ac b d + u a + bu). Рjешавамо их помоћу Ферариjевих формула, коjе су у ствари формуле за рjешења одговараjућих квадратних jедначина. Добиjамо четири рjешења t 1, t, t и t. Враћаjући смjену, добиjамо тражена рjешења полазне jедначине: x i = t i a, i = 1,,,. 5 Настанак комплексних броjева Посматраjмо квадратну jедначину x = ax + b. Ми знамо да се њена рjешења добиjаjу помоћу формуле x 1, = a ± a + b. Њена рjешења такође можемо графички да одредимо као апсцисе пресjечних тачака графика функциjа y = x и y = ax + b у правоуглом координатном систему. Ако се графици поменутих функциjа не сиjеку, тада jедначина нема рjешења. Jедна од таквих jедначина jе и x = 1. Иако се често тврди да jе рjешавање те jедначине довело до увођења имагинарне jединице i = 1 и настанка комплексних броjева, историjски гледано, то ниjе тачно. Пошто се графици одговараjуће линеарне и квадратне функциjе не сиjеку, 6

7 за њена нереална рjешења jедноставно ниjе било интереса. До комплексних броjева се дошло рjешавањем кубне jедначине облика x = px + q, коjа увиjек има бар jедно реално рjешење, jер се графици функциjа y = x и y = px + q увиjек сиjеку. Ми знамо да се jедначина наведеног облика рjешава по формули: x = q p 7 + q q p 7 q Примjер 1 Риjешимо кубну jедначину x = 6x + 0. Видимо да jе p = 6 и q = 0. Користећи формулу добиjамо рjешење: x = x = =. 0 година након открића ове формуле, Бомбели (Bombelli, ) jу jе користио за рjешавање кубне jедначине тог типа. Примjер (Бомбели) Рjешавао je кубну jедначину x = 15x +. Jасно да jе p = 15 и q =. Користећи формулу добио jе рjешење: x = = = То не би било ништа чудно да се графици функциjа y = x и y = 15x + не сиjеку. Чињеница да реално рjешење постоjи, довела jе Бомбелиjа до открића да вриjеде jеднакости + 11 = + 1 и 11 = 1, односно до настанка комплексних броjева. Тачност наведених jеднакости се лако провjерава њиховим кубирањем, водећи рачуна да jе 1 = 1 и да за сваки позитиван реалан броj a вриjеди да jе a = a 1, шта год било то 1. Уврштавањем jе добио тражено рjешење x =. Литература [1] Girolamo Cardano, Ars Magna or The Rules of Algebra, Dover Publications, Inc. New York (1968) (published 199) [] Quadratic, cubic and quartic equations, 7

8 [] Alternative Derivation of Quadratic Formula, [] Adriaan Schipper, Sanne Spoelstra, Illustrating the Quadratic Formula with Al-Khwarizmi s Algebra, Khwarizmi.pdf [5] Tartaglia-Cardano Derivation of the Cubic Formula, [6] The "Quartic Formula", [7] Bombelli s investigations of complex numbers, djoyce/complex/cubic.html 8