Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru i pravougli koordinatni sistem Definicija Skup svih duži u prostoru koje su istog intenziteta, pravca i smera naziva se vektor u prostoru. Bazni vektori u prostoru su: ı = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Napomena: Podsetimo se, za tačku P(a, b, c) odgovarajući vektor položaja je r P = OP = aı + bj + ck = (a, b, c) Sa druge strane, predstavnik vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) sa početkom u koordinatnom početku O je baš vektor OP Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 2 / 11
Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
Vektori u prostoru operacije Množenje vektora v = aı + bj + ck = (a, b, c) skalarom α R je dato sa αv = (αa)ı + (αb)j + (αc)k = α(a, b, c) = (αa, αb, αc) Sabiranje vektora v 1 = a 1 ı + b 1 j + c 1 k = (a 1, b 1, c 1 ) i v 2 = a 2 ı + b 2 j + c 2 k = (a 2, b 2, c 2 ) je dato sa v 1 + v 2 = (a 1 + a 2 )ı + (b 1 + b 2 )j + (c 1 + c 2 )k = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2 ) Primer 8.1 Izraziti vektor P 1 P 2 preko baznih vektora ı, j, k, ako je P 1 (x 1, y 1, z 1 ) i P 2 (x 2, y 2, z 2 ) Koplanarni vektori Tri ne-nula vektora a, b i c u prostoru su koplanarni (pripadaju istoj ravni) ako su linearno zavisni, odnosno ako postoje α, β R tako da je c = αa + βb. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 3 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Intenzitet vektora Neka je dat vektor v = aı + bj + ck. Tada je v = OP 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2... primenom Pitagorine teoreme Podsetimo se, važi i αv = α v, α R Nula vektor je 0 = 0ı + 0j + 0k; i on je zapravo tačka. Jedinični vektor je vektor dužine 1, odnosno onaj vektor v za koji je v = 1. Važi ı = 1ı + 0j + 0k = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1, kao i j = 1 i k = 1. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 4 / 11
Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
Vektori u prostoru osobine Prezentacija vektora v : v v jedinični vektor istog pravca i smera (paralelan i isto usmeren) kao i v (normiranje vektora v) v Onda je v = v }{{} v intenzitet }{{} usmerenje Primer 8.2 Normirati vektor P 1 P 2, ako je P 1 (1, 0, 1) i P 2 (3, 2, 0) Primer 8.3 Odrediti vektor dužine 6 paralelan vektoru v = 2ı + 2j k Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 5 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Primetimo: Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Primetimo: Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora je operacija koja paru vektora u i v dodeljuje skalar (broj), u v Neka je θ [0, π] ugao izme du vektora u i v, koji nije usmeren Skalarni proizvod vektora u i v, u v, je u v = u v cos θ Primetimo: ako je θ [0, π 2 ] (odnosno, ako u i v grade oštar ugao), onda je u v 0; ako je θ [ π 2, π] (odnosno, ako u i v grade tup ugao), onda je u v 0; ako je θ = π 2 (odnosno, ako su vektori u i v normalni), onda je u v = 0; vazi u u = u u cos 0 = u 2, odnosno u = u u Primer 8.4 Odrediti skalarni proizvod vektora u = 3k i v = 2ı + 2k. Napomena: Kako nije uvek jednostavno odrediti ugao θ izme du vektora u i v, pokušaćemo da utvrdimo i drugi način za izračunavanje u v Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 6 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora izračunavanje Neka je: u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = v u Primenom kosinusne teoreme dobijamo: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Koristeći da je u v = u v cos θ, dobijamo da je u v = u 2 + v 2 w 2 2 ; odnosno, u v = x 2 1 +y 2 1 +z2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z2 2 ((x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 ) 2 = 2(x 1x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) 2 u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Koristeći ovo, sada možemo izračunati ugao izme du vektora u i v : θ = arccos u v, θ [0, π] u v Primer 8.5 Odrediti ugao izme du vektora u = ı 2j 2k i v = (6, 3, 2). Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 7 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Skalarni proizvod vektora osobine Izdvojimo neke od osobina skalarnog proizvoda vektora: komutativnost skalarnog proizvoda: u v = v u množenje skalarom i skalarni proizvod: (αu) v = u (αv) = α(u v) distributivnost skalarniog proizvoda: u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w i (u + v) (w + z) = u w + u z + v w + v z Pokažimo da važi u (v + w) = u v + u w. Zaista, u ( v + w) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1, v 2, v 3 ) + (w 1, w 2, w 3 ) ) = (u 1, u 2, u 3 ) ((v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) ) = u 1 (v 1 + w 1 ) + u 2 (v 2 + w 2 ) + u 3 (v 3 + w 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u v + u w Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 8 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Projekcija vektora Neka su dati vektori a = PS i b = PQ. Projekcija vektora b na vektor a je vektor PR, gde je R projekcija tačke Q na pravu p(p, S). Koristićemo zapis: PR = proj a b. Primetimo da važi: proj a b = ( b cos θ) }{{} = a b a ±duzina a a = a a }{{} pravac ( b ) a a a a = a b a a a. Vrednost b cos θ = a b proj a b. a = b a naziva se skalarna komponenta projekcije a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 9 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Vektor kao suma ortogonalnih vektora Primer 8.6 Odrediti proj a b kao i skalarnu komponentu projekcije, ako je a = ı 2j 2k i b = 6ı + 3j + 2k. Neka je dat vektor a. Napisati vektor b kao sumu vektora paralelnog i normalnog na a. Jasno, b = proj a b + (b proj a b). Kako je proj a b paralelan vektoru a, ostaje još da se pokaže da je b proj a b normalan na a. Zaista, a (b proj a b) = a b ( a proj ) a b = a b a a b a a a = a b a b a a = 0. a a Primer 8.7 Napisati vektor b = 2ı + j 3k kao zbir vektora paralelnog i normalnog na a = 3ı j. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 10 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11
Rad sile ili mehanički rad, A Podsetimo se: Sila vrši mehanički rad ako pri svom delovanju pokreće telo, menja brzinu kretanja tela, menja oblik tela i sl. Dakle, da bi se vršio mehanički rad treba da budu ispunjena dva uslova: da deluje sila i da se, na primer, telo kreće pod dejstvom te sile. Definicija. Proizvod dužine puta, r, koje pre de telo pod dejstvom neke sile, F, i intenziteta one komponente te sile koja je u pravcu kretanja tela se naziva rad sile i obeležava sa A. A = r proj r F = r F cos θ = r F Primer 8.8 Odrediti rad učinjen delovanjem sile jačine 40N pod uglom od 60 pri pomeranju tela za 3m. (Jedinica za rad sile je Džul, J = Nm) Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 11 / 11