LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

Слични документи
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

PRAVILA ZA POLAGANjE ISPITA IZ NUMERIQKE ANALIZE U TOKU SEMESTRA 1. Ispit se sastoji iz pismenog i usmenog dela. Pismeni deo ispita je eliminatoran. 2.

My_ST_FTNIspiti_Free

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.

OKVIRNI KALENDAR PISANIH PROVJERA ZNANJA U JU OSMA OSNOVNA ŠKOLA AMER ĆENANOVIĆ DRUGO POLUGODIŠTE školske 2018/2019. godine 2-1 Datum planiranih pisan

Strateski marketing

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

PLAN PISMENIH PROVJERA ZA I 1 RAZRED U ŠKOLSKOJ 2018/2019. MJESEC I sedmica II sedmica III sedmica IV sedmica V sedmica SEPTEMBAR OKTOBAR NOVEMBAR DEC

Microsoft Word - raspored-ispita

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Microsoft Word - Ispitni_rok_2016_avg_sept_okt

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

PLAN PISMENIH PROVJERA ZA II-1,2,3,4 RAZREDE U ŠKOLSKOJ 2018/2019. Sedmica/ mjesec Septembar BHS - test MO kontrolni

Pelova jednaqina verzija 2.1: Duxan uki 0 Uvod Qesto smo se sretali sa linearnim diofantskim jednaqinama, i ovakve jednaqine znamo da rexav

Nastavno pismo 3

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Pripremni kamp - Avala, 1-7. februar Zadaci za samostalan rad (pripremio Duxan uki ) Algebra 1. Realni brojevi a, b, c zadovoljavaju (a+b)(b+c)(c

( )

Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.

Б03

Slide 1

PowerPoint Presentation

ОБЕЗБЈЕЂЕЊЕ КВАЛИТЕТА НАСТАВНОГ ПРОЦЕСА НА Banja Luka College - у - резултати анкете која је спроведена у љетњем семестру 2017/2018 академске године -

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Slide 1

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc

M-2-Kvadratna jednadžba 2. KVADRATNE JEDNADŽBE 2.1. Kvadratna jednadžba Primjeri: 1 Matematika 2 kvadratna jednadžba kompletno riješ

Microsoft PowerPoint - NAD IR OS pravila 2017.pptx

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - Uputstvo za proveru znanja studenata.doc

Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

Matematika 2

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Microsoft Word - 15ms261

SEPTEMBAR KALENDAR PISANIH PROVJERA ZA PRVO POLUGODIŠTE ŠKOLSKE 2019/2020 GODINE Razred i odjeljenje Mjesec Datum Dan II 1 II 2 II 3 III 1 III 2 IV 1

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

2

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

Slide 1

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr

rjeshenja.dvi

Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Karakterizacije geodezijskih preslikavanja Rimanovih prostora (MASTER RAD) M

Jednadžbe - ponavljanje

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

Neodreeni integrali - Predavanje III

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Microsoft Word - k-for

1996_mmo_resenja.dvi

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

Skripte2013

VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Tenzorska analiza u teoriji relativnosti Master rad Mentor: Prof. Dr Ljubica V

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

РАСПОРЕД ПИСМЕНИХ ПРОВЕРА ЗНАЊА ЗА ЈАНУАР И ФЕБРУАР МЕСЕЦ ГОДИНЕ ОДЕЉЕЊЕ ГОДИНЕ ФИЗИКА ТЕСТ ГОДИНЕ ЕНГЛЕСКИ ЈЕЗИК КО

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

СТЕПЕН појам и особине

Grafovi 1. Posmatrajmo graf prikazan na slici sa desne strane. a) Odrediti skup čvorova V i skup grana E posmatranog grafa. Za svaku granu posebno odr

9. : , ( )

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

Univerzitet u Nixu Prirodno-matematiqki fakultet Departman za matematiku Potprostori Rimanovih prostora Master rad Mentor: Prof. Dr Mi a Stankovi Stud

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Particije prirodnog broja druga-0.1 verzija: Duxan uki 1 Uvod Particija prirodnog broja n je predstavljanje n u obliku zbira nekoliko prirodn

Logičke izjave i logičke funkcije

Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.

Tutoring System for Distance Learning of Java Programming Language

Microsoft Word - inicijalni test 2013 za sajt

Септембар II испитни рок Назив предмета Предметни наставник Датум испита Време испита Просторија Услов - положен испит Актуелни сту

REXENjA ZADATAKA RPUBLIQKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1. Ako su A i B neprazni podskupovi ravni α, takvi da je A B =

Microsoft Word - p2-informatika

Univerzitet u Nixu Prirodno - matematiqki fakultet Departman za matematiku Kovarijatno diferenciranje Master rad Mentor: Prof. Dr Milan Zlatanovi Stude

Априлски испитни рок Назив предмета Предметни наставник Датум испита Време испита Просторија Услов - положен испит Актуелни студијс

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

ПОДАЦИ О ПРЕДМЕТУ: Упоредно међународно приватно право Назив предмета: Статус предмета: Упоредно међународно приватно право обавезни, IX семестар Проф

OSNOVE MENADŽMENTA

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

ОБРАЗАЦ СИЛАБУСА – С2

Распоред испита у продуженом октобарском року школске 2015/2016. године НЕДЕЉА часова часова I ГОДИНА Писмени испити ФИЛОЗОФИЈА

JUOŠ HAŠIM SPAHIĆ ILIJAŠ KALENDAR ODRŽAVANJA ŠKOLSKIH PISMENIIH ZADAĆA I TESTOVA U ŠKOLSKOJ 2018/2019. GODINI PRVO POLUGODIŠTE II-1 Septembar DAN Datu

Транскрипт:

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Reeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren skup, ima u taqki (a, b, c) X lokalni minimum (maksimum) ako postoji okolina U taqke (a, b, c) takva da vaжi f(, y, z) f(a, b, c) (f(, y, z) f(a, b, c)) za svako (, y, z) U. Neophodan uslov za lokalni ekstremum Ako u taqki (a, b, c) X postoji gradijent funkcije f i ako funkcija u toj taqki ima lokalni ekstremum, tada je f(a, b, c) = 0. Dovoljan uslov za lokalni ekstremum Neka je (a, b, c) stacionarna taqka funkcije f. Ako je d f(a, b, c) > 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni minimum. Ako je d f(a, b, c) < 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni maksimum. Ako d f(a, b, c) za d + dy + dz 0 menja znak, tada funkcija f u taqki a nema lokalni ekstremum. Navedeni uslovi nisu i neophodni. U ostalim sluqajevima, kao i u sluqaju kritiqne taqke koja nije stacionarna, postojanje lokalnog ekstremuma se proverava na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Silvesterov kriterijum za n = 3 Neka je A( 0, y 0, z 0 ) stacionarna taqka funkcije f i neka su m 1, m, m 3 glavni minori Heseove matrice f (A) f y(a) f z(a) H f (A) = f y(a) f y (A) f yz(a). f z(a) f zy(a) f z (A) Tada vaжe slede a tvrđenja. Ako je m 1 > 0, m > 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni minimum. Ako je m 1 < 0, m > 0, m 3 < 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni maksimum. 1

Ako je m < 0 ili m 1 > 0, m 3 < 0 ili m 1 < 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A nema lokalni ekstremum. U ostalim sluqajevima (na primer, m 1 > 0, m > 0, m 3 = 0) postojanje lokalnog ekstremuma u taqki A treba proveriti na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Reeni primeri Za datu funkciju tri promenljive odrediti sve lokalne ekstremume (ako postoje). 1. f(, y, z) = + y + z 3 + + 6yz. Zadatak je reen u [1].. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u [5]. 3. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u [5]. 4z + z 4. f(, y, z) = e y (yz z ), y 0. Zadatak je reen u []. 5. f(, y, z) = + yz + y y. Zadatak je reen u []. 6. f(, y, z) = e z/ ( z + + y 3z 6 ). Zadatak je reen u []. 7. f(, y, z) = + y + + 4y + z + z. z Zadatak je reen u []. 8. f(, y, z) = e / ( y + z z ). Zadatak je reen u []. 9. f(, y, z) = + y 4 + z + z Zadatak je reen u []. ( ) 10. f(, y, z) = e +y + y + z z. Zadatak je reen u []. 11. f(, y, z) = + y + 3z + z yz. Zadatak je reen u []. 1. f(, y, z) = + y + + y + z. z

Zadatak je reen u []. 13. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u []. 14. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u []. 15. f(, y, z) = y Zadatak je reen u []. 4z + z + y z 4 + z. 16. f(, y, z) = yz(1 y z),, y, z > 0. Zadatak je reen u []. 17. f(, y, z) = y z + y + yz. Zadatak je reen u []. 18. f(, y, z) = ( 1) + y 3 + 6y + z + z. Zadatak je reen u [6]. 19. f(, y, z) = y + z y + y 3 + z. Zadatak je reen u [6]. 0. f(, y, z) = + y + z y + 4z. Zadatak je reen u [6]. 1. f(, y, z) = + y + z + (4 y z). Zadatak je reen u [6].. f(, y, z) = yz(1 y z). Zadatak je reen u [6]. 3. f(, y, z) = y z 3 (1 y 3z), > 0, y > 0, z > 0. Zadatak je reen u [6]. 4. f(, y, z) = y Zadatak je reen u [6]. + y z 4 + z. 5. f(, y, z) = + y 4 + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 6. f(, y, z) = + y + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 3

7. f(, y, z) = 3 ln + ln y + 5 ln z + ln( y z). Zadatak je reen u [6]. 8. f(, y, z) = ( + y + z)e ( +y +z ). Zadatak je reen u [6]. Zadaci za samostalan rad 9. f(, y, z) = + y + z + + 4y 6z. 30. f(, y, z) = + y z 4 + 6y z. 31. f(, y, z) = y z 6 + 4y z + 8. 3. f(, y, z) = + y + z + zy + y z. 33. f(, y, z) = 6 + z + y yz + z + y + 4z + 4. 34. f(, y, z) = + y + (z + 1) y +. 35. f(, y, z) = + y + z + yz. 36. f(, y, z) = yz y z. 37. f(, y, z) = y + + z 4y z. 38. f(, y, z) = z z + y y. 39. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 40. f(, y, z) = 3 + y + z + 6y 4z. 41. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 4. f(, y, z) = y 3 + + z y + z y. 43. f(, y, z) = z 3 + + y 3z. 44. f(, y, z) = 3 3 + y + z + 6y z + 1. 45. f(, y, z) = 3 + y 3 z + 5y + z. 46. f(, y, z) = 3 + z 3 + y + y + yz. 47. f(, y, z) = 3 + y + z y + z yz + 3z. 48. f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. 49. f(, y, z) = 3 + 3 + y + z + 1y + 15 + 14y + 4z + 17. 50. f(, y, z) = 4 y 4 z 4 + 4yz. 51. f(, y, z) = ( + y ) + z y. 5. f(, y, z) = yz(16 y z). 53. f(, y, z) = 3 yz y z. 4

54. f(, y, z) = y z 3 (49 y 3z). 55. f(, y, z) = 1 + 1 y + 1 z + yz. 56. f(, y, z) = 1 z + z y + y + + 1. 57. f(, y, z) = yz + y z + z 58. f(, y, z) = 56 + y + y z + z. 59. f(, y, z) = + y + ln(1 + z ). 60. f(, y, z) = ( + 7z)e y z. 61. f(, y, z) = (3 + y + z)e y z. 6. f(, y, z) = sin + sin y + sin z sin( + y + z),, y, z (0, π). Literatura [1] Stojanovi, M., Mihi, O., Matematika, FON, Beograd, 013. [] ori, D., Matematika - reeni primeri sa ispita i kolokvijuma, FON, Beograd, 014. [3] Todorqevi, V., ami, D., Mladenovi, N., Nikoli, N., Matematika - zbirka zadataka, FON, Beograd, 016. [4] ori, D., Lazovi, R., Jovanov.,., Matematika - zbirka zadataka i primeri kolokvijuma, FON, Beograd, 009. [Stara zbirka] [5] ori, Reeni primeri prvog kolokvijuma - primera prvog kolokvijuma sa kompletnim reenjima zadataka, http://math.fon.rs/matematika-dva [6] ori, Zadaci stari, reenja nova - reenja zadataka 6. teme iz Stare zbirke (zbirke [4]), http://math.fon.rs/matematika-dva 5