LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Reeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren skup, ima u taqki (a, b, c) X lokalni minimum (maksimum) ako postoji okolina U taqke (a, b, c) takva da vaжi f(, y, z) f(a, b, c) (f(, y, z) f(a, b, c)) za svako (, y, z) U. Neophodan uslov za lokalni ekstremum Ako u taqki (a, b, c) X postoji gradijent funkcije f i ako funkcija u toj taqki ima lokalni ekstremum, tada je f(a, b, c) = 0. Dovoljan uslov za lokalni ekstremum Neka je (a, b, c) stacionarna taqka funkcije f. Ako je d f(a, b, c) > 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni minimum. Ako je d f(a, b, c) < 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni maksimum. Ako d f(a, b, c) za d + dy + dz 0 menja znak, tada funkcija f u taqki a nema lokalni ekstremum. Navedeni uslovi nisu i neophodni. U ostalim sluqajevima, kao i u sluqaju kritiqne taqke koja nije stacionarna, postojanje lokalnog ekstremuma se proverava na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Silvesterov kriterijum za n = 3 Neka je A( 0, y 0, z 0 ) stacionarna taqka funkcije f i neka su m 1, m, m 3 glavni minori Heseove matrice f (A) f y(a) f z(a) H f (A) = f y(a) f y (A) f yz(a). f z(a) f zy(a) f z (A) Tada vaжe slede a tvrđenja. Ako je m 1 > 0, m > 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni minimum. Ako je m 1 < 0, m > 0, m 3 < 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni maksimum. 1
Ako je m < 0 ili m 1 > 0, m 3 < 0 ili m 1 < 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A nema lokalni ekstremum. U ostalim sluqajevima (na primer, m 1 > 0, m > 0, m 3 = 0) postojanje lokalnog ekstremuma u taqki A treba proveriti na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Reeni primeri Za datu funkciju tri promenljive odrediti sve lokalne ekstremume (ako postoje). 1. f(, y, z) = + y + z 3 + + 6yz. Zadatak je reen u [1].. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u [5]. 3. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u [5]. 4z + z 4. f(, y, z) = e y (yz z ), y 0. Zadatak je reen u []. 5. f(, y, z) = + yz + y y. Zadatak je reen u []. 6. f(, y, z) = e z/ ( z + + y 3z 6 ). Zadatak je reen u []. 7. f(, y, z) = + y + + 4y + z + z. z Zadatak je reen u []. 8. f(, y, z) = e / ( y + z z ). Zadatak je reen u []. 9. f(, y, z) = + y 4 + z + z Zadatak je reen u []. ( ) 10. f(, y, z) = e +y + y + z z. Zadatak je reen u []. 11. f(, y, z) = + y + 3z + z yz. Zadatak je reen u []. 1. f(, y, z) = + y + + y + z. z
Zadatak je reen u []. 13. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u []. 14. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u []. 15. f(, y, z) = y Zadatak je reen u []. 4z + z + y z 4 + z. 16. f(, y, z) = yz(1 y z),, y, z > 0. Zadatak je reen u []. 17. f(, y, z) = y z + y + yz. Zadatak je reen u []. 18. f(, y, z) = ( 1) + y 3 + 6y + z + z. Zadatak je reen u [6]. 19. f(, y, z) = y + z y + y 3 + z. Zadatak je reen u [6]. 0. f(, y, z) = + y + z y + 4z. Zadatak je reen u [6]. 1. f(, y, z) = + y + z + (4 y z). Zadatak je reen u [6].. f(, y, z) = yz(1 y z). Zadatak je reen u [6]. 3. f(, y, z) = y z 3 (1 y 3z), > 0, y > 0, z > 0. Zadatak je reen u [6]. 4. f(, y, z) = y Zadatak je reen u [6]. + y z 4 + z. 5. f(, y, z) = + y 4 + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 6. f(, y, z) = + y + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 3
7. f(, y, z) = 3 ln + ln y + 5 ln z + ln( y z). Zadatak je reen u [6]. 8. f(, y, z) = ( + y + z)e ( +y +z ). Zadatak je reen u [6]. Zadaci za samostalan rad 9. f(, y, z) = + y + z + + 4y 6z. 30. f(, y, z) = + y z 4 + 6y z. 31. f(, y, z) = y z 6 + 4y z + 8. 3. f(, y, z) = + y + z + zy + y z. 33. f(, y, z) = 6 + z + y yz + z + y + 4z + 4. 34. f(, y, z) = + y + (z + 1) y +. 35. f(, y, z) = + y + z + yz. 36. f(, y, z) = yz y z. 37. f(, y, z) = y + + z 4y z. 38. f(, y, z) = z z + y y. 39. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 40. f(, y, z) = 3 + y + z + 6y 4z. 41. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 4. f(, y, z) = y 3 + + z y + z y. 43. f(, y, z) = z 3 + + y 3z. 44. f(, y, z) = 3 3 + y + z + 6y z + 1. 45. f(, y, z) = 3 + y 3 z + 5y + z. 46. f(, y, z) = 3 + z 3 + y + y + yz. 47. f(, y, z) = 3 + y + z y + z yz + 3z. 48. f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. 49. f(, y, z) = 3 + 3 + y + z + 1y + 15 + 14y + 4z + 17. 50. f(, y, z) = 4 y 4 z 4 + 4yz. 51. f(, y, z) = ( + y ) + z y. 5. f(, y, z) = yz(16 y z). 53. f(, y, z) = 3 yz y z. 4
54. f(, y, z) = y z 3 (49 y 3z). 55. f(, y, z) = 1 + 1 y + 1 z + yz. 56. f(, y, z) = 1 z + z y + y + + 1. 57. f(, y, z) = yz + y z + z 58. f(, y, z) = 56 + y + y z + z. 59. f(, y, z) = + y + ln(1 + z ). 60. f(, y, z) = ( + 7z)e y z. 61. f(, y, z) = (3 + y + z)e y z. 6. f(, y, z) = sin + sin y + sin z sin( + y + z),, y, z (0, π). Literatura [1] Stojanovi, M., Mihi, O., Matematika, FON, Beograd, 013. [] ori, D., Matematika - reeni primeri sa ispita i kolokvijuma, FON, Beograd, 014. [3] Todorqevi, V., ami, D., Mladenovi, N., Nikoli, N., Matematika - zbirka zadataka, FON, Beograd, 016. [4] ori, D., Lazovi, R., Jovanov.,., Matematika - zbirka zadataka i primeri kolokvijuma, FON, Beograd, 009. [Stara zbirka] [5] ori, Reeni primeri prvog kolokvijuma - primera prvog kolokvijuma sa kompletnim reenjima zadataka, http://math.fon.rs/matematika-dva [6] ori, Zadaci stari, reenja nova - reenja zadataka 6. teme iz Stare zbirke (zbirke [4]), http://math.fon.rs/matematika-dva 5