Vjezbe 1.dvi

Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/

Sadržaj Sup realnih brojeva 5 Matematiča inducija 5 Binomna formula Racionalne nejednačine Jednačine sa apsolutnim vrijednostima 5 Nejednačine sa apsolutnim vrijednostima 6

SADRZ AJ

Poglavlje Sup realnih brojeva Matematiča inducija Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi ++5+ +n ) n Rješenje ) Za n jednaost vrijedi jer je ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi ++5+ + ) ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: ++5+ + +) +) ++5+ + +) ++5+ + )+ +) + +) + + +) Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi ) nn+) + + + +n Rješenje ) +) ) Za n jednaost vrijedi jer je ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi ) +) + + + + ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi +) +) + + + + +) 5 )

6 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Doaz: + + + + +) + + + + + +) ) +) + +) +) + +) +) + +) +) + +) ) +) +) +) + +)) +) +) Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n jednaost vrijedi jer je + 5 + + n ) n+) n n+ + ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi + 5 + + ) +) + ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: + 5 + + +) +) + + + 5 + + +) +) + 5 + + ) +) + +) +) + + +) +) +)+ +) +) + + +) +) +) +) +) +) + + Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n

MATEMATIČKA INDUKCIJA 7 Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n jednaost vrijedi jer je + 5 + + n n ) n+) nn+) n+) +) +) ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi + 5 + + ) +) ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi +) +) Doaz: + 5 + + +) +) +) + 5 + + +) +) +) +) +) +) + 5 + + ) +) + +) +) +) +) +) + +) +) +) +) +)+ +)) +) +) +) +5 +) +) +) +) +) +) +) +)+ +) +) +) +) + + +) +) +) +) +) +) +) +) Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer 5 Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n jednaost vrijedi jer je + 5 n+ + + 6 n n+) n+) +) ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi + 5 + + + 6 +) +)

8 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi + 5 6 + + + +) +) +) Doaz: + 5 6 + + + +) +) + 5 + + + 6 +) + + +) +) +) + + +) +) +) +) +) +) + + +) +) + + +) +) +) +) +) +) Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer 6 Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n jednaost vrijedi jer je + 9 + 7 + + n n n ) n n ) ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi + 9 + 7 + + ) ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: + 9 + + + + 7 + ) +) + + + 9 + + + + 7 + + 9 + 7 + + + + + ) + + ) 6 + +) + + + ) 6 + +) + ) 6 6 + +) + + + ) 6 +)+ +) + + ) +) +

MATEMATIČKA INDUKCIJA 9 Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer 7 Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje sinx+sinx+sin5x+ +sinn )x sin nx sinx ) Za n jednaost vrijedi jer je sinx sin x sinx sinx ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi sinx+sinx+sin5x+ +sin )x sin x sinx ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: sinx+sinx+sin5x+ +sin +)x sin +)x sinx sinx+sinx+sin5x+ +sin +)x sinx+sinx+sin5x+ +sin )x+sin +)x sin x sinx +sin +)x sin x+sinx sin +)x sinx sin x+ [cosx cosx+x)] sinx sin x+cosx cosx+x) sinx sin x+cosx cos +)x sinx sin x+cos x sin x cos +)x+sin +)x sinx sin x+cos x cos +)x+sin +)x sinx cos +)x+sin +)x sinx sin +)x sinx sin +)x sinx sin +)x+sin +)x sinx Dale, jednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da jednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer 8 Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi +a) n +na, a > 0) Rješenje ) Za n nejednaost vrijedi jer je +a) +a ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi +a) +a

0 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: +a) + + +)a +a) + +a)+a) +a)+a) + +)a+a + +)a Dale, nejednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da nejednaost vrijedi za svai prirodan broj Primjer 9 Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje: ) Za n nejednaost vrijedi jer je da vrijedi + + + + n n ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj + + + + ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi + + + + + + Doaz: + + + + + + + + + + + + + + ++ + > + + + + Dale, nejednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da nejednaost vrijedi za svai prirodan broj Primjer 0 Doazati da vrijedi Rješenje n+ + n+ + n+ + + n >, n ) Za n nejednaost vrijedi jer je + 7 > ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi + + + + + + + >

MATEMATIČKA INDUKCIJA ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: + + + + + + + + > + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + > + + + + + + + + > Dale, nejednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da nejednaost vrijedi za svai prirodan broj n Primjer Doazati da za svai prirodan broj n 5, vrijedi nejednaost n > n Rješenje ) Za n 5 nejednaost vrijedi jer je 5 > 5 tj > 5 ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi > ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi + +) Doaz: + > + + + +) jer je > + Dale, nejednaost vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da nejednaost vrijedi za svai prirodan broj n 5 Napomena: Nejednaost + taoder možemo doazati oristeći matematiču induciju Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n tvrdnja vrijedi jer je 7 5 n+ + n+ 5 + + + 5 + 65+6 566 7 898 ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi 7 5 + + + odnosno da vrijedi 5 + + + 7a pri čemu je a Z ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi 7 5 +)+ + +)+

POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Doaz: 5 +)+ + +)+ 5 + + + 5 + 5+ + 5 + 5+ + 5 + 5+ + 6+5) 5 + 5+ + 5+ + 6 5 5 + + +) + + 6 5 7a+ + 7 78 7 5 a+ + 78 ) 7b, pri čemu je b 5 a+ + 78 Dale, tvrdnja vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da tvrdnja vrijedi za svai prirodan broj n Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi Rješenje ) Za n tvrdnja vrijedi jer je 9 7 5 n + 6 n 7 5 + 6 7 5+ 6 75+7 7 9 ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi 9 7 5 + 6 odnosno da vrijedi 7 5 + 6 9a pri čemu je a Z ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: 9 7 5 +) + 6 +) 7 5 +) + 6 +) 7 5 + + 6 + 7 5 5+ 6 6 7 5 9+6)+ 6 6 7 5 9+7 5 6+ 6 6 7 5 9+6 7 5 + 6 ) 7 5 9+6 9a 9 7 5 +6a ) 9b, pri čemu je b 7 5 +6a Dale, tvrdnja vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da tvrdnja vrijedi za svai prirodan broj n Primjer Doazati da za svai prirodan broj n vrijedi 9 n +5 n

BINOMNA FORMULA Rješenje ) Za n tvrdnja vrijedi jer je +5 8 9 ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n, tj da vrijedi 9 +5 odnosno da vrijedi +5 9a pri čemu je a Z ) Doažimo da tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: 9 + +5 +) + +5 +) +5 + +5 ) 5+8 9a 5 +8 9a 95 ) 9a 5 )) 9a 5 +) 9b, pri čemu je b a 5 + Dale, tvrdnja vrijedi i za n + ) Na osnovu principa matematiče inducije zaljučujemo da tvrdnja vrijedi za svai prirodan broj n Binomna formula Za n N {0} definišemo fatorijel broja n sa n! n n ) n ) ) pri čemu je 0! i! Proizvod prvih n parnih brojeva označavamo sa n)!!a proizvod prvih n neparnih brojeva ) označavamo sa n )!! pri čemu je 0!! i!! n Izraz oblia, n N, N {0}, n) naziva se binomni oeficijent i vrijedi ) n n! n n ) n ) n +) )! n )!! ) ) n n pri čemu je 0 n Za binomne oeficijente vrijedi zaon simetrije tj ) ) n n n Za svai prirodan broj n vrijedi formula za razvoj binoma ) ) n n n a+b) n a n + a n b+ 0 ) a n b + + ) n ab n + n ) n b n n

POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA oja se naziva Njutnova binomna formula oju raće možemo zapisati a+b) n n 0 ) n a n b, 0 n) ) Opći član razvoja binoma a+b) n dat je sa ) n T + a n b, 0 n) ) Primjer Doazati n+)! n )! nn+) Rješenje Na osnovu formule ) vrijedi n! n )! n, pa : n+)! n )! n )! n n+) nn+) n )! Primjer Doazati jednaost n)!! n! n, n 0,,,) Rješenje Jednaost doazujemo oristeći matematiču induciju: ) Za n 0 jednaost je očigledna jer je 0!! 0! ) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n tj )!!! ) Doažimo da tada tvrdnja vrijedi i za n +, tj da vrijedi Doaz: +))!! +)! +) +))!! +)!! )!!+)! +) ) Tvrdnja vrijedi za svao n 0,,,! +) +)! +) Primjer Izračunati zbir svih binomnih oeficijenata u razvoju binoma a+b) n Rješenje Ao u formulu ) uvrstimo a b, dobijamo ) ) ) n n n + + + +) n n 0 n Primjer Doazati identitet ) ) n n + + ) n+ + Rješenje Na osnovu definicije binomnog oeficijenta, imamo: ) ) n n n n ) n +) + + n n ) n ) + +) ) n n ) n +) n! + + n n ) n +) n+! + ) n+) n n +) n+ +)! +

BINOMNA FORMULA 5 Primjer 5 Riješiti jednačinu Rješenje Kao je jednačina dobija obli ) n ) n ) n oja je evivalentna jednačini odnosno ) n + ) n 8 nn )n ) nn ) n nn )n ) 6 ) n 0 u supu prirodnih brojeva nn ) + nn ) nn )n ) 6 8n 0 nn )n )+nn ) 8n 0 nn 9) 0 čija su rješenja n 0,n 7 i n 7 Budući da za rješenje tražimo prirodan broj, jedino rješenje jednačine je n 7 Primjer 6 Primjenon binomnog obrasca razviti +x) Rješenje Na osnovu binomne formule ), imamo: +x) ) x) ) x) 0 + 0 0 0 ) x) + +6x+x +8x ) x) ) x) + Primjer 7 Naći trinaesti član u razvoju binoma + ) 5 ) x) Rješenje Budući da tražimo trinaesti član u razvoju binoma, tada je, pa iz formule ) dobijamo: ) 5 ) 5 ) T ) 5 ) ) ) 5 770 Primjer 8 Odrediti peti član u razvoju binoma x x x ) 8 Rješenje Na osnovu formule ), vrijedi T 5 ) 8 x ) 8 x x ) ) 8 ) x) x 8 ) x 6 ) x ) 8 x 6+ 0x

6 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA ) 6 Primjer 9 Naći srednji član u razvoju binoma x x ) 6 Rješenje Razvoj binoma x x ima 7 članova pa je srednji član deveti član Na osnovu formule ), vrijedi T 9 ) ) 6 8 6 ) x )8 6 8 x 8 x ) 6 6 8 x 8 ) 8 x 8 8 ) 8 ) 8 x ) 8 x 970x Primjer 0 Odrediti oeficijent uz x 8 u razvoju binoma x+) Rješenje Opći član razvoja binoma x+) je ) T + x pa je jasno da mora biti 8 jer tražimo oeficijent uz x 8, odale je Traženi oeficijent je ) 0 9 8 0095 ) 5 Primjer U razvoju binoma x +x odrediti oeficijent uz x 7 Rješenje Opći član razvoja binoma je ) ) ) 5 n 5 T + a n b x) x ) 5 x ) ) 5 5 x 5 x 5+ x ) 5 5 x 5+ Budući da tražimo oeficijent uz x 7, onda je 5+ 7 odale je, pa je traženi oeficijent uz x 7 ) ) ) 5 5 5 5 5 Primjer Naći član oji sadrži x 7 u razvoju binoma x ) x Rješenje Opći član razvoja binoma je ) ) n T + a n b ) ) x x ) ) ) x) x x ) x ) ) ) x + ) x 8 6 Sada je jasno da je 8 7 odale je 6 Dale, sedmi član razvoja binoma 6 sadrži x 7 x x)

BINOMNA FORMULA 7 Primjer U razvoju binoma x+ x ) 6 naći član oji sadrži x Rješenje Opći član razvoja binoma je pa je 8 5 6 T + ) ) ) n 6 x ) a n b 6 x ) 6 6 ) ) x) 6 x x 6 x ) ) 6 x 6 6 x 8 5 6 odale je 6 Dale, sedmi član razvoja binoma x+ x ) 6 sadrži x ) 5 Primjer Odrediti onaj član razvoja binoma x x oji ne sadrži x Rješenje Opći član razvoja binoma je ) n T + a n b ) 5 5 x) ) x ) 5 ) x 0 ) 5 ) 5 x ) x ) 5 x 0 ) x ) 5 ) x 0 5 Budući da tražimo član oji ne sadrži x, onda je 0 5 ) 5 binoma x x ne sadrži x 0 pa je 6 Dale, sedmi član razvoja Primjer 5 Odrediti onaj član razvoja binoma x x ) 8 oji ne sadrži x Rješenje Opći član razvoja binoma je T + ) ) n 8 x ) a n b 8 ) x ) 8 8 ) x) 8 x x ) 8 ) x ) ) ) 8 ) x 8 8 ) x 8 8 ) x Budući da tražimo ) član oji ne sadrži x, onda je 0 pa je Dale, peti član razvoja x 8 binoma x ne sadrži x Primjer 6 Naći trinaesti član u razvoju binoma 9x ) n aoje binomni oeficijenttrećeg x člana jedna 05

8 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA ) ) n n Rješenje Binomni oeficijent trećeg člana je pa iz uslova zadata imamo 05 što je evivalentno jednačinin n 0 0Rješenjaposljednjevadratnejednačinesun 5,n pa uzimamo samo rješenje n a rješenje n odbacujemo jer je negativnan cio broj Budući da tražimo trinaesti član razvoja binoma, u formulu za opći član razvoja binoma uvrštavamo, i tao dobijamo ) 5 T 9x) 5 ) x ) 5 ) ) 9x) x 5 9 x ) 6 x 6 ) ) 5 5 6 x 6 x 6 x 55x Primjer 7 Naći redni broj onog člana razvoja binoma ) a b + b a oji sadrži a i b na isti esponent Rješenje Opći član razvoja binoma je T + ) ) ) n a n b a b ) ) ) a b 6) b a 6 ) a 6 b 6 b a) ) a 6 b 6 a b Budući da zahtijevamo da a i b budu na isti esponent, tada mora biti 6 6 6 b a 6 odale dobijamo da je 9 Dale, deseti član razvoja binoma sadrži a i b na isti esponent Primjer 8 Naći vrijednost x u izrazu x ) logx+ + ) 6 x čiji je četvrti član razvoja binoma jedna 00 Rješenje Prvo, odredimo definiciono područje izraza Jasno je da mora biti x > 0 i logx+ 0, tj x 0 pa je D 0,0 ) 0,+ ) Četvrti član razvoja binoma je ) 6 x ) ) 6 ) log x+ T ) 6 ) ) x x log x+ x) ) ) 6 xlogx+) 6 x xlogx+) +

BINOMNA FORMULA 9 pa po uslovu zadata imamo ) 6 xlogx+) + 00 x logx+) + 0 Logaritmiranjem posljednjeg izraza, dobijamo logxlogx+) + log0 tj logxlogx+) + log0 logx+) + ) logx 6+logx+ logx+) logx 7+logx logx+) logx 7+logx)logx logx+) 7logx+log x logx+ log x+logx 0 Uvodeći smjenu logx t, dobijamo vadratnu jednačinu t +t 0 čija su rješenja t i t Za t dobijamo rješenje x 0,00 D, a za t dobijamo rješenje x 0 D Primjer 9 Izračunati član razvoja binoma 5 x+ x ) n oji sadrži x 5 x ao je zbir prva tri binomna oeficijenta jedna 56 ) ) ) n n n Rješenje Iz uslova zadata imamo + + 56štojeevivalentnojednačinin +n 0 0 0 Rješenja posljednje vadratne jednačine su n 0 i n od ojih u obzir dolazi samo prvo rješenje jer je drugo negativno Opći član razvoja binoma je T + ) ) n 0 a n b 5 x ) ) 0 x 0 0 ) 0 x5) x) ) ) 0 0 x 0 5 x 0 0 x 0 ) 0 0 x 0+ 5 5 + Kao je x 5 x x x 5 x + 0+ 5 x 5, onda je jasno da mora biti 5 Dale, sedmi član razvoja binoma ima traženu osobinu Primjer 0 Naći za oju vrijednost x u razvoju binoma x + ) n x 5 odale je 6 zbir trećeg i petog člana iznosi 5, ao je zbir binomnih oeficijenata tri posljednja člana jedna

0 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Rješenje Binomni oeficijenti tri posljednja člana jednai su binomnim oeficijentima prva tri člana Po uslovu zadata imamo ) ) ) n n n + + 0 što je evivalentno vadratnoj jednačini n +n 0 čija su rješenja n 6 i n 7 od ojih u obzir dolazi samo prvo rješenje jer je drugo negativno Treći član ) razvoja binoma je ) 6 ) 6 T x x ) ) 6 x ) ) 6 x ) x x ) 6 +x a peti član ) razvoja binoma je ) 6 ) 6 T 5 x ) 6 x ) ) 6 x Sada je, po uslovu zadata, ) 6 +x + x x ) ) 6 ) x x ) 6 x 5 5 +x +5 x 5 +x + x 9 x + x 9 x ) 9 x 0 Uvedimo smjenu t x, dobijamo vadratnu jednačinu t 9t 0 čija su rješenja t i t Za t dobijamo x, a za t dobijamo x Primjer Odrediti za oju vrijednost x četvrti član razvoja binoma x + ) n x je dvadeset pet puta veći od esponenta binoma ao je binomni oeficijent četvrtog člana pet puta veći od binomnog oeficijenta drugog člana ) ) n n Rješenje Prema uslovu zadata imamo 5 što je evivalentno jednačini n n 8 0 Rješenja posljednje vadratne jednačine su n 7 i n pa u obzir dolazi samo prvo rješenje a drugo odbacujemo jer je negativno Četvrti član ) razvoja ovog binoma je ) 7 ) 7 ) T x 7 ) ) x) x x 5 x x 5 x Prema uslovu zadata imamo 5 x 0, tj x odale je x

BINOMNA FORMULA Primjer Odnos oefcijenata petog i trećeg člana u razvoju binoma x ) n x 5 x x je : Odrediti sedmi član razvoja Rješenje Opći član razvoja binoma je T + n n n n n ) a n b ) xx ) x ) x ) n x ) n x 5 ) n ) n 5 x x ) x ) ) n 5 x x ) n 5 ) ) n ) n x 5 x x 5 ) n ) n x x ) n ) x ) ) x n ) ) x n ) 5 x 5 ) ) n ) ) ) n n n Koeficijent trećeg člana ) je ) ) Koeficijent petog člana ) ) ) ) ) n n n n n ) je ) ) Po uslovu zadata imamo : : što je evivalentno jednačini n 5n 50 0 Rješenja posljednje vadratne jednačine su n 5 i n 0 U obzir dolazi samo pozitivno rješenje pa binom sada izgleda x ) 0 x 5 x x Na osnovu poazanog, opći član razvoja ovog binoma je ) n T + ) x n pa ao u ovu ) formulu uvrstimo ) da je n 0 i 6, dobićemo da je sedmi član razvoja ovog binoma 0 T 7 ) 6 x 0 0 x 6 6 Primjer Kolio racionalnih članova sadrži razvoj binoma + ) 00? Rješenje Opšti član razvoja binoma je ) ) n 00 T + a n b ) 00 ) ) ) 00 00 00 50 Da bi članovi razvoja ovog binoma bili racionalni brojevi, potrebno je i dovoljno da bude djeljivo sa Budući da je 0 00, zaljučujemo da su to brojevi 0,,8,,,00 a njih uupno ima 6

Iz tabele x + POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Racionalne nejednačine Primjer Riješiti nejednačinu x < Rješenje Vrijedi niz evivalencija: x < x < 0 x x < 0 x + +0 x 0+ + x x +0 zaljučujemo da je rješenje nejednačine R,),+ ) Primjer Riješiti nejednačinu x+ x Rješenje Vrijedi niz evivalencija: Iz tabele x+ x x+ x x+) +x 0 x) x+ +x x) x 7 7x+ 0 + + x) + +0 7x+ x) zaljučujemo da je rješenje nejednačine R 0 7x+ x) 0 + [ 7, ) + 0 0 Primjer Riješiti nejednačinu x x Rješenje Vrijedi niz evivalencija: x x x x x 0 x xx ) 0 Zna označava za oju vrijednost promjenljive x nejednačina nije definisana! xx ) 0

RACIONALNE NEJEDNAČINE Iz tabele x 0 + x 0+ + x 0+ xx ) + zaljučujemo da je rješenje nejednačine R,0),+ ) Primjer Riješiti nejednačinu x 6x x+ Rješenje Vrijedi niz evivalencija: x 6x x+ x 6x x+ + 0 x x x+ 0 Iz tabele x + x x + 0 0+ x 0+ + x x 0 + 0+ x ] zaljučujemo da je rješenje nejednačine R, ], Primjer 5 Riješiti nejednačinu Rješenje Vrijedi niz evivalencija: x +x+6 x +x 6 Iz tabele x +x+6 x +x 6 x +x+6 0 x +x 6 x +x+6 x x+6 x +x 6 x+ 0 x +x 6 x + x+ 0 + + + x +x 6 + + 0 0+ x+ x +x 6 0 + + zaljučujemo da je rješenje nejednačine R, ],) 0

POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Jednačine sa apsolutnim vrijednostima Primjer Riješiti jednačinu x x Rješenje Zna funcija oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno Za x, ] imamo niz evivalencija x + x 0+ + x + +0 x x x ) x) pa jednačina na] ovom supu nema rješenja Za x, imamo niz evivalencija x x x ) x) x x x ] Budući da,, onda je rješenje jednačine x Za x,+ ) imamo niz evivalencija x x x ) x)) pa je rješenje jednačine sup, + ) Dale, rješenje jednačine je sup x [,+ ) Primjer Riješiti jednačinu x + x x+ x x+ Rješenje Zna funcija oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno Za x, ] imamo niz evivalencija x + x+ 0 + x+ 0 + + x+ x x+ x+)) x x+) x x

JEDNAČINE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA 5 pa jednačina na ovom supu nema rješenja jer Za x, ] imamo niz evivalencija /, ] x+ x x+ x+)) x x+ x x pa jednačina na ovom supu nema rješenja jer /, ] Za x ),+ imamo niz evivalencija x+ x x+ x+) x x+ pa je rješenje jednačine x jer,+ ) Dale, rješenje jednačine je x Primjer Riješiti jednačinu x x x + x x+ Rješenje Zna funcija oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno Za x, ] imamo niz evivalencija x + x 0+ x + +0 x+ 0 + + + x + x x+ x )+ x) x+)) x 8 x 8 pa jednačina na ovom supu nema rješenje jer 8 Za x, ] imamo niz evivalencija /, ] x + x x+ x )+ x) x+) 7x 0 x 0 pa jednačina na ovom supu ima rješenje x 0 jer 0, ] ] Za x, imamo niz evivalencija x + x x+ x ) x) x+) x+ x+ x

6 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA pa jednačina na ovom supu ima rješenje x jer Za x,+ ) imamo niz evivalencija ], x + x x+ x ) x) x+) x 8 x 8 pa jednačina na ovom supu nema rješenje jer 8 /,+ ) Primjer Riješiti jednačinu x + x +x 5 Rješenje Zna funcija oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno x + x 0+ x +x + 0 0 Za x, ] imamo niz evivalencija x + x +x 5 x )+x +x ) 5 x +x 8 0 x x pa jednačina na ovom supu ima jedno rješenje x jer x /, ] Za x,] imamo niz evivalencija x + x +x 5 x ) x +x ) 5 x x 0 x x 0 pa jednačina na ovom supu ima jedno rješenje x 0 jer x /,] Za x,+ ) imamo niz evivalencija x + x +x 5 x )+x +x ) 5 x +x 0 0 x x + pa jednačina na ovom supu ima jedno rješenje x + jer x /,+ ) Dale, rješenja jednačine su x, x 0 i x + 5 Nejednačine sa apsolutnim vrijednostima Primjer 5 Riješiti nejednačinu x+ + x > Rješenje Zna funcije oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno x + x+ 0 + + x 0+

5 NEJEDNAČINE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA 7 Za x, ] imamo niz evivalencija x+ + x > x+) x ) > x < x, ) Rješenje nejednačine u ovoj slučaju Za x R, ], ] imamo niz evivalencija, ), ] Rješenje nejednačine u ovoj slučaju Za x x+ + x > x+) x ) > x > 0 R ),+ imamo niz evivalencija x < 0 x,0), ],0),0) x+ + x > x+)+x ) > x > x > ) x,+ Rješenje nejednačine u ovoj slučaju ) R,+ Konačno rješenje nejednačine je sup Primjer 5 Riješiti nejednačinu ) ),+,+ R R R R,0) x +x < x+ ),+ Rješenje Zna funcije oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno Za x, ] imamo niz evivalencija x + x +x + 0 0+ x +x < x+ x +x ) < x+ x +x 6 < 0

8 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Rješenje vadratne nejednačine x +x 6 < 0 je x,), pa je rješenje nejednačine u ovoj slučaju Za x,] imamo niz evivalencija R, ],) x +x < x+ x +x ) < x+ x 5x < 0 Rješenje vadratne nejednačine x 5x < 0 < 0 je x, 5) 0 + ), pa je rješenje nejednačine u ovoj slučaju Za x,+ ) imamo niz evivalencija R, 5) 0+, )),) 0,] x +x < x+ x +x ) < x+ x +x 6 < 0 Rješenje vadratne nejednačine x +x 6 < 0 je x,), pa je rješenje nejednačine u ovoj slučaju Konačno rješenje nejednačine je sup Primjer 5 Riješiti nejednačinu R,+ ),),) R R R R 0,) x x + x + x 5 Rješenje Zna funcije oje su pod znaom apsolutne vrijednosti predstavimo tabelarno Za x,0] imamo niz evivalencija x 0 5 + x x +0 0+ + x 5 0+ x x + x + x 5 x x)+ x x 5) x x x, ] Rješenje nejednačine u ovoj slučaju R,0], ], ] Za x 0,] imamo niz evivalencija x x + x + x 5 x x)+ x x 5) x +5x 0

5 NEJEDNAČINE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA 9 [ ] Rješenje vadratne nejednačine x +5x 0 je sup x, pa je rješenje nejednačine u ovoj slučaju [ ] [ ] R 0,],, Za x,5] imamo niz evivalencija Rješenje nejednačine u ovoj slučaju x x + x + x 5 x x)+ x x 5) R,5] Za x 5,+ ) imamo niz evivalencija Rješenje nejednačine u ovoj slučaju Konačno rješenje nejednačine je sup x x x, ], ] x x + x + x 5 x x)+ x +x 5) R 5,+ ) R R R R R 5x 8 x 8 5 x, 8 ] 5, 8 ] 5, ] [ ], Primjer 5 Riješiti nejednačinu x x+ Rješenje Vrijedi niz evivalencija x x+ Riješimo racionalnu nejednačinu x x+ x x+ Vrijedi x < a a < x < a x x+ x x+ x x+ x x+ Uočimo niz evivalencija + 0 x+ x+ 0

0 POGLAVLJE SKUP REALNIH BROJEVA Iz tabele zaljučujemo da je rješenje nejednačine Riješimo racionalnu nejednačinu x x+ x x+ x + x+ 0 + x+ 0 + + x+ x+ + 0 + R, ) [,+ ) Uočimo niz evivalencija x 0 x+ x+ 0 x+ > 0 x > x,+ ) Dale, rješenje nejednačine x x+ je sup R,+ ) Rješenje početne nejednačine je sup R R R [ ),+