Microsoft Word - Integrali vi deo

Слични документи
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci iii deo.doc

Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - 1. REALNI BROJEVI- formulice

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

My_ST_FTNIspiti_Free

Microsoft Word - Ispitivanje toka i grafik funkcije V deo

SKRIPTE EKOF 2019/20 skripteekof.com Lekcija 1: Brojevni izrazi Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da nau

Microsoft Word - MATRICE ZADACI III deo.doc

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

ЕКОНОМСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У ПРИШТИНИ КОСОВСКА МИТРОВИЦА

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Microsoft Word - PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI.doc

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Da bismo došli do algoritma kojim se jednoznačno formira graf linearnog električnog kola, bez obzira na karakteristike njegovih elemenata i postojanje

Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Iracionalne jednaqine i nejednaqine Zlatko Lazovi 29. mart 2017.

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Microsoft Word - Algebra i funkcije- napredni nivo doc

Microsoft Word - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA,zadaci.doc

СТЕПЕН појам и особине

Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n

Рационални Бројеви Скуп рационалних бројева 1. Из скупа { 3 4, 2, 4, 11, 0, , 1 5, 12 3 } издвој подскуп: а) природних бројева; б) целих броје

Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc

My_P_Trigo_Zbir_Free

Microsoft Word - EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE.doc

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc

Microsoft Word - VEROVATNOCA II deo.doc

kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн

Microsoft Word - 6ms001

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

P1.1 Analiza efikasnosti algoritama 1

Neodreeni integrali - Predavanje III

ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.

Microsoft Word - primeripitalicaIVciklusABGSiOOU.doc

Microsoft Word - KVADRATNA NEJEDNACINA.doc

Microsoft Word - 1.Operacije i zakoni operacija

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - 12ms121

Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да

Veeeeeliki brojevi

Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi Pregled lekcije U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće: osnovni pojmovi o

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

Programiranje 1 drugi kolokvij, 2. veljače Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje,

Microsoft Word - Trigonometrijski oblik kompleksnog broja.doc

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

8. razred kriteriji pravi

Analiticka geometrija

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

untitled

9. : , ( )

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Microsoft Word - KUPA-obnavljanje.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

1

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

JEDNAKOSTI I JEDNAČINE,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)

Microsoft Word - SVODJENJE NA I KVADRAT.doc

3. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ КереШго та1ег зги/иогит ез1 (Обнављање је мајка наука) Латинска сентенца (изрека) Линеарна јед

INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Microsoft Word - 7. cas za studente.doc

Microsoft Word - ETH2_EM_Amperov i generalisani Amperov zakon - za sajt

Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica

Упутство за пријављивање испита путем интернета Да би студент могао да пријави испит путем интернета мора прво да се пријави. Пријављивање се врши у п

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.

s2.dvi

OSNOVI ANALOGNIH TELEKOMUNIKACIJA

Teorija skupova - blog.sake.ba

Универзитет у Београду Математички факултет МАСТЕР РАД Решавање система линеарних неједначина помоћу линеарне функције у осмом разреду основне школе М

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Ekonomski fakultet - Katedra za statistiku PRIMJERI ZADATAKA ZA II. KOLOKVIJ Na tri tržišna segmenta prati se proporcija kupaca

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Microsoft PowerPoint - Intervencija10.ppt

1.NASTAVNI PLAN I PROGRAM ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE.pdf

STABILNOST SISTEMA

Транскрипт:

INTEGRALI ZADACI ( VI-DEO) Inegracija nekih iracionalnih funkcija Kad smo radili racionalna funkcije, videli smo da,u principu, možemo odredii inegral svake racionalne funkcije. Zao će nam kod inegrala sa iracionalnom funkcijom prvi poso ii da ga pogodnom smenom ili na neki drugi način svedemo na inegral racionalne funkcije. Proučićemo ri meode za rešavanje: a+ a+ i) Rešavanje inegrala ipa R[,( ),...( ) ] c+ d c+ d m n r s ii) iii) Inegracija diferencijalnog inoma Ojlerove smene Inegrali ipa a+ R[,( ) c+ d m n a+,...( ) c+ d r s ] Ovde ćemo uzimai smenu a+ c+ d = k m r, gde je k najmanji zajednički sadržalac za razlomke,..., n s Primer.? = Ovde imamo samo = pa će nam smena ii =. = = = = = Kao rik dodamo i oduzmemo u rojiocu= = d d d + + d= ( ln ) vraimo smenu d d d d C = = + + = ln + C

Primer.? = Sada imamo dva različia korena. i smena je = = = jer je najmanji zajednički sadržalac za i 8 = 5 5 = = d= d= d 5 = d Doili smo inegral racionalne funkcije, šo nam je i io cilj. Ovde je racionalna funkcija neprava, pa najpre moramo podelii polinome da doijemo pravu racionalnu funkciju... 8 8 = ± 8 8 : ( ) = + + + ± ± ± osaak Pa je 8 8 = = ( + + + + ) 8 7 5 d= ( + + + + ) d= ( + + + + ln ) + C vraimo smenu = 7 5 + 7 5 7 5 = ( + + + + ln ) + C +

Inegracija diferencijalnog inoma Pod ovom klasom inegrala podrazumevamo inegrale olika m ( a + n ) p. Podinegralni izraz se naziva diferencijalni inom. Naš poso je da najpre dai inegral spakujemo da ude ovakvog olika a zaim da iz njega pročiamo vrednosi za m,n,p a zaim i za a i. U zavisnosi od vrednosi ovih rojeva razlikujemo ri siuacije: ) Ako je p-ceo roj, onda dizanjem inoma (a+ n ) na p-i sepen, ovaj inegral ude kao inegral racionalne funkcije m+ ) Ako je ceo roj, smena je a+ n = s, gde je s imenilac razlomka p n m+ ) Ako je +p ceo roj, ada je smena a -n + = s, gde je s ope imenilac razlomka p n Posle smene, ovaj inegral se svodi na inegral racionalne funkcije kao šo smo već pomenuli na počeku fajla. Primer. =? Spakujemo podinegralnu funkciju: = = = ( + ) ( + ) m n p Ovaj inegral uporedjujemo sa ( a+ ) m= ; n= ; p= i a= ; = + m+ = = = nije ceo roj! n m+ + p = = 0 ceo roj! n

Znači, ovo je reća siuacija. Uzmemo odgovarajuću smenu: n s a + = m= ; n= ; p= i a= ; = a + = + = + = n s je smena E, sad nije lako. Znamo da posle uvodjenja smene novi inegral rea da ude sve po. Smenu diferenciramo ( nadjemo izvod i izrazimo ). Iz smene izražavamo one izraze koje osanu po a moramo da ih preacimo da udu po. Ovde vam je neophodna dora maemaička ehnika od ranije... + = = = = = ( + ) = = d d = d = = d = d d d = = = = ln + C= ln + C Moramo da vraimo smenu... + + + = = ln + C= ln + C= ln + + + + C= ln + C + Primer. = ( + )? Ope najpre spakujemo podinegralnu funkciju i odredimo vrednisi za m,n,p i za a i.

m n p = ( + ) ( a+ ) m= ; n= ; p= ; i a= ; = ( + ) m+ + = = ceo roj n Ovde dakle imamo. siuaciju: n s Smena je : a+ = = = = = = d d ( ) = + d = d d d C 5 5 = = ( ) =( ) + moramo da vraimo smenu... + = = + = Iz, pa je 5 ( ) + C= 5 5 ( ) ( ) =( ) + C 5 d = zamenimo koje smo gore izrazili... Naravno, ako vaš profesor raži napakuje rešenje kakvo on voli... Ojlerove smene Ojlerove smene uporeljavamo za rešavanje inegrala olika R(, a + + c) To znači da se u imeniocu ovog inegrala nalazi a + + c pa plus ili minus neki linearni polinom po. Pazie, inegrale olika ( m+ n) a + + c rešavamo smenom m+ n= i ako izegnemo Ojlera 5

Prva Ojlerova smena U inegralu R (, a + + c ) posmaramo a + + c. Ako je a> 0 uvodimo smenu a + + c =± a+. Da li ćemo izarai plus ili minus ispred a zavisi od konkrenog zadaka. Posupak je na dalje isi za oa znaka( recimo da smo uzeli plus): a c a... kvadriramo a + + c= ( a+ ) a + + =+ + + + c= a a c = ( a ) c c = a = + a + odavde izrazimo Sad diferenciramo, pazimo, na desnoj srani je izvod količnika Inegral se svede na inegraciju racionalne funkcije koja je po. Druga Ojlerova smena Ako je u posmaranom inegralu c> 0, uvodimo smenu a + + c = ± c. Kao i u prehodnom slučaju, zavisno od zadaka, iramo plus ili minus ispred c. Ako recimo izaeremo plus, dalje radimo(i za minus i radili iso): a + + c = + c... kvadriramo a + + c = + + c c + = 0 a c ( ) + ( ) = 0...izvučemo kao zajednički a c a + c = A B= A= B= [ ( ) ( )] 0... 0 0 0 = a + c = 0 ( ) ( ) 0 a c ( ) + = 0 a ( ) = c = a c

Kao i u prvoj Ojlerovoj smeni je izraženo kao funkcija od, pa će po logici svari i i a + + c akodje ii funkcije od. Diferenciramo, vraimo se u inegral i doijemo inegraciju racionalne funkcije. Treća Ojlerova smena Ova smena se korisi kad je diskriminana za a + + c poziivna, odnosno kad ova kvadrana jednačina ima različia, realna rešenja. Tada je a c a + + = ( )( ). Uvodimo smenu a( )( ) = ( ) ili a( )( ) = ( ). Ope zavisi sve od konkrenog zadaka da li ćemo uzei jednu ili drugu smenu... Ako recimo uzmemo : a( )( ) = ( )... kvadriramo a = ( )( ) ( )... sve preacimo na levu sranu ( )( ) ( ) = 0 a ( )[ a( ) ( ) ] = 0 a( ) ( ) = 0 a a + = 0 a = a ( a ) = a a = a Na dalje iso kao i kod prve i druge smene...doijemo racionalnu funkciju id. Primer 5. =? + + + Najpre proverimo da li kvadrana funkcija pod korenom ima rešenja: ± ± + + = 0 = = nema realna rešenja!, Ovde je a=, c=. Možemo uzei prvu ili drugu Ojlerovu smenu. Recimo uzmemo prvu. 7

a + + c =± a+ Kad zamenimo a= doijamo + + =± + Da li da iramo minus ili plus? Kako je u imeniocu podinegralne funkcije + + +, olje je izarai minus jer će posle i -sevi da se poiru: ( ) + + + = + + = + = Ne i ila greška ni da uzmemo plus ali onda komplikujemo siuaciju i sami sei pravimo posao... + + = + + + = ( + ) + + = + = + = ( ) kvadriramo + sve sa preacimo na levu sranu = diferenciramo(izvod) + = ` d pazi, moramo izvod količnika + = = = = + (+ ) ( ) ( ) + + d (+ ) + + (+ ) + + (+ ) ( ) d d d Vraćamo se u inegral: ( + + ) ( + + ) d d (+ ) (+ ) + + + + = = = d= + + + + (+ ) (+ ) ( ) d 8

Doili smo racionalnu funkciju. Posupak njenog rešavanja je dealjno ojašnjen u jednom od prehodnih fajlova sa zadacima iz inegrala. Izvlačimo racionalnu funkciju: + + A B C = + +.../ i (+ ) (+ ) + (+ ) A B C + + = ( + ) + ( + ) + A B B C + + = ( + + ) + + + A A A B B C + + = + + + + + A B A B C A + + = ( + ) + ( + + ) + uporedjujemo : A+ B= A+ B+ C= A= + B= B= B= + C= C= Vraimo se u razlaganje : + + = + + (+ ) + (+ ) Sad inegral od svakog poseno... d + + d= d d (+ ) + (+ ) Ovaj reći ćemo rešii na sranu... + = z dz d z = d= dz = = z dz= = = ( + ) ( + ) z z d= dz 9

Sada je: d + + d= d d (+ ) + (+ ) = ln ln + + C (+ ) = ln ln + + C (+ ) Dakle rešenje ovog inegrala po je: + + = d= ln ln C + + + + + + (+ ) (+ ) Moramo da vraimo. Iz + + = + = + + + ln ln + + C = (+ ) + + + + + + + + + C ln ln ( ) (( + + + ) + ) Ako vaš profesor zaheva vi malo ovo prisredie... www.maemairanje.in.rs 0