314 STATISTIČKA KONTROLA KVALITETE - STATISTIKA sustavna upotreba tih metoda započela poslije prvoga svjetskog rata. Nagli razvoj tih metoda ostvaren

314 STATISTIČKA KONTROLA KVALITETE - STATISTIKA sustava upotreba tih metoda započela poslije prvoga svjetskog rata. Nagli razvoj tih metoda ostvare je za vrijeme drugoga svjetskog rata, pogotovo u razdoblju poslije jega, kad je aglo porasla idustrijska proizvodja. U takvim uvjetima, aime, ije bilo moguće dovoljo temeljito kotrolirati kvalitetu proizvoda bilo zbog male pouzdaosti dotadašjih metoda bilo zbog iske produktivosti sredstava tehičke kotrole. Početkom pedesetih godia uvodi se suvremea statistička kotrola kvalitete u idustriji SAD i Japaa, ali je oa teško prodirala u svakodevu praksu zbog teškoća u prikupljaju podataka i određivaju vrijedosti statističkih veličia. Tzv. brze metode statističke kotrole kvalitete ipak isu bile dovoljo brze, a i dovoljo pouzdae, da bi se mogle svakodevo efikaso primjejivati i doositi pravodobe odluke u proizvodim uvjetima. Osova je teškoća u primjei tih metoda bila u račuaju bez pogodih pomagala, pogotovo u malim radim orgaizacijama i radioicama. Te su teškoće uklojee upotrebom elektroičkih račuala a radim strojevima i mjerim uređajima, što je omogućilo statističku kotrolu a svakom radom mjestu i u svim fazama proizvodog procesa, pa i upravljaje ukupom proizvodjom a temelju statističke kotrole kvalitete. Daas je vrlo raširea upotreba kompjutoriziraih ručih uređaja (pomiča mjerila, mikrometri, komparatori) koji s primjereom programskom podrškom treuto statistički obrađuju izmjeree veličie s pripadim grafičkim prikazom. Osim toga, složeiji mjeri uređaji (trodimezijski mjeri uređaji, uređaji za ispitivaje zupčaika, uređaji za ispitivaje hrapavosti ploha i si.) omogućuju uz pomoć elektroičkog račuala potpuu statističku aalizu s grafičkim prikazom. Bez obzira a to da li se mjeri podaci prikupljaju i oda obrađuju ili su m jera ticala eposredo povezaa s račualom, za statističku je aalizu potreba primjerea programska podrška. Najzaimljivija je primjea statističke kotrole kvalitete za automatsku kotrolu alatih strojeva i grupa strojeva u fleksibilim proizvodim liijama kad se automatski kotrolira karakterističa veličia (pr. prom jer izratka) kompezacijom alata, i to a temelju kotrole sredje vrijedosti x karakterističe veličie, da bi se izbjegle itervecije zbog slučajih promjea. Postoji iz razvijeih programa za statističku kotrolu kvalitete. Tako je pr. program tvrtke Hawlett-Packard sposoba da odluči o prihvaćaju ili odbacivaju izratka s obzirom a svaku mjereu karakteristiku. Program, osim toga, prati učestalost kojom se svaka mjerea karakteristika pojavljuje u području ispod ili izad graica dopušteih odstupaja. Za svaku se karakteristiku tiskaju sredje vrijedosti x, procijejeo stadardo odstupaje 5 i histogrami. Programski paketi običo mogu aalizirati kotrole karte. Upotrebom račuala brzo se proširila primjea statističke kotrole kvalitete u proizvodim idustrijskim procesima, jer je takva kotrola provjereo sredstvo za osiguraje kvalitete proizvoda i proizvodih procesa. Iako kotrola kvalitete u suvremeoj proizvodji teži potpuoj kotroli a proizvodoj liiji (kotrola o-lie), statistička će se kotrola kvalitete i dalje primjejivati, pa se može očekivati i jezio uapređivaje. L IT.: A. V. Feigebaum, Total Quality Cotrol, Egieerig ad M aagem et. M cgraw-hill B ook Com pay, N ew York 1961. - E. Schidowski, O. Schürz, Statistische Qualitätskotrolle. V E B Verlag Techik, Berli 1965. - J. M. Jura, Quality C otrol-h adbook, M cgraw-hill B ook Compay, N ew York 31974. - J. M. Jura, F. M. G rya, Plairaje i aaliza kvaliteta od razvoja proizvoda do korišćeja. Privredi pregled, Beograd 1974. - JUS N.NO.029, Plaovi i postupci uzimaja uzoraka za kotrolu prema atributima, 1974. - W. M asig, Hadbuch der Qualitätssicherug. Carl H auser V erlag, M üche 1980. - ISO 3951, Samplig Procedures ad Charts for Ispectio by Variables for Percet D efective, 1981. - H. J. W arecke, W. Dutschke, Fertigugsm esstechik. Spriger-Verlag, Berli 1984. F. Dusma STATISTIKA, zastvea disciplia koja se bavi problemima u vezi s prikupljajem, obradbom i aalizom podataka. Glavi su zadaci matematičke statistike izgradja teorijskih temelja i praktičih postupaka za stvaraje zaključaka o pojavi a koju se odose izmjerei, odoso opažei podaci. Budući da se podaci redovito odose a tzv. slučaje pojave, statističke se aalize i zaključci zasivaju a pojm o vima i metodam a teorije vjerojatosti (v. Vjerojatost). Statističke se metode primjejuju a različitim područjima ljudske djelatosti, pa su razvijee i eke posebosti. Zbog toga se govori o ekoomskoj, mediciskoj i vojoj statistici, o statističkoj fizici, statističkoj kotroli kvalitete itd. U ovom se člaku izlažu osovi pojmovi i metode matematičke statistike, koja ima veliku primjeu u tehičkim zaostima. Prikupljaje podataka o staovištvu počelo je već u drevim civilizacijama (Kia, Perzija, Grčka, R im ). U X V II. st. pojavljuju se a jemačkim sveučilištim a predavaja iz»statistike«(lat. status staje), koja se odose a problem atiku državih popisa. O zbiljije dopriose razvitku ekoom ske statistike dali su egleski zastveici X V II. stoljeća (J. Grat, E. H ailey, W. Petty), koji su istraživali zakoitosti u masovim društveim pojavam a. Prvi državi statistički ured osova je u Švedskoj (1756). Počeci m atem atičke statistike m ogu se aći već kod utem eljitelja teorije vjerojatosti: J. Beroullija (1654-1705), P. S. Laplacea (1749-1827), S. D. Poissoa (1781-1840) i K. F. Gaussa (1777-1855). Najvažije problem e m atem atičke statistike i glave ideje za jihovo rješavaje postavili su vodeći statističari tzv. aglosaksoske statističke škole: F. Galto (1822-1911), K. Pearso (1857-1936), R. A. Fisher (1890-1962) i J. Neyma (1894-1981). D aas u svijetu postoji m ogo zastveika i istitucija koji se bave statistikom. Također postoji veom a opseža literatura i ekoliko specijalih zastveih i stručih časopisa koji obrađuju sam o statističku problematiku. STATISTIČKI PODACI Sređivaje i prikazivaje. M jereje ili opažaje određeih pojava redovito rezultira određeim skupom brojčaih podataka. Brojčai se podaci odose a jedu ili više promatraih veličia. Ako se promatra samo jeda veličia X, oda je rezultat jedog mjereja jeda reala broj x. Višestrukim poavljajem mjereja veličie X dobiva se koači iz brojeva X i,..., x, kao rezultat poovljeih mjereja. Veličia X običo se aziva statističko obilježje prom atrae pojave, a dobivei iz brojeva statistički podaci. A ko se pr. promatrajem broja X kvarova ekog stroja u jedom tjedu zabilježe opažee vrijedosti veličie X kroz = 10 tjedaa, dobiva se, primjerice, iz brojeva: x x= \, x2 = 0, *3 = 3, x4 = 2, x5 = 0, x6 = 1, x7 = 0, x$ = 2, x9 = 4, a 10 = 1. Kao rezultati opažaja veličie X mogu se pojaviti samo cijeli brojevi. Pri tom e se eki brojevi mogu pojaviti i više puta, pa se govori o frekveciji pojavljivaja ekog podatka. Za statističko obilježje X koje može poprimiti samo vrijedosti iz ekog diskretog (koačog ili prebrojivog) skupa brojeva (3i{X) kaže se da je diskreto obilježje. Prilikom opažaja (mjereja) obilježja X dobivaju se elemeti skupa $l(x ). Ako se u izu od opažaja broj x* e (3l(X) pojavi v7 puta, kaže se da podatku x * pripada frekvecija vy, odoso relativa frekvecija q} = v /, gdje je j = 1,...,r. Budući da je ^ Vj =, to je ^ ] qj= 1. Rezultati opažaja (mjereja) obi- 7=1 7=1 lježja X običo se prikazuju u tablicama (tabl. 1 i 2). Na temelju tabličog prikaza statističkih podataka izrađuje se i grafički prikaz. Ako se a apscisu os stave vrijedosti obilježja X, a kao ordiate aesu pripade frekvecije T a b l i c a 1 T A B L IC A FR EK V EN C IJA D ISK R E T N O G O BILJEŽJA Vrijedost obilježja X*j X* X* Z broj Frekvecija Vi V7 \ r Relativa frekvecija Kumulative relative frekvecije <h qr 1 <h i * 1 = 1 1

STATISTIKA 315 (relative frekvecije), dobiva se grafiko frekvecija (relativih frekvecija) iza statističkih podataka diskretog obilježja X (si. 1). Ako se kao pripade ordiate uzmu kumulative relative frekvecije, dobiva se graf fukcije kumulativih relativih frekvecija (si. 2). Ako se radi o statističkom obilježju koje može poprimiti vrijedosti iz ekog itervala skupa R realih brojeva, govori se o kotiuiraom obilježju. T a b l i c a 2 BR O J K V A R O V A STRO JA U T O K U T JE D N A x * 0 1 2 3 4 5 i više Zbroj i= 1 Vj 3 3 2 1 1 0 10?j 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1 0 1 0,3 0,6 0,8 0,9 1 1 T a b l i c a 3 TABLICA FREKVENCIJA KO NTINUIRANO G OBILJEŽJA R edi broj razreda 1 i r G raice razreda [«o, af) [ah, a,) [ar-1, ar) Frekvecija Vi vy \ r Relativa frekvecija <h qi K um ulative relative frekvecije Pri crtaju histograma relativih frekvecija poželjo je visiu Vj pravokutika ad itervalom [aj-^af) odrediti tako da jegova površia bude q} (v7= q/(aj - a, _ i), j = 1,..., r). Tada je zbroj površia svih pravokutika jedak jediici. Graf fukcije kumulativih relativih frekvecija dobiva se tako da se za točku a0 uzme ordiata ula, a za točku i aj (j = 1,..., r) ordiata qt i tako dobivee točke međui = 1 sobo povežu dužiama (si. 4). SI. 4. Fukcija kumulativih relativih frekvecija kotiuiraog obilježja SI. 2. Fukcija kumulativih relativih frekvecija diskretog obilježja Tako se trajaje T ekog tehičkog elem eta, pr. žarulje, m ože tretirati kao statističko obilježje svih žarulja izrađeih prema određeoj tehologiji. Bilježejem trajaja promatrae žarulje dobiva se eki broj iz itervala [0, <»). Poavljajem tog eksperim eta puta dobiva se iz realih brojeva tj. dobivaju se statistički podaci o trajaju žarulje. Da bi se za kotiuirao obilježje X formirala pripada tablica, ajprije se defiiraju tzv. razredi za vrijedost obilježja. Iterval mogućih vrijedosti obilježja podijeli se a koači broj r poditervala (razreda). U prethodom primjeru stave se u prvi razred sve vrijedosti od 0 do uključivo 50 sati, u drugi vrijedosti od 50 do uključivo 100 sati itd., pa se tako formiraju razredi (poditervali) širie 50 sati. Nako toga se u izu x u...,x izmjereih vrijedosti obilježja X odredi broj vy oih rezultata m jereja koji pripadaju /-tom razredu. To je frekvecija v;-, odoso relativa frekvecija q^ vf j-tog razreda obilježja X. r r Također vrijedi da je vy= i Z <7/= 1- Na temelju tablice y=l 7=1 frekvecija (tabl. 3) izrađuje se histogram frekvecija (si. 3) tako da se izad itervala [aj- 1,aj) acrta pravokutik visie vr Izbor je brojeva a0< ax<... < ar kojima se defiiraju razredi, teorijski, proizvolja, ali se pri jihovu izboru vodi račua o praktičim razlozima (izgled tablice, pregledost grafikoa i si.). Formiraje razreda prakticira se i za diskreta obilježja, pogotovo ako je broj mjereja velik i ako se pri tome pojavljuje mogo različitih vrijedosti obilježja. Ako se pri promatraju određee pojave uoče dva obilježja (dvije veličie) X i Y, oda se kao rezultati m jereja dobivaju uređei parovi realih brojeva. Višestrukim poavljajem mjereja dobiva se koači iz (x i,y i),...,(x,y ) uređeih parova realih brojeva. Promatra li se, pr., određei skup dvadesetogodišjih mladića tako da se mjeri težia (X ) i visia (Y) svakoga od jih, rezultati mjereja čie Ai-člai iz uređeih parova (xhy,), i = l,...,, gdje je xt brojčaa vrijedost težie, a yi visie. Ako se za obilježje X formira r razreda [a, / = l,..., r, a za obilježje Y s razreda [bj-u bj), / = l,..., s, može se defiirati frekvecija v^, odoso relativa frekvecija qij= v ij/, gdje je Vy broj uređeih parova u kojima xt pripada i-tom razredu obilježja X, a yj j-tom razredu obilježja Y. A ko je, pr., treći razred za težie (X ) iterval [6 0,6 5 ), a peti razred za visie (Y) iterval [1,7 0,1,7 5 ) te ako je u izu o d = 100 m jereja proađeo 8 mladića s težiom izm eđu 60 i 65 kilograma i visiom između i,70 i 1,75 metara, oda je v35 = 8 i qi5 = 0,08. Tablica frekvecija (relativih frekvecija) za dva obilježja X i Y aziva se kotigecijska tablica (tabl. 4). U prvom retku glave tablice 4 upisai su redi brojevi razreda, a u drugome pripadi itervali za obilježje X. U prvom stupcu tablice 4 upisai su redi brojevi razreda, a u drugome pripadi itervali za obilježje Y. U uutrašja polja tablice 4 upisuju se pripade frekvecije, odoso relative frekvecije. Posljedji redak sadrži frekvecije (relative frekvecije) pripadih razreda obilježja X, a posljedji stupac frekvecije (relative frekvecije) pripadih razreda obilježja Y.

316 STATISTIKA T a b l i c a 4 K O N TIN G EN C IJSK A T A B L IC A 1 [a0, fli) i W u «, ) r [ar-1, ar) 2 1 [t>o, b i) V V ii Vir (li i [bhu bj) Vjl Vjt s [bs-i, bs) V,i v«vsr jus 2 Vi v, Vr Osovi parametri. Da bi se dobio cjelovit uvid u određei skup statističkih podataka, defiiraju se parametri koji karakteriziraju eka opća svojstva tog skupa. Statistički mometi ajvažiji su parametri. Brojevi ak 1 4 l - ( 1 ) azivaju se ishodiši {pomoći) mometi k-tog reda iza podataka x u...,x, a brojevi m k A: = 0,1,2,... (2) cetrali mometi k-tog reda. Za k 0 dobiva se da je 1 \ ' a0 = m 0 = 1. Ishodiši momet prvog reda a^ Z x i aziva se još i aritmetička sredia ili prosjek promatraog skupa podataka i često se ozačava sa x. Temelja su svojstva aritmetičke sredie mi cer ~ E ( * - x ) 11 1 - E (*< ~ c)2= :; E (*i- * ) 2 m2. Relacija (3) iskazuje da je aritmetička sredia odstupaja podataka od x jedaka uli, a relacija (4) da je aritmetička sredia kvadrata odstupaja podataka od x ajmaja, tj. maja je od aritmetičke sredie kvadrata odstupaja podataka od bilo kojega drugog realog broja c. Ta svojstva pokazuju da x karakterizira položaj (lokaciju) podataka a brojevom pravcu, a ra2karakterizira rasipaje (disperziju) podataka oko x. Zato se cetrali momet drugog reda m 2 aziva disperzija ili varijaca skupa podataka i običo se ozačava sa s2x. Broj sx = j/ra2 aziva se stadardo odstupaje (stadarda devijacija). Kao param etar lokacije upotrebljava se još i medija M, defiira za paro izrazom a za eparo izrazom M = ^ ( x i2 + xi^2)+1), A / X( - l)/2, yr Vi (3) (4) (5 a) (5b) pri čemu se pretpostavlja da su podaci poredai po veličii, tj. da je x 1^ x 2^... ^ x - 1^ x. Osovo je svojstvo medijaa mm cer 1 l i - I k - c = Z I*/ M \ = A i što zači da je aritmetička sredia apsolutih vrijedosti odstupaja podataka od medijaa maja od aritmetičke sredie apsolutih vrijedosti odstupaja podataka od bilo kojeg drugog realog broja c. Param etar A, tzv. sredje apsoluto odstupaje podataka od medijaa, može također poslužiti kao pokazatelj rasipaja podataka. Param etar (7) aziva se koeficijet asimetrije. Ako su podaci raspoređei simetričo s obzirom a x, oda je K = 0. Kad je K > 0, s3 3 X (6) govori se o pozitivoj asimetričosti, a kad je K < 0, govori se o egativoj asimetričosti skupa podataka. Param etar ^ m4 ma E ~ = - ta - 3- (8) Sr aziva se koeficijet spljošteosti ili eksces skupa podataka. Ako su podaci za diskreto obilježje X već tako sređei da su istakute frekvecije (relative frekvecije) pojediih vrijedosti (tabl. 1), statistički se mometi mogu izraziti formulama: ak = - T J(x*)kV i= Y J (x*)kqi, 0,1,2,... (9) i= i, = i mk= E (**-tfi)*v,= ll(x*-a3k<lj> = 0,1,2,... (10) «,= i / = i Formule (9) i (10) mogu se upotrijebiti i za približo izračuavaje pripadih statističkih momeata podataka o kotiuiraom obilježju, sređeih u tabl. 2, pri čemu se za x* običo uzima sredia j-tog razreda (x* = (ay_i + aj)/2). Ako se podaci odose a dva obilježja X i Y, tj. ako se raspolaže izom (xu y 1),...,(x,y ) uređeih parova brojeva, statistički se mometi defiiraju relacijama: 1 - E - 'b 'i,,... (11) i=l 1 m k[= - E t o -«!«)* (* -«m )'. k, 1 = 0,1,2,... (12) Brojevi ak[ azivaju se ishodiši (pomoći) mometi reda (k,l), a brojevi m ki cetrali mometi reda (k,l). Odmah se vidi da je am = mm = 1, aw = x, a0l = y, m w = m0l = 0, m20= s2x, m02 = s2y i, općeito, da se mometi ak0 i mk0 odose samo a obilježje X, a mometi a0l i m0[ samo a obilježje Y. Cetrali momet m aziva se korelacijski momet ili kovarijaca, a ako su sx > 0 i sy > 0, oda se broj SXSy (13) aziva koeficijet korelacije promatraog skupa podataka. Osovo je svojstvo koeficijeta korelacije da je r2< = 1. (14) Ako su xt i yt (i= 1,2,..., ) povezai fukcijskom zavisošću oblika y t = a xt + /3 (a 4=0), oda je r2= 1. I obrato, ako je r2 1, oda između yt i xt postoji fukcijska zavisost avedeog tipa. Ako je r = 0, kaže se da su xt i yt ekorelirai podaci. Teorijska iterpretacija. Temelja je pretpostavka za razvijaje statističke teorije da su izmjerei (opažei) brojčai podaci posljedica tzv. statističkih zakoitosti koje su karakterističe za slučaje pojave. Statističke se zakoitosti pojavljuju kad je broj m jereja dovoljo velik, jer se tada relative frekvecije stabiliziraju oko fiksiraih brojeva, tj. vjerojatosti. Matematički modeli za opisivaje i egzakto izražavaje statističkih zakoitosti razvijei su u teoriji vjerojatosti (v. Vjerojatost). Rezultati opažaja (mjereja) ekog statističkog obilježja iterpretiraju se kao slučaji ishodi pri poovljeim ezavisim mjerejim a slučaje varijable X, odoso slučajog vektora (X, Y ). Diskreto statističko obilježje teorijski se iterpretira kao diskreta slučaja varijabla X sa zadaim skupom vrijedosti <3i(X ) = {**,..., jt*}, pritom može biti i r= oo? i pripadim vjerojatostima A = p ( ^ = ^ ) ž o ( ž Py= i j, Kotiuirao statističko obilježje teorijski se iterpretira kao kotiuiraa slučaja varijabla X sa zadaom fukcijom gustoće vjerojatosti, f ( x ) Ž 0, x e R, r? (15) J /( x ) d * = l, P ( a š X < b ) = ) f( x ) d x a < b.

STATISTIKA 317 Diskreta i kotiuiraa slučaja varijabla mogu se u statističkom smislu karakterizirati i pripadom fukcijom razdiobe (distribucije) vjerojatosti F(x) = P (X ^k x), x e R. Za diskretu je slučaju varijablu dok je za kotiuirau slučaju varijablu F (x)= 2 (16) X J /(i)d i. (17) Za teorijske razdiobe defiira se matematičko očekivaje ili, krače, očekivaje slučaje varijable X : E[X ] = X x * P j, za diskretu slučaj u varij ablu X J x f(x ) d x, za kotiuirau slučaj u varij ablu X, disperzija ili varijaca slučaje varijable X: (18) D [X] = E[(X-E[X]f] = E [X2] - (E [X ])2, (19) ishodiši m om et k-tog reda slučaje varijable X: a* = E[X*], 0,1,2,..., (20) cetrali momet k-tog reda slučaje varijable X: pk = E [ ( X - E [ X ] ) k], k = 0,1,2,... (21) Dvodimezijski slučaji vektor {X, Y ) teorijski se zadaje pripadom fukcijom razdiobe vjerojatosti F (x,y) = = F (X = a, y = y ), x, y e R, a također se mogu razmatrati diskreti i kotiuirai slučaji vektori. Tipiče su teorijske diskrete razdiobe vjerojatosti: bioma, Poissoova, geometrijska i hipergeometrijska, a tipiče su teorijske kotiuirae razdiobe vjerojatosti: ormala ili Gaussova, ekspoecijala, uiforma i još moge druge (v. Vjerojatost). Teorijske su razdiobe određee svojim parametrima. Npr. bioma je razdioba ^h(,p) određea dvama parametrima i p ( e N, 0 < /? < l ), Poissoova tyo(a) parametrom a ( a > 0 ), ormala X (p,o 2) dvama parametrim a p i o (p e R, o > 0), dvodimezijska ormala razdioba X (p l,p2,o \,o 2,g) sa pet parametara pu Pz, (7i, o2, i g (p u pz,er,o i > 0, o2 > 0,0 ^ g < 1) itd. (si. 5 i 6). test), ali se hipoteza može sastojati i od izjava koje se e odose a param etre, ego se tiču drugih svojstava razdiobe. Zadatak je statističke teorije da izgradi takve matematičke modele za procjeu param etara i testiraje hipoteza koji izražavaju bita svojstva promatrae stvarosti i omogućuju dobivaje praktičih postupaka za doošeje racioalih odluka. Temelja je pretpostavka koja omogućuje razvoj gotovo svih modela u matematičkoj statistici da se kokreti rezultati m jereja mogu iterpretirati kao vrijedosti slučajog uzorka eke slučaje varijable (slučajog vektora). STATISTIČKO PROCJENJIVANJE Slučaji vektor (X u...,x ) s fukcijom razdiobe F(x1,...,x) = F (xt)... F(x), gdje je F fukcija razdiobe slučaje varijable X, aziva se slučaji uzorak. Ako je za X t izmjerea vrijedost x, (i = 1, iz se vrijedosti (xu...,x) aziva vrijedost slučajog uzorka. Brojevi x u...,x iterpretiraju se kao iz ezavisih m jereja slučaje varijable X Svojstva ekih statistika. Ako je Y = h(x u...,x ), gdje je h određea fukcija od varijabli, slučaja se varijabla Y aziva statistika. U primjeama su ajčešće sljedeće statistike: 1) Neka je A = {X e 5} događaj takav da slučaja varijabla X poprimi vrijedost iz skupa S C R i eka je v(a) broj oih mjereja u slučajom uzorku koja pripadaju skupu S, tada je slučaja varijabla v(a) statistika koja se aziva frekvecija, a slučaja varijabla Q(A) = v(a)/ statistika koja se aziva relativa frekvecija događaja A. Ako je x zadai reali broj i A = { X ^ x } događaj takav da izmjerea vrijedost ije veća od broja x, tada se F(x) = Q(A) aziva fukcija razdiobe uzorka ili empirijska fukcija razdiobe. 2) Statistika X = (Xx+... + X )/ aziva se aritmetička sredia uzorka. 3) Statistika S 2 = [(X1- X ) 2 4-... + (X - X ) 2]/( - 1) aziva se korigiraa disperzija uzorka. 4) Statistika A r = - f JX'i, 0,1,2,... (22) T i aziva se ishodiši momet r-tog reda uzorka, a statistika 1 M = - ' Z ( X, - X Y 11 1=1 (23) aziva se cetrali momet r-tog reda uzorka. Očito je A 0 = M0= 1, At = X, M t = 0 i =! 5) Neka su vrijedosti slučajog uzorka poredae prema rastućim vrijedostima tako da je x x ^ x2 ^ ^ x_ x^ x i eka je p ( 0 < p < l) zadai broj, tada je broj v{p) = = if{xer : F(x) ^ p) vrijedost statistike V(p) koja se aziva kvatil (fraktil) uzorka razie p. Statistika K(0,5) = M aziva se medija uzorka. 6) Statistika Y = m ax(x x,...,x ) aziva se maksimum uzorka, a statistika Z = m i (X l,...,x ) miimum uzorka, dok se statistika W = Y Z aziva raspo ili rag uzorka. Navedee statistike kao slučaje varijable imaju sljedeća svojstva: 1) Frekvecija v (A) događaja A ima biomu razdiobu 2&(,p ), tako da je očekivaje E [v(a)] = p i varijaca D[v(A)] = p ( l p). Iz toga proizlazi da za relativu frekveciju Q(A) događaja A vrijedi E[Q{A)]= P, Đ[Q {A)] = /,( 1 ~ /, ) - (24) Glavi se problemi matematičke statistike odose a procjeu parametara pretpostavljee teorijske razdiobe i a testiraje hipoteza. Hipoteza se također može odositi a param etre pretpostavljee teorijske razdiobe (parametarski Ako se a slučaju varijablu Q(A) primijei Čebiševljeva ejedakost, dobiva se P (\Q ( A ) - p \ ^ s ) < ^ f i - ^ ^?, 0. (25)

318 STATISTIKA Za svaki, dakle, e > 0 vrijedi To je Beroullijev zako velikih brojeva, koji izriče da je»evjerojato«da se u velikom (/? >o ) uzorku začajo razlikuje ( > 0 po volji maleo) relativa frekvecija od vjerojatosti događaja A. To praktički zači da se za veliko vjerojatost P(A) može aproksimirati relativom frekvecijom Q(A). Uzme li se A = {X fk x}, dobiva se da je pa se tada može teorijska fukcija razdiobe aproksimirati pripadom empirijskom fukcijom razdiobe. Slučaja varijabla v(a) - p Z = p ( l - p ) (28) ima svojstvo da je E[Z ] - 0, D[Z ] = 1 i da za -+ <*> iz Z ( = 1,2,...) kovergira k slučajoj varijabli Z kojoj pripada stadarda ormala razdioba ^ (0,1 ). To omogućuje da se uz određee uvjete ( > 30, l/ < p < 1 l/) bioma razdioba 2&(,p ) aproksimira ormalom razdiobom X{p, p { l - p)), odoso da se za slučaju varijablu Q(A) / i \ može reći da približo ima X ( p,----------- ) (M oivre-laplaceov teorem). 2) Za aritmetičku srediu X slučajog uzorka vrijedi: E [Ž ] = E [X] = m,d [ Ž ] = ^ ^ - = -. (29) Niz slučajih varijabli Z = {X m)y~/s ( = 1,2,...) kovergira k slučajoj varijabli Z kojoj pripada >f(0,l), a to zači da se za velike ( > 30) može uzeti da X približo ima ( s2\ X I m, I (icetrali graiči teorem). 3) Za korigirau disperziju S 2 slučajog uzorka vrijedi: E [S2] = D [X ]= s2, (30) 4) Za momete uzorka vrijedi: E[A,] = ar, D [A,] = ( < %,- a?), E[M2] = p2, D[M2] = - { < - Ú ) (ja, - 2 l i ) + 0 «, - 3 l i ), E[Aír] =,+ OI I, r = 3,4,5, (4 D[M,] = - ( j i r- 2 r r-.ihr+1- l4 + r2h2i4-0 + 0 (4- Ozaka O I I ozačava veličiu koja teži k uli istom brziom kao i 6) Ako je P (^ f^ x ) = F(x), x e R, fukcija razdiobe slučaje varijable X, maksimum Y slučajog uzorka ima fukciju lim P( I I ; e) = 0. (26) razdiobe P(Y = y) = [E(y)], y e R, a miimum Z ima fukciju razdiobe P(Z = z) = 1 [1 F(z)], z e R. Procjea parametara. U vezi sa svakom slučajom varijablom pojavljuju se određei parametri, kao pr., očekivaje, disperzija, mometi, ili pak parametri koji se pojavljuju u formulama za fukciju razdiobe, odoso fukciju gustoće vjerojatosti i si. Procijeiti epozati parametar 0 slučaje varijable X a temelju -člaog slučajog uzorka (X u...,x ) lim P( ; s) = o, F (x ) (27) zači odabrati F (x) pripadu statistiku Y = h (X u...,x ), koja se tada aziva estimator {procjeitelj) za parametar 0. Vrijedost y = h(xi,...,x ) odabraog estimatora, izračuaa a temelju iza m jereja x lf služi kao procjea param etra 0, tj. kada teži u beskoačost. Iz cetralog graičog teorema proizlazi da se mometi uzorka asimptotski (rc» o ) poašaju ormalo, tj. za veliko može se približo uzeti da su to slučaje varijable s pripadim ormalim razdiobama. 5) Kvatil uzorka V(p) kotiuirae slučaje varijable X s pripadom fukcijom gustoće /, ima asimptotski ormalu razdiobu X ix p, 2 ^ ), gdje je xp teorijska vrijedost kva- \ J \xp) J tila razie p. Medija uzorka, prema tome, ima asimptotski ormalu razdiobu X\ M, -). r = 0,1,2,..., (31) (32) (33) (34) uzima se da je 0 ~ y Dopuštee vrijedosti za parametar 0 određuju skup T koji se aziva parametar ski skup. Tako se, pr., za disperziju s2 običo uzima da je T = [ 0,oo), za param etar p u X (p, o 2) da je T = R i si. Jeda je od glavih zadataka matematičke statistike razvijaje postupaka i metoda za defiiraje dobrih estimatora i za jihovo međusobo uspoređivaje. Za izbor estimatora ima različitih metoda. Metoda maksimale vjerojatosti zasiva se a sljedećem: Ako je X diskreta slučaja varijabla i ako jea fukcija vjerojatosti ovisi o parametru 0 ( 0 e 7 ), tada je L( 0 ) =? (X 1= x u...,x = x) =?{X, = Xl)... P (X = x) određea fukcija (egl. likelihood fuctio, fukcija vjerodostojosti) od 0, koja ozačava vjerojatost da će se dobiti baš vrijedost {xu...,x ) slučajog uzorka (X u...,x ) kada parametar ima vrijedost 0. Treba odrediti 0 tako da L (0 ) bude maksimalo. Tako stvorea veza između 0 i (xu...,x ) defiira estimator Y za param etar 0. Ako je X kotiuiraa slučaja varijabla s pripadom fukcijom gustoće / koja ovisi o param etru 0, estimator se za 0 određuje iz zahtjeva da L (0 ) = f{xi)... -f(x) poprimi maksimalu vrijedost. Veza između 0 i (xu...,x ) dobiva se iz jedadžbe 3 L (0 )/3 0 = O. Za tako određei estimator Y kaže se da je dobive metodom maksimale vjerojatosti i aziva se ML-estimator (prema egl. maxim um likelihood). Da bi se, pr., ašao ML-estimator za param etar G = p u biomoj razdiobi ^h(n,p), ajprije se ađe fukcija vjerodostojosti L(p) Sređivajem jedadžbe 3/7-0-0 p< (i -p) (35) 3L(p) = 0 dobiva se jedadžba X x p N = 0, (36) odoso p = x/n. Prema tome je statistika Y = X /N ML-estimator za param etar p u $ft(n,p). Pretpostavlja se, dakako, da je N pozato. Budući da je fukcija gustoće za X (p,o 2) f(x ) = o]/2~k exp pripada je fukcija vjerodostojosti L (p) = ------] exp o(y2 Tt) (* ~ P f 3L(p). Sređivajem jedadžbe = 0 dobiva se jedadžbal odoso Yj Xí - p = 0, P = Y j X = X, 2 o (37) (38) (39) (40) tako da je statistika X (aritmetička sredia slučajog uzorka) ML-estimator za param etar p u X (p,a 2).

Ako je Y estimator za param etar 0 dobive metodom maksimale vjerojatosti i ako je 0 = g(0 ), gdje je g određea fukcija, oda je i V = g(y ) ML-estimator za 0. Metoda momeata sastoji se u tome da se teorijski izraz za eki momet, pr., ishodiši momet prvog reda (očekivaje), slučaje varijable X, koji sadrži epozati parametar 0, izjedači s izračuaom vrijedošću pripadog mometa uzorka. Time se uspostavlja veza između 0 i (xu...,x ), što u ačelu omogućuje da se dobije estimator za param etar 0. Npr. teorijski izraz za očekivaje u ekspoecijaloj razdiobi %x(a), a > 0, jest l/a, pa iz jedadžbe 1 /a = X proizlazi da je a = 1/X. Prema tome statistika Y = 1/X jest estimator za param etar a u %x(a). Da bi se dobili estimatori za epozate parametre N i p u biomoj razdiobi treba izjedačiti teorijski izraz za očekivaje N p sa X i teorijski izraz za disperziju N p (1 p) sa M2. Iz sustava jedadžbi N_p = X, N p { 1 - p) = M 2 dobiva se p = 1 - (M 2/X) i N = X 2/( X ~ M 2), tako da je statistika X 2/ ( X - M 2) estimator za parametar N, a statistika 1 - (M 2/X ) estimator za param etar p biome razdiobe po metodi momeata. Bayesova metoda defiiraja estimator a temelji se a pretpostavci da opažač već ima aprioru vjerojatosu razdiobu param etra 0, običo utvrđeu subjektivo. Param e tar se 0 tretira, dakle, kao slučaja varijabla s pozatom razdiobom. Pretpostavlja se da opažač raspolaže slučajim uzorkom (X u...,x ), pa se može promatrati slučaji ( + 1)- -člai vektor (G,X U...,X ) i uvjeto očekivaje y = E [0 / /(jci,...,* )] slučaje varijable 0, pod uvjetom da je pozata vrijedost (xu...,x ) slučajog uzorka (X lf...,x ). Broj y uzima se kao vrijedost estimatora Y kojim se prema Bayesovoj metodi procjejuje epozati param etar 0. Najvažija svojstva estimatora. Da bi se istakla svojstva estim atora a temelju kojih se oi mogu međusobo uspoređivati, defiiraju se eka poželja svojstva estimatora. Ako je lim P( Y - 0 ^ č) = 0 za proizvoljo e > 0, kaže»oo se da je Y kozisteti estimator za param etar 0. Estimatori dobivei metodom maksimale vjerojatosti kozisteti su estimatori. Ako je E[Y ] = 0, kaže se da je Y epristrai (cetrirai) estimator za param etar 0. a da bi se dobio epristrai estimator za p4, treba uzeti statistiku Y = h (X i,...,x )i Z = g ( X,,...,X ) dva epri- (2 2 + 3)M 4 3(2 3 )M \ (46) ( 1) ( 2) ( - 3) Ako su straa estimatora za parametar 0, a D[y ] < D[Z ], kaže se da je Y efikasiji estimator od Z. Ako u skupu svih epristraih estimatora za param etar 0 postoji estimator s ajmajom disperzijom, o se aziva ajefikasiji estimator za param etar 0. Ako je X diskreta slučaja varijabla sa skupom vrijedosti $l(x ) = {x1?x2,...} kojima vjerojatosti ovise o parametru 0 tako da je F (X = xt) = p(xh 0 ), defiira se /( )=! l p(xi,0) p{xit ), (41) odoso ako je X kotiuiraa slučaja varijabla s pripadom fukcijom gustoće u kojoj se pojavljuje param etar 0 tako da je /( x) = f(x, 0 ), defiira se 7(0) = J 3 0 12 l f(x, 0 ) f(x, )dx. (42) Veličia 7(0) aziva se Fisherova iformacija. Ako je Y kozisteti i epristrai estimator, oda vrijedi Rao-Cramerova ejedakost STATISTIKA 319 <4 3 ) Ako je Y* dobive metodom maksimale vjerojatosti 3 L (0 ) kao jedio rješeje jedadžbe = 0, tada je 3 0 1 D[T*] = (44) l(o ) tj. Y* je ajefikasiji estimator za param etar 0. M etodom maksimale vjerojatosti dobivaju se, redovito, ajefikasiji estimatori. Omjer e(y) = D [y^]/d [y] aziva se efikasost estimatora Y. Pri tome je 0 ^ e(y) ^ 1 i za ajefikasiji je estimator e(y*) = 1. Ako postoji limc(y ) = e0(0 ^ e0 = 1), broj se e0 > zove asimptotska efikasost estimatora Y. Ako je e0 = 1, kaže se da je Y asimptotski efikasa estimator za param etar 0. Ako je E[y ] = 0 + b(g) i 6(0)=t=O, kaže se da je b(&) pristraost estimatora Y. Ako je lim = 0, kaže - «f E [ ( y - 0 )2] se da je estimator Y asimptotski relativo epristra. Ako slučajoj varijabli (Y - 0 )/ /E [(y - 0 ) 2] asimptotski { >00) pripada stadarda ormala razdioba ^ ( 0,1), kaže se da je Y asimptotski ormala estimator za param etar 0. Uz eke dosta općeite uvjete estimator dobive metodom maksimale vjerojatosti asimptotski je relativo epristra i asimptotski ormala estimator. Primjeri estimatora: 7) Statistika Q(A) (relativa frekvecija događaja A ) jest kozisteta, epristra, ajefikasiji i asimptotski ormala estimator za vjerojatost P(A) događaja A. 2) Aritmetička je sredia uzorka X kozisteta, epristra, ajefikasiji i asimptotski ormala estimator za očekivaje E[X]. 3) Korigiraa je disperzija uzorka Š 2 kozisteta, epristra, asimptotski ormala i asimptotski efikasa estimator za disperziju D[A']. 4) Ishodiši momet r-tog reda A r (r = 0,1,2,...) uzorka kozisteta je, epristra i asimptotski ormala estimator za ishodiši momet r-tog reda ar. Cetrali momet r-tog reda M r (r = 2,3,...) uzorka kozisteta je, ali e i epristra, i asimptotski ormala estimator za teorijski cetrali momet r-tog reda pr. Da bi se dobio epristrai estimator za ju2, treba uzeti statistiku M 2/ ( - 1), da bi se dobio epristrai estimator za treba uzeti statistiku 7----- S ( - l ) ( - 2) 5) Kvatil uzorka V (p) uz određee je uvjete kozisteta i asimptotski ormala estimator za teorijski kvatil xp. Itervali povjereja. Neka je y (0 < y < 1) zadai broj, Y estimator za epozati param etar 0, a G x= Gx(Y, y) i G2 = G2(Y, y) su zadae fukcije, pri čemu vrijedi: P(Gi ^ 0 ^ G2) = 0 e 7, (47) tada se iterval [G i,g 2] sa slučajim rubovima Gx i G2 aziva iterval povjereja pouzdaosti y za param etar 0. Ako se, aime, puo puta poovi iz (jci,...,x ) m jereja slučaje varijable X i za svaki taj iz izračua vrijedost y estimatora Y,te pripadi rubovi gi = G 4y, y) i g2 = G1(Y, y) itervala povjereja, tada će se bar u približo 100 y% slučajeva dobiti iterval koji sadrži (pokriva) param etar 0. Očito je da iterval povjereja pouzdaosti y za param etar 0 ije jedozačo određe. Težja je da se odabere takav estimator Y i fukcije G x i G2 pomoću kojih se, uz zadai y, dobiva ajuži iterval povjereja. Ako je Y asimptotski ormala i asimptotski relativo epristra estimator za param etar 0, oda za velike uzorke ( > 30) približo vrijedi P(E[Y ] - zrj/d[y ] ž Yž E + z ^ D [ Y J ) gdje je zy= & - 1[(1 + y)/2], a je fukcija razdiobe za JvT(0,l). E[y ] i D [y J redovito ovise o 0, pa ako se ejedadžbe E[Y ] - zvl/d[y ] š Y (49a)

320 STATISTIKA E[Y ] + zy)/d [T 3 = T, riješe po 0, dobivaju se ejedadžbe oblika (49b) 0 ^ G 1(Y,y ), (50a) 0 ^ G 2(Y,y), (50 b) kojima su defiirai rubovi itervala povjereja za param etar 0. Bez obzira a veličiu (ri) uzorka i bez pretpostavke o asimptotskoj ormalosti estimatora Y mogu se, a temelju Čebiševljeve ejedakosti, dobiti rubovi itervala povjereja rješejem po 0 ejedadžbi: G2(X,S,y ) = X + t r^=, (56 b) \ gdje je tyodređeo iz uvjeta P( - ty ^ T ^ ty) = y. Vrijedosti ty u ovisosti o y i mogu se aći u odgovarajućim tablicama. E[Y] - f ^ ž Y, (51a) E [ y j + / y (51b) Itervali povjereja pouzdaosti y dobivei a temelju Čebiševljeve ejedakosti redovito su puo širi od itervala povjereja dobiveih a temelju asimptotske ormalosti. Prim jejujući relativu frekveciju Q{A) = Q kao estimator za vjerojatost P(A )= p, a temelju Čebiševljeve ejedakosti (51) dobiva se: G,{Q,r ) = 2 ]/ (l - y) 1 G2(Q, Y) = Q + 2 ^ «( i - y ) Q + 4 G l(q, Y) = Q - 1 _ \/Q(l-Q) Z y I--------------------- 2 A2 i + ^ Q + + / ß» ( l - ß» ), 4 Zy 2 7 4 2 G2(Q, y) = - 1 + ^ j / g ( l ~ g ) G1(Q,Y) = Q -z (52a) (52 b) (53 a) Ako je dovoljo veliko ( > 100), u desim se straama izraza (53) mogu zaemariti člaovi z2/(2) i zy/(42), pa približo vrijedi: (53 b) jedi (54a) SI. 8. Graf fukcije gustoće hi-kvadrate razdiobe Iterval povjereja pouzdaosti y za parametar a2 ima rubove: 1 G i(s,y) = - u2 G2(S,Y ) = - 7 l S \ U\ (57a) (57b) gdje je ux određeo iz uvjeta P ( /< ux) = (1 - y)/2, a u2 iz uvjeta P(U > u2) = (1 - y)/2. Vrijedosti ux i u2 u ovisosti o y i također se mogu aći u odgovarajućim tablicama. Da bi se dobio iterval povjereja pouzdaosti y za param etar a (a > 0) uiforme razdiobe U(0,tf), za estimator P (Y ^ a y ) = 0 y + l 1 E [Y\ = a, zay < 0 zao ^ y ^ 1 +, i 1 zay > 1 (58) j / g ( i - 8 ) G2(Q, Y )-Q + Z. (54b) se uzima statistika Y = ^ + ~ m a x (^ i,...,x ), pri čemu vri- rp- Đ[Y] = ( + 2) Da bi se dobio iterval povjereja pouzdaosti y za param etar p u X (p,o 2), uz pretpostavku_da je a pozato, prim jejuje se čijeica da statistika X ima X (p,o 2/). Dobiva se Gi(X, y) J/ = X-(55a) G2( X, y) = X + zy f (55 b) Ako su epozata oba param etra /i i cr, defiiraju se statistika T {x ijl) Y/S koja ima Studetovu razdiobu t( 1) sa 1 stupjem slobode i koja se za > 30 aproksimira sa N (0, 1), te statistika U = ( l ) S 2/o 2, koja ima hi-kvadratu razdiobu ^ 2( «- l ) sa - 1 stupjem slobode i koja se za > 30 aproksimira sa N( - 1, 2( 1)). Fukcije gustoće tih razdioba prikazae su a si. 7 i 8. Iterval povjereja pouzdaosti y za param etar /a ima rubove G l (X,Š,Y ) = X - t y+ =, / (56a) Iz (58) proizlazi da iterval povjereja pouzdaosti y za param etar a ima rubove G 1(Y,y) = + l / u ^ it Y G2(Y, y) - "/7= ( + l) J / l - TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA (59 a) (59 b) Svaka ekotradiktora izjava (istiita ili eistiita) o razdiobi ili parametrima slučaje varijable (slučajog vektora) aziva se statistička hipoteza. Odluka o prihvaćaju ili odbacivaju hipoteze H, koja se odosi a slučaju varijablu X doosi se a osovi vrijedosti x = (jti,...,* ) slučajog uzorka X = (X u...,x ), tj. a temelju ezavisih m jereja slučaje varijable X. Ako vrijedost x ( x e R ) slučajog uzorka pripada zadaom skupu C (C C R ), koji se aziva kritičo područje, hipoteza se H odbacuje, jer se smatra da izmjeree vrijedosti proturječe pretpostavljeoj hipotezi H.

STATISTIKA 321 Postupak testiraja statističke hipoteze H, ili kraće test, defiira je ako je defiirao kritičo područje C. Govori se o testu C kojim se testira hipoteza H, pri čemu se H prihvaća ako je x e R \ C, odoso H se e prihvaća ako je jre C. Parametarski test. Ako se hipoteza H odosi a određei param etar G { G e T ) slučaje varijable X i ako hipoteza H glasi G e T 0 (T0C T, T0 4= 0), govori se o parametarskom problemu testiraja hipoteze ili, kraće, o parametarskom testu. Piše se H : G e T 0 i govori o hipotezi da param etar pripada određeom podskupu T0 skupa T svih dopušteih vrijedosti param etra 0. Skup T općeito je podskup od R m, tj. pretpostavlja se da prom atraa razdioba ovisi općeito o m parametara. Posebo, ako je T0= {i0}, tj- ako je T0 jedočla skup, piše se H 0:G = t0 i tada se H 0 aziva jedostava hipoteza. Ako T0 ima više od jedog elemeta, govori se o složeoj hipotezi. Operativa karakteristika (OC) testa je fukcija K : T > >R defiiraa izrazom K{i) =? { X e R \C,G = t) = 1 - P( X e C,G = t), te 0.(60) Oa ima, dakle, začeje vjerojatosti prihvaćaja hipoteze kad param etar 0 ima vrijedost t. Ideala operativa karakteristika glasi 1* *. <«> (0 za te T \T 0 U testu s idealom operativom karakteristikom odluka o prihvaćaju istiite hipoteze, tj. kada je zaista G e T 0, doosi se s vjerojatošću jeda (si. 9). SI. 9. Graf ideale (a) i eideale (b) operative karakteristike A ko operativa karakteristika testa zadovoljava uvjet: t m i K ( t ) ž l - c x, 0 ^ a ^ 1, (62) t e To kaže se da test ima raziu začajosti {sigifikatosti) a. To zači da vjerojatost prihvaćaja hipoteze ije maja od 1 a i za koju vrijedost param etra iz skupa T0, tj. kada je hipoteza istiita, odoso da vjerojatost odbacivaja hipoteze ije veća od a. Prilikom kostrukcije testa običo se ajprije zadaje razia začajosti a, a zatim se određuje pripado kritičo područje C. Glavi je problem kako kostruirati tzv. dobre testove, odoso kako defiirati pripado kritičo područje C za zadau raziu začajosti a. Za veoma idealizirau situaciju odgovor je sadrža u tzv. Neyma-Pearsoovoj lemi. Pretpostavlja se, aime, da param etar 0 m o ž e poprimiti samo dvije različite vrijedosti t0 i 6 { T = { t0,h }), pa treba kostruirati test za testiraje jedostave hipoteze H 0 : G = t0. Za diskretu slučaju varijablu X kojoj vjerojatosti ovise o param etru 0 uvodi se ozaka P(xh t) = P (X = xh 0 = i), i = l,...,, pa se defiira L(x, t,) = P(*i,*)... P {x, t), t e T, (63) a za kotiuirau slučaju varijablu X s pripadom fukcijom gustoće vjerojatosti f( x, 0 ) defiira se L(x, t) = f f a, i)...-f{x, t), te T. (64) Uzme li se za kritičo područje skup C=f e*":i ( f <c} (65) t gdje je broj c > 0 određe tako da vrijedi?{{xu...,x ) e C,G = t0) = a, (66) tada za svako drugo kritičo područje C' C R vrijedi? ((X u...,x ) e C, G = t1) ^? ( ( X 1,...,X ) e C,G = t1).(67) Time je rečeo da je test C ajbolji test razie začajosti a za hipotezu H 0, jer je vjerojatost odbacivaja hipoteze H 0 kad oa ije istiita ( 0 = 6) veća od vjerojatosti odbacivaja u bilo kojem drugom testu C. Ako je T proizvolja skup s više od dva elemeta, može se uočiti t0e T i prema Neyma-Pearsoovoj lemi postoji ajbolji test razie začajosti a za jedostavu hipotezu H 0 : 0 = t0, prema jedostavoj hipotezi H : 0 = t (te T \{to}). Kaže se da je test C jedoliko (uiformo) ajjači test razie začajosti a za jedostavu hipotezu H 0 : G = t0 s obzirom a složeu hipotezu H : G e T \ { t 0}, ako je test C ajbolji s obzirom a svaku jedostavu hipotezu H razie začajosti a. Jedoliko ajjači test e postoji uvijek. Neka je H : G e T 0(T0 C T) proizvolja hipoteza, tada se broj L (x, t0) A(x) = L(x, 6) x e R \ (68) gdje je L{x, t0) = max L (x,t) i L(x, 6) = maxl(jr, t), aziva t E Tq t E T omjer vjerodostojosti (egl. likelihood ratio) hipoteze H kad se dobila vrijedost x slučajog uzorka X. Odabere li se reali broj c (0 < c ^ 1) i defiira kritičo područje C izrazom C = {x e R : A(*) < c}, (69) test C se aziva LR-test. Očito je k(x) ^ 1. Ako je t0 = 6 e T0, oda je k(x) = 1. To zači da se maksimum fukcije L(x, t) postiže a točki iz skupa T0, tj. dobivea vrijedost x slučajog uzorka X ima maksimalu vjerojatost kad je istiita hipoteza H. Zato se hipoteza H prihvaća ako je k(x) blizu jediice, a odbacuje se ako je X(x) maji od izabrae kritiče vrijedosti c. Uz fiksirao 0 = 6 X{X) = k(x u...,x ) je određea statistika, tj. k(x) je slučaja varijabla i pripada joj fukcija razdiobe F{k, t) = P(A(X) ^ A, 0 = t). LR-test imat će raziu začajosti a ako vrijedi da je maxp(a(x) < c, 0 = t) = maxf (c, t) = a. (70) tet0 tet0 Odluka o prihvaćaju ili odbacivaju hipoteze H u LR-testu doosi se a temelju vrijedosti A(jr) statistike k(x), tj. kritičo područje može se iterpretirati i kao dio skupa realih brojeva (brojevog pravca). Hipoteze o parametrima ormale razdiobe. Ako se hipoteza odosi a param etre p i o ormale razdiobe X ( p,o 2), redovito će LR-test biti jedoliko ajjači test. Uvjet A(X) < c, kojim se_defiira kritičo područje, izražava se pomoću statistika X i S 2. Graice kritičog područja, tj. rube točke pripadih itervala a brojevom pravcu, određuju se a temelju vrijedosti fukcije F(a) = F -1(l - a), O ^a^l, gdje je F fukcija razdiobe pripade statistike izvedea uz pretpostavku da je hipoteza istiita. Vrijedosti F{a) za ajvažije fukcije razdiobe mogu se aći u odgovarajućim tablicama. U tablicama 5, 6 i 7 avedee su u praksi ajčešće hipoteze, te jihove test-statistike i pripada kritiča područja (iscrtkai dio brojevog pravca). F (v) f \ 21 V2 / SI. 10. Graf fukcije gustoće ^ razdiobe TE X II, 21

322 STATISTIKA T a b l i c a 5 H IPO TEZE O SLUČAJN O J V A R IJA B L I X ~ X ( p, o 2) Neki eparametarski testovi. Pearsoovim testom x 2 (hi- -kvadrat, / 2-test) provjerava se hipoteza o suglasosti pretpostavljeih vjerojatosti py= P(A;), / = l,..., r, gdje A u...,a r čie potpuu familiju događaja, i pripadih relativih frekvecija Q(Aj) = v(aj)/ dobiveih a «-člaom slučajom uzorku. ^ 2-test temelji se a čijeici da statistika: Y,=i [g»(a)~pjl = ^ MA,)-pl f:1 Pi /Ti Pj uz pretpostavku da je hipoteza istiita, ima asimptotski («^ oo) hi-kvadratu razdiobu x \ m ). Ako ema drugih uvjeta osim p} = 1, oda je m = r - 1. Kritičo je područje /= 1 A razie začajosti a ^ 2-testa iterval [//m(a),o ). X2-test ajčešće se primjejuje a testiraje hipoteze gdje izmjerei podaci, prikazai tako da je provedeo grupiraje u r razreda (tabl. 3), potječu od pretpostavljee teorijske razdiobe s pripadom fukcijom razdiobe F. Tada je pj = F(aj) - F ( a j- 1), j= l,..., r - 1, a0= -», «r = oo. Za praktiču primjeu hi-kvadrat testa mora biti dovoljo veliko (bar 50) i razredi [fly_i,«y) tako određei da za svaki razred vrijedi pj> 10. Ako teorijska razdioba ovisi o s parametara koji se procjejuju a temelju istih podataka tako da se uzimaju pripade procjee maksimale vjerojatosti, tada je broj stupjeva slobode m = r s 1. KolmogorovIjev test (K-test) služi za testiraje hipoteze o suglasosti pretpostavljee teorijske kotiuirae razdiobe (F) i empirijske razdiobe (F) izmjereih podataka. O se temelji a statistici O paska: Fukcija <P odosi se a stadardu ormalu razdiobu N (0, 1), fukcija đ _ i a Studetovu, a fukcija # _ i a hi-kvadratu razdiobu s - 1 stupjem slobode. Y = Y sup F (x) F(x), (72) xer kojoj, uz pretpostavku da je hipoteza istiita, asimptotski pripada tzv. Kolmogorovljeva razdioba (K-razdioba) s fukcijom razdiobe T a b l i c a 6 H IPO T E Z E O O D N O S U D V IJU N E Z A V ISN IH SLU Č A JN IH V A R IJA B L I X ~ X ( p u o j) i Y - X ( p 2, o j) N A TEM E LJU D V A JU SL U Č A JN IH U Z O R A K A V ELIČ IN E m I H ipoteza Test-statistika R azdioba test-statistike Kritičo područje razie začajosti a ox 1 02 pozati lh = Ih Vl = ih Z = X - Y P ± + ± m JSf (0, 1) _ # ( T mm (i) -mm <P(a) Vi = lh - 0 ( a ) 0 wmm------- h 0! = 02 isu pozati lh = lh f*i = (h d\ =!h T = X - V i m! m ( (m 1 )5 ) + ( l) 5 j 1 m + t(r) (r = m + 2) -M f) 0 mm- G r(a) 0 -mm G r(a) VW//777777* t - o \ = % o j^oj Sj v~ s '( '-? ) '(f) V/X////777/A -\m m & (m - 1, - 1) F (a ) V77//7y//77T 0 F(l-cr) Opaska: Ozaka 2F(m 1, 1) odosi se a tzv. F-razdiobu (Fisherovu razdiobu) s parametrima m 1 i 1 (si. 10).

STATISTIKA 323 T a b l i c a 7 H IPO T E Z E O K O EFIC IJEN TU K O R ELACIJE g D V O D IM E N Z IO N A L N E N O R M A L N E R A Z D IO B E H ipoteza Test-statistika R azdioba test-statistike Kritičo područje razie začajosti a Q = 0 'O HA o II h a ij y i - R 2 K - 2) m m -----------1-----------m 0 G - 2(a ) m 'O HV o ( r 1 [ y y v y y 1 ) i (» - 1 ) 5, 5, 1 1, ' ' J j i--------------w m m m > - G. 2{oi) 0 m m m --------------- 1---------- Q=Qo ( i < e b < i) - 3 f. ( l + «) ( l - f t ) 1 - * (! ) 0 * ( f ) m m -----------1----------- Q = 9o HV 2 i " (1 R )(1 + Po) " M ( > 10) K ( 0, 1) 0 4>(a) 1 v///////////z^ 1 V/77//////////' -< P (a ) 0 m m m ----------------1---------- > O paska: Pretpostavlja se da je zadaa vrijedost ((jti, yx), (x, y )) slučajog uzorka ((ATl5 1 0, račua vrijedost r statistike R (koeficijet korelacije uzorka). (X, Y)) a temelju koje se K (x)= Z k= - c ( l)*exp( 2 k2x2). (73) Vrijedosti fukcije K(a) = K ~ 1(l - a) alaze se u odgovarajućim tablicama. Kritičo je područje K-testa razie začajosti a iterval K (a), ). K-test zahtijeva veoma mogo () mjereja. Tako, pr., za razlučivaje ormale i joj pripade dvostruko ekspoecijale razdiobe, uz raziu začajosti a = 0,1, treba da je > 500. Test ezavisosti služi za provjeravaje hipoteza o ezavisosti slučajih varijabla X i Y. Na temelju izmjereih podataka prikazaih kotigecijskom tablicom (tabl. 4) defiira se statistika y. = ( i i A - 1). \,_ i /r, j (74) koja, uz pretpostavku da je hipoteza istiita, asimptotski ima hi-kvadratu razdiobu ^ 2(m), gdje je m = (r l)(s 1). U praksi se primjejuje za vl7 > 1 0. Kritičo je područje iterval [Hm( a ), o o ). Test predzaka provjerava hipotezu o ezavisosti i jedakoj distribuiraosti kotiuiraih slučajih varijabla X i Y. Na temelju iza mjereja {xu yf),...,(x,y ) formira se iz vi = x i - y u...,v = x- y. Statistika Y {broj pozitivih člaova u izu v!,...,v } (75) ima, uz pretpostavku da je hipoteza istiita, biomu razdiobu 2&(, 1/2). Ako je vrijedost y statistike Y prevelika, hipoteza se odbacuje. Kritičo je područje iterval [2?(a), oo)?gdje je B{a) ajmaji cijeli broj k za koji vrijedi - ž ( : ) * «. (76) i=k+1 \ 1J Test predzaka upotrebljava se i za provjeru hipoteze o simetričosti oko ishodišta kotiuirae razdiobe. Test predzaka ima slabu moć razlučivaja i zato zahtijeva mogo mjereja. Test homogeosti služi za provjeru hipoteze da K ezavisih slučaj ih uzoraka (X[k),..., X $ ), k = 1,..., K, pripada istoj razdiobi. Test se temelji a statistici: y = y V (V rf~kq,)2 (77) t i gdje je vjk frekvecija j-tog razreda (j = 1,...,J) u A:-tom slučajom uzorku, a q, = (v;1 +... + Vjf)l{x +... + k) relativa frekvecija j-tog razreda dobivea a temelju svih K slučajih uzoraka. Vrijedost y statistike Y pokazuje»udaljeost«između opažeih frekvecija vjk i procijejeih frekvecija kqj. Uz pretpostavku da je hipoteza istiita, statistika Y ima asimptotski hi-kvadratu razdiobu ^ { m ) sa m - = ( K - 1 ) ( / - 1 ) stupjeva slobode. Kritičo je područje razie začajosti a iterval [H m{ a ), ). Regresijska aaliza. U jedodimezijskom regresijskom modelu pretpostavlja se da slučaji rezultati mjereja {Yj) ovise o eslučajim vrijedostima (raziama) ekog faktora i slučajoj pogrešci,. Matematički je zapis te ovisosti Y i= f(x h a, 3,...) + Eh i = l,...,, (78) gdje su l r.., ezavise i jed ako distribuirae slučaje varijable sa E [ j = 0 i D [,] = cr2, a / je zadaa fukcija s parametrima a, 3,... Izmjerea se vrijedost y t iterpretira kao zbroj vrijedosti /(*,-, a, 3,...) regresijske fukcije {fukcije treda) i vrijedosti z slučaje greške. Osovi je problem da se a temelju iza mjereja (Xi,yi),...,(x,y ) procijee epozati parametri a,/3,... i cr2, odoso da se a temelju slučajog uzorka (xu Y x),...,{ x, Yf) defiiraju pripadi estimatori. To će se postići tzv. metodom ajmajih kvadrata, gdje se zahtijeva da bude miimalo. q = I i= 1 Rješavajem sustava jedadžbi dq? 3 a= 0 d/3 [ ( y i- f ( x)]2 (79) = 0,... (80) po epozaicama a, 3,... dobiva se rješeje a = a, (3= b,... Ako se još pretpostavi da su slučaje varijable l5...,

324 STATISTIKA distribuirae po N (0,a 2) i da je f(x, a,/3) = a + /3x, govori se o liearom regresijskom modelu (si. 11). Uvedu li se ozake oda su i= 1 1= 1 1 B = y Y a(* - *) T, (81) (82) (83) (84) epristrai estimatori za a, 3 i o 2, a Y = A + epristrai je estimator za a + /to,. Slučajoj varijabli A pripada ormala razdioba > f(a,(l + x2/sl)o 2/), slučajoj varijabli 5 ormala razdioba N(f3,o2l(s2J) ), a slučajoj varijabli ( - l ) S 2lo 2 hi-kvadrata razdioba x 2( ~ 2). Iterval povjereja pouzdaosti y za epozatu vrijedost a + 3xt ima graice: GX= Ÿ - A, G2 = Ÿ + A, A=tySh^l]fJ~+ (x, - x)2 si (85) Najm aje A postiže se za a iz (85) vidi se također da je A to maje što je s2x veće. U višedimezioalom liearom regresijskom modelu pretpostavlja se da je Yt = /31x[1) +... + + h i = 1,...,, te da su Pi,...,/3r i o 2 epozati parametri, a da su brojčae vrijedosti faktora o kojima ovisi vrijedost y t slučaje varijable Y,. Osovi je problem da se a temelju iza m jereja ((jci1},...,jcjr),yf), i = 1,...,«) procijee epozati parametri. Matriči je oblik modela Y = Xß +, (86) gdje je Y jedostupčaa matrica s člaovima Yh X matrica tipa x r s člaovima xfp(j = 1,...,r), a jedostupčaa matrica s člaovima,. Ozači li se sa C kvadrata matrica reda r s člaovima c,7= 4 4, k = \ (87) pa ako je C regulara matrica, stavi se A = C 1X 7 (X7 je ozaka za traspoirau matricu), tada je Bj X! &jk Yk> j 1,, r (88) epristrai estimator za param etar p, (ajk su člaovi matrice A). Slučajom vektoru pripada r-dimezioala ormala razdioba s korelacijskom matricom r = o 2C ~ 1. Nepristrai je estimator za o 2 s 1 = Ž (T - -... - (89) 12 r i= 1 a slučaja varijabla ( r)s 2/o 2 ima hi-kvadratu razdiobu X2( - r ). Nepristrai estimator za +... + /3rx\r) jest Y B xxw +... + B rx\r), a pripadi iterval povjereja pouzdaosti y ima graice G, = Y V rfyd[y\, i ]/rf,d[y], (90) gdje je fy oa vrijedost Fisherove razdiobe 2F(r, r) za koju vrijedi F (fy) = 7. Te se vrijedosti mogu aći u odgovarajućim tablicama. Model poliomske regresije Yt = 3\ + 32xl + p3x2 +... + + prxri~l + j može se svesti a model r-dimezioale (r > 2) lieare regresije tako da se postavi da je 1 = x (t1\ xi = x (J2\ x 2 = x? \...,x [~1 = x { \ Čijeica da statistika I { Y ^ B. x V -... - B rxp )2 i= 1 i ( Y i - B it f ) -... - B, 4 y - 1 (91) ima Fisherovu razdiobu of(r rf, r) može se iskoristiti za testiraje hipoteze ßr>+1 =... = ßr = 0 (r' < r), tj. da r - r ' faktorâ ema bitog utjecaja a rezultate mjereja, odoso da se zapravo radi o poliomskoj regresiji stupja r' < r. Aaliza varijace. Za razliku od regresijske aalize, pretpostavlja se da faktori imaju kvalitativu karakteristiku, tako da je matematički model za jedofaktorski lieari problem k Yij= ju+ Hj+ Eij, j=l,...,k, i= k š 2, *, = 0,(92) j - i gdje su p i p,j reali brojevi, a tj ezavise i jedako distribuirae slučaje varijable po JV^O,#2). Pretpostavlja se, dakle, da je izmjerea vrijedost yti rezultat djelovaja fiksirae vrijedosti p (zajedička sredia), određeog faktora (lij), koji ima k različitih razia i slučaje pogreške I;. Tablica 8 Z A PIS Z A az-č LANI SLUČAJNI UZO R AK Y Y 12 Y\k Y2 i Y 2 Ylk Y«i Y22 Y kk Osovi je problem da se a temelju «-člaog ( = = «! +... + k) slučajog uzorka, koji se običo zapisuje u obliku tablice (tabl. 8), testira hipoteza o jedakosti efekata svih razia (H : px =... = pk = 0). U /-tom stupcu tablice ispisa je slučaji uzorak s člaova, koji odgovara rezultatima m jereja pod djelovajem /-te razie. Tablica općeito ije pravokuta, jer stupci e moraju imati jedak broj redaka. Uvede li se ozaka za srediu čitavog uzorka i _ Ul 1 (93) JZ1 1 za srediu uzorka u /-toj 3j razii i 1 t 4 i y. "i i=i za rasipaje u čitavom uzorku A = i i (Y, - F )2, 7=1 i'=l za rasipaje uutar uzoraka B = t t ( - T ) 2, /=! /=1 te za rasipaje sredia uzoraka dobiva se A = B + C, E[C] = C= i, ( Y - Y ) \ i - i E[ß] (k - 1) a 2 + ^i). (94) (95) (96) (97) (98) Uz pretpostavku da je hipoteza istiita, statistika ( k) Cl l ( k 1)B ima Fisherovu razdiobu <P(k - \, k), što se eposredo primjejuje za određivaje kritičog područja razie začajosti a. Prevelika vrijedost te statistike upućuje

STATISTIKA - STEREOMETRIJA 325 a odbacivaje hipoteze. Prihvaćaje hipoteze zači da m jereja pokazuju da ema bitih razlika u djelovaju pojediih razia djelotvorog faktora a rezultate m jereja, odoso da su odstupaja od p slučaja. LIT.: V. Vraić, V jerojatost i statistika. Tehička kjiga, Zagreb 1971. - L. Breim a, Statistics with a V iew Toward A pplicatios. H oughto Miffli C om pay, B osto 1973. - r. KpaM ep: MaTeMaraecKe MeTOflbi CTaTHCTHKH. M H P. MocKBa 1975. - III. 3aicc, Teopa CTaracTHHecKHx BbiBOflOB. M H P, MocKBa 1975. - Z. A. Ivković, M atem atička statistika. Nauča kjiga, Beograd 1976. - R. V. H ogg, A. T. Craig, Itroductio to M athematical Statistics. Macmilla Publishig C o., Ic., N ew York 41978. - R. E. W alpole, R. H. M yers, Probability ad Statistics for Egieers ad Scietists. M acmilla Publishig C o., Ic., N ew York 1978. - R. Jam ik, M atematiča statistika. Država založba Sloveije, Ljubljaa 1980. - /. Pavlić, Statistička teorija i primjea. Tehička kjiga, Zagreb 1985. - S. V. Vukadiović, E lem eti teorije verovatoće i matematičke statistike. Privredi pregled, Beograd 1988. Ž. Pauše Ako a i a emaju zajedičku točku (si. 3) ili ako pravac a pripada ravii a, tada su a i a paraleli i piše se a \ \ a ili a \\a. Ako ravia siječe jeda od dva paralela pravca, tada oa siječe i drugi. Za dva pravca a i b i dvije ravie y i /3 iz a\ \ b i b \ y slijedi a\ y, a iz a \ \/3 i y slijedi a y. Pravac je paralela s raviom ako je paralela s ekim pravcem te ravie. Prostori odosi ravia te ravia i pravaca. Dvije različite ravie a i 3 mogu imati zajedički jeda pravac c a kojem leže sve jihove zajedičke točke (si. 4) ili pak mogu biti bez zajedičkih točaka (si. 5). U prvom se slučaju ravie a i 3 sijeku po pravcu c, a pravac c je presječica tih ravia i ozačuje se sa c = a fl 3. U drugom slučaju, ili ako je a = 3, ravie a i /3 su paralele i piše se a\ \f3 ili /3\ \ a. STEREOMETRIJA, dio geometrije koji se bavi skupovima točaka u trodimezijskom, euklidskom prostoru (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Stereometrijski su objekti geometrijska tijela i jihovi rubovi: poliedri i poliedarske plohe, različita obla tijela i oble plohe. Za likove u bilo kojoj ravii prostora pretpostavlja se da zadovoljavaju odose koji se proučavaju u plaimetriji (v. Plaimetrija, TE 10, str. 294). TEMELJNI ODNOSI TOČAKA, PRAVACA I RAVNINA Prostori odosi pravaca. Dva različita pravca a i b mogu biti u istoj ravii i u joj se sjeći ili biti paraleli. Pravci mogu biti mimoilazi, tj. e ležati u istoj ravii. I za pravce a, b i c u prostoru iz a \\b i b \\c slijedi a \ \ c. Skup svih pravaca sa svojstvom da su po dva od jih paralela zove se smjer, a svi pravci tog skupa imaju isti smjer. Kroz bilo koju točku prolazi samo jeda pravac zadaog smjera. Za tri ravie a, 3 i y iz a\ 3 i /3\ \ y slijedi a\ y. Kroz svaku točku prostora izva zadae ravie prolazi samo jeda ravia koja je paralela sa zadaom raviom. Ako pravac ili ravia siječe jedu od dviju paralelih ravia, tada siječe i drugu. Ako su a i 3 paralele ravie i ravia ih y siječe po pravcima a i b, tada su ti pravci paraleli. Kroz pravac paralela sa zadaom raviom prolazi samo jeda ravia paralela s tom raviom. Ako je pravac paralela sa svakom od dviju ravia koje se sijeku, tada je paralela i s jihovom presječicom. Pravac a je okomit a raviu a (piše se a _L a ili a 1 a) ako tu raviu probada u ekoj točki A ' i ako je okomit bar a dva različita pravca koji pripadaju ravii a i prolaze kroz točku A ' (si. 6); o je tada okomit i a sve takve pravce. Za bilo koju točku A i bilo koju raviu a postoji samo jeda pravac a koji prolazi kroz točku A i okomit je a raviu a. Pravac a se zove okomica iz točke A a raviu a, a točka A ' = a fl a zove se ožište te okomice ili ortogoala projekcija točke A a raviu a. Ako je B bilo koja točka ravie a različita od A ', tada vrijedi d (A,A ')< d { A,B ). Broj d (A,A ') zove se udaljeost točke A od ravie a. Ako su a i b mimoilazi pravci, postoji samo jeda pravac c koji siječe oba pravca a i b i okomit je a svaki od jih. Tada je c zajedička okomica pravaca a i b. Ako je točka A sjecište pravaca a i c, a točka B sjecište pravaca b i c (si. 1), što se ozačuje sa A = 0 fl c i B = b fl c, tada se udaljeost d(a, B) zove udaljeost mimoilazih pravaca a i b. Za bilo koju točku A ' pravca a i za bilo koju točku B' pravca b vrijedi d (A ',B ') i? d(a, B), pri čemu je d ( A ',B r) = d(a, B) samo ako je A '= A, B '= B. Prostori odosi pravca i ravie. Pravac a koji e pripada ravii a može s tom raviom imati ajviše jedu zajedičku točku. Ako a i a imaju zajedičku točku A (si. 2), tada se a i a sijeku u toj točki A (kaže se još da pravac a probada raviu a u točki A ), a točka A je jihovo sjecište (ili probodište) i ozačuje se sa A = a fl a. SI. 3 Svi pravci koji prolaze kroz eku točku zadaog pravca i okomiti su a taj pravac leže u ravii koja je okomita a taj pravac. Postoji samo jeda ravia koja prolazi kroz tu točku i okomita je a zadai pravac. Iz a\ \b i b 1 y slijedi a 1 y, a iz a ± y i b ±.y slijedi a b. Iz a X 3 i /3\ \ y slijedi a 1 y, aiztf±/3ifl_ly slijedi 311 y. Ravia a okomita je a raviu 3 (piše se a -Lp) ako ravia a sadrži eki pravac okomit a raviu 3. Okomite se ravie sijeku. Ako je ravia a okomita a dvije ravie 3 i y koje se sijeku, tada je ravia a okomita i a pravac p y. Ortogoala projekcija ekog skupa točaka a zadau raviu g zove se skup ST svih ortogoalih projekcija T pojediih točaka T skupa Sf. Shvati li se pravac kao skup svih točaka koje mu pripadaju, tada je ortogoala projekcija zadaog pravca opet pravac ako zadai pravac ije okomit a prom atrau raviu g.