I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj oblika m, pri čemu je m cijeli broj, a n prirodan broj. Svi takvi brojevi pripadaju n skupu Q prema definiciji toga skupa. (Podsjetimo, Q := { m n : m Z, n N}.) Dakle, i 9 4 je racionalan broj. : 7 Broj. možemo zapisati u obliku = =. Analogno kao i za broj 9 0 0 : 4 zaključujemo da je i broj. = 7 racionalan. Broj nije racionalan. Naime, pretpostavimo da je m =, n pri čemu su m N i n N. (Drugi korijen iz bilo kojega strogo pozitivnoga realnoga broja je opet strogo pozitivan realan broj, pa ni brojnik ni nazivnik razlomka m n ne mogu biti nepozitivni cijeli brojevi.) Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je razlomak m potpuno skraćen, n odnosno da je najveći zajednički djelitelj brojeva m i n jednak. Kvadriranjem jednakosti dobivamo a odavde je = m n m n =, m = n. Desna strana ove jednakosti je očito prirodan broj djeljiv s, pa takva mora biti i lijeva strana. Odatle slijedi da je prirodan broj m djeljiv s. Broj je prost broj, pa je broj m djeljiv s ako i samo ako je broj m djeljiv s. (Primijetite da tvrdnja m je djeljiv s k ako i samo ako je m djeljiv s k. nije točna ako je k složen broj. Npr. broj 4 = 6 je djeljiv s 8, ali broj 4 nije djeljiv s 8.) To znači mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
da broj m možemo zapisati u obliku m = k, pri čemu je k prirodan broj koji nije djeljiv s. Uvrstimo li tu jednakost u jednakost m = n, dobit ćemo: ( k) n, k = n, / : n = = k. Desna strana te jednakosti je djeljiva s, pa takva mora biti i lijeva strana. Potpuno analogno kao i za broj m zaključujemo da je i n djeljiv s. Dakle, brojevi m i n su djeljivi s, što je suprotno pretpostavci da je najveći zajednički djelitelj tih dvaju brojeva jednak. Stoga je pretpostavka da je broj racionalan broj bila pogrešna, pa zaključujemo da je taj broj iracionalan. Napomena: U teoriji brojeva može se dokazati sljedeća tvrdnja. Tvrdnja. Neka je n prirodan broj. Tada je broj n racionalan ako i samo ako je n potpun kvadrat nekoga cijeloga broja. U našem slučaju broj nije kvadrat niti jednoga cijeloga broja, pa prema izrečenoj tvrdnji niti broj nije racionalan.. D. Imamo redom: ( 0.) : 7. : 7 : 7 : : + = + = + = 0 00 0 : 00 : 7 + = : 7 + = : + = : + = : = 4 4 4 4 4 + 47 4 47 4 47 00 = : = : = = = = -0.04068 4 4 47 47 7 7 Zaokružimo li ovaj broj na četiri decimale, dobivamo 0.04 (znamenka na mjestu stotisućinki jednaka je nuli, pa prve četiri znamenke iza decimalne točke samo prepišemo).. D. Imamo redom: 4 4 8 4 4 + 9 4 + 8 D = 4 ( ) = + 4 = + = + = = =. 4 9 4 9 4 9 9 9 9 4. D. Iz zadane jednakosti izrazimo varijablu k. Imamo redom: k m = p, / m = k p, m = k 6 p, k = m + 6 p. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
. A. Pomnožimo zadane faktore prema pravilu svaki sa svakim : [ ] a ( a ) ( a + ) = a ( a ) ( a + ) = ( a a a) ( a + ) = ( a a) ( a + ) = = a a a a + a a = a a + a a = a + a a. 6. B. Obujam jedne boce iskazan u litrama jednak je Obujam ulja u jednoj kutiji je 70 70 : 0 V = = = litara. 000 000 : 0 4 00 0 70 V = 00 V = 00 = = = litara. 4 4 Obujam ulja u svih kutija jednak je 70 70 V = = = 6 70 = 400 litara. Ako bismo svo ulje pretočili u spremnike obujma 000 litara tako da svaki spremnik bude potpuno ispunjen, ukupan broj spremnika bi morao biti jednak 400 : 000 = 4.. To nije moguće jer ukupan broj spremnika mora biti prirodan broj. Zbog toga decimalan broj 4. zaokružimo na prvi strogo veći prirodan broj. To je broj. Dakle, za pretakanje nam treba najmanje spremnika obujma 000 litara. Napomena: Ukupni obujam svih spremnika mora biti jednak ili veći od 400 litara jer će u suprotnom postojati obujam ulja kojega nećemo moći pretočiti ni u jedan od spremnika. 7. C. Traženi postotak je jednak 7.69 7.0098 0.068.68 00 = 00 = 0.40078% 0.40%. 7.69 7.69 7.69 8. C. Označimo nepoznate kutove četverokuta s α i β. Zbroj tih dvaju kutova četverokuta jednak je 60 (8 + 4 ) = 60 96 = 64. Iz podatka da se nepoznati kutovi odnose kao : slijedi α : β = :, α = β, β = α. Stoga je zbroj nepoznatih kutova, s druge strane, jednak mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
α + β = α + α = α. Ta vrijednost treba biti jednaka 64, pa dobivamo jednadžbu: Dijeljenjem te jednadžbe s slijedi: α = 64 64 6 + 6 α = = = + = 4 + = 4 + 60' = 4 + 0' = 4 40' 9. C. Tražena je udaljenost jednaka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K L K L d = x x + y y = + = 7 + = 49 + 4 = jed. 0. B. Izrazimo polumjer osnovke (označimo ga s r) u dm. Imamo: r = 9 cm 9 r = dm / : 0 9 0 9 9 r = = = dm. 0 0 Visina valjka (označimo je s h) iskazana u dm iznosi: Stoga je obujam valjka jednak : h = = = dm. 0 0 : 9 8 8 8 4 V = B h = r π h = π = π = π = π = π dm. 0 400 400 400 800 Budući da je litra = dm, konačno dobivamo: V 4 = π 0.94876879 litara 0.94 litre. 800. B. Obje površine jednake su polovici umnoška duljine stranice AB i duljine visine na tu stranicu. Ta je duljina jednaka udaljenosti usporednih pravaca p i q, pa ona ne ovisi o izboru točaka C i D. Zbog toga su navedene površine meñusobno jednake.. A. Graf funkcije f je parabola jer je graf bilo koje kvadratne funkcije parabola. Zbog toga u obzir dolaze jedino slike A i C. Budući da je f (0) = 0 + = 0 + =, graf funkcije f mora prolaziti toč- mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
kom T = (0, ). To svojstvo ima jedino krivulja na slici A i ona je rješenje zadatka.. C. Prema jednostavnom računu smjese, tražena cijena je jednaka 7 0 + 0 0 40 + 00 4840 4840 : 0 44 c = = = = = = 8.8 kn. 0 + 0 0 0 0 : 0 4. B. Duljina dijagonale pravokutnika čije su stranice duge 0 m i 0 m iznosi d = 0 + 0 = 00 + 900 = 400 = 4 00 = 4 00 = 4 0 = 0 4 m. Duljina prijeñenoga puta i vrijeme su upravno razmjerne veličine. Drugim riječima, koliko se puta poveća vrijeme trčanja, toliko se puta poveća i duljina prijeñenoga puta (jer je prosječna brzina kao omjer duljine prijeñenoga puta i vremena ista prema pretpostavci zadatka). Dakle, ako za 4 minute dječak pretrči dijagonalu 7 puta, onda će za 4 minuta pretrčati dijagonalu 4 puta više 4 4 4 7 negoli u 4 minute, tj. ukupno 7 = = puta. Prema tome, traženi put jednak je 4 4 4 7 s = 0 4 = 4 = 4 = 4 49.874679067 metara. 4 Zaokružimo ovaj broj na najbliži prirodan broj, pa dobijemo s 49 m.. C. Površina koju treba obojati jednaka je zbroju površina pravokutnika kojima je širina jednaka visini prostorije (označimo je s h). Uočimo da je opseg lika prikazanoga na tlocrtu jednak (a + + b), pa je površina koju treba obojati jednaka P = (a + b) h = ( + 7).7 = 9.7 = 0.6 m. Tako dobivamo da je tražena cijena jednaka c = P 0 = 06 kn. Napomena: Veličina x nije bila značajna za rješavanje zadatka jer opseg prikazanoga lika ne ovisi o vrijednosti varijable x. Da smo npr. računali obujam zraka u zadanoj prostoriji, vrijednost veličine x bila bi značajna jer bismo tražili površinu cijeloga prikazanoga lika, a ona ovisi o vrijednosti veličine x. Preciznije, nije teško provjeriti da je površina prikazanoga lika jednaka P = a b x. 6. B. U zadanu jednadžbu uvrstimo x =, pa dobivamo: m + = ( m ) 0, m 9 m = 0, 9 m m = +, 8 m = 6. Odatle dijeljenjem s 8 slijedi m =. Stoga polazna kvadratna jednadžba zapravo glasi: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač
x x ( + ) = 0, x x = 0. Prema Vièteovim formulama, umnožak njezinih rješenja jednak je rješenje jednako, preostalo drugo rješenje jednako je 7. ; 80. 7 kg jabuka košta : = =. II. ZADATCI KRATKOGA ODGOVORA =. Budući da je jedno 7 70 70 : 4 = = = puta više nego. kg jabuka, tj. ukupno. : 4 4 8 7 7 7 7 9 C = 8. = = = = =.8 kn = kn i 80 lp. 0 8. (, 0) i (0, ) (ili obratno). Iz slike očitamo ga pravac siječe os apscisa u točki čija je prva koordinata (od 0 idemo za dvije jedinice udesno i doñemo u točku čija je prva koordinata ), dok os ordinata siječe u točki čija je druga koordinata jednaka (od 0 idemo za tri jedinice nadolje i doñemo u točku čija je druga koordinata jednaka ). Svaka točka na osi apscisa ima drugu koordinatu jednaku 0, a svaka točka na osi ordinata ima prvu koordinatu jednaku 0. Stoga su tražene točke (, 0) i (0, ). 9. Vidjeti Sliku. Bilo koji pravac jednoznačno je odreñen s bilo koje dvije različite točke toga pravca. Za x = 0 lagano dobivamo y =, dok za x = dobivamo y = + = + =. Dakle, traženi pravac prolazi točkama (0, ) i (, ). Ucrtamo te točke u zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini, te ih spojimo pravcem. Dobivamo pravac prikazan na Slici. Slika. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
0. 000. Znamo da kg ima 000 g i da m ima 00 cm. Odatle slijede jednakosti: Stoga redom imamo: 000 0 00 0 g = kg = kg = 0 kg, cm = m = m = 0 m, = = 6 cm = (0 m) = (0 ) m 0 m 0 m. g 0 kg ( 6) kg + 6 kg kg kg kg 6 = = 0 = 0 = 0 = 000 = 000. cm 0 m m m m m m. a + a. Uočimo da vrijede jednakosti: a + 6 a + 9 = a + a + = (a + ), a + a = a (a + ).. 8; Stoga je zadani algebrski razlomak jednak 8 ; 4. Za x = imamo: a + a + a + a + a + a + = = = a a a ( a ) a ( a ) a 6 9 ( ) ( ) ( ). + + + f ( ) = ( ) = 6 = 8. Stoga u prazan pravokutnik ispod broja upisujemo 8. Za x = 8 analogno imamo: 8 6 f = = = = = 8 8 8 8 8 8. Stoga u prazan pravokutnik ispod broja 8 upisujemo. Preostaje odrediti x takav da je f (x) = 8 = 0. Imamo redom: f ( x) = 0, x = 0, x = 0 +, x =. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
Odavde dijeljenjem s slijedi x = 4. Stoga u prazan pravokutnik iznad broja 0 upisujemo 4...) 87.4. Traženi prosječan prihod po jednom danu jednak je: 000 + 7000 + 0 + 0000 + 000 + 000 + 0000 97000 p = = 87.4 kn. 7 7 Dobiveni rezultat moramo zaokružiti na točno dvije decimale jer ne postoji tisućiti, desettisućiti itd. dio kune..).7. Traženi postotak je jednak 000 00 p = 00 = 00 =.74 %.7%. 97000 97 97 4. 0; 0; 4; 8. Uvrstimo prvu jednadžbu sustava u drugu, pa dobijemo: y y = 6 ( y), = 8 y, y 8 y = 0, y ( y 8) = 0. Umnožak dvaju brojeva jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan od tih brojeva jednak nuli. Za y = 0 iz prve jednadžbe sustava odmah slijedi x = 0. Za y 8 = 0 slijedi y = 8, pa uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo x = 8 = 4. Dakle, sva rješenja sustava su (x, y) {(0, 0), (4, 8)}...) osobe. Točka koja odgovara 990. godini je polovište dužine odreñene točkama koje odgovaraju 980., odnosno 000. godini. Tom točkom povučemo pravac usporedan s osi imena osoba (tj. pravac okomit na os godina). Taj pravac siječe zadani grafikon u točno tri točke. Stoga su 990. godine bile zaposlene točno tri osobe, i to su Dragica, Ena i Filip..) 0. Mjerna jedinica za vrijeme na vodoravnoj osi je 0 = godina. Iz grafikona očitamo da je 4 Ava bila zaposlena ukupno = godina, dok je Boris bio zaposlen ukupno = godina. Razlika tih dvaju brojeva jednaka je = 0. Dakle, Ava je bila zaposlena 0 godina dulje od Borisa. 6..) 0.407. Možemo postaviti shemu: aroba 4.69 kg x aroba kg Veličine su očito upravno razmjerne ( što više kilograma, to više aroba ). Primjenom jednostavnoga trojnoga pravila dobivamo razmjer: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
7..) Odavde je x : = : 4.69. 00 x = = 0.406797 0.407. 4.69 469.) 8.678. Ovaj zadatak najlakše je riješiti primjenom verižnoga računa, odnosno verižnika jer su sve veličine upravno razmjerne. Imamo redom: x unča portugalska aroba portugalska aroba 4.69 kg kg 000 g 8. g unča Verižnik je zatvoren jer je veličina na kraju posljednjega retka jednaka veličini na početku prvoga retka. Tako sada lagano dobijemo: 4.69 000 4690 469000 469000 : 9800 x = = = = = 8.67848 8.678. 8. 8. 8 8 : 67 = 0.0. Imamo redom: 0 ( x + ) =, 0 x + =, 0 x = +, 0 x =, 0 x =, 4 0 x =, 0 x =, / :0 x = = =. 0 0 0 Dobiveno rješenje zapisano kao decimalan broj je x = 0.0. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
.). Prisjetimo se da je 0. 0 0 = =. Tako odmah dobivamo: x 0 = 0., x 0 = 0, x =, x =, x =. Odatle dijeljenjem s ( ) dobivamo x =..) x > ili x, +. Imamo redom: x x > x + x (4 ) ( ), 4 x x x x, > 4 x x x x, + + > x >. Odatle dijeljenjem s, pri čemu se znak nejednakosti ne mijenja, slijedi x >. Ovo rješenje možemo zapisati u obliku x, +. 8..) 97. Cijena Ivine narudžbe iznosi a cijena Matejeve narudžbe iznosi Stoga je traženi iznos jednak I =.00 +.00 + 8.00 = 48.00 kn, M =.00 + 0.00 +.00 =.00 kn. o = 00 (48.00 +.00) = 00 0 = 97 kn..) 4 0.9 cm. Označimo s m polumjer male pizze, a s j polumjer jumbo-pizze. Površina male pizze jednaka je a površina jumbo-pizze jednaka je Pm m π =, mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0
Prema uvjetu zadatka vrijedi jednakost =. Pj j π Pm = Pj. 8 Uvrštavanjem izraza za P m i P j u gornju jednakost dobivamo: m π = j π, / : π 8 m = j / 8 8 4 j = m / 4 4 4 6 4 6 6 6 6 j = 0 m. j = m = m = m = m = m = m = m U posljednju jednakost uvrstimo m = 0. Tako konačno dobivamo: j = 0 0 = 0 0 = 0 = 4 0.90890 cm.9 cm., pripremio: mr.sc. Bojan Kovačić, dipl.ing.mat., viši predavač mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač