FINANCIJSKI VREMENSKI NIZOVI INDEXI BURZE, CIJENE ZLATA, TEČAJNE LISTE DNEVNO ZAPISIVANJE CIJENA skupljanjem npr. dnevnih cijena vremenski niz iz niza odredimo proces KARAKTERISTIKA napredvidljivost (nedeterminiranost) Problem: da li promatranjem cijena možemo predvidjeti buduće cijene? ODREDJIVANJE DINAMIKE: primjenom statistike JEDINO MOŽEMO GOVORITI U TERMINIMA VJEROJATNOSTI process: linearan nelinearan proces??? RIZIK ST. DEVIJACIJA VAŽNOST PREDVIDJANJA ST DEV. ZNAČAJKE DINAMIKE CIJENA DIONICA postojanje trendova precizno predvidjanje nemoguće dva se pitanja nameću 1) da li je cijena sutra današnja + ocijena dnevnog porasta? 2) da li izmjenom pozicije na tržištu možemo zaraditi neprestano kupujući i prodajući isti proizvod?? hipoteza slučajnog koraka i efikasnog tržišta 1) da li trebamo poznavati prošle cijene? koliko daleko u prošlost? hipoteza slučajnog koraka tvrdi da su promjene cijena nepredvidljive poput slučajnog šetača. 1
statističko tumačenje: Bachelier (1900) S su neovisne i identične normalne PDF Fama (1965) odbacuje normalnost distribucije Granger (1970) odbacuje i identičnost distribucija HIPOTEZA PODRAZUMJEVA CONST. S I NEKORELIRANOST: VRIJEDI ZA VELIKA TRŽIŠTA 2) TRENUTNA VRIJEDNOST SADRŽI SVE INFORMACIJE O PROŠLOSTI ANALIZOM OBLIKA KRETANJA DIONICA NE MOŽEMO SE OBOGATITI DNEVNI PRINOSI analiza cijene dionica S nestacionarnost i umjetna koreliranost. S se analiziraju, e.g. closing pricess x t = S t + d t S t 1 (1) R t = log(s t + d t ) log(s t 1 ) (2) R t = (S t + d t S t 1 )/S t 1 (3) 1) varijance rastu 2) i 3) praktički ekvivalentni razlike: R 2t = R t + R t+1 (4) R 2t = R t + R t+1 + R t R t+1 (5) 2
KARAKTERISTIKE MODELA VREMENSKI NIZOVI MODELA I CIJENE IDENTIČNI STATISTIČKA SVOJSTVA CIJENA (VARIJANCA...) JEDNOSTAVAN (BROJ PARAMETARA) POSTOJANJE DISTRIBUCIJE U ANALITIČKOM OBLIKU PRIMJER: WIENER PROCES (BLACK SCHOLES) MODELI ZA OPIS DINAMIKE CIJENA DIONICA stohastički proces, diskretan (kontinuiran) u vremenu, diskretna (kontinuirana) varijabla Markovljev proces samo danas odredjuje sutra predikcije u terminima vjerojatnosti Markovljev proces u suglasju sa slabom formom tzv. tržišne učinkovitosti nemoguće je iz kretanja cijene zaključiti o cijeni sutra WIENEROV PROCES ili Brownovo gibanje: svojstvo 1) S = ɛ t (6) svojstvo 2) S za različita vremena neovisna za t slijedi 3
< S = 0 > σ 2 = t (7) Nakon vremena T = N t S(T ) S(0) = Σ N n=1ɛ i t (8) Varijanca, očekivanje S(T ) S(0) =???? ZA NORMALNE PROCESE VARIJANCE ADITIVNE POOPćENI WIENEROV PROCES (DETERMINIZAM + STOHASTIKA): S = a dt + b ɛ t (9) a i b očekivanje i varijanca u jedinici vremena S = a dt (10) S = S 0 + a t (11) Varijanca, očekivanje S??????? Varijanca, očekivanje S(T ) S(0) =???? ITOV PROCES: ds = a(s, t) dt + b(s, t)ɛ t (12) PROBLEMI: OČEKIVANI PRIRAST I RIZIK OVISE O TRENUTNOJ VRIJEDNOSTI CIJENE 4
S/S 0 = a t/s 0 (13) NAJKORIŠTENIJI MODEL ZA OPIS DINAMIKE CIJENA: S = µ S t + σ S ɛ t (14) MONTE CARLO SIMULACIJE: STACIONARNI ARMA PROCESI OČEKIVANJA {y 1, y 2, y 3,..., y T } i.i.d. {ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ T } ɛ t izn(0, σ 2 ) {y t } t= = {..., y 1, y 0, y 1, y 2,...} I KOMPJUTORA {y (1) t, y (2),..., y (I) t t } uzorak I realizacija varijable Y bezuvjetna gustoća f(y t ) OČEKIVANJE (SREDNJA VRIJEDNOST) VARIJABLE Y t 5
E(Y t ) = y tf(y t )dy t (15) E(Y t ) = lim I 1 I I i=1 Y (i) t (16) primjer a) Y t = µ + ɛ t (17) E(Y t ) = µ (18) b) Y t = β t + ɛ t (19) E(Y t ) = β t (20) σ 2 = γ 0t = E(Y t µ t ) 2 = (y t µ t ) 2 f(y t )dy t (21) AUTOKOVARIJANCA (drugi moment varijable Y) γ j t = E(Y t µ t )(Y t j µ t j ) (22) 6
struktura autokovarijance kao u kovarijance Cov(X, Y ) = E(X µ X )(Y µ Y ) (23) γ j t = lim I 1 I I (Y (i) t i=1 µ t )(Y (i) t j µ t j ) (24) KOVARIJANTNA STACIONARNOST ILI SLABA KOVARIJANT- NOST slabo STACIONARAN ni µ t ni γ j t ne ovise o vremenu E(Y t ) = µ (25) E(Y t µ)(y t j µ) = γ j (26) slijedi γ j = γ j STRIKTNA STACIONARNOST, JOINT DISTRIBUCIJA OD (Y t, Y t+j1,..., Y t+jn ) NE OVISI O VREMENU T ERGODIČNOST srednja vrijednost (vremenskog ) uzorka ȳ = 1 T T i=1 y 1 t (27) 7
veza s srednjom vrijednošću uzorka preko pojma ergodičnosti prvog momenta Ako je Y t stacionaran Gaussov process uvjet ergodičnosti za sve momente je j=0 γ j < (28) Kovarijantno stacionaran proces je ergodičan u prvom momentu ako vrijedi E(Y t ) = lim T 1/T i y t (29) BIJELI ŠUM E(ɛ t ) = 0 (30) E(ɛ 2 t ) = σ2 (31) E(ɛ t ɛ τ ) = 0 (32) striktni bijeli šum - ɛ t i ɛ τ neovisni. KORELACIJSKI PROCESI AR i MA MOVING AVERAGE (MA) PROCESS MA(1) Y t = µ + ɛ t + θɛ t 1 (33) očekivanje i varijanca Y t 8
E(Y t ) = µ (34) E(Y t µ) 2 = (1 + θ 2 )σ 2 (35) E(Y t µ)(y t 1 µ) = θσ 2 (36) Ako je ɛ Gaussov bijeli šum, MA(1) je ergodičan za sve momente (konačan broj kovarijanci) j-ta autokorelacija ρ j = γ j /γ 0 AUTOKORELACIJA ρ j je mjera korelacije ili veze izmedju Y t i Y t j koliko dugo se utjecaju pamte za MA(1) MA(q) proces ρ 1 = θσ 2 (1 + θ 2 )σ 2 (37) Y t = µ + ɛ t + θ 1 ɛ t 1 +...θ q ɛ t q MA(2) neičezavajuće autokovarijance γ 1 = (θ 1 + θ 1 θ 2 )σ 2 (38) γ 2 = θ 2 σ 2 (39) 9
ergodičan u prvom momentu ako je ɛ Gaussov process MA(2) ergodičan u svim momentima AUTOREGRESIVNI PROCES AR(1) Y t = c + φy t 1 + ɛ t (40) iteracija uvjet za slabu stacionarnost φ < 1 iteracijom kao M A( ) Y t = c(1 + φ + φ 2 +...) + ɛ t + φɛ t 1 + φ 2 ɛ t 2 +... (41) E(Y t ) = c + φe(y t 1 ) µ = c + φµ (42) varijanca γ 0 = E(Y t µ) 2 = σ 2 /(1 φ 2 ) (43) j-ta autokovarijanca 10
γ j = E(Y t µ)(y t j µ) = φ j (1 + φ 2 + φ 4 +...)σ 2 (44) ρ j = γ j /γ 0 = φ j (45) geometrijski red za autokorelacijsku funkciju utjecaj parametra φ na korelaciju ARMA PROCESI LAG OPERATORI operator vremenskog pomaka? OPERATOR VREMENSKOG NIZA preslikava jedan niz u drugi multiplikativni operator y t = βx t operator zbrajanja y t = x t + z t OPERATOR POMAKA U VREMENU y t = x t 1 Lx t = x t 1 L k x t = x t k zadovoljava ista algebarska pravila kao multiplikativni operator y t = (al + bl)lx t y t = ax t 1 + bx t 2 al + bl 2 operatorski polinom PRIMJENA: AR(2) process y t = c + φ 1 y t 1 + φ 2 y t 2 + ɛ t (1 φ 1 L φ 2 L 2 )y t = c + ɛ t 11
uvjet stabilnosti jednadžbe diferencija: (1 φ 1 z φ 2 z 2 ) = 0 korijeni izvan jedinične kružnice AR(2) proces kovarijantno stacionaran (1 λ 1 L) 1 = 1 + λ 1 1 L + λ2 1 +... (1 λ 1 L)(1 λ 2 L)y t = ɛ t y t = (1 λ 1 L) 1 (1 λ 2 L) 1 ɛ t (λ 1 λ 2 ) 1 { λ 1 1 λ 1 L λ 2 1 λ 2 L } y t = { λ 1 λ 1 λ 2 (1 + λ 1 L +...) λ 2 λ 1 λ 2 (1 + λ 2 L +...)}ɛ t računanje očekivanja pretpostavimo stacionarnost E(Y t ) = c + φ 1 E(Y t 1 ) + φ 2 E(Y t 2 ) + E(ɛ t ) µ = c + φ 1 µ + φ 2 µ (Y t µ) = φ 1 (Y t 1 + φ 2 Y t 2 + ɛ t pomnožimo s Y t j γ j = φ 1 γ j 1 + φ 2 γ j 2, j = 1, 2,... struktura jednadžbe kao u procesa AR(2) autokorelacije ρ j = φ 1 ρ j 1 + ρ j 2 j = 1, 2,... j = 1 ρ 1 = φ 1 + φ 2 ρ 1 j = 2 ρ 2 = φ 1 ρ 1 + φ 2 varijanca: E(Y t µ) 2 = φ 1 E(Y t 1 µ)(y t µ) + φ 2 E(Y t 2 µ)(y t µ) + E(ɛ t )(Y t µ) γ 0 = φ 1 γ 1 + φ 2 γ 2 + σ 2 γ 0 = φ 1 ρ 1 γ 0 + φ 2 ρ 2 γ 0 + σ 2 γ 0 = (1 φ 2 )σ 2 (1 φ 2 )((1 φ 2 ) 2 φ 2 1 ) FUNKCIJA IZVODNICE AUTOKOVARIJANCI 12
svani process Y t prati niz autokovarijanci {γ j } ako je Σ j γ j < g Y (z) = Σ j= γ jz j (46) ako z leži na jediničnoj kružnici POPULACIJSKI SPEKTAR PROCESA Y MA(1) proces: Y t = µ + ɛ t + θɛ t 1 = c + (1 + θl)ɛ g Y (z) = θσ 2 z 1 + ((1 + θ 2 )σ 2 )z 0 + θσ 2 z 1 = σ 2 (1 + θz)(1 + θz 1 ) M A(q) proces: Y t = µ + (1 + θ 1 L +... + θ q L q )ɛ t g Y (z) = σ 2 (1 + θ 1 L +...θ q z q )(1 + θ 1 z 1 +... + θ q z q ) MA( ) proces: Y t = µ + ψ(l)ɛ t g Y (z) = σ 2 ψ(z)ψ(z 1 ) AR(1) Y t µ = (1 φl) 1 ɛ t s Y (ω) = 1 2π Σ iγ j exp( iωj) (47) METODA MAKSIMALNE VJERODOSTOJNOSTI služi za procjenu parametara procesa 1. korak: odredjivanje funkcije vjerodostojnosti. 2.korak: traženje parametara za koje je vjerojatnost najveća L = L(θ, X 1, X 2,..., X n ) MLE od θ je θ koji maksimizira L 13
DISKRETN VARIJABLA: geometrijska distribucija p = (1 θ)θ X L = P (X 1 )P (X 2 )P (X n ) log(l) = nln(1 θ) + ln(θ)σx i log(l) = 0 θ = X 1+ X KONTINUIRANA VARIJABLA Gaussova: ln(l) = Σ i ln(p (X i )) ln(l) = 0.5nln(2π) 0.5nσ 2 0.5(1/σ 2 )Σ i (X i µ) 2 ln(l) µ = 0, ln(l) µ = 0 µ = ΣX i /n σ 2 = 1/nΣ i (X i µ) 2 problemi: nelinearnosti, vezane jednadžbe, numeričke metode ARMA(p,q) Y t = c + φ 1 Y t 1 +... + φ p Y t p + ɛ t +... + φ q ɛ t q ɛ je bijeli šum Neka je θ (c, φ i, θ i, σ 2 ) vektor populacijskih parametara uzorak T elemenata (y 1,.., y T ) AR(1) θ (c, φ, σ 2 ) kolika je vjerojatnost prvog elementa? pogledajmo očekivanja AR(1) procesa ako je ɛ t Gaussova i Y t je Gaussova gustoća vjerojatnosti prve varijable: 14
f Y1 (y 1 ; θ) 1 E(Y 1 µ) 2 exp( [y 1 E(Y 1 )] 2 2E(Y 1 µ) 2 ) distribucija druge varijable? kondicijalno na prvu Y 2 = c + φy 1 + ɛ 2 Y 2 iz N(c + φy 1, σ 2 ) zajednička gustoća distribucije za uzorak od T elemenata f(y i ; θ) = f(y 1, θ)π T i=1 f(y t y t 1;θ ) L = lnf(y 1 ; θ) + Σ i lnf(y t y t 1 ; θ) KONDICIONALNA PROCJENA MAKSIMALNE VJERODOSTOJNOSTI pojednostavljenje prva se varijabla tretira kao deterministička maksimizacija c i φ ekvivalentna minimizaciji Σ t=2 (y t c φy t 1 ) 2 procjena varijance σ 2 = Σ T (y t c φy t 1 ) 2 t=2 T 1 lnf(y t,..., y 2 y 1 ; θ) = (48) ((T 1)/2)(ln(2π) + lnσ 2 ) (49) Σ T (y t c φy t 1 ) 2 t=2 2σ 2 (50) PROCJENA MAKSIMALNE VJERODOSTOJNOSTI MA(1) kao i kod AR(1), izračun jednostavniji za MA(1) ako uvjetujemo početne vrijednosti ɛ Y t = µ + ɛ t + θɛ t 1 ɛ t iz N(0, σ 2 ) Neka θ = (µ, θ, σ 2 ) označuje populacijske parametre koje procjenjujemo. Ako ɛ t 1 poznajemo (nije slučajan) 15
Y t ɛ t 1 N((µ + θɛ t 1 ), σ 2 ) f(y t ɛ t 1 ; θ) = 1 2πσ 2 exp( (yt µ θɛ t 1) 2 2σ 2 ) Neka je ɛ 0 = 0. Kako je niz {y t } poznat, vrijedi ɛ 1 = y 1 µ UOČIMO DA U PROCEDURI µ PROCIJENJUJEMO nastavimo li proceduru, iz ɛ 0 = 0 slijedi iteracijom niz {ɛ 1,..., ɛ T } ɛ t = y t µ θɛ t 1 kondicijalna gustoća za t-observaciju f(y t ɛ t 1 ; θ) = 1 2πσ 2 exp( ɛ2 t 2σ 2 ) vjerodostojnost uzorka produkt pojedinačnih gustoća f(y T, y T 1, y 1 ɛ 0, θ) = f(y 1 ɛ 0 = 0; θ) (51) Π T t=2 f(y t y t 1,..., y 1, ɛ 0 = 0; θ) (52) kondicionalna log vjerodostojnost L = T 2 log(2π) T 2 log(σ2 ) Σ t ɛ 2 t 2σ 2. (53) L je nelinearna funkcija µ i θ i observabli y t NE INOVACIJA ɛ numerička optimizacija iteracijom: ɛ t = (y t µ) θ(y t 1 µ) +... + ( 1) t 1 θ t 1 (y t µ) + ( θ) t ɛ 0 KONDICIONALNA FUNKCIJA VJERODOSTOJNOSTI ZA MA(q) PROCES ɛ 0 =... = ɛ q+1 = 0 iz danih početnih vrijednosti iteracijom: ɛ t = y t µ θ 1 ɛ t 1...θ q ɛ t q KONDICIONALNA FUNKCIJA VJERODOSTOJNOSTI ZA ARMA(p,q) PROCES Y t = c + φ 1 Y t 1 +... + φ p Y t p + ɛ t +... + θ q ɛ t q 16
cilj: procjenjitelj θ = (c, φ i, θ j, σ 2 ) aproksimacija je naći funkciju vjerodostojnosti kondicionalno na početne vrijednosti y i ɛ 1.) opcija je za početne vrijednosti y i ɛ uzeti očekivanja: y s = c/(1 φ 1 φ p ) za s = 0, 1,.., p+1 i ɛ s = 0 za s = 0, 1, q + 1. 2) opcija (Box, Jenkins) za početne vrijednosti y s uzeti stvarne vrijednosti NUMERIČKA OPTIMIZACIJA KAKO ŠTO BRŽR PREBRISATI PARAMETARSKI PROSTOR GRID SEARCH AR(1): s 3 na 1 parametar L(φ) =...1/2 log(1 φ 2 ) 1/2 (1 φ 2 )y 2 1 (54) 1/2Σ T t=2(y t φy t 1 ) 2 (55) recimo T = 5, y 1 = 0.8, y 2 = 0.2, y 3 = 1.2, y 4 = 0.4, y 5 = 0 φ = 0 L = 5.73; φ = 0.1 L = 5.71 subintervali aprox rješenje uvjet konvergencije lokalni i globalni maksimumi STEEPEST ASCENT tražimo smjer najbržeg rasta metoda ako imamo više parametara početni a-parametarski vektor θ (0) tražimo bolji procjenjitelj θ (1) u a-dim prostoru unutar radijusa k {θ (1) θ (0) } {θ (1) θ (0) } = k Lagrangean: J(θ (1) ) = L(θ (1) ) + λ(k {θ (1) θ (0) } {θ (1) θ (0) } 17
J(θ) θ θ=θ (1) = 0 θ (1) = θ (0) + 1/(2λ) g(θ (1) ) L(θ) = 1.5θ1 2 2θ2 2 očito je minimum u ˆθ = (0, 0) što daje metoda?? neka je θ (0) = ( 1, 1) često se u praksi derivacije traže numerički: g i 1/ {L(..., θ (0) i +,...) L(..., θ (0) i,...)} lokalni ekstremi θ (m+1) = θ (m) + sg(θ (m) ) za mali smjer puno iteracija pronadjimo globalni maksimum s = 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 i 16 kriterij konvergencije, razmak medju susjednim θ ponovimo proceduru za više inicijalnih θ (0) metoda NEWTON-RAPHSON (a) ako postoji druga derivacija L(θ) (b) ako -1 pomnožen s matricom drugih derivacija je svugdje pozivno definiran Neka vrijedi: g(θ (0) ) = L(θ) θ θ=θ (0) i neka vrijedi 18
H(θ (0) ) = 2 L(θ) θ θ θ=θ (0) aproksimirajmo L(θ) Taylorovim redom do drugog reda u razvoju oko θ (0) L(θ) L(θ (0) ) + [g(θ (0) ] [θ θ (0) ] (56) 1/2(θ θ (0) ] H(θ (0) )[θ θ (0) ] (57) g(θ (0) ) = H(θ (0) )(θ θ (0) ) θ (1) = θ (0) + [H(θ (0) )] 1 g(θ (0) ) iteracija primjer ASIMPTOTSKE STANDARDNE GREŠKE ZA PROCJENJITELJE za dovoljno velike uzorke distribucija procjenjitelja ˆθ aproksimativno slijedi distribuciju: N(θ 0, T 1 P 1 ) gdje je θ (0) praci parameteraski vektor. Matrica P se naziva informacijska matrica i procjenjuje se. prvi procjenjitelj: P 2D = T 1 2 L θ θ θ=ˆθ matrica varijanci - kovarijanci E(ˆθ 0 )(ˆθ θ 0 ) [ 2 L(θ) θ θ ] 1 drugi procjenjitelj: P OP = T 1 Σ T t=1 [h(ˆθ)][h(ˆθ)] h(ˆθ) = log(f(yt y t i;θ)) θ θ=ˆθ E(ˆθ θ 0 )(ˆθ θ 0 ) [Σ[h(ˆθ, Y t )][h(ˆθ, Y t )] ] 1 primjer: 19
REFERENCES 20