Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku VIX Master rad Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Aleksandra Petrovi

Транскрипт

1 Univerzitet u Nišu Prirodno-matematički fakultet Departman za matematiku VIX Master rad Mentor: Prof. dr Miljana Jovanović Student: Aleksandra Petrović Niš, 27.

2 Sadržaj Uvodni pojmovi i rezultati 4. Akcije i indeksi Opcije Black-Scholes-Mertonov model Log-normalana raspodela cene aktive Black-Scholesova jednačina VIX indeks i vrste volatilnosti 8 2. Nastanak i razvoj VIX-a Vrste volatilnosti Realizovana i istorijska volatilnost Implicitna volatilnost Unutar-dnevna volatilnost Implicitna volatilnost Ocena implicitne volatilnosti Izračunavanje VIX-a Parametri za izračunavanje VIX-a Parametar T Parametar R Parametar F Parametri E i E i, i =,..., n Izbor opcija Parametri E i, i =,..., n Parametri Q(E i ), i =,..., n Izračunavanje volatilnosti near-term i next-term opcija Izračunavanje 3-dnevnog ponderisanog proseka za σ i σ Kako investitori koriste VIX 4 5. Pojava proizvoda vezanih za VIX Kako investitori koriste VIX Istorijska kretanja VIX-a Literatura 45 2

3 Uvod Usled nedostatka alata za upravljanje tržišnim rizikom i prevelike nestabilnosti na tržištu, investitori mogu biti zabrinuti zbog rizika i odustati od trgovine, pa je samim tim tržište manje atraktivno. Kao jedan od instrumenata za upravljanje tržišnim rizikom, VIX indeks je glavna tema ovog rada. Opisan je postupak njegovog izvodjenja i izračunavanja, kao i promena VIX indeksa u zavisnosti od promene cene indeksnih opcija čija je aktiva S&P 5 indeks. Upravo je odnos promene VIX indeksa i promene cene odgovarajućih indeksnih opcija veoma bitan za njegov dalji razvoj, kao i pojavu finansijskih derivata čija je aktiva VIX indeks. Master rad sadrži rezultate koji su izloženi u pet glava. U prvoj glavi definisani su pojmovi akcija, indeksa i opcija i razmatrano je modeliranje cena finansijskih instrumenata u neprekidnom vremenu. Imajući u vidu da je evolucija cene aktive opisana geometrijskim Brownovim kretanjem, primenom formule Itoa za stohastičko diferenciranje, u ovoj glavi se dolazi do Black-Scholesove parcijalne diferencijalne jednačine koja opisuje cenu evropske kupovne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos. Rešavanjem ove jednačine dobijena je Black-Scholesova formula cene evropske kupovne opcije i ja aktiva obezbedjuje neprekidan prinos. Primenom kupovno-prodajnog pariteta i dobijene Black-Scholesove formule za evropske kupovne opcije, dobijeno je rešenje Black-Scholesove jednačine za evropske prodajne opcije. U drugoj glavi navedeni su pojmovi vezani za VIX indeks, njegov istorijski razvoj, kao i motivacija za nastanak VIX-a. Takodje, definisane su osnovne vrste volatilnosti, medju kojima je i implicitna volatilnost koja predstavlja osnovu za izračunavanje VIX indeksa. U trećoj glavi se razmatra ocena implicitne volatilnosti, do koje se dolazi na osnovu odredjenog broja kupovnih i prodajnih opcija čija je aktiva S&P 5 indeks. U četvrtoj glavi je razmatrano izračunavanje VIX indeksa na osnovu impilicitne volatilnosti. Detaljno su opisani svi parametri koji su potrebni za ocenu implicitne volatilnosti i na primeru je objašnjeno kako se izračunava svaki od parametara. Takodje je predstavljen način odabira kupovnih i prodajnih opcija koje učestvuju u oceni implicitne volatilnosti. U petoj glavi je opisan značaj VIX indeksa, na koji način investitori koriste njegovu negativnu korelisanost sa cenom indeksnih opcija da bi zaštitili svoj potfolio od rizika i koji su finansijski derivati čija je aktiva VIX indeks. Zahvaljujem mentoru, prof. dr Miljani Jovanović, na nesebičnoj pomoći i podršci pri izradi ovog rada. 3

4 Glava Uvodni pojmovi i rezultati U ovoj glavi, odnosno Poglavlju. biće definisani pojmovi akcija, indeksa i opcija, sa posebnim osvrtom na indeks S&P 5 kao i opcije čija je aktiva pomenuti indeks. U Poglavlju 2. razmatran je pojam Black-Scholes-Mertonovog modela cena opcija, log-normalna raspodela cene aktive i rešavanje Black-Scholesove parcijalne diferencijalne jednačine za evropske ocije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos dividende.. Akcije i indeksi Posedovanje akcija i trgovina njima na berzi je uobičajena pojava u razvijenim zemljama. Definicija. Akcija predstavlja deo kapitala kompanije u vlasništvu pojedinca, odnosno akcionara. Ona predstavlja hartiju od vrednosti koju je emitovala kompanija sa ciljem uvećanja kapitala. Deo dobiti kompanije koji pripada akcionarima, u finansijskoj terminologiji naziva se dividenda. Kupac, odnosno prodavac akcija kupovinu, odnosno prodaju ne vrši direktno na berzi već se obraća brokerskoj kući, tj. investicionoj firmi koja je član berze, dok su medju najvećim berzama u SAD-u NYSE (New York Stock Exchanges) i AMEX (American Stock Exchange). Za investitore je veoma važna informacija o stanju kompanije koja trguje svojim akcijama, cenama tih akcija i dinamici njihove promene. Do tih informacija oni dolaze analizirajući različite izveštaje koje izdaje berza. Važna informacija o opštem ekonomskom stanju i stanju tržišta akcija izražena je u obliku različitih brojčanih ocena: proseka i indeksa. U tu svrhu mogu se koristiti poznati proseci i indeksi Dow Jonesa. Pored sredina Dow Jones, rasprostanjeni su i indeksi odredjeni tržišnom vrednošću, koji se dobijaju kao količnik ukupne tržišne vrednosti odabranih kompanija, u sada- šnjem trenutku i njihove ukupne tržišne vrednosti u nekom predhodnom, odnosno, baznom periodu. Tržišna vrednost se dobija množenjem broja emitovanih akcija koje su u posedu investitora, sa njihovom cenom. Samim tim, kompanije sa većom tržišnom vrednošću više utiču na kretanje indeksa. Dakle, indeksi se menjaju u zavisnosti od cena, ali i broja akcija. Najpoznatiji indeksi iz ove grupe su: 4

5 Uvodni pojmovi i rezultati 5 Standard and Poor s 5 (S&P 5) indeks, NYSE Composite indeks, NASDAQ Composite indeks, AMEX Market Value indeks. U današnje vreme indeks S&P 5 je sastavljen na osnovu evidencije o poslovanju velikog broja kompanija (4 industrijkih, 2 transportnih, 4 komunalnih i 4 finansijskih). Deset kompanija čije akcije učestvuju u izračunavanju indeksa S&P 5, a čiji je ponder najveći dat je na Slici.. Slika.: Deset najznačajnijih kompanija čije akcije utiču na vrednost S&P 5 indeksa.2 Opcije Opcije su kao finansijski instrumenti poznate više od jednog veka. Naučnik L. Bachelier je u svojoj doktorskoj disertaciji Théorie de la spéculation 9. godine dao prvu matematičku analizu cena opcija i obrazložio svrsishodnost investiranja u opcije. Bez obzira na to, opcije su se počele organizovano prodavati tek 973. godine.

6 Uvodni pojmovi i rezultati 6 Definicija 2. Opcija je ugovor koji vlasniku opcije daje pravo, ali ne i obavezu, da kupi ili proda aktivu u nekom budućem vremenu po unapred ugovorenoj ceni E. Kako opcijski ugovor podrazumeva samo pravo, ali ne i obavezu za vlasnika opcije, on mora imati neku vrednost - kupac opcije plaća prodavcu opcije premiju, čime prodavcu nadoknadjuje rizik zbog preuzimanja obaveze izvršenja opcijskog ugovora. Datum dospeća opcije je datum kada opcijskom ugovoru ističe važnost, a T je njegov rok dospeća, odnosno preostalo vreme od sadašnjeg trenutka do isteka opcije. Osnovni tipovi opcija su: evropska - može se realizovati samo na datum dospeća opcije, i američka - može se realizovati u bilo kom trenutku do njenog datuma dospeća. U zavisnosti od toga da li se govori o mogućnosti kupovine ili prodaje aktive, postoje dve osnovne vrste opcija: kupovne - vlasnik kupovne opcije ima pravo da kupi, a prodavac te opcije je u obavezi da proda aktivu po ugovorenoj ceni E, i prodajne - vlasnik prodajne opcije ima pravo da proda aktivu po ugovorenoj ceni, dok je prodavac takve opcije obavezan da kupi pomenutu aktivu. U zavisnosti od vrste aktive, najpoznatije opcije kojima se trguje na berzi su:. opcije na akcije, 2. robne opcije, 3. opcije na obveznice, 4. indeksne opcije, 5. fjučersne opcije. Indeksne opcije su opcije čija je aktiva indeks. Kod kupovnih (prodajnih) indeksnih opcija na datum dospeća vlasnik opcije ne kupuje (prodaje) aktivu već se vrši novčano poravnanje. Vlasnik kupovne opcije dobija iznos koji je jednak razlici vrednosti indeksa na datum dospeća i ugovorenoj ceni, pomnoženo odgovarajućim iznosom u zavisnosti od toga koji indeks je aktiva opcije, ako je opisana razlika pozitivna, odnosno ne dobija ništa ako je razlika negativna. Kod prodajnih opcija vlasnik opcije dobija sumu koja je jednaka razlici ugovorene cene i vrednosti indeksa pomnoženo odredjenim iznosom, ako je razlika pozitivna ili ne dobija ništa. Najpopularnije indeksne opcije u SAD-u su one opcije čija je aktiva S&P 5 indeks, Nasdaq- indeks i Dow Jones Industrial indeks. Ako je aktiva opcije S&P 5 indeks, suma kojom se množi razlika vrednosti indeksa i ugovorene cene iznosi USD, dok je datum dospeća ovih opcija uvek treći petak u mesecu isporuke.

7 Uvodni pojmovi i rezultati 7.3 Black-Scholes-Mertonov model Model cena opcija koje su 973. godine razvili Black i Scholes, a iste godine formalizovao i proširio Merton, zauzima značajno i veoma popularno mesto u finansijskoj teoriji i praksi. On je veoma jednostavan za izračunavanje i, kao svi modeli koji se oslanjaju na pretpostavka o bezarbitražnosti tržišta, ne zahteva poznavanje rizika investitora. Black-Scholesovo izračunavanje arbitražnih cena opcija se oslanja na koncept kreiranja portfolija prodavca opcije tako da bude zaštićen od rizika. U ovom poglavlju pažnja je usmerena na evoluciju cene aktive koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos q, a zatim na Black - Scholesov model cene opcije na aktivu koja obezbedjuje takav prinos..3. Log-normalana raspodela cene aktive Ako stohastički prces S = {, t } opisuje evoluciju cene aktive neke hartije od vrednosti, pri čemu je cena aktive u trenutku t, za mali vremenski interval dt cena posmatrene aktive će se promeniti za d. Obrt koji se ostvaruje sa promenom cene hartije od vrednosti zavisi od mere srednjeg rasta zarade µ za mali vremenski interval dt, kao i konstantnog neprekidnog prinosa q, koji predstavljaju predvidive veličine i od volatilnosti cene hartije od vrednosti σ, koja predstavlja slučajnu, nepredvidivu veličinu. Prinos koji obezbedjuje aktiva smanjuje meru srednjeg rasta, tako da se ostvareni obrt može predstaviti stohastičkom diferencijalnom jednačinom d = (µ q)dt + σdw t, (.) gde je S početna cena aktive, a u članu dw t je sadržana sva slučajnost, tj. nepredvidivost u kretanju cene hartije od vrednosti. Slučajni proces {W t, t } predstavlja jednodimenzionalni standardni Wienerov proces. Za rešavanje stohastičke diferencijalne jednačine (.) potrebno je izračunati d ln i to uz pomoć formule Itoa za stohastičko diferenciranje. Teorema. Neka stohastički proces {x t, t [, T ]} ima stohastički diferencijal dx t = a(t)dt + b(t)dw t, i neka je funkcija φ : [, T ] R R neprekidna i sa neprekidnim parcijalnim izvodima φ t(t, x), φ x(t, x), φ xx(t, x). Tada proces φ(t, x) ima stohastički diferencijal [ dφ(t, x) = φ t(t, x) + φ x(t, x)a(t) + ] 2 φ xx(t, x)b 2 (t) dt + φ x(t, x)b(t)dw t, za t iz [, T ]. Za φ(t, x) = ln x, x > je φ t =, φ x = x, 2 φ x 2 = x 2.

8 Uvodni pojmovi i rezultati 8 Kako je iz (.) d = (µ q) dt + σ dw t, i primenom Itove formule na funkciju ln dobija se ( d ln = (µ q) ) σ 2 S 2 2St 2 t dt + σ dw t, tj. odakle je d ln = (µ q 2 σ2 ) dt + σdw t, (.2) t ln ln S = (µ q 2 ) t σ2 ds + σdw s = (µ q 2 ) σ2 t + σw t. (.3) Kako za fiksirano t iz [,T] slučajna promenljva W t ima normalnu rapodelu sa parametrima i t, dakle W t : N (, t), a linearna kombinacija slučajnih promenljivih sa normalnom raspodelom ima takodje normalnu rasodelu, to iz (.3) sledi da ln ln S : N ((µ q 2 ) ) σ2 t, σ 2 t, odnosno tako da ln : N ((µ q 2 ) ) S σ2 t, σ 2 t, (.4) ln : N ( ln S + (µ q 2 ) ) σ2 t, σ 2 t. Očekivanje slučajne promenljive ln je ln S + (µ q 2 ) σ2 t, dok je standardna devijacija σ t. Prema tome, ln ima gustinu raspodele verovatnoće f(x) = x ln S (µ q σ 2πt e ( 2σ 2 t, < x < +, 2 σ2 )t) 2 tako da je P { < e x } = P {ln < x} = x y ln S (µ q σ 2πt e ( 2σ 2 t 2 σ2 )t) 2 Smenom y = ln z u poslednjem integralu dobija se raspodela cene hartije od vred- dy.

9 Uvodni pojmovi i rezultati 9 nosti u trenutku t P { < e x } = e x ln z ln S (µ q zσ 2πt e ( 2σ 2 t 2 σ2 )t) 2 dz. Dakle, cena hartije od vrednosti u trenutku t ima log-normalnu raspodelu, tj. gustina raspodele verovatnoće za je g(x) = ln x ln S (µ q xσ 2πt e ( 2σ 2 t, < x <, 2 σ2 )t) 2 za svako t iz [, T ]. Na osnovu gustine raspodele, očekivanje slučajne promenljive dato je sa + ln x ln S (µ q x Ê = xσ 2πt e ( 2 σ2 )t) 2 2σ 2 t dx. ln x ln S (µ q 2 ) σ2 t Smenom g = σ, dobija se t x = S e gσ t+(µ q 2 σ2 )t, (.5) odnosno tako da je dx = σ ts e gσ t+(µ q 2 σ2 )t dg, (.6) Ê = σ 2πt + = S e (µ q 2 σ2 )t + 2π = S e (µ q)t + 2π e g2 2 σ ts e gσ t+(µ q 2 σ2 )t dg e g2 2gσ t+σ 2 t σ 2 t 2 dg e (g σ t) 2 2 dg. Kako je to je Obzirom da je + 2π e (g σ t) 2 2 dg =, Ê = S e (µ q)t. (.7) ÊS 2 t = + x 2 ln x ln S (µ q xσ 2πt e ( 2σ 2 t 2 σ2 )t) 2 dx,

10 Uvodni pojmovi i rezultati primenom (.5) i (.6) dobija se + g 2 ÊSt 2 = S2 e gσ t+(µ q 2 σ2 )t e 2 e gσ t+(µ q 2 σ2 )t dg 2π = Se 2 2(µ q 2 σ2 )t + 2π = Se 2 2(µ q)t σ2 t+2σ 2 t + 2π e g2 4gσ t+4σ 2 t 4σ 2 t 2 dg e (g 2σ t) 2 2 dg, odnosno tako da je ÊS 2 t = S 2 e 2(µ q)t+σ2t, ) 2 D = ÊS2 t (ÊSt = S 2 e 2(µ q)t+σ2t S 2 e 2(µ q)t. Konačno, dobija se da je disperzija cene aktive jednaka ) D = Se (e 2 2(µ q)t σ2t. Na osnovu log-normalne raspodele cene aktive može se dobiti raspodela neprekidnog obrta te aktive za vremenski period od T godina. Ako je R godišnji neprekidan obrt aktive izmedju trenutka i T, to je tako da je S T = S e RT, R = T ln S T S. Na osnovu (.4) sledi da neprekidan obrt ima raspodelu R : N (µ q σ2 2, σ2 ), (.8) T odakle se može zaključiti da što je T veće, standardna devijacija obrta opada..3.2 Black-Scholesova jednačina Za modeliranje cene evropske kupovne (prodajne) opcije primenom Black - Scholesove analize potrebno je uvesti neke osnovne pretpostavke: Cena aktive je geometrijsko Brownovo kretanje, sa merom srednjeg rasta µ, neprekidnim prinosom q za vreme trajanja opcije i volatilnošću σ; Kamatna stopa R i volatilnost σ su poznate konstante sve vreme trajanja opcije;

11 Uvodni pojmovi i rezultati U model nisu uključeni troškovi transakcija; Ne postoji mogućnost arbitraže; Trgovina hartijama od vrednosti se odvija neprekidno; Dopušta se mogućnost kratke prodaje i aktiva je deljiva. Na osnovu pretpostavke da je cena aktive geometrijsko Brownovo kretanje, to je d = (µ q) dt + σ dw t, (.9) gde je S početna cena aktive. Neka prodavac kupovne (prodajne) opcije na aktivu koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos q, poseduje početni kapital koji iznosi V i neka je V t kapital koji on poseduje u trenutku t, pri čemu ne poseduje aktivu opcije. Da bi se zaštitio od rizika neželjenog kretanja cena aktiva on u svakom trenutku t iz [,T] kupuje (prodaje) t jedinica aktive po ceni, a ostatak svog kapitala ulaže na bankovni račun uz kamatnu stopu R (ili uz istu kamatnu stopu pozajmljuje potrebnu sumu). Za kratak vremenski period promena njegovog kapitala je dv t = t d + t q dt + R(V t t )dt = t ((µ q)dt + σdw t ) + R(V t t )dt + t q dt = RV t dt + (µ R) t dt + σ t dw t, (.) dok se primenom Itove formule za stohastičko diferenciranje na funkciju f(t, ), koja predstavlja arbitražnu cenu evropske opcije na aktivu koja obezbedjuje poznati prinos, dobija ( df(t, ) = f t + (µ q) f S + ) 2 σ2 St 2 f SS dt + σ f SdW t. (.) Da bi portfolio prodavca opcije bio zaštićen od rizika u svakom trenutku t, potrebno je da njegov kapital bude jednak arbitražnoj ceni opcije, tj. V t = f(t, ) s.i. odakle sledi da su i njihovi diferencijali jednaki, tj. dv t = df(t, ) s.i. (.2) Kao što je poznato dva diferencijala su jednaka ako su im jednaki koeficijent difuzije i koeficijent prenosa u smislu stohastičke ekvivalencije, pa jednakost (.2) Zauzimanje duge (kratke) pozicije u aktivi, kada je aktiva indeks, podrazumeva kupovinu (prodaju) hipotetičkog portfolija koji se sastoji od svih akcija koje utiču na vrednost indeksa. Vrednost hipotetičkog portfolija akcija prati promenu akcionog indeksa. Težina akcije u portfoliju je jednaka procentualnom udelu sume investirane u te akcije u odnosu na čitav portfolio. Procenat rasta indeksa tokom malog vremenskog perioda je jednak procentu rasta vrednosti hipotetičkog portfolija. Dividende koje obezbedjuju akcije najčešće nisu uključene u ovo izračunavanje, već se smatra da su dividende hipotetičkog portfolija investirane u portfolio.

12 Uvodni pojmovi i rezultati 2 važi ako je odnosno i t σ = σ f S(t, ), t = f S(t, ) Rf(t, ) + (µ R)f S(t, ) = f t(t, ) + (µ q) f S(t, ) + 2 σ2 S 2 t f SS(t, ), odakle se dobija Black-Scholesova parcijalna diferencijalna jednačina za odredjivanje arbitražne cene evropske opcije na aktivu koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos q, odnosno f t(t, ) + (R q) f S(t, ) + 2 σ2 S 2 t f SS(t, ) Rf(t, ) =. (.3) Rešavanje Black-Scholesove jednačine za evropske kupovne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos Ako se arbitražna cena evropske kupovne ocije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos obeleži sa c(t, ), onda se jednačina (.3) može se zapisati u obliku c t(t, ) + (R q) c S(t, ) + 2 σ2 S 2 t c SS(t, ) = Rc(t, ). (.4) Za rešavanje parcijalne diferencijalne jednačine drugog reda paraboličkog tipa (.4) neophodno je uvesti finalne i granične uslove. Finalni uslov se dobija kada je t = T, dok su granični uslovi po drugoj promeljivoj, tj. posmatraju se slučajevi kada je = i kada. U slučaju kad je =, u nekom fiksiranom trenutku t, tada se iz (.9) može zakljuciti d =, pa sledi da je i σ =. Tada jednačina (.9) postaje d = (µ q) dt sa početnim uslovom S, čije je rešenje = S e (µ q)t. Iz predhodne jednačine može se zaključiti da ako je S =, onda je aktiva bezvredna i u svakom trenutku posle toga, tj. = za svako t. Finalni uslov je c T = c(t, S T ) = max(s T E, ), (.5) dok je prvi granični uslov c(t, ) =, (.6)

13 Uvodni pojmovi i rezultati 3 i imajući u vidu donje i gornje granice cene evropske kupovne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos q drugi granični uslov je max( e q(t t) Ee R(T t), ) < c t < e q(t t), c(t, ) e q(t t) Ee R(T t). (.7) Uvodjenjem smene c(t, ) = e q(t t) c (t, ), i zamenom odgovarajućih parcijalnih izvoda c t = qe q(t t) c + e q(t t) (c ) t, c S = e q(t t) (c ) S, c SS = (c S) S = e q(t t) (c ) SS, jednačina (.4) se svodi na Black-Scholesovu parcijalnu diferencijalnu jednačinu (c ) t + (R q) (c ) S + 2 σ2 S 2 t (c ) SS = (R q)c, (.8) čiji finalni i prvi granični uslov ostaju isti kao i kod predhodne jednačine, dok je drugi granični uglov c (t, ) Ee (R q)(t t). Da bi se jednačina (.8) svela na jednačinu istog tipa, ali sa konstantnim koeficijentima uvodi se seledeća smena promenljivih: = Ee x, t = T τ 2 σ2, c (t, ) = Eυ(τ, x). (.9) Kako je τ = 2 σ2 (T t) i x = ln, to su parcijalni izvodi jednaki E (c ) t = Eυ τ τ t = E σ2 2 υ τ, (c ) S = Eυ x x S = E υ x, (c ) SS = = E S 2 t odakle (.8) postaje ( ) E υ x = E υ S St 2 x + E (υ S x) S = E υ t St 2 x + E υ S xxx S t (υ xx υ x), Eσ2 2 υ τ + Eσ2 2 (υ xx υ x) + (R q)eυ x = (R q)eυ.

14 Uvodni pojmovi i rezultati 4 Ako se poslednja jednakost podeli sa E i uvede smena k = 2(R q), dobija se parcijalna diferencijalna jednačina paraboličkog tipa sa konstantnim koeficijentima υ τ = υ xx + (k )υ x kυ. (.2) Finalni uslov se dobija za t = T, pa je na osnovu (.9) τ = i υ(, x) = max( c T E, ), odnosno υ(, x) = max(e x, ). Uvodi se smena υ(τ, x) = e ατ+βx u(τ, x), gde konstante α i β treba odrediti tako da se dobije jednostavnija parcijalna diferencijalna jednačina. Pri tom, parcijalni izvodi koji se javljaju u jednačini (.2) jednaki su υ τ = e ατ+βx (αu + u τ), tako da ona postaje υ x = e ατ+βx (βu + u x), υ xx = e ατ+βx (β 2 u + 2βu x + u xx), αu + u τ = β 2 u + 2βu x + u xx + (k )(βu + u x) ku. Konstante α i β se biraju tako da koeficijenti uz u i u x budu jednaki nuli. Dakle, α = β 2 + (k )β k, = 2β + k, σ 2 odnosno α = 4 (k + )2, β = (k ). 2 Tada je υ(τ, x) = e 4 (k+)2 τ 2 (k )x u(τ, x), a jednačina (.2) postaje jednačina provodjenja toplote sa finalnim uslovom u τ = u xx, τ >, < x <, (.2) u(, x) = u (x) = max Rešenje difuzione jednačine (.2) je u(τ, x) = 2 πτ ( ) e 2 (k+)x e 2 (k )x,. (.22) u (s)e (x s)2 4τ ds,

15 Uvodni pojmovi i rezultati 5 gde je u (x) dato sa (.22). Uvodjenjem smene y = s x 2τ i kako je u (s) = u (x + y 2τ) > za y > x, poslednji integral je oblika 2τ Smenom z = y integralu, dobija se pri čemu je dok je u(τ, x) = 2π u (x + y 2τ)e y 2 2 dy x 2τ = 2π e 2 (k+)x 2π e 2 (k )x e 2 (k+)y 2τ y 2 2 dy x 2τ = 2π e 4 (k+)2 τ+ 2 (k+)x e 2 (k )y 2τ y 2 2 dy x 2τ e x 2τ 2π e 4 (k )2 τ+ 2 (k )x e x 2τ (y τ 2 2 (k+))2 dy (y τ 2 2 (k ))2 dy. τ τ (k + ) u prvom, odnosno z = y 2 (k ) u drugom 2 u(τ, x) = e 4 (k+)2 τ+ 2 (k+)x N(d ) e 4 (k )2 τ+ 2 (k )x N(d 2 ), d = x τ + (k + ) 2τ 2, d 2 = x τ + (k ) 2τ 2, N(d) = 2π d e s2 2 ds funkcija raspodele slučajne promenljive koja ima normalnu normiranu raspodelu. Dakle, υ(τ, x) = e x N(d ) e kτ N(d 2 ). Imajući u vidu smenu promenljivih (.9) gde je dobija se gde su υ(τ, x) = c (t, ) E, ex = E τ = 2 σ2 (T t), c (t, ) = N(d ) Ee (R q)(t t) N(d 2 ), d = x τ x + τ(k + ) + (k + ) = = 2τ 2 2τ ln E + (R q + 2 σ2 )(T t) σ, T t

16 Uvodni pojmovi i rezultati 6 d 2 = Očigledno da je x τ x + τ(k ) + (k ) = = 2τ 2 2τ d 2 = d σ T t. ln E + (R q 2 σ2 )(T t) σ. T t Kako je c(t, ) = e q(t t) c (t, ), to je vrednost evropske kupovne opcije na aktivu koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos jednaka c(t, ) = e q(t t) N(d ) Ee R(T t) N(d 2 ). (.23) Kako se posmatra investitor koji zauzima kratku poziciju u evropskoj kupovnoj opciji na aktivu koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos pod pretpostavkom o bezarbitražnosti tržišta, potrebno je odrediti broj pozicija u aktivi koje će investitora štititi od rizika. Zaista, Iz činjenice da je kao i da je dobija se t = c S = e q(t t) N(d ) + e q(t t) N S(d ) Ee R(T t) N S(d 2 ). t = e q(t t) N(d ) + Može se pokazati da je N S(d ) = N (d ) d S, N S(d 2 ) = N (d 2 ) d 2 S d S = d 2 S = σ T t, ( ) e q(t t) N (d ) Ee R(T t) N (d 2 ) σ T t. e q(t t) N (d ) Ee R(T t) N (d 2 ) =, pa iz predhodne jednakosti sledi da je broj pozicija u aktivi koje investitora štite od rizika jednak t = e q(t t) N(d ). Rešavanje Black-Scholesove jednačine za evropske prodajne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos Ako se arbitražna cena evropske prodajne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan prinos označi sa p(t, ), jednačina (.3) se može napisati u sledećem obliku p t(t, ) + (R q) p S(t, ) + 2 σ2 S 2 t p SS(t, ) = Rp(t, ). (.24)

17 Uvodni pojmovi i rezultati 7 Za rešavanje Black-Scholesove parcijalne diferencijalne jednačine (.24) neophodno je uvesti finalne i granične uslove. Finalni uslov je dok je prvi granični uslov p(t, S T ) = p T = max(e S T, ), p(t, ) = Ee R(T t), i imajući u vidu donje i gornje granice evropske prodajne opcije čija aktiva obezbedjuje konstantan neprekidan prinos drugi granični uslov je max(ee R(T t) e q(t t), ) < p(t, ) < Ee R(T t), p(t, ), kada. Medjutim, kako je već dobijena Black-Scholesova formula za odredjivanje arbitražne cene evropske kupovne opcije, primenom prodajno-kupovnog pariteta e q(t t) + p(t, ) c(t, ) = Ee R(T t), može se dobiti Black-Scholesova formula za odredjivanje arbitražne cene evropske prodajne opcije. Zaista, odnosno p(t, ) = Ee R(T t) e q(t t) + c(t, ), p(t, ) = Ee R(T t) ( N(d )) e q(t t) ( N(d 2 )). Kako je N( d i ) = N(d i ), za i =, 2 to je p(t, ) = Ee R(T t) N( d ) e q(t t) N( d 2 ). Broj pozicija u aktivi koje investitora štite od rizika se može dobiti na osnovu kupovno-prodajnog pariteta t = p S = c S e q(t t) = e q(t t) (N(d ) ). Kako je N(d ) iz [,), to je i N(d ) iz (-,], pa je t. Dakle, da bi se prodavac evropske prodajne opcije zaštitio od rizika neophodno je prodati t jedinica aktive.

18 Glava 2 VIX indeks i vrste volatilnosti U ovoj glavi, tačnije u Poglavlju 2. biće razmatran pojam VIX indeksa, njegov istorijski razvoj, kao i osnovna motivacija za njegov nastanak, dok su u Poglavlju 2.2 definisane vrste volatilnosti, a medju njima i implicitna volatilnost koja predstavlja osnovu za izračunavanje VIX indeksa. 2. Nastanak i razvoj VIX-a Cena aktive se menja u vremenu na slučajan način. Što je veća volatilnost, to su češći skokovi na grafiku funkcije cena aktive u zavisnosti od vremena. To utiče na raspodelu cena na datum dospeća, a tako i na očekivanu zaradu. Grubo govoreći, volatilnost cene aktive je mera nesigurnosti u buduće kretanje cene aktive. Kada volatilnost raste, rastu i šanse da će se cena aktive znatno promeniti naviše ili naniže. Posle globalnog pada berze 987. bilo je potrebno stabilizovati berzu i zaštititi investitore. Kada se cena aktive značajno menjala, javilo se privremeno obustavljanje trgovine, pa je u tom slučaju bilo potrebno smanjiti volatilnost tržišta kako bi se povratilo poverenje investitora na berzi. The New York Stock Exchange (NYSE), Njujorška berza je 99. godine predstavila mehanizam prekidača kola (Circuitbreakers). Medjutim zbog uvodjenja prekidača kola, postalo je veoma važno kako se meri volatilnost na finansijskom tržištu i postepeno se javila potreba da modeli za ocenu volatilnosti zadovolje odredjene kriterijume. Ubrzo nakon što je Njujorška berza uvela mahanizam prekidača kola da bi rešila problem prekomerne volatilnosti na tržištu, the Chicago Board Options Exchange (CBOE), Čikaška berza je počela da istražuje indekse volatilnosti. Kada su, u aprilu 973. godine počele transakcije sa opcijama čija su aktiva akcije, na Čikaškaškoj berzi se javila ideja da se indeks volatilnosti tržišta odredi na osnovu cene opcija, a pokazaće očekivanje buduće volatilnosti na tržištu. Čikaška berza je 993. godine predstavila indeks volatilnosti koji je prvobitno bio dizajniran da meri tržišna očekivanja nestabilnosti za 3 dana na osnovu cena S&P opcija. Deset godina kasnije, tačnije 23. godine, CBOE je predstavila novi VIX indeks koji je odražavao novi način merenja očekivane volatilnosti, a koji se i dalje koristi od strane finansijskih teoretičara, menadžera rizika i tregovaca volatilnošću. Novi indeks volatilnosti zasnovan je na cenama S&P 5 indeksnih opcija. Što je veći indeks volatilnosti, to je veće očekivanje investitora o nestabilnosti 8

19 VIX indeks i vrste volatilnosti 9 na tržištu, dok suprotno, što je manji to je očekivanje o tržišnoj stabilnosti veće. Kako indeks (VIX) pokazuje očekivanja investitora o daljoj nestabilnosti cena često se naziva i pokazatelj raspoloženja investitora. Nakon deset godina razvoja i poboljšanja VIX indeks je polako prihvaćen na berzi. CBOE je predložila još nekoliko drugih indeksa volatilnosti uključujući: NASDAQ indeks kao osnovni indeks volatilnosti iz 2. godine, 23. godine VIX indeks baziran na S&P 5 indeksu, koji mnogo bolje oslikava trenutnu situaciju na berzi od indeksa S&P, CBOE DJIA indeks volatilnosti (VXD), CBOE Russell 2 indeks volatilnosti (RVX), 24. godine VIX indeks fjučersa (Volatility Index Futures) i iste godine drugi VIX indeks fjučersa (Variance Futures). VIX indeks počeo je da se primenjuje na Čikaškoj berzi, 26. godine, a 28. godine VIX indeks počinje da se koristi za procenu očekivane volatilnosti nekih artikala i stranih valuta. Pored SAD-a i ostale zemlje su kreirale indekse volatilnosti po ugledau na CBOE. U Indiji je lansiran VIX indeks u aprilu 28. godine od strane nacionalne berze (NCE). Metodologija izračunavanja njihovog VIX indeksa je ista kao i ona za indeks CBOE VIX. Hong Kong je takodje kreirao svoj indeks volatilnosti za finansijske proizvode i na taj način pomogao investitorima da se zaštite od prekomernih tržišnih kolebanja. 2.2 Vrste volatilnosti VIX indeks se dobija kao ponderisan prosek volatilnosti odredjenih S&P 5 opcija. Zbog toga je bitan pojam volatilnosti, vrste volatilnosti kao i koja volatilnost je najpogodnija i najpreciznija za odredjivanje VIX indeksa Realizovana i istorijska volatilnost Da bi se u praksi primenila većina finansijskih modela, neophodno je koristiti empirijske podatke za merenje stepena varijabilnosti cene aktive ili tržišnih indeksa koji se obično posmatraju u fiksiranim vremenskim intervalima (npr. svakog dana, svake nedelje ili meseca). Neka je: n+ - broj opservacija, S i - cena aktive na kraju vremenskog intervala, za i =,,..., n, τ - dužina vremenskog intervala izražena u godinama, i

20 VIX indeks i vrste volatilnosti 2 r i = ln S i S i za i =, 2, 3,, n, n, neprekidan obrt koji obeybedjuje aktiva u i-tom trenutku. Ocena standardne devijacije neprekidnog obrta hartije od vrednosti data je sa ŝ = n (r i r) n 2, i= gde je r = n n i= r i prosečan obrt hartije od vrednosti. Na osnovu (.4) standardna devijacija neprekidnog obrta hartije od vrednosti je σ τ, pa je ŝ ocena za σ τ, odnosno dobija se σ = ŝ. (2.) τ Volatilnost definisana sa (2.) naziva se istorijska volatilnost aktive za odredjeni vremenski interval τ. Realizovana volatilnost aktive u odredjenom vremenskom intervalu τ definisana je sa σ = s, τ gde je Kako je s = n n ri 2. i= n (r i r) 2 = i= = = n n ri 2 2r r i + nr 2 i= i= n ri 2 2nr 2 + nr 2 i= n ri 2 nr 2, i= stoga je σ 2 = σ 2 nr2 (n )τ. Poslednja jednakost daje vezu izmedju realizovane i istorijske volatilnosti, na osnovu koje vidimo da što je vremenski interval veći to su ove dve volatilnosti približno jednake. Važno pitanje kada se vrši ocena volatilnosti je da li vreme treba meriti u kalendarskim ili u trgovačkim danima. Istraživanje pokazuje da je volatilnost mnogo veća u toku trgovačkih dana nego u danima kada je tržište zatvoreno. Kao rezultat toga,

21 VIX indeks i vrste volatilnosti 2 kada se procenuje volatilnost iz istorijskih podataka praktičari imaju tendenciju da ignorišu dane kada je tržište zatvoreno. Godišnja volatilnost izračunava se na osnovi volatilnosti u trgovačkom danu i to na sledeći način Godišnja volatilnost = Volatilnost po trgovačkom danu 252, gde je 252 broj trgovačkih dana u godini. Realizovana i istorijska volatilnost mere promenljivost postojećih finansijskih podataka i u finansijskom kontekstu u mnogim slučajevima daju slične rezultate. Obe vrste volatilnosti se mogu koristiti kao pokazatelji budućih volatilnosti. Takodje je nekada važno pokušati prognozirati njihove buduće vrednosti Implicitna volatilnost Ako je iz Black-Scholesove formule (.8), gde cena opcije c zavisi od parametara, E, R, T, q i σ, potrebno izračunati volatilnost kao funkciju od c,, E, R, T i q, a da je pri tom za cenu opcije uzeta tržišna cena, dobija se implicitna volatilnost. Medjutim, ne postoji način da se implicitna volatilnost eksplicitno izrazi, pa se koriste odgovarajuće numeričke metode za njeno odredjivanje. Implicitna volatilnost služi da ukaže na to kolika je volatilnost odredjene aktive na tržištu. Investitori najčešće izračunavaju implicitnu volatilnost za opcije na odredjenu aktivu kojima se aktivno trguje, da bi zatim njihovom interpolacijom izračunali odgovarajuću volatilnost za cene opcija na istu aktivu kojima se manje trguje. Važno je naglasiti da su cene opcija koje su duboko na dobitku i duboko na gubitku relativno neosetljive na volatilnost. Zbog toga, implicitna volatilnost za takve opcije teži da bude nerealna. O oceni implicitne vrednosti biće više reči u Glavi Unutar-dnevna volatilnost Unutar-dnevna volatilnost predstavlja promenu cene akcije ili indeksa tokom odredjenog trgovačkog dana. Ona pokazuje promene na tržištu koje su najpreciznije i najlakše dostupne informacije o volatilnosti u toku trajanja trgovačkog dana. Često se greši kada se unutar-dnevna volatilnost izjednači sa implicitnom volatilnosti. Ove dve vrste volatilnosti nisu medjusobno zamenljive, ali u odredjenoj meri imaju poseban značaj u utvrdjivanju raspoloženja i očekivanju investitora na finansijskom tržištu.

22 Glava 3 Implicitna volatilnost Implicitna volatilnost predstavlja osnovu za izračunavanje indeksa volatilnosti (VIX). Odražava očekivanja investitora o budućim tržišnim cenama. Koncept odredjivanja implicitne volatilnosti je sličan principu odredjivanja prinosa do dospeća obveznice. Kako se tržišna cena obveznice menja, preko odgovarajuće kamatne stope, nominalne vrednosti obveznice i kuponske stope može se izračunati sadašnja vrednost obveznice i ona je jednaka njenoj tržišnoj ceni, te je prinos do dospeća obveznice implicitna stopa obrta obveznice. U procesu izračunavanja na osnovu modela vrednovanja obveznice, prinos do dospeća se može dobiti na osnovu tržišne cene, što je implicitni prinos do dospeća. Analogno, kao što je objašnjeno u Poglavlju 2.2.2, implicitna volatilnost se dobija na osnovu tržišne cene opcije. Medjutim, implicitna volatilnost koja predstavlja osnovu za odredjivanje VIX indeksa se dobija na osnovu odredjenog broja kupovnih i prodajnih opcija čija je aktiva S&P 5 indeks. U ovoj glavi je predstavljen model za ocenu implicitne volatilnosti koja se koristi u praksi ( za detalje videti [5]). 3. Ocena implicitne volatilnosti Neka stohastički proces S = {, t } opisuje evoluciju cene aktive opcije, koja obezbedjuje konstantan neprekidan prinos q. Kao sto je detaljno objašnjeno u Poglavlju.., kako stohastički proces S predstavlja geometrijsko Brownovo kretanje to važi (.), odnosno d = (µ q) dt + σdw t, tako da se primenom Itove formule za stohastičko diferenciranje dobija (.2) oblika ( ) d ln = mu q σ2 dt + σdw t, 2 odakle je d d ln = (µ q)dt + σdw t ) (µ q σ2 dt σdw t. 2 22

23 Implicitna volatilnost 23 Tada je σ 2 2 dt = d d ln, što se može predstaviti i u integralnom obliku T σ 2 T 2 dt = d T d ln, odnosno T 2 σ2 T = T 2 σ2 T = d (ln S T ln S ), d ln S T S. Kako je volatilnost aktive mera nesigurnosti obrta koji će ona obezbediti, iz (.8) se može zaključiti da je volatilnost aktive standardna devijacija obrta koji obezbedjuje aktiva u toku jedne godine, kada je stopa obrta neprekidna. Dakle, važi V = σ 2, (3.) gde je V disperzija obrta aktive. Sledi da je T 2 V T = d ln S T S, odakle je V = 2 T ÊV = 2 T Ê T T Kako je integralni oblik jednačine (.) dobija se T i smenom u (3.2) sledi da je d = Ê T T d d (µ q)dt + d 2 T ln S T S, 2 T Ê ln S T S. (3.2) T = (µ q) T σdw t, ÊV = 2 T (µ q) T 2 T Ê ln S T S. Cena aktive u trenutku T, data je formulom S T = S e X,

24 Implicitna volatilnost 24 gde je S cena aktive u početnom trenutku, a X = ) (µ q σ2 2 T + σw T slučajna ) T i ( promeljiva sa normalnom raspodelom čije je očekivanje ÊX = µ q σ2 2 disperzija DR = σ 2 T. Tada, na osnovu (.7), sledi da je tako da je ÊS T = S e (µ q) T, (µ q)t = ln ÊS T S. Na osnovu prethodnog rezultata vidi se da je Ê V = 2 T ln F S 2 T Ê ln S T S, (3.3) gde je F = Ê(S T ) forvardna cena ugovora sa datumom dospeća T. Razmatra se St E max(e S 2 T, )de, gde je cena aktive u trenutku t, za fiksirano t iz [,T], E ugovorena cena prodajne opcije, a max(e S T, ) njena naplata.. Ako je S T >, tada je St 2. Ako je S T <, tada je St E 2 max(e S T, )de =. St E max(e S 2 T, )de = S T E (E S 2 T )de = ln S T + S T. Analogno, ako je E ugovorena cena kupovne opcije, potrebno je izračunati + E max(s 2 T E, )de, gde je max(s T E, ) naplata te opcije.. Ako je S T <, tada je + E 2 max(s T E, )de =.

25 Implicitna volatilnost Ako je S T >, tada je + ST E max(s 2 T E, )de = E (S 2 T E)dE Iz predhodnih rezultata dobija se = + S T ln S T + ln = ln S T + S T. St odnosno + E max(e S 2 T, )de + E max(s 2 T E, )de = ln + S T, S T ln S T = S T + St + E max(e S 2 T, )de + E max(s 2 T E, )de. (3.4) Prolaskom matematičkog očekivanja kroz (3.4) dolazi se do Ê ln S ( t =Ê S ) St T +Ê S T E 2 max(e S T, )de+ê + E 2 max(s T E, )de. Kako je p(e) = e RT Ê max(e S T, ), c(e) = e RT Ê max(s T E, ), gde su p(e) i c(e) cene prodajne, odnosno kupovne opcije, a R bezrizična kamatna stopa, dobija se Ê ln = F St + S T + E 2 er T p(e) de + E 2 er T c(e) de, (3.5) gde je, kao sto je poznato, F = Ê(S T ). Očigledno je da važi ln S T S = ln S T ln S = ln S T ln + ln ln S = ln S T + ln S,

26 Implicitna volatilnost 26 tako da je Ê ln S T S = Ê ln S T + Ê ln S Zamenom (3.6), a zatim (3.5) u (3.3), dobija se ÊV = 2 T ln F S 2 T Ê ln S T = 2 T ln F S 2 T S ( ln S + Ê ln S T = 2 T ln F S 2 T ln S 2 T Ê ln S T = 2 T ln F 2 S T ln + 2 S T Ê ln S T = 2 ( ln F ln S ) t + 2 ( F + T S S T = 2 T (ln F ln ) + 2 ( F + T = Ê ln S T + ln S. (3.6) ) St St E 2 er T p(e)de + E 2 er T p(e)de + odnosno, očekivana vrednost disperzije obrta aktive je ÊV = 2 T ln F 2 ( ) F + 2 ( St T T E 2 er T p(e)de+ + ) E 2 er T c(e)de ) + E 2 er T c(e)de + ) E 2 er T c(e)de. (3.7) Neka važi pretpostavka da su arbitražne cene n opcija sa ugovorenim cenama E i označene sa Q(E i ) za i =,..., n poznate, važi E < E 2 <... < E n < E n, sve imaju isti rok dospeća T i neka je prva ugovorena cena koja je manja od forvardne cene F. Tada se integral iz (3.7) može aproksimirati na sledeći način St + E 2 er T p(e) de + E 2 er T c(e) de n i= E i E 2 i e R T Q(E i ), (3.8), gde je Pri tome E i = E i+ E i za 2 i n, 2 E = E 2 E i E n = E n E n ako je E i < funkcija Q(E i ) je cena prodajne opcije sa ugovorenom cenom E i ; ako je E i > funkcija Q(E i ) je cena kupovne opcije sa ugovorenom cenom E i ; ako je E i = funkcija Q(E i ) je aritmetička sredina cena prodajne i kupovne opcije sa ugovorenom cenom E i.

27 Implicitna volatilnost 27 Pod arbitražnom cenom opcije Q(E i ) se podrazumeva sredina ponudjene i tražene cene te opcije. Iz (3.7), a na osnovu (3.8), dobija se odnosno ÊV = 2 T ln F 2 T ( ) F + 2 T T ÊV = 2 ln F ( ) F n i= n i= E i E 2 i E i E 2 i Maklorenov razvoj funkcije f(x) = ln( + x) dat je formulom e R T Q(E i ), ln( + x) = x x2 2 + x3 xn ( )n 3 n + o(xn ). Tada je Maklorenov polinom drugog stepena funkcije ln N ln N = (N ) 2 (N )2 + o((n ) 2 ), e R T Q(E i ). (3.9) tako da je ln F = F ( ) ( 2 (F ) ) 2 F + o. 2 Dakle, funkcija ln F se može aproksimirati na sledeći način ln F F ( ) 2 F, 2 odnosno tako da (3.9) postaje ln F ( ) F ( ) 2 F, 2 Na osnovu (3.) dobija se ( ) 2 T ÊV F + 2 n i= E i E 2 i e R T Q(E i ). (3.) σ 2 = T ( ) 2 F + 2 T n i= E i E 2 i e R T Q(E i ). (3.)

28 Glava 4 Izračunavanje VIX-a Čikaška berza (CBOE - Chicago Board Options Exchange) je 22. septembra 23. godine uvela novi VIX indeks volatilnosti, čije su osnove za izračunavanje indeksne opcije S&P 5. Uz mnoga poboljšanja u samom načinu izračunavanja, indeks je danas dosta bliži trenutnoj situaciji na tržištu. Izračunavanja VIX indeksa vrše se na osnovu cena opcija, pri čemu cena svake opcije pokazuje očekivanje tržišta o budućoj volatilnosti. VIX izračunavanje koristi odredjena pravila za odabir opcija i formulu za izračunavanje volatilnosti. Formula koja se koristi u VIX izračunavanju je gde je σ 2 = T V IX = σ, (4.) ( ) 2 F + 2 E T n i= pri čemu se u formuli javljaju sledeći parametri: T - datum dospeća opcije, E i E 2 i e R T Q(E i ), F - forvardna vrednost indeksa dobijena na osnovu cene indeksne opcije, E - prva ugovorena cena ispod forvardne vrednosti indeksa F, E i - ugovorena cena i-te opcije na gubitku (out-of the-money option), i to: kupovne opcije ako je E i > E, prodajne ako je E i < E i obe, prodajne i kupovne ako je E i = E, E i - polovina razlike ugovorenih cena E i i E i+, odnosno R - bezrizicna kamatna stopa i E i = E i+ E i, 2 i n 2 E = E 2 E i E n = E n E n, Q(E i ) - cena kupovne, odnosno prodajne opcije sa ugovorenom cenom E i. 28

29 Izračunavanje VIX-a Parametri za izračunavanje VIX-a VIX meri očekivanu volatilnost indeksa S&P 5 za 3 dana. Komponente potrebne za izračunavanje VIX indeksa su kupovne i prodajne, next-term i near-term opcije. Pri tom su near-term opcije čiji je rok dospeća kraći do 3 dana, dok je kod next-term duži od 3 dana. 4.. Parametar T Datum dospeća opcija izraženo u kalendarskim danima, računa se na sledeći način: T = broj minuta od dana sklapanja ugovora do 8:3h na datum dospeća opcija broj minuta u godini Primer. Neka je 3. oktobar 27. godine dan emitovanja opcija. Posmatraju se near-term i next-term opcija koje imaju dana i 46 dana do datuma dospeća (near-term opcija ima datum dospeća. novembra 27. gdine, a next-term 6. decembra 27.) Datum dospeća near-term i next-term opcije, T i T 2 respektivno, dat je sa 24 6 T = =.33699, 4..2 Parametar R T 2 = = Bezrizična kamatna stopa R je prinos koji odgovara prinosu obveznica Treasury bill (T-bill). Kao takva može se koristiti za izračunavanje VIX indeksa near-term i next-term opcija. Na osnovu prodajno-kupovnog pariteta datog sa dobija se da je + p t c t = Ee R(T t), R = ( T t ln E + p t c t ), (4.2) gde je E ugovorena cena opcija, spot vrednost S&P 5 indeksa, p t i c t cene prodajne odnosno kupovne S&P 5 opcije u trenutku t. Primer. (Nastavak) Neka je danas 8. novembar 27. godine i neka su T i T 2 datumi dospeća opcija datih u Primeru, dok su njihove ugovorene cene 33, a vrednost indeksa je 332,63. Cene prodajne, odnosno kupovne opcije čiji je datum dospeća T su redom.3 i.5, dok za opcije čiji je datum dospeća T 2 cene kupovne, odnosno prodajne opcije su 27.2 i 25.7 respektivno. Rok dospeća near-term opcije

30 Izračunavanje VIX-a 3 je 8 dana, a next-term opcije 33 dana. Tada je R = 8/252 ln = , R 2 = 33/252 ln = , tako da je bezrizična kamatna stopa R = R + R 2 2 = Near-term opcije Ugovorena cena Kupovna Prodajna Ponuda Potražnja Ponuda Potražnja Apsolutna razlika Tabela 4.: Near-term opcije

31 Izračunavanje VIX-a 3 Next-term opcije Ugovorena cena Kupovna Prodajna Ponuda Potražnja Ponuda Potražnja Apsolutna razlika Parametar F Tabela 4.2: Next-term opcije Za izračunavanje parametra F koristiti se sledeća formula: F = ugovorena cena + e RT (cena kupovne opcije - cena prodajne opcije), (4.3) gde se pod cena kupovne - prodajna cena podrazumeva najmanja apsolutna razlika izmedju cene kupovne i prodajne opcije sa istom ugovorenom cenom koja je u formuli označena sa ugovorena cena. Cena kupovne, odnosno prodajne opcije jednaka je proseku cene ponude i cene potražnje kupovne, odnosno prodajne opcije. Primer. (Nastavak) Na osnovu Tabele 4. vidi se da je. najmanja prikazana apsolutna razlika near-term opcija i ona odgovara ugovorenoj ceni 33. Tada je

32 Izračunavanje VIX-a 32 vrednost parametra F za near-term opcije jednaka ( F = 33 + e = 33 + e = 33.. ) Na osnovu Tabele 4.2 vidi se da je.2 najmanja apsolutna razlika prikazanih next-term opcija i ona odgovara ugovorenoj ceni 33. Tada je vrednost parametra F za next-term opcije jednaka ( F 2 = 33 + e = 33 + e = Parametri E i E i, i =,..., n ) Ako postoji N near-term i next-term opcija sa različitim ugovorenim cenama (uključujući N kupovnih i N prodajnih opcija, ukupno 2N), tada je prva ugovorena cena koja je manja od parametra F definisana sa E, dok je ostatak ugovorenih cena poredjanih od najmanje do najveće obeležen sa E, E 2,..., E N. Primer. (Nastavak) Kako je F = 33. i F 2 = 33.24, dobija se E, = 33 i E,2 = 33, gde su E, i E,2 prve ugovorene cene near-term, odnosno next-term opcije, koje su manje od F, odnosno F Izbor opcija Izračunavanje VIX indeksa se vrši na osnovu izabranih vrednosti near-term i next-term S&P 5 opcija. Izabrane opcije čine klasu kupovnih i prodajnih, nearterm i next-term opcija, u oznaci S. Sledeći primer pokazuje izbor odgovarajućih near-term opcija u klasu S.. Ako je E i < E, bira se prodajna opcija sa ugovorenom cenom E i. Zapravo, izbor za S počinje sa prvom ugovorenom cenom koja je manja od E i nastavlja se sa manjim ugovorenim cenama, istovremeno odbacujući svaku opciju čija je cena ponude jednaka. Ako se otkriju dve uzastopne ugovorene cene prodajnih opcija čije su cene ponude jednake nuli onda se sve opcije sa manjim ugovorenim cenama ne uzimaju u razmatranje. Tačnije, izbor opcija u klasu S prestaje kada se otkriju dve uzastopne ugovorene cene prodajnih opcija čija je cena ponude jednaka. Napomena. Na osnovu Tabele 4.3 vidi se da prodajne opcije sa ugovorenim cenama i 995 nisu uključene u klasu S bez obzira na to što im je cena ponude različita od.

33 Izračunavanje VIX-a 33 Near-term opcije Ugovorena cena Prodajna opcija Ponuda Potražnja Odabir opcija u S 99.5 Ne razmatra se Ne razmatra se.5.5 Ne razmatra se 5.5 Ne razmatra se.5 Ne 5. Ne 2.5. Da Da Da Da 4.5. Da Da Da Da Da Tabela 4.3: Odabir near-term prodajnih opcija 2. Ako je E i > E, bira se kupovna opcija sa ugovorenom cenom E i. Odabir kupovnih opcija je isti kako i u predhodnom slučaju, jedna razlika je u tome što se počinje sa kupovnom opcijom čija je ugovorena cena odmah iznad E i nastavlja se sa opcijama čije su ugovorene cene veće, a istovremeno se odbacuje svaka opcija čija je cena ponude jednaka. Ako se otkriju dve uzastopne ugovorene cene kupovnih opcija čije su cene ponude jednake nuli onda se sve one kupovne opcije sa većim ugovorenim cenama ne uzimaju u razmatranje, tačnije ne ulaze u klasu S. Napomena 2. Na osnovu Tabele 4.4 vidi se da kupovne opcije sa ugovorenim cenama 45 i 455 nisu uzete u razmatranje, tačnije ne nalaze se u klasu S i pored toga što je njihova cena ponude različita od nule. 3. Ako je E i = E onda se u klasu S bira i prodajna i kupovna opcija sa ugovorenom cenom E. Iz gore navedenog procesa vidi se da ako je E i < E bira se prodajna opcija sa ugovorenom cenom E i, kada je E i > E bira se kupovna opcija sa ugovorenom cenom E i, a u slučaju E i = E biraju se i kupovna i prodajna opcija.

34 Izračunavanje VIX-a 34 Near-term opcije Ugovorena cena Kupovna opcija Ponuda Potražnja Odabir opcija u S Da Da 4.5. Da Da Da 425. Ne Da 435. Ne 44. Ne 445. Ne razmatra se Ne razmatra se Ne razmatra se 46. Ne razmatra se Tabela 4.4: Odabir near-term kupovnih opcija 4..6 Parametri E i, i =,..., n Ako je E i ugovorena cena opcije iz klase S, tada je E i = E i+ E i 2 za i = 2, 3,..., n. Napomena 3. Ako je E d najmanja ugovorena cena svih opcija izabranih u klasu S, tada je E d = E d+ E d. Ako je E u najveća ugovorena cena svih opcija izabranih u klasu S, tada je E u = E u E u. Primer. (Nastavak) Iz Tabele 4.3 vidi se da je najmanja ugovorena cena izabrana u klasu S, 2, dok je sledeća cena u S, 25. Tada je E 2 = 25 2 = 5. Isto tako, najveća cena izabrana u klasu S, na osnovu Tebele 4.4 je 43, dok je cena koja joj predhodi 42. Tada je E 43 = =.

35 Izračunavanje VIX-a Parametri Q(E i ), i =,..., n Vrednost Q(E i ) se dobija kao aritmetička sredina cene ponude i cene potražnje razmatrane opcije sa ugovorenom cenom E i, tj. Q(E i ) = cena ponude + cena potražnje, i =,, n. 2 Near-term opcije Ugovorena cena Vrsta opcije Cena ponude Cena potražnje Q(E i ) prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna/kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna Tabela 4.5: Vrednost Q(E i ) near-term opcija

36 Izračunavanje VIX-a 36 Next-term opcije Ugovorena cena Vrsta opcije Cena ponude Cena potražnje Q(E i ) prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna prodajna , prodajna/kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna kupovna Tabela 4.6: Vrednost Q(E i ) next-term opcija Napomena 4. Kao što je već naglašeno vrednost Q(E i ) je aritemtička sredina cene ponude i potražnje opcije sa ugovoreneom cenom E i. Medjutim, kada je E i = E biraju se i prodajna i kupovna opcija, pa je u tom slučaju Q(E i ) aritmetička sredina Q(E ) kupovne i Q(E ) prodajne opcije.

37 Izračunavanje VIX-a Izračunavanje volatilnosti near-term i next-term opcija Na osnovu formule (3.) dobija se disperzija za near-term i next-term opcije sa rokovima dospeća T i T 2, respektivno. σ 2 = ( ) 2 F + 2 T E, T σ2 2 = ( ) 2 F2 + 2 T 2 E,2 T 2 n i= n i= E i E 2 i E i E 2 i e R T Q(E i ), e R T 2 Q(E i ). Najpre, na osnovu E i e R T Q(E i ) dobija se doprinos near-term, odnosno nextterm opcija. E 2 i Primer. (Nastavak) Doprinos near-term prodajne opcije čija je ugovorena cena 2 dat je sa E 2 E 2 2 e RT Q(2) = e( ).75 = Doprinos next-term kupovne opcije čija je ugovorena cena 45 dat ja sa E 45 E 2 45 e RT 2 Q(45) = e( ).325 = Sličan obračun se vrši za svaku opciju, pa na osnovu toga dobijaju se Tabele 4.7 i 4.8. Nakon toga izračunava se vrednost ( ) 2 F za near-term, odnosno next-term T E opcije T T 2 ( ) 2 F = E, ( ) 2 F2 = E,2 ( ) =.2274, ( ) = Na osnovu (3.) i vrednosti koje se dobijaju predhodnim izračunavanjem sledi da

38 Izračunavanje VIX-a 38 Near-term opcije Ugovorena cena Vrsta opcije Q(E i ) Doprinos 22 prodajna e prodajna e-7 23 prodajna e prodajna e-7 24 prodajna e prodajna e-5 35 prodajna e-5 32 prodajna e prodajna e-5 33 sredina e-5 35 kupovna e-5 34 kupovna e kupovna e-5 35 kupovna e kupovna e-6 36 kupovna e kupovna e-6 37 kupovna e kupovna e kupovna e-7 4 kupovna e-7 45 kupovna e-7 42 kupovna e-7 43 kupovna e-7 je Tabela 4.7: Vrednosti doprinosa near-term opcija σ 2 = ( ) 2 F + 2 T E, T n i= = =.2243, E i E 2 i e R T Q(E i )

39 Izračunavanje VIX-a 39 Next-term opcije Ugovorena cena Vrsta opcije Q(E i ) Doprinos 88 prodajna e-6 88 prodajna e-6 9 prodajna e-6 95 prodajna e-7 9 prodajna e prodajna e-5 35 prodajna e-5 32 prodajna e prodajna e-5 33 sredina e kupovna e-5 34 kupovna e kupovna e-5 35 kupovna e kupovna e-5 36 kupovna e kupovna e-5 37 kupovna e kupovna e kupovna e kupovna e-6 44 kupovna e kupovna e-7 45 kupovna e-7 Tabela 4.8: Vrednosti doprinosa next-term opcija σ2 2 = ( ) 2 F2 + 2 T 2 E,2 T 2 n i= = = E i E 2 i e R T 2 Q(E i )

40 Izračunavanje VIX-a Izračunavanje 3-dnevnog ponderisanog proseka za σ i σ 2 VIX indeks se dobija kao kvadratni koren 3-dnevnog ponderisanog proseka vrednosti σ i σ 2 pomnožen sa, odnosno gde je V IX = ( ) N T2 N 3 T σ 2 N 3 N T + T 2 σ 2 N365 2, N T2 N T N T2 N T N 3 N T N T2 - broj minuta do isteka near-term opcije, - broj minuta do isteka next-term opcije, N 3 - broj minuta u 3 dana ( = 432), N broj minuta u 365 dana ( = 5256). Konačno se dobija vrednost indeksa VIX ( ) V IX = , odnosno V IX =.6944 = Vrednosti VIX indeksa ispod 2, upućuje na nisku vrednost na tržištu i očekuje se da S&P 5 indeks bude u opsegu ±6.94% tokom jedne godine.

41 Glava 5 Kako investitori koriste VIX Prvobitna potreba za VIX indeksom javila se zbog toga što on odražava očekivanje investitora o budućem stanju na tržištu. Medjutim, dubljim analizama ustanovljeno je da VIX ima širok spektar primene. Nakon dugogodišnjeg empirijskog testiranja, otkriveno je da VIX indeks ima negativnu korelaciju sa cenom akcije. Tačnije, implicitna volatilnost se povećava kada je tržište nestabilno i dolazi do naglih promena u cenama akcija. Nasuprot tome, ako je cena akcije konstantna ili postepeno raste, tada VIX indeks opada. Primer 2. Vrednost VIX indeksa se od 2. oktobra do 4. novembra 26. godine povećao sa 25.% na 26.39%, dok se vrednost indeksa S&P 5 smanjila sa 5, 65% na 47, 68% (videti Sliku 5.). Slika 5.: VIX i S&P 5 indeks Ako cena akcije naglo opada, obično će VIX nastaviti da raste, odnosno raste očekivanje investitora o budućoj nestabilnosti na tržištu. Kada VIX indeks dostigne visoku vrednost, investitor zbog povećanja panike kupuje veliki broj prodajnih opcija bez prethodnog razmatranja čime vrši ogroman uticaj na tržišni pad. Nasuprot tome, kada S&P 5 indeks raste, tada VIX opada što dovodi do pojave optimizma 4

42 Kako investitori koriste VIX 42 kod investitora i ne vrše nikakve aktivnosti na tržištu, pa u tom slučaju cena akcije opada. 5. Pojava proizvoda vezanih za VIX Negativna korelacija VIX indeksa u odnosu na cenu akcije je navela investitore na razmišljanje da se VIX indeks može koristiti za zaštitu portfolija od rizika. Kako nije moguće direktno investirati u VIX tako se javila potreba za pojavu proizvoda koji se odnose na VIX indeks. CBOE je 24. godine emitovala prvi VIX fjučersni ugovor (VIX futures contracts), a dve godine kasnije, lansiran je VIX opcijski ugovor (VIX index options contracts), najuspešniji novi proizvod u istoriji CBOE. Za samo deset godina od pojave, trgovinske aktivnosti u VIX fjučersima i opcijama porasle su na preko 8. ugovora dnevno. Fjučersi i opcije predstavljaju moćno sredstvo za zaštitu od rizika i omogućuju stabilne prinose investitorima. Medjutim, svaki od ovih proizvoda vezanih za VIX funkcioniše drugačije i privlači investitore iz različitih razloga. Ono što ih povezuje je to što kada tržište kapitala pada, VIX raste, što podstče odgovarajuću, mada ne i identičnu promenu vrednosti proizvoda povezanih sa VIX indeksom. 5.2 Kako investitori koriste VIX Investitori koriste VIX indeks za diversifikaciju svog portfolija, pokušavajući da se zaštite od rizika. Tačnije, oni će mali procenat svog kapitala uložiti u proizvode koji se odnose na VIX, nadajući se da će nadoknaditi gubitke u svom investicionom portfoliju. VIX ima tendenciju da drastično raste kada tržište značajno pada. Na primer, ako bi vlasnički kapital izgubio 5% svoje vrednosti, moglo bi se očekivati da će se VIX povećati za nekoliko stotina posto. Ova karakteristika drastično utiče, ne na gubitak kapitala, već na povećanje kapitala, tj. investicije u proizvode vezane za VIX mogu pružiti veću zaštitu kada je to najpotrebnije. Kada investitori predvidjaju da će se cene akcija povećati, onda zbog negativne korelacije sa njima, VIX pada, pa investitori teže da prodaju proizvode vezane za VIX. U suprotnom, ako cene akcija padaju, biće veće interesovanje za proizvode vezane za VIX. Investitori takodje mogu tražiti mogućnost arbitraže 2 koja proizilazi iz pogrešnog korišćenja proizvoda vezanih za VIX. Na primer, investitori mogu prodati pojedinačne opcije i zauzimati suprotnu poziciju u proizvodima vezanih za VIX. Takodje mogu zauzimati suprotne pozicije u VIX opcijama ili fjučersima sa različitim rokovima dospeća. U nekim slučajevima, premije VIX opcije mogu biti veće ili niže od realizovane volatilnosti, a korišćenje ove razlike može proizvesti profit. diversifikacija - investiranje u različite vrste hartija od vrednosti kako bi se preraspodelio rizik i time smanjio gubitak. 2 arbitraža - ostvarivanje profita bez ulaganja sopstvenih sredstava.

43 Kako investitori koriste VIX Istorijska kretanja VIX-a VIX indeks se na početku svog postojanja, odnosno početkom devedesetih godina, kretao ispod 25%. Nakon 998. godine i pojavom globalne finansijske krize, koja se nastavila i u periodu godine, vrednost VIX indeksa se povećava tako da je tokom ovog perioda uglavnom bio iznad 25%. Medjutim, VIX je brzo nakon svog nastanka i sloma berze u oktobru 987. dostigao rekordnu vrednost od 73%. Inače, VIX je bio iznad proseka, u vreme kada je izbio rat izmedju Iraka i Kuvajta 99. godine, a zatim, u oktobru 997. godine, kada je Dow Jones indeks izgubio 555 bodova. Tokom ovog perioda VIX je dostigao vrednost od 55,5%. U jesen 998. godine, uticaj globalne finansijske krize prouzrokovao je slabljenja američkog indeksa, što je doprinelo da vrednost VIX indeksa iznosi preko 65%. VIX je do 23. godine premašio vrednost od 4% četiri puta, i to u aprilu 2. godine, tokom rasprodaje tehnoloških akcija, zatim u aprilu naredne godine, tj. 2. godine, nakon naglog dvomesečnog pada indeksa S&P, zatim u septembru 2. godine u vreme terorističkog napada na World Trade Center (VIX iznosio 57,3%) i u julu 22. godine, kada je kompanija WorldCom (i kompanije Eron) priznala računovodstvene prevare, što je dovelo do naglog pada cena akcija. VIX indeks je skočio 23. godine tokom invazije na Irak i naravno tokom poslednje globalne finansijske krize i zbog propa banke Lehman Brothers (2.8.29), kada je dostigao istorijski rekord sa vrednošću iznad 8%, (videti Sliku 5.2). Slika 5.2: Istorijsko kretanje VIX indeksa