БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!, где је!( )! АРИТМЕТИЧКИ НИЗ Шт треба знати пре почетка решавања задатака? II Дефиниција: Низ код кога је разлика два суседна члана увек иста, зове се аритметички низ Другим речима, то је низ код кога следећи члан добијамо када претходном члану додамо фиксни број, која се зове разлика Низ је одређен када знамо први члан и разлику d Члан низа на месту има вредност ( ) d Средњи члан низа једнак је аритметичкој средини суседна два, или аритметичкој средини два члана који су једнако удаљени од њега на леву и десну страну p p или Збир првих чланова низа је S ( ) или S ( ( ) d )
ГЕОМЕТРИЈСКИ НИЗ Шт треба знати пре почетка решавања задатака? III Дефиниција: Низ код кога је количник два суседна члана увек исти, зове се геометријски низ Другим речима, то је низ код кога следећи члан добијамо када претходни помножимо фиксним бројем, који се зове количник Низ је одређен када знамо први члан и количник Члан низа на месту има вредност Средњи члан низа једнак је геометријској средини суседна два, или геометријској средини два члана који су једнако удаљени од њега на леву и десну страну или p p Збир првих чланова низа је S Када је низ бесконачан, тада и у случају да је <, тада ће члан 0 и збир бесконачног геометријског низа је S
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Написати развој бинома: а) ( ), б) а) ( ) Видимо да треба да развијемо бином по биномној формули Нема других непознаница осим примене биномне формуле ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )!!!!!!!!!!!!!!!!! 0 00 0 000 00 0 б) Видимо да треба да развијемо бином по биномној формули Нема других непознаница осим примене биномне формуле ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 0 0 Користећи биномну формулу, израчунати: а) ( ) i, б) ( ) ( ) i i Наћи пети члан у развоју бинома ( ) 0 Наћи средњи члан у развоју бинома
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Одредити х тако да четврти члан у развоју бинома буде једнак - 9 Израчунати: а) 0 0 б) ( ) 7 7 Наћи рационалне чланове у развоју бинома ( ) 7 ( ) и одредити који су пo реду да би чланови били рационални, њихов степен треба да буде цео број Да би то нашли, треба применити формулу за општи члан развоја бинома T, средити израз и поставити услов да у експоненту буде цео број 7 7 Општи члан је Да би члан припадао скупу рационалних бројева потребно је да експоненти степена буду цели бројеви Значи за 0 треба да разломци и буду цели бројеви за исто Што се тиче првог чиниоца, кандидати могу 7 бити,9,,9,, а што се тиче другог, може бити 0,, Када се упореде ове вредности, добије се Значи рационалан је петаести члан 0 7 7 9 Трећи члан у развоју бинома ( ) другом члану у развоју бинома ( ) 0 не садржи х За које вредности х je тај члан једнак 9 Наћи члан у развоју бинома једнак који садржи ако је збир коефицијената тог развоја биномни коефицијент четвртог члана односи се према биномном коефицијенту другог члана као : Израчунати тако да четврти члан буде 0 пута већи од 0 У развоју бинома ( ) Наћи све рационалне чланове у развоју бинома
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Одредити х, тако да трећи члан у развоју бинома буде једнак 0 Одредити тако да однос седмог члана од почетка и седмог члана од краја у развоју бинома буде : Знамо да је општи члан развоја бинома T Седми члан од почетка је за, а седми члан од краја је за Направимо однос тих чланова и тако добијемо једначину из које израчунамо Седми члан од почетка и од краја су: : : ( ) ( ) :!!! :!!! : : ( ) ( ) ( ) 9 Израчунати ако је шести члан у развоју бинома log 0 једнак 00 За које вредности х у развоју бинома, збир трећег и петог члана je, збир биномних коефицијената последња три члана je Члан развоја 0 који не садржи је: А) Б) 0 В) 90 Г) Д) одговор није понуђен Н) не знам 7 Коефицијент уз степена бинома је : А) Б) 9 В) Г) Д) одговор није понуђен Н) не знам
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Наћи четрнаести члан аритметичког низа -, -, -0, Видимо да је реч о аритметичком низу и знамо да је општи члан низа ( ) d Овде је дат први, други и терћи члан низа Можемо одредити и и d, а тиме цео низ Општи члан низа је ( ) d d ( ) ( ) ( ) У овом случају, а Одавде је 9 Колико чланова аритметичког низа, чији је први члан 7, а разлика, треба сабрати да би се добио збир једнак? 0 Четврти члан аритметичког низа је 7, дванаести Израчунати девети члан тог низа и збир првих 0 чланова тог низа Израчунати збир првих тридесет непарних бројева који подељени бројем дају остатак Решити једначину по : 0 7 Наћи аритметички низ ( ) чланова низа за који је: S S, S 7, где је S сума првих Збир прва три члана аритметичког низа је, а збир њихових квадрата је Који су то бројеви? Видимо две једначине у којима су чланови везани за аритметички низ Да би одредили аритметички низ треба да знамо једначине са две непознате и d Дате су две једначине Знамо да је општи члан низа ( ) d, а збир првих чланова низа S ( ( ) d ) Формираћемо те једначине у систем и решити га Прва једначина је: d d d d 7 7 d Друга једначина: ( ) ( ) d d d d d d d d Када се замени прва једначина у другу, ( 7 ) d( 7 d ) d ( d ) d d d 0 9 d d 7 d d d d 0 d 0 d d d, ±
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Одавде је ' 7 или '' 7 9 Тражени бројеви су, 7 и 9, или 9, 7 и, што се своди на исто Ако је општи члан аритметичког низа, израчунати збир првих десет чланова тог низа Ако је збир првих чланова аритметичког низа, одредити двадесети члан тог низа 7 Нека су ( ) и ( ) два аритметичка низа и нека S и σ означавају суме првих чланова тих σ, израчунати низова Ако је ( 7) S ( 7 ) Колико је, ако коефицијенти другог, трећег и четвртог члана развоја бинома ( ) аритметички низ? образују 9 Наћи збир првих m чланова аритметичког низа ако је m -ти члан једнак, а -ти једнак m и m 0 Збир првих чланова аритметичког низа једнак је m, а збир првих m једнак је Израчунати збир првих m чланова низа ако је m > Наћи дужине страница правоуглог троугла ако оне чине аритметички низ са разликом d Бројеви,,,,, су узастопни чланови аритметичког низа Одредити,,, Колико бројева треба уметнути између 0 и да би се добио аритметички низ који има збир чланова од 0 до, укључујући и та два броја једнак 0 9 Између бројева и уметнути 9 бројева,,, 9 тако да узастопни чланови аритметичког низа Израчунати i, i,,, 9,,,, 9, 9 буду Збир прва четири члана аритметичке прогресије је, а збир следећа четири члана је Тада је збир првих 7 чланова: А) 9 Б) 0 В) 00 7 Г) Д) 7 Видимо да се ради о аритметичком реду, где се тражи збир првих 7 чланова Збир првих чланова аритметичке прогрсије је S ( ( ) d ) Треба израчунати и d Дат је збир прва четири члана и то нам је прва једначина, а из сбира следећих чланова добијамо другу једначину из којих израчунавамо две непознате и d
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а Услови задатка дају две једначине: 7 d d d d d d d d 7d d d d d d 9 9 d d d d d d 7 7 7 S 7 ( ) ( 7 ) S 7 S 7 ( ) d 7 7 S 7 ( ) S 7 0 S 7 7 7 9 S Ово значи да је тачно решење под A Збир прва четири члана аритметичке прогресије је за мањи од двоструког збира прва три члана исте прогресије Ако је четврти члан прогресије једнак 9, онда је њен пети члан: А) Б) В) 7 Г) Д) 7 7 Бројеви,,, чине аритметичку прогресијупознато је да је збир чланова ове аритметичке прогресије са непарним индексима за већи од збира чланова са парним индексима Ако је 0 9, онда је збир цифара средњег члана ове прогресије А) Б) В) 7 Г) Д) 9 аритметички низ, такав да је 0 и, онда је 0 једнако: А) Б) 0 В) 0 Г) 0 Д) 0 Н) не знам Ако је ( ) 9 Ако је девети члан аритметичке прогресије за већи од петог и ако је збир деветог и седмог члана, тада је седамнаести члан прогресије једнак: А) 0 Б) 99 В) 9 Г) 97 Д) одговор није понуђен Н) не знам 0 Израчунати збир првих чланова геометријског низа ако је први члан, а количник Видимо да је реч о геометријском низу, коме треба одредити збир за првих чланова Збир првих чланова низа је S и остаје да применимо формулу
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а 7 Како је, S S,, формула S даје Између 7 и 9 уметнути два броја који са датим бројевима чине геометријски низ Који су то бројеви? Видимо бројеве који чине геометријски низ Види се да је 7 Пошто треба уметнути два броја, заједно са првим, значи да три броја стоје испред 9, што значи да је он четврти, тј 9 Знамо да је општи члан низа, а то значи да можемо да одредимо из те једначине Када се уметну дати бројеви, добија се низ од четири члана код кога је 7, а 9 Како је 9 Одавде је: 9 7 7 7 Два броја која треба 7 уматнути су: 7 и Одредити шест узастопних чланова геометријског низа ако je збир прва три члана, последња три Четири позитивна броја чине узастопне чланове геометријског низа Наћи те бројеве ако je први већи од другог за, трећи од четвртог за Странице правоуглог троугла чине узастопне чланове геометријског низа Ако је најмања страница, колики je количник тог геометријског низа? Имамо паран број узастопних чланова геометријског низа Збир чланова на непарним местима je, збир чланова на парним местима je 70 Одредити количник тог геометријског низа Одредити прва три члана геометријског низа, ако je њихов збир, збир логаритама тих чланова за основу je 7 У аритметичком низу први, пети и једанаести члан образују узастопне чланове геометријског низа Ако je први члан тог аритметичког низа, израчунати десети члан аритметичког низа Три броја образују три узастопна члана геометријског низа Ако другом члану додамо, добијамо три узастопна члана аритметичког низа Ако додамо затим, трећем члану овог аритметичког низа 9, добијамо један нови геометријски низ Који су то бројеви? 9 Наћи збир геометријског реда:
Биномна формула Алгебарски и геометријски низ С т р а н а ) б) 9 7,0,0 в) г) 0 Написати геометријски ред, чији чланови чине опадајући геометријски низ, ако je збир прва два 7 члана, збир свих његових чланова je 7 Колики je количник геометријског реда ако je сваки члан тог реда три пута већи од збира свих следећих чланова тог реда? Видимо да је реч о бесконачном геометријском низу Знамо да је збир чланова бесконачног геометријског низа S Можемо оформити једначину на основу услова задатка, јер за збир свих следећих чланова, први члан низа је следећи члан / Наћи збир геометријског реда: а) siα si α, α π, Z б) cosα cos α α π, Z Израчунати: а) б) Дат je геометријски ред cos cos cos Израчунати х (0 < х < π ) ако je разлика између збира свих непарних и збира свих парних чланова овог реда Колики je у том случају, збир датог реда? За које вредности збир геометријског реда је ( )? За које постоји бесконачан збир и одредити х за које je тај 0 збир 7 Одредити тако да постоји бесконачан збир log log log затим одредити х тако да je тај збир