PLANIMETRIJA Mguglvi Za pravile mguglve sa straica važi: - O ima sa simetrije - Ak je brj straica para je ujed cetral simetriča - Ok svakg pravilg mgugla se mže pisati kružica čiji se cetri pklapaju - Mže se pdeliti a karakterističih jedakkrakih truglva čija su dva temea bil kja dva suseda temea mgugla a treće je u cetru pisae tj upisae kružice. - Zbir svih uutrašjih uglva sa račua p frmuli S ( S - Jeda uutrašji uga je da α - Jeda spljašji uga je α 36 ( 8 α +α ) - Zbir svih spljašjih uglva je 36 - Iz svakg temea mgugla mgu se pvući d 3 dijagala - Ukupa brj dijagala je D ( 3) - Ak je dužia straice a da je bim mgugla Oa - Pvršia se račua p frmuli trugla ah P, gde je h visia karakterističg - Cetrali uga je ϕ 36
) Kji pravila mguga ima tri puta veći uga d spljašjeg? Rešeje: Ak sa α - beležim uutrašji uga, a sa α - spljašji uga tražeg mgugla da je: α 3α i važi α +α 8 Dakle imam sistem: α 3α α+ α 8 8 4α 8 α α 45 4 36 36 Kak je t je:, 8 Radi se smuglu! α 45 ) Izračuati uutrašji uga pravilg mgugla, ak je razlika brja dijagala i straica 5. Rešeje: Pšt brj dijagala beležavam sa D D 5 ( 3) 5 sve pmžim sa ( 3) 5 3 5 5 5 Dbili sm kvadratu jedačuu p 5 Nemguće Zači,, pa se radi -tuglu. Spljašji uga je α Sada ćem aći uutrašji uga: α+ α 8 α 8 α 8 α 44 α 36 36 36 36
3) Ak se brj straica pravilg mgugla pveća za, tada se cetrali uga smaji za 6. Odrediti brj dijagala mgugla. Rešeje: Neka je -brj straica tg mgugla i ϕ cetrali mguga. ϕ 36 Ak se brj straica pveća za tada je cetrali uga ϕ + ϕ ϕ 6 36 36 36 6 Sve pmžim sa ( + ) + 36 ( + ) 36 6( + ) Sredim i dbijam kvadratu: + ±, emguće Dakle, brj straica je ( 3) D ( 3) 7 D 35 4) Za klik se pvećava zbir uutrašjih uglva mgugla, ak se brj straica pveća za 5? Rešeje: Zbir uutrašjih uglva se alazi p frmuli S ( S+ 5 S ( + 5 ( ( + 3) 8 8 54 9 + 36 + 3 8 ( 8 Dakle, zbir uutrašjih uglva se pveća za + 8 9 3
5) Ak se brj straica mgugla pveća za, da se brj jegvih dijagala pveća za 99. Odrediti zbir uutrašjih uglva tg mgugla. Rešeje: brj straica ( 3) D brj dijagala + vi brj straica ( + )( + 3) ( + )( + 8) D + vi brj dijagala D + D 99 ( + )( + 8) ( 3) 99 sve pmžim sa + 8+ + 88 + 3 398 398 88 3894 77 S ( S S 77 77 (77 35 4
6) Ak se brj straica pravilg mgugla pveća za dva jegv se uga pveća za 9. Odrediti brj straica mgugla. Rešeje: Neka je -brj straica i α uutrašji uga tg mgugla. α S ( Ak se brj straica pveća za, biće ih + i α S ( + + + + 8 + Tada je: 8 ( 9 pmžim sve sa ( ) + 8 ( )( + 9( + ) 8 8 + 4 8 9( + ) 9 ( + ) 7 pdelim sa 9 ( + ) 8 + 8 ± 8, 8 emguće Dakle 8, mguga ima ima 8 straica. 5
7) Brj dijagala kveksg mgugla u ravi jedak je petstrukm brju jegvih straica. Izračuati brj straica mgugla. Rešeje: ( 3) Kak je D t će biti: D 5 ( 3) 5 pmžim sa ( 3) Dakle 3 3 3 ( 3) ili 3 emguće 8) Kji pravila mguga ima 44 dijagale? Rešeje: D ( 3) ( 3) 44 ( 3) 88 + 88 3± 9, 8 emguće Dakle 6
9) Ok kruga pluprečika r + pisa je pravila smuga. Nadji pvršiu tg smugla. Rešeje: Pravila smuga se sastji iz 8 pdudarhih jedakih truglva. Izvučem jeda taj karakterističi truga. h r ( visia je ista ka i pluprečik upisae kružice) 36 36 Njegv cetrali uga je ϕ 45 8 ϕ ' Pšt ama treba pla vg ugla, imam: 3 Iz vg trugla je: a ' tg 3 pa je datle r ' a rtg 3 a h ' P 8 4ah 4 r r tg 3 ' P 8r tg 3 ' tg 3 45 cs 45 tg + cs 45 + ' tg 3 Raciališem + + 7
' tg 3 + ' tg 3 ( ) 4 ( ) Tak da je sad: P 8r tg 3 ' ( ) P 8 + P 8 ( + ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) P 4 + P 4 + P 4 P 4 P 8 skratim 8 i sa 8