9. : , ( )

9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад

Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе 2. Кинетичка енергиjа 3. Рад силе Праволиниjско кретање - константна сила Праволиниjско кретање - променљива сила Криволиниjско кретање 4. Снага 5. Закон о промени кинетичке енергиjе 2 of 27

Садржаj - Шта ћемо научити 1. Преглед литературе 2. Кинетичка енергиjа 3. Рад силе Праволиниjско кретање - константна сила Праволиниjско кретање - променљива сила Криволиниjско кретање 4. Снага 5. Закон о промени кинетичке енергиjе 3 of 27

Преглед литературе 1. Уџбеник Србољуб Симић, Ратко Маретић - Основе механике, стр. 161-174 3 of 27

Кинетичка енергиjа (1) Дефинициjа: E k = 1 2 mv 2 = 1 2m v v Количина кретања и кинетичка енергиjа: v 1 v 1 = v 2 v 2 v 1 v 2 v 1 = v 2 K 1 = m v 1 m v 2 = K 2 E k1 = 1 2 mv 2 1 = 1 2 mv 2 2 = E k2. m P 1 P 2 m Структура израза за кинетичку енергиjу: ( ) d 1 dt 2 v 2 = 1 d 2 dt ( v v) = 1 2 ( v v + v v) = v a; ( ) 1 d 2 v 2 = 1 2 d ( v v) = 1 (d v v + v d v) = v d v. 2 4 of 27 de k dt = m v a; de k = m v d v.

Кинетичка енергиjа при праволиниjском кретању: E k = 1 2 mv 2 = 1 2 mẋ 2 de k dt = m ẋ ẍ; de k = m ẋ dẋ Кинетичка енергиjа при криволиниjском кретању E k = 1 2 m ( vx 2 + vy 2 ) 1 = 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2) = 1 2 mv 2 = 1 2 mṡ2 de k = m (v x a x + v y a y ) = m (ẋẍ + ẏÿ) = m v v = m ṡ s; dt de k = m (v x dv x + v y dv y ) = m (ẋ dẋ + ẏ dẏ) = m v dv = m ṡ dṡ 5 of 27

Рад силе За разлику од кинетичке енергиjе коjа описуjе стање кретања материjалне тачке, рад силе jе величина коjа се односи на процес кретања. Дефинициjа: A 12 = F d r Jединица мере: 1 Nm = 1 kgm 2 /s 2 = 1 J d r θ F r = x i Рад константне силе: F = F cos θ i + F sin θ j, F = const., θ = const., d r = dx i ( ) A 12 = F cos θ i + F sin θ j dx i = F cos θ x2 x 1 dx x A 12 = F cos θ (x 2 x 1 ) = F cos θ x ako je θ = 0 A 12 = F x, cos θ > 0 A 12 > 0 cos θ < 0 A 12 < 0 F d r A12 = 0 6 of 27

A 1 12 > 0 A 2 12 > A1 12 F d r A 12 = 0 7 of 27

Пример 6.1 Израчунати рад силе теже током слободног пада материjалне тачке масе m са висине h. Показати да ће извршени рад бити jеднак прираштаjу кинетичке енергиjе материjалне тачке. h y v 0 = 0 Тачка започиње кретање из положаjа P 0 са висине h без почетне брзине, y(0) = y 0 = h, ẏ(0) = v 0 = 0.Током кретања на њу деjствуjе само сила тежине m g = mg j коjа jе константна. На краjу кретања, у положаjу P 1 у ком jе y(t ) = y 1 = 0, брзина тачке jе ẏ(t ) = v 1 = 2gh y = y 1 y 0 = h A 01 = mg y = mgh Прираштаj кинетичке енергиjе као E k = E k1 E k0 E k = 1 2 mv 2 1 1 2 mv 2 0 = 1 2 m ( 2gh) 2 0 = mgh m g v 1 8 of 27 E k = A 01

Рад променљиве силе: F = F (t, x, ẋ) θ = θ(t, x, ẋ) d r = dx i A 12 = = 2 1 x2 da = 2 1 x 1 F cos θdx = F d r = x2 x 1 x2 x 1 F x (t, x, ẋ)dx ( ) F cos θ i + F sin θ j dx i Рад силе се без познавања кретања може израчунати када jе: F x = F = const. A 12 = x 2 x 1 F dx = F (x 2 x 1 ) = F x F x = F (x) A 12 = x 2 x 1 F (x)dx = U(x 2 ) U(x 1 ) F x da = F xdx F x F x A 12 x 1 x dx 2 x x 1 x 2 x 9 of 27

Пример 6.2 Материjална тачка масе m = 1 kg креће се праволиниjски под деjством силе F = F (t) = 10(1 t) i. Тачка jе започела кретање из координатног почетка брзином ẋ(0) = v 0 = 20 m/s. а) Одредити рад силе F од почетка кретања до тренутка t 1 у ком сила мења смер свог деjства. б) Одредити рад силе F од почетка кретања до тренутка t 2 у ком тачка мења смер кретања. в) Показати да ће рад силе бити jеднак прираштаjу кинетичке енергиjе материjалне тачке. 10 of 27

Решавањем диференциjалне jедначине кретања mẍ = F (t) = 10(1 t) може се показати да ће брзина тачке и параметарска jедначина кретања бити: ẋ(t) = 20 + 10t 5t 2. x(t) = 20t + 5t 2 5 3 t3 ; (а) (б) Одавде се лако показуjе да сила мења смер деjства у тренутку t 1 = 1s, док тачка мења смер кретања у тренутку t 2 = 1 + 5s. Елементарно померање материjалне тачке jе: dx(t) = ẋ(t) dt = (20 + 10t 5t 2 ) dt. 11 of 27

На основу тога ће рад силе F (t) од почетка кретања до тренутка промене смера деjства t 1 бити: t1 1 A 01 = F (t) dx(t) = 10(1 t)(20 + 10t 5t 2 ) dt 0 0 = 10 (20t 5t 2 5t 3 + 54 ) t 1 t4 = 112,5 J 0 (в) На исти начин се одређуjе и рад силе од почетка кретања до тренутка промене смера кретања тачке t 2 : A 02 = t2 0 F (t) dx(t) = 200 J. (г) Брзина тачке у тренутку промене смера деjства силе се одређуjе помоћу jедначине (a): 12 of 27 v 1 = ẋ(t 1 ) = 25m/s,

а у тренутку промене смера кретања jе v 2 = ẋ(t 2 ) = 0. Одавде следи да jе у првом случаjу прираштаj кинетичке енергиjе: E k1 = E k1 E k0 = 1 2 mv 2 1 1 2 mv 2 0 = 112,5 J, E k2 = E k2 E k0 = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 0 = 200 J. (д) (ђ) Поређењем jедначина (в) и (г) са jедначинама (д) и (ђ) добиjаjу се жељени резултати: E k1 = A 01 и E k2 = A 02. 13 of 27

Рад променљиве силе F x Рад силе у еластичноj опрузи: F x = cx x0 A 20 = F x dx = cxdx x 2 = 1 2 c(x 2 0 x 2 2 ) > 0 F x x < 0 x > 0 x 0 x 1 x = 0 F x = 0 x 2 cx 2 A 20 x 2 x 0 F x = cx 14 of 27

Рад силе на криволиниjском кретању: Декартов координатни систем: A 12 = = da = F d r = (F x dx + F y dy) = (F x i + F y j)(dx i + dy j) F (t, r, v) d r Природни координатни систем: A 12 = = da = F d r = (F t e t + F n e n ) ds e t F t ds = F (t, r, v) d r Рад силе на криволиниjском кретању у општем случаjу зависи од облика путање тачке. 15 of 27

Рад резултанте: A 12 = = da = F r d r = ( F 1 + F 2 ) d r F F 1 d r + F 2 d r = A 1 12 + A F 2 12 16 of 27

Пример 6.3 Одредити рад силе теже на померању материjалне тачке масе m из положаjа P 1 (x 1, y 1 ) у положаj P 2 (x 2, y 2 ). Да ли рад силе теже зависи од облика траjекториjе? y 2 y 1 y P 1 m g P 2 h Сила теже jе у Декартовом координатном систему приказана на следећи начин m g = mg j. У исто време елементарно померање материjалне тачке jе d r = dx i + dy j. Одатле следи да jе елементарни рад силе теже: da = m g d r = mg dy. (а) 17 of 27

Укупан рад силе теже током померања тачке из положаjа P 1 у положаj P 2 биће: A 12 = (P2 ) (P 1 ) mg dy = mg y2 y 1 dy = mg(y 2 y 1 ) = mgh. (б) Видимо да рад зависи само од вертикалног растоjања између краjњег и почетног пложаjа, а не зависи од облика путање дуж коjе се тачка кретала. Приметимо да ће рад силе теже бити негативан ако jе y 2 > y 1 (тачка се креће на горе), односно позитиван ако jе y 2 < y 1 (тачка се креће на доле). 18 of 27

Пример 6.4 (биће урађен на вежбама) Материjална тачка се креће од координатног почетка P 0 (0, 0) до тачке P 1 (R, R) на два начина: први пут дуж праволиниjске траjекториjе, а други пут дуж траjекториjе облика четвртине круга са центром у тачки C(0, R). Током кретања на тачку деjствуjе пратећа сила чиjи jе интензитет константан, F = const., и коjа увек има правац тангенте на траjекториjу F = F e t. Одредити рад ове силе током кретања тачке дуж сваке од ових траjекториjа. y R P 0 F F ξ P 1 R x 19 of 27

Снага Дефинициjа: P = da dt = F d r dt = F v Jединица мере: 1 J/s = 1 W Снага система сила: ( n ) P r = F n ( r v = F i v = Fi v) = i=1 i=1 n i=1 P i 20 of 27

Закон о промени кинетичке енергиjе (1) Други Њутнов закон : m a = F, и скаларно га помножимо брзином материjалне тачке v, користећи при томе правило комутативности за скаларни производ вектора: m v a = F v. Израз са леве стране знака jеднакости представља извод кинетичке енергиjе по времену док jе са десне стране знака jеднакости снага силе: de k = P. (1) dt Ово jе први облик закона о промени механичке енергиjе. 21 of 27

Закон о промени кинетичке енергиjе (2) Промена кинетичке енергиjе током времена jеднака jе снази силе под чиjим се деjством тачка креће: de k dt = P Други облик закона се добиjа трансформациjом израза (1). Пошто се први извод може третирати као количник две бесконачно мале величине, ова jедначина се може записати као: de k = P dt. Из дефинициjе снаге следи P dt = da, одакле добиjамо други облик закона о промени механичке енергиjе: 22 of 27 de k = da. (2)

Закон о промени кинетичке енергиjе (3) Елементарни прирараштаj кинетичке енергиjе материjалне тачке jеднак jе елементарном раду силе коjа деjствуjе на њу: de k = da. Ово се често назива и теорема о промени кинетичке енергиjе у диференциjалном облику. Трећи облик енергиjске jедначине се добиjа интеграциjом израза (2) дуж траjекториjе од почетног положаjа тачке P 1 до краjњег положаjа P 2 : (P2 ) (P 1 ) de k = (P2 ) (P 1 ) da. 23 of 27

Закон о промени кинетичке енергиjе (4) При томе треба имати на уму да jе кинетичка енергиjа величина стања, па се њеном интеграциjом добиjа коначни прираштаj: (P2 ) (P 1 ) de k = E k (P 2) (P 1 ) = E k2 E k1 = E k. Са друге стране рад силе jе карактеристика процеса кретања, тако да са десне стране знака jеднакости имамо укупни рад силе. Прираштаj кинетичке енергиjе материjалне тачке на коначном померању jеднак укупном раду силе коjа деjствуjе на њу: E k = A 12. 24 of 27

Пример 6.5 За математичко клатно, анализирано у Примеру 5.4, применом закона о промени енергиjе одредити брзину тачке у функциjи положаjа, угла ϕ, као и брзину промене кинетичке енергиjе. ϕ s l S e n e t ϕ m g Решење: Полазећи од израза за брзину, v = ṡ e t = l ϕ e t, можемо израчунати елементарни рад силе тежине m g и силе затезања конца S. Пошто jе: m g = mg sin ϕ e t mg cos ϕ e n и S = S e n, а елементарно померање гласи: добиjамо следеће резултате: d r = v dt = l dϕ e t, 25 of 27 da m g = m g d r = mgl sin ϕ dϕ; da S = S d r = 0. (а)

Реакциjе идеалних веза су по природи такве да су ортогоналне на вектор брзине, односно елементарног померања тачке. Стога jе рад реакциjа идеалних веза увек jеднак нули. Ако се изврши интеграциjа израза (а) за елементарни рад од почетног положаjа ϕ 0 до произвољног положаjа ϕ, онда ће се добити укупан рад сила коjе деjствуjу на материjалну тачку: A = ϕ ϕ 0 ( mgl sin θ) dθ = mgl(cos ϕ cos ϕ 0 ). (б) Тада се применом трећег облика закона о промени енергиjе (??) може добити прираштаj кинетичке енергиjе материjалне тачке: E k = E k E k0 = 1 2 mv 2 1 2 mv 2 0 = mgl(cos ϕ cos ϕ 0 ) = A. 26 of 27

Одатле се добиjа брзина у функциjи положаjа: v 2 = v 2 0 + 2gl(cos ϕ cos ϕ 0 ), (в) За одређивање брзине промене кинетичке енергиjе неопходно jе применити први облик закона о промени енергиjе (1) и одредити снагу свих сила коjе деjствуjу на тачку: Тада се лако добиjа: P = m g v + S v = mgl ϕ sin ϕ. de k dt = P = mgl ϕ sin ϕ. 27 of 27