Microsoft Word - Repetitorij vjerojatnosti i statistike (verzija 1.8.)

REPETITORIJ VJEROJATNOSTI I STATISTIKE ZA STUDENTE ELEKTROTEHNIKE prpremo: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač erecezraa autorzraa verzja

Sadržaj PREDGOVOR... 3. OSNOVE KOMBINATORIKE... 4.. Permutacje kombacje. Bom teorem.... 4. OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI... 6.. Operacje s događajma... 6. Neke posebe relacje među događajma... 6.3. Kors dettet... 6.4. Vjerojatost. Vjerojatos prostor... 7.5. Neka korsa svojstva vjerojatost... 7.6. Klasča vjerojatos prostor... 7.7. Geometrjska vjerojatost... 8.8. Uvjeta vjerojatost... 8.9. Nezavsost događaja... 8.0. Potpu sustav događaja. Formula potpue vjerojatost. Bayesova formula... 9.. Beroulljeva shema.... 0 3. OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE... 3.. Modaltet jhove frekvecje... 3.. Sredje vrjedost... 4. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE... 9 4.. Dskreta jedolka slučaja varjabla dskreta jedolka razdoba... 4.. Boma slučaja varjabla boma razdoba... 4.3. Possoova slučaja varjabla Possoova razdoba... 4.4. Geometrjska slučaja varjabla geometrjska razdoba... 3 4.5. Hpergeometrjska slučaja varjabla hpergeometrjska razdoba... 4 5. NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE... 5 5.. Neprekda jedolka slučaja varjabla eprekda jedolka razdoba... 6 5.. Ekspoecjala slučaja varjabla ekspoecjala razdoba... 7 5.3. Normala slučaja varjabla ormala razdoba... 8 5.4. Čebševljeva ejedakost za eprekde slučaje varjable. Pravlo 3 σ... 9 5.5. Grač teorem u Beroulljevoj shem... 30 6. DODATAK... 3 6.. Pregled ekh MATLAB-ovh fukcja koje se korste u vjerojatost statstc... 33 6.. Pregled ekh fukcja MS Excel-a koje se korste u vjerojatost statstc... 35 POPIS KORIŠTENIH OZNAKA... 37 POPIS TABLICA... 39 KAZALO POJMOVA... 40 LITERATURA... 45 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač

PREDGOVOR Ovaj astav materjal amjeje je studetma. gode stručoga studja elektrotehke a Tehčkom veleučlštu u Zagrebu kao pomoć prgodom polagaja psaog djela spta z predmeta. Tekst je psa tako da redosljed tematskh cjela odgovara redosljedu obrade th cjela u avedeom predmetu. Rad boljeg razumjevaja obrađee materje, osm matematčkh formula postupaka, čje se pozavaje provjerava a sptu, avedee su teorjske čjece. To u kojem slučaju e zač da ovaj materjal može zamjet astave materjale prema kojma se održavaju predavaja audtore vježbe, ego mu je osova svrha poslužt kao korsta podsjetk a defcje, svojstva formule koj se a sptu možda zaborave. Ugoda m je dužost zahvalt svma koj su a blo koj ač pomogl u astajaju ovog astavoga materjala. Tu poajprje mslm a dekaa Tehčkoga veleučlšta u Zagrebu mr.sc. Goraa Malčća, všega predavača, a pročelka Elektrotehčkoga odjela Tehčkog veleučlšta u Zagrebu dr.sc. Krešmra Meštrovća, prof. vsoke škole. Posebo zahvaljujem kolegama Mad Orlć Bachler Luk Marohću a korsm prmjedbama prjedlozma, te svm studetma koj su svojm ptajma a astav kozultacjama zravo utjecal a sadržaj kvaltetu ove verzje teksta. Pokude za sve prežvjele eamjere pogreške, kojh u tekstu esumjvo ma ako všestrukh korektura, preuzmam sključvo a sebe. Uaprjed zahvaljujem svma koj me obavjeste o svakoj uočeoj pogrešk l ekom drugom propustu. Svm korscma ovoga astavoga materjala želm uspješo koršteje. U Zagrebu, lstopada 08. Boja Kovačć mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3

. OSNOVE KOMBINATORIKE Teorem. (pravlo jedakost (bjekcje)) Neka su S T koač skupov. Tada je card( S) = card( T ) ako samo ako postoj bjekcja među skupovma S T. Teorem. (prcp zbroja) Neka su N S,..., S koač, u parovma dsjukt skupov (tj. vrjed ekvvalecja ( S S ) ( j) koača vrjed: = ). Tada je skup j S : = S = = = card( S) card( S ). Teorem 3. (teorem o uzastopom prebrojavaju) Neka su N S,..., S koač skupov. Tada je Kartezjev umožak Sk : = S... S koača skup vrjed: k = card Sk = card( Sk ). k = k = Neka su,.. Permutacje kombacje. Bom teorem. r N k {,,..., }. Neka je S { a a } =,..., blo koj -čla skup. Permutacja (bez poavljaja) skupa S je blo koja bjekcja toga skupa u samoga sebe. Ekvvaleto, permutacja skupa S je svaka uređea -torka koja sadrž sve elemete toga skupa. Ukupa broj svh međusobo razlčth permutacja skupa S jedak je: P Napomea: Dogovoro se uzma 0! =. =!. Pretpostavmo da smo od svh elemeata skupa S formral strukturu A tako da se u A elemet a pojavljuje točo k puta, elemet a pojavljuje točo k puta,, elemet a pojavljuje točo Neka je = k puta, pr čemu je k { 0} N, za svak =,,...,. m : = k. Kažemo da smo a taj ač formral m-čla multskup A a S. Permutacja multskupa A je svaka uređea m-torka koja sadrž sve elemete toga multskupa. (Za tu permutacju kažemo da je permutacja s poavljajem skupa S.) Ukupa broj svh razlčth permutacja multskupa A jedak je: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4

Broj m k,..., k P k! m m! : = : = =. (!) ( k!) k,..., k = m k,..., k k = = azva se multom koefcjet. k permutacja (bez poavljaja) skupa S je blo koja uređea k torka međusobo razlčth elemeata toga skupa. Ukupa broj svh razlčth k permutacja skupa S jedak je: k! P(, k) = ( ) =. ( k)! = 0 r permutacja s poavljajem skupa S je blo koja uređea r torka u kojoj se a svakoj pozcj (kompoet) može pojavt svak elemet toga skupa. Ukupa broj svh razlčth r permutacja s poavljajem skupa S jedak je: r P(, r) =. k kombacja (bez poavljaja) skupa S je blo koj k čla podskup toga skupa. Ukupa broj svh razlčth k kombacja skupa S jedak je: ( )... ( k + ) C(, k) = : =. k k! Broj azva se bom koefcjet čta: e povrh ka. k r-kombacja s poavljajem skupa S je blo koj r-čla multskup a S. Ukupa broj svh razlčth r kombacja s poavljajem skupa S jedak je: + r : = C(, r) =. r r Teorem 4. (eka svojstva bomh koefcjeata bom teorem) Za sve k, N takve da je k za sve x, y C vrjede sljedeće jedakost:. = =. 0 ( )!. =, =,..., =. k k! ( k)! 3. = = = +. k k k k k k 4. (boma formula) ( x + y) = x y. = 0 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5

. OSNOVE DISKRETNE TEORIJE VJEROJATNOSTI Slučaj pokus je svak pokus čj shod je uaprjed zada. Svak moguć shod takvoga pokusa azva se elemetar događaj uobčajeo ozačava s ω. Skup svh elemetarh događaja azva se prostor elemetarh događaja ozačava s Ω. Kao shod slučajoga pokusa javlja se točo jeda elemet skupa Ω. Algebra događaja je famlja F podskupova skupa Ω koja ma sljedeća svojstva: A., Ω F. A. ( A, B F ) ( A B F ). ( C F ) A3. ( A F ) A : = Ω \ A. Elemet algebre F azvaju se događaj. Praza skup azva se emoguć događaj, a skup Ω (promatra kao elemet algebre F) sgura događaj.. Zbroj događaja: A + B : = A B ;.. Operacje s događajma Iterpretacja: stovremeo se dogodo barem jeda od događaja A B;. Umožak događaja: A B : = A B ; Iterpretacja: stovremeo se dogode događaj A događaj B. 3. Razlka događaja: A B : = A \ B ; Iterpretacja: događaj A se dogodo, al se stovremeo događaj B je dogodo.. Neke posebe relacje među događajma. Događaj A povlač događaj B ako vrjed A B.. Događaj A B su jedak ako vrjed A = B. 3. Događaj A B su dsjukt l međusobo sključv ako vrjed A B =. C 4. Događaj A azva se događaj suprota događaju A. O će se dogodt ako samo ako se A e dogod..3. Kors dettet Za blo koje događaje A, B, C F vrjede sljedeće jedakost: C. A B = A B. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6

C ( A ) C. = A. C C C 3. ( A + B) = A B. (prva de Morgaova formula) C C C 4. ( A B) = A + B. (druga de Morgaova formula) 5. A ( B + C) = A B + A C. 6. ( A + B) ( A + C) = A + B C..4. Vjerojatost. Vjerojatos prostor Vjerojatost a algebr F je svako preslkavaje P : F [ 0, ] sa svojstvma: P. P( ) = 0, P( Ω ) =. ( ) ( ) P. ( A B) P( A) P( B). (mootoost) P3. ( A B = ) P( A + B) = P( A) + P( B). (adtvost) Uređea trojka (Ω, F, P) azva se vjerojatos prostor. Ovso o broju elemeata skupa Ω, taj prostor može bt koača l beskoača..5. Neka korsa svojstva vjerojatost Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Za blo koje A, B, C F vrjede sljedeće jedakost:. P( A + B) = P( A) + P( B) P( A B). C. P( A + B) = P( A) + P( B A ). C 3. P( A) = P( A B ) + P( A B). C 4. P( A ) = P( A). 5. P( A + B + C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + P( A B C)..6. Klasča vjerojatos prostor Klasča vjerojatos prostor je svak koača vjerojatos prostor (Ω, F, P) u kojemu za svak A F vrjed: Ako je Ω = { ω ω } = card( A) ukupa broj povoljh shoda za A P( A ) = =. card( Ω) ukupa broj mogućh shoda,...,. P( ω ) = =, =,...,. card( Ω). P( ω ) =., oda vrjede jedakost: mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7

.7. Geometrjska vjerojatost Ako su Ω A Ω ograče zmjerv podskupov skupa vjerojatost događaja A deframo formulom: m( A) P( A) = m( Ω ), R, za ek N, oda gdje je m tzv. Lebesqueova mjera (u daljjem tekstu: mjera) a skupu vjerojatost azvamo geometrjska vjerojatost. R. Takvu Za = mjera blo kojega tervala jedaka je razlc gorje doje grace toga tervala. Za = mjera skupa jedaka je površ toga skupa. Za = 3mjera skupa jedaka je volumeu toga skupa. Posebo, vrjede sljedeće tvrdje:. m( { a} ) = 0, a R.. Mjera blo koje ravske krvulje u je ul. 3. Mjera blo koje ravske plohe u R (pr. pravac, kružca, elpsa td.) jedaka 3 R (pr. sfera, plašt kocke td.) jedaka je ul..8. Uvjeta vjerojatost Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka su A, B F. Vjerojatost događaja A uz uvjet da se dogodo događaj B (tzv. uvjeta vjerojatost) defraa je formulom: Općeto, vrjed formula: P( A B) P( A B) : =. P( B) k k k k = k = = N P A = P A A,..9. Nezavsost događaja Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Kažemo da su događaj A, B F ezavs ako vrjed jedakost: P( A B) = P( A) P( B). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8

Općeto, za događaja A,..., A kažemo da su ezavs ako za svak epraza skup I {,..., } vrjed jedakost: P A = P( A ). I I Npr. tr događaja A, A A 3 su ezavsa ako vrjede jedakost: P( A B) = P( A) P( B), P( A C) = P( A) P( C), P( B C) = P( B) P( C), P( A B C) = P( A) P( B) P( C)..0. Potpu sustav događaja. Formula potpue vjerojatost. Bayesova formula Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Kažemo da je koača skup događaja { } A = A,..., A potpu sustav događaja ako vrjed:. A F, =,...,.. A A =, za sve j. 3. A = Ω. = 4. P( A ) =. = j Elemete skupa A azvamo hpoteze. Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka su A { A A } događaja B F. Tada vrjed formula potpue vjerojatost: P( B) = P( A ) P( B A ). = =,..., potpu sustav Iz ove formule sljed da za jezu prmjeu treba zat vjerojatost svake hpoteze odgovarajuće uvjete vjerojatost događaja B. Obrato, ako treba zračuat vjerojatost ostvaraja svake pojede hpoteze uz uvjet da se dogodo događaj B, oda prmjejujemo Bayesovu formulu: P( A B) P( A ) P( B A ) P( A B) = =, =,...,. P( B) P( A ) P( B A ) j= j j mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9

.. Beroulljeva shema. Beroulljeva shema je vjerojatos model -terostrukoga poavljaja slučajoga pokusa koj ma točo dva moguća shoda: uspjeh euspjeh. Ako je p vjerojatost pojavljvaja uspjeha u svakom slučajom pokusu, oda je vjerojatost p k da se u ukupo pokusa pojav točo k uspjeha jedaka: k k pk = p ( p), N, k = 0,,...,. k Za velke ove se vjerojatost mogu račuat pomoću odgovarajućh gračh teorema (vdjet strace. 30.). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 0

3. OSNOVE OPISNE (DESKRIPTIVNE) STATISTIKE 3.. Modaltet jhove frekvecje Neka je y, y,..., y koača (e)umerčk z podataka dobveh mjerejem određeoga statstčkoga oblježja. Svak elemet toga za azva se modaltet prpadoga statstčkoga oblježja. Prroda broj azva se dulja statstčkoga za. Pretpostavmo da se u zu y, y,..., y pojavljuje točo k razlčth modalteta. Ozačmo te modaltete s x,..., x k. Sljedeće defcje vrjede za svak =,..., k. Apsoluta frekvecja f modalteta x jedaka je ukupom broju pojavljvaja dotčoga modalteta u zadaom statstčkom zu. Relatva frekvecja r modalteta formulom: f r = 00 [%]. x skazuje se u postotcma defra Pretpostavmo da je z y, y,..., y dobve mjerejem kvattatvoga l kvaltatvoga redosljedoga oblježja. Tada su svaka dva razlčta modalteta međusobo usporedva. Zbog toga možemo pretpostavt da su sv međusobo razlčt modaltet x,..., x k ozače tako da vrjed: Apsoluta frekvecja veće od x x... x k. f > modalteta x jedaka je zbroju apsoluth frekvecja svh modalteta jedakh l većh (boljh) od x : f > = x j x Apsoluta frekvecja maje od f < modalteta x jedaka je zbroju apsoluth frekvecja svh modalteta jedakh l majh (slabjh) od x : f < = x j x Apsolute frekvecje veće od / maje od tvore kumulatve zove apsoluth frekvecja. f f j j.. Relatva frekvecja veće od r > defra formulom: modalteta x skazuje se u postotcma mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač

> f r > = 00 [%]. Relatva frekvecja maje od r < defra formulom: < f r < = 00 [%]. modalteta x skazuje se u postotcma Relatve frekvecje veće od maje od tvore kumulatve zove relatvh frekvecja. Ako je broj razlčth modalteta relatvo velk, podatke je pogodo gruprat u (e)prave zatvoree razrede. Zatvore razred je svak terval oblka a, b R. Ako zatvoree razrede možemo poredat u z a, b ], b, c ], c, d ],, ] oda takve razrede azvamo prav razred. U suprotom, tj. ako zmeđu blo kojh dvaju uzastoph razreda užo postoj razmak, razred su eprav l omal. Neka je zada razred a, b ]. Broj a azvamo doja graca razreda, broj b gorja graca razreda, broj h : = b a šra razreda l razreda šra, a broj a + b s : = sreda razreda l razreda sreda. Osm tablčo, modaltete jhove apsolute/relatve frekvecje podeso je prkazat grafčk pr. strukturm krugom, jedostavm stupcma, strukturm stupcma sl. Polgo apsoluth frekvecja je otvorea polgoala crta dobvea spajajem uređeh parova točaka ( x, f ) ( x+, f+ ) u rav, za svak =,..., k. Aalogo se defra polgo relatvh frekvecja. Hstogram je površsk grafko kojega tvor koača z zatvoreh pravokutka. Dulje osovcâ th pravokutka odgovaraju šrama pravh razreda. Površe th pravokutka jedake su apsolutm/relatvm frekvecjama dotčh razreda. 3.. Sredje vrjedost Nz umerčkh podataka pogodo je opsvat tzv. sredjm vrjedostma. Sredje vrjedost djele se a potpue (zračuavaju se korštejem svh elemeata umerčkoga za) položaje (zračuavaju se korštejem položaja elemeata uutar umerčkoga za). Potpue sredje vrjedost su artmetčka sreda, geometrjska sreda harmojska sreda. Formule za zraču th vrjedost z egruprah podataka, odoso procjeu z gruprah podataka avedee su u tablc 4. (vdjet stracu 6.) mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač

U položaje sredje vrjedost ubrajamo mod percetle. Mod je modaltet s ajvećom apsolutom/relatvom frekvecjom. O je jeda sredja vrjedost koju je moguće određvat za kvaltatva za kvattatva oblježja. Zavso o broju modova, razdobe djelmo a umodale (maju jedstve mod), bmodale (maju točo dva razlčta moda) multmodale (maju barem tr razlčta moda). Ako su podac grupra u m N pravh razreda, za procjejvaje moda ajprje treba zračuat korgrau apsolutu /relatvu frekvecju svakoga razreda. Ta frekvecja dobje se djeljejem orgale frekvecje razreda orgale razrede šre: corr f f =, s corr r r, = s za svak =,..., m. Potom se odred razred s ajvećom korgraom frekvecjom. Taj razred azva se modal razred. Tada se mod procjejuje prema formul: b a Mo = L + s, b ( a + c) gdje su Mo mod, L doja graca modaloga razreda, b korgraa frekvecja modaloga razreda, a korgraa frekvecja razreda koj eposredo prethod modalom razredu, c korgraa frekvecja razreda koj eposredo sljed za modaloga razreda, a s razreda šra modaloga razreda. Napomea: Ako su podac grupra u prave razrede jedakh šra, je potrebo račuat korgrae frekvecje. U tom slučaju su korgrae frekvecje jedake orgalm frekvecjama razreda. Percetl su položaje vrjedost koje djele umerčk z a 00 jedakobrojh djelova. Prtom l t percetl P l ma svojstvo da ukupo l % člaova za je veće od P l, odoso da (00 l)% člaova za je maje od P l. Formule za zračuavaje percetla z egruprah podataka, odoso procjeu a temelju podataka gruprah u prave razrede avedee su u tablc. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3

Tablca. Određvaje percetla z (e)gruprah podataka Percetl Izraču z egruprah podataka Procjea z podataka gruprah u razrede P l y, ako je djeljv sa 00, l 00 Pl = y l + y l, ako je djeljv sa 00. + 00 00 l < fg P 00 l = L + h f g Napomea: Ako su podac grupra u točo m pravh razreda, ajprje treba formrat kumulatv z apsoluth frekvecja maje od. Potom treba odredt prv čla toga za koj obuhvaća ukupo l podataka. Tom člau odgovara razred L, L. Broj g N je red broj toga razreda u uzlazo sortraom poretku svh m [ ] razreda, dok je s : = L L prpada razreda šra. Za l { 0,0,...,90} govormo o declma.. decl je 0. percetl,. decl je 0. percetl td. Za l { 5,50,75} govormo o kvartlma.. l doj kvartl je 5. percetl,. kvartl l medja je 50. percetl, a 3. l gorj kvartl je 75. percetl. Formule za zraču svh trju kvartla z (e)gruprah podataka avedee su u tablc 5. (vdjet stracu 7.) Reprezetatvost pojede sredje vrjedost skazuje se pomoću odgovarajućh mjera raspršeja (dsperzje). Mjere raspršeja djele se a apsolute relatve. Apsolute mjere raspršeja su raspo varjacje, terpercetl, sredje apsoluto odstupaje, varjaca (dsperzja) stadarda devjacja (stadardo odstupaje). Relatve mjere raspršeja su koefcjet kvartle devjacje koefcjet varjacje. Raspo varjacje (ozaka: R) je razlka ajveće ajmaje vrjedost umerčkoga za. Iterpercetl je razlka blo kojh dvaju percetla P l P l uz uvjet l l. O ozačava raspo varjacje sredšjh ( l l )% člaova za. Za l = 75 l = 5 dobva se terkvartl umerčkoga za. I q. O ozačava raspo varjacje sredšje polovce člaova mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4

Formule za zraču sredjega apsolutoga odstupaja, varjace stadarde devjacje z (e)gruprah podataka avede su u tablc 6. (vdjet stracu 8.) Koefcjet kvartle devjacje V q jedak je omjeru terkvartla I q zbroja prvoga trećega kvartla: V q Q = Q Q. + Q 3 3 Taj koefcjet se terpretra kao teztet varjablteta sredšje polovce statstčkoga za. Korst se u slučajevma kad je medja reprezetatvja sredja vrjedost od artmetčke srede. Jeda od krterja za terpretacju tezteta varjablteta skazaoga koefcjetom kvartle devjacje avede je u tablc. Tablca. Skala tezteta varjablteta koefcjeta kvartle devjacje V q 0.0 0. 0. 0. 0. 0.3 0.3 0.5 0.5.0 terpretacja vrlo slab relatvo slab umjere relatvo jak jak Koefcjet varjacje V jedak je kolčku stadarde devjacje artmetčke srede skazaom u postotcma: σ V = 00 [%]. x O predstavlja relatvo prosječo odstupaje vrjedost umerčkoga za od artmetčke srede za. Prmjejuje se u slučajevma kad je artmetčka sreda dobar reprezetat umerčkoga za. Jeda od krterja za terpretacju varjablteta za skazaoga koefcjetom varjacje avede je u tablc 3. Tablca 3. Skala tezteta varjablteta koefcjeta varjacje V [%] 0 0 0 30 30 50 50 70 70 terpretacja vrlo slab relatvo slab umjere relatvo jak jak Teorem 6. (Čebševljevo pravlo u opsoj statstc) Neka je ( x ) koača z vrjedost kvattatvoga oblježja. Neka su x σ redom prpada artmetčka sreda, odoso stadarda devjacja. Tada se za svak prroda broj k > u segmetu x k σ, x + k σ alaz ajmaje 00 k % člaova za ( x ). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5

Korolar. (posljedce Čebševljeva pravla) a) U segmetu x σ, x + σ alaz se ajmaje 75% člaova za. b) U segmetu x 3 σ, x + 3 σ alaz ajmaje 89% člaova za. Za usporedbu razorodh umerčkh zova korst se stadardzrao oblježje. Neka je ( x ) z vrjedost kvattatvoga oblježja. Neka su x σ redom prpada artmetčka sreda, odoso stadarda devjacja. Tada je z stadardzrah vrjedost toga oblježja z ( z ) čj je opć čla da pravlom: z x x σ k k =. Stadardzacja vrjedost umerčkoga oblježja se občo provod kod zračuavaja vrjedost fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable (vdjet strace 8. 3.). Tablca 4. Određvaje potpuh sredjh vrjedost sredja vrjedost artmetčka sreda geometrjska sreda zraču z egruprah podataka y = y + y +... + y y = = G = y... y y procjea z podataka gruprah u razrede f s +... + f s x = = m m = m f s m f f fm G = s = s s ( ) ( )... ( m ) = harmojska H = = + +... + sreda y y y = y H = = m f f fm f + +... + s s s s m = Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Velče f s ozačavaju apsolutu frekvecju, odoso sredu -toga razreda, za svak =,..., m. Prtom vrjed jedakost: m = f =. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6

Tablca 5. Određvaje položajh sredjh vrjedost sredja vrjedost. (doj) kvartl. kvartl (medja) 3. (gorj) kvartl zraču z egruprah podataka y, ako je djeljv s 4; 4 Q = ( y + y ), ako je djeljv s 4. + 4 4 Me y + = Q = + +, ako je epara; ( y y ), ako je para. y, ako je djeljv s 4; 3 4 Q3 = ( y3 + y3 ), ako je djeljv s 4. + 4 4 procjea z podataka gruprah u razrede < fg Q 4 = L + h f < f g Me = L + h f 3 < f g Q 4 3 = L + h f g g g Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Tada ajprje treba formrat kumulatv z apsoluth frekvecja maje od. Potom treba odredt prv čla toga za koj obuhvaća ukupo 4 podataka (u slučaju dojega kvartla), podataka (u slučaju medjaa), 3 odoso 4 podataka (u slučaju gorjega kvartla). Tom člau odgovara razred L, L. Broj g N je red broj toga razreda u uzlazo sortraom poretku svh m [ ] razreda, dok je s : = L L prpada razreda šra. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7

Tablca 6. Određvaje mjera raspršeja (dsperzje) mjera raspršeja zraču z egruprah podataka procjea z podataka gruprah u razrede sredje apsoluto odstupaje y k k = MAD = y y MAD x = m = f s x varjaca m m ( y y) y f ( s x) f s = = = = σ σ = = ( y) = = ( x) stadarda m m y y y f ( s x) f s σ = = = = σ = = devjacja ( ) ( y) = = Napomea: Prlkom grupraja u razrede pretpostavlja se da su podac grupra u točo m pravh razreda. Velče f s ozačavaju apsolutu frekvecju, odoso sredu -toga razreda, za svak =,..., m. Prtom vrjed jedakost: m = f =. ( x) U praks se vrlo često podac prkazuju tablčo tako da se u tablc avedu sv modaltet x jhove apsolute frekvecje f, za =,..., k. U tom slučaju za određvaje mjera z tablca 4. 6. treba prmjet formule z trećega stupca dotče tablce (tj. račuat kao da su podac grupra u razrede). Prtom u svakoj pojedoj formul: ukupa broj razreda m treba zamjet ukupm brojem modalteta k, razredu sredu s treba zamjet modaltetom x. Napomea: Položaje mjere z tablca. 5. je moguće određvat a aaloga ač. Za određvaje th mjera je ajpodesje razgruprat podatke, odoso formrat orgal z egruprah podataka. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8

4. DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor. Neka je S koača l prebrojv podskup skupa R. (Najčešće uzmamo da je S Z.) Dskreta slučaja varjabla je svako preslkavaje X : Ω S takvo da za svak s S vrjed relacja: { ω ω } A : = Ω : X ( ) = s F. s Kažemo da je skup S slka dskrete slučaje varjable X. Pšemo: R( X ) = S. Ne stakemo l drugačje, u daljjem tekstu ovoga poglavlja pretpostavljamo da je X dskreta slučaja varjabla čja je slka skup S. Svakom s S jedozačo je prdruže broj p : = P( A ). Kratko pšemo: p = P( X = s). s Zbog toga je svaka varjabla X jedozačo određea svojom tablcom razdobe (dstrbucje): X s s... s... p p... p.... Fukcja vjerojatost varjable X je fukcja f : S [ 0, ] defraa pravlom: f ( s) = p s. Osovo svojstvo fukcje vjerojatost je: s S s f ( s) =. Fukcja razdobe vjerojatost varjable X je fukcja F : S [ 0, ] defraa pravlom: gdje je f fukcja vjerojatost.. P( X < s) = F( s) p.. P( X s) = + p F( s). 3. P( X > s) = F( s). F( s) P( X s) f ( x) = =, x s Korsa svojstva fukcje razdobe vjerojatost s s Matematčko očekvaje l, kraće, očekvaje E( X ) varjable X je vjerojatos aalogo težske artmetčke srede defra pravlom: s mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9

E( X ) = s p. s S Varjaca V ( X ) stadarda devjacja σ ( X ) varjable X defrae su pravlma: V X s p E X σ ( X ) = V ( X ). s ( ) ( ) = s ( ), s S Neka su A S g : A R. Tada je g( X ) također slučaja varjabla. Njeza slka je skup S { g s s S } : ( ) : =, a tablca razdobe: g X g( s ) g( s )... g( s )... p p... p... ( ). U skladu s tm, za blo koju varjablu X, te a, b R takve da je a 0 vrjed: ( ) ( ) ( ). V ( X ) = E( X ) E( X ) = E X E( X ).. V ( a X + b) = a V ( X ). 3. σ ( a X + b) = a σ ( X ). Teorem 7. (Čebševljev teorem za dskrete slučaje varjable) Neka je X dskreta slučaja varjabla s očekvajem E( X ) stadardom devjacjom σ. Tada za svak α > 0 vrjed ejedakost: P( X [ E( X ) α σ, E( X ) + α σ ]) >. α mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 0

4.. Dskreta jedolka slučaja varjabla dskreta jedolka razdoba Kažemo da je varjabla X jedolka dskreta slučaja varjabla ako postoj S = s,..., s takav da je R( X ) = S ako vrjed: koača skup { } P( X = k) =, k S. Pšemo: X U( ) kažemo da X ma jedolku razdobu. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X U( ) su redom da formulama: + E( X ) =, V ( X ) =, 3 ( ) σ ( X ) =. 6 4.. Boma slučaja varjabla boma razdoba Neka je X slučaja varjabla koja ozačava broj ukupa broj uspjeha u terostrukom poavljaju slučajoga pokusa modelraoga Beroulljevom shemom (vdjet stracu 0.) Tada kažemo da je X boma slučaja varjabla s parametrma p. Pšemo: X B(, p) kažemo da varjabla X ma bomu razdobu. Slka varjable X je skup { 0,,..., }. Fukcja vjerojatost varjable X je daa pravlom: k k P( X = k) = p ( p), k = 0,...,. k Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X B(, p) su redom da formulama: E( X ) = p, V ( X ) = p ( p), σ ( X ) = p ( p). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač

4.3. Possoova slučaja varjabla Possoova razdoba Possoova slučaja varjabla je prklada za ops slučajh pokusa u kojma vrjede sljedeće pretpostavke (tzv. Possoov model):. Događaj su međusobo ezavs.. Vjerojatost da će se ek događaj dogodt barem dvaput u dovoljo malom prostorom l vremeskom tervalu je praktčk zaemarva. 3. Vjerojatost događaja je sta u dovoljo malm međusobo jedakm prostorm l vremeskm tervalma. Kažemo da je varjabla X Possoova slučaja varjabla s parametrom λ > 0 R( X ) = N 0 ako je prpada fukcja vjerojatost daa pravlom: ako je { } k λ λ { } P( X = k) = e, za k N 0. k! Pšemo: X Po( λ) kažemo da X ma Possoovu razdobu s parametrom λ. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X Po( λ) su redom da formulama: E( X ) = V ( X ) = λ, σ ( X ) = λ. Za velke vrjedost broja male vrjedost vjerojatost p bomu razdobu B(, p ) možemo dobro aproksmrat Possoovom razdobom s parametrom Preczje, vrjed sljedeća tvrdja. λ = p. Teorem 8. (Possoov teorem) Neka je X B(, p). Ako stovremeo +, p 0 p λ = cost., oda vrjed aproksmacja: k k k λ λ p ( p) e. k k! Ovaj teorem se često korst u sljedećem oblku. Teorem 9. Neka su 0 prroda broj vrjed aproksmacja: k ( p) p P( X = k) e. k! 0 p 0,. Neka je X B(, p). Tada mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač

4.4. Geometrjska slučaja varjabla geometrjska razdoba Pretpostavmo da ek slučaj pokus koj ma točo dva shoda (uspjeh euspjeh) zvodmo sve dok se prv put e dogod uspjeh. Neka je p vjerojatost pojave uspjeha u svakom slučajom pokusu. Neka je X slučaja varjabla koja ozačava ukupa broj poavljaja pokusa sve do pojave uspjeha (uračuavajuć pokus čj je shod uspjeh). Varjablu X azvamo geometrjska slučaja varjabla s parametrom p. Pšemo: X G( p) kažemo da X ma geometrjsku razdobu. Slka varjable X je skup N. Njeza fukcja vjerojatost je daa pravlom: P X k p p k k ( = ) = ( ), N. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] Iz defcje fukcje F sljed: F( k) = ( p) k. N je daa pravlom: k P( X k) = ( p), k P( X > k) = ( p), k N. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X G( p) su redom da formulama: E( X ) =, p p V ( X ) =, p p σ ( X ) =. p Geometrjska razdoba može se karakterzrat sljedećm temeljm svojstvom. Teorem 0. Neka je X slučaja varjabla čja je slka skup N. Tada je X geometrjska slučaja varjabla ako samo ako za sve k, l N vrjed: P( X = k + l X > k) = P( X = m). Kažemo da geometrjska slučaja varjabla ma svojstvo zaboravljaja. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3

4.5. Hpergeometrjska slučaja varjabla hpergeometrjska razdoba Pretpostavmo da u skupu od N elemeata jh točo M ma oblježje (svojstvo) O (pr. škart elemet, elemet. kategorje sl.). Iz promatraoga skupa odaberemo uzorak od elemeata. Neka je X slučaja varjabla koja ozačava kolko od th elemeata z uzorka ma oblježje O. Varjablu X azvamo hpergeometrjska slučaja varjabla s parametrma N, M. Pšemo: X H ( N, M, ) kažemo da X ma hpergeometrjsku razdobu. Slka varjable X H ( N, M, ) je skup S = { k Z { + M N} k { M } } Prpada fukcja vjerojatost je daa pravlom: M N M k k P( X = k) =, k S. N : max 0, m,. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X H ( M, m, ) su redom da formulama: M E( X ) =, N M ( N M ) ( N ) V ( X ) =, N ( N ) M ( N M ) ( N ) σ ( X ) =. N N Napomea: U slučaju velkoga broja elemeata osovoga skupa (N) relatvo maloga broja elemeata uzorka (M) hpergeometrjska slučaja varjabla X H ( M, m, ) može se dobro aproksmrat bomom slučajom varjablom X B, M. N mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4

5. NEPREKIDNE (KONTINUIRANE) SLUČAJNE VARIJABLE Neka je (Ω, F, P) vjerojatos prostor eka je S R eprebrojv skup. (S je ajčešće otvore/poluotvore/poluzatvore/zatvore terval, uja takvh tervala sl.) Svaku slučaju varjablu X : Ω S takvu da je R( X ) = S azvamo eprekda (koturaa) slučaja varjabla. Ne stakemo l drugačje, u ovom poglavlju pretpostavljamo da je X eprekda slučaja varjabla. Za svaku varjablu X vrjed: P( X = s) = 0, s S. Varjabla X zadaje se svojom fukcjom gustoće vjerojatost. Preczje, f : R 0, koja ma sljedeća fukcja gustoće vjerojatost varjable X je fukcja [ ] svojstva:. f ( x) 0, x R.. P( a X b) = f ( x) d x. + 3. f ( x) dx =. b a Fukcja f određuje vjerojatost da varjabla X poprm prozvolju vrjedost z ekoga tervala. Fukcja razdobe vjerojatost varjable X je fukcja F : [ 0, ] pravlom: x F( x) = f ( t) d t. R defraa Fukcja F određuje vjerojatost da varjabla X poprm vrjedost e veću od x. Preczje, vrjed jedakost: Fukcja F ma sljedeća svojstva :. lm F( x) =. x +. lm F( x) = 0. x ' F( x) = P( X x) = P( X < x). 3. P( a X b) = P( a < X b) = P( a X < b) = P( a < X < b) = F( b) F( a). 4. F ( x) = f ( x), x R. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 5

Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X defra su redom formulama: + E( X ) = x f ( x) d x, + + V ( X ) = ( x E( X )) f ( x) d x = x f ( x) d x ( E( X )), σ ( X ) = V ( X ). Neka korsa svojstva očekvaja, varjace stadarde devjacje varjable X su:. ( ) ( ) ( ) ( ) V ( X ) = E X E( X ) = E X E( X ).. Neka su A S, g : A R Y = g(x). Tada je Y eprekda slučaja varjabla čje je očekvaje dao pravlom: + E( Y ) = g( x) f ( x) d x. 3. Neka su a, b R takv da je a 0. Neka je Y = a X + b. Tada je Y eprekda slučaja varjabla čj su očekvaje, varjaca stadarda devjacja redom da zrazma: E( Y ) = a E( X ) + b, V ( Y ) = a V ( X ), σ ( Y ) = a σ ( X ). 5.. Neprekda jedolka slučaja varjabla eprekda jedolka razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) [ a, b] =, za eke a, b R, a < b. Kažemo da je X eprekda jedolka slučaja varjabla ako je jeza f : R 0, daa pravlom: fukcja gustoće vjerojatost [ ], za x [ a, b] ; f ( x) = b a 0, ače. Pšemo: X U( a, b) kažemo da X ma eprekdu jedolku razdobu s parametrma a b. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] pravlom: R je daa mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 6

0, za x < a; x a F( x) =, za x [ a, b] ; b a, za x > b. Neka je X U( a, b). Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X su redom da formulama: a + b E( X ) =, ( b a) V ( X ) =, 3 σ ( X ) = ( b a). 6 5.. Ekspoecjala slučaja varjabla ekspoecjala razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) = [ 0, +. Neka je a > 0. Kažemo da je X ekspoecjala slučaja varjabla ako je jeza fukcja gustoće f : R 0, daa pravlom: vjerojatost [ ] a x a e, za x > 0; f ( x) = 0, za x 0. Pšemo: X Ex( a) kažemo da X ma ekspoecjalu razdobu. Prpada fukcja razdobe vjerojatost F : [ 0, ] R je daa pravlom: a x e, za x > 0, F( x) = 0, za x 0. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X Ex( a) su redom da zrazma: E( X ) = σ ( X ) =, a V ( X ), = a Može se pokazat da ekspoecjala varjabla X Ex( a) ma tzv. svojstvo zaboravljaja, tj. da za sve s, t > 0 vrjed: P( X > s + t X > t) = P( X > s). mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 7

5.3. Normala slučaja varjabla ormala razdoba Neka je X eprekda slučaja varjabla takva da je R( X ) =R. Neka su µ R σ > 0 kostate. Kažemo da je X ormala slučaja varjabla ako je jeza fukcja gustoće vjerojatost f : [ 0, ] R daa formulom: µ Pšemo: X N ( µ, σ ) ( x µ ) σ f ( x) = e. σ π kažemo da X ma ormalu razdobu s parametrma σ. Prpadu fukcju razdobe vjerojatost F je moguće zapsat aaltčk (pomoću zatvoree formule), pa se jeze vrjedost određuju prblžo umerčkm metodama. Očekvaje, varjaca stadarda devjacja varjable X N ( µ, σ ) da zrazma: E( X ) = µ, V X = σ σ ( X ) = σ. ( ), su redom Posebo, za µ = 0 σ = dobvamo stadardu l jedču ormalu slučaju varjablu. Pšemo: X N ( 0, ) kažemo da X ma stadardu l jedču ormalu razdobu. Prpada fukcja gustoće te varjable je fukcja f : R 0, defraa formulom: [ ] x f ( x) = e. π Njeza fukcja razdobe vjerojatost ozačava se s prkazae su u tablc 8. (vdjet stracu 3.) * F. Vrjedost te fukcje Račuaje vrjedost fukcje razdobe vjerojatost slučaje varjable (, ) X N µ σ svod se a račuaje vrjedost fukcje razdobe vjerojatost slučaje X µ varjable Y = N(0,). Varjablu Y azvamo stadardzraa ormala σ varjabla. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 8

Neka su Neka korsa svojstva ormale slučaje varjable * F F redom fukcja razdobe vjerojatost varjable X N ( µ, σ ) X µ odoso varjable Y = N(0,). Tada vrjede sljedeće tvrdje. σ. P( X µ x) = P( X x), x R.. P( X µ x) = P( X x), x R. 3. Ako su a, b R takv da je 4. Ako su a, b R takv da je * ( ) ( ) P X a F b, oda vrjed: µ a σ b. * ( ) ( ) P X a F b, oda vrjed: µ a σ b. * 5. Ako su a, b R takv da je P( X a) F ( b), oda vrjed: µ a + σ b. * 6. Ako su a, b R takv da je P( X a) F ( b), oda vrjed: µ a + σ b. 7 8 9 *. F( x) F., x µ = σ b µ a µ P a X b P a X b P a X b P a X b F F σ σ * *. ( < < ) = ( < ) = ( < ) = ( ) =. * *. F ( x) = F ( x), x 0. 5.4. Čebševljeva ejedakost za eprekde slučaje varjable. Pravlo 3 σ Teorem. (Čebševljev teorem za eprekde slučaje varjable) Neka je X eprekda slučaja varjabla čje je očekvaje E( X ) < +. Tada za svak ε > 0 vrjed ejedakost: Ova ocjea može se poboljšat. Teorem. Neka su X N ( µ, σ ) Korolar. (pravlo 3 σ [ µ 3 σ, µ 3 σ ] V ( X ) P( X E( X ) ε ). ε k N. Tada vrjed: * ( µ σ ) P X < k = F ( k). ) Neka je X N ( µ, σ ) + alaz ukupo 99.73% svh vrjedost varjable X.. Tada se u segmetu mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 9

5.5. Grač teorem u Beroulljevoj shem Uz određee uvjete bomu razdobu možemo aproksmrat ormalom razdobom. Preczje, vrjede sljedeć grač teorem. Teorem 3. (lokal de Movrè Laplaceov teorem) Neka su p 0, ( X ) N z bomh slučajh varjabl X B(, p). Tada za dovoljo velke N vrjed: ( k p) p ( p) P( X = k) e, k N. π p ( p) Teorem 4. (tegral de Movrè Laplaceov teorem) Neka su p 0, ( X ) N z bomh slučajh varjabl X B(, p). Tada za sve a, b R takve da je a b vrjed: * b p * a p P( a X b) F F. p ( p) p ( p) Napomea: Umjesto aproksmacje u teoremu 4. često se korst bolja aproksmacja: * b + p a p * P( a X b) F F. p ( p) p ( p) mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 30

6. DODATAK Tablca 7. Tablca ekh stadardh atdervacja Fukcja f Stadarda atdervacja F a a x x, + x + x a, a > 0 e a x, a 0 l a x a a x e a s( a x), a 0 cos( a x), a 0 cos( a x) a s( a x) a Formula za djelomču (parcjalu) tegracju: u dv = u v v du Neka osova svojstva tegrala: ( ) a f ( x) d x = a f ( x) d x. f ( x) ± g( x) d x = f ( x) d x ± g( x) d x, Newto-Lebzova formula: b f ( x) d x = F( b) F( a), gdje je F stadarda atdervacja fukcje f. a Neprav tegral: b b f ( x) dx = lm f ( x) dx a a b f ( x) dx = lm f ( x) dx b + a, + a L'Hôptal Beroulljevo pravlo: f ( x ) f lm lm ( x = ) x c ' g( x) x c g ( x) ' mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3

Tablca 8. Tablca vrjedost fukcje razdobe vjerojatost * F varjable X N (0, ) x 0.00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.597 0.5595 0.5994 0.539 0.5790 0.5388 0.53586 0. 0.53983 0.54380 0.54776 0,557 0.55567 0.5596 0.56356 0.56749 0.574 0.57535 0. 0.5796 0.5837 0.58706 0.59095 0.59483 0.5987 0.6057 0.6064 0.606 0.6409 0.3 0.679 0.67 0.655 0.6930 0.63307 0.63683 0.64058 0.6443 0.64803 0.6573 0.4 0.6554 0.6590 0.6676 0.66640 0.67003 0.67364 0.6774 0.6808 0.68439 0.68793 0.5 0.6946 0.69497 0.69847 0.7094 0.70540 0.70884 0.76 0.7566 0.7904 0.740 0.6 0.7575 0.7907 0.7337 0.73565 0.7389 0.745 0.74537 0.74857 0.7575 0.75490 0.7 0.75804 0.765 0.7644 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7830 0.7854 0.8 0.7884 0.7903 0.79389 0.79673 0.79955 0.8034 0.805 0.80785 0.8057 0.837 0.9 0.8594 0.8859 0.8 0.838 0.8639 0.8894 0.8347 0.83398 0.83646 0.8389.0 0.8434 0.84375 0.8464 0.84849 0.85083 0.8534 0.85543 0.85769 0.85993 0.864. 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.8786 0.87493 0.87698 0.87900 0.8800 0.8898. 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.895 0.89435 0.8967 0.89796 0.89973 0.9047.3 0.9030 0.90490 0.90658 0.9084 0.90988 0.949 0.9309 0.9466 0.96 0.9774.4 0.994 0.9073 0.90 0.9364 0.9507 0.9647 0.9785 0.99 0.93056 0.9389.5 0.9339 0.93448 0.93574 0.93699 0.938 0.93943 0.9406 0.9479 0.9495 0.94408.6 0.9450 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.9554 0.9554 0.9535 0.95449.7 0.95543 0.95637 0.9578 0.9588 0.95907 0.95994 0.96080 0.9664 0.9646 0.9637.8 0.96407 0.96485 0.9656 0.96638 0.967 0.96784 0.96856 0.9696 0.96995 0.9706.9 0.978 0.9793 0.9757 0.9730 0.9738 0.9744 0.97500 0.97558 0.9765 0.97670.0 0.9775 0.97778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.98030 0.98077 0.984 0.9869. 0.984 0.9857 0.98300 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.98500 0.98537 0.98574. 0.9860 0.98645 0.98679 0.9873 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899.3 0.9898 0.98956 0.98983 0.9900 0.99036 0.9906 0.99086 0.99 0.9934 0.9958.4 0.9980 0.990 0.994 0.9945 0.9966 0.9986 0.99305 0.9934 0.99343 0.9936.5 0.99379 0.99396 0.9943 0.99430 0.99446 0.9946 0.99477 0.9949 0.99506 0.9950.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.996 0.9963 0.99643.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.9970 0.997 0.9970 0.9978 0.99736.8 0.99744 0.9975 0.99760 0.99767 0.99774 0.9978 0.99788 0.99795 0.9980 0.99807.9 0.9983 0.9989 0.9985 0.9983 0.99836 0.9984 0.99846 0.9985 0.99856 0.9986 3.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.9988 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900 Uputa za prmjeu tablce: Zameku jedca zameku desetk treba proać u recma, dok zameku stotk treba proać u stupcma. Npr. F * (.3) očta se a presjeku retka. stupca 0.03: Vrjedost fukcje Npr. F * (.3) = 0.89065. * F za x [ 3,0 dobju se korštejem svojstva: * * F x F x x [ ] ( ) = ( ), 0, 3. * * F (.3) = F (.3) = 0.89065 = 0.0935. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 3

6.. Pregled ekh MATLAB-ovh fukcja koje se korste u vjerojatost statstc Fukcja Začeje bar crtaje jedostavh stupaca barh crtaje jedostavh redaka betacdf fukcja razdobe vjerojatost beta slučaje varjable betav verz fukcje razdobe vjerojatost beta slučaje varjable betapdf fukcja gustoće beta slučaje varjable betastat očekvaje varjaca beta slučaje varjable bocdf fukcja razdobe vjerojatost bome slučaje varjable bov verz fukcje razdobe vjerojatost bome slučaje varjable bopdf fukcja gustoće bome slučaje varjable bostat očekvaje varjaca bome slučaje varjable cdf fukcja razdobe vjerojatost određee slučaje varjable expcdf fukcja razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable expv verz fukcje razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable exppdf fukcja gustoće ekspoecjale slučaje varjable expstat očekvaje varjaca ekspoecjale slučaje varjable factoral fukcja! geocdf fukcja razdobe vjerojatost geometrjske slučaje varjable geov verz fukcje razdobe vjerojatost geometrjske slučaje varjable geomea geometrjska sreda za podataka geopdf fukcja gustoće geometrjske slučaje varjable geostat očekvaje varjaca geometrjske slučaje varjable harmmea harmojska sreda za podataka hst crtaje hstograma (egrupra podac) hstc crtaje hstograma (podac grupra u razrede) hygecdf fukcja razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable hygev verz fukcje razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable hygepdf fukcja gustoće hpergeometrjske slučaje varjable hygestat očekvaje varjaca hpergeometrjske slučaje varjable cdf verz fukcje razdobe vjerojatost određee slučaje varjable qr terkvartl za podataka kurtoss koefcjet zaobljeost za podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 33

Fukcja mad max mea meda m mode momet choosek ormcdf ormv ormpdf ormstat pdf perms posscdf Začeje sredje apsoluto odstupaje za podataka ajveć elemet za podataka artmetčka sreda za podataka; očekvaje eke slučaje varjable medja za podataka ajmaj elemet za podataka mod za podataka sredšj momet za podataka bom koefcjet k fukcja razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable verz fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable fukcja gustoće ormale slučaje varjable očekvaje varjaca ormale slučaje varjable fukcja gustoće vjerojatost određee slučaje varjable sps svh permutacja ekoga skupa vrjedost vjerojatost Possoove slučaje varjable possov verz fukcje razdobe vjerojatost Possoove slučaje varjable posspdf posstat prctle quatle rage skewess std tabulate tedrak udcdf udcdf udv udpdf udstat var zscore fukcja gustoće vjerojatost Possoove slučaje varjable očekvaje varjaca Possoove slučaje varjable percetl za podataka kvatl za podataka raspo varjacje za podataka koefcjet asmetrje za podataka stadarda devjacja za podataka l eke slučaje varjable tablčo grupraje podataka rag modalteta fukcja razdobe vjerojatost dskrete jedolke slučaje varjable fukcja razdobe vjerojatost eprekde jedolke slučaje varjable verz fukcje razdobe dskrete/eprekde jedolke slučaje varjable fukcja gustoće vjerojatost dskrete/eprekde jedolke slučaje varjable očekvaje varjaca dskrete jedolke slučaje varjable varjaca za podataka l eke slučaje varjable stadardzraa vrjedost mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 34

6.. Pregled ekh fukcja MS Excel-a koje se korste u vjerojatost statstc Fukcja Začeje AVEDEV sredje apsoluto odstupaje za egruprah podataka AVERAGE artmetčka sreda egrupraoga za podataka BETADIST fukcja razdobe vjerojatost beta slučaje varjable BINOMDIST fukcja razdobe vjerojatost bome slučaje varjable COMBIN bom koefcjet EXPONDIST fukcja razdobe vjerojatost ekspoecjale slučaje varjable FACT fukcja! FACTDOUBLE fukcja!! GEOMEAN geometrjska sreda egrupraoga za podataka HARMEAN harmojska sreda egrupraoga za podataka HYPGEOMDIST fukcja razdobe vjerojatost hpergeometrjske slučaje varjable KURT koefcjet zaobljeost egrupraoga za podataka MAX ajveća vrjedost u egrupraom zu podataka MEDIAN medja egrupraoga za podataka MIN ajmaja vrjedost u egrupraom zu podataka MODE mod egrupraoga za podataka MULTINOMIAL multom koefcjet NORMDIST fukcja razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable NORMINV verz fukcje razdobe vjerojatost ormale slučaje varjable NORMSDIST fukcja razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable NORMSINV verz fukcje razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable PERCENTILE percetl egrupraoga za podataka PERMUT ukupa broj k-permutacja -člaoga skupa POISSON fukcja razdobe vjerojatost Possoove slučaje varjable PROB vjerojatost da ek broj prpada određeom tervalu QUARTILE kvartl egrupraoga za podataka RANK rag modalteta SKEW koefcjet asmetrje egrupraoga za podataka STANDARDIZE stadardzraa vrjedost STDEV stadarda devjacja uzorka podataka STDEVP stadarda devjacja cjele populacje podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 35

Fukcja VAR VARP varjaca uzorka podataka Začeje varjaca cjele populacje podataka mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 36

POPIS KORIŠTENIH OZNAKA Ozaka := defra se N Z R C card skup prrodh brojeva skup cjelh brojeva Začeje skup realh brojeva skup kompleksh brojeva apsoluta vrjedost praza skup kardal broj skupa podskup skupa prav podskup skupa presjek skupova uja skupova \ razlka skupova C komplemet skupa a, b otvore terval, tj. { x R : a < x < b} a, b ] poluotvore terval, tj. { x R : a < x b} [ a, b poluzatvore terval, tj. { x R : a x < b} [ a, b ] segmet, tj. { x R : a x b} = = x x x zbroj x +... + x umožak x... x ajmaj cjel broj jedak l već od x Kartezjev umožak skupova! umožak prvh prrodh brojeva P(, k) broj k-permutacja -člaoga skupa k! k multom koefcjet = = k,..., ( k!) k = k... ( k + ) bom koefcjet k! C(, k ) broj k-kombacja s poavljajem -člaoga skupa mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 37

Ozaka f f < f > r r < r > x Mo Q Q Q 3 R I q V q MAD Var σ V E D * F Začeje apsoluta frekvecja modalteta x apsoluta frekvecja maje od modalteta x apsoluta frekvecja veće od modalteta x relatva frekvecja modalteta x relatva frekvecja maje od modalteta x relatva frekvecja veće od modalteta x artmetčka sreda umerčkoga za mod za. l doj kvartl. kvartl l medja 3. l gorj kvartl raspo varjacje za terkvartl koefcjet kvartle devjacje sredje apsoluto odstupaje varjaca (dsperzja) stadarda devjacja koefcjet varjacje (matematčko) očekvaje prroda domea fukcje fukcja gustoće stadarde ormale razdobe mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 38

POPIS TABLICA. Tablca. Izračuavaje percetla z (e)gruprah podataka 4. Tablca. Skala tezteta varjablteta koefcjeta kvartle devjacje 5 3. Tablca 3. Skala tezteta varjablteta koefcjeta varjacje 5 4. Tablca 4. Određvaje potpuh sredjh vrjedost 6 5. Tablca 5. Određvaje položajh sredjh vrjedost 7 6. Tablca 6. Određvaje mjera raspršeja (dsperzje) 8 7. Tablca 7. Tablca ekh stadardh atdervacja 3 8. Tablca 8. Tablca vrjedost fukcje razdobe vjerojatost stadarde ormale slučaje varjable 3 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 39

KAZALO POJMOVA algebra događaja 6 apsoluta frekvecja - "maje od" - "veće od" - korgraa 3 - kumulatv z Beroulljeva shema 0 boma razdoba boma slučaja varjabla - fukcja vjerojatost - očekvaje - slka - stadarda devjacja - varjaca bom koefcjet 5 Čebševljeva ejedakost 9 Čebševljevo pravlo u opsoj statstc 5 de Morgaove formule 6 decl 4 dskreta jedolka slučaja varjabla - očekvaje - stadarda devjacja - varjaca dskreta slučaja varjabla 9 - fukcja razdobe vjerojatost 9 - fukcja vjerojatost 9 - očekvaje 0 - stadarda devjacja 0 - tablca razdobe 9 - varjaca 0 događaj 6 - elemetar 6 - emoguć 6 - sgura 6 - suprota 6 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 40

događaj - dsjukt 6 - ezavs 8, 9 - operacje s događajma 6 dulja statstčkoga za ekspoecjala slučaja varjabla 7 - fukcja gustoće 7 - fukcja razdobe vjerojatost 7 - očekvaje 7 - stadarda devjacja 7 - varjaca 7 formula - Bayesova 9 - potpue vjerojatost 9 geometrjska slučaja varjabla 3 - fukcja razdobe vjerojatost 3 - fukcja vjerojatost 3 - očekvaje 3 - slka 3 - stadarda devjacja 3 - varjaca 3 hpoteze 9 hpergeometrjska slučaja varjabla 4 - fukcja razdobe vjerojatost 4 - fukcja vjerojatost 4 - očekvaje 4 - slka 4 - stadarda devjacja 4 - varjaca 4 hstogram k-kombacja - bez poavljaja 5 - s poavljajem 5 k-permutacja - bez poavljaja 5 - s poavljajem 5 mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4

kvartl - doj 4, 7 - gorj 4, 7 medja 4, 7 mjere raspršeja 4 - apsolute 4 - relatve 4 mod 3 multom koefcjet 5 multskup 4 modaltet oblježja eprekda jedolka slučaja varjabla 6 - fukcja gustoće 6 - fukcja razdobe vjerojatost 6, 7 - očekvaje 7 - stadarda devjacja 7 - varjaca 7 eprekda slučaja varjabla 5 - fukcja gustoće vjerojatost 5 - fukcja razdobe vjerojatost 5 - očekvaje 6 - stadarda devjacja 6 - varjaca 6 ormala slučaja varjabla 8 - fukcja gustoće 8 - očekvaje 8 - stadardzraa 8 - stadarda devjacja 8 - varjaca 8 percetl 3, 4 permutacja - bez poavljaja 4 - multskupa 4 - s poavljajem 4 Possoov model Possoova slučaja varjabla mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 4

- očekvaje - stadarda devjacja - varjaca polgo apsoluth/relatvh frekvecja potpu sustav događaja 9 teorem - bom 5 - Čebševljev za dskrete slučaje varjable 0 - Čebševljev za eprekde slučaje varjable 9 - tegral de Movrè-Laplaceov 30 - lokal de Movrè-Laplaceov 30 - o uzastopom prebrojavaju 4 - Possoov pravlo 3 σ 9 pravlo jedakost (bjekcje) 4 prcp zbroja 4 prostor elemetarh događaja 6 raspo varjacje 4 razdoba - bmodala 3 - boma - dskreta jedolka - ekspoecjala 7 - geometrjska 3 - hpergeometrjska 4 - multmodala 3 - eprekda jedolka 6, 7 - ormala 8 - Possoova - stadarda ormala 8 - umodala 3 relatva frekvecja - "maje od" - "veće od", - korgraa 3 - kumulatv z mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 43

slučaja varjabla - dskreta 9 - eprekda 5 slučaj pokus 6 sreda - artmetčka 3, 6 - geometrjska 3, 6 - harmojska 3, 6 sredje apsoluto odstupaje 4, 8 sredje vrjedost - položaje 3 - potpue stadardzrao oblježje 6 stadarda devjacja 4, 8 stadarda (jedča) ormala slučaja varjabla 8 - fukcja gustoće 8 - očekvaje 8 - stadarda devjacja 8 - varjaca 8 svojstvo zaboravljaja 3, 7 varjaca 4, 8 vjerojatos prostor 7 - klasča 7 vjerojatost 7 - defcja 7 - geometrjska 7 - uvjeta 8 zatvore razred - doja graca - gorja graca - eprav - prav - sreda - šra mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 44

LITERATURA. N. Sarapa: Teorja vjerojatost, Školska kjga, Zagreb, 00.. M. Bešć, N. Šuvak: Uvod u vjerojatost statstku, Odjel za matematku Sveučlšta u Osjeku, Osjek, 04. 3. N. Elezovć: Dskreta vjerojatost, Elemet, Zagreb, 007. 4. N. Elezovć: Slučaje varjable, Elemet, Zagreb, 007. 5. Ž. Pauše: Uvod u matematčku statstku, Školska kjga, Zagreb, 993. 6. S. Suljagć:, tera skrpta, Tehčko veleučlšte u Zagrebu, Zagreb, 003. 7. D. Velja: Kombatora dskreta matematka, Algortam, Zagreb, 00. mr.sc. Boja Kovačć, vš predavač 45