Sveučilište u Zagrebu

Транскрипт

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA SEMINAR Osnovna svojstva kompleksnh mreža njhova prmjena Đan Glavnć 1.02 Vodtelj: Mr.sc. Mle Škć Zagreb, 05, 2007.

2 Sadržaj 1. Uvod Uvod u teorju grafova Osnovn pojmov teorje grafova Postupak rješavanja grafova Clusterng Dstrbucja stupnjeva čvorova l raspodjela veza Preferrano povezvanje...error! Bookmark not defned Objašnjenje srednjeg najkraćeg puta...error! Bookmark not defned Metode Procjena maksmalne vjerojatnost Metoda najmanjh kvadrata Prmjena kompleksnh mreža Zaključak Sadržaj Lteratura...22

3 1. Uvod Zbog razlčth struktura koje se pojavljuju u kompleksnm mrežama, javljaju se razlčte raspodjele veza zmeđu čvorova. Proučavanjem realnh kompleksnh mreža otkrveno je da u većn slučajeva one maju Pareto l Pareto raspodjelu s eksponencjalnm repom, dok unformno slučajne mreže maju Possonovu l eksponencjalnu raspodjelu. Da b se zvršla analza kompleksne mreže potrebno je razvt alat kojm b se prvo utvrdla raspodjela veza zmeđu čvorova, a na temelju koje se kasnje određuju koja osnovna svojstva ma promatrana mreža. U prvom poglavlju se govor o uvodu u teorju grafova njhovm svojstvma.dalje govormo o nekm osnovnm metodama pojmovma grafova te pregledu osnovnh svojstava koja se pojavljuju u svm kompleksnm mrežama. U poglavlju metode opsane su metode korštene za određvanje parametara pretpostavljenh modela raspodjela veza. 1

4 2. Uvod u teorju grafova 2.1 Osnovn pojmov teorje grafova Grafov su jedno od osnovnh matematčkh struktura. Stoga se pojavljuju u raznm oblcma raznm stuacjama. Mnoge se pojave modelraju grafovma (djagramma) koj se sastoje od točaka njhovh spojnca. Na prmjer,točke (vrhov l čvorov) mogu predstavljat ljude z neke skupne, a spojnce (brdov)parove prjatelja, l točke mogu predstavljat komunkacjske centre,a spojnce komunkacjske veze. Graf može predstavljat elektrčnu mrežu, čj su vrhov elektrčke komponente, a spojnce elektrčne veze. Cestovne, željeznčke, zrakoplovne veze td. daljnj su prmjer modela sa grafovma. U računarstvu se često djagram toka nekog algortma pokazuje grafom kojem se čvorov naredbe (nstrukcje), a lukov z jedne u drugu naredbu su brdov. Isto se tako grafovma prezentraju razne kompjutorske strukture podataka, umrežavanje paralelzam računala njhov sekvencjaln rad, evolucjska l porodčna stabla u bologj, kemjske veze među atomma l molekulama, raspored poslova u velkm gospodarskm projektma td. Nek od osnovnh pojmova u vez grafova: Graf je uređen par G= (V,E), gdje je 0 V = V(G) skup vrhova (eng. vertex), E=E(G) skup brdova ( eng. edge) dsjunktn s V, a svak brd Є E spaja dva vrha u,v Є V koj se zovu krajev od e 1. kažemo još tada da su vrhov u v susjedn pšemo e=uv (l pravlno e={u,v}). Brdove sa barem jednm zajednčkm krajem također zovemo ncdentnm. Grafov G H su zomorfn, pšemo G H ako postoje bjekcje Ө :V(G) V(H) ϕ : E(G) E(H) tako da je vrh v ncdentan s brdom e u G ako samo ako je Ө(v) ncdentan sa ϕ (e) u H. Uređen par f=( Ө, ϕ ) : G H se tada zove zomorfzam z G u H. Izomorfzam, dakle, čuva ncdencju susjednost. Brd čj se krajev podudaraju zove se petlja, a ako su krajev razlčt prav brd l karka. Dva brda l vše njh sa stm parom krajeva zovu se všestruk brdov. graf G je jednostavan ako nema n petlja n všestrukh brdova. Graf sa samo jednm vrhom zove se trvjalan, a nače netrvjalan. G je prazan graf ako je E(G)=0. Ako se ne 2

5 kažemo drukčje, m sključvo proučavamo konačne grafove. Dva osnovna parametra vezana uz osnovn graf su: v( G) = V ( G) = red od G= broj vrhova od G, e( G) = E( G) = velčna od G= broj brdova od G. Slka 2.1. Graf sa 6 vrhova Graf G na ovoj slc ma 6 vrhova, tj. v(g)=6, 10 brdova, tj. e(g)=10, ma jednu petlju, jedan dvostruk jedan trostruk brd. Prlkom crtanja većnom zostavljamo oznake vrhova brdova te crtežom reprezentramo klasu ekvvalencje zomorfnh grafova. Ops grafova koj se najčešće rabe: Jednostavan graf u kojem je svak par vrhova spojen brdom zove se potpun graf n.do na zomorfzam postoj jednstven potpun graf s n vrhova brdova 2 koje označavamo sa Kn. Ustvar ako je V(Kn)={1,2,3,...,n} = [n], onda je [] n E(Kn)=. Graf G je bparttan l dvodjeln ako mu se skup vrhova može 2 partconrat u dva skupa X Y tako da svak brd ma jedan kraj u X, a drug u Y. Partcja (X,Y) zove se tada bpartcja grafa. Bparttn graf sa bpartcjom (X,Y) označavamo sa G(X,Y). Potpun bparttn graf jednostavan je bparttn graf sa bpartcjom (X,Y) u kojem je svak vrh z X spojen sa svakm vrhom u Y. Ako je X =m Y =n, takav je graf jednstven do na zomorfzam označava se s K m,n ; v(k m,n )=m+n, e(k m,n )=mn. Graf određen vrhovma brdovma kocke zove se kubn graf. Evo nekh prmjera: 3

6 Slka 2.2. Prmjer grafova Slka 2.3. Crtež grafa K 23 s 253 brda (ornament, pleter, čpka) Daljnj važn prmjer (jednostavnh ) grafova su cklus putov. Cklus C n na n vrhova možemo defnrat skupom vrhova V={1,2,...,n} skupom brdova E={{,+1} < n } { 1, n} 4

7 Slka 2.4. Cklus Put P n na n vrhova V={1,2,...,n}, E={{,+1} < n } Slka 2.5. Put 2.2 Postupak rješavanja grafova Jedan od velkh otvorenh problema u teorj grafova pta dal postoj nek efkasn postupak ( algortam) kojm b se moglo odlučt jesu l dva dana grafa zomorfna l ne. Postoje opravdane sumnje da takav algortam ne postoj. Poteškoća je u tome da se provjer jesu l dva grafa s n vrhova nezomorfna, m trebamo prema defncj provjert da n jedan od n! Bjekcja na skupovma vrhova ne daje zomorfzam grafova. Često te provjere možemo zbjeć. Npr., ako su brojev brda grafa razlčt onda je jasno da su takv grafov nezomorfn. Općento nje poznata neka efkasna metoda koja će uvjek razlkovat nezomorfne grafove. Ako je V ={1,2,...,n} skup vrhova, onda zbor jenostavnog grafa sa skupom vrhova V V V n znač da treba odabrat podskup E. Kako je =, sljed da svh grafova na V ma 2 n 2. No među njma je znatno manje međusobno nezomorfnh grafova. Npr., za n =3, mamo 8 grafova čj je skup vrhova 5

8 V= {1,2,3}. To su : Slka 2.6. grafov z prmjera Među njma možemo nać samo 4 vrste međusobno nezomorfnh. To su: Slka 2.7. nezomorfn grafov Često je vrlo korsno relacje ncdencje susjedstva u grafu prkazat matrcama. Neka je G graf sa vrhovma v 1,v 2,...,v n, u nekom poretku brdovma e 1,e 2,...e m u nekom poretku. Matrca ncdencje grafa G je (pravokutna) je n x m- matrca M=M(G)=[m j ], gdje je m j =broj (0,1 l 2) kolko su putav e j ncdentn. Matrca ncdencje potpuno određuje graf. Matrca susjedstva (eng. adjacency matrx) grafa G je (kvadratna) n x n matrca. Svaka takva matrca reprezentra nek graf. Prmjer 1. uspordeba grafova sa matrcama 6

9 Matrca susjetstva je u pravlu mnogo manja oa matrce ncdencje. Napomenmo da obje ovse o odabranm poretcma, odnosno označavanju vrhova brdova. Slka 2.8 prmjer grafova Operacjom nad brdovma ( osm odstranjenja dodavanja ) ma značajnu ulogu. To je kontrakcja brdova kažemo da je brd e E(G) kontraktran ako je odstranjen, a njegov vrhov dentfcran. Slka 2.9 prmjer kontraktranog grafa 7

10 3.Clusterng Clusterng (ugroždnjavanje)petlje su specfčne veze u mrežama. Sam pojam ugroždnjavanja je povezan s petljama dužne 3 (rubov trokuta). Lokalno ugroždnjavanje predstavlja relatvn broj veza zmeđu najblžeg susjeda tjemena C = k n ( k 1) / 2 k je stupanj tjemena, n je ukupn broj veza zmeđu najblžh tjemena. Srednja vrjednost C tjemena stupnja k daje stupanj ovsnost lokalnog ugroždnjavanja C(k), koj pokazuje vjerojatnost da će se dva susjedna tjemena stupnja k spojt. Značenje samog ugroždnjavanja defnrano je: C C = P( k) C( k) Koefcjent ugroždnjavanja defnran je n C = k P( k) n( k) 2 ( k 1) / 2 ( k k )/ 2 Koefcjent ugroždnjavanja je tr puta proporconalan omjeru svh stranca kutova trokuta broju spojenh trostrukh tjemena. Ako je prsutna neogrančeno velka uzajamna veza, ugroždnjavanje je odsutno. Tako, u uzajamnm vezama ugroždnjavanje je konačno velkog efekta. Na prmjer, u klasčnm grafovma vrjed k C( k) = C = C k N 8

11 4. Dstrbucja stupnjeva čvorova l raspodjela veza Stupnjev čvorova u slučajnm mreža su statstčk raspodjeljen, gdje je stupanj čvora broj veza koje čvor ma sa susjednm čvorovma. U neusmjerenoj mrež, ako se čvorov međusobno razlkuju, svak čvor ma stupanj dstrbucje p(k,s,n)error! Reference source not found.. Drugm rječma, kažemo da je to vjerojatnost da čvor s u mrež velčne N ma k veza (k susjeda). Na osnovu dstrbucje stupnjeva za svak čvor u mrež, moguće je onda pronać ukupnu dstrbucju stupnjeva : 1 P ( k, N) = p( s, k, N) N N 1 s= Ako su sv čvorov u slučajnm mrežama statstčk jednak, tada svak od njh ma jednaku raspodjelu stupnjeva P(k,N). Prv moment te raspodjele daje nam srednj stupanj mreže: k = kp( k) k Tada ukupan broj veza u mrež L možemo zračunat preko srednjeg stupnja mreže: L = k N 2 Dstrbucja stupnjeva čvorova opsuje samo lokalna svojstva mreže, ako je to mala kolčna nformacja o mrež, občno bude dovoljno da se odrede neka osnovna svojstva mreže. 9

12 Neke od tpčnh dstrbucja stupnjeva čvorova: Possonova dstrbucja P( k) = -k e k k! k Klasčn slučajn grafov maju ovakvu dstrbucju ako m se broj čvorova prblžava beskonačnost uz ogrančenje da je srednj stupanj grafa konstantan. Eksponencjalna dstrbucja P ( k) = e k Ovo je dstrbucja rastućeg grafa -k Zakon potencje (eng. power-law) -α P ( k) = k Za razlku od prve dvje dstrbucje power-law nema prrodn opseg te ju se još nazva dstrbucja bez skale, a mreže sa takvom dstrbucjom su mreže bez skale. U beskonačno velkm mrežama, sv vš moment power-law dstrbucje reda m α-1 dvergraju. Iz toga se može vdjet koje vrjednost može poprmt eksponent α za mreže bez skale: - ako je prosječan stupanj mreže bez skale (prv moment dstrbucje) konačan onda je eksponent α već od 2 - ako prosječan stupanj mreže bez skale varra, što je slučaj za većnu realnh mreža, a dstrbucja stupnja čvorova je konstantna onda je 1<α<2 Konačne mreže, a to znač sve realne mreže, maju dstrbucje koje maju tzv. rep one su prrodno odrezane. 10

13 5. Preferrano povezvanje Ovo svojstvo kompleksnh mreža nam govor što su čvorov všeg stupnja maju veću vjerojatnost, u odnosu na ostale čvorove, da svoj stupanj još vše povećaju. To je već odavno poznat fenomen u socjalnm mrežama, a poznat je kao Matjn efekt, dobo je me po ulomku z Matejevog evanđelja. Matjn efekt prmjenjen u mrežama u bt kaže da čvorov s puno veza će na sebe prvuć nove veze, dok slabje povezan čvorov će vjerojatno takv ostat. Slčno ponašanje javlja se u ekonomj, koje je još u 19. st. Prmjeto V. Pareto, a danas je poznato kao Paretov zakon l 80/20 koj ukratko kaže da se bogat još vše bogate odnosno da 20% populacje posjeduje 80% dobara. Taj je zakon u statstc poznat kao zakon potencje (eng. power-law). Kako je prmjećeno takvo ponašanje u realnm mrežama, možemo reć da je proces preferranog povezvanja glavn sastojak pr kreranju mreže bez skale. Model mreža bez skale pretpostavlja da je vjerojatnost p(k) povezvanja čvora na nek čvor proporconalna stupnju čvora. p (k ) = k j k j Ta pretpostavka uključuje dvje hpoteze: prvo da p(k) ovs o stupnju k čvora, a druga da je p(k) lnearno ovsna o k. Funkcjsk oblk p(k) može bt određen za mreže za koje znamo u kojem će se trenutku pojavt nov čvor bt povezan s mrežom. Prmjer takve mreže je mreža koautorstva među znanstvencma l mreža ctata članaka. Pretpostavmo neko trenutno stanje mreže, zapamtmo njen broj čvorova njhov stupanj. Nakon nekog ntervala ΔT, koj je puno krać od starost mreže, dolaz do povećanja stupnja čvorova. Ako prema relacj (7) prkazujemo relatvnu promjenu Δk stupnja čvorova u ovsnost o prjašnjem stupnju pojednog čvora, dobvamo Δk funkcju p(k). Δk je broj veza koje su otvorene tokom vremena ΔT. 11

14 Da b prkazal tu ovsnost smanjl osclacje podataka tokom statstčke obrade često se prkazuje kumulatvna dstrbucja P (k) = k k = 0 p(k Iz emprjskh zapažanja, kao u slučaju mreže koautorstva mrež ctranh članaka, prmjećeno je da p(k)=k α. Efekt nelnearne funkcje p(k) u dnamc mreže njenoj topologj gdje je zamjenom lnearnog preferranog povezvanja sa nelnearnm p(k)=k α u usmjerenoj mrež zračunat srednj broj N k (t) čvorova sa k -1 ulaznm vezama u vremenu t. Iz proračuna prozlaz da prroda mreže bez skale se unštava za nelnearno preferrano povezvanje. Jedn slučaj u kojem je topologja mreže bez skale sačuvana kada je preferrano spajanje asmptotsk lnearno, p(k )~ak kada dobvamo P(k) = k -α, ) k. U tom slučaju eksponent α može bt podešen na blo koju vrjednost, 2 < α <. Još jedno svojstvo p(k) u realnm mrežama da je p(0) 0, što znač da postoj vjerojatnost da se nov čvor poveže sa nekm zolranm čvorom, otuda prozlaz p(k) = A + k α gdje je A početna atraktvnost čvora Error! Reference source not found.. Ako je A = 0 čvor koj ma stupanj povezanost k = 0 nkada neće moć povećat svoj stupanj (povezanost) što prozlaz z (7). No u realnm mrežama svak čvor ma neku konačnu šansu da bude otkrven povezan. Zato parametar A označava vjerojatnost da je nov čvor otkrven, kao u slučaju kad je nov članak po prv puta ctran. U modelu z jednce vremena mrež se dodaje nov čvor što je popraćeno dodavanjem novh veza z blo kojh čvorova u mrež prema nekom od preferranh čvorova. Vjerojatnost 12

15 da nek čvor dobje neku od th m novh veza proporconalna je sum početne atraktvnost broju novh veza. p(k n ) = A + k n gdje k n označava ulazn stupanj čvora (stupanj čvora po broju veza koje su usmjerene prema njemu). Proračun z Error! Reference source not found. ukazuje da dstrbucja stupnjeva čvorova prat zakon potencje P(k)= k -α uz znos potencje α = 2 + A / m. Posljedce su da početna atraktvnost ne unštava prrodu mreža bez skale već m samo mjenja potencju. 13

16 6. Objašnjenje srednjeg najkraćeg puta Najkrać put (engl. shortest path) se često korst za optmzranje raznh ruta u Internetu, transportu td. Pokazalo se kako je srednj najkrać put znmno mal s obzrom na velčnu mreže te se taj efekt zove efekt malog svjeta. Izračunavanje najkraćeg puta možemo radt pomoću vše algortama, ovsno kakvog je tpa mreža. U ovom radu najkrać put za bestežnske mreže zračunat je pomoću pretražvanja u šrnu (engl. breadth frst search)[1] dok za težnske grafove pomoću Djkstrnog algortma[1]. Složenost pretražvanja u šrnu je O(V + E) dok je složenost Djkstrnog algortma ovs o tome kako je mplementran prortetn red. U ovom radu red je mplementran pomoću hrpe te je složenost O(( V + E ) * logv). Slka 5-1 prkazuje usmjeren bestežnsk graf te je zelenom bojom staknut najkrać put zmeđu vrhova 6 9. Slka 6.1 Bestežnsk usmjeren graf. Zelenom bojom je staknut najkrać put zmeđu vrha

17 7. Metode U ovome poglavlju bt će obrazložene metode korštene za procjenu parametara odabranh modela dstrbucje. Da b se mogla procjent svojstva kompleksnh mreža potrebno je statstčk obradt podatke koj se mogu dobt z mreže. Iako kolčna nformacja koju možemo zvuć je mala, občno je to dstrbucja stupnjeva čvorova, ona ponekad može bt sasvm dovoljna za procjenu nekh osnovnh svojstava. Ovdje se spomnju razne vrste realnh mreža, te se napomnje kako je tek emprjsk utvrđeno da se velk broj realnh mreža ponaša kao mreže bez skale l ako se njhova topologja može usporedt sa topologjom slučajnh grafova tada vjerojatno dstrbucja stupnjeva čvorova ma bnomnu, eksponencjalnu l Possonovu raspodjelu. Nakon što se prkupe podac problem je što nkad ne znamo kolko naš odabran model dobro prat prkupljene podatke. Da b mogl procjent kolko je dobar odabran model potrebno je pronać vrjednost njegovh parametara, odnosno estmrat h na temelju podataka kojma raspolažemo. No nakon estmacje parametara kako bt sguran da je model s dobvenm parametrma dobar. Jedan od načna da grafčk provjermo kako za dobven parametar pretpostavljen model prat podatke. Drug načn je numerčk, korštenjem statstčkog testa, Kolmogorov-Smrnov test. No prvo je potrebno odredt parametre. Dvje su glavne metode estmacje parametara. Metoda najmanjh kvadrata (LSE) metoda maksmalne vjerojatnost (eng. maxmum lkelhood estmaton MLE). Naglasak u ovom radu je na MLE metod, zbog vše razloga koj su naveden u narednom tekstu, dok se metoda najmanjh kvadrata korst u slučaju kad MLE metodom nsmo mogl dobt traženu ovsnost parametara. 15

18 8. Procjena maksmalne vjerojatnost MLE je standardna metoda estmacje u statstc. Neka svojstava MLE estmacje: dostatnost - kompletne nformacje o traženom parametru sadržane su u MLE procjen, konzstentnost, efkasnost najmanja moguća varjanca estmranog parametra parametarska nezavsnost model dobvanja MLE neovsan je o parametru koj se traž. Statstčk gledano, x = x 1, x 2,, x n ) je vektor podataka slučajnh uzoraka nekog skupa. Clj analze podataka da se dentfcra skup za koj je najvjerojatnje da je producrao te uzorke. U statstc svak skup je dentfcran sa odgovarajućom dstrbucjom vjerojatnost. Odnosno svaka vrjednost parametra nekog modela vezana je za dstrbucju vjerojatnost. Ako parametar mjenja svoju vrjednost tada se dobva drugačja dstrbucja vjerojatnost. Po defncj, model je defnran kao famlja dstrbucja vjerojatnost označen parametrom modela. Neka je p(x α) funkcja gustoće vjerojatnost koja nam određuje vjerojatnost pojavljvanja promatranh podataka vektora x sa prpadajućm parametrom α. Ako su element vektora x statstčk neovsn jedn o drugma tada prema teorj vjerojatnost funkcja gustoće vjerojatnost za podatke x=(x 1,x 2,, x n ) sa prpadajućm parametrom α se može zrazt kao umnožak funkcja gustoća vjerojatnost svakog elementa vektora podataka: p(x=(x 1,x 2,, x n ) α) = p 1 (x 1 α) p 2 (x 2 α) p n (x n α) n p(x=(x 1,x 2,, x n ) α) = =1 p ( α) x Dakle, za skup vrjednost parametara odgovarajuća funkcja gustoće vjerojatnost nam govor kolko su nek podac vjerojatnj od drugh te na taj načn možemo odredt skupnu za koju možemo reć da je najvjerojatnje da je generrala podatke. Međutm u praks m ne znamo kolka nam je vrjednost našeg parametra odnosno 16

19 stuacja je obrnuta, potrebno je odredt vrjednost parametra za koje će nam naš model (funkcja gustoće vjerojatnost) reć da su naš podac za taj model najvjerojatnj. Da rješmo ovaj problem defnramo lkelhood funkcju koja okreće uloge vektora modela traženog parametra. Lkelhood funkcja je dana kao L(α x ), odnosno L(α x ) = p(x α) predstavlja vjerojatnost parametra α ako nam je poznat vektor podataka. Clj MLE estmacje je pronać vrjednost parametra modela za koje su dobven podac najvjerojatnj, odnosno što znač da je potrebno pronać vrjednost u vektoru parametara za koje će lkelhood funkcja mat svoj maksmum. Dobven parametar vektor nazvamo MLE procjena. U općentom slučaju MLE procjena ne mora postojat nt može bt jednstvena. No za naše predložene modele moguće je odredt MLE. Često se zbog lakšeg računanja, odnosno zbog nelnearnh funkcja gustoće vjerojatnost za proračun MLE procjene korst logartmran oblk lkelhood funkcje, tzv. log-lkelhood ln L(α x ), te tako z nelnearne dobvamo lnearnu lkelhood funkcju. Ako je log-lkelhood dervarjablna ako postoj α MLE tada ln L(α x ) mora zadovoljavat parcjalnu jednadžbu: lnl( α x ) α MLE = 0 Ova jednadžba predstavlja nužan uvjet da b MLE procjena postojala. Dodatn uvjet je svakako da je ln L(α x ) maksmum, a ne mnmum što se provjerava drugom parcjalnom dervacjom: 2 lnl( α x ) α 2 MLE = 0 17

20 9. Metoda najmanjh kvadrata Druga korštena metoda za procjenu parametara dstrbucje je metoda najmanjh kvadrata. Za razlku od MLE metode, pomoću ove tražmo vrjednost parametra koj će nam dat najtočnj ops podataka u kontekstu mjerenja kolko predvđen model je blzu podacma. U ovoj metod suma kvadrata pogrešaka (SSE) zmeđu promatranh predvđenh podataka je mnmalna. Ovu metodu korštena je za model Pareto dstrbucje s eksponencjalnm repom jer MLE metoda nje davala ovsnost parametra α o parametru κ. Prva dervacja loglkelhood funkcje ovog modela anulra parametar κ. Estmacju parametra α smo dobl korsteć funkcju nlnft() z programskog paketa matlab. Ova funkcja vraća parametar estmran metodom najmanjh kvadrata. Parametar određuje tako da mnmzra sumu kvadratnh razlka zmeđu predvđenh promatranh vrjednost. Oblk funkcje je nlnft(x,y, fun, beta0) gdje je X matrca predvđenh vrjednost (neovsna varjabla) gdje je svak redak predvđen za pojednu vrjednost u Y vektoru. Y predstavlja vektor promatranh vrjednost (zavsna varjabla). Fun je defnrana funkcja, odnosno model koj vraća vektor predvđenh vrjednost defnrane funkcje koj se zatm uspoređuju s vektorom Y. Beta0 je vektor početnh vrjednost parametara koje se estmra CDF podac Pareto s exp. repom dstrbucja Slka 8.1 loglog graf Pareto s exp. repom dstr. s parametrom estmranm LSE metodom 18

21 10. Prmjena kompleksnh mreža Prmjena kompleksnh mreža jako je opšrna jer se korste u gotovo svm poručjma znanost pa tako naprmjer kompleksne mreže korstmo u elekrtotehnc, akustc, molekularnoj bologc, mnog sustavma gdje god nešto radmo sa nekm grafovma blo koje konstrukcje najbolj prmjer nam je prmjena kompleksnh mreža u bološkom sustavu gdje promatranjem nekh od stanca bća ubt vdmo jako ljepe konstrukcje grafova mnogo zakona koje upravo na tome prncpu m danas korstmo. 19

22 11. Zaključak Grafčkm prkazom dobvenh raspodjela s estmranm parametrma, vd se da je algortam uspo pronać model koj se najbolje poklapa s dstrbucjom veza zmeđu čvorova. Što samo potvrđuje pretpostavku da kompleksne mreže maju jedan od pretpostavljenh modela dstrbucje veza. Za razlku od grafčkh rezultata z numerčkh b se mogao donjet zaključak da nt jedan od modela ne odgovara dstrbucj podataka. No uspoređujuć vrjednost maksmalnh udaljenost zmeđu kumulatvnh funkcja D, odluku koj od modela najbolje prat podatke mogl b temeljt na najmanjoj vrjednost D među predloženm modelma. Da kompleksne mreže često maju kompleksnju raspodjelu veza među čvorovma, odnosno ta je to nerjetko kombnacja raspodjela, potvrđuju nam dobven rezultat, gdje se vd da se model sačnjen od Paretove eksponencjalne raspodjele najbolje poklapa s dstrbucjom podataka. To se može potkrjept s još jednm prmjerom, a to je Pareto raspodjela sa skraćenm repom. Vd se da ona jednm djelom prat raspodjelu podataka, no da b je pratla u repu raspodjele potreban je promjenjen model za estmcju parametra samo za rep. 20

23 12. Sadržaj Iskustvene studje mreža u stvarnom svjetu kao što su Internet, WWW, socjalne suradnčke te razne bološke mreže potakle su na daljnje stražvanje razvjanje u tom smjeru. Mnog stražvač predložl su razne modele koj su objašnjaval nastajanje mreža takvh struktura l očekvane efekte sth. Kako je napredovalo razvjanje ovog područja tako se pojavla potreba za adekvatnm alatma koj će omogućt daljnj napredak u stražvanju. T alat maju mogućnost smulacje analze kompleksnh mreža. I u ovom radu opsujemo neke od th alata neka pravla kod kompleksnh mreža. 21

24 13. Lteratura [1] S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mendes: The shortest path to complex networks, 24. srpnja 2004., arxv:cond-mat/ v4, 27. travnja [2] A. L. Barabás and R. Albert: Emergence of scalng n random networks, Scence 286, 509. [3] M. E. J. Newman: The structure and functon of complex networks, 25.ožujka 2003., arxv:cond-mat/ v1, 27. travnja [4] Darko Veljan, Kombnatorna dskretna matematka Zagreb : Algortam,2001. [5] Internet, [6] Internet, [7] Internet, 22