Microsoft Word Q19-078

Транскрипт

1 . Naučno-stručn skup sa međunarodnm učešćem QUALIY 209, Neum, B&H, 4-6 jun 209. SEPENI MODEL REGRESIJE: ODREĐIVANJE KOEFICIJENAA MODELA POWER REGRESSION MODEL: PARAMEERS DEERMINAION Alma Žga, Dr. Sc. Anel Baručja, B.Sc. Mehmed Čobo, B.Sc. Mašnsk fakultet u Zenc Mašnsk fakultet u Zenc Mašnsk fakultet u Zenc Zenca Zenca Zenca REZIME Prlkom planranja ekspermenta potrebno je odabrat oblk modela regresje, zabrat nvoe faktora koj utču na zlaznu varjablu napravt plan-matrcu ekspermenta. Nakon provedenog ekspermenta najvažnj korak je određvanje koefcjenata regresje. U radu su data tr načna određvanja koefcjenata stepenog modela regresje: matrčn oblk određvanja koefcjenata; određvanje koefcjenata korštenjem plan-matrce ekspermenta kada su faktor modela kodran u raspon vrjednost od - do ; određvanje koefcjenata korsteć ugrađene procedure u softverma: Excel Mathematca. Ključne rječ: plan-matrca ekspermenta, regresja, stepen model SUMMARY When desgnng an experment, t s necessary to choose a form of regresson model, select the factor levels that affect the output varable and create a plan-matrx of experment. After the experment has been carred out, the most mportant step s to determne regresson coeffcents. hree methods of determnng the coeffcents of the power regresson model are gven n ths work: matrx form of coeffcent determnaton; the determnng coeffcents usng experment plan-matrx when model factors are decoded n the range of - to ; the determnng coeffcents usng embedded procedures n softwares: Excel and Mathematca. Keywords: plan-matrx of experment, regresson, power model. UVOD Planran eksperment je vrlo važan alat naučno-stražvačkog rada. Prmjenjuje se u vrlo šrokom spektru stražvanja. Dašć (206), [], korsto je stepen model da nađe funkcju trošenja alata u zavsnost od vremena obrade, pr konstantnoj brzn rezanja. Eknovć Žga (2002), [2], odredl su matematčk model ugba proste grede korsteć planran eksperment. Karć (204), [3], u svojoj doktorskoj dsertacj, opsala je načn dobvanja matematčkog modela za opsvanje utcaja procesnh parametara na vreme trajanja procesa sušenja. Clj ovog rada je da pokaže kako se stepen model pretvara u model lnearne, všefaktorne regresje. U radu je dat detaljan ops matrčnog računa putem koga se određuju koefcjent lnearnog modela regresje. Kada se korst plan-matrca kodranh faktora u rasponu vrjednost -:, postoje jednostavn matematčk zraz kojm se određuju kodrane vrjednost 49

2 koefcjenata, koje se ponovo smjenama vraćaju na prvobtn lnearn model [4]. U radu su dodatno pokazan načn određvanja koefcjenata modela korsteć ugrađene procedure u softverma: Excel Mathematca. 2. PROCJENA KOEFICIJENAA LINEARNOG MODELA REGRESIJE Problem procjene koefcjenata matematčkog modela regresje je jedan od prvh koraka svakog ekspermenta. Zadatak procjene koefcjenata je odredt procjene b pravh vrjednost koefcjenata na osnovu uzorka s n mjerenja parova ulaznh zlazne velčne. Model všestruke, lnearne regresje možemo napsat u oblku: Y b0x0 bxb2x2 bkxk...() gdje je ε stohastčka varjabla koja mjer grešku procjene (rezdual sa očekvanjem nula). Procjena koefcjenata b vrš se na osnovu uzorka sa n mjerenja parova ulaznh zlazne velčne: x, x2, x j, x k, y x2, x22, x2 j, x2k, y2...(2)... x, x, x, x, y n n2 nj nk n Iz dath podataka grad se sstem jednačna: y b0 bxb2x2 bjxj bkx k y b b x b x b x b x Zapsano u matrčnoj form: Gdje je: j 2 j k 2k 2 y b b x b x b x b x n 0 n 2 n2 j nj k nk n...(3) Y Xbˆ...(4) y x x. x bˆ 2 k y 2 x ˆ 2 x22. x 2k ˆ b 2 2 Y X b (5).. yn xn xn2. xnkbˆ n n Y vektor zmjerenh vrjednost zavsne varjable X matrca čja prva kolona sadrž jednce, a ostale kolone su vrjednost nezavsnh varjabl x,x,,x ˆb vektor nepoznath koefcjenata vektor slučajnh varjabl y -to opažanje (mjerenje) zavsne varjable; x j -to opažanje j-te nezavsne varjable. Postoj vše statstčkh metoda procjene koefcjenata, a najčešće korštena je metoda najmanjh kvadrata. Rezdualna promjenljva se može zrazt kao razlka zmeđu prave vrjednost zavsne promjenljve y vrjednost dobjene na osnovu regresone funkcje posmatranog uzorka y ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ y ( b0 bx b2x2 bkxk)...(6) Clj regresone analze je dobt najbolju regresjsku funckju, tj. mnmzrat sumu: mnyˆ y 2...(7) Ukolko se upotrjeb matrčn zaps, rezdualna suma kvadrata odstupanja može se napsat na sljedeć načn: 420

3 ... n n 2 n...(8) Izraz (4) možemo zapsat u oblku: Pa je: Y Xbˆ...(9) ˆ ˆ 2 ˆ ˆ Y Xb Y Xb Y Y b X Y b X Xbˆ... Da b se procjenl nepoznat koefcjent regresjskog modela potrebno je mnmzrat prethodn zraz, tj. parcjalno dferencrat zraz po odgovarajućm koefcjentma b,b, b rješt sstem sljedećh jednačna: 0 2X Y 2X Xbˆ 0, j 0,, 2, k...() ˆ b Iz prethodnog prozlaz sstem jednačna u matrčnoj form: X Y ( X X) bˆ...(2) Množenjem prethodnog zraza sa nverznom matrcom X X, dobje se: ( ) ( ) ( X X) X Y ( X X) ( X X) bˆ...(3) ( ) ( X X) X Y Ibˆ U matrčnom oblku, ocjena koefcjenata všestruke, lnearne regresje je: ˆ b X X X Y...(4) 3. SEPENI MODEL REGRESIJE U ovom radu posmatrat će se regresona jednačna k-faktornog plana ekspermenta stepenog oblka: b b2 bk R C f f2... f k...(5) gdje su: f, f2,..., fk - faktor, b, b2,..., bk -nepoznat koefcjent. Logartmovanjem gornje jedančne dobva se zraz: ln R ln Cbln fb2ln f2... bk ln fk...(6) Uvođenjem smjena (tzv. kodranjem): ln R y ln C b0 ln f X ln f2 X2 ln fk Xk X0...(7) Dobva se jednačna všefaktorne, lnearne regresje: y b0x0 bxb2x2... bk Xk...(8) 42

4 4. KODIRANJE FAKORA U RASPON VRIJEDNOSI -: Da b se mogla pratt velčna utcaja, nvo faktora se ponovo kodraju. Da b se procjenjen koefcjent matematčkog modela regresje b mogl upoređvat, faktor l nezavsne varjable X lnearno se transformšu u raspon vrjednos od - (mnmalna) do + (maksmalna). Početak koordnatnog sstema se z tačke O premješta u tačku O koja označava nult nvo faktora (slka ), dok se vrjednost faktora sada mjere u razmjer: -:. X 2 X 2max W 2 (-,) x 2kod O (,) x kod X 2mn O W 2 (-,-) W X (,-) W X 2 X Za novu osu x kod je: X mn Slka. Kodranje faktora lnearnog modela (eksperment s dva faktora) X X kod...(9) W x X max Pr tome su: X ln f- faktor lnearnog modela (prvo kodranje, zraz 6); f -faktor stepenog modela (zraz 5). Srednja vrjednost (osnovna, nulta) X dobva se z zraza: X ln fmax W...(20) Raspon W je nterval varjacje faktora jednak je polovn razlke gornjeg donjeg nvoa: W (ln fmax ln fmn )...(2) 2 Dalje vrjed (drugo kodranje): X X ln f (ln fmax W) ln f ln fmax ln f ln fmax xkod 2...(22) W W W ln fmax ln fmn Za f fmax vrjednost x kod _max je. ln fsr (ln f max ln f mn ) Za f fmn vrjednost x kod _mn je -. Vrjed: 2...(23) 2 fsr f max f mn Za f fsr vrjednost x kod _ sr je SEPENI MODEL UGIBA KONZOLE Na sljedećem prmjeru pokazat će se načn određvanja koefcjenata stepen modela regresje. Određen su nvo varranja faktora modela f : opterećenje na kraju konzole F, dužna konzole L šrna konzole b. Usvojen su srednj nvo faktora (tabele 2). 422

5 Potrebno je odredt koefcjente predloženog stepenog modela: b b2 b y CF L b 3...(24) Logartmovanjem obje strane model postaje lnearan: ln y ln( C) bln F b2ln Lb3 ln b...(25) Za realzacju ekspermenta koršten je pun, ortogonaln, trofaktorn plan ekspermenta sa ponavljenjem u centralnoj tačk sa ukupnm brojem ekspermentalnh tačaka: k 3 N 2 n (26) 0 abela. Faktor stepenog modela abela 2. Log vrjednost faktora f F [N] L[mm] b [mm] X ln f ln F ln L ln b gornj nvo f max, ln f max 0, , ,30259 donj nvo f mn 0, ln f mn -0,6935 4,38203,7976 srednj nvo f sr 0, ln f sr -0, ,6057 2,07944 Prkazana je plan-matrca ekspermenta (tabela 3) plan-matrca sa logartmovanm vrjednostma faktora zlaza (tabela 4). Prkazana je plan matrca ekspermenta gdje su vrjednost faktora modela kodrane na raspon -: (tabela 5). Na slc 2 je prkazana lokacja ekspermentalnh tačaka u hperprostoru ekspermenta. ab. 3.Plan-matrca stepenog modela ab. 4. Plan-matrca: ln vrjednost Exp.runs F L b y exp. lnf lnl lnb ln y exp 0, ,397-0,693 4,3820,798 0,8742 2, ,773 0,000 4,3820,798, , ,28-0,693 4,7875,798,652 4, ,720 0,000 4,7875,798 2, ,5 80 0,30-0,693 4,3820 2,3026 0,2700 6, ,227 0,000 4,3820 2,3026,76 7 0, ,057-0,693 4,7875 2,3026,74 8, ,775 0,000 4,7875 2,3026, , ,880-0,3065 4,6052 2,0794, , ,790-0,3065 4,6052 2,0794,3324 0, ,550-0,3065 4,6052 2,0794, , ,740-0,3065 4,6052 2,0794,39 ab 5. Plan-matrca u kodranm koordnatama: x 0kod x kod x 2kod x 3kod ln y exp , , , , , ,76 7 -,74 8, , , , ,39 (-,-,) x kod x 3kod (-,,) (,-,) (,,) (-,-,-) (0,0,0) x 2kod (-,,-) (,-,-) (,,-) Slka 2. Plan matrca kodranh faktora 423

6 5. Procjena koefcjenata lnearnog kodranog modela koršenjem matrčnog zapsa Korstt će se zraz (4) tabela 4. U softveru Mathematca, prmjenom zraza (4), nać će se vektor kolona koefcjenata logartmovanog modela (slka 3). Vrjednost koefcjenata su: b0 4,6827 b,04229 b2, b3,062963, b0 pa stepen model, uz C e ma oblk:,04229, , y 0, F L b...(27) Regresson Statstcs Multple R 0,9929 R Square 0,9859 Adjusted R Sq 0,9807 Standard Erro 0,0705 Observatons 2 ANOVA df SS MS F Sgnfcance F Regresson 3 2,7893 0, ,829 9,597E-08 Resdual 8 0,0398 0,0050 otal 2,829 Coeffcents Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept -4,696 0,5986-7,773 5,65E-05-6,0000-3,2392 X Varable,042 0,0708 4,6999 4,5E-07 0,8779,2045 X Varable 2,8486 0,228 5,05 3,75E-07,5654 2,38 X Varable 3 -,0629 0,0974-0,934 4,4E-06 -,2875-0,8383 Slka 3. Zaps u softveru Mathematca Slka 4. Statstka u Excel-u 5.2 Procjena koefcjenata lnearnog, kodranog modela u Excel-u Korstt će se tabelarn prkaz logartmovanh ulaznh velčna (X) zlazne velčne (Y) (tabela 4). U Excel-u, korštenjem naredbe Data Analyss Regresson, te označavanjem nezavsnsnh varjabl (X) zavsne varjable (Y), automatsk se dobva statstka multfaktornog, lnearnog modela regresje (slka 4). u su date vrjednost koefcjenata koje maju skoro ste vrjednost kao one koje su dobvene u tačk Procjena koefcjenata lnearnog kodranog modela u softveru Mathematca U softveru Mathematca postoj naredba LnearModelFt za nalaženje koefcjenata lnearnog modela. Ulazne podatke (tab 3.) je potrebno logartmrat kako b model postao lnearan te prmjent naredbu. Na slc 5. dat je zaps koda. Prmjenom numerčkh metoda naredbe FndFt u softveru Mathematca mogu se nać koefcjent modela koj nsu lnearn. Slka 5. Mathamatca zaps za nalaženje koefcjenata 424

7 5.4 Procjena koefcjenata korsteć kodranu plan-matrcu ekspermenta U ovom postupku se msl na dvostruko kodranje. Prv put se stepen zraz modela logartmra kako b se dobo lnearn model, a drug put se kodra kako b se faktor varral u rasponu -:. Ovdje se korst tabela 5. Kodrane vrjednost koefcjenata dobvaju se kada se zbr umnožaka odgovarajuće kolone plan-matrce (X _kod) kolone zmjerenh velčna (Y) podjele s ukupnm brojem ekspermenta (za b 0) l sa brojem ekspermenata bez ponavljanja u centralnoj tačk ekspermenta (za b, b 2, b 3). 2 b0_ kod y 2 b_ kod ( y y2 y3 y4 y5 y5 y7 y8)/8...(28) b2_ kod ( y y2 y3 y4 y5 y5 y7 y8)/8 b ( y y y y y y y y )/8 3_ kod Ovako se dobju vrjednost: b0_ kod,33735 b_ kod 0, b2_ kod 0, b3_ kod 0,2686 Poređenjem ovako kodranh vrjednost koefcjenata b _kod, b 2_kod, b 3_kod može se vdjet da na ugb najveć utcaj ma dužna konzole, zatm sla na kraju šrna konzole. o se može vdjet na osnovu t odnosa za koefcjente z statstke u Excel-u (slka 4). Korsteć smjene (22) vrjednost z tabele 2, model u stepenom oblku je dat zrazom (3) gdje su opet koefcjent jako blsk vrjednostma z tačke 3. zraza (27). ln F ln Fmax ln Lln Lmax ln y b0_ kod b_ kod 2 b2_ kod 2 ln Fmax ln Fmn ln Lmax ln Lmn...(29) ln b ln bmax b3_ kod 2 ln bmax ln bmn ln y 4, 6788, 04764ln F,85985ln L, 0567ln b...(30) 4,6788,04764,85985,0567 y e F L b...(3),04764,85985,0567 y 0, F L b 6. ZAKLJUČAK U radu je dat prkaz određvanja koefcjenata stepenog modela regresje na vše načna. Kada se korst plan-matrca, gdje su faktor kodran na raspon vrjednost -:, postoj jednostavan matematčk aparat da se nađu koefcjent modela. Pošto se planran eksperment prmjenjuje od sredne prošlog stoljeća, taj metod je najvše bo zastupljen prje razvoja softera poput Excela Mathematca-e. Danas, pomenut softver nude kompletnu statstčku obradu rezultata ekspermenta. Softver Mathematca daje dodatnu mogućnost procjene koefcjenata nelnearnh modela regresje. 7. REFERENCE [] Dašć, P.: Analyss ff Wear Cuttng ools by Complex Power-Exponental Functon for Fnshng urnng of the Hardened Steel 20CrMo5 by Mxed Ceramc ools, Fasccle VIII rbology, 2, 2006, [2] Eknovć, S., Žga A., Begovć E.: Expermantal-Mathematcal Modelng of Beam Deflecton, Mechanka (Lthuana) 4(36), 2002, [3] Karć M.: Istražvanje novh modela smulacje procesa konzervranja voća sušenjem, Dokt. Dsertacja, Poljoprvredn fakultet, Nov Sad, 204. [4] Stanć, J.: metod nženjerskh merenja, Mašnsk fakultet,

8 426