Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA I Prof. dr. sc. Željana Nikolić

Транскрипт

1 Sveučilište u Splitu Građevinsko-arhitektonski fakultet OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ I Prof. dr. sc. Željana Nikolić

2 OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ I OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJ II NOSIVE KONSTRUKCIJE I NOSIVE KONSTRUKCIJE II

3 Ciljevi ONKI i ONKII: Upoznavanje s pojmom konstrukcije, vrstama konstrukcija, opterećenjima na konstrukciju Upoznavanje s metodama analize konstrukcija (preuzimanje opterećenja, prijenos na podlogu, unutrašnje sile i naprezanja u elementima konstrukcije, način deformiranja) Nije moguće izabrati konstrukcijski sustav, dimenzije konstrukcije niti materijal bez prethodne analize sila, naprezanja i deformacija.

4 KONSTRUKCIJSKO INŽENJERSTVO (STRUCTURL ENGINEERING) Osmišljavanje, projektiranje i proračun konstrukcijskih sustava koji su potrebni ljudima pri obavljanju različitih aktivnosti.

5 Trebaju li arhitektima znanja iz U kojoj mjeri??? konstrukcija???

6 RZVOJ KONSTRUKCIJSKOG INŽENJERSTV KROZ POVIJEST Poznavanje teorija mehanike materijala i analize konstrukcija Razvoj računalnih tehnika nužnih za rješavanje jednadžbi koje opisuju navedene teorije Uvođenje novih građevinskih materijala Primjena teorije i novih materijala u kreiranju novih konstrukcijskih oblika Razvoj tehnike građenja

7 POČETK RZVOJ KONSTRUKTERSTV Stara Grčka (5 g. pr.n.e. ) aterijal: kamen Konstrukcijski sustav: kratke grede oslonjene na stupove ristotel, rchimedes utemeljitelji osnovnih načela statike Rimsko carstvo Uvođenje novih konstrukcijskih oblika: lukovi, svodovi, kupole, drvene rešetke Srednji vijek stagnacija

8 Renesansa Leonardo da Vinci (45-59) počeci teorije konstrukcija Galileo Galilei (564-64) mehanika materijala. Palido (58-58) moderne rešetke R. Hooke (635-73) utemeljitelj zakona linearnog ponašanja materijala J. Bernoulli ( ) načelo virtualnog rada D. Bernoulli (7-78) elastična (progibna) linija nosača, deformacijska energija pri savijanju L. Euler (7-783) izvijanje stupova, energetske metode L. Navier ( ) savijanje greda

9 Zlatno doba konstrukterstva (8-9.) Razvijena je većina današnjih teorija mehanike materijala i proračuna konstrukcija. Znanstvenici: S. Whipple, K. Culmann, J.W. Schwedler, B.P.E. Claperon, J.C. awell, O. ohr,. Castigliano, C. E. Greene, H. uller-breslau,. oppl Novi materijali: portland cement, armirani beton, proizvodnja čelika u velikim količinama Novi oblici konstrukcija i konstruktivni sustavi: Kontinuirane grede, okviri

10 -to stoljeće Napredak u razvoju teorije konstrukcija, razvoj tehnika rješavanja Znanstvenici: G. ane metoda deformacija (preteča moderne metode pomaka) H. Cross metoda preraspodjele momenata R. Southwell metoda relaksacije atrična algebra, metoda konačnih elemenata, neelastična (nelinearna) analiza, teorije čvrstoće Novi materijali: luminij, čelik visoke čvrstoće, beton, specijalni cementi, plastici, lamelirano drvo, kompozitni materijali, prednapeti beton Novi oblici konstrukcija i konstruktivni sustavi: ostovi velikih raspona, izuzetno visoke zgrade, paneli, ljuske,

11 PROCES INŽENJERSKOG PROJEKTIRNJ (DIZJNIRNJ) Planiranje definiranje potreba u skladu sa željama zainteresiranih klijenata Preliminarno dizajniranje izrada koncepta, obično nekoliko alternativnih rješenja koja će se preispitati, ključna uloga projektanta konstrukcije Izbor najpovoljnijeg rješenja Projektiranje Izgradnja

12 Preporučena literatura: Ž. Nikolić: ehanika, Građevinsko-arhitektonski fakultet Split, Split, 9.. ihanović, B. Trogrlić: Građevna statika, akultet građevinarstva, arhitekture i geodezije, Split,. Ž. Nikolić: Osnove nosivih konstrukcija (nastavni materijal

13 . OSNOVNI ZKONI OSNOVE NLIZE KONSTRUKCIJ NEWTON-OVI KSIOI 686. atematička načela prirodne filozofije. Newton-ov aksiom: (zakon inercije ili tromosti) Svako materijalno tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog gibanja sve dok djelovanjem drugih tijela to stanje mirovanja ne promijeni.. Newton-ov aksiom: (zakon gibanja) Vremenska promjena količine gibanja proporcionalna je sili koja je izaziva i ima smjer sile. dq d(mv) m a dt dt 3. Newton-ov aksiom: (zakon akcije i reakcije) Djelovanju je uvijek jednako i suprotno protudjelovanje, odnosno međusobno djelovanje dvaju tijela jednako je i usmjereno u suprotne strane. / sila kojom tijelo djeluje na tijelo / /

14 Zakon nezavisnosti djelovanja sila Kada na kruto tijelo djeluje više sila, tada djelovanje jedne sile ne ovisi o djelovanju ostalih sila, pa se djelovanje svake sile može razmatrati posebno te ukupno djelovanje dobiti njihovim zbrajanjem. Zakon paralelograma sila (S. Stevinus ) tgβ + + sin α + cosα cosα

15 Konstrukcija se modelira kao realno čvrsto tijelo. Realno čvrsto tijelo je skup čestica čije se međusobne udaljenosti ne mijenjaju bitno (čvrsto tijelo teško mijenja oblik). odeli realnog čvrstog tijela: materijalna točka kruto tijelo kontinuum (deformabilno tijelo)

16 . OSNOVNE VELIČINE STTIKE Sila Sila oment sile Translacijsko djelovanje Translacijsko djelovanje + Rotacijsko djelovanje Gibanje tijela pri djelovanju sile

17 .. Sila Sila - djelovanje jednog tijela na drugo tijelo m a [ N] [ kg] [ m / s ] [ kg m s ] - Vektorska veličina: iznos, pravac djelovanja, smjer djelovanja

18 Predočavanje sile a) Putem skalara i jediničnog vektora e li + mj + nk

19 b) Putem zbroja komponenti k j i z z z + + cos n cos m cos l z γ β α Predočavanje sile

20 Projekcija sile na zadanu os p ( p ) p cos αp

21 .. oment sile... Pojam momenta sile oment - djelovanje sile na zakretanje tijela - vektor - vektorski produkt radijus vektora položaja sile i sile - veličina momenta jednaka je umnošku sile i najkraće udaljenosti između točke i pravca djelovanja sile - pravac djelovanja je okomit na ravninu vektora r i, a prolazi točkom na koju se moment računa - smjer djelovanja određen pravilom desne ruke - jedinica [Nm]

22 ... oment sile na točku oment kao vektor: Komponente momenta: Iznos momenta: Pravac i smjer djelovanja momenta: a) oment sile na točku b) Komponente momenta z H H H H / z z k j i r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H H H z H H H z z z z z z d sin r H / H / α r e [Nm]

23 ..3. oment komponenata sile Varignon-ov teorem: oment na neku točku prostora rezultante sustava sila, koje djeluju na istu točku, jednak je zbroju momenata tih sila na istu točku prostora. n i i n n H / i H / H / n H / i H / i i ( r ) r + L+ r r r

24 ..4. Održanje momenta sile oment sile (H ) na točku : r H / Premjestimo u H, moment na : r H / r r + r H / H / H / H ( r r H H / / + r H + r / H H ) / H r H / r H / H r H / H jer je zbog paralelnosti i : Veličina momenta sile na proizvoljnu točku krutog tijela ne mijenja se premještanjem sile duž njenog pravca djelovanja. Odavde slijedi da je svaka sila u prostoru krutog tijela klizni vektor.

25

26 ..5. oment sile na zadanu os oment sile na zadanu os predstavlja djelovanje sile na zaokretanje tijela oko te osi. oment sile na zadanu os je projekcija momenta sile na proizvoljnu točku te osi u pravac zadane osi. α s O e s r - moment sile r na os s r - moment sile r na proizvoljnu točku O osi s e r - jedinični vektor osi s O α - kut između pravca r O i osi s r - vektor položaja hvatišta sile u odnosu na točku O Iznos momenta sile r na os s: r r s O es O es cosα O cosα s O es oment sile r O es cos α O cos α na os s: r r r r r s s es ( O es ) es s se s ( O es ) e s N sila okomita na os, T sila paralelna s osi N + T s ( r N ) es s N d

27 Geometrijsko značenje momenta sile na os oment sile na os s: s N d Sila paralelna s osi ne daje moment na tu os. ko pravac djelovanja sile siječe os (d), sila ne daje moment na tu os. oment sile na os proporcionalan je s N i najkraćom udaljenosti d između pravca djelovanja sile i osi. oment sile na os je projekcija momenta sile na bilo koju točku osi na pravac zadane osi.

28 .3. Par ili spreg sila Poseban slučaj djelovanja dviju jednakih sila koje leže na dva paralelna pravca, ali su suprotnog smjera djelovanja. oment sprega sila: ( ) ( r r ) r + r O / O B / O / O B / O r r / O B / O r / B r O / B Iznos momenta sprega sila: r / B r / B sin α d oment sprega sila na bilo koju točku krutog tijela je jednak. Vektor momenta para sila je slobodan vektor. m N Nm N z Nm oment para sila

29

30 .4. Koncentrirani moment Pojam koncentriranog momenta uvodimo u slučajevima: - ako postoji djelovanje sprega sila čiji je iznos vrlo velik, a udaljenost pravaca vrlo mala - niz sila istog iznosa jednoliko raspoređenih po kružnici vrlo malog polumjera u smjeru tangente na kružnicu - vrijednost djelovanja na zaokretanje je poznata, ali sile koje to uzrokuju nisu poznate

31 .5. Djelovanje sile na opću točku krutog tijela ko se zadanom sustavu sila doda sustav sila koji je u ravnoteži, tada se djelovanje zadanog sustava sila na bilo koju točku ne mijenja. Djelovanje sile r u točki na drugu točku krutog tijela B se sastoji od sile u točki B i r r r momenta sprega sila s B r / B na tu točku - PRIJENOS SILE ili REDUKCIJ SILE N DRUGO HVTIŠTE.

32 3. EKVIVLENTNI SUSTVI SIL N KRUTO TIJELO 3.. Ekvivalentnost sustava sila Kruto tijelo opterećeno je s dva nezavisna sustava r i r '. Ekvivalentnost sustava sila: uvjeti gibanja krutog tijela pri djelovanju jednog sustava sila ne mijenjaju se ako se zamijene s drugim sustavom sila Nužan i dovoljan uvjet ekvivalentnosti dva sustava sila: ' r r ' r r Sila i moment sustava sila na bilo koju točku krutog tijela jednaki su pri djelovanju jednog i drugog sustava sila. Prikaz preko komponenti: m i ' j ' n i i r r r r m i ' j j/ ' n i i / i r r r r r r r r ' ' m j j j / n i i / i m j j n i i ' ' ' ' r r

33 3.. Rezultirajuće djelovanje sustava sila, dinama sustava sila Rezultirajuće djelovanje - sveukupno djelovanje sustava sila na neku točku krutog tijela Rezultirajuća sila: r n r ii n i Rezultirajući moment: r n n i r ii/ / glavni vektor sila r i i glavni vektor momenata Dinama sustava sila

34 B i + r B n i / B B i n i Glavni vektor sila - rezultirajući vektor sila, ne ovisi o točki u kojoj se djelovanje promatra - prva invarijanta diname + r B / B Glavni vektor momenata - mijenja se od točke do točke iznosom i orjentacijom Projekcija glavnog vektora momenata na os glavnog vektora sila konstantna je veličina i naziva se druga invarijanta diname.

35 ogući slučajevi oblika diname r r r r. opći sustav sila r r r r. spreg sila r r r r 3. rezultanta r r r r 4. ravnoteža

36 3.3. Rezultanta sustava sila Rezultanta sustava sila je sila koja ima isto djelovanje na svaku točku krutog tijela kao i sustav sila, a vektorski je jednaka glavnom vektoru sila. R R n i i Nužan uvjet za postojanje: druga invarijanta diname nula Dovoljan uvjet: mora postojati glavni vektor sila n i i R n i R R + R + R i R z n i z i z Smjer i orjentacija pravca djelovanja rezultante: R e R R

37 Položaj rezultante: (jedne točke pravca djelovanja rezultante) određuje se iz jednakosti momenta sustava sila i momenta rezultante. Djelovanje (moment) određuje se na ishodište k.s, a za hvatište rezultante (klizni vektor) usvaja se probodište s ravninom -. z R R n i z i i i O R R R z i i i k j i k j i ( ) ( ) ( ) R R i i i z R i z i i z R i i z i R R R z R z i i i i i i ( ) ( ) z z i z i R z z z i i R R R z R R z O i i O i i Provjera

38 3.4. Ravnoteža sustava sila Sustav sila je u ravnoteži ako mu je dinama na bilo koju točku jednaka nuli. Sustav sila u prostoru Vektorski uvjeti ravnoteže: Skalarni uvjeti ravnoteže: i z i i i z i i i i i i i i Glavni vektor sila Glavni vektor momenata

39 Sustav sila u ravnini Vektorski uvjeti ravnoteže: Skalarni uvjeti ravnoteže: i i i i i z i Glavni vektor sila Glavni vektor momenata

40 3.5. Posebni primjeri ravnoteže sila Ravnoteža pri djelovanju jedne sile NE RVNOTEŽE!!! Ravnoteža pri djelovanju dvije sile - sile kolinearne (isti pravac) - sile jednakog iznosa r r - sile suprotnog smjera -

41 Ravnoteža pri djelovanju tri sile Tri sile su u ravnoteži ako je: - geometrijski zbroj sila nula, trokut sila zatvoren - pravci sila leže u istoj ravnini i sijeku se u istoj točki

42 Ravnoteža pri djelovanju četiri i više sila Sile ne moraju biti ravninske da bi bile u ravnoteži! a) Kao ravnoteža tri sile R 3 4 3, 4 4. ri i i b) Kao ravnoteža dvije sile R + R 3 4, 3, 4. R R, 3,4 Poligon sila zatvoren Dvije parcijalne rezultante leže na istom pravcu

43 Grafičko uravnoteženje ravninskih sila Grafičko uravnoteženje zadane sile s nepoznate dvije na zadanim pravcima a) p r r p 3 r 3 Trokut sila b) p Nema ravnoteže! p 3

44 Uravnoteženje zadane sile s nepoznate tri na zadanim pravcima Uravnoteženje sile s nepoznate tri komponente jednoznačno je kad su sile u istoj ravnini, a njihovi se pravci ne sijeku više od dva u istoj točki. Grafičko uravnoteženje - Culmann r r r r r r r r R, + R 3,4 R, , R, + r r r r r r jerilo: p p 3 r 4 p Culmann-ov pravac, Poligon sila r 3 R r r r 3/ 4 4 R r / r duljina (cm) :: (m) sila (cm) :: (kn) Očitano: (kn) (kn) 3 (kn)

45 Skalarni uvjeti ravnoteže: 4 r p R 3 R ) ( 3 h ) ( h a a p 3 R a R h a h a. 4 4 R h a h a R h a h a. 3 h 3 ) ( p ) ( 3 nalitičko uravnoteženje Ritter

46 Grafičko određivanje rezultante ravninskih sila Rezultanta dviju konkurentnih sila R + R R (cm) ::...(N) etoda paralelograma etoda trokuta Rezultanta dviju općih sila u ravnini (cm) ::...(N) R + C R B Djelovanje sile se ne mijenja ako se hvatište premjesti duž pravca djelovanja sila.

47 Rezultanta sustava općih sila u ravnini - poligon sila 3 4 R, R, R -3 R -3 (cm) ::...(N) 3 3 R -4 3 R -4 Poligon sila 4 4

48 Rezultanta sustava općih sila u ravnini - verižni poligon Verižni poligon je grafička konstrukcija kojom se jedan ravninski sustav sila svodi na drugi njemu ekvivalentan sustav. 4 S 3 S S -S 5 4 S -S -S S S3 -S 4 S 3 3 -S 3 O 3 S -S R 4 S 4 4 S 5 R Poligon sila (cm) ::...(N)

49 Rezultanta paralelnih sila u ravnini - verižni poligon 3 R O 3 Poligon sila R (cm) ::...(N) Rezultanta antiparalelnih sila u ravnini - verižni poligon R O 3 R 3 Poligon sila (cm) ::...(N)

50 Grafičko uravnoteženje zadane sile s nepoznate dvije na zadanim paralelnim pravcima - verižni poligon s P P s O Poligon sila (cm) ::...(N) Grafičko uravnoteženje zadane sile s nepoznate dvije na zadanim antiparalelnim pravcima - verižni poligon s s P P O Poligon sila (cm) ::...(N)

51 4. RVNOTEŽ KRUTIH TIJEL 4.. Sile na krutom tijelu Sile na kruto tijelo: vanjske i unutrašnje Vanjske sile - prikazuju djelovanje drugih tijela na promatrano kruto tijelo Vanjske sile: aktivne i reaktivne ili pasivne sile. ktivne sile (sile reakcije ili sile opterećenja) - sile nezavisne od samog tijela, mogu djelovati u proizvoljnoj točki krutog tijela s proizvoljnim smjerom i iznosom. Reaktivne ili pasivne sile su zavisne sile, a nastaju kao posljedica djelovanja aktivnih sila na mjestima gdje postoje ograničenja gibanju tijela (sile veze, sile trenja) Vanjske sile na kruto tijelo Veze - druga tijela koja ograničavaju potpuno ili djelomično gibanje krutog tijela Sila veza sila kojom veza djeluje na promatrano tijelo

52 Tijelo izloženo vanjskim silama Sile koje se javljaju unutar krutog tijela između čestica od kojih se ono sastoji nazivaju se unutrašnjim silama ili silama presjeka. Presijecanje krutog tijela: ko tijelo nije prerezano, tada sile P i P predstavljaju uzajamno djelovanje zamišljenih dijelova tijela, odnosno unutrašnje djelovanje u tijelu, a sile kojima se to djelovanje prikazuje nazivaju se unutrašnjim silama ili silama presjeka.

53

54 4.. Vezivanje krutog tijela Druga tijela koja ograničavaju potpuno ili djelomično gibanje krutog tijela nazivaju se vezama. Veza djeluje na promatrano tijelo silom koju nazivamo silom veze. Sila veze ima hvatište na mjestu dodira veze i tijela, pravac djelovanja joj je onaj po kojem veza spriječava gibanje krutog tijela, a smjer sile je suprotan od smjera željenog gibanja. Vezivanje krutog tijela s referentnom podlogom: Jednostruke veze sprečavaju gibanje po jednom pravcu: Nit - jednostrana veza Štap dvostrana veza Višestruke veze kombinacija više jednostrukih veza

55 VEZNO (NEPOIČNO) TIJELO: Kruto (nepomično) tijelo čije je gibanje potpuno onemogućeno vezama za neko referentno tijelo. Kruto tijelo se smatra nepomičnim ako pri bilo kakvom djelovanju sila ostaje na istom mjestu.

56 aterijalna točka u prostoru posjeduje 3 stupnja slobode gibanja aterijalna točka u ravnini posjeduje stupnja slobode gibanja Kruto tijelo u prostoru posjeduje 6 stupnjeva slobode gibanja Kruto tijelo u ravnini posjeduje 3 stupnja slobode gibanja Stupnjevi slobode materijalne točke Stupnjevi slobode krutog tijela

57 U tablici je prikazan minimalno potreban broj veza za vezivanje materijalne točke i krutog tijela u ravnini i prostoru: Vezivanje Prostor Ravnina aterijalna točka 3 Kruto tijelo 6 3

58 Najčešći tipovi veza u ravnini: Pomični ležaj - dva stupnja slobode, jedna sila veze Nepomični ležaj - jedan stupanj slobode, dvije sile veze Upeta veza - nema niti jedan stupanj slobode, tri sile veze (dvije sile i moment upetosti)

59

60

61

62 4.3. Ravnoteža krutog tijela u ravnini Pojam geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti Statički određen sustav tijelo ili sustav tijela vezan s minimalnim brojem ispravno geometrijski raspoređenih veza (broj nepoznanica je jednak broju jednadžbi ravnoteže) Statički neodređen sustav tijelo ili sustav tijela vezan s većim brojem veza od minimalno potrebnog (broj nepoznanica je veći od broja jednadžbi ravnoteže) Geometrijski promjenjiv sustav (mehanizam) tijelo ili sustav tijela vezan s manjim brojem veza od minimalno potrebnog ili s neispravno geometrijski raspoređenim vezama (neke od jednadžbi ravnoteže ne mogu biti zadovoljene)

63 Ispravno i neispravno vezivanje krutog tijela u ravnini

64 4.3.. Uvjeti ravnoteže tijela u ravnini Izravni uvjeti ravnoteže z Neizravni uvjeti ravnoteže ili B B C

65 Postupak uravnoteženja krutoga tijela u ravnini Vezuje se s 3 jednostruke ispravno geometrijski raspoređene veze. naliza ravnoteže principom presjecanja veza L, a njihovo djelovanje se nadomjesti silama. Sile veza drže ravnotežu silama opterećenja. nalitičko uravnoteženje: z S S S cos α sin α 3 S + S b a cos α sin α cos ϕ + S sin ϕ 3

66 Štapni model krutoga tijela u ravnini - obična greda nalitičko uravnoteženje: B a b b B a B l l l l + b a B + + l l Kontrola:

67 Grafičko uravnoteženje: B Trokut sila

68 Obična greda opterećena koncentriranim momentom Grafičko rješenje: l B nalitičko rješenje: l l l l B B B + +

69 Konzola l l

70 4.4. Ravnoteža sustava krutih tijela u ravnini Načini vezivanja Elementarno vezivanje Složeno vezivanje S minimalnim brojem veza za podlogu S većim brojem veza za podlogu, a manjkom unutrašnjih veza

71 4.4.. naliza ravnoteže sustava krutih tijela prema načinu vezivanja Sustav krutih tijela vezan na elementaran način Nepoznate sile:,, B, S, S, S 3 Uvjeti ravnoteže: 6

72 Gerberov nosač primjer sustava vezanog na elementaran način

73 Sustav krutih tijela s minimalnim brojem veza za podlogu primjer složenog vezivanja

74 Sustav krutih tijela s većim brojem veza za podlogu od minimalnog primjer složenog vezivanja Trozglobni okvir

75 Primjer : naliza sila veza na sustavu s elementarnim vezivanjem - analitičko rješenje C a a C D a a D D D C + B 3a D a a B a D a a B + C B + + Štap I Štap II Kontrola:

76 Primjer : naliza sila veza na sustavu sa složenim vezivanjem i minimalnim brojem veza s podlogom analitičko rješenje B a 4a B a 4a B + + II II II D D D a a D D + + I I B I I a D 4a D + kontrola D B I + II I I Štap III Štap I

77 Primjer : naliza sila veza na sustavu sa složenim vezivanjem i minimalnim brojem veza s podlogom grafičko rješenje B D C II II II I I

78 Primjer 3: naliza sila veza na sustavu sa složenim vezivanjem i minimalnim brojem veza s podlogom grafičko rješenje B S S O

79 Sustavi s neispravno raspoređenim vezama

80 5. POJ KONSTRUKCIJE I STTIKE KONSTRUKCIJ

81 Konstrukcija je tijelo ili sustav tijela koji je sposoban primiti opterećenje i prenijeti ga na referentnu podlogu. Svojstva konstrukcije: projektirane su da preuzimaju (nose) opterećenje oslonjene su na referentnu podlogu ili drugu konstrukciju što izaziva pojavu reaktivnih sila na mjestima oslanjanja opterećenje koje djeluje na konstrukciju i reaktivne sile izazivaju pojavu unutrašnjih sila u elementima konstrukcije elementi konstrukcije ne smiju izgubiti svoju stabilnost i nosivost niti se deformirati u mjeri koja bi izazvala probleme tijekom uporabe Pojam statike konstrukcija. Utvrđivanje oblika, geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti. Utvrđivanje opterećenja (vanjskih aktivnih sila) 3. Određivanje pasivnih sila (vanjskih i unutrašnjih) 4. Određivanje dijagrama unutrašnjih sila

82 Podjela konstrukcija prema obliku nosivih dijelova Linijske konstrukcije su konstrukcije čije su dvije dimenzije (visina i širina poprečnog presjeka) zanemarivo male u odnosu na duljinu (grede, stupovi, okviri, lukovi, lančanice, lančani poligoni i sl. ). Linijske konstrukcije

83 Plošne konstrukcije su konstrukcije čija se jedna dimenzija (debljina ili visina) može zanemariti u odnosu na ostale dvije (stijene, ploče, membrane, ljuske).

84 asivne konstrukcije su konstrukcije čije su sve tri dimenzije istog reda veličine. asivne konstrukcije

85 Složene konstrukcije - kombinacija prethodnih vrsta. Složene konstrukcije

86 Podjela konstrukcija prema stupnju kinematičke stabilnosti Statički određene - kinematički stabilne uz minimalni broj veza, sve nepoznate sile mogu se odrediti iz jednadžbi ravnoteže (3 jednadžbe ravnoteže za konstrukcije u ravnini, 6 jednadžbi za konstrukcije u prostoru). Statički neodređene - kinematički stabilne uz više veza od minimalnog broja (nisu dovoljne jednadžbe ravnoteže za izračunavanje nepoznatih sila) Podjela konstrukcija prema dimenzionalnosti u prostoru Konstrukcije u ravnini Konstrukcije u prostoru

87 Opterećenja na konstrukciju (inženjerska podjela) Stalno opterećenje (mrtvi teret) - vlastita težina konstrukcije i svih nepokretnih dijelova koji se nalaze na konstrukciji. Promjenjiva opterećenja - opterećenja na konstrukciju koja mijenjaju svoj intenzitet i položaj u prostoru - Pokretna opterećenja (živi teret) - prometno opterećenje na mostu, pokretni teret u zgradama, težina snijega i leda na krovu,... - Dopunska opterećenja (vjetar, pritisci tla, hidrostatički tlakovi, temperaturna opterećenja, potresne sile,...) Konstrukciju je potrebno proračunati na niz kombinacija promjenjivih opterećenja da bi se izračunalo najnepovoljnije opterećenje. aktori sigurnosti - faktori s kojima množimo opterećenje da bi projektirana konstrukcija imala određenu sigurnost. aktori sigurnosti su veći za promjenjiva nego za stalna opterećenja.

88 Stalno i prometno opterećenje

89 Opterećenje snijegom

90 Opterećenje vjetrom Utjecaj oblika građevine pri djelovanju sila vjetra

91 Utjecaj oblika građevine pri djelovanju sila vjetra

92

93 Opterećenje potresom

94

95 Uvrtanje neregularnih konstrukcija vjetrom potresom

96 6. NLIZ STTIČKI ODREĐENIH LINIJSKIH KONSTRUKCIJ 6.. Unutrašnje sile u presjecima linijskih konstrukcija Određuju se postupkom presijecanja i uravnoteženja izdvojenog dijela konstrukcije. Štap u prostoru Unutrašnje sile u presjeku štapa u prostoru

97 Unutrašnje sile u presjeku štapa u prostoru N - komponenta sile paralelna s uzdužnom osi štapa koja nastoji produljiti ili skratiti štap naziva se uzdužna sila T i T z - komponente sile u ravnini poprečnog presjeka štapa koje nastoje izazvati relativno klizanje jednog poprečnog presjeka u odnosu na drugi nazivaju se poprečnim silama - komponenta momenta koja nastoji uvrnuti štap oko njegove uzdužne osi naziva se moment uvrtanja i z - komponente momenta koje nastoje saviti štap oko osi u ravnini poprečnog presjeka nazivaju se momenti savijanja.

98 Štap u ravnini Unutrašnje sile u presjeku štapa u ravnini Uzdužna sila N u presjeku jednaka je zbroju projekcija u smjer osi štapa odnosno normale presjeka štapa svih sila s jedne ili druge strane promatranog presjeka. Poprečna sila T u presjeku jednaka je zbroju projekcija u smjer tangente presjeka štapa svih sila s jedne ili druge strane promatranog presjeka. oment savijanja u presjeku jednak je zbroju momenata svih sila s jedne ili druge strane promatranog presjeka.

99 6.. Rešetkaste konstrukcije u ravnini 6... Osnovne pretpostavke u analizi rešetkastih konstrukcija Rešetkaste konstrukcije - konstrukcije sastavljene od niza ravnih štapova međusobno vezanih čvorovima koje opterećenja prenose putem uzdužnih sila u štapovima. Osnovne pretpostavke analize: Vlastita težina štapova rešetke je zanemariva. Svi štapovi u rešetkastoj konstrukciji su međusobno zglobno povezani. Vanjske aktivne sile i reakcije djeluju isključivo u čvorovima. Rešetkasta konstrukcija s detaljem vezivanja

100 Sile u štapu rešetke

101 6... Geometrijska nepromjenjivost i statička određenost ravninskih rešetki Elementarna geometrijski nepromjenjiva rešetka š n 3 Geometrijski promjenjiva rešetka

102 Nadograđivanje elementarne rešetke

103 Broj stupnjeva slobode rešetkaste konstrukcije s n š L Uvjeti za stabilnu statički određenu rešetkastu konstrukciju: Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti s Dovoljan uvjet - pravilan raspored veza u konstrukciji Primjeri dokazivanja statičke nepromjenjivosti

104 6..3. naliza ravninskih rešetki metodom čvorova nalitička metoda čvorova Grafička metoda čvorova

105 nalitičko rješenje metodom čvorova D D a P 3a D a P 3a Reakcije:

106 S S cos 45 S S sin 45 S + + o o S S S S S P sin 45 S sin 45 S o o S S cos 45 S cos45 S + + o o S S sin 45 S S S cos 45 S S + + o o S cos 45 S S + o provjera sin 45 S S 9 7 o sin 45 S D cos45 S S o o Čvor : Čvor B: Čvor E: Čvor C: Čvor : Čvor D provjera rješenja:

107 Sile u čvorovima i štapovima rešetke

108 Grafička metoda čvorova Određivanje reakcija s P B P s B O Uravnoteženje čvorova: 7 Čvor Čvor 4 Čvor P B S 3 S S 4 S 7 S 3 S 5 S P S 4 Čvor 5 (kontrola) S Čvor 3 (kontrola) S 5 S 6 B S 6 S 7 S

109 Štapovi s nultim silama

110

111 6..4. naliza ravninskih rešetki metodom presjeka Promatrana rešetka sa zadanim opterećenjem i reaktivnim silama je u ravnoteži. Pri primjeni metoda presjeka izvrši se presijecanje rešetke kroz tri štapa. Promatra se jedan od odsiječenih dijelova uz nadomiještanje odbačenog dijela nepoznatim silama u presiječenim štapovima. Kako je rešetka kao cjelina u ravnoteži, tako u ravnoteži mora biti svaki njen odsječeni dio. Iz 3 uvjeta ravoteže za odsječeni dio određuju se 3 nepoznate sile u presječenim štapovima.

112 nalitička metoda presjeka (Ritterova metoda) P P t P b B.5P t 4a.5P Ravnoteža lijevog dijela: R d d 3 R d.5p P S 3 S S R 3 S d.5p a S R R R 3 S S V Ri- moment svih vanjskih sila na Ritter-ovu točku i 3 d d 3 P a S + P a.5p a S i d V Ri i.5pa d Pa d S 3 Pa d 3

113 Grafička metoda presjeka (Culmannova metoda) Uravnoteženje poznate sile R s tri nepoznate sile na poznatim pravcima vrši se grafičkim Culmann-ovim postupkom. Iz poligona sila očitaju se grafički dobivene veličine sila. Reakcije P t B P t B S S 3 c c S S B S B S 3

114

115 6.3. Gredni nosači u ravnini Gredni nosači su konstrukcije koje posjeduju otpornost na savijanje pri djelovanju vanjskih sila. Djelovanje opterećenja može izazvati pojavu momenata savijanja, uzdužnih i poprečnih sila u presjeku.

116 Vrste opterećenja na grednom nosaču Pozitivni predznaci unutrašnjih sila Učinak pozitivnih unutrašnjih sila na element

117 6.3.. Određivanje unutrašnjih sila u presjeku grednih nosača u ravnini Postupak određivanja unutrašnjih sila pomoću metode presjeka: Određivanje reakcija na ležajevima Odabir presjeka za izračunavanje unutrašnjih sila Presijecanje nosača u označenom presjeku nadomještanje odbačenog dijela odgovarajućim silama (, T, N) postavljanje jednadžbi ravnoteže na lijevom ili desnom dijelu nosača izračunavanje unutrašnjih sila Konstrukcija dijagrama unutrašnjih sila Dogovor o crtanju dijagrama unutrašnjih sila

118 Obična greda opterećena koncentriranom silom l l l Pa B Pb Pb B + Pb Pb T T N l l + ) ( Pa a) P( Pa T T P N + + l l l Reakcije: Sile u presjeku -: Sile u presjeku -: B

119 Obična greda opterećena koncentriranim momentom l l l l B B B + + T T N l l T T N l l Reakcije: Sile u presjeku -: Sile u presjeku -: B l B

120 Obična greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem Reakcije: Sile u presjeku -: q B q B q q B l l l l l l l l + ( ) q q q T T q N + + l l 8 / q / l l B

121 Konzola opterećena koncentriranom silom Reakcije: Sile u presjeku -: l Pl P P P ) P( P P T T N l l + +

122 Konzola opterećena koncentriranim momentom T N + : Reakcije: Sile u presjeku -:

123 Konzola opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem q q q q l l l l l q q q T q T N Reakcije: Sile u presjeku -: q /

124 Greda s prepustima T antisimetričan, - simetričan ( ) ( ) ( ) ( ) a q B a q B a q a q B l l l l l l l l Sile u presjeku -: a q a qa qa T N Reakcije: Sile u presjeku -: ( ) a q q a q qa T N + l l Sile u presjeku 3-3: ( ) ( ) a 8 q a q a q a q a q T N l l l l l l B 8 q l

125 Kosa greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem

126 6.3.. Diferencijalne veze između raspodijeljenog opterećenja i unutrašnjih sila u presjeku linijskog nosača T + ( T + dt ) p()d + dt p()d dt d N ( N + dn ) + n( d + dn n()d dn d p() n() d d ( + d ) + T d + p()d d d d d d d Td p() T dt d dt d p() d d p()

127 Primjena simetrije kod određivanja unutrašnjih sila Obična greda

128 Poligonalna greda Ravnoteža čvora P/ P/

129 Poligonalna greda

130 Poligonalna greda P P Ravnoteža čvora P c a b a c P d T d N d + l + N l T l T N T P Č N - -

131 6.4. Složeni nosači u ravnini Gerberovi nosači Statički određeni sklopovi sastavljeni iz više zglobno vezanih greda koji služe za premoštenje prepreka na kojima postoji više mogućih mjesta oslanjanja. 3 3 Dokaz kinematičke stabilnosti i statičke određenosti: Nosač preko dva polja s 3 n v 3 n z L Nosač preko tri polja s 3 n v 3 n z L

132 nalitički postupak određivanja dijagrama unutrašnjih sila P l/ l/ l/ l/ l/ l/ l P P P/ P/ P P/ P/ P/4 5P/4 3P/4 P/4 Pl/4 Pl/4 Pl/8 Pl/4 T Pl/4 P Pl/ Pl/ Pl/4

133 l l/ l q q ql/ ql/ ql/ ql/8 ql /6 5ql/8 3ql /8 ql /8 T ql/8 ql 7ql/8 ql/

134 6.4.. Okviri i lukovi Trozglobni okvir Koristi se kada treba nadsvoditi veći raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti omogućuju prihvat horizontalnih sila. Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini vertikalno opterećenje Dokaz kinematičke stabilnosti P C P i statičke određenosti: s 3 n v 3 n z L l/ Uvjeti ravnoteže: H l/4 l/4 l/4 l/4 B B H l l B, l P P 4 4 3l l, B l P P B 4 4 L l l l c, H P 4 P H, H BH BH H P P P ko su ležajevi na istoj visini vertikalne reakcije trozglobnog luka su iste kao na ekvivalentnoj jednostavnoj gredi.

135 P P C l/ H P/ H B H P/ B H + - P P + P B P B T l/4 l/4 l/4 l/4 P/ P/ Pl/4 Pl/4 P/ N P P

136 Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini - horizontalno opterećenje W C Wh/ Wh/ H h H B V l/ l/ B V W Wh/l T + + W/ W/ Wh/l Uvjeti ravnoteže: B L c L D, l + Wh, B l Wh,, B l H l H B B h h Wh / l H H Wh/l Wh / l B W W N Wh/l W/ W/ W/ Wh/l

137 Trozglobni okvir s ležajevima na različitoj visini P C P l/ H L l/4 h() β h HH H cos cosβ L β c HH H sin β sinβ L l/4 l/4 l/4 HH B B B L l/4 Reakcije:, B, H, H B X Pl/3 Pl/3 Pl/3 Pl/4 Pl/ INI LIK Pl/ Pl/6 Uvjeti ravnoteže: B L C B H P 3 ' H H P P l H h ' H B ' C l P 4 Vrijednost momenta u presjeku : H h() Vrijednost momenta u točki C: C C C H h C H h C 3 P

138 Usporedba prijenosa sila trozglobnog luka i poligonalne grede iste geometrije P C P - Znatno manji momenti kod trozglobnog luka hc - Znatno manje poprečne sile H H - Znatno veće uzdužne sile(u odnosu na poligonalnu gredu) B P C P hc H H X B + Hh() TX + T H h() H h() NX Dijagram momenata ekvivalentne jednostavne grede se poklapa s afinim likom

139 Okvir sa zategama Koriste se kada treba nadsvoditi veliki raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti ne omogućuju prihvat horizontalnih sila. Okvir s jednom zategom S H S Z V Unutrašnje sile: - Okvir, T, N - Zatega N B C C H h C H H h()

140 Okvir s vješaljkom i dvije zatege S Unutrašnje sile: - Okvir, T, N - Zatege i vješaljka N Okvir s više vješaljki i zatega S 3n-(4z +z)-l 3-(44+7)-- Unutrašnje sile: - Okvir, T, N - Zatege i vješaljke N

141 Lukovi Konstrukcije s krivocrtnom osi čiji je poprečni presjek relativno mali u usporedbi s ukupnom dužinom. Služe za premoštenje velikih raspona (mostovske konstrukcije, industrijske hale).

142 Prema statičkoj određenosti dijelimo ih na: Statički određene: TROZGLOBNI LUK LUK S ZTEGO LUK S ZTEG I VJEŠLJKO statički neodređene: DVOZGLOBNI LUK UPETI LUK JEDNOZGLOBNI LUK

143 ogu se izvesti kao simetrični i nesimetrični lukovi (gdje je jedan oslonac niži od drugoga). Najčešći su u praksi simetrični lukovi. Oblik luka je proizvoljan. Oblik luka može biti kružni, parabolični, elipsasti ili po nekoj drugoj krivulji. Ukoliko djeluje jednoliko raspodijeljeno vertikalno opterećenje onda je najbolji oblik paraboličnog luka. Nastoji se da se parabolična linija momenata najvećega opterećenja podudara s oblikom nosača. q f q /8 N l Na taj način su momenti na nosaču jednaki nuli i nosač je opterećen samo uzdužnom silom. Postižu se optimalne dimenzije poprečnog presjeka (opterećen je samo jednolikim naprezanjem). Karakteristične dimenzije svih lukova su raspon l i visina f. Odnos f/l se zove spljoštenost luka. Kod statički neodređenih nosača ona je veća. Kreće se od / do / ovisno o namjeni konstrukcije.

144 Uporaba lučnih nosača Upotrebljavaju se u zgradarstvu i u mostogradnji od cjevnih propusta manjeg raspona do mostova velikih raspona, u izradi tunela i kod hidrotehničkih građevina. ) U izgradnji zgrada B) Hidro objekti C) Tuneli D) ostovi

145 Trozglobni luk To je statički određen nosač. Primjenjuje se kada postoje uvjeti za dobar prihvat vertikalnih i horizontalnih sila na ležajevima. Zadovoljavaju : -geometrijsku nepromjenjivost (nisu mogući pomaci bez sila) -statičku nosivost - mogu prenijeti opterećenje na podlogu -kinematsku stabilnost - minimalan broj veza sustava. Dva tijela I i II vezani su s po dvije veze u svakom zglobu, tako da je broj stupnjeva slobode u ravnini: S3 n-v3-3 Nužan uvjet statičke određenosti je pokazan danim izrazom. Dovoljan uvjet statičke određenosti je nepreklapanje veza - zglobovi, B i C nisu na istom pravcu.

146 Pri bilo kojem opterećenju postoje na osloncima četiri nepoznate veličine. Osim tri jednadžbe ravnoteže koje možemo postaviti za konstrukciju u cjelini, imamo i četvrtu na unutarnjem zglobu u kojem mora moment svih sila s jedne ili druge strane biti jednak nuli. ϕ H HH cosα h C HH sinα α B H B l nalitičkim putem možemo reakcije oslonaca rastaviti na vertikalne komponente i B i komponente koje se nalaze na spojnici oslonaca H ' i H B '. Iz ravnotežnih uvjeta: B B l l q l l l q l q l q l Vidimo da su vertikalne komponente i B u osloncu trozglobnog luka iste kao i kod obične grede raspona l. B

147 Za određivanje horizontalne komponente imamo još dvije jednadžbe: H' H L C ' H cosα H ' cosα ' B h cosα L C C H ' H ' B Horizontalna sila se javlja iz razloga što oslonci sprječavaju nosivu konstrukciju da se ispruži. Horizontalna sila H povoljno djeluje u smislu smanjivanja momenta savijanja grede na mjestu : q H h() H h() H H ' H h() cosα - horizontalna komponenta sila - moment savijanja ekvivalentne obične grede - predstavlja afini lik, uvjetovan oblikom osi luka i horizontalnom silom luka. Pri određivanju sila T i N u svakoj točki presjeka se mijenjaju sin ϕ i cos ϕ.

148 a) H T N N T N N T T b) T N N H f N T T T N Rezne sile lijevo a) desno b) od unutarnjeg zgloba a) b) T T T T odnosno: T N T T cosϕ N cosϕ + N cosα sin α sinϕ N + H'sin( α sinϕ N + H'cos( α β) β) T T sinϕ N sinϕ N Oblikom osi luka utječe se na veličine T i. cosϕ cosϕ

149 Izbor osi trozglobnog luka - Dominantno opterećenje trozglobnog luka je vlastita težina. - Izabrati os luka tako da momenti za dominantno opterećenje budu u svim presjecima jednaki nuli. -Položaj osi određuje se iz izraza: h() H -Oblik osi luka je afin dijagramu momenata na jednostavnoj gredi., T, N T sin α + H cos( α β) -Postoje samo uzdužne tlačne sile. Svejedno je gdje se nalazi srednji zglob, da li je luk trozglobni, dvozglobni, jednozglobni ili potuno upet. -Idealni oblik luka za konstantno raspodijeljeno vertikalno opterećenje je kvadratna parabola.

150

151 Ojačane grede Koriste se kada jedan gredni nosač nema dovoljnu duljinu za premoštavanje traženog raspona pa se cilj ostvaruje spajanjem dviju ili više greda. Neprekinutost sklopa na mjestu spajanja osigurava se ojačanjem. Ojačana greda Unutrašnje sile: - Greda, T, N - Elementi ojačanja N Langerova greda

152 Poduprte grede Koriste se za racionalno premoštavanje velikih raspona. Najviše se koriste kao mostovske konstrukcije. Uvjet korištenja je osigurano preuzimanje vertikalnih i horizontalnih sila na osloncima. Unutrašnje sile: - Greda, T - Elementi podupore N Jednostavna poduprta greda

153 Složena poduprta greda Ovješene grede Slične poduprtim gredama. Sastoje se od glavne grede koja se sastoji od dva dijela i vješaljki. Unutrašnje sile: - Greda, T - Vješaljke N

154 6.5. Gredni nosači u prostoru Linijske konstrukcije koje se ne mogu smjestiti u jednu ravninu (zbog geometrije konstrukcije i/ili opterećenja. Postupak određivanja unutrašnjih sila: Određivanje reakcija na ležajevima Odabir presjeka za izračunavanje unutrašnjih sila Presijecanje nosača u označenom presjeku nadomještanje odbačenog dijela odgovarajućim silama postavljanje jednadžbi ravnoteže na lijevom ili desnom dijelu nosača izračunavanje unutrašnjih sila Konstrukcija dijagrama unutrašnjih sila Jednadžbe ravnoteže: z z

155 Koordinatni sustavi nosača u prostoru Globalni koordinatni sustav konstrukcije Lokalni koordinatni sustavi dijelova nosača

156 Pozitivni predznaci unutrašnjih sila

157 Primjer:

158

159 Dijagrami unutrašnjih sila: