SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Aleksandar Bulj DOKAZ CARLESONOVOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: iz

Транскрипт

1 SVEUČILIŠTE U ZAGEBU PIODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Aleksandar Bulj DOKAZ CALESONOVOG TEOEMA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Vjekoslav Kovač Zagreb, rujan 08.

2 pred ispitnim povje- Ovaj diplomski rad obranjen je dana renstvom u sastavu:., predsjednik., član 3., član Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom. Potpisi članova povjerenstva:.. 3.

3 Sadržaj Sadržaj iii Uvod Uvodne redukcije 3. Kratki uvod u harmonijsku analizu Svodenje na maksimalni operator Ocjena Carlesonovog operatora 5. Dekompozicija operatora Glavna ideja Dekompozicija po masi Dekompozicija po energiji Ocjena stabla Bibliografija 4 iii

4 Uvod Fourierovi redovi predstavljaju jedan od osnovnih alata matematičke analize korišten u gotovo svim područjima matematike, ali i puno šire u elektrotehnici, obradi signala i slika, akustici, kvantnoj fizici, optici, ekonometriji, itd. Jedno od osnovnih pitanja vezanih za njih jest pitanje raznih tipova konvergencije u ovisnosti o svojstvima funkcije. Već se sam Fourier početkom 9. stoljeća pitao konvergira li Fourierov red neprekidne funkcije k njoj samoj u svakoj točki. Najprije je Dirichlet dokazao da Fourierov red funkcije klase C konvergira k njoj samoj u svakoj točki. Nakon tog rezultata mnogi su eksperti vjerovali da slutnja vrijedi i za neprekidne funkcije sve dok 876. Paul du Bois-eymond nije našao primjer neprekidne funkcije čiji Fourierov red ne konvergira u jednoj točki i time opovrgnuo slutnju. Danas je poznato da Fourierov red funkcije ograničene varijacije konvergira k funkciji u točkama neprekidnosti (dokaz se može naći npr. u []), čime je Fourierovo pitanje dobilo pozitivan odgovor za široku klasu funkcija. S druge strane, paralelno s razvojem Lebesguove mjere i L p prostora pojavila su se nova pitanja o konvergenciji Fourierovog reda. Naime, iz činjenice da familija prikladnih trigonometrijskih funkcija čini bazu za prostor L funkcija na torusu slijedi da Fourierov red L funkcije konvergira k njoj u L normi. Odatle slijedi da postoji podniz niza parcijalnih suma koji konvergira k polaznoj funkciji gotovo svuda. Medutim, N. Lužin je 95. godine prvi naslutio da za L funkciju njen Fourierov red konvergira k njoj samoj u gotovo svakoj točki. Slutnja se pokazala vrlo teškom za dokazati i prvi značajan pomak u shvaćanju g.s. konvergencije L p funkcija napravio je A. Kolmogorov, koji je 9. godine dao primjer L funkcije čiji Fourierov red divergira u gotovo svakoj točki i time dokazao da analogna tvrdnja ne vrijedi za L funkcije. Zbog toga se vjerovalo da Lužinova slutnja ne vrijedi sve dok je L. Carleson nije dokazao 966. godine. Dvije godine kasnije, Hunt je poopćio rezultat na L p funkcije, gdje je < p < te se od tada tvrdnja da Fourierov red L p funkcije konvergira k njoj samoj u gotovo svakoj točki naziva Carleson-Huntov teorem. Carlesonov prvi dokaz vrlo je dugačak i tehnički složen, a prvi konceptualno drugačiji i kraći dokaz našao je C. Fefferman 973. godine u []. Nakon njega su M. Lacey i C. Thiele 000., koristeći tehniku koja se danas naziva wave packet analysis, našli vrlo

5 UVOD kratak dokaz Carlesonovog teorema [5]. Cilj ovoga rada je detaljno izložiti dokaz M. Laceyja i C. Thielea. Primijetimo konačno da Carlesonov teorem daje drugačiji parcijalan odgovor na početno Fourierovo pitanje. Naime, svaka neprekidna funkcija na torusu je u L pa, iako njen Fourierov red ne mora konvergirati u svakoj točki, znamo ipak da je skup na kojem ne konvergira vrlo mali, tj. mjere 0. Dokaz Carlesonovog teorema podijelit ćemo u dijela. U prvom ćemo poglavlju najprije izložiti osnovne pojmove harmonijske analize koje ćemo koristiti u radu, a zatim pokazati kako ocjena Carlesonovog operatora povlači konvergenciju gotovo svuda. Drugo poglavlje posvećeno je dokazu ocjene Carlesonovog operatora prateći [5, 4]. U prvom odjeljku pokazujemo kako ocjenu Carlesonovog operatora svesti na ocjenu bolje lokaliziranog operatora, a zatim u drugom odjeljku dokazujemo ocjenu tog operatora uz pretpostavku triju propozicija. Konačno, u posljednja tri odjeljka drugog poglavlja dokazujemo te tri propozicije i time kompletiramo dokaz Carlesonovog teorema. Htio bih se još zahvaliti najprije svojim roditeljima zbog kojih sam razvio ljubav prema matematici i koji su mi tijekom cijeloga života pružali bezuvjetnu podršku na putu koji sam izabrao. Posebno se želim zahvaliti i mentoru, izv. prof. dr. sc. Vjekoslavu Kovaču, na nebrojenim korisnim savjetima i razgovorima u kojima mi je prenio veliku količinu znanja tijekom svih godina studiranja.

6 Poglavlje Uvodne redukcije. Kratki uvod u harmonijsku analizu Harmonijska analiza u najširem smislu predstavlja matematičku disciplinu koja se bavi kvantitativnim proučavanjem oscilacija i transformacija funkcija. S obzirom da ćemo u radu koristiti razne pojmove harmonijske analize, u ovom odjeljku definirat ćemo one koje koristimo i uputiti čitatelja na dodatnu literaturu. Notacija U cijelom radu pod mjerom podrazumijevamo Lebesgueovu mjeru, a za izmjeriv skup E, sa E označavamo njegovu Lebesgueovu mjeru. Pod pojmom integrala podrazumijevamo Lebesgueov integral. Za izmjerivu funkciju f : C i realan broj p < sa f p označavat ćemo njenu p-normu, definiranu kao ( f p := f(x) p dx ) p, dok ćemo sa f označavati njenu normu-beskonačno, koja se definira kao: { } f = inf a 0 : {x : f(x) > a} = 0. Sa L p označavat ćemo L p (), odnosno prostor svih izmjerivih funkcija kojima je p- norma konačna. Pritom identificiramo funkcije koje su g.s. jednake. Ukoliko promatramo p-normu restrikcije funkcije na izmjeriv podskup E od, to ćemo označavati sa L p (E). 3

7 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 4 Nadalje, za izmjerivu funkciju f : C i p <, sa f L p, označavat ćemo slabu p-normu funkcije, koju definiramo kao: f L p, := sup (λ p {x : f(x) > λ} ) p. λ>0 U radu koristimo sljedeću notaciju za operatore translacije, modulacije, dilatacije i refleksije: T y f(x) := f(x y), M ν f(x) := e πiνx f(x), D p λ f(x) := λ p f(λ x), p, λ > 0, f(x) := f( x). Lako se vidi da operatori translacije i modulacije čuvaju svaku L p normu za p, dok operator dilatacije D p λ čuva Lp normu funkcije. Za linearan operator T : L p L q, kažemo da je (p, q) ograničen ako postoji konstanta C > 0, takva da za svaku funkciju f L p vrijedi T f q C f p. Tada ćemo sa T L p L q označavati njegovu normu. S druge strane za linearan operator T : L p L q, kažemo da je slabo (p, q)- ograničen ako postoji konstanta C > 0, takva da za svaku funkciju f L p vrijedi T f L q, C f p. U nastavku rada koristit ćemo takoder i notaciju implicitnih konstanti u ocjenama pa tako A B, gdje su A i B izrazi, znači da postoji konstanta C > 0 koja ne ovisi ni o kojem parametru u izrazu i vrijedi A C B. U slučaju da konstanta C ovisi o nekom parametru izraza, na primjer p, to označavamo sa A p B, ali u slučaju da je taj parametar fiksan tijekom cijelog rada, indeks ćemo ipak izostaviti. Pisat ćemo A B ako vrijedi A B i B A i analogno sa parametrom u indeksu u slučaju kad konstante ovise o nekom od parametara u izrazu. Fourierovi redovi i Fourierova transformacija Zbog široke primjene Fourierovih redova i Fourierove transformaicije, koriste se različite normalizacije u definiciji istih pa ćemo ovdje istaknuti definicije koje ćemo koristiti u radu.

8 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 5 Za -periodičnu funkciju f : C, takvu da je f [0,] definiramo k-ti Fourierov koeficijent sa: f(k) := f(x)e πikx dx. [0,] L ([0, ]) i k Z Fourierovim redom nazivamo formalni red k Z f(k)e πikx, a sa S n f(x) označavat ćemo operator koji funkciji pridružuje n-tu parcijalnu sumu Fourierovog reda: S n f(x) := n k= n f(k)e πikx. Prirodnija definicija Fourierovog reda bila bi za L funkcije na jednodimenzionalnom torusu, ali s obzirom na to da možemo poistovijetiti -periodičke funkcije na i funkcije na jednodimenzionalnom torusu, zbog tehnika koje koristimo u dokazu Carlesonovog teorema, odabrali smo prethodnu definiciju. Uz definiciju e k (x) := e πikx, poznata je činjenica da familija funkcija {e k } k Z čini ortonormiranu bazu za Hilbertov prostor L ([0, ]) pa kako tada Fourierov koeficijent f(k) možemo zapisati kao f, e k, iz Besselove nejednakosti slijedi da je za svaki n N S n ograničen operator na L ([0, ]). Takoder, iz činjenice da je (e k ) k Z ortonormirana baza prostora L ([0, ]), slijedi S n f L f, a time možemo pridati smisao i formalnom Fourierovom redu za L funkcije. Nadalje, za f L () Fourierovu transformaciju funkcije definiramo sa: f(ξ) = f(x)e πiξx dx, a za operator Fourierove transformacije koristimo takoder i oznaku F. Za funkcije f L (), Fourierovu transformaciju definiramo kao jedinstveni operator koji proširuje gornji operator f f definiran na gustom potprostoru L L prostora L, kao što je to napravljeno u []. Za tako definiran operator Fourierove transformacije na L () vrijedi poznati teorem Teorem.. (Plancherelov identitet). Operator Fourierove transformacije F : L L je unitaran operator. Gornjim postupkom proširili smo operator Fourierove transformacije sa L na L + L. Taj prošireni operator označavat ćemo takoder s ili F. Na nekoliko mjesta u radu koristit ćemo sljedeći poznati teorem za Fourierovu transformaciju.

9 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 6 Teorem.. (iemann-lebesgueova lema za Fourierovu transformaciju). Za f L vrijedi lim f(ξ) = 0. ξ Takoder ćemo koristiti i analogni teorem za Fourierove redove. Teorem..3 (iemann-lebesgueova lema za Fourierov red). Za periodičnu funkciju f, takvu da je f [0,] L ([0, ]) vrijedi lim f(n) = 0. n Dokaz obje leme može se naći u []. Primijetimo još da su operatori translacije, modulacije i dilatacije povezani pomoću operatora Fourierove transformacije F na način: FT y = M y F, FM ξ = T ξ F, FD λ = D λ F i prethodne činjenice (čiji se dokazi mogu naći u []) koristit ćemo bez eksplicitnog pozivanja na njih. Dualnost Vrlo korisna tehnika kod dokazivanja ocjena za p-norme i slabe p-norme je tehnika dualizacije. U radu ćemo pod dualizacijom podrazumijevati sljedeća dva teorema. Dokazi oba teorema mogu se naći u [3]. Za p, p [, ] kažemo da su konjugirani eksponenti ako vrijedi p + p =. Teorem..4. Za izmjerivu funkciju f : C i p < vrijedi { } f p = sup f(x)g(x)dx : g p =, gdje je p konjugirani eksponent eksponenta p. Dalekosežna posljedica gornjeg teorema je činjenica da je za p < dual prostora L p () upravo prostor L p () i to je korisno imati na umu pri razmišljanju o L p prostorima, ali u radu to ne koristimo pa nećemo ulaziti u detalje. Teorem..5. Za svaku funkciju f : C i < p < vrijedi } f L p, p sup { E p f(x)dx : 0 < E <, gdje je p konjugirani eksponent eksponenta p. E

10 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 7 Hardy-Littlewoodova maksimalna funkcija Hardy-Littlewoodova maksimalna funkcija vrlo je važan objekt u harmonijskoj analizi. Za f L loc () (što je oznaka za funkciju koja je integrabilna na svakom kompaktnom podskupu od ) definiramo Hardy-Littlewoodovu maksimalnu funkciju M f(x) na sljedeći način: Mf(x) := sup f(y) dy. r>0 r [x r,x+r] U radu ćemo koristiti i sljedeći poznati teorem, čiji se dokaz može naći u [, 3]. Teorem..6 (Hardy-Littlewoodov maksimalni teorem). Za izmjerivu funkciju f : C i < p vrijedi Mf p p f p, dok za p = vrijedi Mf L, f. Slično prethodnoj funkciji, možemo definirati i necentriranu maksimalnu funkciju na sljedeći način: M nc f(x) := sup f(y) dy, x I I I gdje se supremum uzima po svim intervalima I u koji sadrže x. Tada se lako provjeri da vrijedi Mf(x) M nc f(x) Mf(x). Više o maksimalnim operatorima i funkcijama može se naći u [3]. Vremensko-frekvencijska analiza Vremensko-frekvencijska analiza bavi se dekompozicijom funkcija i operatora u dijelove koji imaju dobru lokaliziranost po vremenu i frekvenciji. Idealno, pod pojmom lokaliziranosti funkcije u prostoru htjeli bismo podrazumijevati da funkcija ima kompaktan nosač na željenom intervalu, dok bismo pod pojmom frekvencijske lokaliziranosti htjeli shvaćati funkcije kojima Fourierove transformacije imaju kompaktan nosač u željenom intervalu. Medutim, poznato je da ne postoji funkcija s kompaktnim nosačem kojoj i Fourierova transformacija ima kompaktan nosač. Dokaz se može vidjeti u [, 3]. Zbog toga se pojam lokaliziranosti oslabljuje samo na lokaliziranost s obzirom na neku funkciju koja dovoljno brzo trne u beskonačnosti i kojoj Fourierova transformacija trne dovoljno brzo u beskončanosti. U radu ćemo za to

11 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 8 koristiti Schwartzovu funkciju φ, koju ćemo kasnije definirati. Tada ćemo reći da je φ dobro lokalizirana na nekom proizvoljnom pravokutniku I ω, a za dilatiranu, translatiranu i moduliranu funkciju, M η T y D λφ kažemo da je dobro lokalizirana na pravokutniku (λi + y) (λ ω + η). avninu u kojoj skiciramo pravokutnike na kojima su funkcije i njihove Fourierove transformacije lokalizirane nazivat ćemo vremensko-frekvencijskom ravninom. Ideja dekompozicija funkcija i operatora u dobro lokalizirane dijelove toliko je važna da se dokaz ocjene Carlesonovog operatora temelji upravo na njoj. Operator raspišemo kao sumu dobro lokaliziranih dijelova, grupiramo dijelove sume na pogodan način i zatim svaki dio zasebno ocjenjujemo.. Svodenje na maksimalni operator Kao što smo u uvodu napisali, cilj diplomskog rada je u potpunosti dokazati sljedeći teorem. Teorem.. (Carlesonov teorem). Za f L ([0, ]) vrijedi: f(x) = lim n S n f(x) g.s. Iako je moguće direktno dokazati slabu ograničenost operatora S n, kao što je to napravio C. Fefferman u [], mi ćemo u ovome radu, zbog tehnika koje se koriste u [5], dokazati najprije analogni teorem za Fourierovu transformaciju te zatim pokazati kako iz njega slijedi gore navedeni teorem. Zbog srodnosti problema, i sljedeći teorem se u literaturi naziva Carlesonovim teoremom. Teorem.. (Carlesonov teorem za Fourierovu transformaciju). Za f L () vrijedi formula inverzije: N f(x) = lim N N f(ξ)e πiξx dξ g.s. Ukoliko imamo zadanu familiju (slabo) ograničenih operatora {A n } n N na L p prostoru, standardan pristup dokazivanja konvergencije gotovo svuda oblika lim n A n f( ) jest dokazivanje konvergencije na nekom gustom skupu koji ima pogodnija svojstva od samog L p prostora i zatim slabo ograničavanje maksimalnog operatora A f := sup n N A n f. S obzirom da ćemo u svrhu potpunosti rada primijeniti navedenu tehniku u specijalnom slučaju, nećemo detaljnije ulaziti u iskaz ovog teorema već nam on služi samo kao motivacija za sljedeće definicije i teoreme. Detaljnije o napisanom principu može se naći u [3].

12 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 9 Prirodno pridružena familija operatora problemu dokazivanja formule inverzije jest sljedeća familija operatora koja ima istu ulogu kao i familija operatora n-tih parcijalnih suma Fourierovog reda. Definicija..3. Za f L definirajmo familiju operatora (C r ) r na sljedeći način: C r f(x) = r r f(ξ)e πiξx dξ. Lema..4. Familija operatora C r je uniformno ograničena familija operatora sa L u L,. Dokaz. Iz Plancherelovog teorema i parnosti funkcije D r slijedi C r f(x) = f(ξ) [ r,r] (ξ)e πiξx dξ = f, M x [ r,r] = f, T x D r = D r f(x), (.) gdje smo sa D r označili funkciju D r (x) := sin(πrx). πx Ponekad se u literaturi ova funkcija naziva Dirichletovom jezgrom, iako je uobičajeno taj naziv rezerviran za jezgru operatora S n. Da bismo dokazali slabu L ograničenost, koristimo teorem..5. Neka je E takav da je E <. Tada po Cauchy- Schwarzovoj nejednakosti vrijedi: f(x y)d r (y) E (x)dxdy ( f(x y) E (x)dxdy = E f D r <. ) ( ) D r (y) E (x)dxdy Zbog toga smijemo primijeniti Fubinijev teorem kod računanja sljedećih integrala: (f D r )(x) E (x)dx = D r (y) f(x y) E (x)dxdy = ( E f)(y)d r (y)dy = E f, Dr = f[ r,r], E f[ r,r] E E f,

13 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 0 gdje smo u prvoj jednakosti koristili Fubinijev teorem, u trećem retku Plancherelov identitet, u četvrtom svojstvo D r = [ r,r], u petom Cauchy-Schwarzovu nejednakost i u šestom opet Plancherelov identitet. Kako gornja nejednakost vrijedi za proizvoljan skup E konačne mjere, iz teorema..5 slijedi C r f L, f. Dakle, familija operatora C r je uniformno ograničena familija operatora sa L u L,. Kao što smo spomenuli prije leme, standardna tehnika dokazivanja konvergencije gotovo svuda zahtijevat će ograničavanje maksimalnog operatora pridruženog navedenoj familiji pa definirajmo i taj operator. Definicija..5. Za f L () definiramo simetrizirani Carlesonov operator na način: N C sym f(x) := sup f(ξ)e πiξx dξ. N Cilj nam je dokazati slabu ograničenost gornjeg operatora. Medutim, razlog zbog kojeg gornji operator nismo nazvali jednostavno Carlesonovim operatorom jest taj što se u tehnikama koje ćemo koristiti u nastavku praktičnijim pokazuje sljedeći operator, kojeg ćemo onda zvati Carlesonovim operatorom. Definicija..6. Za Schwartzovu funkciju f Carlesonov operator definiramo kao: N Cf(x) = sup f(ξ)e πiξx dξ. N Provjerimo da je definicija prethodnih operatora dobra. Dokazat ćemo za Carlesonov operator, a za simetrizirani Carlesonov operator dokaz je potpuno analogan. Za Schwartzovu funkciju f je opet Schwartzova funkcija, a time u L pa je funkcija N N N f(ξ)e πiξx dξ neprekidna po N i x. Zbog neprekidnosti po N vrijedi N Cf(x) = sup f(ξ)e πiξx dξ, N Q a tako definirana funkcija je očito izmjeriva kao supremum prebrojivo izmjerivih (čak i neprekidnih) funkcija. U sljedećem poglavlju dokazat ćemo sljedeći teorem, koji predstavlja centralni teorem ovog rada.

14 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE Teorem..7 (ocjena Carlesonovog operatora). Neka je C Carlesonov operator i f Schwartzova funkcija. Tada vrijedi Cf L, f. Dokažimo da prethodni teorem uz lemu..4 povlači slabu (, ) ograničenost simetriziranog Carlesonovog operatora. Dokaz je adaptiran iz [3]. Korolar..8. Za simetrizirani Carlesonov operator C sym i za funkciju f L () vrijedi C sym f L, f. Dokaz. Zbog toga što za svaku Schwartzovu funkciju f vrijedi C sym f(x) Cf(x), gornja ocjena za Schwartzove funkcije slijedi direktno iz prethodnog teorema. Neka je sada (q n ) n N proizvoljna enumeracija racionalnih brojeva. Tada po neprekidnosti integrala L funkcije na kompaktnim skupovima zaključujemo da vrijedi: C sym f(x) = sup A qn f(x) = lim n N N max A q n f(x). n N Dakle, dovoljno je dokazati slabu ograničenost operatora max n N A qn f(x) za N fiksan, s konstantom neovisnom o N. Tada će ograničenost simetriziranog operatora slijediti naprosto iz Fatouove leme. Neka je sada f L i ε > 0 proizvoljan. Odaberimo tada Schwartzovu funkciju g tako da je f g < ε. Koristeći jednostavnu činjenicu da za izmjerive funkcije (f k ) n k= vrijedi dobivamo: max A q n f n N L, n f k n k= L, n f k L, k= max A q n g n N + max A q n (f g) L, n N g N + A qn (f g) g + N n= N n= g + N 3 f g ( f + ε) + N 3 ε, L, A qn (f g) L, L,

15 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE gdje smo u prvom retku koristili svojstvo da je L, kvazinorma, u drugom retku maksimalnu ocjenu iz..7, u trećem retku još jednom svojstvo kvazinorme, a u četvrtom retku lemu..4. Kako je ε > 0 proizvoljan, puštanjem ε 0 slijedi da je max A q n f n N f L, s konstantom neovisnom o N i time je dokazana tvrdnja korolara. U nastavku poglavlja dokazujemo da prethodni teorem povlači Carlesonov teorem. U tu svrhu dokazat ćemo najprije analogni teorem za Fourierovu transformaciju. Dokaz teorema... Iz (.) slijedi da je desna strana jednaka D N f, uz notaciju kao i prije. Sada tvrdnja teorema slijedi za Schwartzove funkcije g iz činjenice da je D N (x)dx = i lim D N (x) = 0. N Naime, zbog toga što je g C, za ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki y < δ vrijedi. Odatle slijedi: g(x y) g(x) y lim sup N D N g(x) g(x) lim sup N + lim sup N y δ y δ x δ g(x y) g(x) sin(πn y)dy πy (g(x y) g(x))d N (y)dy = 0, gdje prvi član ide u 0 po iemann-lebesgueovoj lemi, a drugi po svojstvu jezgre D N i L ograničenosti od g. Za f L () dokažimo da je: L f (x) := lim sup N N f(x) N f(ξ)e πiξx dξ = 0 Za to je dovoljno dokazati da za svaki ε > 0 vrijedi {L f > ε} ε. Neka je g C c (), tako da je f g L ε 3/. Kako formula inverzije vrijedi za g, zaključujemo da vrijedi L f C sym (f g) + f g. Dakle, sad po korolaru..8 vrijedi: {L f > ε} {C sym (f g) > ε/} + { f g > ε/} ε f g L ε i time je tvrdnja dokazana. g.s.

16 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 3 Da bismo dokazali Carlesonov teorem, treba nam još jedan poznati teorem vezan za Fourierove redove. Teorem..9 (iemannov princip lokalizacije). Za -periodičnu funkciju f, takvu da je f [0,] L ([0, ]) i x [0, ] limes [a,b] lim S nf(x) n postoji ako i samo ako za neke a, b, takve da je a < 0 < b postoji limes: sin(n + )πy lim f(x y)dy n πy i u tom slučaju su jednaki. Iako je rezultat poznat u literaturi, obično je iskazan za simetričan interval oko x pa ćemo navesti dokaz radi potpunosti. Dokaz. Primijetimo najprije da vrijedi: n S n f(x) = f(y)e πiky dye πikx = k= n [0,] gdje smo sa D n označili Dirichletovu jezgru: [0,] f(y)d n (x y)dy D n (x) = sin(n + )πx. sin(πx) Nadalje, zbog periodičnosti funkcije f, primijetimo da je gornji izraz nadalje jednak: [, ] f(x y)d n (y)dy. (.) Neka je sada 0 < δ < neki dovoljno mali broj, tako da vrijedi (x δ, x + δ) (a, b). Tada iz (.) i prethodne oznake za D N vrijedi: S sin(n + )πy nf(x) f(x y)dy [a,b] πy f(x y)(d n (y) D n+ (y))dy [ δ,δ] + f(x y)d n (y)dy δ< y + f(x y)d n+ (y). y (a,b): y δ

17 POGLAVLJE. UVODNE EDUKCIJE 4 Prvi je integral jednak [ δ,δ] f(x y)h(y) sin((n + )πy) dy, gdje je h(y) := πy sin(πy). Zbog toga što je h(y) ograničena na [ δ, δ] \ {0}, to je πy sin(πy) f(x y)h(y) u L ([ δ, δ]) pa integral po iemann-lebesgueovoj lemi konvergira u 0 za n. Nadalje zbog toga što su funkcije y y x >δ i sin(πy) y x >δ u L, njihov produkt sa f(x y) je u L na intervalima integracije pa drugi i treći integral takoder po iemann-lebesgueovoj lemi konvergiraju u 0 za n i time je teorem dokazan. Konačno, dokažimo da teorem.. povlači Carlesonov teorem. Dokaz teorema... Neka je f : -periodična funkcija, takva da je f [0,] L ([0, ]). Definirajmo tada g : C sa g := f [,]. Očito je tada g L (). Po Carlesonovom teoremu za Fourierovu transformaciju postoji E mjere 0 tako da za svaki x E c vrijedi lim n (D n+ g)(x) = g(x). Posebno, ako je x [0, ] E c, prethodna jednakost može se zapisati kao: f(x) = g(x) = lim (D n+ g)(x) = lim (f [,] )(x y) n n = lim f(x y) n [x,x+] sin(n + )πy dy. πy sin(n + )πy dy πy Medutim, tada iz prethodnog teorema slijedi lim n S n f(x) = f(x) i time je Carlesonov teorem dokazan.

18 Poglavlje Ocjena Carlesonovog operatora U ovom poglavlju prezentirat ćemo dokaz teorema..7 prateći dokaz iz [5] s nekim nadopunama iz [4]. Kao što smo rekli u uvodu, ideja dokaza ocjene Carlesonovog teorema može se sažeti u koraka svodenje ocjene na ocjenu sume dobro lokaliziranih operatora i zatim grupiranje i ograničavanje sume po dijelovima. Prvi odjeljak posvećen je prvom koraku, dok su sljedeća tri odjeljka posvećena drugom koraku. U nastavku pod interval podrazumijevamo poluotvoreni interval [x, y). Sa c(i) označavat ćemo središte intervala I a za α > 0 sa αi označavat ćemo interval s istim središtem, ali duljinom α I. Definirajmo i težinske funkcije: w(x) := ( + x ) ν, i w I (x) := T c(i) D I w, gdje je ν neki po volji velik prirodan broj čija točna vrijednost nije važna te može biti različit na različitim mjestima. Bitno je samo da koristimo konačno različitih vrijednosti za ν jer su tada ocjene koje ovise o tom parametru i dalje ograničene konstantom, a to jest slučaj u nastavku dokaza.. Dekompozicija operatora Neka je φ Schwartzova funkcija, takva da je [ 0.09,0.09] φ [ 0.,0.]. Za pravokutnik P = I P ω P površine definiramo: φ P := M c(ωp )T c(ip )D I P φ, gdje smo sa ω P označili donju polovicu, tj. ω P (, c(ω P )) intervala ω P. Slično, sa ω P označavat ćemo gornju polovicu, ω P \ ω P, intervala ω P. Primijetimo da je nosač od φ P sadržan u ω P i da vrijedi: φ P (x) φ,ν I P wp (x), 5

19 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 6 gdje smo sa w P označili w IP. Time smo definirali funkciju koja je dobro lokalizirana u vremensko-frekvencijskoj ravnini na pravokutniku P i nazivamo je valni paket. Pokazat ćemo da su svojstva ovakve familije vrlo povoljna u smislu da skoro čine ortonormiranu bazu. Naime, valni paketi koji imaju disjunktne frekvencijske intervale bit će ortogonalni dok će valni paketi koji su jako razmaknuti ili jako različito skalirani biti skoro ortogonalni. Preciznu tvrdnju iskazat ćemo u sljedećoj lemi. Napomenimo samo da to što konstanta ovisi o Schwartzovoj funkciji ne pravi problem u dokazu ograničenosti operatora budući da smo funkciju odabrali na početku i ne mijenja se tijekom dokaza. Zbog toga ćemo u nastavku izostavljati pisanje ovisnosti konstanti o φ, kao što smo i napomenuli u uvodu. Dijadski interval je interval oblika [n k, (n+) k ), za k, n Z. Sa P označit ćemo skup svih pravokutnika I ω, gdje su I i ω dijadski intervali, takvi da je I ω =, a elemente od P nazivat ćemo pločicama. Za pločice P i P ćemo reći da su jednako skalirane ukoliko je I P = I P. Na skupu pločica uvodimo parcijalni uredaj < na sljedeći način. Kažemo da je P < P ako je I P I P i ω P ω P. Važno svojstvo dijadskih intervala koje ćemo učestalo koristiti bez referenciranja je svojstvo da su dva dijadska intervala ili disjunktna ili je jedan podskup drugoga. Ono nam omogućava da realni pravac diskretiziramo i razlog je vrlo široke primjene dijadskih intervala u modernoj harmonijskoj analizi. Lema... Neka su φ P i φ P valni paketi pridruženi pločicama P, P P i neka je I P I P. Tada vrijedi φ P, φ P I P IP wp P Dokaz. Koristeći ocjenu na φ P pomoću w P vrijedi: φ P, φ P I P IP w P (x)w P (x)dx. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je c(i P ) > c(i P ). Translacijom za c(i P ) i dilatacijom za I P, u slučaju I P > I P problem svodimo na dokazivanje da je T N D [ nw(x)w(x)dx T N D, ] nw(x)dx, za brojeve n, N N 0, n. Primijetimo da je zbog definicije funkcije w vrijednost integrala funkcije na lijevoj strani po području (, N /] manja nego po području [ N /, ) pa je dovoljno ograničiti integral po drugom području. astavimo drugo područje na [ N /, /) [/, ).

20 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 7 astavljanjem nadalje [/, ) na k 0 [/+k, 3/+k) i korištenjem L ograde funkcije w na pojedinom intervalu te činjenice da je funkcija T N D nw(x) padajuća na [/, ), slijedi: T N D [, ) nw(x)w(x)dx ( k + 3 ) ν T N D k 0 [ +k, 3 +k) nw(x)dx D nw(x)dx. T N [, ] Analogno, rastavljanjem [ N /, /) na N k=0 [ / k, / k) i korištenjem L ograde funkcije w na pojedinom intervalu slijedi [ N, ] T N [, ] T N D nw(x)w(x)dx D nw(x)dx + N k= Dakle, dovoljno je dokazati da za x [, ] vrijedi N k= Medutim, lako se provjeri da uz c(k) = ( k + ) ν T N+k D [, ] nw(x)dx. ( k + ν T ) N+k D nw(x) T N D nw(x). ( k ( N+ ) ν za k N ), k ν za k > N vrijedi: ( k + ν [ T ) N+k D nw(x) c(k)t N D nw(x) za x, ]. Konačno, kako je N k= c(k), tvrdnja je dokazana za I P > I P. U slučaju kad je I P = I P problem se uz napisanu translaciju i dilataciju svodi na dokazivanje: T N w(x)w(x)dx T N w(x)dx [, ] za N N te postupamo potpuno analogno kao i u prethodnom slučaju.

21 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 8 Kako bismo koristili kombinatoriku vremensko-frekvencijske ravnine, trebamo zapisati Carlesonov operator u obliku koji će nam omogućiti korištenje valnih paketa. Primijetimo najprije da Carlesonov operator možemo zapisati pomoću operatora F f(x) = 0 f(ξ)e πiξx dξ na način: Cf = sup F (M N f). N Navedimo sljedeću korisnu propoziciju koja će nam služiti za karakterizaciju operatora F. Propozicija... Za svaki ograničeni operator T na L () koji komutira s translacijama postoji m L takva da vrijedi: Dodatno, vrijedi i m = T L L. T f = (m f). Dokaz. Ukoliko je T nuloperator, definiramo m = 0. U suprotnom, neka je ψ(x) := e πx. Tada je ψ = ψ i vrijedi: ( ) ψ (T f) = (ψ T f) = T f, T x ψ = ( T x T f, ψ ) = ( T T x f, ψ ) = ( T x f, T ψ ) = ( T ψ f = T ψ f, gdje smo sa T označili hermitski adjungirani operator operatoru T. ) Definirajmo sada m(ξ) := T ψ(ξ)ψ(ξ). Za takvu funkciju m i za svaku f L () vrijedi (T f) = m f. Neka je c >, neka je E := {m > c T L L} i F E kompaktan skup mjere barem min{, E /}. Tada za f = ( F ) vrijedi: F T L L = f T L L T f = (T f) = m F > c T L L F, što je kontradikcija za F 0. Dakle, zaključujemo da je m < c T L L za svaki c >. Odatle slijedi m T L L. S druge strane, pretpostavimo da postoji 0 < c < takav da je m = c T L L. Tada možemo izabrati f L () tako da vrijedi T f > c f pa imamo c T L L f = m f m f = (T f) = T f > c T L L f. Medutim, to je kontradikcija zbog f = f. Dakle m = T L L tvrdnja dokazana. i time je

22 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 9 Koristeći prethodnu propoziciju sada možemo dokazati karakterizaciju operatora F koju ćemo koristiti u nastavku. Propozicija..3. Do na umnožak konstantom, F je jedinstveni ograničeni operator na L koji komutira s translacijama i dilatacijama, a jezgra mu sadrži sve funkcije kojima je nosač Fourierove transformacije sadržan u (0, ). Dokaz. Neka je T ograničen operator na L koji zadovoljava gornja tri svojstva. Iz prvog svojstva slijedi T f = m f za neku m L. Drugi uvjet povlači da je m(ξ) = m(ξ/ ξ ) za ξ 0. I konačno, f Ker T akko je supp( f) supp(m) =. Dakle, m je jednaka 0 na pozitivnom dijelu x osi i konstantna na negativnom. Zato vrijedi da je T = cf. Primijetimo da nam je djelovanje operatora F poznato na valnim paketima koje smo prije definirali. Zbog toga za f L i ξ definirajmo operator: A ξ f := P P ωp (ξ) f, φ P φ P, gdje je poredak sumacije nevažan s obzirom na to da će iz dokaza slijediti da je konvergencija bezuvjetna, a konvergenciju, naravno, shvaćamo u L. Navedeni operator zapravo ima skoro jednako djelovanje kao i F na valne pakete φ P. U idealnom slučaju kad bi sve funkcije φ P bile ortogonalne, operator bi imao točno jednako djelovanje, ali to ne možemo očekivati zbog napisane nemogućnosti potpune lokalizacije funkcije u faznoj ravnini pa je zbog toga ovo najbolje što možemo. Prednost operatora A ξ nad operatorom F je ta što je prikazan pomoću valnih paketa pa možemo koristiti jake alate koje imamo u faznoj ravnini za njegovu kontrolu. Dokažimo najprije osnovna svojstva operatora A ξ koja ćemo kasnije koristiti. Propozicija..4. Za svaki je ξ operator A ξ dobro definiran ograničen operator na L s ogradom neovisnom o ξ. Nadalje, Ker A ξ sadrži sve funkcije kojima je nosač Fourierove transformacije sadržan u [ξ, ) i svaki A ξ je pozitivno definitan. Nadalje, za svaki k Z vrijedi: gdje je A ξ,k = P P I P k ωp (ξ) f, φ P φ P. A ξ = D k A ξ kd k, (.) A ξ,k T k = T ka ξ,k, (.) Dokaz. Za fiksan ξ i n Z neka je Ω n = {P P : ξ ω P i I P = n } i neka je A (n) ξ f = f, φ P φ P. P Ω n

23 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 0 Primijetimo da su sve pločice za koje doprinose sumi u definiciji operatora A ξ sadržane u n Z P n. A (n) ξ f(x) dobro je definirano za svaki x zbog činjenice da su funkcije φ P brzotrnuće i da su dovoljno razmaknute: f, φ P φ P (x) f φ P T c(ip )D I P φ(x) P Ω n P Ω n f I P ( + x c(i p ) I P ) ν P Ω n f I P ( + n) ν Dokazat ćemo da je svaki A (n) ξ ξ. Operatori A (m) ξ f I P. n N ograničen operator na L s ogradom neovisnom o i A (n) ξ razlikuju se do na kompoziciju s operatorima translacije i dilatacije koji čuvaju L norme pa je dovoljno dokazati ograničenost operatora A (0) ξ. Ocjenjivanjem manjeg od brojeva f, φ P, φ P, f većim i korištenjem simetrije te nakon toga korištenjem leme.. imamo: A (0) ξ f f, φ P φ P, φ P φ P, f P P 0 P P 0 f, φ P φ P, φ P P P 0 P P 0 f, φ P w P (x) P (x)dx P P 0 P P 0 f, φ P w P P P 0 f, φ P. P P 0 Iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti vrijedi f, φ P f φ P, pa zbog činjenice da su pločice u Ω n udaljene za cjelobrojne vrijednosti, a funkcije φ P brzotrnuće, vrijedi P P 0 φ L. Odatle slijedi: f, φ P P P 0 f(x) φ P (x) f L dx P P 0

24 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA i time je dokazana tvrdnja o ograničenosti uniformnom ogradom. Za m n i P P m, P Ω n vrijedi da su intervali ω P i ω P disjunktni pa su φ P i φ P ortogonalne funkcije. Odatle slijedi da su operatori A (n) ξ medusobno ortogonalni s uniformnom ocjenom norme pa je za f L dobro definiran L limes A ξ f = lim A (n) ξ f. N n N i vrijedi da je operator A ξ ograničen na L. Zbog toga što Fourierova transformacija svih funkcija φ P u definiciji operatora A ξ ima nosač u (, ξ), to je tvrdnja o jezgri operatora očita. Tvrdnja da je operator pozitivno semidefinitan vidi se iz: A ξ f, f = f, φ P 0 P P ξ ω P Posebno, vrijedi A ξ φ P, φ P > 0 pa operator nije nuloperator. Konačno, dva napisana identiteta slijede direktno iz definicije. Definirajmo nadalje za Schwartzovu funkciju f sljedeći operator. Π ξ f(x) := lim M η T y D n K n κa κ (η+ξ)d κt ym η fdydηdκ, K n [0,] gdje je K n rastući niz pravokutnika oblika I n ω n koji popunjava. Primijetimo da iz definicije slijedi da je operator M η T y D κa κ (η+ξ)d κt ym η zapravo operator A ξ na dijadskoj rešetci fazne ravnine koja je skalirana za κ, tj. ima osnovnu pločicu [0, κ ) [0, κ ) i zatim translatirana za (y, η) pa gornji operator intuitivno predstavlja prosjek operatora A ξ na neprekidno skaliranim i translatiranim dijadskim rešetkama. Dokažimo sada da je gornja definicija i formalno dobra. Propozicija..5. Za Schwartzovu funkciju f sljedeći red lim M η T y D κa(k) κ (η+ξ) D κt ym η f(x) n k n konvergira apsolutno za sve x. Takoder, red konvergira k M η T y D κa κ (η+ξ)d κt ym η f(x) uniformno po x, η, y, κ [0, ] i ξ ξ 0, za proizvoljan ξ 0.

25 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA Dokaz. Za k < 0 koristeći Plancherelov identitet u skalarnom produktu vrijedi: M η T y D κa(k) κ (η+ξ) D κt ym η f(x) f(ζ)t η M y D φ κ P (ζ)dζ M η T y D κφ P (x) ω P = k κ (η+ξ) ω P ω P = k κ (η+ξ) ω P ω P = k κ (η+ξ) ω P f(ζ) (,ξ κ ω P 8 ](ζ)dζ T y D κt c(ip )D I P φ(x) ( + ζ ) ν (,ξ κ ω P 8 ](ζ)dζ T y D κt c(ip )D I P φ(x), gdje smo u drugom retku koristili činjenicu da je φ P IP [c(ωp ) 3 8 ω P,c(ω P ) 8 ω P ], a u trećem svojstvo da je f takoder Schwartzova funkcija. Konačno, za k dovoljno mali u odnosu na ξ, tako da je k > 6 ξ, vrijedi da je zadnji integral kν, a kako su funkcije φ brzotrnuće i κ, to je kao i prije i zadnja suma ograničena sa kν. U slučaju kad je k > 0, vrijedi: M η T y D κa(k) κ (η+ξ) D κt ym η f(x) f φ M η T y D κφ P (x) ω P = k κ (η+ξ) ω P k f k f, ω P = k κ (η+ξ) ω P T y D κt c(ip )D I P φ gdje smo koristili Cauchy-Schwarzovu nejednakost i činjenicu da je κ. Dakle, za velike i male k-ove, A (k) ξ f(x) je po apsolutnoj vrijednosti ograničen geometrijskim redom pa odatle slijede tvrdnje propozicije.

26 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 3 Kako je familija operatora A ξ uniformno ograničena na L, to za Schwartzovu funkciju f i funkciju g L vrijedi: (Π ξ f)(x)g(x)dx lim inf M η T y D n K n κa κ (η+ξ)d κt ym η f(x) g(x) dydηdκdx K n [0,] lim inf M η T y D n K n κa κ (η+ξ)d κt ym η f g dydηdκ lim inf n K n = f g, K n [0,] K n [0,] f g dydηdκ gdje smo u prvom retku koristili nejednakost trokuta i Fatouovu lemu, u drugom Fubinijev teorem za nenegativne funkcije i Cauchy-Schwarzovu nejednakost i u trećem retku uniformnu ograničenost operatora i svojstvo da modulacije, translacije i dilatacije ne mijenjaju -normu. Odatle dualizacijom slijedi da je za svaki ξ Π ξ f f, s implicitnom konstantom neovisnom o ξ. Dakle, svaki se operator Π ξ na jedinstven način može proširiti do ograničenog operatora na L. Želimo konačno dovesti u vezu operatore Π ξ s operatorima u Carlesonovom teoremu. Propozicija..6. Za Schwartzovu funkciju f vrijedi Posebno, odatle slijedi Π ξ f(x) = M ξ F (M ξ f). Cf(x) = sup Π ξ f(x). ξ Dokaz. Primijetimo da direktno iz definicije operatora Π ξ vrijedi M ξ Π ξ M ξ f = Π 0 f Naime, zbog prethodne propozicije za proizvoljan ε > 0 postoji N dovoljno velik, tako da se Π ξ f(x) za svaki x razlikuje od lim M η T y D n K n κa(k) κ (ξ+η) D κt ym η f(x)dydηdκ K n [0,] k N

27 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 4 za manje od ε te analogna tvrdnja vrijedi za Π 0 f(x). Nakon zamjene varijabli η+ξ η, gornji izraz jednak je lim M η T y D n K n κa(k) κ (ξ+η) D κt ym η f(x)dydηdκ. I n (ξ+ω n) [0,] k N Primijetimo da je to, do na područje integracije, točno izraz koji aproksimira Π 0 f(x) do na ε. Medutim, zbog toga što je za fiksne k i κ sumand u integrandu koji sadrži pločice sa ω P = k periodičan po η sa periodom κ k, cijeli integrand je periodičan po η s periodom κ N. Zbog toga za dovoljno velik n, prosjeci po pravokutnicima I n (ξ + ω n ) i I n ω n razlikovat će se po volji malo i time je tvrdnja dokazana. Dakle, za dokaz propozicije dovoljno je dokazati da je Π 0 = F. U tu svrhu dovoljno je provjeriti da je Π 0 nenul operator koji zadovoljava uvjete propozicije..3. Ograničenost slijedi iz prethodnih razmatranja pa dokažimo komutiranje s translacijama. Neka je ε > 0 proizvoljan. Tada, kao i u prethodnom razmatranju, zbog uniformne konvergencije reda u integralu postoji dovoljno velik N tako da se Π 0 f(x) razlikuje od lim n K n K n [0,] k N M η T y D κa(k) κ η D κt ym η f(x)dydηdκ (.3) za manje od ε, za svaki x. Tada vrijedi T z Π 0 T z = M η T y z D K n κa(k) κ η D κt y+zm η f(x)dydηdκ. K n [0,] k N Zbog toga što je svaka funkcija u sumi unutar integrala za fiksan κ periodična s obzirom na y s periodom κ k, vrijedi da je integrand periodična funkcija s obzirom na y s periodom κ N. Prema tome, definicijski integral od Π 0 f(x) sa odsječenom sumom razlikuje se od gornjega samo po području integracije, koje je u gore napisanom izrazu, uz zamjenu varijabli y+z y jednako (I n +z) ω n. Koristeći periodičnost, puštanjem n zaključujemo da su integrali jednaki. Dakle, T z Π 0 T z f(x) Π 0 f(x) < ε. Kako je ε > 0 proizvoljan, puštanjem ε 0 zaključujemo da Π 0 komutira s translacijama. Dokažimo komutiranje s dilatacijama. Neka je λ > 0 proizvoljan. Želimo dokazati D λπ 0 D λ = Π 0. Lijeva strana je po definiciji jednaka lim n = lim n K n K n K n [0,] K n [0,] D λm η T y D κa κ ηd κt ym η D λ f(x)dydηdκ M ηλ T λy D κ λa κ ηd κ λ T λym ηλ f(x)dydηdκ.

28 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 5 Nadalje, postoji l Z takav da je λ [ l, l+ ) pa možemo zapisati λ = l+δ, gdje je δ [0, ). Koristeći (.) i zamjenu varijabli ( l y, l η) (y, η), gornji izraz jednak je lim n M K n ηt δ yd δ K n [0,] A κ+δ κ ηd T κ δ ym δ ηf(x)dydηdκ, δ gdje je K n = l I n l ω n. astavimo sada gornji integral na: M ηt δ yd δ K n [0,δ] D (κ+ δ) A κ ηd D T κ+ δ ym δ ηf(x)dydηdκ δ + M ηt δ yd δ K n [δ,] A (κ δ) κ ηd T κ δ ym δ ηf(x)dydηdκ. δ Prvi integral korištenjem (.) i zamjenom varijabli ( δ y, δ η, κ + δ) (y, η, κ) prelazi u: M η T y D κa κ ηd κt ym η f(x)dydηdκ, K n [ δ,] dok drugi integral zamjenom varijabli ( δ y, δ η, κ δ) (y, η, κ) prelazi u M η T y D K n [0, δ] κa κ ηd κt ym η f(x)dydηdκ, gdje je K n = λi n λ ω n. Odatle zbrajanjem, dijeljenjem sa K n i puštanjem limesa slijedi tražena tvrdnja. Činjenica da jezgra od Π 0 sadrži sve funkcije kojima je nosač Fourierovre transformacije u (0, ) je očita iz definicije. Naime, ako je supp f (0, ) tada za sve η, y, κ i P P zbog disjunktnosti nosača funkcija vrijedi f, T η M y D κφ P κ η ω P = 0 pa preostaje dokazati samo da Π 0 nije nuloperator. U tu svrhu dokazat ćemo da je Π 0 f, f > 0 za f := M 0. φ. Iskoristimo opet da postoji dovoljno velik N tako da se Π 0 f(x) razlikuje od (.3) za manje od ε za svaki x. Koristeći već navedenu periodičnost integranda po y i η, postoji dovoljno velik n tako da se izraz (.3) razlikuje od K n K n [0,] k N M η T y D κa(k) κ η D κt ym η f(x)dydηdκ

29 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 6 za manje od ε za svaki x. Zbog toga što je f L, to se Π 0 f, f razlikuje od M η T y D K n κa(k) κ η D κt ym η f(x)dydηdκf(x)dx K n [0,] k N za manje od ε f. Prema tome, ostaje dokazati pozitivnost gornjeg izraza. Tada puštanjem ε 0 zaključujemo traženu pozitivnost od Π 0 f, f. U gornjem integralu Fubinijev teorem smijemo primijeniti jer se unutrašnji integrand razlikuje od f za manje od ε pa je zbog toga ograničen, a vrijedi i da je f L. Zbog toga je gornji integral jednak: K n K n [0,] k N M η T y D κa(k) κ η D κt ym η f, f dydηdκ. Nadalje, zbog toga što operator M η T y D κa(k) κ η D κt ym η predstavlja operator A (k) 0 samo na dijadskoj rešetci koja je skalirana i translatirana, primijetimo iz geometrije nosača od φ da za svaki κ postoje intervali I n I n i ω n ω n takvi da je M η T y D κa(0) κ η D κt ym η f, f > 0 za y I n i η ω n. Naime, translatiramo i moduliramo pločicu [0, κ ) [0, κ ) u dijadskoj rešetci skaliranoj sa κ i koristimo karakterizaciju od φ u frekvencijskom dijelu da im poklopimo nosače. Prema tome, cijeli integral je pozitivan i time smo dokazali da operator Π 0 nije nuloperator te time dokazali tvrdnju propozicije. Primijetimo da je operator Π ξ zapravo integralni prosjek operatora A κ (ξ+η). Zbog toga očekujemo da slaba ocjena maksimalnog operatora familije A ξ povlači slabu ocjenu maksimalnog operatora familije Π ξ. Precizno, vrijedi sljedeća propozicija. Propozicija..7. Neka je f Schwartzova funkcija. Pretpostavimo da je funkcija sup ξ A ξ f izmjeriva i da vrijedi sup A ξ f f, (.4) ξ L, tada vrijedi sup Π ξ f f. L, ξ Dokaz. Kao u dokazu izmjerivosti Cf zaključujemo da je sup ξ Π ξ f(x) = sup Π ξ f(x). ξ Q

30 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 7 Neka je (q m ) m N enumeracija racionalnih brojeva. Tada za svaki M N vrijedi max Π q m f(x) m M = lim n max m M K n K n [0,] M η T y D κa(k) κ (q m+η) D κt ym η f(x)dydηdκ. Naime, za fiksan q m, za svaki x po točkovnoj konvergenciji vrijedi Π qm f(x) = lim M η T y D n K n κa(k) κ (q m+η) D κt ym η f(x)dydηdκ K n [0,] pa je maksimum od konačnog broja limesa jednak limesu maksimuma. Odatle za E takav da je E < primjenom Fatouove leme i nejednakosti trokuta slijedi max Π q m f(x) E dx m M lim max n m M K n K n [0,] M η T y D κa κ (q m+η)d κt ym η f(x) dydηdκ E dx. Medutim, sada je zadnji integral po pretpostavci manji ili jednak od sup M η T y D K n κa κ (ξ+η)d κt ym η f(x) dydηdκ E dx K n [0,] ξ E K n sup M η T y D κa κ (ξ+η)d κt ym η f dydηdκ K n [0,] ξ L, E D K n κt y M η f dydηdκ f E, K n [0,] gdje smo u drugom retku koristili dualnost slabe norme, a u trećem ogradu (.4). Dualizacijom odatle slijedi max Π q m f m M f, L, gdje implicitna konstanta ne ovisi o M. Sada zbog toga što je sup q m Π qm f(x) = lim M max m M Π q m f(x),

31 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 8 još jednom primjenom Fatouove leme slijedi da za E takav da je E < vrijedi sup Π qm f(x) E (x)dx lim max Π q m f E (x)dx q m M m M lim M max Π q m f E m M lim M f E. Odatle još jednom dualizacijom slijedi tvrdnja propozicije. L, Dakle, preostaje nam jedino dokazati ocjenu (.4) i tome je posvećen ostatak rada. Medutim, trebamo još svesti ocjenu na pogodniji oblik. Neka je (P n ) n N familija konačnih podskupova od P, takvih da vrijedi:. Za svaki P P n vrijedi n I P n,. P n P n+ za svaki n N 0, 3. n N P n = P. Po prethodnoj propoziciji o točkovnoj konvergenciji operatora A ξ slijedi da za Schwartzovu funkciju f vrijedi A ξ f(x) = lim (ξ) f, φ ωp P φ P (x). n P P n Zbog toga, nadalje, vrijedi { } x : sup A ξ f(x) > λ { x : sup } (ξ) f, φ ωp P φ P (x) > λ ξ n N P P k Promotrimo funkciju ξ k n P P k ωp (ξ) f, φ P φ P (x). Iz konačnosti skupa P k slijedi da je funkcija po dijelovima konstantna po ξ i jednaka 0 za ξ dovoljno velik pa vidimo da je supremum na desnoj strani zapravo maksimum od konačno izmjerivih funkcija pa je zbog toga i funkcija sup ξ A ξ f izmjeriva. Nadalje, postoji izmjeriva funkcija N : takva da vrijedi sup (ξ) f, φ ωp P φ P (x) = P P k ξ k n (N(x)) f, φ ωp P φ P (x) P P n

32 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 9 Naime, zbog toga što je P n rastuća familija konačnih skupova, u točkama x u kojima se supremum postiže za neki k < n broj N(x) jednostavno definiramo kao neki dovoljno velik broj. Trik uvodenja funkcije koja točkama pridružuje vrijednost ξ za koje se supremum postiže naziva se linearizacija supremuma i prvi ga je uveo C. Fefferman u []. Dakle, preostaje dokazati da nejednakost { x : } (N(x)) f, φ ωp P φ P (x) > λ λ f (.5) P P n vrijedi za proizvoljan λ > 0 jer će tada tražena slaba ocjena za sup ξ A ξ f slijediti po neprekidnosti mjere s obzirom na rastući niz dogadaja. Medutim, dualizacijom i primjenom nejednakosti trokuta, vidimo da je dovoljno dokazati f, φ P φ P ( ωp N), E f E (.6) P P za sve Schwartzove funkcije f, izmjerive funkcije N, izmjerive skupove E, takve da je E < i konačne podskupove P od P. Kako je nejednakost homogena u f i invarijantna na prikladne simultane dilatacije f, N, E i P za faktor n, n Z, dovoljno je dokazati.6 uz pretpostavke f = i < E. Za fiksan E u nastavku dokaza definiramo: E P := E {x : N(x) ω P }, E P := E {x : N(x) ω P }.. Glavna ideja Familiju pločica T zovemo stablo ako postoji pločica P T = I T ω T, koju nazivamo vrh, takva da je P < P T za svaku P T. Primijetimo da ne zahtijevamo da je vrh u stablu. Stablo sa vrhom I T ω T nazivamo j-stablom ako za svaki P T vrijedi ω jt ω jp, j =,. Za sljedeće definicije prisjetimo se da je zadan skup E, takav da je E, Schwartzova funkcija f, takva da je f = i izmjeriva funkcija N. Za P, konačan podskup od P definirajmo: masa(p ) := sup sup w P (x)dx, P P P P :P <P E P ( energija(p ) := sup T I T P T f, φ P ). gdje se sup u definiciji energije gleda po svim -stablima T P.

33 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 30 Tvrdnja ocjene (.6) slijedit će iz sljedećih propozicija koje nam govore o dekompoziciji familija pločica s obzirom na masu. Propozicija... Neka je P konačan skup pločica. Tada se P može napisati kao unija skupova P lagane i P teške tako da vrijedi: masa(p lagane ) masa(p ) i P teške je unija skupa stabala T takvih da je I T masa(p ). (.7) T T Propozicija... Neka je P konačan skup pločica. Tada se P može napisati kao unija skupova P visoke i P niske tako da vrijedi: energija(p niske ) masa(p ) i P visoke je unija skupa T stabala takvih da je I T energija(p ). (.8) T T Propozicija..3. Za stablo pločica T vrijedi sljedeća nejednakost: f, φ P φ P, EP energija(t )masa(t ) I T. (.9) P T Navedene propozicije dokazat ćemo u sljedeća poglavlja, a u nastavku ovog poglavlja dokazat ćemo da one impliciraju ograničenost Carlesonovog operatora. Za danu konačnu kolekciju pločica P koristimo propozicije.. i.. za rastav skupa P u skupove P n, gdje n ide po nekom konačnom skupu cijelih brojeva, za koje vrijedi: i P n je unija skupa stabala T n za koji vrijedi masa(p n ) n, energija(p n ) n (.0) T T n I T n. (.) Naime, inicijalno P zadovoljava ocjene (.0) za neki n dovoljno velik. Ako je masa(p ) veća od (n ), primijenimo dva puta propoziciju.. da rastavimo P na P lagane i P teške. Dodajmo P teške u P n i zamijenimo P sa P lagane. Nadalje, ako je

34 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 3 energija(p ) > n, rastavimo pomoću propozicije.. P na P visoke i P niske. Dodajmo P visoke u P n i zamijenimo P sa P niske. Tada P zadovoljava.0 sa n umjesto n i nastavljamo postupak. Algoritam očito ima konačno koraka jer je P konačan. Konačno, iz propozicije..3 i opservacije da je masa proizvoljne kolekcije pločica zbog -dilatacije težinske funkcije u definiciji ograničena univerzalnom konstantnom C slijedi f, φ P φ P, EP n min(c, n ) n. T T P T Kako je desna strana sumabilna po Z, vrijedi: f, φ P φ P, EP. P P Odatle, zbog pretpostavki f = i E, slijedi (.6) i time je dokazan teorem....3 Dekompozicija po masi U ovom odjeljku dokazat ćemo propoziciju.. koju koristimo u prethodnom dokazu. Dokaz propozicije... Neka je µ = masa(p ) i neka je P teške skup svih pločica P P takvih da je masa(p ) > µ. Svakoj takvoj pločici možemo pridružiti pločicu P (P ), takvu da je P < P (P ) i vrijedi: w P (P )(x)dx > µ E P (P ) Neka je P skup elemenata u {P (P ) : P P teške } koji su maksimalni s obzirom na parcijalni uredaj <. Dovoljno je dokazati da vrijedi P P I P µ jer se sve pločice u P teške mogu grupirati u stabla sa vrhovima u P. Tvrdimo da postoji c > 0, neovisan o familiji P, takav da za svaki P P postoji n N 0 tako da vrijedi E P n I P c n µ I P. (.)

35 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 3 Naime, ako za c > 0 postoji P P za koji ne vrijedi tvrdnja, iz ocjene na masu i gornje ograde funkcije w P na intervalu n I p \ n I p vrijedi: µ < w P (x)dx + w P (x) EP n I p\ n I p dx E P I P n cµ + cµ n (3/ + n ) ν. n Kako je za ν > desna strana sumabilna, iz gornjeg izraza slijedi donja ocjena na c > 0 za koje tvrdnja ne vrijedi. Dakle, tvrdnja vrijedi za neki dovoljno malen c > 0. Za k 0 sa P k označimo skup svih pločica za koje nejednakost (.) vrijedi baš za n = k. Tada iz prethodne tvrdnje slijedi P = k 0 P k. Za svaki P P k promotrimo prošireni pravokutnik ( k I P ) ω P. Birajmo redom elemente iz P k sa maksimalnim I P koji imaju prošireni pravokutnik disjunktan sa proširenim pravokutnicima već odabranih pločica. U trenutku kada više ni jedan pravokutnik nije moguće izabrati, tada svaku pločicu P P k možemo pridružiti nekoj odabranoj pločici P tako da je I P I P i da se prošireni pravokutnici od P i P sijeku. Kako su pločice u P k disjunktne (jer su u P samo maksimalne pločice), vidimo da su intervali I P pločica P koje su pridružene istoj odabranoj pločici P disjunktni i sadržani u k+ I P. Naime, frekvencijski intervali svih pločica pridruženih pločici P sadrže ω P pa zbog toga što su pločice P medusobno disjunktne, vrijedi da su intervali I P disjunktni. Tvrdnja o sadržanosti u intervalu k+ I P slijedi iz činjenice da je I P I P. Odatle vrijedi: I P k+ I P k µ E p k I P P P k P odabrani P odabrani = k µ E ( k I p ) k µ E k µ. P odabrani Sumiranjem po k 0 dobivamo traženu ocjenu..4 Dekompozicija po energiji U ovom odjeljku dokazujemo dekompoziciju pločica s obzirom na energiju. Dokaz propozicije... Neka je ε = energija(p ). Za -stablo T označimo sa (T ) := ( I T P T f, φ P )

36 POGLAVLJE. OCJENA CALESONOVOG OPEATOA 33 energiju -stabla T. Konstruirat ćemo induktivno kolekciju T čija će unija biti P visoke. Ako postoji -stablo T takvo da je (T ) ε, odaberimo ono koje ima c(ω T ) minimalan medu svim takvima. Neka je T maksimalno stablo (s obzirom na inkluziju) sa vrhom I T ω T. Dodajmo T u T i dodajmo T u T, kolekciju koju paralelno definiramo i koju ćemo koristiti kasnije radi boljih svojstava disjunktnosti od T. Uklonimo T iz P i ponavljamo korak dok god postoji -stablo sa (T ) ε. Kad takvog stabla više nema, definiramo da je P niske = P. Uočimo da je energija(p niske ) ε jer u P niske ne postoji nijedno -stablo s energijom većom od ε. Neka su T i T različita stabla u T i neka je P T i P T. Ako je ω P ω P, tada je I P I T =. Naime, primijetimo da je c(ω T ) < c(ω T ) zbog toga što je c(ω T ) sadržano u ω P ω P, a c(ω T ) je u ω P pa znači da je stablo T izabirano prije stabla T. Medutim, kad bi I P bio podskup od I T (ne može biti nadskup zbog toga što je ω T ω P ω P ), tada bi I P bio odabran u T pa ne bi mogao biti u T, što je suprotno pretpostavci. Ostaje za dokazati da vrijedi: ε T T I T. Neka je P unija svih -stabala T u T. Tada iz činjenice da je energija svakog stabla T manja ili jednaka ε, vrijedi: ε T T I T P P f, φ P. (.3) Nadalje, iz Cauchy-Schwarzove nejednakosti i pretpostavke f = vrijedi: f, φ P = f, φ P φ P, f f, φ P φ P. (.4) P P P P Primijetimo sada da je dovoljno dokazati da vrijedi: f, φ P φ P φ P P P P P f,. (.5) Naime, kvadriranjem (.4) i korištenjem prethodne ocjene slijedi da je tada desna strana u (.3) ograničena konstantom. Odatle slijedi tražena ocjena. Lijeva strana u (.5) jednaka je: f, φ P φ P, φ P φ P, f (.6) P P P,P P :ω P =ω P + P,P P :ω P ω P f, φ P φ P, φ P φ P, f, (.7)