Utjecajne funkcije i utjecajne inije na statički neodredenim nosačima () V. S. & K. F. Utjecajne funkcije za statičke veičine na statički neodredenim sistemima najčešće su neinearne funkcije, pa su i utjecajne inije ponajčešće sastavjene od dijeova krivuja. Teorem Müer Bresaua pruža nam sikovito objašnjenje te tvrdnje: utjecajna je inija jednaka progibnoj iniji nosača zbog pogodno odabranoga prisinog pomaka odredene njegove točke. (Zadovojit ćemo se za sada površnim iskazom; teoremom ćemo se cjeovitije i iscrpnije pozabaviti pri opisu kinematičkoga postupka.) Primjerima utjecajnih funkcija i utjecajnih inija za reaktivne sie i reaktivni moment u desnom ežaju obostrano upete grede (sika.a.) uvest ćemo statički i kinematički postupak izvodenja funkcijskih izraza i crtanja njihovih grafova. Statički postupak. U statičkom postupku utjecajne funkcije naazimo, u skadu s njihovom definicijom, kao funkcije apscise hvatištâ jediničnih sia koje se kao opterećenje kreću po gredi. Budući da su na ravnome štapu, kao što znamo, uzdužna i poprečna djeovanja medusobno neovisna, pogodno je na gredu postaviti zasebice jediničnu siu koja djeuje na pravcu njezine osi (sika.b.) i jediničnu siu koja djeuje okomito na os (sika c.). Odaberemo i kao osnovni sistem za metodu sia konzou s prekobrojnim siama orijentiranima kao na sici d., bit će X Ø B Ø h, X2 Ø B Ø v i X3 Ø M, a time i ηb h η X, η B v η X2 te η MB η X3. Taj smo osnovni sistem uvei već prije, u odjejku Matrica popustjivosti ravnoga štapa (sika 4. na stranici 42.), pa sada možemo iskoristiti tamo izvedene izraze za komponente inverzne matrice D matrice popustjivosti D, navedene u izrazu (28) na stranici 43. Jasno je da vrijednosti unutarnjih sia u osnovnom sistemu ovise o poožajima jediničnih sia (sike.e. i f.), tako da su i sobodni čanovi u jednadžbama neprekinutosti funkcije tih poožaja: δ,0 ÔÕ EA, δ 2,0 ÔÕ 2 Ô3 Õ δ 3,0 ÔÕ 2 2 EI. I te smo izraze već izvei (na stranici 44., uz siku 20.), s drugačijim oznakama, doduše: apscise hvatištâ sia označavamo sada, kao promjenjive veičine, sa, a prije smo ih smatrai unaprijed zadanima i stoga označii sa a; k tomu su još, jasno, P i P z.,
a. EI = const z b. η B h() η MB () c. η B v() X 2 d. X 3 X e. + N 0 f. M 0 Sika. Kako je prva jednadžba neprekinutosti, koja se odnosi na uzdužni smjer, neovisna o ostae dvije, iz nje je neposredno η X ÔÕ Ö δ,0 ÔÕ k, Ö δ EA,0 ÔÕ ± ¹ δ, EA. 2
Za poprečni pak smjer raspisivanjem izraza X à D d à Ã, gdje je d Ã Ö δ 2,0 δ 3,0 T, dobivamo 2 EI η X2 ÔÕ 3 ³± 2 Ô3 Õ»¹ η X3 ÔÕ 2 ³± 2 Ô3 Õ»¹ 2 Ô3 2 2 EI 2 Õ 2, 3 4 EI 2 2 EI 2 Ô Õ 2. (Izrazi za X, X 2 i X 3, izvedeni u odjejku o matrici popustjivosti, na stranici 45., postaju izrazima za η X, η X2 i η X3 uvrstimo i u njih a te P ii P z.) Strogo govoreći, rješavai smo dva sustava jednadžbi neprekinutosti: u prvome su, za jediničnu siu na pravcu osi grede (sika.e.), sobodni čanovi δ,0 δ,0 i δ 2,0 δ 3,0 0, a u drugom su sustavu, za jediničnu siu koja je okomita na taj pravac (sika f.), δ Ã,0 0, δ à 2,0 δ 2,0 i δ à 3,0 δ 3,0. Rješenja prvoga sustava utjecajne su funkcije η X, η X 2 i η X 3 za izračunavanje vrijednostî reakcija izazvanih siama koje djeuju na pravcu osi, dok su rješenja drugoga funkcije η à X, η à X 2 i η à X 3 s pomoću kojih se izračunavaju vrijednosti reakcija zbog sia okomitih na os i zbog momenata. Ai, zbog neovisnosti smjerova djeovanja su η X 2 0, η X 3 0 i η à X 0, tako da možemo pisati η X η X, η à X 2 η X2 i η à X 3 η X3. Tražene su utjecajne funkcije za reakcije: η B hôõ η X ÔÕ za È Ö0,, () η B v ÔÕ η X2 ÔÕ 2 Ô3 2 Õ 3 za È Ö0,, (2) η MB ÔÕ η X3 ÔÕ 2 Ô Õ 2 za È Ö0,. (3) Sike 2.b., d. i e. crteži su grafova utjecajnih funkcija utjecajne inije. Na sikama a. i c. naznačene su pretpostavjene pozitivne orijentacije zadanih sia i reakcija. Funkcija η B h je inearna, pa su nam za crtanje njezina grafa dovojne dvije točke: η B hô0õ 0 i η B hôõ. Druge su dvije utjecajne funkcije dijeovi poinomâ trećega stupnja. Za crtanje utjecajne inije η B v izračunat ćemo vrijednosti u presjecima 0, ß2 i : η B v Ô0Õ 0, η B v i η 2 B v ÔÕ. 2 Pogodno je izračunati i nagibe tangenata u presjecima 0 i ; uvrštavanjem u dobivamo 6 Ô ηb ½ Õ v ÔÕ (4) 3 ηb ½ v Ô0Õ 0 i η½ Bv ÔÕ 0. 3
a. η B h() b. η + η B h η MB () c. η B v() d. η + η B v e. + η MB η Sika 2. Sično ćemo postupiti i pri crtanju utjecajne inije η MB. U odabranim su točkama vrijednosti funkcije: 3 0 4 2 4 a iz izraza za derivaciju naazimo i η MB 0 3 64 η ½ M B ÔÕ 8 9 64 0, Ô2 3 Õ 2 (5) η ½ M B Ô0Õ 0 te η ½ M B ÔÕ. Kinematički postupak. Statički postupak izvodenja izrazâ za utjecajne funkcije na neodredenim nosačima i crtanje utjecajnih inija kao grafova tih funkcija imaju ipak ponajviše teorijski i edukacijski značaj. U većini sučajeva utjecajne ćemo inije konstruirati kinematičkim postupkom. Vajanost postupka teorem Heinricha Müer Bresaua dokazat ćemo na primjeru funkcije η B v i pripadne utjecajne inije. Poazište je poznati teorem Enrica Bettija o uzajamnosti radova sia u dva razičita ravnotežna stanja. U prvome na gredu u nekoj točki, okomito na njezinu os, djeuje jedinična sia (sika 3.a.). U drugom je pak stanju zadan prisini jedinični pomak desnoga ežaja po pravcu okomitom na os grede (sika 3.d.). 4
a. b. η B v() c. d. w() e. Sika 3. Na sici 3.b. skicirane su sve vanjske sie koje u prvom stanju djeuju na gredu: zadana jedinična sia u općem poožaju te uravnotežujuće reaktivne sie i uravnotežujući reaktivni momenti. Za primjenu Bettijeva teorema zamišjamo da te sie rade na pomacima drugoga stanja. U tom se stanju (sika d.) ežajevi ne zaokreću, a ijevi je ežaj uz to nepomičan, pa rade samo sia η B v ÔÕ i jedinična sia. Obje sie djeuju na pravcima po kojima se odvijaju pomaci njihovih hvatišta, a kako su vrijednosti tih pomaka i wôõ, pri čemu je smisao jediničnoga pomaka suprotan smisu djeovanja sie η B v ÔÕ, rad je sia prvoga stanja na pomacima drugog stanja η B v ÔÕ wôõ. Prema Bettijevu teoremu rad je sia prvoga stanja na pomacima drugog jednak radu sia drugoga na pomacima prvog stanja. U drugom stanju, medutim, postoje samo reakcije (sika 3.e.), a u prvom pak stanju nema ni pomaka ni zaokreta ežajeva (progibna inija obostrano upete grede zbog djeovanja jedinične sie skicirana je na sici c.), tako da je rad sia drugog stanja na pomacima prvoga jednak nui. Iz Bettijeva teorema stoga sijedi pa je η B v ÔÕ wôõ 0, η B v ÔÕ wôõ. (6) 5
Prema tome, probem odredivanja utjecajne funkcije svodi se na probem odredivanja funkcijskoga izraza za progibnu iniju. Drugim riječima, treba riješiti dobro nam znanu diferencijanu jednadžbu w M ¾ ÔÕ ÔÕ, (7) EI gdje je M funkcija koja opisuje vrijednosti momenata savijanja izazvanih prisinim jediničnim pomakom desnoga ežaja prema doje (sika 4.a.), u smisu, dake, suprotnom od pozitivnoga smisa djeovanja sie za koju tražimo utjecajnu funkciju. Izraz za funkciju M izvest ćemo, recimo, metodom sia. a. b. X 2 X 3 X c. δ 3,0 δ 2,0 d. 2 2 M Sika 4. Za osnovni sistem sa sike 4.b., uz dijagram vertikanih projekcija pomakâ sa sike c., sustav je jednadžbi neprekinutosti 0 X D X 2 0. X 3 Matricu popustjivosti D i njezin inverz D za osnovni sistem sa sike b. uvei smo izrazima (6) i (20) u odjejku Matrica popustjivosti ravnoga štapa, na stranicama 38. i 39. Iz prve jednadžbe, koja je neovisna o ostae dvije, odmah sijedi X 0. Vrijednosti pak nepoznanica X 2 i X 3 izračunavamo iz 4 EI 2 EI X2 D Ã X 3 2 EI 4 EI, 6
pa su tako da je M ÔÕ X 2 m 2 ÔÕ X 3 m 3 ÔÕ X 2 2 i X 3 2, (8) 2 ± ¹ 2 3 2 ; dijagrame m 2 i m 3 možete naći na sikama 6.f. i h. na stranici 36. u odjejku o matrici popustjivosti, a konačni je dijagram M prikazan na sici 4.d. na prethodnoj stranici. Uvrštavanjem u (7) dobivamo diferencijanu jednadžbu Prvo integriranje daje w ¾ ÔÕ 6 3 2. w ½ ÔÕ 6 3 2 C, a iz rubnoga uvjeta ϕô0õ w ½ Ô0Õ 0 sijedi C 0. Još jednim integriranjem dobivamo 6 wôõ ³ 2 3 ± 2 3»¹ C 2. 3 I C 2 0, jer je wô0õ 0. Funkcijski je izraz za progibnu iniju, dake, nakon sredivanja wôõ 2 Ô3 2 Õ 3 ; njegova je desna strana jednaka desnoj strani izraza (2) na stranici 3., što potvrduje zakjučak Müer Bresaua da je η B v w. I u desnom ežaju postoje dva rubna uvjeta: wôõ i ϕôõ w ½ ÔÕ 0. Za odredivanje dviju integracijskih konstanata dovojni su bii uvjeti u ijevom ežaju, pa uvjete u desnom možemo upotrijebiti za provjeru izvoda: w ½ ÔÕ 6 3 Ô 2 Õ 0 i wôõ 2 Ô3 2Õ 3. Sva će nam četiri rubna uvjeta trebati započnemo i s diferencijanom jednadžbom w IV ÔÕ qôõ EI, odnosno, budući da je zadan samo prisini pomak, s homogenom jednadžbom w IV ÔÕ 0. (9) (Poazeći od te jednadžbe izbjegavamo prethodno traženje funkcije M.) Nakon trećega i četvrtog integriranja dobivamo w ½ ÔÕ C 2 2 C 2 C 3, wôõ C 6 3 C 2 2 2 C 3 C 4. 7
Iz uvjetâ ϕô0õ w ½ Ô0Õ 0 i wô0õ 0 neposredno sijedi C 3 0 i C 4 0. Preostaa dva uvjeta, ϕôõ w ½ ÔÕ 0 i wôõ, daju sustav 2 2 C C 2 0, 3 6 C 2 2 C 2, čija su rješenja C 2 3 i C 2 6 2, te ponovo, nakon uvrštavanja i sredivanja, dobivamo već poznati izraz za w η B v. Samo je u jednostavnijim sučajevima, poput našega primjera, funkcijski izraz za progibnu iniju razmjerno ako, anaitičkim rješavanjem diferencijanih jednadžbi (7) ii (9), izvesti u zatvorenu obiku. Češće ćemo, nakon što na neki način nademo dijagram momenata savijanja, odmah crtati progibnu iniju postupkom utemejenim na Mohrovoj anaogiji. Tražene vrijednosti utjecajne funkcije tada očitavamo na utjecajnoj iniji koja, kao što smo netom dokazai, nije ništa drugo dòi ta progibna inija. Za očitavanje vrijednosti moraju mjeria na crtežu biti definirana. Progibnu/utjecajnu iniju nacrtat ćemo za gredu općega raspona. Ako je crtež grede dujine k cm, tada je mjerio rasponâ Öcm :: ßk Öm. Uvest ćemo i oznaku m ßk. Za naš ćemo primjer uzeti da je k 5, pa je dujina crteža grede 5 cm (sika 5.a.), a mjerio je rasponâ Öcm :: ß5 Öm. Za primjenu Mohrove anaogije gredu, kojoj ežajni uvjeti ne trebaju biti definirani, opterećujemo zamišjenom distribuiranom siom čije su vrijednosti zadane funkcijom njezin je graf prikazan na sici 5.d. κôõ M ÔÕ EI Otto Mohr je uočio (godine 868.) da diferencijana jednadžba ravnotežne konfiguracije niti w ¾ ÔÕ qôõ H (u kojoj su funkcijom q zadane vrijednosti poprečne distribuirane sie, a H je vrijednost napetosti niti), ima jednaku strukturu kao diferencijana jednadžba progibne inije (7). Kako se ravnotežna konfiguracija niti, koja vam je vjerojatno poznatija pod nazivom verižne krivuje, može smatrati dijagramom momenata savijanja u gredi istoga raspona i pod istom distribuiranom siom, jer je diferencijana jednadžba ravnoteže M ¾ ÔÕ qôõ treća jednadžba jednake strukture, Mohr je zakjučio da se progibna inija grede može nacrtati kao dijagram momenata izazvanih zamišjenom distribuiranom siom čije su vrijednosti opisane funkcijom κôõ M ÔÕ EI. 8 ;
a. [cm] :: /5 [m] b. η B v c. d. 2 ϕ 6 2 ϕ2 6 2 M κ 2 e. f. 0 ϕ ϕ 2 ηb v() = 0, 2 χ η B v [cm] :: 2 2 Sika 5. Verižnu krivuju za zadanu distribuiranu siu crtamo tako da je upišemo u njezin tangentni poigon verižni poigon za sustav koncentriranih sia koji je statički ekvivaentan distribuiranoj sii: dijeove dijagrama distribuirane sie izmedu dviju ordinaa zamjenjujemo koncentriranim siama čiji su intenziteti jednaki površinama tih dijeova, dok su im hvatišta u njihovim težištima. No, funkcija κ po svom je stvarnom kinematičkom značenju funkcija koja opisuje zakrivjenost osi grede: κ w ¾. Površina ispod njezina grafa izmedu dviju ordinaa daje stoga, kao vrijednost odredenoga integraa, kut ϕ koji zatvaraju tangente na progibnu iniju u točkama s odgovarajućim apscisama. Dake, zamišjene koncentrirane sie za 9
koje crtamo verižni poigon s kinematičkoga su gedišta vektori čije su vrijednosti jednake kutovima izmedu tangenata na progibnu iniju. U našem ćemo primjeru umjesto distribuirane zakrivjenosti κ uvesti vektore kutova Øϕ i Øϕ 2 u težištima trokutâ od kojih je sastavjen njezin dijagram (sika 5.d.). Intenziteti tih vektora jednaki su površinama trokutâ: ϕ ϕ 2 2 2 6 2 3 2. Pri konstruiranju tangentnoga poigona s vektorima kutova postupamo kao s koncentriranim siama pri konstruiranju verižnoga poigona. Za crtež poigona vektorâ kutova (sika 5.e.) odabrat ćemo mjerio kutova Öcm :: 2. U tom će mjeriu dujine nacrtanih vektorâ kutova biti ϕ ϕ 2 3 cm. Uz to, odabrati treba i udajenost χ poa od pravca na kojemu eže vektori kutova (χ je takoder, kinematički, kut) i poožaj poa na paraei s tim pravcem. O udajenosti χ ovisi mjerio u kojemu očitavamo vrijednosti pomakâ/utjecajâ. Akoi je χ, kutovi koje zatvaraju zrake poigona vektorâ kutova, a time i kutovi koje zatvaraju stranice nacrtanoga tangentnog poigona, jednaki su kutovima izmedu tangenata na progibnu iniju, tako da su i dujine odsječaka na ordinaama izmedu zakjučne inije i verižne krivuje jednake vrijednostima progibâ u mjeriu rasponâ. Uzmemo i pak da je χ ßn, kutovi izmedu zrakâ povećat će se n puta, pa će i dujine odsječaka na ordinaama biti n puta veće. Ako je ηôõ izmjerena dujina odsječka, stvarna će vrijednost pomaka/utjecaja biti m ηôõ n ηôõ k n ηôõ. Uzet ćemo da je χ ß, pa je na crtežu χ 2 cm. Po ćemo postaviti tako da početna, nuta zraka bude paraena s osi grede, što znači da će i stranica 0 tangentnoga poigona biti paraena s osi grede i, stoga, horizontana. Budući da su u ijevome ežaju spriječeni i pomak i zaokret osi, zakjučna inija tangentnoga poigona progibne inije (inija od koje mjerimo pomake) mora se pokopiti s nutom stranicom našim smo izborom poožaja poa, prema tome, odmah dobii horizontanu zakjučnu iniju (sika 5.f.). Tangentni poigon progibne/utjecajne inije crtamo na isti način kao i verižni poigon. Dujine vektorâ Øϕ i Øϕ 2 jednake su, pa se zraka 2 poigona vektorâ kutova pokapa sa zrakom 0, a to pak znači da su stranice 0 i 2 tangentnoga poigona usporedne. Drugim riječima, i stranica 2 je horizontana možemo zakjučiti da tangentni poigon zadovojava jedan od rubnih uvjeta u desnome ežaju: os grede se nije zaokrenua. Preostaje još da provjerimo drugi rubni uvjet u desnom ežaju. Izmjerena je dujina odsječka na odgovarajućoj ordinai η B v ÔÕ 5 cm. Iz χ ß sijedi n, pa je, na kraju, η B v ÔÕ 5 5. 0