Sadržaj 1 Uvod 2 2 Metoda konačnih elemenata Slabo rješenje Konstrukcija prostora V h

Sadržaj 1 Uvod 2 2 Metoda konačnih elemenata 4 2.1 Slabo rješenje........................... 4 2.2 Konstrukcija prostora V h..................... 7 2.3 Diskretan problem........................ 8 3 Metoda konačnih volumena 11 3.1 Formulacija metode........................ 11 3.2 Konstrukcija kontrolnih volumena................ 14 3.2.1 Voronoijev dijagram................... 15 3.2.2 Donaldov dijagram.................... 18 3.3 Diskretizacija konačnim volumenima.............. 19 3.3.1 Slučaj Voronoijevog dijagrama.............. 20 3.3.2 Slučaj Donaldovog dijagrama.............. 24 3.4 Usporedba difuzijskih članova.................. 25 3.5 Svojstva diskretizacije...................... 29 A Dodatak 35 A.1 L p prostori............................. 35 A.2 Soboljevi prostori......................... 36 1

Poglavlje 1 Uvod Metoda konačnih volumena (MKV) je metoda za numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi. U usporedbi sa standardnim aparatom za diskretizaciju, tj. s metodom konačnih elemenata (MKE) i metodom konačnih diferencija (MKD), za MKV se često kaže da zauzima mjesto izmedu, jer je se ponekad smatra generalizacijom MKD, a ponekad specijalnim slučajem MKE. MKV se javlja 1960-ih godina za potrebe računanja kod zadaća povezanih s nuklearnim reaktorima i difuzijama neutrona. 1970-ih se razvija i za potrebe mehanike fluida. Ali tek u posljednja tri desetljeća je postala vrlo popularna te se danas najviše koristi u aerodinamici, mehanici fluida, fizici čvrstog stanja, kod istraživačkog modeliranja poluvodiča, itd. MKV je široko primjenjiva kod diferencijalnih jednadžbi divergentnog oblika. U ovom ćemo radu pokazati njenu primjenu na jednoj upravo takvoj klasi problema, tj. na klasi linearnih eliptičkih diferencijalnih jednadžbi 2. reda koju općenito možemo zapisati ovako: div(k u qu) + ru = f, (1.1) gdje je K: R d d simetrična, pozitivno definitna matrična funkcija, q: R d, r, f : R, a R d domena (otvoren i povezan skup). Mi ćemo se u ovom radu ograničiti na slučaj kada je d = 2, te kada je poligonalna domena. Pretpostavljat ćemo da je domena, kao kod MKE, triangulirana trokutima na kojima su definirani P 1 elementi. Na takvoj trianguliranoj domeni konstruirat ćemo konačne volumene kojima ćemo diskretizirati zadaću (1.1) uz pretpostavku homogenog Dirichletovog rubnog uvjeta. Zatim ćemo pokazati dovoljne uvjete za egzistenciju i jedinstvenost rješenja dobivene diskretne zadaće, za diskretno rješenje tipa P 1 na trokutima. 2

POGLAVLJE 1. UVOD 3 Napomenimo da je za MKV dosta teško konstruirati matematičku teoriju konvergencije, zato se potpomažemo konačnim elementima, jer je za MKE ona dobro razvijena. Još spomenimo neke prednosti i nedostatke MKV. Prednosti: fleksibilnost metode obzirom na geometriju domene (kao u MKE), dopuštene su nestrukturirane mreže (kao u MKE, posebno je to važno za adaptivne metode), jednostavno formiranje matrice sustava, lokalno sačuvanje mase, laka linearizacija nelinearnih problema (jednostavnija nego u MKE), jednostavna diskretizacija rubnih uvjeta, nema ograničenja prostorne dimenzije d domene. Nedostatci: manje područje primjene u usporedbi s MKE, teškoće kod konstrukcije metoda višeg reda (nije dopuštena tzv. p-verzija kao što je to dopušteno kod MKE), u višim prostornim dimenzijama (d 3) konstrukcija nekih klasa ili tipova kontrolnih volumena može biti zamršena zadaća, teška matematička analiza (stabilnost, konvergencija, itd.).

Poglavlje 2 Metoda konačnih elemenata U ovom poglavlju ćemo iznijeti samo osnove metode konačnih elemenata na primjeru homogene Dirichletove rubne zadaće. Većinu tvrdnji nećemo dokazivati, nego ćemo ih samo preuzeti iz [1] i [3] u kojima se mogu naći i dokazi. Za definicije uvedenih prostora funkcija vidi Dodatak. Neka je zadana sljedeća homogena Dirichletova rubna zadaća: { div(k u qu) + ru = f u, (2.1) u = 0 na, gdje je R 2 ograničena i poligonalna domena, a njena granica, te gdje je K: R 2 2 simetrična, pozitivno definitna matrična funkcija, a q: R 2 i r, f : R zadane funkcije. 2.1 Slabo rješenje Klasično rješenje zadaće (2.1) je funkcija u C 2 () C 0 () koja zadovoljava rubnu zadaću (2.1), pri tome su i k ij, q i, r, f C(), i, j = 1, 2. Varijacijska formulacija će oslabiti uvjete na zadane funkcije, a dakako i na samo rješenje u. MKE se temelje na varijacijskoj formulaciji rubne zadaće koja se u slučaju zadaće (2.1) dobiva množenjem jednadžbe (2.1) 1 test funkcijom v C0 () i integracijom po : [ div(k u)v + div(qu)v + ruv] dx = fv dx. Parcijalnom integracijom prvog divergentnog člana dobijemo div(k u)v dx = [ div(k uv) + K u v] dx, 4

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 5 a raspisivanjem drugog divergentnog člana div(qu) v dx = [div(quv) (q v)u] dx. Sada cijeli izraz postaje [ div(k uv) + K u v + div(quv) (q v)u + ruv] dx = te primjenom Gaussovog teorema o divergenciji ν (K u v quv) dσ + [K u v (q v)u + ruv] dx = fv dx, fv dx, gdje je ν vanjska jedinična normala na. Kako je v = 0 na to integral po propada pa dobijemo varijacijsku formulaciju rubne zadaće (2.1) [K u v (q v)u + ruv] dx = fv dx, v C0 (). (2.2) Uočimo da se ne pojavljuju druge derivacije nepoznate funkcije u. Jasno je da klasično rješenje zadaće (2.1) zadovoljava varijacijsku zadaću (2.2). Može se pokazati da funkcija u C 2 () C 0 () koja zadovoljava (2.2) zadovoljava i (2.1), što nam pokazuje da je naša varijacijska jednadžba korektna generalizacija zadaće (2.1). Rješenje zadaće (2.2) zovemo poopćeno ili slabo rješenje homogene Dirichletove rubne zadaće (2.1). Kako bismo mogli koristiti neke važne rezultate funkcionalne analize, kao što je npr. Lax-Milgramova lema o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja, zapišimo zadaću (2.2) u sljedećem obliku: { naći u V (2.3) a(u, v) = F(v), v V, gdje je V = C0 () linearan prostor funkcija, a: V V R bilinearan funkcional definiran s a(u, v) := [K u v (q v)u + ruv] dx, (2.4) a F : V R linearan funkcional definiran s F(v) := fv dx. (2.5) A sada zapišimo Lax-Milgramovu lemu. [10].

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 6 Teorem 2.1 (Lax-Milgramova lema) Neka je V Hilbertov prostor sa skalarnim produktom, i induciranom normom, a: V V R bilinearan funkcional te F : V R linearan funkcional i neka su zadovoljeni sljedeći uvjeti: a je neprekidna, tj. M > 0 t.d. a je V -eliptička, tj. α > 0 t.d. F je neprekidan, tj. C > 0 t.d. a(u, v) M u v, u, v V, (2.6) a(v, v) α v 2, v V, (2.7) F(v) C v, v V. (2.8) Tada varijacijska jednadžba (2.3) ima jedinstveno rješenje. Kako se za V = C 0 () i prirodnu normu u njemu Lax-Milgramovi uvjeti ne mogu zadovoljiti za našu rubnu zadaću, to moramo naći neki drugi prostor V i normu, te uvjete na zadane funkcije K,q, r, f za koje će se Lax- Milgramovi uvjeti zadovoljiti. U [1] je dokazano koji su to prostor i norma, te uvjeti na zadane funkcije, a mi tu važnu tvrdnju ovdje samo iznosimo: Teorem 2.2 Neka je R 2 ograničena poligonalna domena, neka je V := H 1 0() i neka vrijedi sljedeće: k ij, q i, divq, r L (), f L 2 (), i, j = 1, 2, te neka je za (gotovo) svaki x r(x) + 1 divq(x) 0. 2 Tada varijacijska zadaća (2.3) ima jedinstveno slabo rješenje u V, gdje su funkcionali a i F zadani s (2.4), odnosno (2.5), respektivno. Sada kada znamo uvjete za egzistenciju i jedinstvenost naše kontinuirane zadaće, sljedeći korak je zamjena kontinuirane zadaće diskretnom zadaćom, tj. moramo naći konačnodimenzionalni potprostor V h V u kojem ćemo tražiti rješenje u h koje će biti diskretna aproksimacija kontinuiranog rješenja u. Kako je V h konačnodimenzionalan prostor, on je zatvoren, a kao zatvoren potprostor Hilbertovog prostora on je i sam Hilbertov u naslijedenoj normi H 1 (). Zato diskretna varijacijska zadaća { naći uh V h (2.9) v V h, a(u h, v) = F(v) ima jedinstveno rješenje kada su zadovoljene pretpostavke Teorema 2.2. Greška aproksimacije rješenja u diskretnim rješenjem u h ovisi o tome koliko V h dobro aproksimira beskonačnodimenzionalni prostor V.

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 7 2.2 Konstrukcija prostora V h Prvi korak u konstrukciji prostora V h je dekompozicija (triangulacija) domene na jednostavne podskupove, uglavnom poligone. Definicija 2.3 Triangulacija domene je svaka konačna familija T h podskupova od koja ima ova svojstva: (T1) = K Th K; (T2) svaki K T h je zatvoren poligonalan skup i Int(K) ; (T3) za svaka dva K i, K j T h, i j, je Int(K i ) Int(K j ) = ; a ako još ima i sljedeće svojstvo (T4) svaka dva K i, K j T h, i j, za koje je K i K j, imaju ili zajednički brid ili zajednički vrh, onda takvu triangulaciju zovemo konformna triangulacija domene. Skupove iz T h nazivamo elementima. Nas zanima slučaj kada su elementi trokuti. Uvedimo finoću triangulacije formulom h := max{diam(k) : K T h }. Spomenimo samo da su za dobra aproksimacijska svojstva triangulacije osim svojstava (T1)-(T4) potrebna još i neka druga svojstva. Definicija 2.4 Za familiju triangulacija (T h ) h kažemo da je regularna ako postoji konstanta σ > 0 takva da za svaki h > 0 i svaki K T h vrijedi gdje je K σh K, K := sup{diam(s) : S je krug u R 2 i S K}, h K = diam(k). Svakom elementu K T h pridružujemo jedan konačnodimenzionalni linearni prostor funkcija koji označavamo s P K. Zatim definiramo prostor X h := {v: R : K T h, v K P K }, a iz tog prostora uzmemo neprekidne funkcije te taj podskup označimo s V h. Može se pokazati da je V h H 1 (), a V 0h := {v V h : v = 0 na } H 1 0(), vidi [3]. Radi jednostavnijeg računanja i dobrih aproksimacijskih

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 8 svojstava, zahtijeva se da prostor P K sadrži polinome (ili funkcije bliske polinomima). Mi ćemo uzimati da je P K prostor polinoma prvog stupnja, dakle, funkcija v X h će biti oblika v K (x) = a K + b K x 1 + c K x 2. Kako je V h prostor neprekidnih funkcija to ćemo imati ograničenja na koeficijente a K, b K, c K za svaki K T h (jer bi inače te funkcije imale prekide na presjecima susjednih trokuta). Sada uzmimo proizvoljne trokute K i, K j T h, i j, koji imaju zajedničku stranicu, npr. γ. S v i označimo restrikciju funkcije v Ki (x) = a Ki + b Ki x 1 + c Ki x 2 na γ, a s v j restrikciju funkcije v Kj (x) = a Kj + b Kj x 1 + c Kj x 2, takoder na γ. Obje su te funkcije afine na γ jer su afine na čitavim K i, odnosno K j, respektivno, ali su one općenito medusobno različite. Da bismo ih učinili jednakima na γ, dovoljno je zahtijevati da su jednake u vrhovima stranice γ (obje funkcije v i i v j su na γ afine funkcije jedne varijable pa su posve odredene vrijednostima u dvije točke) pa je uz taj uvjet zadovoljen i uvjet neprekidnosti funkcije v na K i K j. Dakle, vrijednosti funkcije u vrhovima trokuta se nameću kao adekvatni stupnjevi slobode. Naime, ako zadamo vrijednosti funkcije v V h u vrhovima svih trokuta triangulacije T h, onda je ona time potpuno odredena, tj. ona je neprekidna na, a afina na svakom pojedinom trokutu K T h (na svakom trokutu odredena je s tri vrijednosti, a afina funkcija u R 2 je jedinstveno odredena vrijednostima u tri točke). Dimenzija prostora V h je stoga jednaka broju vrhova triangulacije. 2.3 Diskretan problem Da bismo efikasno konstruirali prostor V h, moramo u njemu naći jednu bazu. Pokaže se (vidi [3]) da je jedna baza za V h dana s ϕ i V h, ϕ i (a j ) = δ ij i, j = 1,...,N h, (2.10) gdje je a j j-ti vrh triangulacije, a N h broj svih vrhova triangulacije T h. Ovu bazu zovemo nodalna baza jer je pridružena vrhovima triangulacije. Vezano za bazu (2.10) imamo baricentričke koordinate koje su restrikcije baznih funkcija na pojedini trokut. Neka je K proizvoljan trokut triangulacije T h, te neka su a i, i 1, 2, 3 vrhovi trokuta K. Baricentričke koordinate λ i = λ i (x), 1 i 3 bilo koje točke x R 2, u odnosu na točke a 1, a 2, a 3, je jedinstveno rješenje linearnog sustava a 1 λ 1 + a 2 λ 2 + a 3 λ 3 = x (2.11) λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1.

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 9 Zbog nekolinearnosti točaka a i, i 1, 2, 3, sustav (2.11) ima jedinstveno rješenje. Iz definicije baricentričkih koordinata se lako vidi da koordinata λ i je zaista restrikcija bazne funkcije ϕ i na trokut K: { 1 za i = j, λ i P 1, λ i (a j ) = 0 za i j, gdje je P 1 prostor polinoma prvog stupnja. Bazna funkcija ϕ i je afina na svakom trokutu i odredena je svojim vrijednostima u vrhovima trokuta. Različita je od nule samo na onim trokutima koji imaju a i kao jedan svoj vrh, stoga ima mali nosač. Pogledajmo sada diskretnu zadaću (2.9): rješenje u h zapišimo pomoću baznih funkcija N h u h = u i ϕ i, u i R, (2.12) i=1 a za test funkcije v V h je dovoljno da uzmemo bazne funkcije ϕ j, j = 1,...,N h. Uvrštavanjem u jednadžbu, N h a( u i ϕ i, ϕ j ) = F(ϕ j ), j = 1,...,N h, i=1 dobijemo sljedeći linearni sustav jednadžbi: AU = F, (2.13) gdje je A = (A ij ) = (a(ϕ j, ϕ i )) R N h N h, tzv. matrica krutosti, U = (u i ) R N h, F = (F i ) = (F(ϕ i )) R N h. Sustav (2.13) zbog zadovoljenih Lax-Milgramovih uvjeta (matrica A je pozitivno definitna) ima jedinstveno rješenje U. Napomenimo da je matrica krutosti rijetka zbog malih nosača baznih funkcija. Na kraju još uvedimo operator I h : C() V h koji proizvoljnoj funkciji iz C() pridružuje funkciju iz prostora V h takvu da je N h (I h v)(x) = v(a i )ϕ i (x). (2.14) i=1 Takav operator zovemo interpolacijski operator u prostoru V h, a on ima centralnu ulogu u ocjeni greške MKE.

POGLAVLJE 2. METODA KONAČNIH ELEMENATA 10 Teorem 2.5 Neka je dana regularna familija triangulacija trokutima (T h ) h. Tada postoji konstanta C > 0 neovisna o h, takva da za v H 2 () vrijedi v I h (v) 1 Ch v 2. Ako je rješenje rubnog problema (2.1) iz prostora H 2 (), tada za diskretno rješenje u h problema (2.9) imamo ocjenu Dokaz se može naći u [1]. u u h 1 Ch( u 2 + f 0 ).

Poglavlje 3 Metoda konačnih volumena 3.1 Formulacija metode Sada ćemo opisati osnovne korake metode konačnih volumena primijenjene na jednadžbu (1.1) i pri tome ćemo se ograničiti samo na slučaj kada je d = 2. Prvi korak je subdivizija domene, tj. podjela domene na M poddomena i takvih da vrijedi sljedeće: 1. svaki i je zatvoren, poligonalan ograničen skup, 2. Int i Int j =, za i j, 3. M i=1 i =. Te poddomene i se zovu konačni ili kontrolni volumeni. Spomenimo da postoje i metode konačnih volumena s dobro definiranim kontrolnim volumenima koji se preklapaju, dakle s narušenim drugim uvjetom. Drugi korak metode je zajednički svim metodama konačnih volumena: integrira se jednadžba (1.1) po svakom kontrolnom volumenu i [ div(k u qu) + ru] dx = f dx, (3.1) i i zatim se primijeni Gaussov teorem o divergenciji ν (K u qu) dσ + ru dx = f dx, i i i gdje ν označava jediničnu vanjsku normalu na i. 11

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 12 Prema prvom uvjetu particije, granica i je sastavljena od ravnih segmenata Γ ij (j = 1,...,n i ), duž kojih je normala ν Γij konstanta (vidi Sliku 1.). Zato se sada linijski integral može dekomponirati na sumu linijskih integrala što nam daje sljedeći rezultat: n i ν ij (K u qu) dσ + Γ ij ru dx = i f dx. i (3.2) j=1 Slika 1. Kontrolni volumen Treći je korak aproksimacija integrala iz (3.2), a to se može napraviti na puno različitih načina. Tako se dobiju različite konačne diskretizacije. Metode konačnih volumena dijelimo prema načinu konstrukcije konačnog volumena i tipu aproksimativnog rješenja. [8]. Prva podjela uvodi dvije velike grupe metoda prema odnosu konačnog volumena i nodalnih točaka, tj. točaka u kojima aproksimiramo točno rješenje. Ukoliko prvo konstruiramo razdiobu domene na konačne volumene (ćelije), a zatim nodalne točke uvodimo u volumene, onda govorimo o metodi centriranoj u ćeliji (cell-centred method). Najjednostavniji predstavnik te klase je metoda u kojoj se nodalna točka smješta u centar kontrolnog volumena i rješenje se aproksimira funkcijom koja je konstantna na svakom pojedinom volumenu. Prve metode konačnih volumena bile su tog tipa. Unutar te klase moguće su različite varijante: nodalne točke mogu biti smještene u vrhove konačnog volumena (cell vertex method) ili na njegove stranice (cell edge method). Različiti načini razmještaja nodalnih točaka vode na različite tipove aproksimacije rješenja, koja je obično tipa konačnih elemenata (konformnih ili nekonformnih), no

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 13 osnovno svojstvo ove metode je da postoji samo jedna razdioba domene ona na kontrolne volumene. Druga grupa metoda prvo uvodi nodalne točke, a zatim konstruira kontrolne volumene centrirane u nodalnim točkama. Za takve metode kažemo da su centrirane u nodalnim točkama (vertex-centred methods). Njih karakterizira prisustvo dviju različitih subdivizija domene. Jedna je ona koja nam daje nodalne točke, obično triangulacija domene tipa konačnih elemenata, i koja odreduje tip aproksimacije rješenja, a druga je dana kontrolnim volumenima. Mi ćemo se nadalje baviti samo tim tipom metode i to u specijalnom slučaju kada se triangulacija domene sastoji od P 1 elemenata na trokutima. Analizirat ćemo dva različita načina konstrukcije konačnih volumena u toj situaciji. Pogledajmo jedan primjer metode KV koji se može smjestiti u klasu metoda centriranih u nodalnim točkama. Primarna mreža je pravokutna s aproksimacijom rješenja tipa Q 1 (bilinearne funkcije), a kontrolni volumeni su pravokutnici centrirani u nodalnim točkama. Pokazat ćemo da se primjenom odgovarajućih formula numeričke integracije metoda KV svodi na klasičnu metodu konačnih diferencija. Primjer 3.1 Zadan je homogeni Dirichletov problem za Poissonovu jednadžbu na jediničnom kvadratu: u = f u = (0, 1) 2, u = 0 na. Slika 2. Varijable problema i kontrolni volumeni kod vertex-centred MKV Varijable problema su vrijednosti u(a i ), gdje su a i čvorovi kvadratne mreže (tj. nodalne točke) s korakom h > 0.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 14 Kontrolni volumeni su definirani s i := {x : x a i h}. 2 Za unutarnje kontrolne volumene i (to su oni za koje je a i ) jednadžba (3.2) postaje 4 ν ijk u dσ = f dx, (3.3) Γ ijk i k=1 gdje je Γ ijk := i jk. Ako bolje pogledamo derivacije u smjeru, vidimo da zapravo imamo ν ij1 u = 1 u, ν ij2 u = 2 u, ν ij3 u = 1 u, ν ij4 u = 2 u, tj. to su samo parcijalne derivacije u odnosu na prvu i drugu varijablu po odgovarajućim dijelovima ruba. Aproksimacijom integrala po Γ ijk pravokutnom formulom i zamjenom parcijalnih derivacija diferencijskim kvocijentom, imamo 4 k=1 [ u(aj1 ) u(a i ) h Γ ijk ν ijk u dσ + u(a j 2 ) u(a i ) h = 4u(a i ) 4 k=1 ν ijk u ( a i + a jk ) h 2 u(a i) u(a j3 ) h 4 u(a jk ). k=1 u(a i) u(a j4 ) h Sada još možemo aproksimirati desnu stranu jednadžbe (3.3) s f(a i )h 2 pa dobijemo sustav jednadžbi za u(a i ) 4u(a i ) 4 u(a jk ) = f(a i )h 2, k=1 gdje su a i unutarnje nodalne točke. Kako zbog Dirichletovog rubnog uvjeta već znamo vrijednost funkcije u na tako znamo i vrijednosti u(a i ), za a i pa je to razlog što nismo trebali razmatrati rubne kontrolne volumene. Time se MKV svela na metodu konačnih diferencija. ] h 3.2 Konstrukcija kontrolnih volumena U ovoj sekciji dajemo dva tipa konstrukcije subdivizije domene na konačne volumene.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 15 3.2.1 Voronoijev dijagram Neka je R 2 ograničen poligonalan skup, a {a i } skup točaka u koji sadrži sve vrhove poligona, gdje je Λ odgovarajući skup indeksa. Točke a i su smještene na one pozicije u kojima će u(a i ), vrijednosti egzaktnog rješenja biti aproksimirane. Skup i := {x R 2 : x a i x a j, j i} se zove Voronoijev poligon (ili Dirichletova domena, Wigner-Seitz ćelija (u fizici čvrstog stanja), Thiessenov poligon (u meteorologiji), itd.). Familija { i } se zove Voronoijev dijagram skupa točaka {a i }. Slika 3. Voronoijev dijagram Voronoijevi poligoni su konveksni skupovi, ali nisu nužno ograničeni (vidi na Slici 3. situaciju blizu ruba od ). Vrhove Voronoijevih poligona zovemo Voronoijevi vrhovi. Može se pokazati (vidi [2]) da se u svakom Voronoijevom vrhu diraju najmanje tri Voronoijeva poligona. Uzimajući to svojstvo u obzir, Voronoijevi vrhovi se klasificiraju na regularne i degenerativne Voronoijeve vrhove: u regularnim Voronoijevim vrhovima se spajaju točno tri Voronoijeva poligona, dok u degenerativnim najmanje četiri. U potonjem slučaju su svi odgovarajući čvorovi a i smješteni na nekoj kružnici, tj. kociklički su (vidi [2]).

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 16 Kontrolne volumene i definiramo s i := i, i Λ. Ako nije konveksan skup, ovako definirani i nisu nužno konveksni (vidi Sliku 3.). Nadalje će se koristiti sljedeća notacija : Λ i := {j Λ \ {i} : i j }, i Λ, za skup indeksa susjednih čvorova; Γ ij := i j, j Λ i, za zajedničke dijelove granica susjednih kontrolnih volumena; m ij := duljina granice Γ ij. Dualni graf Voronoijevog dijagrama je definiran skupom točaka {a i } i skupom bridova definiranih na sljedeći način: proizvoljan par točaka a i, a j, takvih da je i j, čini brid grafa, tj. povezan je ravnom dužinom. Sljedeći teorem kaže da je dualni graf jedna dobra triangulacija. Teorem 3.1 Ako su svi Voronoijevi vrhovi regularni, tada se dualni graf podudara s triangulacijom konveksne ljuske skupa {a i }. Dokaz se može naći u [5]. Iz definicije Voronoijevog poligona se lako vidi da je svaki Voronoijev vrh jednako udaljen od barem 3 nodalne točke iz {a i }. Zato te iste nodalne točke jedinstveno odreduju tzv. opisani krug sa središtem u datom Voronoijevom vrhu. Unutrašnjost opisanog kruga ne sadrži nodalne točke a i, i Λ (za dokaz vidi [9]). Definicija 3.2 Za triangulaciju T od kažemo da ima Voronoijevo svojstvo akko unutrašnjost trokutu K T opisanog kruga ne sadrži vrhove triangulacije. Takva triangulacija se zove Delaunayeva triangulacija. Dakle, ako su svi Voronoijevi vrhovi regularni, onda je dualni graf Delaunayeva triangulacija.??? jel tako kazemo, ili kazemo da se dualni graf podudara s triangulacijom, buduci je dualni graf skup vrhova i bridova, a ne skup trokuta kao sto je to triangulacija??? DA. Ne treba suviše formalizirati! Napomenimo da ako je domena konveksna, onda je Delaunayeva triangulacija i triangulacija od, a ako domena nije konveksna, njena triangulacija se dobije izbacivanjem iz Delaunayeve triangulacije onih trokuta koji nisu u.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 17 Slika 4. Delaunayeva triangulacija pridružena Voronoijevom dijagramu sa Slike 3.??? jel se moze na slici reci da se makne brid iz triangulacije, ili se mora reci da se makne taj cijeli trokut???? Razumljivo je i kad se kaže da se miče brid! Već smo spomenuli da je za dobra aproksimacijska svojstva MKE i MKV bitno da triangulacija zadovoljava neka dodatna svojstva. Jedno od tih svojstava je tzv. max-min uvjet na kut. Sljedeća lema upravo o tome govori. Ali prije same leme definirajmo za proizvoljnu triangulaciju T i proizvoljni trokut K T α(t ) := min K T α min(k), gdje je α min (K) najmanji kut trokuta K. Lema 3.3 Neka je dan skup nodalnih točaka {a i } i Voronoijev dijagram na njemu te pretpostavimo da su svi Voronoijevi vrhovi regularni. Tada, od svih triangulacija odredenih skupom {a i }, Delaunayeva triangulacija maksimizira α(t ). Za dokaz vidi [6]. Sljedeći teorem neposredno karakterizira Delaunayevu triangulaciju. Teorem 3.4 Ako konformna triangulacija ne sadrži niti jedan trokut s tupim kutom, tada je to Delaunayeva triangulacija, a pripadajući Voronoijev dijagram se može konstruirati na osnovu okomica kroz polovišta rubova. Za dokaz vidi [7]. Spomenimo da je centar opisane kružnice trokuta koji nema tupi kut smješten unutar tog trokuta. U analizi MKV je važna sljedeća relacija:

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 18 Lema 3.5 Dan je trokut K koji ne sadrži tupi kut i čiji su vrhovi a ik, k {1, 2, 3}. Tada za odgovarajuće dijelove kontrolnog volumena ik, ik, K := ik K imamo Za dokaz vidi [2]. 1 4 K i k,k 1 K, k {1, 2, 3}. 2 3.2.2 Donaldov dijagram U suprotnosti s Voronoijevim dijagramom, gdje konstrukcija počinje od zadanog skupa nodalnih točaka, ovdje polazimo od triangulacije od, a ona smije sadržavati i trokute s tupim kutom. Neka je K trokut s vrhovima a ik, k {1, 2, 3}. Definiramo ik,k := {x K : λ j (x) < λ k (x), j k}, gdje λ k označava baricentričke koordinate u odnosu na a ik. Očito baricentar zadovoljava a S = 1 3 (a i 1 + a i2 + a i3 ) i 3 ik,k = K, k {1, 2, 3}. Ova relacija je jednostavna posljedica geometrijske interpretacije baricentričkih koordinata kao koordinata površine (vidi [2]). Slika 5. Poddomena ik,k

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 19 Traženi kontrolni volumeni su definirani na sljedeći način (vidi Sliku 5.): i := K: K a i i,k, i Λ. Familija { i } se zove Donaldov dijagram. Veličine Λ i, Γ ij i m ij su definirane analogno onima u slučaju Voronoijevog dijagrama. Napomenimo da rubni dijelovi Γ ij nisu nužno ravni, ali su općenito poligonalni (vidi Sliku 6.). Slika 6. Donaldov konačni volumen 3.3 Diskretizacija konačnim volumenima Model donjeg razmatranja je specijalan slučaj jednadžbe (1.1). Umjesto matričnog difuzijskog koeficijenta K radi jednostavnosti ćemo uzeti skalarni koeficijent k: R, t.d. K = ki. Još ćemo pretpostaviti i da su zadovoljeni homogeni Dirichletovi rubni uvjeti. Zapišimo model: gdje su k, r, f : R, q: R 2. div(k u qu) + ru = f u, u = 0 na, (3.4)

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 20 3.3.1 Slučaj Voronoijevog dijagrama Neka je domena particionirana Voronoijevim dijagramom i pripadajućom Delaunayevom triangulacijom. Zbog homogenog Dirichletovog rubnog uvjeta dovoljno je razmatrati samo one kontrolne volumene i koji su pridruženi unutarnjim čvorovima a i. Sukladno tome, označimo skup indeksa svih unutarnjih čvorova s Λ := {i Λ : a i }. U sekciji 3.1 smo za proizvoljan i Λ dobili ν ij (k u qu) dσ + ru dx = f dx. (3.5) j Λ Γ ij i i i Slika 7. Rub Γ ij Najprije, koeficijente k i ν ij q aproksimiramo na Γ ij konstantama µ ij > 0, odnosno γ ij, respektivno: k Γij µ ij = const > 0, ν ij q Γij γ ij = const. U najjednostavnijem slučaju, aproksimacija se može realizirati odgovarajućom vrijednosti u srednjoj točki a Γij na segmentu Γ ij. Bolji izbor je γ ij := { 1 m ij Γ ij ν ij q dσ, m ij > 0, ν ij q(a Γij ), m ij = 0. (3.6)

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 21 Na taj način dobijemo i div(k u qu) dx j Λ i Γ ij [µ ij (ν ij u) γ ij u] dσ. Normalna derivacija se aproksimira diferencijskim kvocijentom; tako je ν ij u u(a j) u(a i ) d ij, gdje je d ij := a i a j. Ova formula je egzaktna za one funkcije koje su linearne duž segmenta [a i, a j ]. Još ostaje aproksimirati integral od u po Γ ij. Za to uzmemo konveksnu kombinaciju vrijednosti od u u točkama a i i a j : u Γij t ij u(a i ) + (1 t ij )u(a j ), gdje je t ij [0, 1] naknadno definiran parametar. Općenito, t ij ovisi o µ ij, γ ij i d ij. Skupivši sve gornje aproksimacije došli smo do sljedeće relacije: div(k u qu) dx i { u(a j ) u(a i ) [ µ ij γ ij tij u(a i ) + (1 t ij )u(a j ) ] } m ij. d ij j Λ i Za aproksimaciju ostatka integrala iz (3.1) koriste se sljedeće formule: ru dx r(a i )u(a i )m i =: r i u(a i )m i, m i := i, i f dx f(a i )m i =: f i m i. i Umjesto r i = r(a i ) i f i = f(a i ), takoder se mogu koristiti aproksimacije r i := 1 r dx i f i := 1 f dx, (3.7) m i i m i i respektivno. Označivši nepoznate aproksimirane vrijednosti od u(a i ) s u i, dobijemo sljedeći linearni sustav jednadžbi j Λ i { } u i u j [ ] µ ij + γ ij tij u i + (1 t ij )u j m ij + r i u i m i d ij = f i m i, i Λ. (3.8)

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 22 Ovaj prikaz jasno pokazuje sličnost MKV s MKD. Za kasnije analize je pogodnije zapisati ovaj sustav jednadžbi u terminima diskretne varijacijske jednakosti. Množeći i-tu jednadžbu u (3.8) proizvoljnim brojevima v i R i sumirajući ih po i Λ, dobivamo { { } u i u j [ ] v i µ ij + γ ij tij u i + (1 t ij )u j }m ij + r i u i m i d ij j Λ i = f i v i m i. Zatim, s V h označimo prostor neprekidnih po dijelovima afinih funkcija na (Delaunayevoj) triangulaciji od koje na rubu iščezavaju. Tada se vrijednosti u i i v i mogu interpolirati u V h, tj.! u h, v h V h t.d. u h (a i ) = u i, v h (a i ) = v i, i Λ. Stoga se sada na V h V h mogu definirati sljedeće diskretne bilinearne forme: a 0 h (u h, v h ) := v i µ ij (u i u j ) m ij, (3.9) d ij j Λ i b h (u h, v h ) := v i [t ij u i + (1 t ij )u j ]γ ij m ij, (3.10) j Λ i d h (u h, v h ) := r i u i v i m i, (3.11) a h (u h, v h ) := a 0 h (u h, v h ) + b h (u h, v h ) + d h (u h, v h ). (3.12) Konačno, za dvije neprekidne funkcije v, w C(), stavimo gdje je v i := v(a i ), w i := w(a i ). w, v 0,h := w i v i m i, Napomena 3.6, 0,h je skalarni produkt na V h. Specijalno, može se uvesti sljedeća norma: v h 0,h := v h, v h 0,h, v h V h. (3.13) Sada imamo diskretnu varijacijsku formulaciju MKV: { naći uh V h t.d. a h (u h, v h ) = f, v h 0,h, v h V h. (3.14)

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 23 Dosada je izbor težinskih parametara t ij ostao otvoren. Za to se općenito mogu izabrati dva slučaja: 1. Postoji par indeksa (i, j) Λ Λ t.d. µ ij << γ ij d ij. 2. Ne postoji par (i, j) Λ Λ t.d. µ ij << γ ij d ij. U drugom slučaju, približan izbor je t ij 1. 2 Prvi slučaj odgovara dominantno konvektivnoj situaciji i zahtijeva brižljivi izbor težinskih parametara t ij. Općenito su težinski parametri sljedeće strukture: ( ) γij d ij t ij = R, (3.15) gdje je R: R [0, 1] neka funkcija koja će biti specificirana. Argument γ ijd ij µ ij se zove lokalni Pécletov broj. Tipični primjeri za funkciju R su µ ij R 1 (z) = 1 [sign(z) + 1], { 2 (1 τ(z))/2, z < 0, R 2 (z) = 1 + τ(z)/2, z 0, R 3 (z) = 1 1 ( 1 z z e z 1 puni upwinding, { 0, 1 2 z τ(z) := max ), eksponencijalni upwinding. }, Slika 8. Primjeri funkcije R

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 24 Sve tri funkcije imaju mnoga zajednička svojstva. Npr., za svaki z R zadovoljavaju sljedeća svojstva: (P1) [1 R(z) R( z)] z = 0, (P2) [R(z) 1 2 ] z 0, (P3) 1 [1 R(z)] z 0. (3.16) Primijetimo da konstantna funkcija R = 1 2 ali ne i (P3). zadovoljava uvjete (P1) i (P2), 3.3.2 Slučaj Donaldovog dijagrama Neka je domena triangulirana kao kod MKE. Tada, slijedeći objašnjenja dana u točki 3.2.2 možemo kreirati odgovarajući Donaldov dijagram. Ako jednadžbu (3.4) integriramo po kontrolnom volumenu i div(k u) dx + div(qu) dx + ru dx = f dx, i Λ, i i i i te ako sve članove gornje jednadžbe, osim prvog člana na lijevoj strani, apoksimiramo na isti način kao što smo to napravili kod Voronoijevog slučaja i zapišemo ga u varijacijskom obliku, takoder kao kod Voronoijevog slučaja, dobit ćemo v i div(k u h ) dx + } [ ] v i {γ ij tij u i + (1 t ij )u j mij + r i u i m i i j Λ i = f i v i m i. Prvi član na desnoj strani ne možemo aproksimirati kao što smo u Voronoijevom slučaju zato što Γ ij nije ravna, nego je poligonalna pa nam više nije jednostavno aproksimirati derivaciju u smjeru vektora jedinične normale na Γ ij. Zato ćemo ga sada diskretizirati kao u MKE, odnosno zamijenit ćemo član v i div(k u h ) dx i članom k u h v h dx, gdje su, naravno, u h, v h V h funkcije koje odgovaraju nodalnim vrijednostima u i, v i.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 25 Sada napokon imamo diskretnu bilinearnu formu definiranu s a h (u h, v h ) := k u h, v h 0 + b h (u h, v h ) + d h (u h, v h ), gdje je skalarni produkt, 0 definiran s g, h 0 := g h dx, za funkcije g, h: R 2. b h, d h i prostor V h definirani su kao u prethodnoj točki 3.3.1. 3.4 Usporedba difuzijskih članova Kako bismo usporedili dva različita načina diskretizacije difuzijskog člana, Voronoijev i Donaldov slučaj, potreban nam je sljedeći tehnički rezultat. S {ϕ i } smo označili bazne funkcije prostora V h neprekidnih, po dijelovima linearnih funkcija na odgovarajućoj triangulaciji domene. Lema 3.7 Neka je T h konformna triangulacija od. Tada za proizvoljni trokut K T h s vrhovima a i, a j, i j vrijedi sljedeće: ϕ j ϕ i dx = 1 2 cotαk ij, K gdje je α K ij unutarnji kut od K nasuprot stranici odredenoj točkama a i, a j. Dokaz: Pretpostavimo da su a i, a j i a k vrhovi trokuta K (vidi Sliku 9.).

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 26 Na stranici nasuprot točki a j imamo Slika 9. Notacija za dokaz Leme 3.7 ϕ j 0. Stoga, ϕ j ima smjer vektora normale na tu stranicu i uzevši u obzir u kojem smjeru ϕ j raste orijentacija suprotna od vektora vanjske normale ν ki, to je ϕ j = ϕ j ν ki, gdje je ν ki = 1. (3.17) Kako bismo izračunali ϕ j koristimo sljedeće: Iz (3.17) dobivamo ϕ j = ϕ j ν ki, tj. moramo izračunati derivaciju u smjeru. Iz jednakosti ϕ j (a j ) = 1 imamo ϕ j ν ki = 0 1 h j = 1 h j, gdje h j označava visinu od K spuštenu iz a j na nasuprotnu stranicu. Tako smo dobili relaciju ϕ j = 1 h j ν ki pa imamo Sada zbog ϕ j ϕ i = ν ki ν jk h j h i = cos αk ij h j h i. dobijemo 2 K = h j a k a i = h i a j a k = a k a i a j a k sin α K ij ϕ j ϕ i = cos αk ij 4 K 2 a k a i a j a k = 1 2 cot αk ij te tvrdnja leme slijedi integriranjem po K. 1 K, Lema 3.8 Neka je T h konformna triangulacija od takva da niti jedan trokut triangulacije nema tupi kut. Razmatramo odgovarajući Voronoijev dijagram u skladu s Teoremom 3.4. Tada za proizvoljan trokut K T h s vrhovima a i, a j, i j, vrijedi sljedeća relacija: K ϕ j ϕ i dx = mk ij d ij, gdje je m K ij duljina segmenta Γ ij koji presijeca K.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 27 Dokaz: Neka su vrhovi trokuta K a i, a j i a k, kao na Slici 10. i neka je kut α K ij kut u vrhu a k. Slika 10. Notacija za dokaz Leme 3.8 Kako je sjecište simetrala stranica trokuta ujedno središte trokutu opisane kružnice, to vidimo da je točka S sa Slike 10. jedan Voronoijev vrh, tj. da je dužina SS zapravo m K ij. Primijetimo da je kut u vrhu a k obodni kut, a u vrhu S središnji kut nad lukom a i a j. Sada iz trokuta SS a j imamo cotα K ij = 2 mk ij d ij, te primjenom Leme 3.7 slijedi tvrdnja ove leme. Korolar 3.9 Pod pretpostavkama Leme 3.8, za k = const imamo k u h, v h 0 = a 0 h (u h, v h ), u h, v h V h. Dokaz: Dovoljno je dokazati relaciju za v h = ϕ i i proizvoljan i Λ. Prvo, vidimo da je u h, ϕ i 0 = u h ϕ i dx. K suppϕ K i

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 28 Nadalje, u h ϕ i dx = Zbog K slijedi j: K a j u j = u i K K ϕ j ϕ i dx ϕ i ϕ i dx + 1 = j i: K a j u j j: K a j ϕ j po K, ϕ i = To je, prema značenju Leme 3.8 u h ϕ i dx = (u j u i ) K j i: K a j Zbrajajući po cijelom K supp ϕ i, dobivamo K ϕ j ϕ i dx. j: K a j ϕ j. (3.18) K ϕ j ϕ i dx = (u i u j ) mk ij. (3.19) d ij j i: K a j u h, ϕ i 0 = j Λ i (u i u j ) m ij d ij = a 0 h(u h, ϕ i ). Napomena 3.10 Kod sofisticiranijeg dokazivanja može se pokazati da gornji korolar vrijedi i kada je difuzni koeficijent k konstanta po trokutima K T h (ali nije konstanta na čitavom ), a kada su aproksimacije µ ij izabrane u skladu s 1 k dσ = µ ij := m ij Γij k Km K ij + k K mk ij, m ij > 0 m ij (3.20) 0, m ij = 0, gdje su K, K trokuti sa zajedničkim vrhovima a i, a j.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 29 3.5 Svojstva diskretizacije Ovdje ćemo dati kratak pregled osnovnih svojstava MKV: egzistenciju i jedinstvenost rješenja te ocjenu greške. Radi jednostavnosti ograničit ćemo se na slučaj konstantnog skalarnog difuzijskog koeficijenta k > 0. Tada, posebno, je korisno staviti µ ij := k, za svaki i Λ, j Λ i. U ovom slučaju, prema Korolaru 3.9 prethodne dvije metode se poklapaju ako u triangulaciji nema trokuta s tupim kutom. Stoga uzimamo tu pretpostavku pa je dovoljno analizirati samo jedan slučaj. Za egzistenciju i jedinstvenost rješenja moramo pokazati da su zadovoljeni Lax-Milgramovi uvjeti. Neprekidnost bilinearne forme a h i linearnog funkcionala f, v h 0,h je lako dokazati, pa ćemo ovdje samo dokazati netrivijalnu koercitivnost od a h. Lema 3.11 Pretpostavimo da aproksimacije γ ij od ν ij q Γij zadovoljavaju γ ji = γ ij i da su t ij definirani s (3.15), gdje funkcija R zadovoljava (P1). Tada imamo za sve u h, v h V h b h (u h, v h ) = 1 u i v i γ ij m ij + 2 j Λ i + 1 [( t ij 1 ) (u i u j )(v i v j ) + 1 ] 2 2 2 (u jv i u i v j ) γ ij m ij. j Λ i Dokaz: Prvo napomenimo da se b h može zapisati kao b h (u h, v h ) = [ ( ) ] 1 v i (1 t ij )u j 2 t ij u i γ ij m ij + j Λ i + 1 u i v i γ ij m ij. (3.21) 2 j Λ i U prvom članu mijenjamo redoslijed sumacije i preimenujemo indekse: b h (u h, v h ) = [ ( ) ] 1 v j (1 t ji )u i 2 t ji u j γ ji m ji + j Λ i + 1 u i v i γ ij m ij. 2 j Λ i Zatim iskoristimo sljedeće relacije, koje su jednostavan rezultat iz d ji = d ij i pretpostavke na γ ij i t ij : ( ) ( ) 1 1 (1 t ji )γ ji = t ij γ ij, 2 t ji γ ji = 2 t ij γ ij.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 30 Tako dobijemo, zbog m ji = m ij. b h (u h, v h ) = [ ( ) ] 1 v j t ij u i 2 t ij u j γ ij m ij + j Λ i + 1 u i v i γ ij m ij. 2 j Λ i Uzimajući aritmetičku sredinu oba prikaza b h, dolazimo do b h (u h, v h ) = 1 2 + 1 2 = 1 2 j Λ i j Λ i u i v i γ ij m ij + j Λ i [ (1 t ij )u j v i t ij u i v j [( 1 2 t ij ) (u j v i + u i v j u i v i u j v j ) + ( ) ] 1 2 t ij (u i v i + u j v j ) γ ij m ij + 1 ] 2 (u jv i u i v j ) γ ij m ij + 1 u i v i γ ij m ij. 2 j Λ i Sada lako slijedi tvrdnja leme. Korolar 3.12 Neka su q 1, q 2, divq C(). Pod pretpostavkama Leme 3.11 i takoder pretpostavke svojstva (P2) za funkciju R, bilinearna forma b h zadovoljava za svaki v h V h ocjenu [ b h (v h, v h ) 1 vi 2 divqdx + ] (γ ij ν ij q) dσ (3.22) 2 i j Λ Γ ij i Dokaz: Budući da zbog svojstva (P2) u (3.16) vrijedi (t ij 1 2 )γ ij 0, iz Leme 3.11 direktno slijedi b h (v h, v h ) 1 2 Za unutarnju sumu možemo pisati γ ij m ij = γ ij dσ j Λ Γ ij i j Λ i = j Λ i j Λ i v 2 i γ ijm ij = 1 2 Γ ij ν ij q dσ + j Λ i v 2 i j Λ i γ ij m ij. Γ ij (γ ij ν ij q) dσ.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 31 Prvi član može biti zapisan kao integral po rubu od i, tj. ν ij q dσ = ν q dσ. Γ ij i j Λ i Iz Gaussovog teorema o divergenciji slijedi ν q dx = divqdx i i Napomena 3.13 Ako su aproksimacije γ ij izabrane u skladu s (3.6), tada vrijedi γ ji = γ ij i (3.22) se pojednostavljuje u b h (v h, v h ) 1 vi 2 divqdx. 2 i Koristeći sličan dokaz kao u postupku s članom j Λ i γ ij m ij u dokazu Korolara 3.12, veličina d h (v h, v h ) može se prikazati kao d h (v h, v h ) = r i vi 2 m i = vi 2 r i dx i = vi 2 r dx + vi 2 (r i r) dx. (3.23) i i Drugi član nestaje ako su aproksimacije r i definirane kao u (3.7). Teorem 3.14 Neka su t ij definirani s (3.15) s tim da R zadovoljava svojstva (P1) i (P2). Pretpostavimo da je k > 0, q 1, q 2, divq, r C(), r+ 1 divq 2 r 0 = const 0 na i da su aproksimacije γ ij i r i respektivno, izabrane u skladu s (3.6) i (3.7). Pod pretpostavkama Leme 3.8 imamo za svaki v h V h a h (v h, v h ) k v h, v h 0 + r 0 vi 2 m i = k v h 2 1 + r 0 v h 2 0,h, to jest, bilinearna forma a h je uniformno V h -eliptička. Dokaz: Počinjemo razmatranjem a 0 h (v h, v h ). Uslijed Korolara 3.9 vrijedi a 0 h (v h, v h ) = k v h, v h 0 = k v h 2 1. Nadalje, iz Napomene 3.13 i jednadžbe (3.23) imamo b h (v h, v h ) + d h (v h, v h ) ( ) 1 vi 2 i 2 divq + r dx r 0 vi 2 m i.

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 32 Budući da je po definiciji a h (v h, v h ) = a 0 h(v h, v h ) + b h (v h, v h ) + d h (v h, v h ), obje relacije daju tvrdnju teorema. Sljedeći rezultat je standardan u metodi konačnih elemenata i nećemo ga dokazivati (vidi [1]). Napomena 3.15 Neka je familija triangulacija (T h ) h regularna. Tada su norme 0,h i 0 uniformno ekvivalentne na V h, tj. postoje konstante C 1, C 2 > 0, neovisne o h, takve da je C 1 v 0 v 0,h C 2 v 0, v V h. Korolar 3.16 Pod pretpostavkama Teorema 3.14 i za regularnu familiju triangulacija (T h ) h postoji konstanta α > 0 neovisna o h takva da vrijedi a h (v h, v h ) α v h 2 1, v h V h. Dokaz: Iz Napomene 3.15 i Teorema 3.14 a h (v h, v h ) k v h 2 1 + r 0 C 2 1 v h 2 0 α v h 2 1, gdje za α možemo uzeti min{k, r 0 C1}. 2 S druge strane, ako iskoristimo Poincaréovu nejednakost 1 i homogeni rubni uvjet, onda nam ne treba uvjet na triangulaciju budući da ne moramo iskoristiti prethodnu napomenu. Ovdje predstavljen dokaz je primijenjiv i na druge rubne uvjete. Primjenom Lax-Milgramovog teorema dobivamo: Korolar 3.17 U uvjetima Teorema 3.14 metoda konačnih volumena (3.14) ima jedinstveno rješenje. Teorem 3.14 (ili Korolar 3.16) dokazuje stabilnost metode konačnih volumena. To je osnovni rezultat za dokaz ocjene greške. Teorem 3.18 Neka je (T h ) h 0,h] regularna familija konformnih triangulacija, gdje se u slučaju Voronoijevog dijagrama uz to traži i da niti jedan trokut nema tupi kut. Nadalje, pretpostavimo u (3.4) k > 0, q 1, q 2, divq, r C(), r + 1 2 divq r 0 = const 0 na, f C 1 (), i da su aproksimacije γ ij, odnosno r i izabrane u skladu s (3.6), odnosno (3.7) respektivno. Neka je t ij definiran s (3.15), s tim da R zadovoljava (P1) i (P2). Ako egzaktno rješenje u od (3.4) pripada prostoru H 2 () i s u h V h označimo rješenje od (3.14), onda vrijedi u u h 1 Ch [ u 2 + f 1, ], (3.24) gdje je konstanta C > 0 neovisna o h. 1 Vidi Dodatak

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 33 Dokaz: Označimo li s I h : C() V h interpolacijski operator definiran u (2.14), te stavimo li v h := u h I h (u), imamo a h (v h, v h ) = a h (u h, v h ) a h (I h (u), v h ) = f, v h 0,h a h (I h (u), v h ) = f, v h 0,h v i f dx + v i f dx a h (I h (u), v h ). i i Iz definicije diskretne forme f, v h 0,h te iz diferencijalne jednadžbe (3.4), razmatrajući kao jednadžbe u L 2 () dobivamo a h (v h, v h ) = v i (f i f) dx + v i Lu dx a h (I h (u), v h ), i i gdje je Lu = div(k u qu) + ru. Za f C 1 () i izbor f i := f(a i ), lako je vidjeti da je f i f(x) f 1, max K: a i K h k Ch f 1,, x i. Stoga slijedi v i (f i f) dx i Ch f 1, v i m i { } 1/2 { } 1/2 Ch f 1, vi 2 m i m i }{{} Ch f 1, v h 0,h. Za drugi izbor vrijednosti f i (vidi (3.7)) trivijalno je zadovoljena ista ocjena. Teški dio dokaza je dobiti ocjenu greške konzistencije. v i Lu dx a h (I h (u), v h ) i. Dokaz je vrlo opsežan pa ćemo izostaviti detalje. Kompletan dokaz sljedećeg rezultata je dan u [4]: v i Lu dx a h (I h (u), v h ) i Ch u { 2 vh 2 1 + v h 0,h} 2 1/2

POGLAVLJE 3. METODA KONAČNIH VOLUMENA 34 Uzimajući u obzir obje dobivene ocjene, te Napomenu 3.15, dolazimo do a h (v h, v h ) Ch [ u 2 + f 1, ] { v h 2 1 + v h 2 0,h Ch [ u 2 + f 1, ] v h 1. Iz toga i Korolara 3.16 imamo v h 1 Ch [ u 2 + f 1, ]. } 1/2 Još ostaje primijeniti nejednakost trokuta i standardnu ocjenu greške za interpolacijski operator (vidi Teorem 2.5) u u h 1 u I h (u) 1 + v h 1 Ch [ u 2 + f 1, ]. Istaknimo da je greška u H 1 -polunormi istog reda kao kod MKE s linearnim konačnim elementima. Napomena 3.19 Može se pokazati da je ocjena (3.24) optimalna. Za razliku od metode konačnih elemenata gdje u optimalnu ocjenu ulazi samo L 2 -norma funkcije f, kod MKV nužno ulazi norma koja sadrži prvu derivaciju funkcije f.

Dodatak A Dodatak Neka je R 2 ograničena domena. A.1 L p prostori Prostor L 2 () = {u: R : u(x) 2 dx < + } je Hilbertov u skalarnom produktu u, v 0 = u, v L 2 () = u(x)v(x) dx, a norma u L 2 () je dana s u 0 = u L 2 () = u, u 0. Prostor L () = {u: R : C > 0, u(x) C, x } je Banachov u normi u L () = inf{c : u(x) C svugdje, osim eventualno na skupu mjere nula} Za u neprekidne funkcije je ta norma u L () = sup u(x) x 35

DODATAK A. DODATAK 36 A.2 Soboljevi prostori Prostor H 1 () = {u L 2 () : u x i L 2 (), i = 1, 2} je Hilbertov uz skalarni produkt u, v 1 = u, v H 1 () = u(x)v(x) dx + 2 a pripadna norma je u 1 = u H 1 () = u, u 1. Polunorma je definirana s ( 2 ) u 1 = u H 1 () = u 1/2 2 L x 2 () i Ako definiramo prostor i=1 i=1 H 1 0() = {u H 1 () : u(x) = 0, x }, u (x) v (x) dx, x i x i onda je H0() 1 kao potprostor od H 1 (), uz naslijedeni skalarni produkt takoder Hilbertov prostor. Prostor H 2 () = {u H 1 2 u () : L 2 (), i, j = 1, 2}, x i x j je uz skalarni produkt u, v 2 = u, v H 2 () = + u(x)v(x) dx + 2 i,j=1 2 i=1 2 u 2 v (x) (x) dx x i x j x i x j takoder Hilbertov. Pripadna norma je u 2 = u H 2 () = u, u 2. Polunorma je definirana s ( 2 u 2 = u H 2 () = 2 u (x) x i x j i,j=1 Još definirajmo za u: R polunormu u 1, = max 1 i 2 u x i u (x) v (x) dx + x i x i 2 dx) 1/2.

DODATAK A. DODATAK 37 Teorem A.1 (Poincaréova nejednakost) Ako je domena ograničena, onda postoji konstanta c = c() takva da za svako u H0 1 () vrijedi Za dokaz vidi [3]. u L 2 c u H 1 ().

Bibliografija [1] P. Knabner, L. Angermann: Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations, Texsts in Applied Mathematics 44, Springer, 2003. [2] L.Angermann: An introduction to finite volume methods for linear elliptic equations of second order, Universität Erlangen-Nürnberg. [3] P.G. Ciarlet: The finite element method for elliptic problems, North- Holland, Amsterdam, 1978. [4] L. Angermann: Error estimates for the finite-element solution of an elliptic singularly perturbed problem. IMA J. Numer. Anal., 15:161 196, 1995. [5] S. Fortune: Voronoi diagrams and Delaunay triangulations. In D.-Z. Du and F.K. Hwang, editors, Computing in Euclidean geometry, 193 233, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1992. [6] C. L. Lawson: Software for C 1 surface interpolation. In J. R. Rice, editor, Mathematical Software III, 161 194, Academic Press, New York, 1977. [7] M. Bern and D. Eppstein: Mesh generation and optimal triangulation. In D.-Z. Du and F.K. Hwang, editors, Computing in Euclidean geometry, 23 90, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1992. [8] K,W. Morton: Numerical solution of Convection-Diffusion Problems, Chapman & Hall, London, 1996. [9] F.P. Preparata ana M.I. Shamos, Computational geometry, Springer- Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985. [10] Svetozar Kurepa: Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1981. 38