ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) O modeliranju standardnih problema poslovne matematike pomoću rekurzija Kristina Mati

ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 2019) 23 46 O modeliranju standardnih roblema oslovne matematike omoću rekurzija Kristina Matijević, Bojan Kovačić Sažetak U radu se oisuje matematičko modeliranje nekih standardnih roblema oslovne matematike konačna vrijednost glavnice ri jednostavnom i složenom obračunu kamata, te odredivanje očetne, odnosno konačne vrijednosti renumerando i ostnumerando ulata/islata) omoću rekurzija. Komentiraju se i neke rednosti takvoga načina modeliranja navedenih roblema. Ključni ojmovi: rekurzije, oslovna matematika, jednostavni kamatni račun, složeni kamatni račun 1 Uvod U nastavi oslovne matematike u srednjim školama, kao i na veleučilištima i samostalnim visokim školama, obraduju se jednostavni i složeni kamatni račun, te neke njihove standardne rimjene mjenični račun, očetna i konačna vrijednost renumerando i ostnumerando ulata i islata, zajmovi itd.). Pritom se osnovne relacije medu romatranim ekonomskim veličinama u tim nastavnim cjelinama najčešće izvode koristeći aritmetičke i geometrijske nizove. U ovom ćemo radu somenute relacije izvesti koristeći rekurzije. Preciznije, omoću rekurzija ćemo modelirati tiične roblemske zadatke vezane uz jednostavni i složeni kamatni račun. Pritom ćemo detaljno oisati način dobivanja svakoga ojedinoga 23

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ matematičkoga modela kako bismo bolje istaknuli i oisali riadne ekonomske rocese. Standardno matematičko modeliranje svih navedenih roblema u srednjoškolskoj i visokoškolskoj nastavi ovdje izostavljamo. Zainteresiranoga čitatelja uućujemo na [1] ili bilo koji udžbenik matematike za 3. razred srednjih ekonomskih škola vidjeti nr. [4] i [5]). 2 Pregled otrebnih rezultata iz rekurzija U ovoj točki navodimo regled rezultata koji se odnose na rekurzije, a koje ćemo kasnije efektivno koristiti. Grubo govoreći, rekurzivna relacija ili, skraćeno, rekurzija je relacija omoću koje se n-ti član nekoga niza a n ) n N0 izražava kao funkcija nekoliko svojih rethodnika. Preciznije, kažemo da je niz a n ) n N0 zadan rekurzijom ako ostoji veza oblika a n = f a n 1,... a n k ), n k, ri čemu je f neka funkcija, a očetne vrijednosti a 0,... a k 1 su unarijed zadane. O rekurzijama i metodama njihova rješavanja detaljnije se može naći nr. u [2] i [3]. U ovom članku romatrat ćemo modele u kojima se koristi linearna rekurzija 1. reda s konstantnim koeficijentima. U tu će nam svrhu biti vrlo korisna sljedeća roozicija. Proozicija 1. Niz a n ) n N0 zadan je rekurzivno s: { an = α a n 1 + β, n N, a 0 = γ, 1) gdje su α, β, γ R, α 0, unarijed zadane) konstante. a) Ako je α = 1, onda je: a n = β n + γ. 2) b) Ako je α 1, onda je: a n = γ + β ) α n β α 1 α 1. 3) Radi ilustracije različitih tehnika rješavanja rekurzija, dat ćemo dva dokaza ove roozicije. Dokaz I. a) Primijenit ćemo metodu teleskoiranja. Zbrojimo ukuno n jednakosti tako da zasebno zbrojimo njihove lijeve, odnosno 24

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA desne strane: a 1 = a 0 + β, a 2 = a 1 + β,. a n 1 = a n 2 + β, a n = a n 1 + β. Potom oništimo iste članove na različitim stranama dobivene jednakosti, a dobivamo: a n = a 0 + n β, a odatle, zbog očetnoga uvjeta a 0 = γ, izravno slijedi 2). b) Najrije riješimo rekurziju a n = α a n 1. 4) Toj rekurziji ridružena karakteristična jednadžba je x α = 0. Ona ima jedinstveno rješenje x = α. Zbog toga je oće rješenje rekurzije 4) dano izrazom: a 0) n gdje je λ R konstanta. a 0) n = λ α n, 5) Partikularno rješenje a n rekurzije 1) odredimo metodom neodredenih koeficijenata. Slobodni član reciznije, ribrojnik koji ne sadrži nijedan član niza a n ) n N0 ) na desnoj strani rekurzije 1) je konstanta β, a navedeno artikularno rješenje tražimo u obliku konstante, tj. u obliku a n = A, 6) za neki A R. Uvrštavanjem a n = A i a n 1 = A u 1) slijedi otkuda je A = α A + β, A = β 1 α. 7) Koristeći 5), 6) i 7) slijedi da je oće rješenje rekurzije 1) dano izrazom: a n = a 0) n + a n = λ α n + β 1 α. 8) 25

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ Uvrstimo li u 8) n = 0 i iskoristimo očetni uvjet a 0 = γ, dobit ćemo: λ = γ β 1 α. 9) Uvrštavanjem 9) u 8) i sredivanjem dobivenoga izraza izravno slijedi 3). Dokaz II. Nizu a n ) n N0 ridružimo funkciju f x) = a n x n. 10) Funkciju f nazivamo funkcija izvodnica za niz a n ) n N0.) Tada je: α x fx) = α a n x n+1 = a oduzimanjem 11) od 10) dobivamo: f x) α x f x) = = a 0 + = a 0 + No, rema 1) vrijede jednakosti: a n x n n=1 n=1 n=1 n=1 a n x n α a n 1 x n, 11) α a n 1 x n n=1 α a n 1 x n a n α a n 1 ) x n. 12) a 0 = γ, a n α a n 1 = β, a njihovim uvrštavanjem u 12) dobivamo: 1 α x) f x) = γ + β n=1 x n. 13) Podsjetimo da za svaki x 1, 1 vrijede Maclaurinovi razvoji u red otencija: 1 + 1 x = x n, 14) 1 1 x) 2 = n=1 n x n 1. 15) 26

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA Pomnožimo li s x lijevu i desnu stranu jednakosti 14), dobit ćemo: x + 1 x = x n+1, odnosno x + 1 x = x n. 16) n=1 Uvrštavanjem 16) u 13) slijedi: 1 α x) f x) = γ + β x 1 x, f x) = γ 1 α x + β x 1 x) 1 α x). 17) Da bismo desnu stranu izraza 17) razvili u Maclaurinov red, moramo razlikovati točno dva slučaja: α = 1 i α 1. U otonjem slučaju drugi ribrojnik na desnoj strani izraza 17) možemo dodatno rastaviti na arcijalne razlomke, dok u rvom slučaju to ne možemo učiniti. Neka je, dakle, najrije α = 1. Razvijmo desnu stranu jednakosti 17) u Maclaurinov red koristeći 14) i 15). Dobivamo: f x) = = = γ 1 x + β x 1 x) 2 = γ γ x n + n=1 β n x n = x n + β x γ x n + n=1 n x n 1 β n x n β n + γ) x n. 18) Usoredbom koeficijenata uz x n u izrazima 10) i 18) izravno slijedi 2). Neka je sada α 1. Rastavimo drugi ribrojnik u 17) na arcijalne razlomke, a dobijemo: β x 1 x) 1 α x) = β α 1 1 1 α x 1 1 x ). 19) Koristeći 14) i 19), razvijmo desnu stranu jednakosti 17) u Maclauri- 27

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ nov red. Dobivamo: f x) = γ + β α 1 = γ + β = α 1 γ + ) ) 1 1 α x β α 1 1 1 x β α 1 α x) n β α 1 ) α n β α 1 x n ) x n, 20) a usoredbom koeficijenata uz x n u izrazima 10) i 20) izravno slijedi 3). Naomena 1. Iako formula 3) vrijedi i u slučaju α = 0, u iskazu Proozicije 1 naveli smo uvjet α 1. Naime, ako je α = 0, onda je s 1) definiran niz kojemu su svi članovi osim nultoga jednaki β. Takav niz ovdje nećemo razmatrati. 3 Osnovne retostavke U ovoj točki regledno navodimo retostavke i oznake koje ćemo koristiti u modeliranju ekonomskih roblema oisanih u sljedećim točkama. Pretostavka 1. Ukuno vrijeme kaitalizacije je točno m N godina. Pretostavka 2. Zadani nominalni) kamatnjak je stalan i godišnji. Pretostavka 3. Obračun kamata je godišnji. Koristit ćemo i sljedeće oznake: C 0 iznos na očetku razdoblja kaitalizacije; K n iznos godišnjih kamata u n-toj godini, za svaki n = 1,..., m; dekurzivni kamatnjak; anticiativni kamatnjak; C n iznos kojim rasolažemo na kraju n-te godine, za svaki n = 1,..., m; r :=1 + dekurzivni kamatni faktor; 21) ρ = anticiativni kamatni faktor. 22) Ne istaknemo li drugačije, iznos kojim rasolažemo na kraju svake godine razdoblja kaitalizacije dobiva se tako da se iznosu rasoloživom 28

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA na očetku te godine ribroje godišnje kamate. Preciznije, vrijedi jednakost: C n = C n 1 + K n, za svaki n = 1,..., m. 23) Naomena 2. Godina kao vremenska jedinica odabrana je isključivo radi odredenosti. Moguće je odabrati bilo koju jedinicu vremena, ri čemu se zadani kamatnjak i obračun kamata otom moraju odnositi uravo na odabranu jedinicu. Naomena 3. U roblemima u kojima se javlja dekurzivni kamatnjak retostavljamo da je > 0. To je tzv. rirodan uvjet na vrijednost toga kamatnjaka. Primijetimo da iz toga uvjeta slijedi 1 + > 1, odnosno, zbog 21), r > 1. Naomena 4. U roblemima u kojima se javlja anticiativni kamatnjak retostavljamo da je 0,. To je tzv. rirodan uvjet na vrijednost toga kamatnjaka. Primijetimo da iz toga uvjeta slijedi, odnosno, zbog 22), ρ > 1. Naomena 5. Detaljnija algebarska sredivanja svih algebarskih izraza dobivenih u ostucima rješavanja roblema ostavljamo čitateljima kao korisnu vježbu. 4 Primjene rekurzija na jednostavni kamatni račun U ovoj točki izvodimo osnovne relacije jednostavnoga kamatnoga računa uz rimjenu obaju standardnih načina obračuna kamata dekurzivnoga, odnosno anticiativnoga). 4.1 Problem 1 Iznos od G kn uložimo na m godina uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S uloženoga iznosa na kraju m-te godine. Obračun kamata je jednostavan i dekurzivan. 4.2 Rješenje Problema 1 Očito je C 0 = G. Pogledajmo kako se dobije iznos C n, za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Prema retostavci, obračun kamata je jednostavan i dekurzivan. Zbog toga je iznos riadnih godišnjih kamata jednak u svakoj godini razdoblja 29

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ kaitalizacije i računa se u odnosu na glavnicu s očetka razdoblja kaitalizacije rema formuli: K n = Uvrštavanjem ove relacije u 23) slijedi: C n = C n 1 + Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 + C 0 = G. G. 24) G. G, 25) Veličine i G su konstante, a je model 25) oblika 1), ri čemu su α = 1, β = G i γ = G. Uvrštavanjem tih izraza u 2) dobivamo: C n = G n + G. 26) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a uvrštavanjem n = m u 26) konačno dobivamo: S = G m + G = 1 + m ) G. 4.3 Problem 2 Iznos od G kn uložimo na m godina uz anticiativni kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S uloženoga iznosa na kraju m-te godine. Obračun kamata je jednostavan i anticiativan. 4.4 Rješenje Problema 2 Očito je C 0 = G. Pogledajmo kako se dobije iznos C n, za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Prema retostavci, obračun kamata je jednostavan i anticiativan. To znači da se kamate u svakoj godini razdoblja kaitalizacije obračunavaju na konačnu vrijednost uloženoga iznosa, tj. vrijednost toga iznosa na kraju razdoblja kaitalizacije. Ta je vrijednost jednaka S, a je iznos godišnjih kamata jednak: K n = S. 27) Uvrštavanjem 27) u 23) slijedi: 30 C n = C n 1 + S. 28)

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 + C 0 = G. S, Ovaj model ne možemo riješiti analogno kao i model 25) jer izraz S nije konstantan veličina S ovisi o vrijednosti veličine m). Zbog toga ćemo rimijeniti metodu teleskoiranja korištenu u Dokazu I Proozicije 1. Naišimo rekurziju 28) za svaki n = 1,..., m: C 1 = C 0 + S, C 2 = C 1 + S, C 3 = C 3 + S,. C m 1 = C m 2 + S, C m = C m 1 + S. 29) Zbrojimo osebno lijeve, a osebno desne strane svih jednakosti u 29). Uočimo da se otom onište svi članovi osim člana C 0 na desnoj strani rve jednakosti i člana C m na lijevoj strani osljednje jednakosti. Primijetimo i da se član dobivamo: S u zbroju ojavljuje ukuno m uta. Tako C m = C 0 + m S, odnosno, zbog očetnoga uvjeta C 0 = G i očite jednakosti C m = S: S = G + m S. Odatle izrazimo veličinu S, a konačno dobijemo: S = G m. 5 Primjene rekurzija na složeni kamatni račun U ovoj točki izvodimo osnovne relacije složenoga kamatnoga računa uz rimjenu obaju standardnih načina obračuna kamata dekurzivnoga, odnosno anticiativnoga). 31

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ 5.1 Problem 3 Iznos od G kn uložimo na m godina uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S uloženoga iznosa na kraju m-te godine. Obračun kamata je složen i dekurzivan. 5.2 Rješenje Problema 3 Očito je C 0 = G. Pogledajmo kako se dobije iznos C n za n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Prema retostavci, obračun kamata je složen i dekurzivan. Zbog toga iznos godišnjih kamata u n-toj godini dobijemo tako da obračunamo jednostavne) godišnje kamate na iznos C n 1. Prema 24), iznos tih kamata jednak je: K n = Uvrštavanjem 30) u 23) slijedi: odnosno C n = C n 1 + C n = C n 1. 30) C n 1, Tako smo dobili matematički model: C n = 1 + ) C n 1, C 0 = G. 1 + ) C n 1. 31) 32) Rekurzija 31) je očito rekurzija oblika 1), ri čemu su α = 1 +, β = 0 i γ = G. Prema Naomeni 3 je α > 1, a uvrštavanjem izraza za α, β i γ u 3) slijedi: C n = G 1 + ) n. 33) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a uvrštavanjem n = m u 33) konačno dobivamo: S = G 1 + ) m. 34) Naomena 6. Koristeći 21), formulu 34) možemo kraće zaisati u obliku: S = G r m. 35) 32

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA 5.3 Problem 4 Iznos od G kn uložimo na m godina uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S uloženoga iznosa na kraju m-te godine. Obračun kamata je složen i anticiativan. 5.4 Rješenje Problema 4 Očito je C 0 = G. Pogledajmo kako se dobije iznos C n za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Prema retostavci, obračun kamata je složen i anticiativan. Zbog toga iznos godišnjih kamata u n-toj godini dobijemo obračunavajući te kamate na iznos kojim rasolažemo na kraju n-te godine. Taj iznos jednak je C n. Dakle, iznos godišnjih kamata u n-toj godini jednak je: K n = a uvrštavanjem 36) u 23) slijedi: C n = C n 1 + Odatle izrazimo veličinu C n, a dobijemo: C n, 36) C n. Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1, C 0 = G. C n = C n 1. 37) 38) Rekurzija 37) je očito oblika 1), ri čemu su α =, β = 0 i γ = G. Zbog Naomene 4 vrijedi α > 1, a model 38) riješimo otuno analogno kao i model 32). Detalje reuštamo čitatelju.) Dobivamo: ) n C n = G. 39) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a iz 39) odmah slijedi: ) m S = G. 40) Naomena 7. Koristeći 22), formulu 40) možemo kraće zaisati u obliku: S = G ρ m. 33

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ 6 Primjene rekurzija na izračunavanje konačne vrijednosti renumerando i ostnumerando eriodičnih nominalno jednakih ulata U ovoj točki izvodimo osnovne formule vezane uz izračunavanje konačne vrijednosti renumerando, odnosno ostnumerando ulata. Podsjetimo, renumerando ulate obavljaju se očetkom odabranoga vremenskoga razdoblja, a ostnumerando ulate krajem toga razdoblja. Radi jednostavnosti, osim ranije navedenih Pretostavki 1, 2 i 3 rimjenjujemo i sljedeće dodatne retostavke. Pretostavka 4. Sve ulate su nominalno jednake i obavljaju se točno jednom godišnje. Pretostavka 5. Osim navedenih godišnjih ulata i riisa godišnjih kamata, ne razmatramo nikakve druge ulate, islate i sl. Pretostavka 6. Obračun kamata je složen. 6.1 Problem 5 Krajem svake od sljedećih m godina na račun ulaćujemo iznos od R kn uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S svih ulata na kraju m-te godine. Obračun kamata je dekurzivan. 6.2 Rješenje Problema 5 Prema retostavci roblema, rva ulata će biti izvršena tek na kraju rve godine. Zbog toga na očetku razdoblja kaitalizacije nemamo nikakva financijska sredstva. To znači da je C 0 = 0. Pogledajmo kako se dobije iznos C n, za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Tom iznosu ribrojimo iznos godišnjih kamata u n-toj godini i ulaćeni iznos od R kn. Dakle, vrijedi jednakost: C n = C n 1 + K n + R. 41) Odredimo iznos godišnjih kamata. Prema retostavci roblema, ulata se obavlja krajem godine, a se godišnje kamate obračunavaju samo) na iznos C n 1. Tako zaključujemo da je 34 K n = C n 1, 42)

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA a uvrštavanjem 42) u 41) slijedi odnosno C n = C n 1 + C n = C n 1 + R, 1 + ) C n 1 + R. 43) Tako smo dobili matematički model: C n = 1 + ) C n 1 + R, C 0 = 0. Rekurzija 43) je rekurzija oblika 1), ri čemu su α = 1+, β = R i γ = 0. Prema Naomeni 3 je α > 1. Uvrštavanjem izraza za α, β i γ u 3), te sredivanjem dobivenoga izraza slijedi: C n = 1 + ) n ) 1 R. 44) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a uvrštavanjem n = m u 44) konačno dobivamo: S = 1 + ) m ) 1 R. 45) Naomena 8. Formulu 45) možemo zaisati u kraćem obliku koristeći dekurzivni kamatni faktor r definiran formulom 21). Iz 21) najrije slijedi: = 1 r 1, 46) a se, koristeći 21) i 46), iz 45) dobije: S = rm 1 r 1 R. 47) 6.3 Problem 6 Krajem svake od sljedećih m godina na račun ulaćujemo iznos od R kn uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S svih ulata na kraju m-te godine. Obračun kamata je anticiativan. 35

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ 6.4 Rješenje Problema 6 Analogno kao i u rješenju Problema 5, zaključujemo da vrijede jednakost i relacija 41). Odredimo iznos godišnjih kamata. Prema retostavci roblema, ulate se obavljaju krajem godine, a obračun kamata je anticiativan. Zbog toga se godišnje kamate obračunavaju na iznos na kraju godine umanjen za iznos ulate, tj. na iznos C n R. Tako zaključujemo da vrijedi: K n = C n R), 48) a uvrštavanjem 48) u 41) slijedi: otkuda je C n = C n 1 + C n R) + R, C n = C n 1 + R. 49) Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 + R, C 0 = 0. Rekurzija 49) je rekurzija oblika 1), ri čemu su α =, β = R i γ = 0. Prema Naomeni 3 je 0,, a slijedi α > 1. Uvrštavanjem izraza za α, β i γ u 3), te sredivanjem dobivenoga izraza slijedi: C n = ) n 1) 1 ) R. 50) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a uvrštavanjem n = m u 50) konačno dobivamo: ) m ) S = 1) 1 R. 51) Naomena 9. Formulu 51) možemo zaisati u kraćem obliku koristeći anticiativni kamatni faktor ρ definiran formulom 22). Iz 22) najrije slijedi: a se, koristeći 22) i 52), iz 51) dobije: 36 = ρ ρ 1, 52) S = ρm 1 ρ 1 R.

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA 6.5 Problem 7 Početkom svake od sljedećih m godina na račun ulaćujemo iznos od R kn uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S svih ulata na kraju m-te godine. Obračun kamata je dekurzivan. 6.6 Rješenje Problema 7 Analogno kao u rješenju Problema 5, zaključujemo da je C 0 = 0. Pogledajmo kako se dobije iznos C n za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Tom iznosu ribrojimo iznos R ulaćen očetkom te godine i iznos godišnjih kamata u n-toj godini, a onovno vrijedi relacija 41). Medutim, za razliku od Problema 5, u ovome se slučaju kamate obračunavaju i na ulaćeni iznos, odnosno na ukuni iznos C n 1 + R, a vrijedi: K n = Uvrštavanjem 53) u 42) dobivamo: otkuda je C n = C n 1 + C n 1 + R). 53) C n 1 + R) + R, C n = 1 + ) C n 1 + 1 + ) R. 54) Tako smo dobili matematički model: C n = 1 + C 0 = 0. ) C n 1 + 1 + ) R,, Rekurzija 54) je rekurzija oblika 1), ri čemu su α = 1 + β = 1 + ) R i γ = 0. Uvrštavanjem tih veličina u 3) i sredivanjem dobivenoga izraza slijedi: C n = 1 + ) n ) ) 1 + 1 R. 55) Traženi iznos S jednak je vrijednosti, a uvrštavanjem n = m u 55) konačno dobivamo: S = 1 + ) m ) ) 1 + 1 R. 56) Naomena 10. Koristeći 21) i 46), formulu 56) možemo kraće zaisati u obliku: S = rm 1 r 1 r R. 37

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ 6.7 Problem 8 Početkom svake od sljedećih m godina na račun ulaćujemo iznos od R kn uz kamatnjak. Odrediti konačnu vrijednost S svih ulata na kraju m-te godine. Obračun kamata je anticiativan. 6.8 Rješenje Problema 8 Analogno kao u rješenju Problema 7, zaključujemo da vrijede jednakost C 0 = 0 i relacija 41). Prema retostavci, ulate se obavljaju na očetku godine, a obračun kamata je anticiativan. Zbog toga se kamate obračunavaju na iznos C n, odnosno vrijedi: K n = Uvrštavanjem 57) u 41) dobivamo: otkuda je C n = C n 1 + C n. 57) C n + R, C n = C n 1 + R. 58) Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 + R, C 0 = 0. Analogno kao u rješenju Problema 5, zaključujemo da za rješavanje rekurzije 58) možemo rimijeniti formulu 3). Zbog toga uvrstimo α =, β = R i γ = 0 u 3), a, nakon sredivanja dobivenoga izraza, slijedi: ) n C n = 1) R. 59) Traženi iznos S jednak je vrijednosti C m, a uvrštavanjem n = m u 59) konačno dobivamo: ) m S = 1) R. 60) Naomena 11. Koristeći 22) i 52), formulu 60) možemo kraće zaisati u obliku: S = ρm 1 ρ 1 ρ R. 38

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA 7 Primjene rekurzija na izračunavanje očetne vrijednosti renumerando i ostnumerando eriodičnih nominalno jednakih ulata U ovoj točki izvodimo osnovne formule vezane uz izračunavanje očetnih vrijednosti renumerando, odnosno ostnumerando islata. Radi jednostavnosti, osim ranije navedenih retostavki 1, 2, 3 i 6 rimjenjujemo i reinačene retostavke 4 i 5. Pretostavka 4. Sve islate su nominalno jednake i obavljaju se točno jednom godišnje. Pretostavka 5. Osim navedenih godišnjih islata i riisa godišnjih kamata, ne razmatramo nikakve druge ulate, islate i sl. 7.1 Problem 9 Odrediti najmanji iznos S koji danas trebamo imati na računu tako da, uz kamatnjak, krajem svake od sljedećih m godina možemo odizati iznos od R kn. Obračun kamata je dekurzivan. 7.2 Rješenje Problema 9 Očito je C 0 = S jer na očetku razdoblja kaitalizacije tj. danas) rasolažemo s iznosom od S kn. Pogledajmo kako se dobije iznos C n za svaki n = 1,..., m. Na očetku n-te godine rasolažemo s iznosom C n 1. Tom iznosu ribrojimo godišnje kamate u n-toj godini, a oduzmemo islaćeni iznos R. Dakle, vrijedi jednakost: C n = C n 1 + K n R. 61) Odredimo godišnje kamate. Prema retostavci roblema, svaka islata se obavlja krajem godine, a se kamate obračunavaju na iznos C n 1. Zbog toga je: K n = C n 1, 62) a uvrštavanjem 62) u 61) slijedi: otkuda je: C n = C n 1 + C n = C n 1 R, 1 + ) C n 1 R. 63) 39

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ Iz zahtjeva na iznos S slijedi da nakon osljednje m-te) islate stanje na računu ne smije biti strogo negativno. Zbog toga nužno mora vrijediti nejednakost C m 0. Tako smo dobili matematički model: C n = C 0 = S, C m 0. 1 + ) C n 1 R, Rekurziju 63) riješimo otuno analogno kao i rekurziju 43). Detalje reuštamo čitatelju za vježbu.) Dobivamo: C n = S R ) 1 + ) n + R. Iz zahtjeva C m 0 dobivamo linearnu nejednadžbu: S R ) 1 + ) m + R 0 čije rješenje je S 1 1 + ) ) m R. Dakle, traženi najmanji iznos je: S = 1 1 + ) ) m R. 64) Naomena 12. Koristeći 21) i 46), formulu 64) možemo kraće zaisati u obliku: S = rm 1 r m r 1) R. 7.3 Problem 10 Odrediti najmanji iznos S koji danas trebamo imati na računu tako da, uz kamatnjak, krajem svake od sljedećih m godina možemo odizati iznos od R kn. Obračun kamata je anticiativan. 7.4 Rješenje Problema 10 Analogno kao u rješenju Problema 9, zaključujemo da vrijede jednakost C 0 = S i relacija 61). Odredimo godišnje kamate. Prema retostavci 40

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA roblema, svaka islata se obavlja krajem godine, a obračun kamata je anticiativan. Zbog toga se kamate obračunavaju na iznos rije islate, tj. na iznos C n + R, a vrijedi: K n = C n + R). 65) Uvrštavanjem 65) u 61) slijedi: C n = C n 1 + C n + R) R, otkuda je: C n = C n 1 R. 66) Iz zahtjeva na iznos S slijedi da nakon osljednje m-te) islate stanje na računu ne smije biti strogo negativno. Zbog toga nužno mora vrijediti nejednakost C m 0. Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 R, C 0 = S, C m 0. Rekurziju 66) riješimo otuno analogno kao i rekurziju 63). Detalje reuštamo čitatelju za vježbu.) Dobivamo: ) ) ) n ) C n = S 1 R + 1 R. Iz zahtjeva C m 0 dobivamo linearnu nejednadžbu: ) ) ) m ) S 1 R + 1 čije rješenje je S 1 Dakle, traženi najmanji iznos je: ) ) m S = 1 ) ) m ) 1 R. R 0 ) 1 R. 67) Naomena 13. Koristeći 22) i 52), formulu 67) možemo kraće zaisati u obliku: S = ρm 1 ρ m R. 68) ρ 1) 41

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ 7.5 Problem 11 Odrediti najmanji iznos S koji danas trebamo imati na računu tako da, uz kamatnjak, očetkom svake od sljedećih m godina možemo odizati iznos od R kn. Obračun kamata je dekurzivan. 7.6 Rješenje Problema 11 Analogno kao u rješenju Problema 9, zaključujemo da vrijede relacija 61), očetni uvjet C 0 = S i nejednakost C m 0. Pogledajmo kako dobijemo iznos godišnjih kamata. Prema retostavci roblema, svaka islata se obavlja na očetku godine, a se godišnje kamate u n-toj godini obračunavaju na iznos C n 1 R. Iznos tih kamata jednak je: K n = C n 1 R), 69) a uvrštavanjem 69) u 61) dobivamo: C n = C n 1 + C n 1 R) R, otkuda je C n = 1 + ) C n 1 1 + ) R. 70) Tako smo dobili matematički model: C n = 1 + C 0 = S, C m 0. ) C n 1 1 + ) R, Rekurziju 70) riješimo otuno analogno kao i rekurziju 54). Detalje reuštamo čitatelju za vježbu.) Dobivamo: ) ) C n = S + 1 R 1 + ) ) n + + 1 R. Iz zahtjeva C m 0 dobivamo linearnu nejednadžbu: ) ) S + 1 R 1 + ) ) m + + 1 R 0 čije rješenje je: S 1 1 + ) ) ) m + 1 R. Dakle, traženi najmanji iznos je jednak: ) ) m S = 1 42 1 + ) + 1 R. 71)

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA Naomena 14. Koristeći 21) i 46), formulu 71) možemo kraće zaisati u obliku: r m 1 S = r m 1 r 1) R. 7.7 Problem 12 Odrediti najmanji iznos S koji danas trebamo imati na računu tako da, uz kamatnjak, očetkom svake od sljedećih m godina možemo odizati iznos od R kn. Obračun kamata je anticiativan. 7.8 Rješenje Problema 12 Analogno kao u rješenju Problema 11, zaključujemo da vrijede jednakost C 0 = S i relacija 61). Odredimo godišnje kamate. Prema retostavci roblema, svaka islata se obavlja očetkom godine, a obračun kamata je anticiativan. Zbog toga se kamate obračunavaju na iznos C n, a vrijedi: K n = Uvrštavanjem 72) u 61) slijedi: otkuda je: C n = C n 1 + C n. 72) C n R, C n = C n 1 R. 73) Iz zahtjeva na iznos S slijedi da nakon osljednje m-te) islate stanje na računu ne smije biti strogo negativno. Zbog toga nužno mora vrijediti nejednakost C m 0. Tako smo dobili matematički model: C n = C n 1 R, 74) C 0 = S, C m 0. Rekurziju 73) riješimo otuno analogno kao i rekurziju 58). Detalje reuštamo čitatelju za vježbu.) Dobivamo: C n = S ) ) n R + R. 43

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ Iz zahtjeva C m 0 dobivamo linearnu nejednadžbu: S ) ) n R + R 0 čije rješenje je S 1 ) ) m R. Dakle, traženi najmanji iznos je: ) ) m S = 1 R. 75) Naomena 15. Koristeći 22) i 52), formulu 75) možemo kraće zaisati u obliku: ρ m 1 S = ρ m 1 ρ 1) R. Naomena 16. U oslovnoj se raksi nešto rjede ojavljuju Problemi 6, 8, 10 i 12. Ovdje smo ih oisali ne samo radi otunosti izlaganja, nego i želje da se na metodički odabranim rimjerima okaže kako funkcionira anticiativni obračun kamata koji je učenicima i studentima u ravilu manje oznat. 8 Zaključak Prilikom standardnoga matematičkoga modeliranja svih dvanaest romatranih roblema oslovne matematike uobičajeno je najrije definirati aritmetički i geometrijski niz, a otom navesti/izvesti njihova osnovna svojstva onajrije, formulu za zbroj rvih n članova niza). Navedena se svojstva rimjenjuju u rješavanju somenutih roblema, ri čemu se dodatno koriste još neka načela nr. načelo financijske ekvivalencije kaitala, načelo matematičke indukcije i dr.). Pritom se načelo matematičke indukcije u razmatranjima najčešće koristi rešutno, tj. bez oratnoga detaljnijega oisa. Uravo rešutna rimjena načela matematičke indukcije zajednička je i standardnom modeliranju i ovdje oisanom modeliranju omoću rekurzija. Medutim, rimijetimo da ni u jednom modelu izloženom u ovom radu ni na koji način nismo sominjali ni aritmetički, ni geometrijski niz. Umjesto njih, naglasak smo stavili na funkcijsko ovezivanje vrijednosti glavnice na kraju svake godine s vrijednošću te glavnice na kraju neosredno rethodne godine. Osnovni cilj našega ristua je razumijevanje rocesa kaitalizacije koji se rovodi 44

O MODELIRANJU STANDARDNIH PROBLEMA POSLOVNE MATEMATIKE POMOĆU REKURZIJA u svakoj ojedinoj godini. Na temelju vlastitoga višegodišnjega nastavnoga iskustva tvrdimo da većina studenata rilikom rješavanja ovakvih zadataka očekuje isključivo gotovu formulu u koju će uvrstiti zadane odatke i izračunati traženu veličinu. Nerijetko možemo čuti izjavu out Ne mogu riješiti taj zadatak jer ne znam formulu. Time se zaravo učenje gradiva oslovne matematike najčešće svodi na načelo odredi što je zadano, ronadi odgovarajuću formulu i omoću nje izračunaj traženo. Smatramo da takva raksa nije dobra, odnosno da bi se bitno više moralo inzistirati na razumijevanju rovedenih ostuaka. Takoder, smatramo da obrada otrebnih rezultata iz teorije rekurzija regledno navedenih i u ovom članku) nije metodički teža od obrade definicije i osnovnih svojstava aritmetičkoga, odnosno geometrijskoga niza. Zbog toga bi bilo dobro razmotriti ociju da se matematičko modeliranje romatranih roblema omoću rekurzija uvede u nastavne lanove i rograme oslovne matematike barem na ekonomskim studijima koji se izvode na našim veleučilištima i samostalnim visokim školama. Uvjereni smo da bi takvo modeliranje dorinijelo boljemu razumijevanju romatranih ekonomskih rocesa, a što bi rezultiralo i kvalitetnijem ostvarivanju ostavljenih ciljeva redmeta. Literatura [1] N. Elezović, Diskontna matematika 1, Element, Zagreb, 2016. [2] L. Jurišić, A. Marić, Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka za 3. razred srednjih ekonomskih škola, Element, 2014. [3] B. Relić, Gosodarska matematika, 2. izmijenjeno i dounjeno izdanje, Hrvatska zajednica računovoda i financijskih djelatnika, Zagreb, 2002. [4] K. Šorić, Matematika 3, 1. i 2. dio), udžbenik sa zbirkom zadataka, Školska knjiga, Zagreb, 2008. [5] D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001. Kristina Matijević Ekonomska škola Požega, Osječka 33, Požega E-mail adresa: kmatijev@gmail.com 45

KRISTINA MATIJEVIĆ BOJAN KOVAČIĆ Bojan Kovačić Tehničko veleučilište u Zagrebu, Konavoska 2, Zagreb E-mail adresa: bojan.kovacic@tvz.hr 46