Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Nystomovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi : Nystomovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 eksplicitni eksplicitni metodi implicitni metodi Generalisani Milne-Simpsonovi metodikodkojihjeρ(w) = w k w k 2 implicitni BDF metodi (backward difference formula): eksplicitni kod kojih je σ(w) = βw k za neko β R\{} implicitni kod kojih je σ(w) = βw k 1 za neko β R\{} Prilikom konstruisanja LVM najčešće se zadaje željeni red tačnosti. Definicija reda tačnosti ukazuje da pri konstrukciji LVM metodom neodred enih koeficijenata možemo odrediti a j, b j, j =,k tako da se dobije maksimalni red tačnosti metoda. Fiksiranjem a k = 1 imamo 2k nepoznatih koeficijenata za eksplicitni metod (b k = ). Zavisnost C j od a j i b j je linearna, odakle sledi da sa 2k koeficijenata možemo poništiti prvih 2k članova Tejlorovog razvoja, tj. C = C 1 =... = C 2k 1 =, pri čemu se može pokazati da je C 2k. Na ovaj način može se konstruisati eksplicitni LVM koračnosti k i reda tačnosti p = 2k 1. Slično, za k-koračne implicitne metode, sa 2k+1 koeficijenata možemo poništiti jedan član više u Tejlorovom razvoju i dobiti metod reda tačnosti p = 2k. Primer 1. Konstruišimo implicitni LVM, koračnosti 2, tako da ima maksimalni red tačnosti. LVM ćemo konstruisati u funkciji od jednog parametra i u zavisnosti od vrednosti tog parametra odrediti red metoda.dakle, k = 2 i a 2 = 1. Neka je a = a, gde je a pomenuti parametar. Ostaje nam da odredimo a 1,b,b 1 i b 2. Zbog zahteva da red tačnosti bude najveći, imamo da je C = a+a 1 +1 = C 1 = a 1 +2 (b +b 1 +b 2 ) = C 2 = 1 2! (a 1 +4) (b 1 +2b 2 ) = C 3 = 1 3! (a 1 +8) 1 2! (b 1 +4b 2 ) =. Rešavajući gornji sistem dobijamo da je a 1 = 1 a, b = 1 (1 + 5a), b 12 1 = 2 (1 a) i 3 b 2 = 1 (5+a), pa je traženi metod 12 (1) y n+2 (1+a)y n+1 +ay n = h 12 [(5+a)f n+2 +8(1 a)f n+1 (1+5a)f n ]. Dalje, kako je C 4 = 1 4! (a 1 +16) 1 3! (b 1 +8b 2 ) = 1 4! (1+a) C 5 = 1 5! (a 1 +32) 1 4! (b 1 +16b 2 ) = 1 3!5! (17+13a), 1
važi da ako je a 1 C 4 pa je metod (1) reda tačnosti 3. Ako je a = 1 C 4 =,C 5, pa je metod (1) reda tačnosti 4. U poslednjem slučaju, dobijeni metod se naziva Simpsonovo pravilo. Korišćenjem rezultata da je red tačnosti LVM p akko (2) ρ(1+z) ln(1+z)σ(1+z) = C p+1 z p+1 +O(z p+2 ), z, možemo konstruisati LVM zadate tačnosti. Naime, ako je dat drugi karakteristični polinom σ(w), iz (2) sledi da postoji jedinstven polinom ρ(w) stepena K, tako da je red metode K. S druge strane, ako je zadat prvi karaketeristični polinom ρ(w), iz (2) sledi da postoji jedinstven polinom σ(w) stepena K, tako da je red metode K + 1. Iz (2) deljenjem sa ln(1 + z) sa p = K +1 dobijamo: σ(1+z) = z ln(1+z) ρ(1+z) C K+2 z K+1 +O(z K+2 ) z Kako je z/ln(1 + z) analitička funkcija u z = i ρ(1 + z)/z mora biti analitička funkcija u z = tj. ρ(1) = α K +α K 1 + +α = (što važi ako je metod konzistentan). Posmatrajmo jedan konstruktivni primer Primer 2: Ako je σ(w) = 3 2 w 1 i K = 2 dobijamo iz (2) 2 ( 3 ρ(1+z) = ln(1+z)σ(1+z)+o(z 3 ) = ln(1+z) 2 (1+z) 1 ) +O(z 3 ) 2 )( = (z z2 3 2 2 (1+z) 1 ) +O(z 3 ) = z 2 +z +O(z 3 ) 2 = (1+z) 2 (1+z)+O(z 3 ) Dakle, ρ(w) = w 2 w, što predstavlja dvokoračni (eksplicitni) Adams-Bashfortov metod reda tačnosti p = 2: Ako je ρ(w) = w 2 w i K = 2 dobijamo y n+2 y n+1 = h 2 (3f n+1 f n ) σ(1+z) = (1+z)2 (1+z) +O(z 3 z 2 +z ) = ln(1+z) z ( z 2 ( z +1 = 1 ( z ) +O(z 3 ) = (z +1) 1+ z2 2 3 = (z +1) (1+ z3 2 3 ( z 2 z2 3 ) +O(z 3 ) ) + ( ) ) 2 z 2 z2 +O(z 3 ) 3 ) z2 z2 3 + z2 +O(z 3 ) = 5 4 12 z2 + 3 2 z +1+O(z3 ) = 5 12 (1+z)2 + 2 3 (1+z) 1 12 +O(z3 ). Dakle, σ(w) = 5 12 w2 + 2 3 w 1, što daje dvokoračni (implicitni) Adams-Moultonov metod 12 reda p = 2: y n+2 y n+1 = h 12 (5f n+2 +8f n+1 f n ). 2
Adamsovi metodi Integracijom DJ na [x n,x n+1 ] dobija se y(x n+1 ) y(x n ) = xn+1 x n f(x,y(x))dx Za konstrukciju trapezne metode numeričku vrednost integrala u prethodnoj jednakosti odredjena je trapeznom formulom, dok za konstrukciju metoda Runge-Kutta numeričku vrednost integrala odredjuje se primenom neke kvadraturne formule. Sada ćemo primeniti drugačiju ideju. Integracijom DJ na [x n+k 1,x n+k ] dobija se (3) y(x n+k ) y(x n+k 1 ) = x n+k 1 y (x)dx = x n+k 1 f(x,y(x))dx. Ako želimo da uključimo i vrednosti u prethodnim čvorovima - od x n do x n+k 1, iskoristićemo za aproksimaciju pointegralne funkcije interpolacioni polinom P(x) stepena k 1 takav da je P(x n+j ) = f(x n+j,y n+j ), j =,1,2,...,k 1. Konstruišimo Lagranžeov interpolacioni polinom: gde je p j (x) = k 1 k 1 P(x) = p j (x)f(x n+j,y n+j ), x x n+m x n+j x n+m = ( 1) k 1 j j!(k 1 j)!h k 1 k 1 (x x n+m ), tako da zamenom u (3) (y(x n+k ) y n+k i y(x n+k 1 ) y n+k 1 ), dobijemo metod oblika odnosno k 1 y n+k = y n+k 1 + f(x n+j,y n+j ) x n+k 1 p j (x)dx k 1 (4) y n+k = y n+k 1 +h β j f(x n+j,y n+j ), gde koeficijente β j = h 1 (a) = (b) = (c) = p j (x)dx x n+k 1 x = x h n+k 1 +t = h 1 p j (x n+k 1 +t)dt, j =,1,2,...,k 1 ( 1) k 1 j j!(k 1 j)!h k 1 ( xn+k k 1 x n+k 1 ( ) ) x xn+m dx x = x n+k 1 +ht = ( 1)k 1 j j!(k 1 j)! ( 1 k 1 3 ( ) ) t+(k m 1) dt, j =,1,2,...,k 1
β k i 1 = ( 1) i 1 i!(k 1 i)! k 1 (t+m)dt, j =,1,2,...,k 1 m i treba odrediti. Metodi oblika (4) nazivaju se k koračni Adams-Bashfortovi metodi. Prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 1. imamo I Za k = 1 dobijamo eksplicitni Ojlerov metod. II Za k = 2, odredimo koeficijente β,β 1. Kako je p (x) = x x n+1 = x x n+1, p 1 (x) = x x n = x x n x n x n+1 h x n+1 x n h β = h 1 xn+2 β 1 = h 1 xn+2 x n+1 p (x)dx = 1 h x n+1 p 1 (x)dx = 1 h (AB2) : p (x n+1 +t)dt = 1 h p 1 (x n+1 +t)dt = 1 h ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n III Za k = 3, odredimo koeficijente β,β 1,β 2. Kako je t h dt = 1 2 t+h h dt = 3 2 p (x) = (x x n+1)(x x n+2 ) (x n x n+1 )(x n x n+2 ) = (x x n+1)(x x n+2 ), ( h)( 2h) (x x n )(x x n+2 ) p 1 (x) = (x n+1 x n )(x n+1 x n+2 ) = (x x n)(x x n+2 ), (h)( h) (x x n )(x x n+1 ) p 2 (x) = (x n+2 x n )(x n+2 x n+1 ) = (x x n)(x x n+1 ), (2h)(h) imamo β = h 1 xn+3 β 1 = h 1 xn+3 β 2 = h 1 xn+3 x n+2 p (x)dx = 1 h x n+2 p 1 (x)dx = 1 h x n+2 p 1 (x)dx = 1 h (AB3) : p (x n+2 +t)dt = 1 2h 3 (t+h)tdt = 5 12 p 1 (x n+2 +t)dt = 1 (t+2h)tdt = 4 h 3 3 p 1 (x n+2 +t)dt = 1 2h 3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n+2 16 12 f n+1 + 5 ) 12 f n (t+2h)(t+h)dt = 23 12 4
Adams-Bashfortovi metodi tačnosti metode AB1 y n+1 y n = hf n 1 1 Eksplicitni Ojlerov metod AB2 ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n 2 2 AB3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n+2 16 12 f n+1 + 5 ) 12 f n 3 3 AB4 y n+4 y n+3 = ( 55 24 f n+3 59 24 f n+2 + 37 24 f n+1 9 ) 24 f n 4 4 Adams-Bashfortovi metodi su eksplicitni metodi. Ako želimo da dobijemo implicitne metode, za koje ćemo videti da imaju u mnogim primenama bolja svojstva, možemo u čvorove interpolacije uključiti još jedan čvor, čime dolazimo do nove klase LVM koji se nazivaju Adams- Moultonovih metodi. Za konstrukciju Adams-Moultonovih metoda, dakle, polazi se od iste ideje kao i kod Adams-Bashfortove, ali se u čvorove interpolacije uključuje još jedan čvor x n+k i time dobija interpolacioni polinom većeg stepena k. Dobija se LVM oblika odnosno y n+k = y n+k 1 + f(x n+j,y n+j ) p j (x)dx, p j (x) = x n+k 1 k x x n+m x n+j x n+m (5) y n+k = y n+k 1 +h β j f(x n+j,y n+j ), gde koeficijente β j = h 1 p j (x)dx = x = x h n+k 1 +t = h 1 p j (x n+k 1 +t)dt, j =,1,2,...,k x n+k 1 treba odrediti. Metodi oblika (5) nazivaju se k koračni Adams-Moultonovi metodi. Prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 1. 5
Adams-Moultonovi metodi metode tačnosti IO y n+1 y n = hf n+1 1 1 Implicitni Ojlerov metod AM1 AM2 ( 1 y n+1 y n = h 2 f n+1 + 1 ) 2 f n Trapezno pravilo ( 5 y n+2 y n+1 = h 12 f n+2 + 8 12 f n+1 1 ) 12 f n 1 2 2 3 AM3 ( 9 y n+3 y n+2 = h 24 f n+3 + 19 24 f n+2 5 24 f n+1 + 1 ) 24 f n 3 4 AM4 y n+4 y n+3 = h 72 (251f n+4 +646f n+3 264f n+2 +16f n+1 19f n ) 4 5 Nystromovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi Za konstrukciju ekplicitnih Nystromovih i implicitnih Generalisanih Milne-Simpsonovih formula koeficijenti se dobijaju na isti način kao kod Adamsovih metoda, izuzev što se sada integracija u (3) vrši na [x n+k 2,x n+k ] tj. polazi se od y(x n+k ) y(x n+k 2 ) = x n+k 2 y (x)dx = x n+k 2 f(x,y(x))dx, a zatim se podintegralna funkcija interpolira Lagražeovim interpolacionim polinomom u čvorovima x n k+1,...,x n+k 1 za eksplicitne metode i u čvorovima x n k+1,...,x n+k za implicitne metode. Dakle, prvi karaketristični polinom kod ove klase LVM je ρ(w) = w k w k 2. 6
Nystromovi metodi metode tačnosti NM2 y n+2 y n = 2hf n+1 2 2 Pravilo srednje tačke NM3 ( 7 y n+3 y n+1 = h 3 f n+2 2 3 f n+1 + 1 ) 3 f n 3 4 NM4 y n+4 y n+2 = ( 8 3 f n+3 5 3 f n+2 + 4 3 f n+1 1 ) 3 f n 4 4 Generalisani Milne-Simpsonovi metodi metode tačnosti GMS2 y n+2 y n = h 3 (f n+2 +4f n+1 +f n ) 2 4 Simpsonovo pravilo Napomenimo, da je Simpsonovo pravilo - optimalni metod, tj. 2k koračni metodi reda tačnosti p = 2k +2. Optimalni četvorokoračni metod (reda tačnosti p = 6) je tkz. Quadeov metod: y n+4 8 19 (y n+3 +y n+1 ) y n = 6h 19 (f n+4 +4f n+3 +4f n+1 +f n ) Formule zadnje razlike Pored do sada konstruisanih metoda, vrlo važnu klasu LVM u primenama čine formule zadnje razlike - backward difference formula = BDF. k koračni BDF je imlicitni LVM sa β = β 1 = = β k 1 =, odnosno sa drugim karakterističnim polinomom oblika σ(w) = βw k. U prethodnim metodama za konstrukciju interpolacionog polinoma koristili smo u čvorovima x n,...,x n+k vrednosti f n,...,f n+k. Za odredjivanje koeficijenata α j, j =,1,...,k BDF možemo koristimo istu ideju konstrukcije interpolacionog polinoma sa vrednostima y n,...,y n+k takav da je P(x n+j ) = y(x n+j ), j =,1,2,...,k 1, Korišćenjem Lagranžeovog interpolacionog polinoma imamo P(x) = p j (x)y(x n+j ), p j (x) = k x x n+m x n+j x n+m 7
gde je Kako je p j (x) = k x x n+m x n+j x n+m. P (x) = 1 h hp j (x)y(x n+j), tj. P (x n+r ) = 1 h hp j (x n+r)y(x n+j ) zamenom y(x n+j ) y n+j i f n+r = f(x n+r,y n+r ) P (x n+r ), dobijemo metod oblika a j y n+j = hf n+r, gde su koeficijenti a j smenom t = (x x n )/h, oblika a j = hp j (x n+r) = d dt k t m j m = 1 t=r j r Za r = k dobijamo novu klasu implicitnih LVM oblika a j y n+j = hf n+k. dok za r = k 1 dobijamo eksplicitne LVM oblika a j y n+j = hf n+k 1. k,r r m j m. Napomenimo da prethodnu formulu treba normalizovati deljenjem sa koefijentom uz y n+k da bi se dobila formula sa α k = 1. Do BDF možemo doći i postupkom opisanim na početku u datom Primeru 2. Naime, ako je drugi karakteristični polinom oblika σ(w) = βw k, treba odrediti koeficijente prvog karakterističnog polinoma. Teorema 1 Za proizvoljno k 1, k koračni BDF je oblika σ(w) = βw k i ρ(w) = β 1 j wk 1 (w 1) j gde je i ima red tačosti p = k. β = ( ) 1 1 j 8
Backward difference formula metode tačnosti BD1 y n+1 y n = hf n+1 1 2 Implicitni Ojlerov metod BD2 y n+2 4 3 y n+1 + 1 3 y n = 2 3 hf n+2 2 2 BD3 y n+3 18 11 y n+2+ 9 11 y n+1 2 11 y n = 6 11 hf n+3 3 3 BD4 y n+4 48 25 y n+3 + 36 25 y n+2 16 25 y n+1 + 3 25 y n = 12 25 hf n+4 4 4 9
Linearni višekoračni metodi Eksplicitni Ojlerov metod (1768.): y n = h f n y n+1 = y n + h f(x n, y n ), n =, 1, 2,..., N Implicitni Ojlerov metod: y n+1 = h f n+1 y n+1 = y n + h f(x n+1, y n+1 ), n =, 1, 2,..., N Metod srednje tačke: µ h δ h y n = 2h f n y n+1 = y n 1 + 2h f(x n, y n ), n = 1, 2,..., N Trapezno pravilo: y n+1 y n = h 2 [ f(xn+1, y n+1 ) + f(x n, y n ) ], n =, 1, 2,..., N Θ metod: y n+1 = y n + h [ θ f(x n, y n ) + (1 θ)f(x n+1, y n+1 ) ], n =, 1, 2,..., N Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 eksplicitni metodi Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 implicitni metodi Nystomovi i Generalisani Milne-Simpsonovi metodi : Nystomovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 eksplicitni Generalisani Milne-Simpsonovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 2 implicitni BDF metodi (backward difference formula) kod kojih je σ(w) = βw k za neko β R\{} 1
Adams-Bashfortovi metodi tačnosti metode AB1 y n+1 y n = hf n 1 1 Eksplicitni Ojlerov metod AB2 ( 3 y n+2 y n+1 = h 2 f n+1 1 ) 2 f n 2 2 AB3 ( 23 y n+3 y n+2 = h 12 f n+2 16 12 f n+1 + 5 ) 12 f n 3 3 AB4 y n+4 y n+3 = ( 55 24 f n+3 59 24 f n+2 + 37 24 f n+1 9 ) 24 f n 4 4 Adams-Moultonovi metodi metode tačnosti IO y n+1 y n = hf n+1 1 1 Implicitni Ojlerov metod AM1 AM2 ( 1 y n+1 y n = h 2 f n+1 + 1 ) 2 f n Trapezno pravilo ( 5 y n+2 y n+1 = h 12 f n+2 + 8 12 f n+1 1 ) 12 f n 1 2 2 3 AM3 ( 9 y n+3 y n+2 = h 24 f n+3 + 19 24 f n+2 5 24 f n+1 + 1 ) 24 f n 3 4 AM4 y n+4 y n+3 = h 72 (251f n+4 + 646f n+3 264f n+2 + 16f n+1 19f n ) 4 5 2
Nystromovi metodi metode tačnosti NM2 y n+2 y n = 2hf n+1 2 2 Pravilo srednje tačke NM3 ( 7 y n+3 y n+1 = h 3 f n+2 2 3 f n+1 + 1 ) 3 f n 3 4 NM4 y n+4 y n+2 = ( 8 3 f n+3 5 3 f n+2 + 4 3 f n+1 1 ) 3 f n 4 4 Generalisani Milne-Simpsonovi metodi metode tačnosti GMS2 y n+2 y n = h 3 (f n+2 + 4f n+1 + f n ) 2 4 Simpsonovo pravilo Napomenimo, da je Simpsonovo pravilo - optimalni metod, tj. 2k koračni metodi reda tačnosti p = 2k + 2. Optimalni četvorokoračni metod (reda tačnosti p = 6) je tkz. Quadeov metod: y n+4 8 19 (y n+3 + y n+1 ) y n = 6h 19 (f n+4 + 4f n+3 + 4f n+1 + f n ) Backward difference formula metode tačnosti BD1 y n+1 y n = hf n+1 1 2 Implicitni Ojlerov metod BD2 y n+2 4 3 y n+1 + 1 3 y n = 2 3 hf n+2 2 2 BD3 y n+3 18 11 y n+2 + 9 11 y n+1 2 11 y n = 6 11 hf n+3 3 3 BD4 y n+4 48 25 y n+3 + 36 25 y n+2 16 25 y n+1 + 3 25 y n = 12 25 hf n+4 4 4 3