Besselove funkcije y(x) = m=0 a m x m+σ, x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0 σ 2 = ν 2 (1 ± 2ν)a 1 = 0; n(n ± 2ν)a n + a n 2 = 0 za n 2. J ν (x) = n=0 Besselove funkcije prve vrste reda ν. ( 1) n ( x ) ν+2n n!γ(ν + n + 1) 2 (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 1 / 11
Besselove funkcije Posebno interesantan slučaj za ν = ±1/2 (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 2 / 11
Besselove funkcije Za cjelobrojne ν vrijedi J ν (x) = ( 1) ν J ν (x) Y ν (x) = J ν(x) cos νπ J ν (x) sin νπ Besselove funkcije druge vrste reda ν ili Neumannove funkcije. H (1) ν (x) = J ν (x) + iy ν (x), H ν (2) (x) = J ν (x) iy ν (x) Hankelove funkcije prve i druge vrste reda ν. (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 3 / 11
Besselove funkcije Funkcija generatrisa G(x, t) = e x 2(t 1 t ) = n= J n (x)t n (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 4 / 11
Sferne Besselove funkcije r 2 R + 2rR + [k 2 r 2 l(l + 1)]R = 0 Uz smjenu R(r) = r 1/2 S(r), y(x) = S(kr) dobivamo x 2 y + xy + (x 2 (l + 1 2 )2 )y = 0 Tako R(r) = r 1/2 [c 1 J l+1/2 (kr) + c 2 Y l+1/2 (kr)]. π j l (x) = 2x J l+1/2(x), n l (x) = π 2x Y l+1/2(x). Sferne Besselove funkcije prve i druge vrste. (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 5 / 11
Sferne Besselove funkcije j 0 (x) = sin x x ; n 0(x) = cos x x ( ) 1 j l (x) = ( 1) l x l d l j 0 (x) x dx (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 6 / 11
Hipergeometrijske funkcije x(1 x)y + [c (a + b + 1)x]y aby = 0 F(a, b, c; x) = 1 + ab x c 1! = Γ(c) Γ(a)Γ(b) n=0 a(a + 1)b(b + 1) x 2 + c(c + 1) 2! +... Γ(a + n)γ(b + n) x n Γ(c + n) n! (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 7 / 11
Funkcional Varijacioni račun U fizici se često susrećemo sa problemom odre divanja nepoznate funkcije y(x) tako da funkcional y(x) y(b) I = b a F(y(x), y (x), x) dx ima minimalnu (ili, eventualno, maksimalnu) vrijednost. y(a) Pri tome su vrijednosti nepoznate funkcije na krajevima intervala y(a) i y(b) fiksirane. Funkcional I (u principu) zavisi od (nepoznate) funkcije y(x), njenog prvog izvoda y (x), (y je oznaka za dy dx ), i nezavisno promjenljive x. a b x (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 8 / 11
Varijacioni račun Euler Lagrangeove jednačine Funkcional I[y(x)] je stacionaran za funkciju y(x) ako smjena y(x) y(x) + αη(x), gdje je η(x) proizvoljna funkcija a α po volji mali broj, dovodi do malih promjena u funkcionalu I promjena reda α 2. Tada se zahtjev stacionarnosti funkcionala δi = 0 može izraziti kao b di α=0 = 0, I(y, α) = F (y + αη, y + αη, x) dx. dα a To nas dovodi do Euler Lagrangeovih jednačina. d F dx y F y = 0 Za F = F(y(x), y (x), x) Euler Lagrangeova se svodi na običnu diferencijalnu jednačinu drugog reda po nepoznatoj funkciji y(x). (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 9 / 11
Specijalni slučajevi Varijacioni račun F = F(y (x), x), tj. F y = 0 Euler Lagrangeova jednačina se svodi na d F dx y = const. - diferencijalna jednačina prvog reda po nepoznatoj funkciji y(x). F = F(y(x), y (x)), tj. F x = 0 Euler Lagrangeova jednačina se (nakon uvažavanja da je sad df dx = F y y + F y y ) svodi na y F y F = const. - diferencijalna jednačina prvog reda po nepoznatoj funkciji y(x). (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 10 / 11
Neka proširenja Varijacioni račun Nekoliko zavisnih promjenljivih (funkcija) I = I[y 1, y 2,..., y n ] F = F(y 1, y 1, y 2, y 2,..., y n, y n, x), gdje je svaka funkcija y i = y i (x). Analiza analogna slučaju jedne nepoznate funkcije dovodi do sistema n Euler Lagrangeovih jednačina d F dx y i F = 0, i = 1,..., n. y i Nepoznata funkcija više nezavisno promjenljivih y = y(x 1,..., x n ) I = F(y, y, y,..., y, x 1, x 2,..., x n )dx 1 dx 2 dx n x 1 x 2 x n Analogne analize dovode da zaključka da je I stacionarno kada gdje je y x i = y x i. F n y F x i y x = 0, i i=1 (Matematičke metode fizike II) 12. predavanje 11 / 11