Zadatak.. Procijeniti srednji broj fotona u sakom modu zračenja crnog tijela pri sobnoj temperaturi. E Rješenje: Srednji broj fotona u modu je: n = =. Na osnou exp / k T ( B =, 4 zadatka. za idljii dio spektra je: ( 4 8 Hz =, 65, ev, a na osnou zadatka.4, za sredinu idljiog spektra, pri temperaturi K, je h / k T 84 n exp 84. Srednji broj fotona u modu laserskog, tako da je B rezonatora je mnogo eći od ( n. 4 laser Zadatak.. Naći ezu između gustoće energije w u rezonatoru crnoga tijela i gustoće izlaznog fluksa zračenja koje emituju zidoi crnoga tijela. Rješenje: Izračunajmo, koristeći se prikazanom slikom, gustoću emisije u nekoj zapremini V unutar rezonatora, koja je uzrokoana zračenjem zidoa rezonatora. V r dω ds θ l ds Vrh konusa prostornog ugla dω nalazi se na elementu poršine ds koji se od zapremine V nalazi na rastojanju r. Presjek toga konusa sa V formira cilindar poprečnog presjeka ds i dužine l. U skladu sa formulom (. je dε / dt = Bcos θ dsdω, gdje je B l ds sjaj poršine crnog tijela. Energija u zapremini V je jednaka ε = B cos θ ds, gdje r je l / rijeme prolaska zračenja kroz zapreminu V, a dω= d s/ r. Ukupni doprinos od elementa poršine ds u zapremini V dobija se integriranjem po sim prostornim ugloima koji polaze od elementa ds, što daje lds = V. Nadalje, treba integrirati energiju zračenja po cijeloj poršini crnoga tijela. Tako za gustoću energije u zapremini B cosθ V dobijamo: w= ds. Veličina cos θ ds je jednaka prostornom uglu d Ω r r pod kojim se poršina ds idi iz bilo koje tačke zapremine V (za koju se pretpostalja da je rlo mala, tako da je: B w= dω = 4 B/. ( S druge strane, gustoća izlaznog fluksa zračenja (ekscitancija ili emisiona sposobnost je (proračun se rši u sfernim koordinatama: 4
/ / M = Bcos θ dω= B cos θ sin θ dθ dϕ = B B =. ( θ= ϕ= θ= ϕ= Poređenjem ( i ( konačno se dobija: 4 w= M. ( Analogno se za spektralnu gustoću zračenja dobija: w 4 = M, tako da je, na osnou Planckoe formule, (.4, spektralna gustoća izlaznog fluksa zračenja koje emituje poršina crnog tijela data sa: M =. exp kt B Zadatak.. Izesti Wieno zakon polazeći od Planckoe formule. 8 Rješenje: Planckoa formula glasi: w =. Wieno zakon daje exp kt B ezu max i T. Na osnou toga zaključujemo da nam treba izraz za spektralnu raspodjelu w w energije po talasnim dužinama w. Vrijedi: dw = wd = d d w d = =, = d, = d 8, w w = = w = h. Maksimum se 5 d d exp ( h / kbt h dobija iz usloa: w / =. Ako označimo x =, uslo w / = odi na kt slijedeću transcendentalnu jednačinu za x: 5 x x xe /( e B =, čije numeričko rješenje je: h x = 4, 965 4, odakle slijedi da je max T = = b, gdje je b = 898 μm K - kbx n konstanta Wienoog zakona. Primjer: T = 6 K max =,48 μm. Sunca Zadatak.4. Zanemarujući gubitke toplote na toploproodnost, izračunati snagu električne struje P koja je neophodna za zagrijaanje niti prečnika mm i dužine cm do temperature 5 K. Smatrati da nit emituje zračenje po Stefan-Boltzmannoom 4 zakonu ( σ = 5,67 5 9 W m K. 8 Rješenje: P =?, D = mm, l = cm, T = 5 K. l D D S D l 4 = + = 6, cm, M = σt = 85,85 W/cm, 4 P = SσT = 56 W. Zadatak.5. Za He-Ne laser procijeniti homogeno i nehomogeno širenje spektralnih linija. 5
Rješenje: Osnoni mehanizmi homogenog širenja linija su spontano i sudarno širenje. Spontanom širenju odgoara prirodna širina linije: Δ,N =. Pošto je τ 8 τ sp s, to je: Δ,N 6 MHz. Sudarnom širenju odgoara širina linije Δ,C =, gdje je τ c srednje rijeme između da sudara. Ono je obrnuto τ c proporcionalno sa pritiskom gasa. Za He-Ne laser je, pri sobnoj temperaturi, τ c 5, 6 s, tako da je Δ,C,64 MHz. Pošto i spontano i sudarno širenje imaju Lorentzou formu, to je ukupno homogeno širenje: Δ,H =Δ,N +Δ,C 6,64 MHz. ( Osnoni mehanizam nehomogenog širenja je Doppleroo širenje linija. Doppleroa / kt B Δ,D = ln širina linije je data formulom (.7:. Mc U slučaju laserske generacije u neonu, jedna od linija ima talasnu dužinu =,68 μm. Masa atoma neona je M =, mu, gdje je m u =,66 54 kg atomska jedinica mase. je Boltzmannoa konstanta, 7 k B =,8 J / K, a pretpostaljeno je da je T = K. Za Dopplerou širinu se tada dobija ( c / = : 8 m / s,8 J / K K ln Δ,D =, GHz 6 7 6 =. (,68 m,,66 54 kg 9 m / s Poređenjem ( i ( zaključujemo da je u oom primjeru Doppleroo nehomogeno širenje znatno eće od homogenog širenja. Napomenimo da je u nekim drugim slučajeima, npr. kod CO lasera (kod koga je pritisak gasa znatno eći - reda eličine atmosferskog pritiska, sudarno širenje linija dominantno u odnosu na Doppleroo. Napomenimo i to da je forma linije uslijed Doppleroog efekta Gaussoa. Ako bismo, pored Doppleroog, imali i neko drugo širenje sa Gaussoom formom, tada bi totalna širina linije bila određena po formuli: ( Δ, G tot = ( Δ, D + ( Δ,G. Međutim, kada je jedna forma Lorentzoa, a druga Gaussoa, ne postoji jednostaan zakon slaganja, eć se mora koristiti numeričko integriranje (pojaljuje se tz. integral Vojta, čije rijednosti su tabelirane; dobija se tz. Fogtoska forma linije koja predstalja prelaz između Lorentzoe i Gaussoe forme. Zadatak.6. Izesti jednačinu za jeroatnoću apsorpcije koristeći poluklasični pristup. Rješenje: Pri poluklasičnom pristupu atomski sistem se opisuje zakonima kantne mehanike, a elektromagnetno polje upadnog talasa se opisuje klasično - pomoću Maxwelloih jednačina. Pretpostaimo da je atomski sistem opisan sa da nioa ( i i da se u trenutku t = nalazi u osnonom stanju. Sa klasične tačke gledišta atom, uslijed interakcije sa elektromagnetnim talasom, dobija dopunsku energiju H (npr. uslijed interakcije električnog dipolnog momenta atoma μe sa električnim poljem E je H = μ e E električna dipolna interakcija; analogno je μ B m magnetna dipolna interakcija. Vremensku eoluciju toga atomskog sistema sa da nioa u interakciji sa 6 k B / sp
elektromagnetnim poljem ćemo opisiati pomoću kantne mehanike. Kantnomehanički operator ukupne energije - hamiltonijan Ĥ - sastoji se od hamiltonijana Ĥ atoma u odsustu elektromagnetnog polja i hamiltonijana interakcije sa monohromatskim elektromagnetnim talasom frekencije ω = (uzimamo u obzir samo elektro-dipolnu interakciju: H ˆ = ee r, t r, ( ˆ gdje je e - naelektrisanje elektrona, r - koordinata toga elektrona [pretpostaljamo da je ishodište koordinatnog sistema ( r = smješteno u jezgru atoma], a E( r, t - električno polje u tački r. Totalni hamiltonijan: H ˆ = H ˆ + H ˆ ( i talasna funkcija atoma Ψ zadooljaaju Schrödingerou [E. Schrödinger (Šredinger, 887-96] jednačinu: Ψ ĤΨ = i. ( t Da bismo riješili ou jednačinu po Ψ, uedimo neperturboane sojstene funkcije nioa i : ie j t/ h Ψ j = u j e, j =,. (4 Funkcije u j zadooljaaju stacionarnu Schrödingerou jednačinu: Hu ˆ = Eu, j=,. (5 j j j Totalnu alnu funkciju atoma koji interaguje sa elektromagnetnim poljem možemo napisati u obliku: Ψ = a t Ψ + a t Ψ, (6 ( ( gdje su, u opštem slučaju, a i a kompleksni brojei koji zaise od remena i za koje rijedi: ( ( a t + a t =, (7 što fizikalno označaa da je suma jeroatnoće da se atom u trenutku t nađe u stanju i jeroatnoće da se atom u trenutku t nađe u stanju jednaka jedinici. Urštaajući (6 u Schrödingerou jednačinu (, koristeći relacije (, (4 i (5, relaciju ortonormiranosti * uu n mdr= δ n, m i označaajući: H t = u Hu dr, (8 * ˆ n m dobijamo sistem od dije jednačine: ie ( E t/ ia = H a+ H ae, (9 ie ( E t/ ia = H ae + H a koje treba riješiti uz početni uslo: a =, a =. ( 7
Rješenje ćemo dati u prom redu računa perturbacije. Pretpostaimo da se na desnoj a t. U tom, prom redu, (9 se sodi strani jednačine (9 može staiti: a ( t, na: a = H / i, /,, iωt a = He i ω = = E E gdje je frekencija atomskog prelaza. Vektor električnog polja klasičnog ranog elektromagnetnog talasa je: E r, t = E r sinωt, ( tako da se može izdojiti remenski nezaisna interakcija: * H e ue ( r rˆ = udr E μ, ( gdje je: * μ ˆ = e u r udr (4 matrični element električnog dipolnog momenta, a znak približne jednakosti u ( se odnosi na primjenu tz. elektro-dipolne aproksimacije [ E( r E = E je izučeno ispred znaka integrala] koja je isprana u idljiom dijelu spektra ( ~ 5, a dimenzije atoma,5 ; kr,5 sin ( ωt k r sinωt. Na osnou (, 5 a =, iz druge relacije u ( dobijamo: (4 i početnog usloa a ( t ( ω ω ( ω + ω ( i t i t H e e =. (5 i ω ω ω + ω Pošto je ω ω, pri član u uglastim zagradama u (5 je mnogo eći od drugoga, tako da je: a ( t ( ω ω H sin t / =. (6 ω ω Uzimajući u obzir da je jedna od definicija Diracoe δ -funkcije: ( ω δ ω = ( ω ω ( sin t / lim t ω ω t, (7 možemo, za elike rijednosti t, pisati da je jeroatnoća prelaza u jedinici remena data sa: W ( t a H = = δ ( ω ω t Da bismo izračunali matrični element. (8 H, označimo sa θ ugao između ektora E. Na osnou ( i (4 dobijamo: H = E μ θ. (9 cos μ i 8
Pretpostaimo da elektromagnetno polje interaguje sa nekoliko atoma čiji ektori μ su orjentisani na proizoljan način u odnosu na ektor E. Tada se srednja rijednost H dobija usrednjaanjem (9 po sim mogućim cos θ. Pošto je saki od ugloa θ jednako jeroatan, to je uglaste zagrade označaaju srednju rijednost, pa je: =, gdje cos θ = dϕ cos θ sin θ dθ = u du 4 H = E μ. ( Urštaajući ( u (8, i uzimajući u obzir osobinu δ -funkcije δ ( ω ω = δ (, dobijamo: W =. ( h E μ δ ( Poežimo oaj izraz sa gustoćom energije ranog elektromagnetnog talasa. Ona je, na osnou relacije (., data sa w= ( εe + μh, što se, koristeći ezu jačina električnog i magnetnog polja: / elektromagnetni talas je periodu T = / ω, H = ε / μ E, može napisati kao w= ε E. Za rani E = E sinωt, tako da je gustoća energije, usrednjena po T T ε ω ε T w= wdt = E sin t dt = E / T. Za μ = μ, na osnou εμ =, εμ c = i n= c, je ε = ε n, tako da je: w ε = n E, ( gdje je n indeks prelamanja atomskog sistema. Urštaajući ( u (, dobijamo da je jeroatnoća apsorpcije u jedinici remena fotona frekencije atomom koji se karakteriše frekencijom = E E h i koji je obasjan ranim monohromatskim / elektromagnetnim talasom frekencije W ( w δ ( ε h n i gustoće energije w(, data sa: μ =. ( Oa formula, u granicama aproksimacije koju smo koristili, rijedi samo za rani elektromagnetni talas konstantnog intenziteta i frekencije. Na osnou osobine, x Diracoe δ -funkcije: δ ( x =, dobija se da je za =, tj. kada se, x = frekencija elektromagnetnog talasa podudara sa frekencijom atomskog prelaza, W =, a za je W =. To je fizikalno neprihatljio. Ako se ratimo na mjesto gdje smo ueli δ -funkciju (jednačine (7 i (8, idimo da smo je dobili za t. Time smo pretpostaili da je interakcija elektromagnetnog talasa i atomskog sistema ista u sakom trenutku, što narano nije tačno. Elektromagnetni talas sa tačke gledišta atoma nije monohromatski. Zato je prailnije posmatrati relaciju ( kao ezu 9
jeroatnoće W,d apsorpcije (u jedinici remena fotona frekencije iz interala, + d sa spektralnom gustoćom energije w, a δ -funkciju, koja je idealizacija, zamijeniti sa starnom formom spektralne linije g(, (idjeti odjeljak.. Tako se dobija jednačina (.45 sa predaanja: μ, ε h n (, W d = g w d, (4 što smo i željeli izesti. Napomenimo da se izraz za jeroatnoću stimulisane emisije može izesti na analogan način, polazeći od (9, ali uz početni uslo različit od (: a =, a =. Traženi rezultati se mogu dobiti jednostanom zamjenom indeksa i. Kao dodatak oom zadatku naešćemo neke od osobina δ -funkcije. Vrijedi: ω za ω < ω < ω δ ( ω ω dω =, δ ( ω ω = δ ( ω ω, za ω ω ili ω ω ω ω δ ( ω bω δ = ω δ ( ω ω + δ ( ω ω δ ω ω ω ω =. b b ω ω, Pored jednačine (7, postoje i druge reprezentacije δ -funkcije. Npr.: T i( ω ω t ε δ ( ω ω = lim e dt T, δ ( ω ω = lim. ε ω ω + ε Ako je ω ω T f ω proizoljna funkcija ω, nesingularna pri ω = ω, tada rijedi: ( ω ω ( ω sin t / f ( ω δ ( ω ω dω = lim f ( ω dω t = t ω ω ω ( ω ω ( x t x lim t ( t x x ω ω t ( x sin / sin / = f + ω dx= f ω dx f ω = ω ω ω za < <, gdje smo koristili definiciju (7, izršili smjenu x ( ω ω sin ( x / iskoristili tablični integral: dx =. x, = t i Zadatak.7. Izračunati Einsteino koeficijent za spontanu emisiju za prelaz P S u atomu odonika. Rješenje: U kantnoj mehanici se stanja atoma odonika opisuju talasnim funkcijama Ψ, koje su karakterisane sa glanim kantnim brojem n =,,, koji nlm određuje energiju atoma: En = Ry / n ( A Ry =,65 698 4 ev, azimutnim kantnim brojem l koji poprima rijednosti l =,,,, n i magnetnim kantnim brojem m = l, l+,,,, l, l. Oi kantni brojei su na odgoarajući način poezani sa spektroskopskim oznakama S,S,P,, gdje pri broj u oznaci odgoara glanom kantnom broju, a elika latinična sloa odgoaraju azimutnom kantnom broju l po šemi: l =,,,, 4, S,P,D,F,G,. { } { } U našem zadatku osnono stanje (S n=, l = je nedegenerisano ( g = i odgoara mu talasna funkcija (u sfernim koordinatama:
4ε Ψ =Ψ = = = ε h / r /a S ( r, θϕ, ( a e, a me e me e ( : Bohro radijus. ( Stanje P n=, l =, m=,, je trostruko degenerisano ( g =. Valne funkcije su: r 5 / a ( r,, ( a r e cos r 5 / a ( r,, ( a r e sin cos r 5 / a ( r, θ, ϕ ( a r e sinθsin sin nlm,, =. Ψ θϕ = θ Ψ θ ϕ = θ ϕ. ( Ψ = ϕ Funkcije stanja su normirane na jedinicu: dϕ θ dθ r drψ ( r θ ϕ Frekencija koja odgoara spontanoj emisiji pri prelazu P S je, na osnou jednačina (.9 i (. [ = ( En Em / h i En = ], data sa: n mea h h 5 = = ( E E =,467 8 s + = =. ( h h 8 m a 4 m a Na osnou formule (.47c: A e e 6 g =, traženi Einsteino koeficijent, ε m μ mnn hc gn uzimajući u obzir da je indeks prelamanja sredine n =, i da je gn = g = A, dat je sa: μ 9ε hc gm = g = 6 =. (4 U jednačini (4 μ je modul matričnog elementa električnog dipolnog momenta: μ * = dr ΨSer ΨP, μ = μ, x + μ, y + μ, z. Za stanje Ψ je: / μ er sin θ cos ϕ μ = ϕ θ θ θ ϕ μ, x r r ( / a / d sin d r dr a e ersin sin ( a 5 a r e cosθ., y er cosθ, z Pošto je: dϕ cosϕ = dϕsinϕ =, dϕ =, to je: 5 r / a ( 8 4 =, z = a e dr r e d sin cos = ea 5 μ μ θ θ θ 4! 5 ( / ( a. (5 i
Isti rezultat se može dobiti i za ostala da stanja P, tako da je Einsteino koeficijent za prelaz iz P stanja (, ( i (- u S stanje ( tri puta eći od onoga da tog sa (4 uz ( i (5, tj.: h h e A = A = e = =. (6 4 5 4 8 P S a 6, 77 s 5 6 6 8 4 εhc mea εc mea Vrijeme žiota P stanja je: τ sp 9 = =,59 s. A P S Zadatak.8. Naći ezu presjeka prelaza i spontanog remena žiota. Rješenje: Na osnou slijedećih relacija: 8 σ = B g,, (.4: A = / τ sp, = B, je: (.5 i (.5: ( B g(, σ τsp, = = g (,, 8 B8 gdje je = / talasna dužina zračenja u sredini sa indeksom prelamanja n= c/. Oaj izraz se može iskoristiti za izračunaanje rijednosti presjeka σ, na osnou poznatog τ sp. Ako se gornji izraz integrira po frekenciji i iskoristi osobina funkcije g (,, koja je slična δ -funkciji, ( d g, / τsp, = / ( τ, spontano rijeme žiota može izračunati po formuli: ( int σ = dσ integralni presjek prelaza. τ sp,, dobija se da se =, gdje je: ( int 8σ Zadatak.9. Na kratkim talasnim dužinama preoladaa mehanizam prirodnog širenja linija. Pokazati da je u tom slučaju maksimalni presjek za apsorpciju dat sa: σ = / max (. Rješenje: Na osnou rezultata prethodnog zadatka i rezultata odjeljka.6, presjek za apsorpciju je: σ mn g g τ n = B g(, = g( m sp, 8,. ( Forma linije koja odgoara prirodnom širenju linije (homogeno širenje - Lorentzoa forma - jednačine (. i (. je: g Δ /, =, Δ =. (,N N,N / τsp, ( + ( Δ,N Jednostanosti radi, pretpostaimo da su stepeni degeneracije nioa n i m gn = = gm. Tada možemo izostaiti indekse m, n i jednačine ( i ( zajedno pisati kao:
Δ,N / σ = Δ,N = 8 ( + ( Δ,N / + Δ,N / σ = = σm ax. odakle je:, Zadatak.. Izračunati koeficijent pojačanja u centru (prirodno proširene linije + rubinskog lasera (kristal Al O legiran jonima Cr sa slijedećim karakteristikama: 7 4 Δ N = 5 cm, Δ =,7 Hz (pri K, τ = s, = 4,6 Hz, n =,779. Rješenje: Prema relacijama (.5 i (.58 koeficijent pojačanja je (izostaljamo indekse n i m i pretpostaljamo da je g = = g : n γ = σ Δ N = B g(, ΔN, ( gdje je Einsteino koeficijent B poezan sa spontanim remenom žiota τ = / A, formulom (.4b: 8 A= B, ( a za prirodno proširenu liniju, za centar linije je: (, g m =. ( Δ Dakle, na osnou (, ( i (, za = je: ΔN γ = Δ N = 8 k Δ Δ τ τ gdje je: k = n/ c modul alnog ektora prelamanja. Odatle je:, (4 7 5 γ = = 4 4,6, 779,7,9979 ω k = = =, = c/ n, n indeks cm, 56 cm. Dakle, intenzitet zračenja sa frekencijom koja odgoara centru (prirodno proširene linije prelaza, pojačaa se približno za 5% pri prolazu zračenja kroz jedan centimetar rubinskog štapića.