КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y = y ( t) q = q( t) z = z ( t) j = j( t) Konačne jednačine kretanja krutog tela 1
Konačne jednačine kretanja tačke krutog tela r r ( t) = r ( t) + r ( t) ( y q j ) a ( t) = a ( t), ( t), ( t) ij ij ( t) ( t) a a a y ( t) = y ( t) + a a a z ( t) z ( t) a a a 11 1 31 1 3 13 3 33 T h z 3 Brzina i ubrzanje e w r v = v + w r v a = a + e r + w ( w r) 4
1) Ugaona brzina i ugaono ubrzanje krutog tela ne zavisi od izbora referentne tačke ) Teorema o projekciji brzina v e = v e B v B B e v 5 Ravansko (ravno) kretanje Udžbenik poglavlje 4.8 6 3
Sve tačke tela se kreću u ravnima koji su paralelne jednoj ravni. One tačkе tele koje leže na istoj normali na pomenutu ravan imaju jednake vektore pomeranja, brzine i ubrzanja. nalzira se kretanja tela analiza kretanje krute ploče 7 ( t) = ( t) + cos j( t) h sin j( t) y ( t) = y ( t) + sin j( t) + h cos j( t) 8 4
Konačne jednačine kretanja krute ploče(n=3) = ( t) y = y ( t) j = j( t) Konačne jednačine kretanja tačke krute ploče ( t) ( t) T = + [ ( t) ] y ( t) y( t) h [ ] cosj sinj = sinj cosj matrica rotacije 9 BRZIN TČKE KRUTE LOČE r ( t) = r ( t) + r ( t) d dt r = w r d... dt r = w = wk v = v + w r = v + v 10 5
Šalova teorema Šalova teorema: svako konačno pomeranje krute ploče u ravni može da se prikaže kao obrtanje za konačni ugao oko jedne tačke u toj ravni. Ta tačka se zove centar konačne rotacije i njen položaj je odredjen polaznim i završnim položajem ploče 11 DS S = S 0 0 S = S 0 0 = DS 0 0 j Dr = tan k ( S0 + S 0 ) S 0 =centar konačne rotacije 1 6
j dj S 0 S elementarna rotacija trenutni centar rotacije omeranje tačke usled elemenatrnog obrtanja oko S dr = djk r r = S j dj S 0 S elementarna rotacija trenutni centar rotacije Trenutni centar rotacije S je granični položaj centra konačne rotacije kada ugao obrtanja postaje beskonačno mali. Brzina trenutnog centra rotacije je nula, pa se S naziva i trenutni centar brzina: 14 7
Određivanje položaja trenutnog centra brzina S v S = v + w r S = 0 w + w ( w r ) = 0 v S 0 w v + ( w r S ) w w r S = 0 w v y i + j rs = = r w w S = v w 15 Određivanje položaja trenutog centra brzina Karakteristični slučajevi: 16 8
Teorema o tri centra (ronhold Kenedijeva teorema) Za dve zglobno povezane ploče njihovi centri brzina i medjucentar nalaze se na istoj pravoj liniji S S w = S S 1 1 1 w1 17 Ubrzanje tačke krute ploče a = a + e r+ w ( w r) = = a + e r+ w ( w r) ( w w) r w r w r = 0 a = a + e r w r 18 9
a = a + e r w r = = a + a + a T N 19 Brzina i ubrzanje tačke ploče u koordinatnom obliku v = v i + v j = v l + v m y h 0 10
Koordinate brzine tačke u odnosu na prostorni (nepokretni) trijedar Diferenciranjem konačnih jednačina kretanja tačke: d v = = ( + cosj hsin j) dt d vy = y = ( y + sinj + h cos j) dt v = j( sinj + hcos j) Takođe važi: v y = y + j ( cosj hsin j) y v = v i v = v j 1 v = j( sinj + hcos j) v = y + j ( cosj hsin j) y Brzina tačke u prostornom (nepokretnom) trijedru v = v + w r v y sinj + h cosj j ξ y j η v cosj hsinj 11
v v h Brzina tačke u materijalnom (pokretnom) trijedru v = v + w r = v jh = v + j h v = cosj + y sinj v = sinj + y cosj h v h ξ η v h v j j v 3 Razlika izmedju koordinatnog prikaza brzine u prostornom i materijalnom trijedru U prostornom trijedru Koordinate brzine = mogu se dobiti kao izvod koordinate ili kao projekcije vektore brzine na pravce nepokretnih osa d v = ( + cosj hsin j) = v i dt d vy = ( y + sinj + h cos j) = v j dt U materijalnom trijedru Koordinate brzine = ne mogu se dobiti kao izvod neke koordinate već samo kao projekcije vektora brzine na materijalne ose ( kvazibrzine ) v = v l v = v m h 4 1
Trenutni centar ubrzanja Tačka čije je ubrzanje u posmatranom trenutku jednako nuli. a = a + e r w r = 0 C C C 4 ( a) w a + w e rc w rc = 0 ( b) e a + e ( e rc ) w e rc = 0 r C Sabiranjem ove dve jednačine w a + e a = 4 w + e w...( a) e \...( b) e ( e r ) = e ( e r ) ( e e) r C C C - Vektor položaja C u odnosu na 5 Trenutni centar ubrzanja r C = w a + e a 4 w + e e tga = w 6 13
v a U opštem slučaju trenutni centar brzina ubrzanja su različite tačke S C = 0 as 0 trenutni centar brzina = 0 v 0 trenutni centar ubrzanja C Nepokretan oslonac v = 0 a = 0 Trenutni centra brzina = trenutni centar ubrzanja 7 14