Univerzitet u Beogradu Građevinski fakutet Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcija STABILNOST KONSTRUKCIJA IV ČAS V. PROF. DR MARIJA NEFOVSKA DANILOVIĆ 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1
Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji obik matrice krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijane jednačine inearne teorije štapa. Ta matrica predstavja pribižno rešenje po Teoriji II reda. Dobija se iz varijacije potencijane energije štapa. 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA
Geometrijska matrica krutosti Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x) po inearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijane jednačine: v IV usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijane jednačine po Teoriji I reda: k v II 4 0 4 dv dx 0 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 3
Geometrijska matrica krutosti Poazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijane energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa. q 1, R 1 q 3, R 3 q, R q 4, R 4 x 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 4
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Rešenje homogenog dea diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda je u obiku kubnog poinoma: 4 dv 0 4 dx 1 vx ( ) 1 x x x A 3 4 3 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 5
4 3 1 3 1 0 ) ( x x dx dv x 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 6 Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja: Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda
4 3 4 4 3 3 1 3 1 1 3 ) ( ) ( (0) (0) q q v v q q v v k k i i 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 7 Integracione konstante i, i=1,,3,4 se određuju iz graničnih usova štapa: x q 1 q q 3 q 4
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda U matričnom obiku granični usovi gase: q1 v(0) 1 0 0 0 1 q (0) 0 1 0 0 3 q3 v() 1 3 q4 () 0 1 3 4 q C 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 8
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Odavde se dobija: 1 C q 1 0 0 0 1 0 1 0 0 q1 3 3 1 q 3 q3 4 1 1 q 4 3 3 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 9
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je: 1 vx ( ) A C q vx ( ) Nx ( ) q N( x) A C 1 (1,4) (1,4) (4,4) gde je matrica interpoacionih poinoma: N( x) N ( x) N ( x) N ( x) N ( x) 1 3 4 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 10
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Interpoacioni poinomi N i (x) su L Hermit ovi (Ermitovi) poinomi Ivrste: x x x x N ( x) 13 N ( x) x 3 3 x x x x N3( x) 3 N 3 4( x) 3 3 1 3 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 11
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Ermitovi poinomi N i (x) su kubni poinomi i predstavjaju eastične inije ubostrano ukještene grede po Teoriji I reda, used jediničnih generaisanih pomeranja q i = 1. 4 vx ( ) N( x) q i1 i i 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1
Rešenje diferencijane jednačine štapa po Teoriji I reda Ako je pomeranje tačke na osi štapa: vx ( ) Nx ( ) q (C) Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja: v( x) N( x) q v( x) N( x) q 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 13
Stav o stacionarnosti potencijane energije Usov za ravnotežu sia na deformisanoj konfiguraciji je kada potencijana energija ima minimanu vrednost: 0 A R s A energija deformacije R s rad spojašnjih sia 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 14
Energija deformacije štapa Na diferencijano maom eementu štapa pored energije deformacije used momenta savijanja M, javja se i deformacioni rad momenta nastaog used aksijane sie S, koji je jednak Sdx 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 15
Energija deformacije štapa 1 1 A Mdx S ( ) dx 0 0 1 1 A EI( v) dx S( v) dx 0 0 s T R q R 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 16
Potencijana energija štapa Potencijana energija štapa: =A R s 1 1 EI( v) dx S( v) dx q R 0 0 T Za eement sa konstantnim poprečnim presekom i konstantnom siom S: 1 1 T EIv vdx Sv vdx q R 0 0 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 17
Potencijana energija štapa Ako pomeranja unutar eementa izrazimo preko pomeranja čvorova, j na (C), dobija se: 1 T T q EI N Ndx q 0 1 T T T q S N N dx q q R 0 (D) 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 18
Iz stava o minimumu potencijane energije, iz j ne (D) se dobija: T q 0 EI N N dx q S N N dx q R 0 0 T K 0 K g q R 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 19
K o je matrica krutosti štapa po Teoriji I reda K g je geometrijska matrica krutosti štapa: K 0 0 K g S N N dx 0 T EI N N dx *znak je za pritisak, znak + je za zatezanje T 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 0
N 1 N EI N N 4 N N N N dx N 1 N K 0 (4,4) 1 3 4 0 3 K g S N 1 N N 3 N 4dx (4,4) N 0 3 N 4 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 1
Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijom interpoacionih funkcija je: K 1 6 1 6 EI 4 6 1 6 sim 4 0 3 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA
Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa 1 N K g S N 1 N N 3 N 4dx (4,4) N 0 3 N 4 Eement K jednak je: K gmn, N S N N dx gmn, m n 0 T 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 3
Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa T g,11 1 1 0 K S ( N ) N dx x x x x N ( x) 13 N( x) 6 6 3 1 3 1 3 3 4 x x 36 S x x x Kg,11 S6 6 dx dx 3 3 4 5 0 0 3 4 5 36S x x x 36S 1 1 1 36S Kg,11 3 4 5 0 3 4 5 3 5 30 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 4
Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa S K 30 36 3 36 3 4 3 36 3 sim 4 g Za pritisnuti štap je S<0 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 5
Geometrijska matrica krutosti zategnutog štapa Za zategnut štap je S>0 S K 30 36 3 36 3 4 3 36 3 sim 4 g 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 6
Matrica krutosti štapa Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda pribižno rešenje, je: K K K 0 g Ona predstavja aproksimativno rešenje, jer je dobijena iz funkcije pomeranja v(x) koja predstavja rešenje diferencijane jednačine savijanja po Teoriji I reda. Zavisi od intenziteta sie S i dužine štapa. 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 7
Matrica krutosti štapa U prethodnom deu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijano naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način. 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 8
Matrica krutosti štapa Osnovna jednačina štapa po inearizovanoj teoriji II reda, pribižno rešenje gasi: R = K 0 + K g q - Q gde je Q vektor ekvivaentnog opterećenja po in. teoriji II reda 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 9
Matrica krutosti štapa (aksijano naprezanje+savijanje) Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda K F / I 0 0 F / I 0 0 1 6 0 1 6 EI 4 0 6 F / I 0 0 sim 1 6 4 0 3 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 30
Geometrijska matrica krutosti štapa K g 0 0 0 0 0 0 36 3 0 36 3 S 4 0 3 30 0 0 0 sim 36 3 4 znak je za pritisak, znak + je za zatezanje 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 31
Geometrijska matrica krutosti prostog štapa R 4 R 3 =S S R 1 = S -R q 4 q 1 q q 3 S R S R q q 4 4 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 3
Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg) K 0 EF 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 - matrica krutosti K g S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 - geometrijska matrica (-S-pritisak, +S-zatezanje) 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 33
Osobine geometrijske matrice krutosti Zavisi samo od aksijane sie i dužine štapa, Zatezanjem štapa povećava se poprečna krutost, Povećanjem sie pritiska smanjuje se poprečna krutost štapa, tako da poprečno opterećenje maog intenziteta može izazvati gubitak stabinosti (izvijanje) štapa. Ima veiku primenu kod provere stabinosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti. 3. SABILNOST KONSTRUKCIJA 34