Microsoft Word - Drugi dio teorije iz matematike 2

rugi dio eorije i eie Одређени интеграли појам интегралне суме Дефиниција Криволинијски трапез представља фигуру ограничену осом O линијом с којом праве које су паралелне са осом O могу да се секу највише у једној тачки и правама и ; одсечак [ ] се назива основицом криволинијског трапеза Озанчимо са { } ] [ : i и { } ] [ : M Поделимо одсечак [ ] на делова који не морају бити једнаки тачкама 0 - таквим да је 0 < < < < - < ; ставимо да је 0 - и означимо са { } { } ] [ : ] [ : i 0 0 M { } { } ] [ : ] [ : i M { } { } ] [ : ] [ : i M Очигледно је да се површина датог криволинијског трапеза може приближно представити помоћу израза i i i S и i i i M M M M S Збир S је доња интегрална сума а S је горња интегрална сума

Тада важи: S S јер је i M i i ; S јер је S i i i i i 3 S M јер је S M i i M i i i Из претходног следи да је S S M ; M На сваком од одсечака [ 0 ] [ ] [ - ] изаберимо произвољне тачке ξ ξ ξ такве да је 0 ξ - ξ и израчунајмо ξ ξ ξ Саставимо интегралну суму за функцију на одсечку [ ] S ξ ξ i i ξ ξ i Пошто за произвољно ξ i [ i- i ] важи i ξ i M i и i > 0 i то је i i ξ i i M i i i па је i i i i ξ M тј S S S i i i i i Очигледно интегрална сума S зависи од начина поделе одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] и од избора ξ i [ i- i ] Нека је [ i- i ] највећи од одсечака [ i- i ] i Разматраћемо само оне поделе одсечка [ ] код којих одговарајуће вредности ξ i можемо саставити интегралну суму S [ i- i ] 0 тада важи За сваку такву поделу изабравши Дефиниција Ако за било какву поделу одсечка [ ] на одсечке [ i- i ] i у којој [ i- i ] i 0 и за произвољно изабране тачке ξ i на одсечцима [ i- i ] интегрална сума S тежи једној одређеној вредности S тада се та гранична вредност назива одређени интеграл функције на одсечку [ ] и означава d

По дефиницији li i 0 i ξ d тј * i i S ε > 0 δ ε > 0 : < δ S ξ < ε Функција је интегранд број је доња граница интеграла број је горња граница интеграла је интеграциона променљива одсечак [ ] је одсечак интеграције Дефиниција Ако постоји гранична вредност * за неку функцију тада се каже да је таква функција интеграбилна на одсечку [ ] у Римановом смислу или R интеграбилна Доња и горња интегрална сума S и S су само специјални случајеви интегралне суме S што значи да ако је интеграбилна обе имају исту граничну вредност S тј li 0 i S li 0 i i i S i d li 0 i S li 0 i M i i S i d Ако је > 0 онда одређени интеграл криволинијског трапеза са основицом [ ] За < 0 важи d P d P d изражава бројну вредност површине Дефиниција За дату функцију поделу одсечка [ ] π[ ] π[ 0 ξ ξ - ξ ] ћемо назвати одговарајућом броју ε ε произвољни мали позитиван број ако за сваки пар и тачака које припадају истом одсечку [ i- i ] важи неједнакост < ε Дефиниција Подела π [ ] π [ 0 ξ ξ p- ξ p p ] се назива потподелом поделе π[ ] π[ 0 ξ ξ - ξ ] ако свака од тачака 0 припада скупу тачака { 0 p } тј скуп { 0 p } се добија кад се скупу { 0 } додају неке деоне тачке; при томе су тачке ξ и ξ одабране произвољно 3

4 Очигледно ако подела π одговара броју ε онда истом броју ε одговара и свака потпедела π поделе π Дефиниција Број dπ { } назива се дијаметар поделе π Означимо интегралну суму функције која одговара подели π одсечка [ ] са S π : S ξ π Тада можемо и овако формулисати дефиницију: Дефиниција Реални број J се назива одређеним интегралом функције на одсечку [ ] ако за свако произвољно мало позитивно ε постоји такав довољно мали број δ > 0 да за сваку поделу π за коју је dπ < δ важи неједнакост π < ε S J Из ове дефиниције да ако J постоји тада за сваки низ подела π π π одсечка [ ] у коме dπ 0; важи да је li S J π Теорема Ако подела π одсечка [ ] одговара броју ε тада за сваку њену потподелу π важи неједнакост S S < ε π π Доказ Нека је π[ 0 ξ ξ - ξ ] и π [ 0 ξ ξ - ξ ] и ; тада S S ξ ξ ξ ξ π π < ε ξ ξ ξ ξ Теорема Ако две произвољне поделе π и π одсечка [ ] одговара броју ε тада је S S < ε π π Доказ Образујмо нову поделу π 3 одсечка [ ] која садржи све подеоне тачке подела π и π На основу претходне теореме 3 3 S S S S S S < ε π π π π π π

Теорема Ако је функција непрекидна на одсечку [ ] тада је она на том интервалу и R интеграбилна Доказ Функција која је непрекидна на одсечку је и равномерно непрекидна тако да је ε > 0 δ ε > 0 < δ < ε Посматрајмо низ подела π π таквих да dπ 0 докажимо да низ { S π } конвергира Ако је за поделу π са подинтервала ε за сваки пар тачака [ - ] { } онда π одговара броју ε да је Из услова равномерне непрекидности за дато ε > 0 нађимо одговарајуће δ > 0 а затим N 0 такво N0 d π < δ Очигледно је ε < ε N0 што значи да ε 0 кад Како на основу претходне теореме важи S Sπ < ε Кошијев па према томе конвергира Одатле следи да је непрекидна функција R интеграбилна π низ { } S π је Пример Диришлеова функција Q није R интеграбилна 0 R / Q 5

d 0 јер је криволинијски трапез одсечак 0 чија је површина 0 c d c d c cos Добија се на основу одговарајуће особине за интегралне суме 3 d d Ако је < дужине одсечка i i i- > 0 али кад се сумира од до тада је i- i i i- < 0 па је d li ξ d i i i i где i 0 4 [ ] d d d Ако i 0 кад онда d d li ξ i i li ξi i ξi i i i i li ξ i i d i g d Последица: [ g ] d d 5 Теорема Ако интегранд у интервалу [ ] не мења знак тада d има исти знак као и Доказ Ако је 0 [ ] тада су у интегралној суми S сви сабирци ненегативни па је због непрекидности функције и d 0 као гранична вредност непрекидне функције S Последица: d 0 само ако је непрекидна функција која не мења знак 0 6

6 Ако g за свако [ ] онда d g d Доказ g 0 па на основу последице особине 4 и претходне теореме следи [ g ] d 0 g d d 7 Оцена одређеног интеграла Ако је i и M где је интеграбилна функција на одсечку [ ] тада је Доказ Из M следи d M M d При томе d d d li i li i i M d M i и слично 7

8 Теорема о средњој вредности Ако је функција непрекидна на одсечку [ ] тада постоји тачка ξ < ξ < за коју је d ξ Доказ Ако је i и M [ ] тада на основу 7 следи d M тј µ d µ M Како је непрекидна на одсечку [ ] према Коши-Болцановој теореми узима све вредности између и M тј за неко ξ < ξ < важи ξ µ па d ξ тј d ξ 8

9 Теорема о подели интервала интеграције За произвољне три тачке c важи једнакост c d d d под претпоставком да сва три интеграла постоје c Доказ Нека је < c < Саставимо интегралну суму за функцију на [ ] тако да је c увек једна од подеоних тачака Тада важи i ξ i i ξi i i i c i i ξ Кад се пређе на граничну вредност кад i 0 добија се тражена једнакост за случај < c < Нека је < < c На основу већ доказаног c c d тј d d c c d d d Према 3 важи d овом случају добија c d d d Слично се тражена једнакост доказује за било који распоред тачака c c d па се и у 9

Нека је у одређеном интегралу d доња граница фиксирана а горња променљива; у том случају ће се мењати и вредност интеграла у зависности од горње границе Ако означичмо горњу границу са а независно променљиву са добићемо интеграл d који ће представљати функцију Φ горње границе Дефиниција Интеграл Φ d се назива неодређени интеграл функције ; неодређен се зове зато што му нису обе границе одређене фиксиране Уместо доње границе смо могли узети и неку другу константу α добили би смо неодређени интеграл F d α Тада за < < α како је α d C cos добијамо α d тј Φ F C d d што значи да се различити неодређени интеграли исте функције разликују само за адитивну константу Напомена Неодређени интеграл се може посматрати и као функције доње границе Ψ d јер је d d α Уобичајено је означавање неодређеног интеграла у облику d тј d d Φ C 0

Теорема Неодређени интеграл Φ d непрекидне функције задовољава релацију Φ односно d што значи да диференцирање неодређеног интеграла непрекидне функције даје опет ту исту функцију Доказ Према теореми о подели интервала интеграције Φ d d d па је прираштај Φ функције Φ једнак Φ Φ Φ d d d тј Φ d Применом теореме о средњој вредности интеграла одакле следи Φ ξ ξ ξ је између и Φ ξ ξ Φ Φ тј li li ξ 0 0

li 0 Како је ξ између и то када 0 ξ па је због непрекидности функције ξ li ξ ξ Према теореми важе једнакости d d што значи да је Φ d и d d d OATNO O PRIMITIVNIM FUNKCIJAMA Vljd e re: Дефиниција Примитивна првобитна функција дате функције назива се функција F за коју је Дакле неодређени интеграл F Φ d је примитивна функција интегранда Према томе због теореме о егзистенцији интеграла непрекидне функције важи следеће тврђење: Теорема Свака непрекидна функција има своју примитивну функцију чак има и бесконачно много својих примитивних функција које се једна од друге разликују за константу Доказ Нека је Φ примитивна функција функције тј Φ тада је и свака функција облика Φ C C cos такође примитивна функција функције јер је Φ C Φ Ако за неку функцију F важи F тада је F Φ F Φ 0 F Φ C F Φ C што значи да ако је Φ произвољна примитивна функција функције онда се било која друга примитивна функција од ње разликује за константу C тј F Φ C или d Φ C - Интеграција је операција инверзна диференцирању - Наћи неодређени интеграл функције значи наћи све њене примитивне функције - График примитивне функције је интегрална крива - Неодређени интеграл је скуп свих интегралних кривих које се добијају паралелним померањем једне од њих у правцу O осе - Важи следеће: d d d d d d C ' d C - На основу таблице извода основних елементарних функција може се саставити таблица интеграла основних елементарних функција

Теорема Њутн Лајбницова формула Вредност одређеног интеграла d једнака је разлици вредности произвољне примитивне функције F интегранда узета у горњој и доњој граници датог интеграла: d F F F Доказ Нека је F примитивн функциј интегранда Како је и d такође примитивна функција важи d F C за неку константу C и за свако Та једнакост важи и за тј d F C одакле 0 F C C F То значи да је d F F а за добија се Њутн Лајбницова формула d F F тј d F F 3

Теорема Нека је дат одређени интеграл d непрекидне функције на одсечку [ ] Ако се уведе нова променљива формулом ϕ и ако важе услови: ϕα ϕβ ϕ и ϕ су непрекидне функције на одсечку [α β] 3 сложена функција [ϕ] је непрекидна на одсечку [α β] тада је β d [ ] d ϕ ϕ Доказ Aкo је F примитивн функциј интегранда тада важе једнакости одакле следи тврђење јер је α d F C и [ ] ϕ d F[ ϕ ] C α ϕ d F F F β α [ ϕ ] ϕ d F[ ϕ ] α β F[ ϕ β ] F[ ϕα] F F Ако се при одређивању интеграла d Метода смене??ovo je ilo rdvojeo od gorjeg не може лако наћи примитивна функција а знамо да постоји може се применити метода смене ϕ где ϕ мора бити непрекидна и диференцијабилна функција за коју је ϕ 0 и која има своју инверзну функцију У том случају ће бити dϕ d па d [ ] ϕ d Доказ Тада је извод леве стране: d ϕ Извод десне стране: због ϕ d d ϕ је d d [ ϕ ] ϕ d [ ϕ ] ϕ d [ ϕ ] ϕ [ ϕ ] d d ϕ Напомена: Смена се може увести у облику ψ тада је d ψ d 4

Уопштени несвојствени интеграл Можемо уопштити појам обичног интеграла непрекидне функције на функцију која на коначном одсечку има коначно много тачака прекида прве врсте тзв део по део непрекидна функција У том случају интеграл такве функције је збир интеграла над подинтервалима на којима је функција непрекидна: c d d d d d c d Међутим ако је интервал интеграције неограничен или на одсечку коначне дужине има тачака у чијој околини функција неограничено расте тада је реч о уопштеном несвојственом интегралу Уопштени интеграл са бесконачним интервалом интеграције Нека је функција дефинисана и непрекидна за сваку вредност аргумента < Тада је d дефинисан за свако > Ако се горња граница мења овај интеграл је непрекидна функција од Дефиниција Ако постоји коначна гранична вредност li d тада се она назива уопштеним или несвојственим интегралом функције на интервалу и означава са d li d У том случају кажемо да интеграл постоји или конвергира Ако интеграл нема коначну граничну вредност кад тада се каже да не постоји или да дивергира 5

Напомена Аналогно се могу дефинисати уопштени интеграли d li d и d d d Теорема Ако за свако 0 g и ако d и при томе је c g d d g d Теорема Ако за свако 0 g и ако Теорема 3 Ако конвергира тада ће конвергирати и d дивергира дивергираће и g d d конвергира конвергираће и d c 6

Дефиниција Ако је функција непрекидна на интервалу < а кад < и ако ε li d постоји коначна гранична вредност ε > 0 тада се та гранична вредност назива ε 0 уопштени несвојствени интеграл функције на одсечку [ ] и означава са ε 0 ε d li d Тада кажемо да уопштени интеграл постоји тј конвергира У супротном ако интеграл нема коначну граничну вредност он не постоји односно дивергира На сличан начин ако је функција непрекидна на интервалу < и ако постоји коначна гранична вредност li ε 0 ε d тада је d li ε 0 ε d d Интеграл: li d > 0 d li За > li d d па је у овом случају li За 0 < < li d d па је интеграл Ако је li li l li l Интеграл: 0 d > 0 d d d За 0 < < li li ε ε 0 ε 0 0 Може се закључити да за интеграл ε 0 d дивергира тј дивергира па d дивергира интеграл конвергира 7

Метода парцијалне интеграције Нека су u и v диференцијабилне функције тада је duv u dv v du тј u dv duv v du Интеграцијом леве и десне стране последњег израза добија се формула парцијалне интеграције udv d uv vdu udv uv vdu 8

OATNO: TABLICA I SVOJSTVA NEOREJENIH INTEGRALA MISLIM A NE TREBA Основна таблица интеграла - Извод функције добијене од основних елементарних функције у коначном облику је такође функција у коначном облику добијена од основних елементарних функција - Одређени интеграл за непрекидну функцију на коначном одсечку постоји - За неодређени интеграл елементарне функције у општем случају се не може добити елементарна функције у коначном облику За случајеве када може неодређени интеграли се налазе рачунају помоћу табличних вредности добијених на основу таблице извода и методом смене и парцијалне интеграције - Приближна вредност са потребном тачношћу за одређене интеграле елементарних функција се увек може израчунати ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛА d d C ; l C 0 ; d C ; l 4 e d e C; si d cos ; 6 cos d si C; 3 5 C 7 d cosh C sih ; 8 cosh d sih C; d d 9 g C cos ; 0 cg C si ; d rcg C d rcsi C ; rccg C ; rccos C d 3 rsih C l C; d 4 rcosh C l C > ; ± d rgh C l C < ; 5 rcgh C l C > На основу основне таблице изводе се интеграли који се појављују у проширеним таблицама интеграла Напр si d dcos g d l cos C cos cos 9

d d C d rcg Примери елементарних функција чији интеграли се не могу изразити у коначном облику помоћу елементарних функција: e d d e d; ; 3 l si cos 4 d d 5 si d cos d Френелови интеграли интегрални синус и косинус; Нека својства неодређеног интеграла интегрални логаритам; Теорема Неодређени интеграл алгебарског збира коначно много непрекидних функција једнак је алгебарском збиру њихових интеграла [ ] d d d d Доказ Нека су F F F примитивнe функцијe функција тада је како је [F F F ] тј [ ] d F F F C d d d F F F C C C са C C C C добија се тражена једнакост Теорема c d c d c cos Доказ Aкo је F примитивн функциј функцијe тада F па је значи да је [c F] c што d F C c d cf C где су C и C произвољне константе узевши C cc из претходних једнакости [ F C] c c d c d 0

Теорема 3 Свака интеграциона формула не мења свој облик ако се у њој независно променљива замени неком диференцијабилном функцијом тј ако је d F C тада је и u du F u C где је u g произвољна диференцијабилна функција Доказ Какo је d F C то је F Посматрајмо функцију Fu F[g] Због инваријантности првог диференцијала сложене функције имамо да је dfu F u du u du u du df u F u C

Интеграција рационалних функција Сваку рационалну функцију можемо представити као количник два полинома Q P 0 0 Ако је степен бројиоца мањи од степена имениоца разломак је прави правилан а ако степен бројиоца није мањи од степена имениоца неправилан Када разломак није прави може се написати у облику Q P M N P где је функција N P прави разломак а M неки полином Размотримо интеграцију правих рационалних Основна теорема алгебре Свака алгебарска једначина -тог степена 0 где су коефицијенти i i реални бројеви има корена реалних или комплексних Последица Сваки полином -тог степена може се представити у облику производа α α α где су α α α корени решења једначине 0 Ако међу коренима има једнаких α α α α -тоструки корен тада се одговарајућих множилаца замењује са α а сваки пар коњуговано комплексних корена α c id и α c-id се може заменити са p q α α На основу претходног се може доказати да важи

Теорема Постоје такви бројеви A i B j C j i j r да важи идентитет разломци Q P A A α α A α α A Br Cr B C B C r p q p q p q су тзв прости разломци прве врсте а разломци B C r p q r r су прости разломци друге врсте При томе сваком -тоструком реалном корену полинома P одговара збир од простих разломака прве врсте A α α α A α A α корена одговара r простих разломака друге врсте а сваком r-тоструком пару конјуговано комплексних B r C r p q r B C p q B C p q Дефиниција Прави правилни разломци облика: I II A A N A B p III q < 0 тј корени имениоца су конјуговано комплексни p q 4 IV A B p q p 4 q < 0 N тј корени имениоца су конјуговано комплексни називају се простим разломцима I II III и IV типа Интеграцијом простих разломака I II III и IV типа добија се следеће: 3

A I d Al C II A A d A d A C C III A p B p q Ap d d A B p q A p Ap d B p q A l p q B 4q Ap p rcg p 4q d q p p C p 4 IV A B A p B d d p q p q Ap A p Ap d B J B d p q p q A Ap J Ако се уведе смена p q p d d имамо да је J p d d d C C p q p q Ако се у интегралу J уведе смена претпоставци q p > 0 онда је 4 p d d и означи p по q 4 4

5 d p q p d q p d J 4 d d d применом парцијалне интеграције J - d d d d па је J - 3 J J J J Слично би смо изразили J - преко J - итд На крају би смо добили C d J rcg Враћањем смене за и добија се интеграл IV типа изражен преко променљиве и датих бројева A B p q Закључујемо да се интеграли простих разломака изражавају помоћу елементарних функција па према томе то важи и за произвољну рационалну функцију При томе је треба прво разложити на просте разломке Коефицијенти у изразу за разлагање на просте разломке из горње теореме се могу добити тзв методом неодређених коефицијената: Израз из теореме представља идентитет тј важи за свако за које је израз дефинисан што значи да ако се разломци у њему доведу на заједнички иминилац добијају се идентични полиноми у бројиоцима разломака на левој и десној страни израза Изједначавањем коефицијената који се налазе уз исте степене променљиве добија се систем једначина из кога се одређују коефицијенти израза

Интеграција неких класа тригонометријских функција Претпоставимо да је дат израз који представља рационалну функцију аргумената који су тригонометријске функције Такав израз ћемо означавати са R si cos јер се све тригонометријске функције рационално изражавају преко функција si cos Важи следећа теорема: Теорема Интеграл R si cos трансформише се у интеграл рационалне функције сменом g Доказ Коришћењем тригонометријских формула si cos јер је g cos g cos si si g si cos si g cos cos cos тј g cos si тј cos g g rcg важи d d Rsi cos d R d Због Дакле функција од интегранд је рационална Интеграли специјални случајеви функција R si cos се могу једноставније решити другим сменама: Интеграл облика R cos d d која дати интеграл своди на R d si се најједноставније решава сменом si cos d Слично интеграл R si d чиме се своди на R d cos се може решавати сменом cos si d d 6

3 За интеграл облика R d d R g погодна је смена g d d којом се своди на 4 Смена g се користи и у случајевима кад се функције si и cos појављују са парним степенима у интегранду R si cos 5 Напомена Интеграл IV типа се своди на описани начин решавати и сменом J J d који се може осим на већ d g d Тада је d d d g cos cos d d Последњи интеграл се може поједноставити снижавањем степена помоћу cos cos 7

Интеграција ирационалних функција облика R и R α β α β своди се респективно сменама функција α β и на интеграле рационалних α β r s Нека је у интегралу R d најмањи заједнички именилац разломака / r/s тада се сменом интегранд трансформише у рационалну функцију OATNO NE TREBA VALJA: A B Интеграли облика d c A A B A B d d c c израчунавају се помоћу следећих трансформација: A J B A J При чему се интеграл J решава сменом c d d : d c d C c C а трансформација интеграла J даје таблични интеграл: J d c d ± d > < 0 0 8

Интеграција ирационалних функција типа R c Издвајањем потпуног квадрата у поткореном изразу интеграл се своди на један од интеграла Увођењем смене si c R d добија се R d R d 3 R d R d Rsi cos cos d cos cos Смена даје si R d R d si si si 3 Применом смене g si R d R d cos cos cos Интеграли добијени овим сменама се могу свести на интеграле рационалних функција Полазни интеграли су могли и директно да се сведу на рационалне функције следећим сменама: si si 3 g 9

OATNO: Неке примене интегралног рачуна VALJA NE TREBA Израчунавање површине равних фигура квадратура Према дефиницији одређеног интеграла ако је 0 [ ] тада површина криволинијског трапеза ограниченог кривом осом O и паралелним правим и P d Ако је 0 [ ] онда је и d 0 а по својој апсолутној вредности је једнак површини одговарајућег криволинијског трапеза Када коначан број пута мења знак на задатом одсечку [ ] тада се d разлаже на збир интеграла дате функције над одсечцима у којима је сталног знака Добија се да је интеграл на целом одсечку [ ] функције са променљивим знаком разлика одговарајућих површина које леже изнад и испод O осе Да би се добила цела површина треба израчунати збир апсолутних вредности интеграла над поменутим одсечцима тако да је P d Ако треба да се израчуна површина између кривих и правих тада ако је онда је P d d [ ] d Ако је крива дата у параметарском облику ϕ ψ α β ϕα ϕ β тада површина датог криволинијског трапеза представља вредност одређеног интеграла β P ψ ϕ d α ϕ ϕ ϕ ψ јер је d d [ ] 30

Израчунавање дужине лука криве ректификација За део s лука криве између тачака M и M важи s d d где је дужина одсечка MM Ако је непрекидно диференцијабилна функција онда се може показати уз претпоставку да је >0 да је s d ε јер је за диференцијабилне функције d o Преласком на граничне вредности добија се li 0 li 0 s li 0 d o ε значи ds d d d d тј ds d d Према томе ако се формирају одговарајуће интегралне суме добија се да је дужина лука криве над одсечком [ ] једнака вредности одређеног интеграла s d Слично дужина лука криве над одсечком [ ] променљиве дужине је 3

s d Ако је једначина криве дата у параметарском облику ϕ ψ тада се дужина лука дате криве рачуна помоћу интеграла β ψ s ϕ d ϕ α β s d ϕ ψ α α β тј 3

3 Израчунавање запремине тела кубатура Ако је Ω неко тродимензионо тело за које нам је позната површина сваког пресека са равнима ортогоналним на осу O тада ће та површина зависити од положаја пресечне равни тј од P P Ако поставимо равни 0 где је 0 < < < < тада смо тело Ω разложили на слојеве који представљају тзв елементарне цилиндре чија је запремина V ξ P ξ где је површина попречног пресека Pξ основа цилиндра а његова висина Запремина свих ових цилиндара ће бити V i Pξ а гранична вредност интегралне суме кад тј кад 0 уколико постоји представља запремину датог тела Ω V li P 0 i ξ P d Запремина ратационог тела Ако је Ω тело образовано ротацијом око осе O криволинијског трапеза ограниченог кривом осом O и правама онда је попречни пресек круг чија је површина P [ ] π π па ће његова запремина бити V π [ ] d π d 33

34 4 Израчунавање површине ротационе површи компланација Нека је дата површ образована ротацијом криве око осе O и нека је непрекидна и диференцијална функција у свим тачкама одсечка [ ] Свака тетива лука s при ротацији образује конусну површ чија је површина s P π где је s Према Лагранжевој теореми ξ ξ па је s ξ P ξ π а укупна површина ротационе површи израчуната на овај начин је P ξ π Преласком на граничну вредност добија се P 0 li ξ ξ π тј d P π

ДЕФИНИЦИЈА ДВОЈНОГ ИНТЕГРАЛА Интеграли функција двеју и више променљивих Нека је просто повезана затворена област у равни O и нека је функција дефинисана и непрекидна у области при чему је се S означена површ задата функцијом Поделимо на произвољан начин област на елементарне подобласти σ σ σ и у свакој од ових подобласти уочимо по једну тачку P P P и одговарајућу вредност функције P P P Сума V σ P назива се -том интегралном сумом за функцију у области која одговара датој подели σ Ако је 0 тада величина V P σ представља запремину призматичног стубића са основом σ и висином P тако да у том случају интегрална сума V представља суму запремина вертикалних призматичних стубића чије основе σ прекривају област При томе и σ немају заједничких тачака Дефиниција Нека је непрекидна функција у затвореној просто повезаној области и нека је на произвољан начин подељена на елементарне области σ σ σ Ако постоји гранична вредност интегралне суме V када највећи пречник елементарних области тежи ка нули ознака d σ тада се та гранична вредност назива двојним интегралом функције на области и означава σ li d σ 0 P σ P dσ 35

Постојање граничне вредности за непрекидне функције гарантује следећа теорема: Теорема За -ту интегралну суму V која одговара коначној области и непрекидној функцији постоји гранична вредност кад највећи пречник елементарних области σ тежи ка нули тј Та гранична вредност не зависи од од начина поделе области на елементарне области ни од избора тачака P Ако је 0 тада двојни интеграл геометријски представља запремину вертикалног цилиндричног тела чија је доња основа а горња S V dσ Кад је 0 тада је двојни интеграл негативан и једнак V јер одговарајуће тело лежи испод равни O 36

Нека је W просто повезана затворена област подељена на елементарне подобласти w w w а P P W непрекидна функција у области W Тада суму J P w где је P w произвољно изабрана тачка називамо -том интегралном сумом Ако постоји гранична вредност те суме кад највећи дијаметар подобласти w тежи нули dw 0 тј тада је та гранична вредност: једнодимензиони интеграл дводимензиони интеграл 3 тродимензиони интеграл J P dw W W када је W линија J P dw W J P dw 4 -димензиони интеграл када је W површ када је W тело J P dw W када је W просто повезана затворена -димензиона област Посебно ако је W одсечак осе имамо обичан одређени интеграл ако је W област у координатној равни имамо двојни интеграл а ако је W тело имамо тзв тројни интеграл који ћемо означавати са Ω J P dω Дефиниција Нека је непрекидна функција у затвореној просто повезаној области Ω која је на произвољан начин подељена на елементарне области ω Изаберимо произвољне тачке P ω и означимо одговарајуће вредности дате функције са P Ако постоји гранична вредност суме P ω када највећи пречник елементарних области ω такође тежи нули тј тада се та гранична вредност назива тројни интеграл функције по области Ω и означава се li d ω 0 P ω Ω P dω 37

OATNO MOGUCE A TREBA U OKVIRU PREHONA VA PITANJA: ОСНОВНА СВОЈСТВА ДВОЈНОГ И ТРОЈНОГ ИНТЕГРАЛА Ако су функције односно непрекидне у затвореној просто повезаној области тј у тродимензионој области Ω тада је [ P P ] dσ P dσ P dσ [ P P ] dω P dω P dω Ω Ω Ω где је i P i односно i P i i Ако је функција P непрекидна у области тј Ω тада је Ω c P dσ c P dσ c cos c P dω c P dσω c cos 3 Ако непрекидна функција P у области односно Ω не мења знак тада је P dω истог знака као и P Ω Доказ: Нека је P 0 Тада је P 0 непрекидна и граничне вредности ових сума су ненегативни Ω P dσ односно σ односно ω 0 Како је функција P 4 Ако је односно Ω Ω Ω где подобласти и односно Ω и Ω немају заједночких тачака тада је Ω P dσ P dσ Ω Ω P dσ P dω P dω P dω тј P Последица: Ако је U i i σ P d тада је P d σ i i односно ако је U Ω Ωi тада је P dω P dω i Ω i Ω i где подобласти i односно Ω i немају заједничких тачака 38

5 Теорема о процени вредности двојног интеграла Ако су и M најмања односно највећа вредност функције P у области а S површина области тада је Доказ σ S P d MS P M M P dσ 0 P dσ M dσ MS P P d 0 P dσ dσ S одатле следи S P d MS M σ σ Теорема о процени вредности тројног интеграла Ако је i P и P Ω P а VΩ запремина тродимензионе области тада је P Ω ϕ Ω Последица Ако је P P P V Ω P dω MV Ω ψ P тј P Ω Ω ϕ P dσ P dσ ψ P dσ Ω Ω тада је ϕ P dω P dω ψ P dω 6 Теорема о средњој вредности двојног интеграла Ако је P непрекидна функција у затвореној области равни O тада постоји унутрашња тачка P P ξ η области таква да је P dσ P S ξ η dσ Доказ Према претходној теореми P d S σ M а како је P непрекидна функција на основу Коши-Болцанове теореме следи да постоји унутрашња тачка P таква да је 39

S P dσ P * тако да је P ξ η где је P P dσ P* S ξ η S Теорема о средњој вредности тројног интеграла Ако је P непрекидна функција у затвореној тродимензионој области Ω тада постоји унутрашња тачка P области Ω таква да је Ω P dω P V Ω ξ η ζ dω Ω P ξ η ζ 40

ИЗРАЧУНАВАЊЕ ДВОЈНОГ ИНТЕГРАЛА ПО ПРАВОУГАОНОЈ ОБЛАСТИ Нека је област правоугаоник { : c d} покривен правоугаоном праволинијском мрежом cos тако да је површина елемента те области σ одакле је при преласку на граничну вредност dσ dd Како двојни интеграл геометријски представља запремину цилиндричног тела чије су основе област у равни O и површ интеграција се састоји у томе да тачка P прође кроз све тачке области То се може урадити тако да се привремено сматра да је cos тако да интегранд зависи само од па је d c d F површина криволинијског трапеза P P M M при чему је параметар а P пролази кроз све тачке одсечка P P Ако пустимо да одсечак P P пролази транслаторно кроз све тачке области криволинијски трапез ће проћи кроз све тачке посматраног цилиндричног тела па 4

V F d d V d d дакле тј c d d где је на десној страни израза тзв двоструки интеграл dd d c односно на два обична интеграла функције једне променљиве У интегралу по правоугаоној области може се изменити поредак интеграције фиксирањем променљиве при чему границе интеграције остају неизмењене: OATNO MISLIM NE TREBA: d d d d d d c ИЗРАЧУНАВАЊЕ ДВОЈНОГ ИНТЕГРАЛА ПО ПРОИЗВОЉНОЈ ОБЛАСТИ Свака ограничена просто повезана област у равни O се може сместити у правоугаоник : c d { } Нека је област таква да праве cos и cos орјентисане као O односно O оса секу њену границу C највише у по двема тачкама Тачка P у којој права улази у област зове се улазна тачка а друга тачка P је излазна Скуп свих улазних тачака је доњи односно леви лук границе C а скуп свих изланих тачака је горњи односно десни лук границе C c Преко ових лукова се област може задати на два начина { : ϕ ϕ } A : ; { : c d} ψ ψ B : Тачка P може проћи кроз све тачке области тако што ће најпре проћи кроз тачке тетиве P P а затим тетива која има крајеве на граници C кроз све тачке области крећући се паралелно са осом O односно O 4

Ако двојни интеграл dd рачунамо слично као и код правоугаоне области прво фиксирањем cos тада у интегралу имамо само променљиву која се мења у границама од ϕ до ϕ па је тада површина трапеза P P M M једнака ϕ ϕ d F а dd F d Ако фиксирамо cos тада се мења у границама од ψ површина криволинијског трапеза P P M M једнака до ψ па је ψ ψ d F и тада је dd F d d c Према томе dd d d ϕ ϕ d d c ψ ψ d 43

ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ДВОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ Ако уместо Декартових координата уведемо нове променљиве u v које су са и везане датим релацијама u v u v где су u v и u v непрекидне и диференцијалне функције у некој области * променљивих u и v тада дату област у равни покривамо криволинијском мрежом која не мора бити ортогонална а кроз сваку тачку области пролази само по једна линија од сваке породице кривих u cos v cos при чему се допушта коначно много иузетака Диференцирањем горњих једнакости добија се d d udu vdv d u v du тј udu vdv d u v dv У квадратној матрици су функције од u и v а одговара јој функционална детерминанта која се зове Јакобијан J u v u u v v При томе J је коефицијент деформације при пресликавању u v у * Дакле dd J dudv где се пресликава па је уз претпоставку да је J 0 dd * u v u v J dudv 44

ТРАНСФОРМАЦИЈА ДЕКАРТОВИХ У ПОЛАРНЕ КООРДИНАТЕ У поларном координатном систему положај сваке тачке M у равни једнозначно је одређен растојањем ρ OM од тачке O почетне тачке координатне полуосе OL у тој равни и орјентисаним углом ϕ OL OM При томе ρ [0 ϕ [0 π] Координатну раван покрива мрежа координатних линија: ρ cos концентрични кругови са центром O и ϕ cos полуправе са заједничким почетком O Свака тачка изузев O налази се у пресеку једног круга са центром у тачки O и једне полуправе са почетком у тачки O У двојном интегралу dd Декартове координате тачке P замењујемо поларним ρ ϕ помоћу следећих веза ρ cosϕ ρ siϕ Одатле добијамо да је па је d cosϕ dρ ρ siϕ dϕ d siϕ dρ ρ cosϕ dϕ d cosϕ ρ siϕ dρ d siϕ ρ cosϕ dϕ тј J cosϕ siϕ ρ siϕ ρ cosϕ ρ cos ϕ si ϕ ρ а елемент површине је d σ dd ρ dρ dϕ На основу тога је dd ρ cosϕ ρ siϕ ρ dρ dϕ * * * ρ ϕ ρ dρ dϕ 45

O TROJNOM INTEGRLU NEMA PITANJE: ИЗРАЧУНАВАЊЕ ТРОЈНОГ ИНТЕГРАЛА Тродимензиону простоповезану област Ω у простору O делимо на елементарне области низом равни паралелних координатним равнима тако да им је запремина ω а при преласку на граничну вредност dω ddd Претпоставимо да је Ω затворена тродимензиона област чију границу S праве паралелне координатним осама секу највише у двема тачкама Процес интеграције се састоји у томе да тачка M прође кроз све тачке области Ω Прво ћемо око области Ω описати цилиндрични омотач са генератрисама ортогоналним на једну координатну раван на пр O Он исеца у тој равни област чија је контура L пројекција додирне криве L цилиндричног омотача и тела Ω Крива L дели површ S на доњи и горњи део на којима је променљива једнозначна непрекидна функција независних променљивих и : тј Ω { : } Ако прво сматрамо да су и константне најпре се врши интеграција функције дуж одсечка M M променљиве дужине чији се грајеви налазе на доњем односно горњем делу површи S Тако се добија F d Кад тачка P 0 пројекција тачке M прође кроз све тачке области одсечак M M ће проћи кроз све тачке тела Ω Зато је ddd F dd Ω Ако је { : ϕ ϕ } dd онда је d 46

47 Ω d d d ddd ϕ ϕ где је на десној страни тзв троструки интеграл НАПОМЕНА: Постоји 6 могућих поредака интеграције тројног интеграла Промена поретка повлачи промену граница интеграције осим ако је Ω паралелопипед са странама паралелним координатним равнима { } q p d c Ω : када су границе интеграције за сва три аргумента константе Ω d c q p d d d ddd

ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ТРОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ Ако уместо Декартових координата уведемо нове променљиве uvw преко релација u v w u v w u v w где су u v w u v w u v w непрекидне и диференцијалне функције по u v w у области Ω {u v w} тада је d d d d d d u u u du du du u u u dv v v v dv dv v v v w w w w w w dw dw dw du dv dw тј Квадратна матрица је матрица трансформације променљивих а њена детерминанта је функционална и зове се Јакобијан J u v w u u u v v v w w w Коефицијент деформације тродимензионе области је J па је dω ddd J dudvdw а уз претпоставку да је J 0 Ω ddd Ω * * u v w J dudvdw * где је u v w [ u v w u v w u v w ] ТРОЈНИ ИНТЕГРАЛ У ЦИЛИНДАРСКИМ КООРДИНАТАМА Нека је дата раван α и у њој тачка O и полуоса OL Положај произвољне тачке M у тродимензионом простору чија је пројекција на дату раван тачка P је једнозначно одређен растојањем ρ OP углом ϕ OL OP и одсечком PM При томе је 0 ρ 0 ϕ π < < Ово су цилиндарске координате тачке M Кроз сваку тачку простора осим координатног почетка пролазе по три координатне површи: ρ cos кружни цилиндри са изводницом нормалном на дату 48

раван α ϕ cos полуравни нормалне на дату раван α које садрже полуправу са почетком у тачки O cos равни паралелне датој равни α Поставимо Декартов координатни систем O тако да се раван O поклапа са равни α а O са полуосом OL Тада је ρ cosϕ ρ siϕ односно ρ rcg ϕ Ако у тројном интегралу заменимо Декартове координате цилиндарским онда је d cosϕ ρ siϕ 0 dρ d siϕ ρ cosϕ 0 dϕ d 0 0 d cosϕ ρ siϕ 0 siϕ ρ cosϕ 0 ρ ρ ϕ 0 0 одакле Из тога следи dω ddd ρ dρ dϕ d а за тројни интеграл се добија Ω ddd cosϕ ρ siϕ ρ dρ dϕ d Ω * ρ При томе иста област изражена преко променљивих је означена са Ω а изражена преко ρ ϕ са Ω * 49

ОПШТИ СЛУЧАЈ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ПРОМЕНЉИВИХ У ТРОЈНОМ ИНТЕГРАЛУ PONOVLJENO: Ако уместо Декартових координата уведемо нове променљиве uvw преко релација u v w u v w u v w где су u v w u v w u v w непрекидне и диференцијалне функције по u v w у области Ω {u v w} тада је d d d d d d u u u du du du u u u dv v v v dv dv v v v w w w w w w dw dw dw du dv dw тј Квадратна матрица је матрица трансформације променљивих а њена детерминанта је функционална и зове се Јакобијан J u v w u u u v v v w w w Коефицијент деформације тродимензионе области је J па је dω ddd J dudvdw а уз претпоставку да је J 0 Ω ddd Ω * * u v w J dudvdw * где је u v w [ u v w u v w u v w ] ТРОЈНИ ИНТЕГРАЛ У СФЕРНИМ КООРДИНАТАМА Нека је дата раван α и у њој тачка O и полуоса OL Положај произвољне тачке M у тродимензионом простору чија је пројекција на дату раван тачка P је једнозначно одређен растојањем ρ OM углом ϕ OL OP и углом θ OP OM при чему је 0 ρ 0 ϕ π π/ θ π/ Кроз сваку тачку M O пролазе по три координатне површи: ρ cos концентричне сфере са центром у O ϕ cos полуравни кроз тачку O нормалне на дату раван α θ cos конуси с теменом O 50

То су сферне координате тачке M које су са Декартовим повезане релацијама ρ cosθ cosϕ ρ cosθ siϕ ρ siθ тј ρ rcg ϕ rcsi θ Елемент запремине dω се добија на основу ових веза тако да је d d d cosθ cosϕ cosθ siϕ siθ ρ cosθ siϕ ρ cosθ cosϕ 0 ρ siθ cosϕ dρ ρ siθ siϕ dϕ ρ cosθ dθ тј а ρ ϕ θ cosθ cosϕ cosθ siϕ ρ cosθ siϕ ρ cosθ cosϕ ρ siθ cosϕ dω ddd ρ cosθ dρ dϕ dθ ρ siθ siϕ ρ siθ 0 ρ cosθ cosθ Одавде се при трансформацији Декартових координата у сферне код тројног интеграла добија Ω ddd * ρ ϕ θ ρ cosθ dρ dϕ dθ Ω * где је * ρ ϕ θ ρ cosθ cosϕ ρ cosθ si ϕ ρ siθ а Ω и Ω * су ознаке за област интеграције изражену преко координата односно ρ ϕ θ 5

Неке примене двојног и тројног интеграла Запремина цилиндричног тела којем је једна основа у равни O а друга основа површ при чему не мења знак у области а генератрисе омотача су паралелне оси O дата је двојним интегралом V dσ где је dσ елемент површине области интеграције Површина области интеграције је S dσ 3 Запремина тела Ω се изражава тројним интегралом V Ω dw где је dw елемент Ω запремине тела Ω 4 Ако се области и Ω састоје од материјалних тачака и ако је у тим областима дефинисана густина δ односно δ као непрекидна функција координата тачке тада је маса области M δ dδ а маса области Ω Ω M Ω δ dw 5 Површина ограниченог дела површи Нека је површ S дата једнозначном функцијом тј праве паралелне оси O је секу највише у по једној тачки која је диференцијабилна у области што значи да су њени парцијални изводи непрекидни у области p и q Одабраном мрежом поделимо област на елементарне области σ Тиме ће површ S бити подељена на елементарне делове σ * Сума J σ * представља површину S површи S 5

При рачунању те површине полазимо од тога да се мали елемент σ * произвољно мало разликује од одговарајућег елемента тангентне равни у једној од својих тачака M 0 Тангентна раван у тачки M 0 0 0 0 површи S је p q p 0 q 0 0 0 0 0 0 Нормални вектор те површи у тачки M 0 је { p q } а одговарајући јединични вектор 0 or { p } p q q тако да за угао γ нормале према оси O важи cos γ p q Како је елемент σ у равни O пројекције елемента σ * да би смо нашли однос њихових површина посматраћемо два троугла ABC и A BC са заједничком страницом BC таква да је A BC пројекција троугла ABC на хоризонталну раван Нека је P * површина троугла ABC а P површина троугла A BC Како је 53

P P * * h и P h h cosγ P cosγ На основу тога је површина елемента области S: то је σ * σ cosγ p q σ а интегрална сума J p q σ Одатле је тражена површина S li d σ 0 p q σ тј S p q dd p q 54

Бројни редови Дефиниција Израз облика 3 или редом; 3 су чланови бесконачног реда; је општи члан тог реда називамо бесконачним бројним Дефиниција Низом делимичних сума реда назива се низ {s } чији је општи члан 3 ; s је делимична парцијална сума тог реда s Дефиниција Бесконачни ред назива се конвергентним дивергентним ако конвергира дивергира низ његових делимичних сума {s } Сума конвергентног реда је број s li s li Ако је ред конвергентан и има суму s тада се пише s Пример Код реда који представља геометријску прогресију q q q -та парцијална сума је s q q q q q Ако је q < тада 0 q кад па је што значи да ред конвергира и има суму Када је q > тада q li s li q q q s q q кад а 55

q li s li ред дивергира q 3 За q ред гласи тј делимичне суме су s 0 N N Како низ делимичних сума има две тачке нагомилавања он дивергира као и ред 4 Ако је q ред има облик а s што значи да је тј ред дивергира Теорема Ако је ред конвергентан тада његов општи члан 0 > 0 s кад Доказ Ако ред конвергира конвергира и његов низ делимичних сума li li s s s s 0 Пример Ред је дивергентан јер му општи члан тежи ка li s s < 0 па је Пример Хармонијски ред 3 0 Доказ у уџбенику дивергира мада његов општи члан ОПЕРАЦИЈЕ СА РЕДОВИМА Теорема Ако је ред 0 R и им а суму c s конвергентан и има суму s тада је конвергентан и ред 0 c c Теорема Ако су редови ред 0 0 и 0 и има суму s ± конвергентни и имају суму s односно конвергентан је и 56

КОШИЈЕВ КРИТЕРИЈУМ КОНВЕРГЕНЦИЈЕ Теорема Ред такав број Nε тако да > > Nε конвергира тада и само тада ако за свако произвољно мало позитивно ε постоји < ε Доказ На основу Кошијевог критеријума конвергенције за низ делимичних сума 57

Редови са позитивним члановима Теорема Ред са позитивним члановима може само конвергирати или дивергирати према Такав ред је конвергентан тада и само тада ако су његове делимичне суме ограничене c са позитивним члановима конвергентан тада је и ред Теорема Ако је ред 0 конвергентан ако су коефицијенти γ позитивни и ограничени 0 γ c такође Теорема 3 Ако је ред 0 d са позитивним члановима дивергентан тада је у случају да бројеви δ 0 имају позитивно доње ограничење δ дивергентан и ред δ d 0 КРИТЕРИЈУМИ УПОРЕЂИВАЊА Теорема Критеријум упоређивања прве врсте Нека је ред c конвергентан а ред d 0 0 дивергентан и нека су оба редови са позитивним члановима Ако чланови неког датог реда са 0 позитивним члановима задовољавају услов конвергентан Ако d за све > N тада је ред Теорема Критеријум упоређивања друге врсте Нека је ред c за све > N тада је ред дивергентан 0 0 0 c конвергентан а ред 0 d дивергентан и нека су оба редови са позитивним члановима Ако за чланове реда с 0 позитивним члановима за N важи c тада је ред c конвергентан; 0 ако је за N d тада је ред d дивергентан 0 58

Теорема 3 Даламберов количнички критеријум упоређивања Ако је за > 0 и почев од неког индекса 0 > 0 q < тада је ред конвергентан Ако је почевод > 0 тада је ред дивергентан 0 Теорема 4 Кошијев корени критеријум упоређивања Ако је за > 0 и почев од неког индекса тј q < 0 > 0 q 0 < q < тада је ред 0 конвергентан Супротно ако је почевод > тада је ред дивергентан 0 59

Дефиниција Алтернативним редовима се називају редови облика 0 > 0 N где је { } монотоно опадајући низ позитивних бројева Алтернативни ред 0 3 у којем чланови > 0 монотоно опадају > 0 и теже нули назива се Лајбницовим редом Теорема Лајбницов критеријум Лајбницов ред конвергира и његова сума s < 0 Доказ За Лајбницов ред делимична сума са непарним индексом је једнака што значи да је је s 0 3 4 s < 0 N С друге стране s 0 3 из чега следи да монотоно неопада Зато постоји гранична вредност за коју важи За парне чланове низа делимичних сума важи 0 < li s s < 0 li s li s чиме је доказан Лајбницов критеријум конвергенције s Теорема Ред је конвергентан ако конвергира одговарајући ред са позитивним члановима При томе ако је s и S тада је s S Дефиниција За конвергентан ред конвергира У супротном када ред кажемо да је апсолутно конвергентан ако конвергира и ред дивергира за конвергентан ред кажемо да условно 60

Теорема Ако је Интегрални критеријум дати ред са позитивним монотоно опадајућим члановима а за непрекидна позитивна монотоно опадајућа функција таква да је тада ред конвергира ако и само ако несвојствени интеграл Ако интеграл d не постоји тада је ред Доказ Како је опадајућа функција важи d постоји конвергира дивергентан 3 d Ако интеграл d постоји означимо га са J Тада је d J па ред има ограничне делимичне суме и према томе конвергира из чега следи конвергенција реда Обрнуто ако је ред интеграл d конвергентан и има суму s тада је d s па конвергира 6

Степени редови Дефиниција Ако је низ функција { } дефинисан на неком скупу M тачака осе O тада се израз 0 F назива функционалним редом Функције 0 су чланови тог реда а сума 0 је -та делимична сума Дефиниција Ако низ делимичних сума { F } конвергира на неком скупу M тачака осе O ка F тада се каже да и ред 0 конвергира на том скупу и да има суму F Дефиниција Ред облика 0 0 назива се степеним редом Бројеви 0 су коефицијенти степеног реда а 0 је дата тачка развитка степеног реда Посебно ако је 0 0 степени ред има облик 0 Дефиниција Скуп тачака осе O на којем степени ред конвергира зове се интервал конвергенције степеног реда Теорема Абелова Ако је степени ред 0 конвергентан у тачки 0 тада је 0 конвергентан и у свакој тачки у којој је 0 < 0 Дефиниција Радијус конвергенције степеног реда представља број r sup 0 где узима све вредности на скупу тачака на којима ред 0 Разликују се три случаја радијуса конвергенције степеног реда: 0 конвергира Степени ред конвергира у свакој тачки осе O Тада је радијус конвергенције бесконачно велики r 6

Степени ред конвергира у некој тачки 0 где је 0 тачка развитка степеног реда али не конвергира у свим тачкама осе O У том случају радијус конвергенције реда је позитиван број r 0 < r < 3 Степени ред конвергира само у тачки развитка 0 : радијус конвергенције је тада једнак 0 r 0 Ако су коефицијенти степеног реда интервала конвергенције важи 0! 0 0 0! Ово је Тејлоров ред Слично Маклоренов ред је 0 0! онда се може показати да унутар 63