Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca i koeficijent korelacije 2 Zadaci 4 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Definicija Neka je (Ω, F, P vjerojatnosni prostor pridružen slučajnom pokusu Funkciju (X,, X n koja svakom ishodu slučajnog pokusa pridružuje uredenu n-torku realnih brojeva (x,, x n zovemo n-dimenzionalan slučajan vektor ako vrijedi: {X x } {X n x n} F za svaki x R,, x n R Napomena Dvodimenzionalan slučajan vektor - neka je (Ω, F, P vjerojatnosni prostor Analogno definiciji slučajne varijable možemo reći da je dvodimenzionalan slučajan vektor funkcija (X, Y : Ω R 2 takva da je za svaku točku (x, y R 2 skup {ω Ω : X(ω x, Y (ω y} = A (x,y F 2 Diskretan slučajan vektor Definicija 2 Slučajan vektor X je diskretnog tipa ako postoji konačan ili prebrojiv podskup D skupa R n takav da je P (X D = Odnosno, za slučajan vektor kažemo da je diskretan ako mu je slika R(X diskretan skup Definicija Neka nam je zadan dvodimenzionalan slučajan vektor Z = (X, Y Distribucije njegovih komponenti zadane su tablicama: x x 2 y y 2 p p 2 q q 2 Distrubucija vektora Z zadana je sa: p i,j = P {Z = (x i, y j} = P { x i, Y = y j}, p i,j 0, p i,j = i,j
Uz pretposatvku da imamo konačno mnogo vrijednosti x i i y j, tu distribuciju najčešće zapisujemo u obliku tablice distribucije: X Y y y 2 y y m x p p 2 p p m p x 2 p 2 p 22 p 2 p 2m p 2 x p p 2 p p m p x n p n p n2 p n p nm p n q q 2 q q m Napomena 2 Iz distribucije slučajnog vektora Z = (X, Y lako saznajemo distribucije slučajnih varijabli X i Y - to su rubne ili marginalne distribucije slučajnog vektora Z: x x 2 x n y y 2 y m p p 2 p n q q 2 q m Funkcija distribucije slučajnog vektora Definicija 4 Uvjetna distribucija komponente X s obzirom na poznatu vrijednost komponente Y, tj uz uvjet da je Y = y j dana je sljedećom tablicom: ( x x 2 X Y =yj =, p Y =yj p 2 Y =yj gdje je p i Y =yj = P ( xi, Y = yj P (Y = y j = pij q j, i =, 2, Definicija 5 Neka je (Ω, F, P vjerojatnosni prostor pridružen slučajnom pokusu i (X,, X n slučajan vektor Funkciju F : R n [0, ] definiranu izrazom F (x,, x n = P (X x,, X n x n zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora (X,, X n 4 Nezavisnost slučajnih vektora Napomena Neka su X i Y diskretne slučajne varijable na (Ω, F, P sa distribucijama x x 2 y y 2 p p 2 q q 2 Slučajne varijable X i Y su nezavisne ako i samo ako vrijedi: p ij = P ( x i, Y = y j = P ( x i P (Y = y j = p i q j za sve i =,, n i za sve j =,, m 2
5 Očekivanje slučajnog vektora Definicija 6 Neka je (X,, X n slučajan vektor na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P Ukoliko postoji očekivanje svake slučajne varijable X i, tj ukoliko je E[ X i ] < + za svaki i, kažemo da postoji očekivanje slučajnog vektora X i pišemo: E[X] = E[X ] E[X n] Teorem Ako su slučajne varijable X i Y nezavisne i ako postoje matematička očekivanja E[X] i E[Y ], tada slučajna varijabla XY ima očekivanje i vrijedi: E[XY ] = E[X] E[Y ] Teorem 2 Neka su X,, X n nezavisne slučajne varijable takve da postoji varijanca Var(X k, k =,, n i neka su a,, a n realni brojevi Tada vrijedi: ( n Var a k X k = a 2 kvar(x k k= k= 6 Kovarijanca i koeficijent korelacije Definicija 7 Neka su X i Y slučajne varijable takve da postoje E[X], E[Y ] i E[XY ] Tada kovarijancu slučajnih varijabli X i Y definiramo na sljedeći način: Cov(X, Y = E[(X E[X] (Y E[Y ]] = E[XY ] E[X] E[Y ] Teorem Neka je (X, Y diskretan dvodimenzionalan slučajan vektor za koji postoje E[X] i E[Y ] Ako su slučajne varijable X i Y nezavisne onda je Cov(X, Y = 0 Napomena 4 Obrat ovog teorema općenito ne vrijedi, tj ako je kovarijanca Cov(X, Y jednaka nuli, to ne znači da su slučajne varijable X i Y nužno nezavisne Napomena 5 Ako slučajan vektor ima kovarijancu različitu od nule, onda su njegove kom-
ponente nužno zavisne Definicija Neka je (X, Y slučajan vektor za koji je Cov(X, Y = 0 Tada kažemo da su njegove komponente X i Y nekorelirane Napomena 6 Očito nezavisnost slučajnih varijabli povlači njihovu nekoreliranost Obrat ove tvrdnje generalno ne vrijedi Definicija 9 Broj ρ X,Y = Cov(X, Y Var(X Var(Y nazivamo koeficijent korelacije slučajnih varijabli X i Y Naime, ρ X,Y [, ] 2 Zadaci Zadatak Slučajan pokus sastoji se od dva uzastopna bacanja simetričnog novčića Neka je (X, Y slučajan vektor gdje slučajna varijabla X označava broj glava, a slučajna varijabla Y broj pisama koja se realiziraju u ta dva bacanja Odredite distribuciju i marginalne distribucije slučajnog vektora (X, Y, uvjetnu distribuciju slučajne varijable X uz uvjet {Y = } te izračunajte koeficijent korelacije ρ (X,Y Zadatak 2 Neka je (X, Y slučajan vektor kod kojeg slučajna varijabla X predstavlja broj izlazaka trgovačkog putnika na teren, a slučajna varijabla Y broj prodanih proizvoda Distribucija slučajnog vektora zadana je sljedećom tablicom: Y/X 0 2 4 5 6 2 2 0 0 4 0 6 6 2 0 0 0 0 2 0 0 6 2 2 64 2 2 0 6 2 2 a Odredite marginalne distribucije slučajnog vektora (X, Y Rješenje: ( 0 2 4 5 6 2 2 b Izračunajte E[X], E[Y ] i ρ X,Y 5 64 6 6 ( 2 4 Y = 4 2 2 Rješenje: E[X] = 27 2, E[Y ] =, ρx,y = 0579 2 2 ; 4
c Odredite vjerojatnost da je trgovački putnik prodao četiri knjige, ako je dva puta izašao na teren Rješenje: P (Y = 4 2 = 5 Zadatak Bacamo dvije kocke Neka je slučajna varijabla X manji, a varijabla Y veći od dva pojavljena broja Odredi razdiobu vektora (X, Y, marginalne razdiobe, te uvjetnu razdiobu od X uz uvjet Y = 4 Izračunaj vjerojatnost dogadaja A = (X 2 Y = 4 i B = (Y = 4 X 2 Zadatak 4 Promotrimo slučajan pokus koji se sastoji od nezavisnog bacanja dvaju novčića tri puta za redom (misli se da su realizacije na novčićima pri jednom bacanju medusobno nezavisne Novčić A je simetričan, odnosno P A(G = P A(P = 05, ali nočić B nije i vrijedi: P B(G = 025, P B(P = 075 Neka je (X, Y slučajan vektor u kojem X predstavlja broj glava realiziranih bacanjem novčića A, a Y broj glava realiziranih bacanjem novčića B Odredite distribuciju i marginalne distribucije slučajnog vektora (X, Y, uvjetnu distribuciju slučajne varijable X uz uvjet {Y = 2} te izračunajte koeficijent korelacije ρ X,Y Zadatak 5 Slučajan vektor (X, Y zadan je na sljedeći način: { k(2xi + y j, x i =, 2; y j =, 2 P ( x i, Y = y j = 0, inače Odredite numeričku vrijednost konstante k, marginalne distribucije slučajnog vektora (X, Y, te provjerite jesu li slučajne varijable X i Y nezavisne Zadatak 6 Za slučajan vektor iz prethodnog zadatka odredite sljedeće uvjetne vjerojatnosti: a P (Y = y j x i b P (Y = y 2 x 2 P ( x i Y = y j P ( 2 Y = 2 Zadatak 7 Zadane su jednako distribuirane slučajne varijable X,, X n s matematičkim očekivanjem µ i varijancom σ 2 Izračunajte: [ (a E X i ], n (b E [ n i= ] (X i X 2, gdje je n i= X i, (c uz pretpostavku da su X,, X n nezavisne slučajne varijable, izračunajte Var X i= 5